Тази статия съдържа и структурирана информацията, необходима за решаването на почти всякакъв пример по темата за числените редици, от намирането на сумата от число, преди да се изследва за сближаване.

Преглед на статията.

Нека започнем с определенията на подравняването, редуващи се серии и концепцията за сближаване. След това обмислете стандартните редици, като например хармонизирана серия, генерализирана хармонична серия, припомнете формулата за намиране на безкрайно намаляването геометрична прогресия. След това преминем към свойствата на конвергиращата серия, ще се съсредоточим върху необходимото условие за сближаването на серия и глас достатъчно признаци на сближаването на серия. Теорията ще бъде разредена с решението на характеристичните примери с подробни обяснения.

Навигация.

Основни определения и концепции.

Нека имаме цифрова последователност, където .

Нека дадем примерна цифрова последователност: .

Числен ред - това е сумата на членовете на числената последователност на формуляра .

Като пример за цифрова серия, сумата от безкрайно намалява геометричната прогресия с знаменателя Q \u003d -0.5: .

Обади се общ член на цифровите серии или K-ти член на число.

За предишния пример, общият член на числената серия има формата.

Частично количество числен ред - Това е сумата от вида, където п е определено естествено число. Те също така се отнасят до N-OH частичната сума на цифровите серии.

Например, четвъртото частично количество от реда има .

Частични суми Образуване на безкрайна последователност от частични суми на цифровите серии.

За нашата серия N е частично количество се намира в зависимост от формулата на първия N член на геометричната прогресия Това означава, че ще имаме следната последователност от частични суми: .

Се нарича цифров ред конвергентАко има крайна граница на последователността на частични суми. Ако границата на последователността на частичните суми на числената серия не съществува или не е безкрайна, тогава диапазонът се нарича изтеглен.

Сумата на съответната цифрова серия наречена граница на последователността на частичните си суми, т.е. .

Следователно в нашия пример, номер Той се слива и сумата му е на шестнадесет и трета: .

Като пример, различната серия може да бъде дадена на количеството геометрична прогресия с знаменател, по-голям от устройството: . N-aya частичното количество се определя от изразяването и границата на частичните суми е безкрайна: \\ t .

Друг пример за различна цифрова серия е количеството на вида . В този случай, N-AYA частичната сума може да бъде изчислена като. Границата на частичните суми е безкрайна .

Количество тип Наречен хармоничен числен следваща .

Количество тип където s е някакво валидно номерът обобщени хармонични цифри наблизо.

Посочените дефиниции са достатъчни, за да обосноват следните много често използвани изявления, препоръчваме да ги запомните.

Хармоничният ред се различава.

Доказваме отклонението на хармоничната серия.

Да предположим, че номер се сближи. Тогава има ограничена граница на частичните му суми. В този случай можете да записвате и, което ни води към равенство .

От друга страна,


Не предизвикват съмнения следните неравенства. По този начин, . Полученото неравенство ни показва това равенство Тя не може да бъде постигната, която противоречи на нашето предположение за сближаването на хармоничните серии.

Заключение: Хармоничният ред се различава.

Сумата от геометричната прогресия на формата с знаменател Q е конвергентен цифров близо, ако и се различава до него.

Доказваме го.

Знаем, че сумата на първите n членове на геометричната прогресия е по формулата .

С панаир


Какво сочи сближаването на цифрова серия.

При Q \u003d 1 имат цифрова серия . Неговите частични суми са като и границата на частичните суми е безкрайна Какви точки за разминаване на номер в този случай.

Ако q \u003d -1, тогава числовият номер ще вземе формата . Частичните суми имат стойност за нечетни N, и дори за n. От това можем да заключим, че границата на частичните суми не съществува, а редът се различава.

С панаир


Какви точки за разграничаване на цифрова серия.

Обобщената хармонична серия се превръща в s\u003e 1 и се различава към.

Доказателства.

За s \u003d 1, получаваме хармоничен ред и по-горе го изключваме.

За справедливо неравенство за всички естествени к. Поради различията на хармоничната серия може да се твърди, че последователността на нейните частични суми е неограничена (тъй като няма ограничение). След това последователността на частичните суми на числената серия е по-неограничена (всеки член на тази серия е по-голям от съответния член на хармоничната серия), следователно, генерализиран хармоничен ред е разделен на s.

Остава да докаже конвергенцията на серията при S\u003e 1.

Пишаме разлика:



Очевидно тогава


Нарежете полученото неравенство за n \u003d 2, 4, 8, 16, ...



Използвайки тези резултати, могат да се извършват следните действия с първоначалния цифров номер:



Изразяване Това е количество геометрична прогресия, чийто знаменател е равен. Тъй като разглеждаме случая в s\u003e 1, тогава. Следователно
. По този начин последователността на частичните суми на обобщената хармонична серия при S\u003e 1 се увеличава и в същото време е ограничена от над стойността, следователно тя има ограничение, което показва сближаването на реда. Доказателство е завършено.

Се нарича цифров ред подравняванеАко всичките му членове са положителни, т.е. .

Се нарича цифров ред подравняванеАко признаците на съседните му членове са различни. Пеенето на цифровия ред може да бъде написано като или където .

Се нарича цифров ред подписанАко съдържа безкраен набор от положителни и отрицателни членове.

Променлив номер на цифрова серия е специален повод на алтернативна серия.

Редове

са съответно подравняване, подравняване и редуване.

