Корінь ступеня: основні визначення. Корінь ступеня n: основні визначення Основні властивості та обмеження

Вітаю: сьогодні ми розбиратимемо коріння — одну з найбільш мозковиносних тем 8-го класу.:)

Багато хто плутається в корінні не тому, що воно складне (чого там складного-то — пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначається через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою гарного віскі.

Тому зараз я дам найправильніше і грамотне визначення кореня — єдине, яке вам справді слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, про який багато укладачів підручників чомусь «забувають»:

Коріння бувають парного ступеня (наш улюблений $\sqrt(a)$, а також всякі $\sqrt(a)$ і навіть $\sqrt(a)$) і непарного ступеня (всякі $\sqrt(a)$, $\ sqrt(a)$ і т.д.). І визначення кореня непарного ступеня дещо відрізняється від парного.

Ось у цьому гребаном «дещо відрізняється» приховано, напевно, 95% усіх помилок та непорозуміння, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз $a$ - це будь-яке невід'ємнечисло $b$ таке, що $((b)^(n))=a$. А корінь непарного ступеня з того ж числа $a$ - це взагалі будь-яке число $b$, для якого виконується та сама рівність: $((b)^(n))=a$.

У будь-якому випадку корінь позначається так:

\(a)\]

Число $n$ у такому записі називається показником кореня, а число $a$ - підкореним виразом. Зокрема, при $n=2$ отримаємо наш «улюблений» квадратний корінь (до речі, це корінь парного ступеня), а за $n=3$ — кубічний (ступінь непарний), який теж часто зустрічається в завданнях та рівняннях.

приклади. Класичні приклади квадратного коріння:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \ & \ sqrt (81) = 9; \ & \ sqrt (256) = 16. \\ \end(align)\]

До речі, $ \ sqrt (0) = 0 $, а $ \ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $((0)^(2))=0$ і $((1)^(2))=1$.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються - не треба їх боятися:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ \sqrt(-64)=-4; \ & \ sqrt (343) = 7. \\ \end(align)\]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\&\sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, у чому різниця між парним та непарним ступенем — перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливість коренів, через яку нам потрібно було вводити роздільне визначення для парних і непарних показників.

Навіщо взагалі потрібне коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: Що курили математики, коли це вигадували? І справді: навіщо взагалі потрібне все це коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку до початкових класів. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішими, а пельмені смачнішими, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, щось на кшталт «п'ять на п'ять — двадцять п'ять», ось це все. Але можна множити числа не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \ \ 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Проте суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - люди ледачі, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони вигадали ступеня. Чому б замість довгого рядка не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу ось такого:

Це дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу листів пергаменту блокнотиків на запис якогось 5 183 . Такий запис назвали ступенем числа, у неї знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної п'янки, яку організували саме з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо наполегливий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відома міра числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що якесь число $b$, припустимо, в 5-му ступені дає 243, то як нам здогадатися, чому одно саме число $b$?

Проблема ця виявилася набагато глобальнішою, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості «готових» ступенів таких «вихідних» чисел немає. Судіть самі:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \ & ((b) ^ (3)) = 64 Rightarrow b = 4 cdot 4 cdot 4 Rightarrow b = 4. \\ \end(align)\]

А що якщо $((b)^(3))=50$? Виходить, що треба знайти якесь число, яке тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше за 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто. це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно одно - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і вигадали коріння $n$-го ступеня. Саме для цього ввели піктограму радикала $\sqrt(*)$. Щоб позначити те саме число $b$, яке в даній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Не сперечаюся: найчастіше це коріння легко вважається — ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки в більшості випадків, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, на вас чекає жорстокий облом.

Та що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $\sqrt(2)$ не можна уявити у звичному нам вигляді - як ціле число або дрібничка. А якщо ви вб'єте це число в калькулятор, то побачите це:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. Наприклад:

\[\sqrt(2)=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Або ось ще приклад:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Але ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з приблизними значеннями теж треба вміти, інакше можна впіймати купу неочевидних помилок (до речі, навичка порівняння та округлення в обов'язковому порядку перевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозній математиці без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками множини всіх дійсних чисел $\mathbb(R)$, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь як дробу виду $\frac(p)(q)$ означає, що це корінь перестав бути раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж тощо). Але про це — іншого разу.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж таки залишаться у відповіді.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\end(align)\]

Звичайно, на вигляд кореня практично неможливо здогадатися про те, які числа будуть йти після коми. Втім, можна порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $\sqrt(5)$ та $\sqrt(-2)$.

Саме для цього їх і вигадали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач уже напевно помітив, що все квадратне коріння, наведене в прикладах, витягується з позитивних чисел. Ну, у крайньому разі, з нуля. А ось кубічні корені незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа - хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Погляньте на графік функції $y=((x)^(2))$:

Графік квадратичної функції дає два корені: позитивний та негативний

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $\sqrt(4)$. Для цього на графіку проведено горизонтальну лінію $y=4$ (позначено червоним кольором), яка перетинається з параболою у двох точках:$((x)_(1))=2$ і $((x)_(2)) =-2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло - воно позитивне, тому воно є корінь:

Але що робити тоді з другою точкою? Типу у четвірки одразу два корені? Адже якщо звести до квадрата число −2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати$\sqrt(4)=-2$? І чому вчителі дивляться на такі записи так, ніби хочуть вас зжерти?:)

У тому й біда, що якщо не накладати жодних додаткових умов, то квадратного коріння у четвірки буде два — позитивне і негативне. І у будь-якого позитивного числа їх також буде два. А ось у негативних чисел коріння взагалі не буде — це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче за осю y, тобто. не набуває негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коріння з парним показником $n$ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь із парним $n$ взагалі не вилучається.

