Як знайти ранг матриці 4 на 4. Знаходження рангу матриці

Ранг матриці є важливою числову характеристику. Найбільш характерним завданням, що вимагає знаходження рангу матриці, є перевірка сумісності системи лінійних рівнянь алгебри. У цій статті ми дамо поняття рангу матриці та розглянемо методи його знаходження. Для кращого засвоєння матеріалу докладно розберемо розв'язання кількох прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення рангу матриці та необхідні додаткові поняття.

Перш ніж озвучити визначення рангу матриці, слід добре розібратися з поняттям мінору, а знаходження мінорів матриці має на увазі вміння обчислення визначника. Отже, рекомендуємо при необхідності згадати теорію статті методи знаходження визначника матриці, властивості визначника.

Візьмемо матрицю А порядку. Нехай k - деяке натуральне число, що не перевищує найменшого з чисел m і n, тобто, .

Визначення.

Мінором k-ого порядкуматриці А називається визначник квадратної матриці порядку , складеної з елементів матриці А , які знаходяться в заздалегідь вибраних k рядках і стовпцях k, причому розташування елементів матриці А зберігається.

Іншими словами, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а з елементів, що залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А , то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А .

Розберемося з визначенням мінору матриці на прикладі.

Розглянемо матрицю .

Запишемо кілька мінорів першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо ми виберемо третій рядок і другий стовпець матриці А, то нашому вибору відповідає мінор першого порядку . Іншими словами, для отримання цього мінору ми викреслили перший і другий рядки, а також перший, третій і четвертий стовпці з матриці А, а з елемента, що залишився, склали визначник. Якщо ж вибрати перший рядок і третій стовпець матриці А, ми отримаємо мінор .

Проілюструємо процедуру отримання розглянутих мінорів першого порядку
і .

Таким чином, мінорами першого порядку матриці є елементи матриці.

Покажемо кілька мінорів другого порядку. Вибираємо два рядки та два стовпці. Наприклад, візьмемо перший і другий рядки і третій і четвертий стовпець. За такого вибору маємо мінор другого порядку . Цей мінор також можна було скласти викреслюванням з матриці третього рядка А, першого і другого стовпців.

Іншим мінором другого порядку матриці А є.

Проілюструємо побудову цих мінорів другого порядку
і .

Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А. Оскільки в матриці всього три рядки, то вибираємо їх усі. Якщо до цих рядків вибрати три перші стовпці, то отримаємо мінор третього порядку

Він може бути побудований викреслюванням останнього стовпця матриці А .

Іншим мінором третього порядку є

виходить викреслюванням третього стовпця матриці А .

Ось малюнок, що показує побудову цих мінорів третього порядку
і .

Для цієї матриці А мінорів порядку вище третього немає, оскільки .

Скільки існує мінорів k-ого порядку матриці А порядку ?

Число мінорів порядку k може бути розраховане як , де і - Число поєднань з p по k і з n по k відповідно.

Як же побудувати всі мінори порядку k матриці А порядку p на n?

Нам знадобиться безліч номерів рядків матриці та безліч номерів стовпців. Записуємо все поєднання з p елементів по k(вони відповідатимуть рядкам матриці А, що вибираються, при побудові мінора порядку k ). До кожного поєднання номерів рядків послідовно додаємо всі поєднання з n елементів до номерів стовпців. Ці набори поєднань номерів рядків та номерів стовпців матриці А допоможуть скласти всі мінори порядку k .

Розберемо з прикладу.

приклад.

Знайдіть усі мінори другого порядку матриці.

Рішення.

Оскільки порядок вихідної матриці дорівнює 3 на 3, то всього мінорів другого порядку буде .

Запишемо всі поєднання з 3 по 2 номерів рядків матриці А: 1, 2; 1, 3 та 2, 3 . Всі поєднання з 3 по 2 номерів стовпців є 1, 2; 1, 3 та 2, 3 .