За забранена серия има концепция за абсолютна и условна конвергенция.

абсолютно конвергентАко ред се сближи от абсолютните стойности на своите членове, т.е. подравняващите цифрови серии се сближават.

Например, цифрови редове и абсолютно сближаване, защото номер се свързва , което е сумата от безкрайно намаляване на геометричната прогресия.

Обявен ред, наречен условно конвергентноАко ред се отклони, и серията се сближава.

Като пример може да бъде донесена конвергивна числена серия . Числен ред Съставен от абсолютните стойности на членовете на първоначалната серии, изпратени, както е хармонично. В същото време първоначалният номер е конвергентен, който лесно се инсталира. Така, числова серия от променливост Условно преместване.

Свойства на конвергиращите цифрови редове.

Пример.

Докажете сближаването на цифрова серия.

Решение.

Пишем ред в друга форма . Числовите серии се сближават, тъй като обобщената хармонична серия се сближава в S\u003e 1, а по силата на втория имот на конвергиращата цифрова серия също ще се сближи с цифров коефициент.

Пример.

Малък ред се слива.

Решение.

Конвертираме Ред на източника: . Така получихме сумата от две цифрови редове и и всеки от тях се сближава (виж предишния пример). Ето защо, поради третия имот на конвергиращите цифрови редове, първоначалните серии се сближават.

Пример.

Докажете сближаването на цифровите серии И изчислете неговата сума.

Решение.

Тази цифрова серия може да бъде представена като разлика от два реда:

Всяка от тези редове е сумата от безкрайно намаляващата геометрична прогресия, следователно е конвергентна. Третият имот на конвергиращата серия предполага, че първоначалната цифрова серия се сближава. Изчислявам се.

Първият член на поредицата е единица, а знаменателят на съответната геометрична прогресия е 0.5, следователно, .

Първият член на реда е 3, а знаменателят на съответното безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 1/3, така че .

Използваме резултатите, получени за намиране на количеството на първоначалната цифрова серия:

Необходимото условие за сближаване на серията.

Ако числови серии се сближават, границата на неговия K-C елемент е нула :.

В проучването на всяка цифрова серия за конвергенция, на първо място, прилагането на необходимото състояние на конвергенция трябва да бъде потвърдено. Неспазването на това състояние показва отклонението на цифровите серии, т.е. ако редът се различава.

От друга страна, е необходимо да се разбере, че това условие не е достатъчно. Това означава, че изпълнението на равенството не говори за сближаването на цифровите серии. Например, за хармоничните серии се извършва необходимото условие за конвергенция, а редът се различава.

Пример.

Изследвайте числен ред на конвергенция.

Решение.

Проверете необходимото условие за сближаването на цифровите серии:

Лимит следователно N-тият член на числовия номер не е нула, като редът се различава.

Достатъчно признаци на сближаване на последователността.

Когато използвате достатъчни признаци за изследване на цифрови редове, конвергенцията е постоянно изправена, така че препоръчваме да се свържете с този раздел в затруднение.

Изисква се и достатъчно условие за сближаване на изравняемите цифрови серии.

За сближаване на подравняването на цифровите серии Необходимо е и достатъчно за последователността на частичните си суми е ограничено.

Нека започнем с признаци на сравнение на редовете. Тяхната същност се състои в сравняване на изследваната цифрова серия с известен номер, конвергенция или дивергенция.

Първият, втори и третия знак за сравнение.

Първия знак за сравняване на редиците.

Нека и двамата са два подравнени цифрови реда и неравенство за всички K \u003d 1, 2, 3, ... след това от сближаването на редица конвергенция, и от отклонението на серията трябва да бъде различия.

Първият знак за сравнение се използва много често и е много мощен инструмент за изследване на числови редове за сближаване. Основният проблем е подборът на подходящ ред за сравнение. Номер за сравнение обикновено (но не винаги) е избран по такъв начин, че индикаторът на неговия K-C елемент е равен на разликата в степента на цифровата степен и знаменателя на К без член на изследваната цифрова серия. Например, нека разликата в степента на числителя и индикаторите за знамена данни са 2 - 3 \u003d -1, следователно, за сравнение, ние избираме ред с K-ти елемент, т.е. хармоничен ред. Разгледайте няколко примера.

Пример.

Инсталирайте конвергенцията или дивергенцията на реда.

Решение.

Тъй като границата на общия член на поредицата е нула, се прави необходимото условие за сближаване на серията.

Лесно е да се види, че неравенството е справедливо за всички естествени К. Знаем, че хармоничният ред се различава, следователно, при първия знак за сравнение, първоначалната серия също се различава.

Пример.

Разгледайте цифров ред на конвергенция.

Решение.

Предпоставка Отначало се извършва сближаването на числения ред . Очевидно изпълнението на неравенството За всяка естествена стойност k. Номер се сближава, тъй като генерализираната хармонична серия се събира за S\u003e 1. По този начин първият знак за сравнение на редовете ви позволява да посочите конвергенцията на първоначалната цифрова серия.

Пример.

Определете конвергенцията или дивергенцията на цифровите серии.

Решение.