Саме тому у визначенні кореня парного ступеня $n$ спеціально обговорюється, що відповідь має бути негативним числом. Так ми позбавляємося неоднозначності.

Зате для непарних $n$ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, погляньмо на графік функції $y=((x)^(3))$:

Кубічна парабола набуває будь-яких значень, тому кубічний корінь витягується з будь-якого числа.

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на якій би висоті ми не проводили горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна витягти завжди, з будь-якого числа;
2. Крім того, таке перетин завжди буде єдиним, тому не потрібно думати, яке число вважати «правильним» коренем, а на яке забити. Саме тому визначення коренів для непарного ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Жаль, що ці прості речі не пояснюють у більшості підручників. Замість цього нам починають парити мозок будь-якими арифметичними корінням та їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього всі роздуми про коріння $n$-й кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти те визначення, яке дав вище. Інакше через велику кількість термінів у голові почнеться така каша, що в результаті взагалі нічого не зрозумієте.

А всього-то і потрібно зрозуміти різницю між парними та непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парної міри існує лише з неотрицательного числа і сам є неотрицательным числом. Для негативних чисел такий корінь невизначений.
2. А ось корінь непарного ступеня існує з будь-якого числа і може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних - як натякає кеп, негативний.

Хіба це важко? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємось із обчисленнями.

Основні властивості та обмеження

Коріння має багато дивних властивостей і обмежень — про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка відноситься лише до коріння з парним показником. Запишемо цю властивість у вигляді формули:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x \right|\]

Іншими словами, якщо звести число на парний ступінь, а потім з цього витягти корінь того ж ступеня, ми отримаємо не вихідне число, яке модуль . Це проста теорема, яка легко доводиться (досить окремо розглянути невід'ємні $x$, потім окремо — негативні). Про неї постійно товкмачать вчителі, її дають у кожному шкільному підручнику. Але як тільки справа доходить до вирішення ірраціональних рівнянь (тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися у питанні, давайте на хвилину забудемо всі формули та спробуємо порахувати два числа напролом:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Це дуже звичайні приклади. Перший приклад вирішить більшість людей, а ось на другому багато хто залипає. Щоб без проблем вирішити будь-яку хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться у четвертий ступінь. Ну, це нескладно. Вийде нове число, яке навіть у таблиці множення можна знайти;
2. І ось вже з цієї нової кількості необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто. ніякого «скорочення» коріння та ступенів не відбувається — це послідовні дії.

Розберемося з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Потім витягаємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те саме з другим виразом. Спочатку зводимо число −3 у четверту міру, навіщо потрібно помножити його саме він 4 разу:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Отримали позитивне число, оскільки загальна кількість мінусів у творі — 4 штуки, і всі вони взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову вилучаємо корінь:

У принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжу зрозуміло, що відповідь вийде одна і та сама. Тобто. парний корінь з тієї ж парної міри «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парного ступеня: результат завжди негативний, та й під знаком радикала теж завжди стоїть негативне число. Інакше корінь не визначено.

Зауваження щодо порядку дій

1. Запис $\sqrt(((a)^(2)))$ означає, що ми спочатку зводимо число $a$ у квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $((a)^(2))\ge 0$ у будь-якому разі;
2. А ось запис $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, навпаки, означає, що ми спочатку витягуємо корінь з деякого числа $a$ і лише потім зводимо результат у квадрат. Тому число $a$ в жодному разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладена у визначення.

Таким чином, у жодному разі не можна бездумно скорочувати коріння та ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідне вираження. Тому що якщо під корінням стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, усі ці проблеми є актуальними лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, коріння з непарними показниками теж має свою фішку, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знаку коріння непарного ступеня. Це дуже корисна властивість, яка дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \ sqrt (32) = \ \ & = 3 \ cdot 2 = 6. \end(align)\]

Ця проста властивість значно спрощує багато обчислень. Тепер не треба переживати: раптом під коренем затесалося негативне вираження, а ступінь у кореня виявився парним? Достатньо лише «викинути» всі мінуси за межі коріння, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілих речей, які у випадку з «класичним» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення — те саме, з якого здебільшого шкіл і починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

Арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилину, що під знаком кореня можуть бути лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні/непарні показники, заб'ємо на всі визначення, наведені вище - працюватимемо тільки з негативними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь — він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж таки відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $n$-й ступеня з неотрицательного числа $a$ називається таке неотрицательное число $b$, що $((b)^(n))=a$.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість її з'явилося нове обмеження: підкорене вираз тепер завжди неотрицательно, та й сам корінь теж негативний.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної та кубічної параболи:

Область пошуку арифметичного кореня – невід'ємні числа

Як бачите, відтепер нас цікавлять ті шматки графіків, які розташовані в першій координатній чверті — там, де координати $x$ і $y$ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: чи маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше, у принципі, не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: "Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?" Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через яку нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило зведення в ступінь:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Зверніть увагу: ми можемо звести підкорене вираз у будь-який ступінь і одночасно помножити на цей же ступінь показник кореня — і в результаті вийде те саме число! Ось приклади:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\\end(align)\]

І що в цьому такого? Чому ми не могли це зробити раніше? А ось чому. Розглянемо простий вираз: $\sqrt(-2)$ — це цілком нормальне у нашому класичному розумінні, але абсолютно неприпустимо з погляду арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Як бачите, у першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, тому що показник непарний), а в другому – скористалися зазначеною вище формулою. Тобто. з погляду математики все зроблено за правилами.