Візьмемо перший і другий рядки матриці А . Вибравши до цих рядків перший і другий стовпці, перший і третій стовпці, другий і третій стовпці, отримаємо відповідно мінори

Для першого та третього рядків при аналогічному виборі стовпців маємо

Залишилося до другого та третього рядків додати перший та другий, перший та третій, другий та третій стовпці:

Отже, всі дев'ять мінорів другого порядку матриці знайдено.

Тепер можна переходити до визначення рангу матриці.

Визначення.

Ранг матриці- Це найвищий порядок мінора матриці, відмінного від нуля.

Ранг матриці А позначають як Rank (A). Можна також зустріти позначення Rg(A) або Rang(A).

З визначень рангу матриці і мінора матриці можна зробити висновок, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці не менше одиниці.

Знаходження рангу матриці за визначенням.

Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору мінорів. Цей спосіб ґрунтується на визначенні рангу матриці.

Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку.

Коротко опишемо алгоритмрозв'язання цього завдання способом перебору мінорів.

Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці (оскільки є мінор першого порядку, не рівний нулю).

Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, переходимо до перебору мінорів третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.

Аналогічно, якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору мінорів четвертого порядку.

Зазначимо, що ранг матриці не може перевищувати найменшого числа p і n .

приклад.

Знайдіть ранг матриці .

Рішення.

Оскільки матриця ненульова, її ранг не менше одиниці.

Мінор другого порядку відмінний від нуля, отже, ранг матриці не менше двох. Переходимо до перебору мінорів третього порядку. Усього їх штук.

Усі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому ранг матриці дорівнює двом.

Відповідь:

Rank(A) = 2.

Знаходження рангу матриці методом облямівних мінорів.

Існують інші методи знаходження рангу матриці, які дозволяють отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Одним з таких методів є метод облямівних мінорів.

Розберемося з поняттям облямівного мінору.

Кажуть, що мінор М ок (k+1)-ого ​​порядку матриці А облямовує мінор M порядку k матриці А якщо матриця, відповідна мінору М ок , «містить» матрицю, відповідну мінору M .

Інакше кажучи, матриця, відповідна облямовуваному мінору М , виходить з матриці, що відповідає облямівному мінору M ок , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Наприклад розглянемо матрицю і візьмемо мінор другого порядку. Запишемо всі мінори, що облямовують:

Метод облямівних мінорів обґрунтовується наступною теоремою (наведемо її формулювання без доказу).

Теорема.

Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, то всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнюють нулю.

Таким чином, для знаходження рангу матриці не обов'язково перебирати всі мінори, що досить облямовують. Кількість мінорів, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку, знаходиться за формулою . Зазначимо, що мінорів, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А, не більше, ніж мінорів (k + 1)-ого ​​порядку матриці А. Тому, здебільшого використання методу облямівних мінорів вигідніше простого перебору всіх мінорів.

Перейдемо до знаходження рангу матриці методом облямівних мінорів. Коротко опишемо алгоритмцього методу.

Якщо матриця А ненульова, то як мінор першого порядку беремо будь-який елемент матриці А відмінний від нуля. Розглядаємо його мінори, що облямовують. Якщо вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо є хоча б один ненульовий облямівний мінор (його порядок дорівнює двом), то переходимо до розгляду його облямівних мінорів. Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) = 2 . Якщо хоча б один оздоблюючий мінор відмінний від нуля (його порядок дорівнює трьом), то розглядаємо його мінори, що облямовують. І так далі. У результаті Rank(A) = k , якщо всі обрамляють мінори (k + 1)-ого ​​порядку матриці А дорівнюють нулю, або Rank(A) = min(p, n) , якщо існує ненульовий мінор, що облямовує мінор порядку (min( p, n) - 1).

Розберемо метод окаймляющих мінорів знаходження рангу матриці з прикладу.

приклад.

Знайдіть ранг матриці методом облямівних мінорів.

Рішення.