Следователно е изпълнено необходимото условие за сближаване на цифровите серии. Какъв номер да изберете за сравнение? Предлага се от цифрова серия и да се определи s, внимателно проучване на числената последователност. Членове на числената последователност се увеличават до безкрайност. По този начин, започвайки от някакъв брой N (а именно, с n \u003d 1619), членовете на тази последователност ще бъдат по-големи от 2. Започвайки от този номер n, неравенството е вярно. Числената серия се слива по силата на първото свойство на конвергиращата серия, тъй като се оказва от поредицата с конвергията, изхвърлянето на първия N е 1 член. Така, на първия знак за сравнение, има редица сближаване и по силата на първия имот на конвергиращите цифрови редове също ще се сближи.

Вторият знак за сравнение.

Нека и двамата да подравнят цифровите редове. Ако, тогава сближаването на серията следва сближаването. Ако, от дивергенцията на числената серия, следва отклонението.

Следствие.

Ако, тогава сближаването на един ред следва сближаването на другия, и отклонението трябва да бъде отделено от различията.

Ние проучваме ред на конвергенция, използвайки втория знак за сравнение. Като номер, поречете. Ще намерим границата на връзката на K-големите членове на цифровите серии:

Така, според втория знак за сравнение, сближаването на цифровите серии следва сближаването на оригиналната серия.

Пример.

Изследвайте сближаването на цифров ред.

Решение.

Проверете необходимото условие за сближаването на серията . Състоянието е изпълнено. За да приложите втория знак за сравнение, ние приемаме хармоничен ред. Ще намерим границата на връзката на член на K-S:

Следователно, от различията на хармоничната серия тя следва отклонението на първоначалната серия на втория знак за сравнение.

За информация ние даваме третия знак за сравнението на редиците.

Трето сравнение.

Нека и двамата да подравнят цифровите редове. Ако условието е удовлетворено от някакъв номер n, тогава сближаването трябва да се сближи от сближаването на серията.

Знак за даламбер.

Коментар.

Знакът на даламбер е валиден, ако лимитът е безкраен, т.е. ако , след това серия се сгъва, ако , след това един ред се отклонява.

Ако знакът на Даламбер не предоставя информация за сближаването или разминаването на серията и се изисква допълнително изследване.

Пример.

Разгледайте числения ред на сближаването на Даламбер.

Решение.

Проверяваме изпълнението на необходимото условие за сближаването на числените серии, границата се изчислява от:

Състоянието е изпълнено.

Ние използваме знака на Даламбер:

По този начин серията се приближава.

Радикален знак cauchy.

Позволявам е цифров ред за записване. Ако числовият серия се приближава, ако редът се различава.

Коментар.

Радикалният знак на Cauchy е вярно, ако лимитът е безкраен, т.е. ако , след това серия се сгъва, ако , след това един ред се отклонява.

Ако такъв радикален знак не предоставя информация за конвергенцията или разликата на число и изисква допълнителни изследвания.

Обикновено е лесно да се видят случаи, когато е най-добре да се използва радикален знак за cauchy. Случаят е характерен, когато цяло член на числена серия представлява значителен израз. Разгледайте няколко примера.

Пример.

Разгледайте последователния цифров ред на конвергенцията, използвайки радикален знак на Cauchy.

Решение.

. Върху радикалния знак на Cauchy .

Следователно серия се сближава.

Пример.

Дали цифров ред се сближава .

Решение.

Ние използваме радикалния знак на Cauchy Следователно цифровите серии се сближават.

Интегрален знак cauchy.

Позволявам е цифров ред за записване. Ние ще формираме функция на непрекъснат аргумент Y \u003d F (x), подобни функции. Нека y \u003d f (x) функционира положително, непрекъснато и намалява интервала, където). Тогава в случай на конвергенция несъвместим интеграл Изследваната числена серия се приближава. Ако имаш включени интегрални Различен, първоначалният ред също се отклонява.

Когато проверявате намаляването на функцията Y \u003d F (x), теорията може да бъде полезна на интервала от секцията.

Пример.

Разгледайте цифров ред с положителен член за сближаване.

Решение.

Оттогава се прави необходимото условие за сближаване на номера . Помислете за функция. Той е положителен, непрекъснат и слизащ на интервала. Непрекъснатостта и позитивността на тази функция не предизвикват съмнение, но на низходящи, ще спрем повече подробности. Намерете дериват:
. Следователно тя е отрицателна в интервала, функцията намалява на този интервал.

Знак за сближаването на даламберския радикален знак за конвергенция на Cauchy интегрален знак за сближаване на Cauchy

Един от общите признаци на сравнение, който се намира в практически примери, е знак за даламбер. Признаците на Cauchy са по-малко общи, но и много популярни. Както винаги, ще се опитам да изгладя материала просто, достъпна и разбираема. Темата не е най-трудната и всички задачи до известна степен са шабло.

Жан Лорсън Дема е известната френска математика от 18-ти век. Като цяло, специализирано в Дома диференциални уравнения И на базата на техните изследвания той се занимаваше с балистично, така че величието му прелетя с каноничните ядки. В същото време те не забравяха за числови пръчките, не напразно, тогава Шерни Наполеоновите войски толкова ясно се сближиха и разсеяха.

Преди да формулирате знака, разгледайте важен въпрос:
Кога трябва да приложите знак за сближаването на Даламбер?

Първо, нека започнем с повторението. Спомнете си случаите, когато трябва да приложите най-много шаси маркетинг знак за сравнение. Ограничаването на знака за сравнение се прилага, когато в общия член на поредицата:
1) В знаменателя има полином.
2) полиномите са в числителя и в знаменателя.
3) един или и двата полиномя могат да бъдат под корена.

