Геом Прогресия с формула. Геометрична прогресия
Важна е геометричната прогресия, заедно с аритметика числен следващакойто се изследва в училищната година на алгебра в 9 клас. В тази статия разгледайте знаменателя на геометричната прогресия и как стойността му засяга нейните свойства.
Определяне на геометрична прогресия
Да започнем, ние даваме дефиницията на това числен ред. Напредъкът на геометричната се нарича такъв брой рационални числа, които се формират чрез постоянно умножаване на първия му елемент за постоянен номер, който се нарича знаменател.
Например, числата в ред 3, 6, 12, 24, ... е геометрична прогресия, защото ако умножите 3 (първи елемент) с 2, тогава получаваме 6. ако 6 се умножават с 2, тогава получаваме 12, и така нататък.
Членовете на разглежданата последователност са обичайни, за да означават символа на AI, където I е цяло число, което показва номера на елемента в реда.
Горното определение на прогресията може да бъде написано на езика на математиката, както следва: AN \u003d BN-1 * A1, където Б е знаменателят. Проверете тази формула лесно: ако n \u003d 1, след това b1-1 \u003d 1 и получаваме a1 \u003d a1. Ако n \u003d 2, след това A \u003d B * A1 и ние отново стигаме до определянето на броя на разглежданите номера. Подобни аргументи могат да бъдат продължени за големи стойности на N.
Знаменател на прогресията на геометричната
Числото B напълно определя кой характер ще бъде цялата цифрова серия. Знамената B може да бъде положителна, отрицателна, а също така има стойност повече от една или по-малко. Всички изброени опции водят до различни последователности:
- b\u003e 1. Има все по-голям брой рационални числа. Например, 1, 2, 4, 8, ... ако елементът А1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само от модула, но за да намалее със знака на числата.
- b \u003d 1. Често този случай не се нарича напредък, тъй като има нормален брой идентични рационални числа. Например, -4, -4, -4.
Формула за сума
Преди да се обърнете към разглеждане специфични задачи Използвайки знаменателя на вида на разглежданата прогресия, е необходимо да се донесе важна формула за размера на първите му елементи. Формулата има формата: SN \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).
Можете да получите този израз себе си, ако смятате рекурсивната последователност на членовете на прогресията. Също така отбелязваме, че в горната формула е достатъчно да знаем само първия елемент и знаменателят, за да намерите количеството произволен брой членове.
Безкрайно намаляваща последователност
По-горе беше дадено обяснение, което представлява. Сега, знаейки формулата за SN, ние го прилагаме към този цифров ред. От всяко число, модулът, който не надвишава 1, когато е построен в високи степени има тенденция към нула, т.е. b∞ \u003d\u003e 0, if -1
Тъй като разликата (1 - б) винаги ще бъде положителна, независимо от стойностите на знаменателя, знакът на намаляването на безкрайно прогресирането на геометрични S∞ е уникално определен от знака на първия елемент А1.
Сега разгледайте няколко задачи, в които показваме как да приложим знанията, придобити върху конкретни номера.
Номер на задача 1. Изчисляване на неизвестни елементи на прогресия и сума
Прогресията на геометричния, знаменател на прогресията 2 и нейният първи елемент 3 е равна на нейните 7-ми и 10 члена и каква е сумата от седемте си първоначални елемента?
Състоянието на проблема е доста просто и предполага директна употреба на горните формули. Така че, за да се изчисли елементът с номер n, ние използваме експресията AN \u003d BN-1 * A1. За 7-ия елемент имаме: A7 \u003d B6 * A1, замествайки известните данни, получаваме: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. По същия начин се прави за 10-ия член: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.
Използваме добре познатата формула за сумата и определяме тази стойност за 7-ия първи елементи от поредицата. Имаме: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.
Номер на задача 2. Определяне на количеството произволни елементи на прогресия
Нека -2 да бъде равен на знаменател на прогресията в геометричната прогресия на BN-1 * 4, където N е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ия до 10-ия елемент от тази серия включително.
Проблемът не може да бъде решен директно с помощта на известните формули. Тя може да бъде решена с 2 различни метода. За пълнотата на представянето на темата носим и двете.
Метод 1. Идеята за това е проста: трябва да се изчисли двете съответни суми на първите членове и след това да се приспадне от друг. Изчислете по-малък размер: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Сега изчисляваме голямо количество: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Обърнете внимание, че в последния израз са само 4 термина, тъй като 5-то вече е включено в сумата, която искате да изчислите под проблема с проблема. И накрая, ние имаме разликата: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.
Метод 2. Преди да замените номерата и да се броят, е възможно да се получи формула за количеството между членовете m и n от разглежданата поредица. Ние правим абсолютно същото като в метод 1, само ние работим първо със символа представяне на сумата. Ние имаме: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * А1 / (b - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (b - 1) . В резултатния израз можете да замените известни числа и да изчислите крайния резултат: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.
Задача # 3. Какъв е знаменателят?
Нека A1 \u003d 2 намират знаменателя на прогресията на геометричната, при условие че нейното безкрайно количество е 3 и е известно, че това е намаляващ брой числа.
Чрез условието на задачата не е трудно да се отгатне коя формула трябва да се използва за решаване. Разбира се, за сумата на развитието на безкрайно намаляването. Имаме: S∞ \u003d A1 / (1 - B). Където експрес знаменател: b \u003d 1 - A1 / s∞. Остава да се замени известните стойности и да се получи желаното число: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 или -0.333 (3). Можете да проверите качествено този резултат, ако помните, че за този тип последователност модулът B не трябва да надхвърля 1. Както може да се види, | -1 / 3 |
Номер на задача 4. Възстановяване на редица числа
Нека 2 елемента на цифровите серии, например, 5-та равна на 30 и 10-то място, равна на 60. Необходимо е да се възстанови цялата гама според тези данни, знаейки, че тя отговаря на свойствата на прогресията на геометричната.
За да разрешите задачата, е необходимо да започнете съответния израз за всеки добре познат член. Имаме: A5 \u003d B4 * A1 и A10 \u003d B9 * A1. Сега разделяме втория израз на първия, получаваме: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. Оттук определяме знаменателя, приемайки основата на петата степен от връзката, известна от условията на задачата на членовете, B \u003d 1,148698. Полученият номер е заместен в едно от изразите за известния елемент, получаваме: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.