Оскільки елемент a 1 1 матриці А відмінний від нуля, то візьмемо його як мінор першого порядку. Почнемо пошук обрамляючого мінору, відмінного від нуля:

Знайдений мінор другого порядку, відмінний від нуля. Переберемо його окаймляющие мінори (їх штук):

Усі мінори, що оздоблюють мінор другого порядку , дорівнюють нулю, отже, ранг матриці А дорівнює двом.

Відповідь:

Rank(A) = 2.

приклад.

Знайдіть ранг матриці за допомогою облямівних мінорів.

Рішення.

Як відмінний від нуля мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 1 матриці А . Мінор другого порядку, який його облямовує не дорівнює нулю. Цей мінор оздоблюється мінором третього порядку
. Так як він не дорівнює нулю і для нього не існує жодного облямівного мінору, то ранг матриці А дорівнює трьом.

Відповідь:

Rank(A) = 3 .

Знаходження рангу з допомогою елементарних перетворень матриці (методом Гауса).

Розглянемо ще один спосіб знаходження рангу матриці.

Наступні перетворення матриці називають елементарними:

• перестановка місцями рядків (або стовпців) матриці;
• множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне число k відмінне від нуля;
• додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на довільне число k .

Матриця називається еквівалентної матриці А, якщо отримана з А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Еквівалентність матриць позначається символом "~", тобто записується A~B.

Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень матриці засноване на затвердженні: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B) .

Справедливість цього твердження випливає із властивостей визначника матриці:

• При перестановці рядків (або шпальт) матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків (стовпців) він залишається рівним нулю.
• При множенні всіх елементів якогось рядка (стовпця) матриці на довільне число k відмінне від нуля, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, помноженого на k . Якщо визначник вихідної матриці дорівнює нулю, то після множення всіх елементів будь-якого рядка або стовпця на число k визначник отриманої матриці також дорівнюватиме нулю.
• Додавання до елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на деяке число k не змінює її визначника.

Суть методу елементарних перетвореньполягає у приведенні матриці, ранг якої нам потрібно знайти, до трапецієподібної (в окремому випадку до верхньої трикутної) за допомогою елементарних перетворень.

Навіщо це робиться? Ранг матриць такого виду легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг матриці під час проведення елементарних перетворень не змінюється, то отримане значення буде рангом вихідної матриці.

Наведемо ілюстрації матриць, одна з яких має вийти після перетворень. Їхній вигляд залежить від порядку матриці.

Ці ілюстрації є шаблонами, яких будемо перетворювати матрицю А .

Опишемо алгоритм методу.

Нехай нам потрібно знайти ранг ненульової матриці А порядку (p може дорівнювати n ).

Отже, . Помножимо всі елементи першого рядка матриці А на . При цьому отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (1):

До елементів другого рядка отриманої матриці А (1) додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на . До елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на . І так далі до p-го рядка. Отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (2):

Якщо всі елементи отриманої матриці, що знаходяться в рядках з другої по p-у , дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці дорівнює одиниці, а отже, і ранг вихідної матриці дорівнює одиниці.

Якщо ж у рядках з другого по p-ий є хоча б один ненульовий елемент, то продовжуємо проводити перетворення. Причому діємо абсолютно аналогічно, але лише із зазначеною на малюнку частиною матриці А (2)

Якщо , то переставляємо рядки та (або) стовпці матриці А (2) так, щоб «новий» елемент став ненульовим.

Будь-яка матриця Aпорядку m×nможна розглядати як сукупність mвекторів рядків або nвекторів стовпців.

Рангомматриці Aпорядку m×nназивається максимальна кількість лінійно-незалежних векторів стовпців або векторів рядків.

Якщо ранг матриці Aдорівнює r, То пишеться:

Знаходження рангу матриці

Нехай Aдовільна матриця порядку m× n. Для знаходження рангу матриці Aзастосуємо до неї спосіб виключення Гауса.