WTF? Як і те саме число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, який чудово працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну брехню у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися подібної неоднозначності, і вигадали арифметичні корені. Їм присвячений окремий великий урок, де докладно розглядаємо всі їхні властивості. Отже зараз не будемо на них зупинятися — урок і так вийшов занадто затягнутим.

Алгебраїчне коріння: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему до окремого параграфу чи ні. Зрештою вирішив залишити тут. Цей матеріал призначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще – вже не на середньому «шкільному» рівні, а на наближеному до олімпіадного.

Так от: крім «класичного» визначення кореня $n$-го ступеня з числа і пов'язаного з ним поділу на парні та непарні показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності та інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $n$-й ступеня з-поміж будь-якого $a$ — це безліч всіх чисел $b$ таких, що $((b)^(n))=a$. Для такого коріння немає усталеного позначення, тому просто поставимо рисочку зверху:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що корінь алгебри — це не конкретне число, а безліч. А оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожнє безліч. Виникає у разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парного ступеня негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Усі коріння непарних ступенів, а також корені парних ступенів з нуля потрапляють у цю категорію;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $((x)_(1))$ і $((x)_(2))=-((x)_(1))$, яке ми бачили на графіку квадратичні функції. Відповідно, такий розклад можливий лише за вилучення кореня парного ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує на докладніший розгляд. Порахуємо кілька прикладів, щоб зрозуміти різницю.

приклад. Обчисліть вирази:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Рішення. З першим виразом все просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Саме два числа входять до складу множини. Тому що кожне з них у квадраті дає четвірку.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тут бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня непарний.

Нарешті, останній вираз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Отримали пусте безліч. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четвертий (тобто парний!) ступінь дасть нам негативне число −16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково скрізь зазначав, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа - там цілком можна порахувати і $ \ sqrt (-16) $, і багато інших дивних речей.

Однак у сучасному шкільному курсі математики комплексні числа майже зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему «надто складною для розуміння».

На цьому все. У наступному уроці ми розглянемо всі ключові властивості коренів і навчимося, нарешті, спрощувати ірраціональні вирази.

Глава перша.

Піднесення у квадрат одночленних алгебраїчних виразів.

152. Визначення ступеня.Нагадаємо, що добуток двох однакових чисел аа називається другим ступенем (або квадратом) числа а , добуток трьох однакових чисел ааа називається третім ступенем (або кубом) числа а ; взагалі твір n однакових чисел аа... а називається n -ю ступенем числа а . Дія, за допомогою якого знаходиться ступінь даного числа, називається піднесенням до ступеня (другий, третій і т. д.). Помноження, що повторюється, називається підставою ступеня, а число однакових співмножників називається показником ступеня.

Скорочено ступеня позначаються так: а 2, а 3, а 4 ... і т.д.

Ми спочатку говоритимемо про найпростіший випадок піднесення у ступінь, саме про піднесенні у квадрат; а після розглянемо піднесення та інші ступеня.

153. Правило знаків під час піднесення у квадрат.З правила множення відносних чисел випливає, що:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 = (-a) (-a) = +a 2

Отже, квадрат будь-якого відносного числа є позитивним.

154. Піднесення у квадрат твору, ступеня та дробу.

а)Нехай потрібно підняти у квадрат добуток кількох співмножників, напр. аbс . Це означає, що потрібно аbс помножити на аbс . Але щоб помножити на твір аbс , можна помножити множене на а , результат помножити на b і що вдасться помножити ще на з .

(аbс) 2 = (аbс) (аbс) = (аbс) аbс = аbсаbс

(Ми відкинули останні дужки, тому що від цього сенс виразу не змінюється). Тепер, користуючись комбінаційною властивістю множення (отдел1 § 34, б), згрупуємо співмножники так:

(аа) (bb) (сс),

що можна скорочено написати: а 2 b 2 з 2 .

Значить, щоб підняти твір у квадрат, можна підняти в квадрат кожен співмножник окремо
(Для скорочення мови правило це, як і наступне, виражено не повно; треба було б ще додати: „і отримані результати перемножити". Додавання от само собою мається на увазі..)

Таким чином:

(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y 2; (- 0,5 mn) 2 = + 0,25 m 2 n 2; і т.п.

б)Нехай потрібен якийсь ступінь, напр. a 3 , підняти в квадрат. Це можна виконати так:

(а 3) 2 = а 3 а 3 = а 3+3 = а 6 .

Подібно до цього: (х 4) 2 = х 4 х 4 = х 4+4 = х 8

Значить, щоб підняти ступінь у квадрат, можна показник ступеня помножити на 2 .