Основните предпоставки за използване на функцията Dalamber са както следва:

1) В цялостния член на серията ("пълнене" на номер) включва определен брой до степен, например и т.н. Освен това, няма значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важно е да присъства там.

2) Общият член на поредицата включва фактически. С фактори, които прекосихме мечовете все още в урока Последователност на номера и нейната граница. Въпреки това, той няма да попречи отново да разпространявате сензорното покритие:





…


…

! Когато използвате знак за даламбер, просто трябва да рисуваме фактора подробно. Както и в предишния параграф, фактическият може да бъде разположен в горната или долната част на фракцията.

3) Ако в общия член на серията има "верига от мултипликатори", например. Този случай е рядко, но! В проучването на такава серия често прави грешка - виж пример 6.

Заедно с градуси или (и) фактории в пълнежа на число често срещат полиноми, това не променя нещата - трябва да използвате знак за даламбер.

В допълнение, в общия член на даден номер, степен и факторант може да се срещне едновременно; може да посрещне два фактора, две степени, важно е да бъдеш там поне нещо Считат за елементи - и това е просто предпоставка за използването на знак за даламбер.

Знак за Даламбер: Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение на следващия член на предишния: тогава:
а) с номер сближаване. По-специално серията се превръща в.
б) с номер различни. По-специално, редът се различава в.
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Най-често устройството се получава в случая, когато знакът на даламбер се опитва да приложи там, където е необходимо да се използва знак за сравнение.

Който все още има проблеми с границите или недоразуменията, консултирайте се с урок Ограничения. Примери за решения. Без разбиране за лимита и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, за съжаление, да не се движат.

И сега дългоочакваните примери.

Пример 1.

Виждаме това в общия член на един номер, който имаме, и това е вярна предпоставка, която трябва да използвате знак за даламбер. Първо, цялостното решение и проба дизайн, коментари по-долу.

Ние използваме знак на Даламбер:

сближаване.

(1) Съставете съотношението на следващия член на поредицата към предишния :. От състоянието виждаме, че общия член на поредицата. За да получите следния член на серията, от която се нуждаете вместо заместител: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции. С определен експеримент, тази стъпка може да бъде пропусната.
(3) В цифроратора разкриват скобите. В знаменателя вземаме четири от степента.
(4) Намаляване. Константа ние изваждаме границата за лимита. В числата в скоби, ние даваме такива компоненти.
(5) Несигурността се елиминира по стандартния метод - разделението на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.
(6) Разделяме цифрите на знаменателите и посочваме термините, които искат нула.
(7) Опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че въз основа на даламбер, серията под проучване се сгъва.

В разглеждания пример, в общия член на поредицата, срещнахме полиномна 2-ра степен. Ами ако има полином 3-ти, 4-ти или по-висок? Факт е, че ако се получи много висока степен, ще възникнат трудности при разкриването на скобите. В този случай може да се използва "турбо" решение.

Пример 2.

Вземете подобна гама и го проучване за сближаване.

Първо цялостно решение, след това коментари:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) извършване на връзка.
(2) да се отървете от четири етажни фракции.
(3) Помислете за експресията в числителя и експресията в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да разкриете скоби и да изправите в четвъртата степен: какво изобщо не искам да правя. В допълнение, за тези, които не са запознати с Бином Нютон, тази задача може да не е неприложима. Да анализираме най-лошата градуса: ако разкрием скобите на върха, ще получим най-старата степен. По-долу имаме същото старейшина:. По аналогия с предишния пример е очевидно, че с разделението на дълбочината на числителя и знаменателя на нашия лимит ще получи единица. Или, като математика казват, полиноми и - един ред на растеж. По този начин е напълно възможно да се заобиколи отношението на прост молив и веднага да покаже, че това нещо се стреми към единица. По същия начин ние рисуваме с втория двойка полиноми: и те също един ред на растежи тяхното отношение търси единица.

В действителност, такава "Halica" може да бъде проверена в пример № 1, но за полиномна 2-ра степен, такъв разтвор е все още непоколебим. Лично аз правя това: ако има полином (или полиноми) от първата или втора степен, използвам "дългия" начин за решаване на примера 1. Ако полиномният 3-та и повече високи степениИзползвам "Turbo" -Metode съгласно примера на Пример 2.

Пример 3.

Разгледа ред на конвергенция

Пълно решение и проба дизайн в края на класа числени последователности.
(4) Redfish всичко, което може да бъде намалено.
(5) Постоянно изваждаме лимита за лимита. В цифроратора разкриват скобите.
(6) Несигурността елиминира стандартния метод - разделянето на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.

Пример 5.

Разгледа ред на конвергенция

Пълно решение и проба дизайн в края на урока

Пример 6.

Разгледа ред на конвергенция

Понякога има редове, които в тяхното пълнене съдържат "верига" на множителите, този тип серия все още не е разгледан. Как да проучим ред с "верига" на множителите? Използвайте знак за даламбер. Но първо да се разбере какво се случва от срива на детайла на реда:

От разлагането виждаме, че всеки следващ член от поредицата добавя допълнителен фактор в знаменателя, следователно, ако общ член на една серия, след това следващия член на поредицата:
. Тук често автоматично прави грешка, формално чрез записване на алгоритъм

Възможно е примерно решение за проби:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

Преди да започнете да работите с тази тема, съветвам ви да видите раздел с терминология за числени редове. Особено си струва да се обърне внимание на концепцията за общ член на поредицата. Ако имате съмнения относно избора на признак на сближаване, съветвам ви да погледнете темата "Избор на признак на сближаване на цифрови редове".