Відзначимо, що якщо на якомусь етапі виключення провідний елемент виявиться рівним нулю, то міняємо місцями цей рядок з рядком, в якому провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо виявиться, що немає такого рядка, то переходимо до наступного стовпця тощо.

Після прямого ходу виключення Гауса отримаємо матрицю, елементи якої під головною діагоналлю дорівнюють нулю. Крім цього, можуть виявитися нульові вектори рядка.

Кількість ненульових векторів рядків і буде рангом матриці A.

Розглянемо це на простих прикладах.

приклад 1.

Помноживши перший рядок на 4 і додавши до другого рядка та помноживши перший рядок на 2 та додавши до третього рядка маємо:

Другий рядок помножимо на -1 і додамо до третього рядка:

Отримали два ненульові рядки і, отже, ранг матриці дорівнює 2.

приклад 2.

Знайдемо ранг наступної матриці:

Помножимо перший рядок на -2 і додамо до другого рядка. Аналогічно обнулили елементи третього та четвертого рядка першого стовпця:

Обнуливши елементи третього та четвертого рядків другого стовпця додаючи відповідні рядки до другого рядка помноженого на число -1.

У цій статті йтиметься про таке поняття, як ранг матриці та необхідні додаткові поняття. Ми наведемо приклади та докази знаходження рангу матриці, а також розповімо, що таке мінор матриці, і чому він такий важливий.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Мінор матриці

Щоб зрозуміти, що таке ранг матриці, необхідно розібратися з таким поняттям як мінор матриці.

Визначення 1

Мінорk-ого порядку матриці - визначник квадратної матриці порядку k×k, яка складена з елементів матриці А, що знаходяться в заздалегідь вибраних k-рядках і k-стовпцях, при цьому зберігається положення елементів матриці А.

Простіше кажучи, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а їх тих елементів, що залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А, то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.

З прикладу випливає, що мінори першого порядку матриці А є самі елементи матриці.

Можна навести кілька прикладів мінорів другого порядку. Виберемо два рядки та два стовпці. Наприклад, перший і другий рядок, третій і четвертий стовпець.

За такого вибору елементів мінором другого порядку буде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Іншим мінором 2-го порядку матриці є 0 0 1 1 = 0

Надамо ілюстрації побудови мінорів другого порядку матриці А:

Мінор 3-го порядку виходить, якщо викреслити третій стовпець матриці А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ілюстрація, як виходить мінор 3-го порядку матриці А:

Для цієї матриці мінорів вище 3-го порядку не існує, тому що

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Скільки існує мінорів k-ого порядку матриці А порядку p×n?

Число мінорів обчислюють за такою формулою:

C p k × C n k , де С p k = p ! k! (p - k)! і C n k = n! k! (n - k)! - Число поєднань з p по k, з n по k відповідно.

Після того, як ми визначилися, що таке мінори матриці А, можна переходити до визначення рангу матриці А.

Ранг матриці: методи знаходження

Визначення 2

Ранг матриці - Найвищий порядок матриці, відмінний від нуля.

Позначення 1

Rank (A), Rg(A), Rang(A).

З визначення рангу матриці та мінору матриці ставати зрозуміло, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці відмінний від нуля.

Знаходження рангу матриці за визначенням

Визначення 3

Метод перебору мінорів - метод, що базується на визначенні рангу матриці.

Алгоритм дій способом перебору мінорів :

Необхідно знайти ранг матриці А порядку p× n. За наявності хоча б одного елемента, відмінного від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці ( т.к. є мінор 1-го порядку, який не дорівнює нулю).

Далі слідує перебір мінорів 2-го порядку. Якщо всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці. При існуванні хоча б одного не рівного нулю мінора 2-го порядку, необхідно перейти до перебору мінорів 3-го порядку, а ранг матриці, в такому разі, дорівнюватиме мінімум двом.

Аналогічним чином надійдемо з рангом 3-го порядку: якщо всі мінори матриці дорівнюють нулю, то ранг дорівнюватиме двом. За наявності хоча б одного ненульового мінору 3-го порядку, то ранг матриці дорівнює мінімум трьох. І так далі, за аналогією.