Така открихме, което е равно на знаменателя на прогресията на БН и геометричното развитие на BN-1 * 17,2304966 \u003d AN, където B \u003d 1,148698.
Къде са прогресията на геометричната?
Ако не беше за използването на тази цифрова серия на практика, неговото изследване ще бъде намалено до чисто теоретичен интерес. Но това приложение съществува.
Следните са 3-те най-известни примера:
- Парадоксът на Зено, в който сръчният ахил не може да настигне бавно костенурка, е решен с помощта на концепцията за намаляване на безкрайно последователности от числа.
- Ако има пшенични зърна на всяка клетка на шахматна дъска, така че на първата клетка да постави 1 зърно, на 2-ри - 2, на 3-ти - 3 и така нататък, след това да се запълнят всички клетки на дъската, които ще са необходими 18446744073709551615 Зърна!
- В играта "Ханой кула" за пренареждане на дисковете от един прът на друг, е необходимо да се извършат 2N - 1 операции, т.е. броят им увеличава в геометричната прогресия върху броя на използваните дискове.
Kyiv Street, 16 0016 Армения, Yerevan +374 11 233 255
Геометрична прогресия е новия вид Цифровата последователност, с която трябва да се срещнем. За успешното познанство не възпрепятства поне да се знае и разбира. Тогава няма да има проблеми с геометричния напредък.)
Какво геометрична прогресия? Концепцията за геометрична прогресия.
Започваме екскурзията, както обикновено, от елементарните. Пиша недовършена последователност от числа:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Можете ли да хванете модел и да кажете какви номера ще отидат по-далеч? Пипер е ясен, след това цифрите са 100 000, 10,000,000 и така нататък. Дори без много умствено напрежение, всичко е ясно, защото?)
Добре. Друг пример. Пиша тази последователност:
1, 2, 4, 8, 16, …
Ще може да каже какви номера ще отидат по-далеч, след номера 16 и повикване осми Член на последователността? Ако осъзнаете, че ще бъде номер 128, той е много добър. Така че, половината от разбирането значение и ключови моменти Вече е направено геометрична прогресия. Можете да растат още.)
И сега отново отидете от усещания, за да строгите математика.
Ключови моменти от геометрична прогресия.
Ключова точка 1.
Геометрична прогресия е последователност от числа. Като прогресия. Нищо без лук. Само тази последователност е подредена по различен начин.Следователно, естествено, и друго име носи, да ...
Ключов номер 2.
С втория ключов момент ще бъде въпросът за стилинга. Нека се върнем малко назад и да помним ключовия имот на аритметичната прогресия. Ето го: всеки член се различава от предишния на същата величина.
Възможно ли е да формулирате подобен ключов имот за геометрична прогресия? Помислете малко ... Обърнете внимание на дадените примери. Предполагам? Да! В геометричната прогресия (всеки!) Всеки е различен от предишния по същия начин.Винаги!
В първия пример това е дузина. Какъв член на последователността нито го приема повече от предишния десет пъти.
Във втория пример това е два пъти: всеки член повече от предишния два пъти.
Това е този ключ към геометричната прогресия и се различава от аритметика. В аритметична прогресия всеки следващ член се получава допълване Същата величина към предишния член. И тук - умножаване Предишния член за същата величина. Това е цялата разлика.)
Ключов номер 3.
Тази ключова точка е напълно идентична с такава за аритметична прогресия. А именно: всеки член на геометричната прогресия е на негово място.Точно точно в точка, както в аритметичната прогресия и коментарите, мисля, че не е необходимо. Има първи член, има стотина и т.н. Пренаредете най-малко двама членове - редовността (и заедно с нея и геометрична прогресия) ще изчезнат. Ще има просто последователност от числа без никаква логика.
Това е всичко. Това е цялата геометрична прогресия.
Условия и обозначения.
Но сега, като разбирайки с значението и ключовите моменти на геометричната прогресия, е възможно да се пристъпи към теорията. И в противен случай каква теория без разбиране значението е вярно?
Как да обозначим геометричната прогресия?
Как се записва геометричната прогресия общ? Няма проблем! Всеки член на прогресията е написан и под формата на писмото. Само за аритметична прогресия, обикновено използвана буква "но"за геометрични - клюн "B". Номер на членКакто обичайното, е посочено индекса вдясно по-долу. Самите членове на прогресията просто се изброяват чрез запетая или точка със запетая.
Като този:
b 1,б. 2 , б. 3 , б. 4 , б. 5 , б. 6 , …
Накратко, тази прогресия се записва така: (б.) .
Или така, за окончателните прогресии:
B 1, B 2, B3, B4, B 5, B 6.
B 1, B 2, ..., B 29, B 30.
Или, в кратък запис:
(б.), н.=30 .
Тук, всъщност всички символи. Все пак, само буквата е различна, да.) И сега отидете директно към дефиницията.
Определяне на геометричната прогресия.
Геометрична прогресия е последователност на числа, първият член на който е различен от нула, и всеки следващ член е равен на предишния член, умножен по същия ненулев номер.
Това е всичко определение. Повечето думи и фрази са разбираеми и познати на вас. Ако, разбира се, разбирате значението на геометричната прогресия "на пръстите" и като цяло. Но има няколко нови фрази, за които бих искал да обърна специално внимание.
Първо, думи: "Първият член на който разсеян от нула".
Това ограничение за първия срок не е въведено случайно. Какво мислите, че ще се случи, ако първият член б. 1 Ще се окаже ли нула? Какъв ще бъде вторият член, ако всеки член е повече от предишния в същия брой пъти? Да предположим три пъти? Да видим ... Умножаваме първия термин (т.е. 0) за 3 и получавам ... нула! И третия пишка? Също така нула! И четвъртият пишка също е нула! И т.н.
Ние получаваме само торба с отскочи на zeros последователността:
0, 0, 0, 0, …
Разбира се, такава последователност има право на живот, но не представлява никакъв практически интерес. Всичко е чисто. Всеки пишка е нула. Сумата на произволен брой членове също е нула ... Какво мога да направя с нейната интересна? Нищо…
Следващи ключови думи: "Умножени до същия ненулев номер."
Това е същото число, което също носи вашето специално име - геометрична прогресия на знаменател. Започваме запознаване.)
Геометрична прогресия на знаменател.