Таким чином, застосовуючи ці два правила, будемо, напр., мати:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (у 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

в)Нехай потрібно підняти в квадрат якийсь дріб a / b . Тоді, застосовуючи правило множення дробу на дріб, отримаємо:

Значить, щоб підняти в квадрат дріб, можна підняти в квадрат окремо чисельник і знаменник.

приклад.

Розділ другий.

Піднесення у квадрат багаточлена.

155. Висновок формули.Користуючись формулою (отдел2 глава3 § 61):

(а + b) 2 = a 2 + 2аb + b 2 ,

ми можемо підняти в квадрат тричлен a + b + с , розглядаючи його як двочлен (а + b) + с :

(а + b + c) 2 = [(а + b) + c] 2 = (а + b) 2 + 2(а + b)c + c 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2

Таким чином, з додаванням до двочлена а + b третього члена з після підвищення в квадрат додалися 2 члени: 1) подвоєний добуток суми перших двох членів на третій член і 2) квадрат третього члена. Докладемо тепер до тричлена а + b + с ще четвертий член d і піднімемо чотири члени а + b + с + d у квадрат, беручи суму а + b + с за член.

(а + b + c + d) 2 = [(а + b + c) + d] 2 = (а + b + c) 2 + 2 (а + b + c) d + d 2

Підставивши замість (а + b + c) 2 той вираз, який ми отримали вище, знайдемо:

(а + b + c + d) 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Ми знову помічаємо, що з додаванням нового члена до піднесеного многочлену в квадраті його додаються 2 члени: 1) подвоєний добуток суми колишніх членів нового член і 2) квадрат нового члена. Очевидно, що такий додаток двох членів йтиме й надалі в міру додавання нових членів до багаточлена, що підноситься. Значить:

Квадрат багаточлена дорівнює: квадрату 1-го члена плюс подвоєний твір 1-го члена на 2-й плюс квадрат 2-го члена плюс подвоєний добуток суми перших двох членів на 3-й плюс квадрат 3-го члена плюс подвоєний добуток суми перших трьох членів на 4-й плюс квадрат 4-го члена і т.д. Звичайно, члени багаточлена можуть бути негативними.

156. Зауваження знаків.В остаточному підсумку зі знаком плюс виявляться, по-перше, квадрати всіх членів багаточлена і, по-друге, ті подвоєні твори, що походять від множення членів з однаковими знаками.

приклад.

157. Скорочене піднесення у квадрат цілих чисел. Користуючись формулою квадрата многочлена, можна піднімати у квадрат будь-яке ціле число інакше, ніж звичайним множенням. Нехай, наприклад, потрібно підняти в квадрат 86 . Розкладемо це число на розряди:

86 = 80 + 6 = 8 дес. + 6 од.

Тепер за формулою квадрата суми двох чисел можемо написати:

(8 дес. + 6 од.) 2 = (8 дес.) 2 + 2 (8 дес.) (6 од.) + (6 од.) 2 .

Щоб швидше обчислити цю суму, візьмемо до уваги, що квадрат десятків становить сотні (але можуть бути тисячі); напр. 8 дес. у квадраті утворюють 64 сотні, так як 80 2 = б400; твір десятків на одиниці становить десятки (але може бути сотні), напр. 3 дес. 5 од. = 15 дес, оскільки 30 5 = 150; і квадрат одиниць становить одиниці (але можуть і десятки), напр. 9 од. у квадраті = 81 од. Тому обчислення всього зручніше розташувати так:

тобто ми пишемо спочатку квадрат першої цифри (сотні); під цим числом пишемо подвоєний твір першої цифри на другу (десятки), спостерігаючи при цьому, щоб остання цифра цього твору стояла на одне місце правіше останньої цифри верхнього числа; далі, знову відступивши останньою цифрою одне місце вправо, ставимо квадрат другої цифри (одиниці); і всі написані числа складаємо одну суму. Звичайно, можна було б доповнити ці числа належною кількістю нулів, тобто написати так:

але це марно, якщо будемо правильно підписувати числа один під одним, відступаючи щоразу (останньою цифрою) одне місце вправо.

Нехай ще потрібно підняти в квадрат 238 . Так як:

238 = 2 сотів. + 3 дес. + 8 од., то

Але сотні у квадраті дають десятки тисяч (напр., 5 сот. у квадраті буде 25 дес. тисяч, тому що 500 2 = 250 000), добуток сотень на десятки дає тисячі (напр. 500 30 = 15 000) тощо. .

приклади.

Розділ третій.

у = х 2 і у = ах 2 .

158. Графік функції у = х 2 . Простежимо, як із зміні піднесеного числа х змінюється квадрат його х 2 (напр., як із зміні боку квадрата змінюється його площа). Для цього попередньо звернемо увагу на такі особливості функції у = х 2 .

а)За всякого значення х функція завжди можлива і отримує лише одне певне значення. Напр, при х = - 10 функція буде (-10) 2 = 100 , при
х =1000 функція буде 1000 2 =1 000 000 , і т.п.

б)Так як (- х ) 2 = х 2 , то при двох значеннях х , що відрізняються лише знаками, виходять два однакові позитивні значення у ; напр, при х = - 2 і при х = + 2 значення у буде одне й те саме, саме 4 . Негативних значень для уніколи не виходить.