Приклад 2

Знайти ранг матриці:

А = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Оскільки матриця ненульова, її ранг мінімум дорівнює одиниці.

Мінор 2-го порядку - 1 1 2 2 = (-1) × 2 - 1 × 2 = 4 відмінний від нуля. Звідси випливає, що ранг матриці не менше двох.

Перебираємо мінори 3-го порядку: З 3 3 × З 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 шт.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (-1) × 6 × 1 + (-1) × 0 × 4 + (-2) × 2 × 11 - (-2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (-1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (-1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (-2) × 2 × 3 - (-2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (-7) + (-1) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (-7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (-2) × 2 × (-7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (-1) × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, тому ранг матриці дорівнює двом.

Відповідь : Rank (A) = 2

Знаходження рангу матриці методом облямівних мінорів

Визначення 3

Метод облямівних мінорів - метод, який дозволяє отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Облямовуючий мінор - мінор M o k (k + 1) -го порядку матриці А, який облямовує мінор M порядку k матриці А, якщо матриця, яка відповідає мінору M o k , «містить» матрицю, яка відповідає мінору М.

Простіше кажучи, матриця, яка відповідає мінеру М, що облямовується, виходить з матриці, відповідної облямівному мінору M o k , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Приклад 3

Знайти ранг матриці:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для знаходження рангу беремо мінор 2-го порядку М = 2 - 1 4 1

Записуємо всі мінори, що облямовують:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Щоб обгрунтувати метод облямівних мінорів, наведемо теорему, формулювання якої вимагає доказової бази.

Теорема 1

Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнює нулю.

Алгоритм дій :

Щоб знайти ранг матриці, необов'язково перебирати всі мінори, достатньо подивитися на облямовувачі.

Якщо мінори, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг матриці нульовий. Якщо існує хоча б один мінор, який не дорівнює нулю, то розглядаємо мінори, що облямовують.

Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) дорівнює двом. За наявності хоча б одного ненульового оздоблюючого мінору, то приступаємо до розгляду його каймових мінорів. І так далі, аналогічним чином.

Приклад 4

Знайти ранг матриці методом облямівних мінорів

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 матриці А не дорівнює нулю, візьмемо мінор 1-го порядку. Почнемо шукати мінер, що облямовує, відмінний від нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Ми знайшли облямівний мінор 2-го порядку не рівний нулю 2 0 4 1 .

Здійснимо перебір обрамляючих мінорів - (їх (4 - 2) × (5 - 2) = 6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Відповідь : Rank(A) = 2

Знаходження рангу матриці методом Гауса (за допомогою елементарних перетворень)

Згадаймо, що є елементарними перетвореннями.

Елементарні перетворення:

• шляхом перестановки рядків (стовпців) матриці;
• шляхом множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне ненульове число k;

шляхом додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) елементів, які відповідають іншій стоки (стовпця) матриці, які помножені на довільне число k.

Визначення 5

Знаходження рангу матриці методом Гауса - метод, що ґрунтується на теорії еквівалентності матриць: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливість цього твердження випливає з визначення матриці:

• у разі перестановки рядків чи стовпців матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків або стовпців залишається рівним нулю;
• у разі множення всіх елементів якогось рядка (стовпця) матриці на довільне число k, яке не дорівнює нулю, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, яка помножена на k;

у разі додавання до елементів деякого рядка або стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, які помножені на число k, не змінює його визначника.

Суть методу елементарних перетворень : привести матрицю, чий ранг необхідно знайти, до трапецієподібної за допомогою елементарних перетворень.

Для чого?

Ранг матриць такого виду досить легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, у яких є хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг під час проведення елементарних перетворень не змінюється, це і буде ранг матриці.