Знакът на D "Alamber (или знак за даламбер) се използва за изследване на конвергенцията от серията, чийто член на който е строго по-голям от нула, т.е. $ u_n\u003e $ 0. Такива редове се наричат строго положителен. В стандартни примери функцията на Alamber се използва в лимитната форма.

Знак на D "Alamber (в гранична форма)

Ако $ 7. ^ (n \u003d 1) ^ (infly) u_n $ е строго положителен и $$ lim_ (n \\ t (n + 1)) (U_N) \u003d l, $ $ след това с $ l<1$ ряд сходится, а при $L>$ 1 (и при $ l \u003d inty $) се отклонява ред.

Формулировката е доста проста, но следващият въпрос остава отворен: какво ще се случи, ако $ l \u003d 1 $? Отговорът на този въпрос не може да даде знак. Ако $ l \u003d $ 1, тогава ред може да се сближи и да се разпръсне.

Най-често в стандартни примери, функцията на Alamber се прилага, ако има полином от $ n $ в експресията на общ член на серията (полиномът може да бъде под root) и степента на тип $ a ^ n $ или $ или $ или $ или $ n! $. Например, $ u_n \u003d frac (5 ^ n cdot (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $ (виж пример № 1) или $ u_n \u003d frac (sqrt (4N) \\ t + 5) (((3N-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} визитка"Знак на D" Alamber.

Какво означава изразът "n!"? Покажи скрий

Запис "n!" (прочетете "en factorial") означава работата на всички естествени числа От 1 до n, т.е.

$$ n! \u003d 1 cdot2 cdot 3 cdot ldots cdot n $$

По дефиниция се приема, че $ 0! \u003d 1! \u003d $ 1. Например, намерете 5!:

$ 5! \u003d 1 ccot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 \u003d 120. $$.

В допълнение, знакът на D "Alamber се използва за определяне на сближаването на серия, чийто член съдържа продукт на такава структура: $ u_n \u003d frac (3 ccot 5 cdot 7 cdot ldots \\ t CCOT (2N + 1)) (2 ccot 5 cdot 8 cdot ldots ccot (3N-1)) $.

Пример №1.

Разгледайте номер $ суми_ (n \u003d 1) ^ (infly) frac (5 ^ n cdot (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $ за конвергенция.

Тъй като границата на по-ниското суми е 1, тогава общият член на реда се записва под сумата на сумата: $ u_n \u003d frac (5 ^ n cdot (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $. Тъй като с $ n≥ 1 $ имаме $ 3N + 7\u003e 0 $, $ 5 ^ n\u003e 0 $ и $ 2N ^ 3-1\u003e 0 $, след това $ u_n\u003e 0 $. Следователно нашият ред е строго положителен.

$$ 5 CDOT LIM_ (N \\ t (3N + 10) ляво (2n ^ 3-1 вдясно)) (ляво (2 (n + 1) ^ 3-1 \\ t ) (3N + 7)) \u003d ляво | frac (infly) (infly) надясно | \u003d 5 cdot lim_ (n infly) frac (frac (((3N + 10) \\ t (2N ^ 3-1 вдясно) (n ^ 4)) (frac (лява (2 (n + 1) ^ 3-1 вдясно) (3N + 7)) (n ^ 4)) (n ^ 4)) CDOT LIM_ (N) FRAC (FRAC (3N + 10) (n) ccot (2N ^ 3-1) (n ^ 3)) (frac (1 ()) N + 1) ^ 3-1 вдясно)) (n ^ 3) cdot frac (3N + 7) (n)) \u003d \u003d 5 cdot lim_ (n infly) frac (\\ t Наляво (frac (3n) (n) + frac (10) (n) дясно) ccot лява (Frac (2N ^ 3) (n ^ 3) - frac (1) (n ^ 3) \\ t Вдясно)) (вляво (ляво (frac (n) (n) + frac (1) (n) вдясно) ^ 3- \\ t (1) (n ^ 3) дясно) ccot ляво (frac (3n) (n) + frac (7) (n) вдясно) \u003d 5 cdot lim_ (n infly) frac (ляв (3+ frac (10) \\ t (n) вдясно) cdot лява (2- 3) (n ^ 3) вдясно) (ляво (ляво (1 + frac (1) (n) вдясно) ^ 3 - FRAC (1) (n ^ 3) вдясно) ccot лява (3+ frac (7) (n) вдясно) \u003d 5 cdot frac (3 ccot 2) (2 cdot 3) ) \u003d 5. $$.

Тъй като $ lim_ (n) (n) (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d 5\u003e $ 1, след това според посочения ред се различава.

Честно казано, знак за D "Alamber не е единствената възможност в тази ситуация. Можете да използвате, например, радикален знак на Cauchy. Въпреки това, използването на радикален знак на Cauchy ще изисква знания (или доказателства) на допълнителни формули , Следователно използването на знак D "в тази ситуация е по-удобно.

Отговор: Ред се отклонява.

Пример номер 2.