в)Якщо абсолютна величина х необмежено збільшується, то й у необмежено збільшується. Так, якщо для х будемо давати ряд необмежено зростаючих позитивних значень: 1, 2, 3, 4... або ряд необмежено спадних негативних значень: -1, -2, -3, -4..., то для у отримаємо ряд необмежено зростаючих значень: 1, 4, 9, 16, 25... Ці коротко виражають, кажучи, що при x = + ∞ і при x = - ∞ функція у робиться + ∞ .

г) х у . Так, якщо значення х = 2 , дамо приріст, покладемо, 0,1 (тобто замість х = 2 візьмемо х = 2,1 ), то у замість 2 2 = 4 стане рівним

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Значить, у збільшиться на 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Якщо тому ж значенню х дамо ще менше прирощення, покладемо, 0,01 , то у стане рівним

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Значить, тоді у збільшиться на 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , тобто збільшиться менше, ніж раніше. Взагалі, чим на менший дріб ми збільшимо х , тим на меншу кількість збільшиться у . Таким чином, якщо уявімо, що х збільшується (покладемо від значення 2) безперервно , переходячи через усі значення, великі 2, то у буде збільшуватися теж безперервно, переходячи через всі значення, великі 4.

Помітивши всі ці властивості, складемо таблицю значень функції у = х 2 , напр., таку:

Зобразимо тепер ці значення на кресленні як точок, абсциси яких будуть виписані значення х , а ординати відповідні значення у (На кресленні за одиницю довжини ми прийняли сантиметр); отримані точки обведемо кривою. Крива ця називається параболою.

Розглянемо деякі її властивості.

а)Парабола є крива безперервна, тому що при неперервній зміні абсциси х (як у позитивному напрямку, так і в негативному) ордината, як ми бачили зараз, змінюється також безперервно.

б)Вся крива розташована з одного боку від осі x -ів, саме з того боку, з якого лежать позитивні значення ординат.

в)Парабола підрозділяється віссю у -ів на дві частини (гілки). Крапка Про , В якій ці гілки сходяться, називається вершиною параболи. Ця точка є єдина загальна у параболи та осі x -ів; отже, у цій точці парабола стосується осі x -ів.

г)Обидві гілки нескінченні, оскільки х і у можуть збільшуватися безмежно. Гілки піднімаються від осі x -ов необмежено вгору, віддаляючись водночас необмежено від осі y -ів праворуч і ліворуч.

д)Ось y -ов служить для параболи віссю симетрії, отже, перегнувши креслення цієї осі те щоб ліва половина креслення впала праву, побачимо, що обидві гілки сумісні; напр, точка з абсцисою - 2 і з ординатою 4 сумісcя з точкою, що має абоцису +2 і ту ж ординату 4.

е)При х = 0 ордината теж дорівнює 0. Значить, при х = 0 функція має найменше значення із усіх можливих. Найбільшого значення функція немає, оскільки ординати кривої збільшуються безмежно.

159. Графік функції видуу = ах 2 . Припустимо спочатку, що а є число позитивне. Візьмемо, напр., такі дві функції:

1) y = 1 1 / 2 x 2 ; 2) y = 1 / 3 x 2

Складемо таблиці значень цих функцій, напр., такі:

Нанесемо всі ці значення на креслення та проведемо криві. Для порівняння ми помістили на тому самому кресленні (переривчастою лінією) ще графік функції:

3) y =x 2

З креслення видно, що з однієї й тієї ж абсцисі ордината 1-ї кривої в 1 1 / 2 , рази більше, а ордината 2-ї кривої в 3 рази менше, ніж ордината 3-ї кривої. Внаслідок цього всі такі криві мають загальний характер: нескінченні безперервні гілки, вісь симетрії та ін. а > 1 гілки кривої більш піднесені вгору, а при a< 1 вони більш відігнуті донизу, ніж у кривої y=x 2 . Всі такі криві називаються параболамі.

Припустимо тепер, що коефіцієнт а буде число негативне. Нехай, наприклад, y = - 1 / 3 x 2 . Порівнюючи цю функцію з такою: y = + 1 / 3 x 2 зауважуємо, що з одному й тому самому значенні х обидві функції мають ту саму абсолютну величину, але протилежні за знаком. Тому на кресленні для функції y = - 1 / 3 x 2 вийде така ж парабола, як і для функції y = 1 / 3 x 2 тільки розташована під віссю х -ів симетрично з параболою y = 1 / 3 x 2 . У цьому випадку всі значення функції негативні, крім одного, що дорівнює нулю при х = 0 ; це останнє значення є найбільшим із усіх.

Зауваження. Якщо залежність між двома змінними величинами у і х виражається рівністю: у = ах 2 , де а якесь постійне число, то можна сказати, що величина у пропорційна квадрату величини х , оскільки зі збільшенням чи зменшенням х у 2 рази, у 3 рази і т. д. величина у збільшується або зменшується в 4 рази, у 9 разів, у 16 ​​разів і т. д. Напр, площа кола дорівнює π R 2 , де Rє радіус кола та π постійне число (приблизно 3,14); тому можна сказати, що площа кола пропорційна квадрату його радіусу.

Розділ четвертий.

Підвищення в куб та інші ступені одночленних алгебраїчних виразів.