Проілюструємо цей процес:

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких більше від числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких менше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bpn , R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• для квадратних матриць А порядку n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 0 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k , k< n

Приклад 5

Знайти ранг матриці А за допомогою елементарних перетворень:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 відмінний від нуля, необхідно помножити елементи першого рядка матриці А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Додаємо до елементів 2-го рядка відповідні елементи 1-го рядка, які помножені на (-3). До елементів 3-го рядка додаємо елементи 1-го рядка, які помножені на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (-3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (-1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (-7) 2 + 1 2 (-7) - 4 + (-1) (-7) 11 + 3 (-7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елемент а 22 (2) відмінний від нуля, тому ми множимо елементи 2-го рядка матриці А на А (2) на 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• До елементів 3-го рядка отриманої матриці додаємо відповідні елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 ;
• до елементів 4-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 9 2;
• до елементів 5-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 .

Усі елементи рядків дорівнюють нулю. Таким чином, за допомогою елементарних перетворень ми привели матрицю до трапецеїдального вигляду, звідки видно, що R a n k (A (4)) = 2 . Звідси випливає, що ранг вихідної матриці також дорівнює двом.

Зауваження

Якщо проводити елементарні перетворення, не допускаються наближені значення!

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Визначення. Рангом матриціназивається максимальне число лінійно незалежних рядків, що розглядаються як вектори.

Теорема 1 про ранг матриці. Рангом матриціназивається максимальний порядок відмінного від нуля мінора матриці.

Поняття мінора ми вже розбирали на уроці за визначниками, а зараз узагальнимо його. Візьмемо в матриці скільки рядків і скільки стовпців, причому це "скільки-то" має бути менше числа рядків і стовпців матриці, а для рядків і стовпців це "скільки-то" має бути одним і тим же числом. Тоді на перетині скільки рядків і скільки стовпців виявиться матриця меншого порядку, ніж наша вихідна матриця. Визначник це матриці і буде мінором k-го порядку, якщо згадане "скількись" (кількість рядків і стовпців) позначимо через k.

Визначення.Мінор ( r+1)-го порядку, всередині якого лежить обраний мінор r-го порядку, називається називається облямовуючим для даного мінору.

Найчастіше використовуються два способи відшукання рангу матриці. Це спосіб окаймляючих міноріві спосіб елементарних перетворень(Методом Гауса).

При способі облямівних мінорів використовується наступна теорема.

Теорема 2 про ранг матриці.Якщо з елементів матриці можна скласти мінор r-го порядку, не рівний нулю, то ранг матриці дорівнює r.

При способі елементарних перетворень використовується така властивість:

Якщо шляхом елементарних перетворень отримано трапецієподібну матрицю, еквівалентну вихідній, то рангом цієї матриціє число рядків у ній крім рядків, що повністю складаються з нулів.

Знаходження рангу матриці способом обрамляють мінорів

Облямовуючим мінором називається мінор більшого порядку по відношенню до даного, якщо цей мінорм більшого порядку містить у собі даний мінор.

Наприклад, дана матриця

Візьмемо мінор

оздоблюватимуть такі мінори:

Алгоритм знаходження рангу матрицінаступний.

1. Знаходимо не рівні нулю мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме одиниці ( r =1 ).

2. Якщо існує хоча б один мінор другого порядку, не рівний нулю, то складаємо мінеральні мінори третього порядку. Якщо всі облямівні мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом ( r =2 ).

3. Якщо хоча б один з кайданів мінорів третього порядку не дорівнює нулю, то складаємо мінори, що його оздоблюють. Якщо всі облямівні мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює трьом ( r =2 ).

4. Продовжуємо так, поки дозволяє розмір матриці.

приклад 1.Знайти ранг матриці

.

Рішення. Мінор другого порядку .

Облямовуємо його. Окаймляючих мінорів буде чотири:

,

,

Таким чином, усі обрамляючі мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг даної матриці дорівнює двом ( r =2 ).