Всичко е по-лесно от простото.
Един знаменател на геометричната прогресия е ненулев номер (или стойност), показващколко пъти Всеки член на прогресия повече от предишния.
Отново, по аналогия с аритметичния напредък, ключовата дума да се обърне внимание на това определение е думата "Повече ▼". Това означава, че всеки член на геометричната прогресия се получава умножаванена този най-знаменател предишен член.
Обяснявам.
Да се \u200b\u200bизчисли, да кажем втори Член, трябва да вземете първо Член I. умножете се Неговия знаменател. За изчисление десетчески Член, трябва да вземете девети Член I. умножете се Неговия знаменател.
Самият знаменател на геометричната прогресия може в същото време да бъде всеки. Всеки! Цялото, частично, положително, отрицателно, ирационално - всеки начин. В допълнение към нула. Това е за това и ни казва думата "не-нула" в дефиницията. Защо тази дума е необходима тук - за това по-долу.
Геометрична прогресия на знаменател обозначава най-често, клюн q..
Как да го намерим q. ? Няма проблем! Трябва да приемате всеки член на прогресията и дял. Дивизия е фракция. Оттук и името - "знаменател на прогресията". Знаменателят, обикновено в Fraraty седи, да ...) Въпреки че, в логиката, величината q. трябва да се нарича частни геометрична прогресия по аналогия с разлика За аритметична прогресия. Но се съгласи да се обади знак. И ние няма да измислим велосипеда.)
Ние определяме, например, стойността q. За такова геометрична прогресия:
2, 6, 18, 54, …
Всички елементарни. Предприеме всеки Броя на последователностите. Какво искаме, така че вземете. В допълнение към първия. Например, 18. и се разделят на предишен номер. Това е 6.
Получаваме:
Q. = 18/6 = 3
Това е всичко. Това е правилният отговор. За тази геометрична прогресия знаменателят е три.
Намери сега знаменателя q. За друга геометрична прогресия. Например, това е:
1, -2, 4, -8, 16, …
Все същото. Каквито и да са знаците от самите членове, ние все още вземаме всеки Броя на последователностите (например 16) и се разделят на предишен номер (т.е. -8).
Получаваме:
д. = 16/(-8) = -2
И всички неща.) Този път знаменателят на прогресията беше отрицателен. Минус две. Случва се.)
Вземете сега това е прогресията:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
И отново, независимо от вида на числата, обърнати към последователността (поне поне частично, дори отрицателно, макар и нерационално), приемайте произволен брой (например 1/9) и разделете предишния номер (1/3). Съгласно правилата за действие с фракции, естествено.
Получаваме:
И това е всичко.) Тук знаменателят се оказа частичен: q. = 1/3.
Но това е "прогресия" като теб?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно тук q. = 1 . Официално това е и геометрична прогресия, само с идентични членове, Но такива прогресии за изучаване и. \\ T практическо приложение не е интересно. Подобно на прогресията с твърди нули. Затова ще ги разгледаме и няма.
Както виждате, знаменател на прогресията може да бъде всеки - цяло, частично, положително, отрицателно - всеки начин! Не може да бъде само нула. Не познахте защо?
Е, нека видим какъв конкретен пример ще се случи, ако приемате като знаменател q. Nolik.) Нека например ще б. 1 = 2 , но q. = 0 . Какво ще бъде вторият термин тогава?
Считаме:
Б. 2 = б. 1 · q. \u003d 2 · 0 \u003d 0
И третия пишка?
Б. 3 = б. 2 · q. \u003d 0 · 0 \u003d 0
Видове и поведение на геометрични прогресии.
С всичко е повече или по-малко ясно: ако разликата в прогресията д. Положителен, след това прогресията се увеличава. Ако разликата е отрицателна, прогресията намалява. Само две възможности. Няма трета.)
Но с поведението на геометричната прогресия всичко ще бъде по-интересно и по-разнообразно!)
Веднага след като членовете се държат тук: и се увеличават и намаляват, и те са неограничен подход към нула и дори да променят знаците, последователно бързайки в "плюс", след това в "минус"! И във всичко това сорт, трябва да можете да разберете добре, да ...
Ние разбираме?) Започваме от най-простия случай.
Знаменателят е положителен ( q. >0)
С положителен знаменател, първо, членовете на геометричната прогресия могат да влязат плюс безкрайност (т.е. увеличаване безкрайно) и може да влезе минус безкрайност(т.е. неограничен намаление). Вече взехме такова поведение на напредъка.
Например:
(б.): 1, 2, 4, 8, 16, …
Всичко е просто тук. Получава се всеки член на прогресията повече от предишния. И всеки член се получава умножаване Предишен член на. \\ T положителен номер +2 (т.е. q. = 2 ). Поведението на такава прогресия е очевидно: всички членове на прогресията нараства за неопределено време, влизат в космоса. В плюс безкрайност ...
И сега това е прогресията:
(б.): -1, -2, -4, -8, -16, …
Тук също се получава всеки член на прогресията умножаване Предишен член на. \\ T положителен номер +2. Но поведението на такава прогресия вече е обратното: всеки член на прогресията се получава по-малко от предишнияИ всички негови членове ще ограничат намаляването, оставяйки минус безкрайността.
И сега нека да помислим: какво ще кажете за тези две прогресии? Точно така, знаменател! Тук-там q. = +2 . Положителен.Две. И тук поведение Тези две прогресии са фундаментално различни! Не познахте защо? Да! Всички бизнес Б. първи член!Той е, както се казва, и нарежда музика.) Виж себе си.
В първия случай, първият мандат на прогресията положителен (+1) и стана всички последващи членове, получени чрез умножаване на положителензнак q. = +2 също ще бъде положителен.
Но във втория случай първият член отрицателен (-one). Следователно всички следващи членове на прогресията, получени чрез умножаване положителен q. = +2 също ще получи отрицателен. За "минус" на "плюс" винаги дава "минус", да.)
Както можете да видите, за разлика от аритметичната прогресия, геометричната прогресия може да се държи напълно различно не само в зависимост от знаменателяq.но и в зависимост от това от първия термин, Да.)
Спомняме си: поведението на геометричната прогресия е уникално определено от първия си член б. 1 и знаменателq. .
И сега започваме анализа на по-малко познати, но но много по-интересни случаи!