Разгледайте число $ \\ t (n \u003d 1) ^ (infly) frac (sqrt (4N + 5)) ((3N-2))$ на сходимость.!}

Тъй като границата на по-ниска сума е 1, тогава общият член на реда се записва под сумата на сумата: $ u_n \u003d frac (SQRT (4N + 5)) ((3N-2))$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Общият член на реда съдържа полином под корена, т.е. $ SQRT (4N + 5) $, и факториален $ (3N-2)! $. Наличието на фактор в стандартен пример е почти 100% гаранция за прилагането на D "Alamber.

За да приложите тази функция, ние ще трябва да намерим ограничението за оценка от $ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $. За да запишете $ u_ (n + 1) $, трябва във формула $ u_n \u003d frac (sqrt (4N + 5)) ((3N-2))$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) \u003d frac (sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Тъй като $ (3N + 1)! \u003d (3N-2)! CCOT (3N-1) cdot 3n cdot (3N + 1) $, след това формулата за $ u_ (n + 1) $ може да бъде записана в разнообразие:

$$ U_ (n + 1) \u003d FRAC (SQRT (4N + 9)) ((3N + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Този запис е удобен за друго решение, когато трябва да съкратим фракцията под границата. Ако равенството с факторите изисква обяснения, моля, разкрийте бележката по-долу.

Как получихме равенството $ (3N + 1)! \u003d (3N-2)! Cdot (3N-1) cdot 3n cdot (3N + 1) $? Покажи скрий

Записване $ (3N + 1)! $ Означава продукт на всички естествени числа от 1 до $ 3N + $ 1. Тези. Този израз може да бъде написан по следния начин:

$$ (3N + 1)! \u003d 1 ccot 2 cdot ldots ccot (3N + 1). $$.

Директно пред броя на $ 3N + 1 $ има номер, на единица по-малка, т.е. Номерът е $ 3N + 1-1 \u003d 3N $. И непосредствено преди броя на $ 3N $ струва броят от $ 3N-1 $. Е, точно преди броя на $ 3N-1 $ имаме номер $ 3N-1-1 \u003d 3N-2 $. Пренаписваме формулата за $ (3N + 1)! $:

$$ (3N + 1)! \u003d 1 cdot2 cdot ldots cdot (3N-2) ccot (3N-1) cdot 3n cdot (3N + 1) $ $

Какво е продукт от $ 1 cdot2 cdot ccot (3N-2) $? Този продукт е $ (3N-2)! $. Следователно изразът за $ (3N + 1)! $ Може да пренапише в този формуляр:

$$ (3N + 1)! \u003d (3N-2)! Cdot (3N-1) cdot 3n cdot (3N + 1) $$

Този запис е удобен за друго решение, когато трябва да съкратим фракцията под границата.

Изчислете стойността на $ vim_ (n infly) frac (U_ (n + 1)) (U_N) $:

$$ lim_ (n) infly) frac (U_N) \u003d lim_ (n) \u003d infly) frac (frac (4n)) 3N-2)! Cdot (3N-1) cdot 3n cdot (3N + 1))) (FRAC (SQRT (4N + 5)) ((3N-2))}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Тъй като $ infly) frac (U_ (n + 1)) (u_n) \u003d 0<1$, то согласно

Признаци на сближаване на редовете.
Знак за даламбер. Признаци на cauchy.

Работа, работа - и разбирането ще дойде по-късно
J.l. Арет

Поздравявам всички в началото на учебната година! Днес, на 1 септември и реших да въведа читателите в чест на празника с факта, че очаквате с нетърпение да гледате напред и нетърпеливи да разберете - признаци на сближаване на числените положителни редове. Първият септември и моята поздравления винаги са от значение, нищо ужасно, ако всъщност, лятото извън прозореца, сега освобождавате изпита за трети път, ако сте отишли \u200b\u200bна тази страница!

За тези, които просто започват да изучават редиците, препоръчвам да се запознаете с статията Числени редове за чайници. Всъщност тази количка е продължение на банкета. Така че днес в урока ще разгледаме примери и решения по темите:

Един от обичайните признаци на сравнение, който се намира в практически примери, е знак за даламбер. Признаците на Cauchy са по-малко общи, но и много популярни. Както винаги, ще се опитам да изгладя материала просто, достъпна и разбираема. Темата не е най-трудната и всички задачи до известна степен са шабло.

Знак за сближаване на даламбер

Жан Лорсън Дема е известната френска математика от 18-ти век. Като цяло, специалността, специализирана в диференциални уравнения и въз основа на своите изследвания е ангажирана с балистична, така че величието му прелетя с каноничните ядки. В същото време те не забравяха за числови пръчките, не напразно, тогава Шерни Наполеоновите войски толкова ясно се сближиха и разсеяха.

Преди да формулирате знака, разгледайте важен въпрос:
Кога трябва да приложите знак за сближаването на Даламбер?

Първо, нека започнем с повторението. Спомнете си случаите, когато трябва да приложите най-много шаси маркетинг знак за сравнение. Ограничаването на знака за сравнение се прилага, когато в общия член на поредицата:

1) В знаменателя има полином.
2) полиномите са в числителя и в знаменателя.
3) един или и двата полиномя могат да бъдат под корена.
4) Полиноми и корени, разбира се, може би повече.

Основните предпоставки за използване на функцията Dalamber са както следва:

1) В цялостния член на серията ("пълнеж" на даден номер) включва определен брой до степен, например, и така нататък. Освен това, няма значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важно е да присъства там.