160. Правило знаків при піднесенні до ступеня.З правила множення відносних чисел випливає, що

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(-1) 5 = (-1) (-1) (-l) (-1) (-1) = -l;

(-1) 6 = (-1) (-1) (-l) (-1) (-1) (-1) = +l;і т.п.

Значить, від підвищення негативного числа в ступінь з парним показником виходить позитивне число, а від підвищення його в ступінь з непарним показником виходить негативне число.

161. Піднесення до ступеня твору, ступеня та дробу.При піднесенні добутку ступеня і дробу на якусь міру ми можемо чинити так само, як і при піднесенні в квадрат (). Так:

(аbс) 3 = (аbс)(аbс)(аbс) = аbс аbс аbс = (ааа)(bbb)(ссс) = a 3 b 3 з 3;

Розділ п'ятий.

Графічне зображення функцій: у = х 3 і у = ах 3 .

162. Графік функції у = х 3 . Розглянемо, як із зміні піднесеного числа змінюється куб його (напр., як із зміні ребра куба змінюється його обсяг). Для цього попередньо вкажемо такі особливості функції у = х 3 (нагадують властивості функції у = х 2 , Розглянуті нами раніше, ):

а)За всякого значення х функція у = х 3 можлива та має єдине значення; так, (+ 5) 3 = +125 і жодному іншому числу куб числа + 5 дорівнювати не може. Подібно до цього (- 0,1) 3 = - 0,001 і жодному іншому числу куб числа -0,1 дорівнювати не може.

б)При двох значеннях х , що відрізняються лише знаками, функція х 3 отримує значення, що також відрізняються один від одного лише знаками; так, при х = 2 функція х 3 дорівнює 8, а при х = - 2 вона дорівнює - 8 .

в)При зростанні х функція х 3 зростає і швидше, ніж х , і навіть швидше, ніж х 2 ; так при

х = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. х 3 буде = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

г)Дуже малому приросту змінного числа х відповідає і дуже мале збільшення функції х 3 . Так, якщо значення х = 2 збільшимо на дріб 0,01 , тобто якщо замість х = 2 візьмемо x = 2,01 , то функція у буде не 2 3 (тобто не 8 ), а 2,01 3 , що складе 8,120601 . Значить, ця функція збільшиться тоді на 0,120601 . Якщо значення х = 2 збільшимо ще менше, наприклад, на 0,001 , то х 3 стане рівним 2,001 3 , що складе 8,012006001 , і, отже, у збільшиться тільки на 0,012006001 . Ми бачимо таким чином, що якщо збільшення змінного числа х буде все менше і менше, то й приріст х 3 буде все менше та менше.

Помітивши цю властивість функції у = х 3 , накреслимо її графік. Для цього попередньо складемо таблицю значень цієї функції, наприклад, таку:

163. Графік функції у = aх 3 . Візьмемо такі дві функції:

1) у = 1 / 2 х 3 ; 2) у = 2 х 3

Якщо порівняти ці функції з більш простою: у = х 3 , то зауважимо, що з одному й тому самому значенні х перша функція отримує значення вдвічі менші, а друга вдвічі більша, ніж функція у = aх 3 , у всьому іншому ці три функції подібні між собою. Графіки їх зображені для порівняння на тому самому кресленні. Криві ці називаються параболами 3-го ступеня.

Розділ шостий.

Основні властивості вилучення кореня.

164. Завдання.

а)Знайти сторону квадрата, якого площа дорівнювала б площі прямокутника з основою 16 см та з висотою 4 см.

Позначивши сторону квадрата, що шукається, буквою х (см), отримаємо таке рівняння:

х 2 =16 4, тобто. х 2 = 64.

Ми бачимо таким чином, що х є таке число, яке, будучи піднесено в другий ступінь, дає в результаті 64. Таке число називається коренем другого ступеня з 64. Воно одно + 8 або - 8, тому що (+ 8) 2 = 64 і (- 8) 2 = 64. Негативне число - 8 для нашого завдання не годиться, оскільки сторона квадрата повинна виразитися звичайним арифметичним числом.

б)Свинцевий шматок, що важить 1 кг 375 г (1375 г), має форму куба. Яке велике ребро цього куба, якщо відомо, що 1 куб. см свинцю важить 11 г?

Нехай довжина ребра куба буде х див. Тоді його обсяг дорівнюватиме х 3 куб. см, а вага його виявиться 11 х 3 р.

11х 3= 1375; х 3 = 1375: 11 = 125.

Ми бачимо таким чином, що х є така кількість, яка, будучи піднесена в третій ступінь, становить 125 . Таке число називається корінням третього ступеняз 125. Воно, як неважко здогадатися, дорівнює 5, тому що 5 3 = 5 5 5 = 125. Отже, ребро куба, про яке йдеться в задачі, має довжину 5 см.

165. Визначення кореня.Корінням другого ступеня (або квадратним) з числа а називається таке число, якого квадрат дорівнює а . Так, квадратний корінь із 49 є 7, а також і - 7, тому що 7 2 = 49 і (- 7) 2 = 49. Корінням третього ступеня (кубичним) з числа а називається таке число, якого куб дорівнює а . Так, кубічний корінь з -125 є - 5, тому що (-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125.

Взагалі корінням n-ой ступеня з числа аназивається таке число, якого n-а ступінь дорівнює а.