Вземете, например, това е последователността:
(б.): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Тази последователност също е геометрична прогресия! Получава се и всеки член на тази прогресия умножаване предишен член, в същия номер. Само номерът е - фракция: q. = +1/2 . Или +0,5 . И (важно!) Номер, малки единици:q. = 1/2<1.
Какво е интересно тази геометрична прогресия? Къде търсят нейните членове? Да видим:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Какво интересно може да се забележи? Първо, незабавно поразително намаление на членовете на прогресията: всеки член по-малко Предишен ривун 2 пъти. Или, в съответствие с определението за геометрична прогресия, всеки член повече ▼предишен на 1/2 пътикато Прогресия на знаменател q. = 1/2 . И от умножение положителен, по-малко обединени, резултатът обикновено намалява, да ...
Какво още Можете ли да забележите поведението на тази прогресия? Дали членовете й намаляват неограниченвлизайки в минус безкрайност? Не! Те намаляват по специален начин. Първо, доста бързо намалява и тогава всичко е по-бавно и по-бавно. И оставайки през цялото време положителен. Нека и много, много малък. И защо те харесват? Предположи ли? Да! Те се стремят към нула!) И обърнете внимание на самите нулеви членове на нашата прогресия никога не достигайте!Само безкрайно близо до нея се приближава. Много е важно.)
Подобна ситуация ще бъде в такава прогресия:
(б.): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Тук б. 1 = -1 , но q. = 1/2 . Все пак, само до нула сега членовете ще се обърнат към другата страна по-долу. През цялото време оставащо отрицателен.)
Такава геометрична прогресия, чиито членове неограничен подход нула (без значение, с положителна или отрицателна страна), в математиката носи специално име - безкрайно намаляване на геометричната прогресия. Тази прогресия е толкова интересна и необичайна, че дори ще бъде около нея отделен урок .)
Така че, погледнахме всичко възможно положителен Dannels - и големи единици и по-малки единици. Ние не разглеждаме самото единица като знаменател за причините, изложени по-горе (запомнете пример с поредица от тройни ...)
Да обобщим:
положителен и още единици (q.\u003e 1), след това членовете на прогресията:
а.) за неопределено увеличаване (акоб. 1 >0);
б) неограничено намаляване (акоб. 1 <0).
Ако знаменател на геометричната прогресия положителен и по-малко (0< q.<1), то члены прогрессии:
а) безкрайно близо до нула отгоре (акоб. 1 >0);
б) безкрайно близо до нула по-долу (акоб. 1 <0).
Остава сега да разгледа случая отрицателен знаменател.
Знаменател отрицателен ( q. <0)
Например, няма да отидем далеч. Какво, всъщност, срам баба?!) Нека, например, ще бъде първият срок на прогресията б. 1 = 1 и знаменателят ще вземе q \u003d -2..
Получаваме тази последователност:
(б.): 1, -2, 4, -8, 16, …
И така нататък.) Всеки член на прогресията се получава умножаване Предишен член на. \\ T отрицателно число -2. В същото време всички членове стоят на странни места (първо, трето, пето и т.н.) ще бъдат положителени дори на места (второ, четвърто и т.н.) - отрицателен. Знаците строго се редуват. Плюс-минус плюс-минус ... Такова геометрична прогресия се нарича - все по-подравнява.
Къде търсят нейните членове? И никъде.) Да, в абсолютна стойност (т.е. модул) Членовете на нашата прогресия все повече се увеличават (следователно името "нараства"). Но в същото време всеки член на прогресията се хвърля алтернативно в топлината, след това в студа. След това в "плюс", след това в "минус". Нашата прогноза се колебае ... и обхватът на трептенията с всяка стъпка нараства бързо, да.) Стана, стремежът на членове на прогресията някъде конкретно тук не.Нито плюс безкрайност, нито да минус безкрайността, нито до нула - никъде.
Сега разглеждаме някакъв дробничен знаменател между нула и минус.
Например, нека бъде б. 1 = 1 , но q \u003d -1/2..
След това получаваме прогресията:
(б.): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
И отново имаме редуване на знаците! Но за разлика от предишния пример вече има ясна тенденция да се подходи към членовете до нула.) Само този път, нашите членове подхождат нула, не е строго отгоре или отдолу, но отново колебание. Алтернативно приемайки това положително, след това отрицателни стойности. Но в същото време те са модули се приближавате и по-близо до ценния език.)
Такава геометрична прогресия се нарича безкрайно намаляване на подравняването.
Какви са тези два примера? Така че в двата случая се извършва редуващи се знаци! Този чип е характерен само за напредък с отрицателен знаменател, да.) Стана, ако в някаква задача ще видите геометрична прогресия с алкален елемент, тогава ще бъдете твърдо известни, че нейният знаменател е 100% отрицателен и не е сбъркан в знака .)
Между другото, в случай на отрицателен знаменател, знакът на първия член не влияе върху поведението на самата прогресия. По какъвто и да е начин, първият член на прогресията, във всеки случай, ще се спазват привеждането в съответствие на членовете. Целият въпрос е само в кои места (Дори или нечетно) ще стои членове със специфични признаци.
Помня:
Ако знаменател на геометричната прогресия отрицателен , след това признаци на прогресия на прогресия заместник.
В същото време самите членове:
а) за неопределено времепо модул, акоq.<-1;
б) безкрайно подход на нула IF -1< q.<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Това е всичко. Всички примерни случаи се разглобяват.)
В процеса на отхвърляне на различни примери за геометрични прогресии, аз периодично използвах думите: "Тя се стреми към нула", "Тя се стреми към плюс безкрайността", "Тя се стреми за минус безкрайност"... нещо ужасно.) Тези реч оборот (и конкретни примери) - само първоначален познат поведение Стойностите числени последователности. Върху примера на геометрична прогресия.
Защо обикновено трябва да знаем поведението на прогресията? Каква е разликата, в която търси? До нула дали, до безкрайност, до минус безкрайност ... Ние сме нещо от това?
Въпросът е, че вече в университета, в хода на най-високата математика, ще се нуждаете от способността да работите с най-различни цифрови последователности (с която и да е, а не само развитието!) И способността да се представя точно как това или Тази последователност се държи - независимо дали тя се увеличава, независимо дали намалява дали тя се стреми към конкретен номер (а не непременно до нула) или дори не се стреми да отиде в нищо ... тази тема е цяла секция - тази тема е в хода на Матаналя. теория на границите. Малко по-конкретно - концепцията границата на числовата последователност.Много интересна тема! Има смисъл да отидете в Института и да се справим.)