2) Общият член на поредицата включва фактически. С фактория прекосихме мечовете дори в урока по последователността на числото и нейната граница. Въпреки това, той няма да попречи отново да разпространявате сензорното покритие:





…


…

! Когато използвате знак за даламбер, просто трябва да рисуваме фактора подробно. Както и в предишния параграф, фактическият може да бъде разположен в горната или долната част на фракцията.

3) Ако има "верига от мултипликатори" в общия член на поредицата, например, . Този случай е рядко, но! В проучването на такава серия често прави грешка - виж пример 6.

Заедно с градуси или (и) фактории в пълнежа на число често срещат полиноми, това не променя нещата - трябва да използвате знак за даламбер.

В допълнение, в общия член на даден номер, степен и факторант може да се срещне едновременно; може да посрещне два фактора, две степени, важно е да бъдеш там поне нещо От разглежданите елементи - и това е просто предпоставка за използването на знака на Даламбер.

Знак за Даламбер: Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение на следващия член на предишния: тогава:
а) с номер сближаване
б) с номер различни
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Най-често устройството се получава в случая, когато знакът на даламбер се опитва да приложи там, където е необходимо да се използва знак за сравнение.

Който все още има проблеми с границите или недоразуменията, консултирайте се с урок Ограничения. Примери за решения. Без разбиране за лимита и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, за съжаление, да не се движат.

И сега дългоочакваните примери.

Пример 1.

Виждаме това в общия член на един номер, който имаме, и това е вярна предпоставка, която трябва да използвате знак за даламбер. Първо, цялостното решение и проба дизайн, коментари по-долу.

Ние използваме знак на Даламбер:


сближаване.
(1) Съставете съотношението на следващия член на поредицата към предишния :. От състоянието виждаме, че общия член на поредицата. За да получите следващия член на серията, от която се нуждаете Вместо заместител: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции. С определен експеримент, тази стъпка може да бъде пропусната.
(3) В цифроратора разкриват скобите. В знаменателя вземаме четири от степента.
(4) Намаляване. Константа ние изваждаме границата за лимита. В числата в скоби, ние даваме такива компоненти.
(5) Несигурността се елиминира по стандартния метод - разделението на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.
(6) Разделяме цифрите на знаменателите и посочваме термините, които искат нула.
(7) Опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че въз основа на даламбер, серията под проучване се сгъва.

В разглеждания пример, в общия член на номер, ние срещнахме полиномна 2-ра степен. Ами ако има полином 3-ти, 4-ти или по-висок? Факт е, че ако се получи много висока степен, ще възникнат трудности при разкриването на скобите. В този случай може да се използва "турбо" решение.

Пример 2.

Вземете подобна гама и го проучване за сближаване.

Първо цялостно решение, след това коментари:

Ние използваме знак на Даламбер:


По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) извършване на връзка.

(3) Разгледайте изразяването В числителя и експресията в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да разкриете скоби и да изправите в четвъртата степен: какво изобщо не искам да правя. И за тези, които не са запознати с Бином Нютон, тази задача ще бъде още по-трудна. Да анализираме по-старите степени: ако разкриваме скоби на върха , Получавам по-старата степен. На дъното имаме една и съща висша степен :. По аналогия с предишния пример е очевидно, че с разделението на дълбочината на числителя и знаменателя на нашия лимит ще получи единица. Или, както казва математиката, полиноми и - един ред на растеж. Така е напълно възможно да се циркулира Прост молив и веднага показват, че това нещо се стреми към единица. По същия начин ние рисуваме с втория двойка полиноми: и те също един ред на растежи тяхното отношение търси единица.

Всъщност такъв "хактур" може да бъде проверен в Пример 1, но за полином от 2-ра степен, такова решение изглежда все още нерешаващо. Лично аз правя това: ако има полином (или полином) от първата или втора степен, използвам "дълъг" метод за решаване на примера 1. Ако полиномът от 3-ти и по-високи степени се появяват, използвам " Метод Turbo "съгласно примера на пример 2.

Пример 3.

Разгледа ред на конвергенция

Обмислете типични примери с фактории:

Пример 4.

Разгледа ред на конвергенция

Общият член на поредицата включва степен и факторис. Ясно е как този ден е необходимо да се използва знак за даламбер. Ние решаваме.

По този начин, поредицата в проучването различни.
(1) извършване на връзка. Повтарям отново. Чрез условие, общият член на поредицата: . За да получите следния член на реда вместо това трябва да замени, по този начин: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции.
(3) Натиснете от седемте. Факториите описват подробно. Как да го направите - вижте началото на урока или статия за числените последователности.
(4) Redfish всичко, което може да бъде намалено.
(5) Постоянно изваждаме лимита за лимита. В цифроратора разкриват скобите.
(6) Несигурността елиминира стандартния метод - разделянето на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.

Пример 5.

Разгледа ред на конвергенция

Пълно решение и проба дизайн в края на урока

Пример 6.

Разгледа ред на конвергенция

Понякога има редове, които в тяхното пълнене съдържат "верига" на множителите, този тип серия все още не е разгледан. Как да проучим ред с "верига" на множителите? Използвайте знак за даламбер. Но първо да се разбере какво се случва от срива на детайла на реда:

От разлагането виждаме, че всеки следващ член от поредицата добавя допълнителен мултипликатор в знаменателя, така че ако генералният член на поредицата , след това следващия член на поредицата:
. Тук често автоматично прави грешка, формално чрез записване на алгоритъм

Възможно е примерно решение за проби:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

Cauchy радикален знак

Augusten Louis Cauchy е още по-известен френски математик. Биографията на Cauchy можете да разкажете на всеки ученик на техническа специалност. В най-живописните бои. Това не е случайно, че това фамилно име е издълбано на първия етаж на Айфеловата кула.