приклад 2.Знайти ранг матриці

Рішення. Ранг даної матриці дорівнює 1, так як всі мінори другого порядку цієї матриці дорівнюють нулю (у цьому, як і у випадках обрамляють мінорів у двох наступних прикладах, дорогим студентам пропонується переконатися самостійно, можливо, використовуючи правила обчислення визначників), а серед мінорів першого порядку тобто серед елементів матриці, є не рівні нулю.

Приклад 3.Знайти ранг матриці

Рішення. Мінор другого порядку цієї матриці , у всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю. Отже, ранг цієї матриці дорівнює двом.

Приклад 4.Знайти ранг матриці

Рішення. Ранг цієї матриці дорівнює 3, так як єдиний мінор третього порядку цієї матриці дорівнює 3.

Знаходження рангу матриці способом елементарних перетворень (методом Гауса)

Вже на прикладі 1 видно, що завдання визначення рангу матриці способом обрамляють мінорів вимагає обчислення великого числа визначників. Існує, однак, спосіб, що дозволяє звести обсяг обчислень до мінімуму. Цей спосіб заснований на використанні елементарних перетворень матриць і називається також методом Гауса.

Під елементарними перетвореннями матриці розуміються такі операції:

1) множення будь-якого рядка або якогось стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на те саме число;

3) зміна місцями двох рядків чи стовпців матриці;

4) видалення "нульових" рядків, тобто таких, всі елементи яких дорівнюють нулю;

5) видалення всіх пропорційних рядків, крім одного.

Теорема.При елементарному перетворенні ранг матриці змінюється. Іншими словами, якщо ми є елементарними перетвореннями від матриці Aперейшли до матриці B, то.

Рангом матриціназивається найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля. Ранг матриці позначають або .

Якщо всі мінори порядку даної матриці дорівнюють нулю, то всі мінори більш високого порядку даної матриці також дорівнюють нулю. Це з визначення визначника. Звідси випливає алгоритм перебування рангу матриці.

Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то . Якщо хоча б один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то . Причому достатньо переглянути тільки ті мінори другого порядку, які облямовують ненульовий мінор першого порядку. Якщо знайдеться мінор другого порядку відмінний від нуля, досліджують мінори третього порядку, що оточують ненульовий мінор другого порядку. Так продовжують до тих пір, поки не прийдуть до одного з двох випадків: або всі мінори порядку, що облямовують ненульовий мінор-го порядку дорівнюють нулю, або таких мінорів немає. Тоді.

Приклад 10 Обчислити ранг матриці.

Мінор першого порядку (елемент) відмінний від нуля. Облямовуючий його мінор теж не дорівнює нулю.

Всі ці мінори рівні нулю, отже.

Наведений алгоритм знаходження рангу матриці який завжди зручний, оскільки пов'язані з обчисленням великої кількості визначників. Найбільш зручно користуватися при обчисленні рангу матриці елементарними перетвореннями, за допомогою яких матриця приводиться до такого простого вигляду, що очевидно, до чого дорівнює її ранг.

Елементарними перетвореннями матриціназивають такі перетворення:

Ø множення якогось рядка (стовпця) матриця на число, відмінне від нуля;

Ø додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця), помноженого на довільне число.

Напівжордановимперетворенням рядків матриці:

з роздільним елементом називається наступна сукупність перетворень з рядками матриці:

Ø до першого рядка додати ю, помножену на число тощо;

Ø до останнього рядка додати ю, помножену на число .

Напівжордановим перетворенням стовпців матриціз роздільним елементом називається наступна сукупність перетворень зі стовпцями матриці:

Ø до першого стовпця додати й, помножений на число і т.д.;

Ø до останнього стовпця додати й, помножений на число.

Після виконання цих перетворень виходить матриця:

Напівжорданове перетворення рядків або стовпців квадратної матриці не змінює її визначника.

Елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу. Покажемо з прикладу, як обчислити ранг матриці, користуючись елементарними перетвореннями. рядків (стовпців) лінійно залежні.