Някои примери от този раздел (последователности, които имат лимит) и по-специално, безкрайно намаляване на геометричната прогресия Започнете да стигате до училище. Свиквам с.)
Освен това, способността да се изследва поведението на последователностите в бъдеще, ще играе ръка и много полезна проучване на функциите. Различни. Но уменията компетентно работят с функциите (изчислете дериватите, за да ги изследвате в пълната програма, да изградите техните графики) вече рязко увеличавате математическото си ниво! Съмнение? Недей. Все още си спомняте думите ми.)
Да разгледаме геометричната прогресия в живота?
В заобикалящия си живот с геометричен напредък, ние сме изправени много и много често. Дори без да подозира.)
Например, различни микроорганизми, които ни заобикалят навсякъде в огромни количества и които дори не виждаме без микроскоп, се умножават точно в геометричната прогресия.
Да кажем, че една бактерия се умножава по отдела наполовина, давайки потомство в 2 бактерии. На свой ред всеки от тях, умножаването, също е разделен на половина, давайки общо потомство в 4 бактерии. Следващото поколение вече ще даде 8 бактерии, след това 16 бактерии, 32, 64 и т.н. С всяко следващо поколение броя на бактериите се удвояват. Типичен пример за геометрична прогресия.)
Също така в геометричната прогресия някои насекоми се размножават, лети. И зайци понякога и между другото.)
Друг пример за геометрична прогресия, по-близо до ежедневието, е така наречената съставен интерес. Такъв интересен феномен често се среща в банкови депозити и се нарича капитализация на интереси. Какво е?
Вие сте сами все още, разбира се, млади. В училище, научете, не обжалвайте банките. Но вашите родители вече са възрастни и независими хора. Отидете на работа, парите за хляб са спечелени и част от парите, поставени в банката, правят спестявания.)
Да речем, баща ти иска да поднантизира определена сума пари за семейни празници в Турция и да пусне на банка 50 000 рубли под 10% годишно за период от три години с годишната капитализация на интереси. И през целия този период нищо не може да се направи с приноса. Невъзможно е да се попълни приноса, нито да вземат пари от сметката. Каква печалба ще премине през тези три години?
Е, първо, е необходимо да се разбере какво е 10% годишно. Означава, че след година При първоначалния размер на депозита от банката ще бъдат натрупани 10%. От това, което? Разбира се, от първоначална сума за депозит.
Считаме размера на сметката за една година. Ако първоначалният размер на приноса е 50 000 рубли (т.е. 100%), след това за една година ще има колко процента? Право, 110%! От 50 000 рубли.
Тук разглеждаме 110% от 50 000 рубли:
50000 · 1.1 \u003d 55000 рубли.
Надявам се да разберете, че намирането на 110% от стойността означава умножаване на тази сума по номер 1.1? Ако не разбирате защо точно това е така, не забравяйте петия и шести клас. Именно - Съобщаване на интереси с фракции и части.)
По този начин увеличението през първата година ще бъде 5000 рубли.
И колко пари ще бъдат в сметката за две години? 60000 рубли? За съжаление (или по-скоро за щастие), всичко не е толкова просто. Целият процент върху капитализацията е, че с всяка нова лихвена начисляване, тези най-голям интерес ще бъдат разглеждани вече от новата сума!От този, който вече Лежи по сметката в момента.И натрупаният лихва за предходния период се добавя към първоначалния размер на депозита и по този начин те сами участват в начисляването на нови процента! Това е, те стават пълна част от споделената сметка. Или общо капитал.Оттук и името - капитализация на интереси.
Това е в икономиката. И в математиката такъв интерес се наричат сложен процент.Или процент.) Техният чип се крие във факта, че с постоянен изчислителен интерес всеки път, когато се разглеждат от нова стойност.И не от първоначалното ...
Стана да изчисли сумата две годиниТрябва да изчислим 110% от сумата, която ще бъде в сметката след година. Това е вече от 55 000 рубли.
Смятаме, че 110% от 55 000 рубли:
55000 · 1.1 \u003d 60500 рубли.
Така че процентната печалба за втората година ще бъде вече 5 500 рубли, а след две години - 10 500 рубли.
Сега вече е възможно да се отгатне, че след три години сумата в сметката ще бъде 110% от 60 500 рубли. Това е 110% отново от предишния (миналата година)суми.
Така че мислим:
60500 · 1.1 \u003d 66550 рубли.
И сега ние изграждаме паричните си суми по време на последователността:
50000;
55000 \u003d 50,000 · 1.1;
60500 \u003d 55000 · 1.1 \u003d (50 000 · 1,1) · 1.1;
66550 \u003d 60500 · 1.1 \u003d ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1
И как? Какво не е геометрична прогресия? Първи член б. 1 = 50000 и знаменател q. = 1,1 . Всеки член е повече от предишния стриктно 1.1 пъти. Всичко е в строго съответствие с определението.)
И колко допълнителни лихвени бонуси "кълнати" на баща ви, докато 500 рубли за три години в банкова сметка?
Считаме:
66550 - 50000 \u003d 16550 рубли
Ненато, разбира се. Но това е, ако първоначалното количество депозит е малко. И ако има повече? Да кажем, не 50 и 200 хиляди рубли? Тогава увеличението за три години ще бъде вече 66,200 рубли (ако изчислява). Какво вече е много добро.) И ако приносът е още повече? Това е, което е ...
Заключение: Колкото по-висока става първоначалната принос, толкова по-печеливша става капитализацията на интереса. Ето защо депозитите с капитализация на интереси се предоставят от банките за дълъг план. Да кажем за пет години.
Също така в геометрична прогресия всички некоренни заболявания на вида на грипа, морбили и още по-ужасни заболявания (една и съща атипична пневмония в началото на 2000-те или чума в средновековието) вероятно ще се разпространят. От тук и такива скали от епидемии, да ...) и всички поради факта, че геометричната прогресия с целият положителен знаменател (q.>1) - Това, което става много бързо! Не забравяйте, че възпроизвеждането на бактерии: две от една бактерия се получават, от две - четири, от четири - осем и така нататък ... с разпределението на всякаква инфекция.)