Знакът за сближаване на Cauchy за положителни цифрови редове е нещо подобно на простотата на знака на Даламбер.

Cauchy радикален знак:Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение: тогава:
а) с номер сближаване. По-специално серията се превръща в.
б) с номер различни. По-специално, редът се различава в.
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Интересно е да се отбележи, че ако знакът на Cauchy не ни даде отговор на въпроса за сближаването на един номер, тогава знакът на Даламбер също няма да даде отговор. Но ако знакът на Даламбер не дава отговор, знакът на Кауч може да "работи". Това означава, че знакът на Cauchy е в този смисъл по-силен знак.

Кога трябва да използвам радикалния знак Kauchi? Радикалният знак на Cauchy обикновено използва в случаите, когато коренът "добър" се извлича от общия член на поредицата. Като правило този пипер е в степен, което зависи от . Все още има екзотични случаи, но те няма да отбележат главата.

Пример 7.

Разгледа ред на конвергенция

Виждаме, че фракцията е изцяло в зависимост от "EN" и следователно е необходимо да се използва радикален знак за Cauchy:


По този начин, поредицата в проучването различни.

(1) Изготвяме общ член на поредица от корен.

(2) пренаписване на същото нещо, само без корен, използвайки свойството на градуси.
(3) в индикатора, числителят на знаменателя, показващ това
(4) В резултат на това оказахме несигурност. Тук е възможно да се премине дълъг: да се изгради в куб, да се натрупа в куб, след това да се раздели числителят и знаменател на "EN" в Куба. Но в този случай има по-ефективно решение: това приемане може да се използва директно в степента на постоянна. За да се елиминира несигурността да разделят цифровия и знаменател (по-старата степен на полиноми).

(5) Ние изпълняваме почвеното разделение и посочваме термините, които искат нула.
(6) Признавам отговора на ума, отбелязваме, че заключаваме, че ред се отклонява.

Но по-прост пример за независимо решение:

Пример 8.

Разгледа ред на конвергенция

И няколко типични примера.

Пълно решение и проба дизайн в края на урока

Пример 9.

Разгледа ред на конвергенция
Ние използваме радикалния знак Kauchi:


По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) поставяме общ член на един ред.

(2) пренаписване на същото нещо, но вече без корен, докато разкрива скоби, използвайки формулата на съкратеното умножение: .
(3) В индикатора числителят на знаменателя се ремонтира и показва това.
(4) Получава се несигурността на вида и тук можете да изпълнявате директно под степента. Но с едно условие: Коефициентите за старши степени на полиноми трябва да бъдат различни. Ние имаме различно (5 и 6) и затова е възможно (и необходимо) да разделят двата етажа. Ако тези коефициенти същото, например (1 и 1): след това такъв фокус не преминава и трябва да използвате втората прекрасна граница. Ако си спомняте, тези тънкости бяха разгледани в последния параграф на статията Методи за разрешаване на граници.

(5) Всъщност извършват почвеното разделение и посочете какви термини сме нулеви.
(6) Елиминира несигурността, ние имаме най-простия лимит :. Защо безкрайно голям степента има тенденция към нула? Защото основата на степента удовлетворява неравенството. Ако някой има съмнения относно справедливостта на лимита , Аз не съм мързелив, ще взема калкулатор в ръцете си:
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
... и т.н. До безкрайност - това е, в границата:

Бита безкрайно намаляване на геометричната прогресия на пръстите \u003d)
! Никога не използвайте тази техника като доказателство! Защото, ако нещо е очевидно, това не означава, че е правилно.

(7) Позоваваме, че заключаваме, че серията се сближава.

Пример 10.

Разгледа ред на конвергенция

Това е пример за независимо решение.

Понякога се предлага провокативен пример за решаване, например :. Тук в индикатор не "en", само постоянна. Тук трябва да изградите числителя и знаменател на квадрата (полиномите се получават) и след това се придържат към алгоритъма от статията Редове за чайници. В такъв пример той трябва да се направи или необходимия знак за сближаването на даден номер или лимит знак за сравнение.

Интегрален знак cauchy.

Или просто един интегрален знак. Разочароващи тези, които лошо са научили първия материал за курса. За да приложите интегралната характеристика на Cauchy, е необходимо повече или по-малко уверено да можете да намерите деривати, интеграли, както и с уменията за изчисление несъвместим интеграл Първи вид.

В учебници по математически анализ интегрален знак cauchy. Дан математически стриктно, но твърде трептичен, така че формулирах знак, който не е твърде строго, но е ясно:

Обмисли положителна цифрова серия . Ако има неизменна интеграл, тогава серия се сгъва или се различава с този интеграл.

И незабавно примери за обяснение:

Пример 11.

Разгледа ред на конвергенция

Почти класически. Естествен логаритъм и някакъв вид бияка.

Основната предпоставка за използване на интегрален знак за cauchy Фактът, че в общия член на числото съдържа множители, подобни на някаква функция и нейното производно. От темата