Число n , Що означає, якою мірою знаходиться корінь, називається показником кореня.

Корінь позначається знаком (знак радикала, тобто знак кореня). Латинське слово radixозначає коріння. Знак√ вперше запроваджено у XV столітті.. Під горизонтальною межею його пишуть те число, з якого корінь знаходиться (підкорене число), а над отвором кута ставлять показник кореня. Так:

корінь кубічний з 27 позначається... 3 √27 ;

корінь четвертого ступеня із 32 позначається... 3 √32 .

Показник квадратного кореня прийнято писати зовсім, напр.

замість 2√16 пишуть √16.

Дія, за допомогою якого знаходиться корінь, називається вилученням кореня; воно назад піднесенню в ступінь, тому що за допомогою цієї дії знаходиться те, що дано при піднесенні в ступінь, саме підстава стіни, а дано те, що при піднесенні в ступінь відшукується, саме ступінь. Тому правильність вилучення кореня ми можемо завжди вірити піднесенням до ступеня. наприклад, щоб перевірити

рівність: 3 √125 = 5, достатньо 5 підняти в куб: отримавши підкорене число 125, ми укладаємо, що корінь кубічний з 125 вилучено правильно.

166. Арифметичний корінь.Корінь називається арифметичним, якщо він витягується з позитивного числа і сам є позитивним числом. Арифметичний квадратний корінь з 49 є 7, тоді як число - 7, яке теж є квадратний корінь з 49, не можна назвати арифметичним.

Вкажемо наступні дві властивості арифметичного кореня.

а) Нехай потрібно знайти арифметичний √49. Такий корінь буде 7, тому що 7 2 = 49. Задамося питанням, чи не можна підшукати якесь інше позитивне число х , яке також було б √49 . Припустимо, що така кількість існує. Тоді воно має бути або менше 7, або більше 7. Якщо припустимо, що x < 7, то тогда и х 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, тоді і х 2 >49. Значить, жодне позитивне число, ні менше 7, ні більше 7, не може дорівнювати √49. Таким чином, арифметичний корінь даного ступеня з даного числа може бути лише один.

До іншого висновку ми дійшли б, якби говорили не про позитивне значення кореня, а про якесь; так, √49 дорівнює і числу 7, і числу - 7, так як і 72 = 49 і (-7) 2 = 49.

б)Візьмемо якісь два нерівні позитивні числа, напр. 49 та 56. З того, що 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Дійсно: 3 √64 = 4 та 3 √125 = 5 та 4< 5. Вообще меншому позитивному числу відповідає і менший арифметичний корінь (того ж ступеня).

167. Алгебраїчний корінь.Корінь називається алгебраїчним, якщо не потрібно, щоб він витягувався з позитивного числа і щоб був позитивний. Таким чином, якщо під виразом n √a зрозуміло алгебраїчний корінь n -й ступеня, то це означає, що число а може бути і позитивне і негативне, і корінь може бути і позитивним і негативним.

Вкажемо такі 4 властивості алгебраїчного кореня.

а) Корінь непарному степеці з позитивного числа є позитивним числом .

Так, 3 √8 може бути числом позитивним (він дорівнює 2), оскільки негативне число, піднесене у ступінь з непарним показником, дає негативне число.

б) Корінь непарного ступеня з отрицательной числа є отрицательное число.

Так, 3 √-8 повинен бути негативним числом (він дорівнює -2), так як позитивне число, піднесене в будь-який ступінь, дає позитивне число, а не негативне.

в) Корінь парного ступеня із позитивного числа має два значення з протилежними знаками та з однаковою абсолютною величиною.

Так, √ +4 = + 2 та √ +4 = - 2 , тому що (+ 2 ) 2 = + 4 і (- 2 ) 2 = + 4 ; так само 4 √+81 = + 3 і 4 √+81 = - 3 , тому що обидва ступені (+3) 4 і (-3) 4 рівні тому самому числу. Подвійне значення кореня позначається зазвичай постановкою двох знаків перед абсолютною величиною кореня; так пишуть:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

г) Корінь парного ступеня з негативного числа не може дорівнювати жодному ні позитивному, ні негативному числу , Оскільки і те й інше після підвищення в ступінь з парним показником дає позитивне число, а не негативне. Напр., √ -9 не дорівнює ні +3, ні -3 і жодного іншого числа.

Корінь парного ступеня із негативного числа прийнято називати уявним числом; відносні ж числа називаються речовими дійсними, числами.

168. Вилучення кореня з твору, зі ступеня та дробу.

а)Нехай треба витягти квадратний корінь із твору аbс . Якби вимагалося твір підняти в квадрат, то, як ми бачили (), можна підняти в квадрат кожен співмножник окремо. Оскільки вилучення кореня є дію, зворотне піднесенню до ступеня, треба очікувати, що й для вилучення кореня з твору можна витягти його з кожного співмножника окремо, тобто що

√abc = √a √b √c .

Щоб переконатися у вірності цієї рівності, піднімемо праву частину його в квадрат (за теоремою: щоб підняти у ступінь твір...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

Але, згідно з визначенням кореня,

(√a ) 2 = a, (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Отже

(√a √b √c ) 2 = аbс .

Якщо ж квадрат твору √ a √b √c дорівнює аbс , то це означає, що добуток це дорівнює квадратному кореню з abc .