Най-простите задачи за геометрична прогресия.
Да започнем, както винаги, с проста задача. Чисто разбиране смисъл.
1. Известно е, че вторият член на геометричната прогресия е 6, а знаменателят е -0.5. Намерете първия, третия и четвъртия членове.
Така че, ние сме дадени безкраен Геометрична прогресия и известна втори член Тази прогресия:
B 2 \u003d 6
В допълнение, все още сме известни прогресия на знаменател:
Q \u003d -0.5.
И трябва да намерите първо, третои Четвърточленове на тази прогресия.
Така че действат. Последователност на записите чрез състоянието на задачата. Право като цяло, където вторият член е по-шест:
b 1, 6,б. 3 , б. 4 , …
И сега продължете към търсенето. Започваме, както винаги, от най-простите. Можете да преброите например третия пишка b 3.? Мога! Вече знаем с вас (точно по смисъла на геометричната прогресия), че третият пишка (B 3) Повече от второ (б. 2 ) в "Q" време!
Ние пишем:
b 3 \u003d.б. 2 · q.
Подменяме в този израз шест вместо това b 2.и -0.5 вместо това q. И вярвам. И не пренебрегвайте минус, разбира се ...
b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3
Като този. Третият член беше минус. Нищо чудно: нашият знаменател q. - отрицателен. И плюс умножете чрез минус, ще бъде известно, минус.)
Сега разглеждаме следващия, четвъртия мандат на прогресията:
b 4 \u003dб. 3 · q.
B 4 \u003d -3 · (-0,5) \u003d 1.5
Четвъртият Дик - отново с плюс. Петият член ще бъде с минус, шестият - с плюс и т.н. Знаци - Алтернативно!
Така че, намерени трети и четвърти членове. Оказа се тази последователност:
b 1; 6; -3; 1.5; ...
Сега остава да намерим първия член. b 1. Според добре познатата секунда. За да направите това, вървете в другата страна, останете. Това означава, че в този случай вторият член на прогресията трябва да не умножим знаменателя и разделям
Разделяме и получаваме:
Това е всичко.) Отговорът на задачата ще бъде такъв:
-12; 6; -3; 1,5; …
Както можете да видите, принципът за решаване на същото като в. Зная . \\ t Член I. знак Геометрична прогресия - можем да намерим всеки друг член. Това, което искаме, такова и притискане.) С единствената разлика, която добавянето / изваждането се заменя с умножение / дивизия.
Спомняме си: Ако сме известни поне с един член и знаменател на геометричната прогресия, тогава винаги можем да намерим друг член на тази прогресия.
Следващата задача, според традицията, от реалната версия на OGE:
2.
...; 150; х; 6; 1.2; ...
И как? Този път няма първи член, нито знаменател q., само последователността на числата е настроена ... Нещо, познато вече е вярно? Да! Подобна задача вече е разглобена в аритметичната прогресия!
Така че не се страхувайте. Все същото. Обърнете главата си и помнете елементарното значение на геометричната прогресия. Поглеждаме внимателно нашата последователност и смятаме, че параметрите на геометричната прогресия на трите основни (първия член, знаменател, номерът на члена) са скрити в нея.
Членове на членовете? Няма номера на членове, да ... но има четири последователност Числа. Какво означава тази дума, няма смисъл да се обяснява на този етап.) Имате ли две в тази последователност съседни известни числа?Има! Той е 6 и 1.2. Така че можем да намерим знаменател на прогресията.Тук и вземете номер 1.2 и се разделят на предишния номер. На шестата.
Получаваме:
Получаваме:
х. \u003d 150 · 0.2 \u003d 30
Отговор: х. = 30 .
Както виждате, всичко е съвсем просто. Основната трудност се състои само в изчисления. Особено трудно се случва в случай на отрицателни и фракционни знаменатели. Така че тези, които имат проблеми, повторете аритметиката! Как да работите с фракции, как да работите с отрицателни числа и така нататък ... иначе тук ще се забави безмилостно.
И сега малко промени задача. Сега ще бъде интересно! Премахнете в него последния номер 1.2. Ето такава задача сега чрез разрешаване:
3. Написани са няколко последователни членове на геометричната прогресия:
...; 150; х; 6; ...
Намерете член на прогресията, посочена от буквата x.
Все пак, само две съседни известен Нямаме прогресия на прогресията. Това е основният проблем. Защото сумата q. Чрез два съседни члена сме толкова лесни за определяне ние не можем. Имаме ли шанс да се справим с задачата? Сигурен!
Нарежете неизвестния член х."Директно по смисъла на геометричната прогресия! Като цяло.
Да да! Право с неизвестен знаменател!
От една страна, за IKSA, можем да запишем това съотношение:
Х. \u003d 150 ·q.
От друга страна, същата xe, имаме пълното право да рисуваме и през членство Член, през шестте! Споделяне на шестте до знаменателя.
Като този:
Х. = 6/ q.
Очевидно сега можете да приравните и двете от тези взаимоотношения. Откакто изразяваме същото величина (x), но две различни начини.
Получаваме уравнението:
Умножаване на всички от q.Опростяване, рязане, получаваме уравнение:
q 2 \u003d 1/25
Ние решаваме и получаваме:
q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0.2
Опа! Знаменателят се оказа двойно! +0.2 и -0.2. И кой да изберем? Задънена улица?
Спокойствие! Да, задачата наистина има две решения!Нищо не е наред с това. Това се случва.) Не се изненадате, когато например вземете два корена, решавате обичайното? Ето една и съща история.)
За q \u003d +0.2. Ще получим:
X \u003d 150 · 0.2 \u003d 30
И за q. = -0,2 ще бъде:
X \u003d 150 · (-0.2) \u003d -30
Получаваме двоен отговор: х. = 30; х. = -30.
Какво означава този интересен факт? И какво съществува две прогресииУдовлетворяване на състоянието на задачата!
Като тези:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
И двете са подходящи.) Какво мислите, защото това, което имаме разделен отговор? Веднъж поради премахването на определен член на прогресията (1.2), идващ след шестте. И познаване само на предишния (n-1) -т и следващ (n + 1) -т член на геометричната прогресия, вече не можем да кажем нищо за това, което стои между тях. Възможни са две опции - с плюс и с минус.
Но не и неприятности. Като правило, в задачите за геометрична прогресия има допълнителна информация, която дава недвусмислен отговор. Да кажем, думи: "Прогрес на подравняване"или "Прогресия с положителен знаменател" И така нататък ... това са тези думи и трябва да служат като кука, какъв знак, плюс или минус трябва да бъдат избрани, когато е направен окончателният отговор. Ако няма такава информация, тогава - да, задачата ще има две решения.)
И сега решаваме себе си.
4. Определете дали номер 20 ще бъде член на геометричната прогресия:
4 ; 6; 9; …
5. Обявена геометрична прогресия:
…; 5; х. ; 45; …
Намерете маркировка за прогресия х. .
6. Намерете четвъртия положителен член на геометричната прогресия:
625; -250; 100; …
7. Вторият член на геометричната прогресия е -360 и петият му член е равен на 23.04. Намерете първия член на тази прогресия.
Отговори (при разстройство): -15; 900; не; 2.56.
Поздравления, ако всичко се случи!
Нещо не се присъединява? Някъде се оказа двойно отговор? Прочетохме внимателно състоянието на задачата!
Последната задача не излиза? Там няма нищо сложно.) Ние работим директно по смисъла на геометричната прогресия. Е, картината може да бъде изтеглена. Помага.)
Както виждате, всичко е елементарно. Ако прогресията е кратка. И ако е дълго? Или броят на желания член е много голям? Бих искал, по аналогия с аритметичния напредък, по някакъв начин получават удобна формула, която ви позволява лесно да намерите . \\ t член на всяка геометрична прогресия от номера му. Не умножава много, много пъти q.. И има такава формула!) Детайли - в следващия урок.
Формулата на N-тия член на геометричната прогресия е нещо много просто. Както по значение и от общия ум. Но задачите по формулата на N-тия член се намират всякакви - от много примитивни до доста сериозни. И в процеса на нашето познанство ще разгледаме и двете, така и на другите. Добре, запознайте се?)
Така, за самото начало самата формулан.
Ето я:
б. = б. 1 · q N. -1
Формула като формула, нищо свръхестествено. Изглежда дори по-лесно и по-компактно от подобна формула за. Значението на формулата също е проста като ботушите.
Тази формула ви позволява да намерите всеки член на геометричната прогресия по нейния номер " н.".
Както виждате, в смисъл, пълна аналогия с аритметичния напредък. Ние знаем номера n - можем да разчитаме и член по този номер. Какво искаме. Не се умножава последователно на "Q" много, много пъти. Това е цялата точка.)
Разбирам, че на това ниво на работа с прогресията на всички входящи във формулата на величината, вече трябва да бъдете разбрани, но аз го считам за дълг да дешифрирам всеки. За всеки случай.
Така че нека да отидем:
Б. 1 – първо член на геометрична прогресия;
Q. – ;
Н. - номер на член;
Б. – подобряванен.- Член на геометричната прогресия.
Тази формула свързва четирите основни параметъра на всяка геометрична прогресия - б. Н., б. 1 , q. и н.. И около тези четири ключови фигури и всички, всички задачи за прогресия се въртят.
- И как се показва? - Чувам любопитен въпрос ... елементарно! Виж!
Какво е равно втори Член на прогресия? Няма проблем! Директно писане:
b 2 \u003d b 1 · q
И третия пишка? Също така не е проблем! Вторият член тласка отновоq..
Като този:
B 3 \u003d b 2 · q
Спомнете си сега, че вторият термин, на свой ред, е равен на b 1 q и замества този израз в нашето равенство:
B 3 \u003d b 2 · q \u003d (b1 · q) · q \u003d b 1 · · · q \u003d b 1 · q2
Получаваме:
Б. 3 \u003d B 1 · q 2
Сега прочетете нашия рекорд на руски: третият Членът е равен на първия термин, умножен по Q в втори степен. Улов? Все още не? Добре, още една стъпка.
Какво е четвъртият пишка? Все същото! Умножете се предишен (т.е. третия пишка) на Q:
B 4 \u003d b 3 · q \u003d (b 1 · q 2) · q \u003d b 1 · q2 · q \u003d b 1 · q3
ОБЩА СУМА:
Б. 4 \u003d B 1 · q 3
И отново преведете на руски: четвърто Членът е равен на първия термин, умножен по Q в трети степен.
И т.н. И как? Хванаха редовност? Да! За всеки член с произволен брой, броя на идентичния фактор Q (т.е. степента на знаменател) винаги ще бъде на единица по-малка от броя на желания членн..
Ето защо, нашата формула, без опции:
b n \u003d.б. 1 · q N. -1
Това са всичко.)
Е, вероятно те намаляват предизвикателствата?)
Решаване на задачи по формулатан.-Ho член на геометричната прогресия.
Да започнем, както обикновено, с директно използване на формулата. Ето един типичен проблем:
В геометрична прогресия е известно, че б. 1 \u003d 512 I. q. \u003d -1/2. Намерете десетия член на прогресията.
Разбира се, този проблем може да реши този проблем. Директно в смисъл на геометрична прогресия. Но трябва да се затопли с формулата на N-тия член, нали? Толкова дишам.
Нашите данни за прилагането на формулата са както следва.
Известен първи термин. Това е 512.
Б. 1 = 512.
Също известен знаменател на прогресията: q. = -1/2.
Остава само да разбере какво е равно на броя n. Няма проблем! Интересувате ли се от десетия член? Така че заместваме в общата формула на най-добрите десет вместо n.
И внимателно разгледайте аритметиката:
Отговор: -1.
Както можете да видите, десетият член на прогресията е минус. Нищо невероятно: знаменателят на прогресията от US -1/2, т.е. отрицателен номер. И това ни казва, че признаците на нашата прогресионна алтернатива, да.)
Всичко е просто тук. И тук е подобна задача, но малко по-сложна по отношение на изчисленията.
В геометричната прогресия е известно, че:
Б. 1 = 3
Намерете тринадесетия прогресивен елемент.
Все пак, само този път знаменателят на прогресията - ирационално. Корен от две. Е, нищо ужасно. Формулата е универсално нещо, с каквито и да е копия.
Ние работим директно по формулата:
Формулата, разбира се, работи така, както трябва, но ... ето някои и виси. Какво да правите до корена? Как да се изгради корен в дванадесетата степен?