Подібно до цього:

3 √abc = 3 √a 3 √b 3 √c,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = abc

Значить, щоб витягти корінь із твору, достатньо витягти його з кожного помножувача окремо.

б)Легко переконатися перевіркою, що такі рівності вірні:

√a 4 = а 2 , тому що (a 2 ) 2 = а 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; і т.п.

Значить, щоб витягти корінь зі ступеня, показник якого поділяється на показник кореня, можна розділити показник ступеня на показник кореня.

в)Вірними будуть також і такі рівності:

Значить, щоб витягти корінь з дробу, можна ізолювати з числа і знаменника готельно.

Зауважимо, що у цих істинах передбачається, що йдеться про коріння арифметичних.

Приклади.

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3а 2 b 3 ;

2) 3 √125 a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5а 2 x 3

Зауваження Якщо корінь парного ступеня і передбачається алгебраїчний, то перед знайденим результатом треба поставити подвійний знак ± Так,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Найпростіші перетворення радикалів,

а) Винесення множників за знак радикалу.Якщо підкорене вираз розкладається на такі множники, що з деяких з них можна витягти корінь, то такі множники, після вилучення з них кореня, можуть бути написані перед знаком радикала (можуть бути винесені за знак радикала).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = а √a .

2) √24 a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

б) Підведення множників під знак радикалу.Іноді буває корисно, навпаки, підвести під знак радикала множники, що стоять перед ним; для цього достатньо підняти такі множники в міру, показник якої дорівнює показнику радикала, а потім написати множниками під знаком радикала.

приклади.

1) а 2 √a = √(а 2 ) 2 a = √а 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

в) Звільнення підкореного висловлювання від знаменників.Покажемо це на таких прикладах:

1) Перетворимо дріб так, щоб із знаменника можна було витягти квадратний корінь. Для цього помножимо обидва члени дробу на 5:

2) Помножимо обидва члени дробу на 2 , на а і на х , тобто на 2ах :

Зауваження. Якщо потрібно витягти корінь з суми алгебри, то було б помилково витягти його з кожного доданку окремо. Напр.√ 9 + 16 = √25 = 5 , тоді як
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; значить, дію вилучення кореня по відношенню до додавання (і віднімання) не має розподільної властивості(як і підвищення в ступінь, відділ 2 глава 3 § 61, зауваження).

Приклади:

\(\sqrt(16)=2\), тому що \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) ,оскільки \((-\frac(1)(5) )^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Як обчислити корінь n-ого ступеня?

Щоб обчислити корінь \(n\)-ого ​​ступеня, треба поставити собі питання: яке число в \(n\)-ого ​​ступеня дасть під коренем?

Наприклад. Обчисліть корінь \(n\)-ого ​​ступеня: а)\(\sqrt(16)\); б) \(\sqrt(-64)\); в) \(\sqrt(0,00001)\); г) (sqrt (8000)); д) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

а) Яке число в \(4\)-ого ​​ступеня, дасть \(16\)? Очевидно, (2). Тому:

б) Яке число в \(3\)-го ступеня, дасть \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

в) Яке число в \(5\)-ого ​​ступеня, дасть \(0,00001\)?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

г) Яке число в (3)-й мірі, дасть (8000)?

\(\sqrt(8000)=20\)

д) Яке число в \(4\)-ого ​​ступеня, дасть \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Ми розглянули найпростіші приклади з коренем \(n\)-ого ​​ступеня. Для вирішення складніших завдань з корінням \(n\)-ого ​​ступеня - життєво необхідно знати їх.

приклад. Обчисліть:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		На даний момент жоден із коренів не можна обчислити. Тому застосуємо властивості кореня \(n\)-ого ​​ступеня і перетворимо вираз. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) т.к. \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Переставимо множники в першому доданку так, щоб квадратний корінь і корінь \(n\)-ого ​​ступеня стояли поруч. Так буде легше застосовувати властивості т.к. більшість властивостей коренів \(n\)-ого ​​ступеня працюють тільки з корінням однакового ступеня. І обчислимо корінь 5-го ступеня.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		Застосуємо властивість \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) і розкриємо дужку
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		Обчисли \(\sqrt(81)\) та \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)

Корінь n-ого ступеня та квадратний корінь пов'язані?

У будь-якому випадку, будь-який корінь будь-якого ступеня - це просто число, нехай і записане у незвичному для вас вигляді.

Особливість кореня n-ого ступеня

Корінь \(n\)-ого ​​ступеня з непарними \(n\) може вилучатися з будь-якого числа, навіть негативного (див. приклади на початку). Але якщо \(n\) - парне (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), то такий корінь витягується тільки якщо \( a ≥ 0\) (до речі, у квадратного кореня так само). Це з тим, що вилучення кореня – дію, зворотне зведенню на ступінь.

А зведення на парний ступінь робить навіть негативне число позитивним. Дійсно, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Тому ми можемо отримати під корінням парного ступеня негативного числа. А значить, і витягти такий корінь із негативного числа – не можемо.

Непарна ж ступінь таких обмежень не має - негативне число, зведене в непарний ступінь залишиться негативним: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \ cdot (-2) = -32 \). Тому під коренем непарної міри можна отримати негативне число. А значить і витягти його з негативного числа – також можна.