Като подобно ... необходимо е да се разбере, че всяка формула, разбира се, е добра, но знанието за цялата предишна математика не е отменена! Как да се изгради? Да, свойствата на градусите помнят! Завъртете корена Б. фракцияи - по формулата на степента на упражняване.
Като този:
Отговор: 192.
И всичко.)
Каква е основната трудност с директното използване на N-та-та-та-точна формула? Да! Основната трудност е работете с градуси! А именно изграждането на отрицателни числа, фракции, корени и подобни дизайни. Така че тези, които имат проблеми с това, спешната молба да повторят степента и техните свойства! В противен случай, в тази тема ще забавите, да ...)
И сега намалихме типичните задачи за търсенето. един от елементите на формулатаАко всички останали са дадени. За успешно решаване на такива задачи, рецептата е една и лесна за ужас - пишем формулан.-Ho член като цяло!Точно в лаптопа до състоянието. И след това от състоянието си мислим, че ни е дадено и какво липсва. И изразяват от формулата желаната величина. Всичко!
Например такава безвредна задача.
Петият член на геометричната прогресия с знаменател 3 е 567. Намерете първия член на тази прогресия.
Нищо трудно. Работим директно от магията.
Пишем формулата на N-тия член!
б. = б. 1 · q N. -1
Какво ни е дадено? Първо, се дава знаменател на прогресията: q. = 3.
В допълнение, ние сме дадени пети пик: б. 5 = 567 .
Всичко? Не! Дадохме номер n! Това е петте: n \u003d 5.
Надявам се, че вече разбирате това в записа б. 5 = 567 Два параметъра са скрити наведнъж - това е петата дъска (567) и нейният номер (5). В подобен урок вече съм говорил за това, но аз също считам не излишно напомняне.)
Сега заменяме данните си във формулата:
567 = б. 1 · 3 5-1.
Смятаме, че аритметиката опростяваме и получаваме просто линейно уравнение:
81 б. 1 = 567
Ние решаваме и получаваме:
Б. 1 = 7
Както виждате, с търсенето на първия член на всички проблеми. Но при търсене на знаменател q. и числа н. Изненадите също могат да се срещнат. И за тях (към изненади) също трябва да сте подготвени, да.)
Например такава задача:
Петият член на геометричната прогресия с положителен знаменател е равен на 162, а първият мандат на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.
Този път ни се дават първите и пети членове и искат знаменател на прогресията. Тук и продължете.
Пишем формулан.-Ho член!
б. = б. 1 · q N. -1
Данните ни ще бъдат както следва:
Б. 5 = 162
Б. 1 = 2
Н. = 5
Няма достатъчно значение q.. Няма проблем! Сега ще намерим.) Заместваме във формулата Всичко, което знаем.
Получаваме:
162 \u003d 2 ·q. 5-1
2 q. 4 = 162
Q. 4 = 81
Просто уравнение на четвъртата степен. Но сега - внимателно! На този етап на решения много ученици незабавно облекчават корена (четвърта степен) и получават отговор. q.=3 .
Като този:
Q 4 \u003d 81
Q. = 3
Но всъщност това е недовършен отговор. По-точно, непълна. Защо? Факт е, че отговорът е q. = -3 също така е подходящ: (-3) 4 също ще бъде 81!
Всички поради факта, че уравнението на властта x N. = а. винаги два противоположни корени за готовн. . С плюс и с минус:
И двете са подходящи.
Например, решаване (т.е. втори степен)
x 2 \u003d 9
По някаква причина не сте изненадани от външния вид две Корени x \u003d ± 3? Така че тук е същото. И с други мисъл Степента (четвърта, шеста, десета и т.н.) също ще бъдат същите. Детайли - при тема на професионалист
Следователно правилното решение ще бъде такова:
Q. 4 = 81
Q. \u003d ± 3.
Е, с признаци. Какви са правилните - плюс или минус? Е, ние отново четем състоянието на задачата в търсене допълнителна информация.Разбира се, може да не е, но в този проблем такава информация на разположение.Ние в условията директният текст казва, че прогресията на положителен знаменател.
Ето защо отговорът е очевиден:
Q. = 3
Всичко е просто тук. И какво мислите, че би било, ако формулирането на задачата ще бъде такова:
Петият член на геометричната прогресия е 162, а първият мандат на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.
Каква е разликата? Да! В състояние нищо Не се казва за знака на знаменателя. Нито направо, нито косвено. И тук задачата вече би имала две решения!
Q. = 3 и q. = -3
Да да! И плюс и с минус.) Математически този факт би означавал, че има две прогресиикоито са подходящи при състоянието на задачата. И за всеки - вашият знаменател. В името на интерес, практикувайте и запишете първите пет члена на всеки от тях.)
И сега номерът на член практикува. Тази задача е най-трудната, да. Но но и по-творчески.)
Геометрична прогресия на Дана:
3; 6; 12; 24; …
Какво е номер 768 в тази прогресия?
Първата стъпка е все още една и съща: пишем формулан.-Ho член!
б. = б. 1 · q N. -1
И сега, както обикновено, ние заменим известните от нас данни. GM ... не е заместен! Къде е първият член, къде е знаменателят, къде е всичко останало?!
Къде - къде ... и очите защо се нуждаем? Пръскане на мигли? Този път напреженията ни се дават директно като последователности. Първият член виждате? Виждаме! Това е тройна (B 1 \u003d 3). И знаменателят? Все още не виждаме, но много лесно се разглежда. Ако, разбира се, разбирам.
Така че мислим. Директно по смисъла на геометричната прогресия: вземете всеки (с изключение на първия) и разделете на предишния.
Поне така:
Q. = 24/12 = 2
Какво друго знаем? Все още известни някои членове на тази прогресия, равна на 768. Под някакъв номер n:
Б. = 768
Номерът, който ни е известен, но нашата задача е просто, че трябва да го намерим.) Така че търсим. Всички необходими данни за заместване във формулата, която вече сте изтеглили. Незабелязано за себе си.)
Така че заменим:
768 \u003d 3 · 2 Н. -1
Ние правим елементарно - разделяме двете части на първите три и пренапишете уравнението в обичайната форма: неизвестното ляво, известно - дясно.
Получаваме:
2 Н. -1 = 256
Тук е толкова интересно уравнение. Необходимо е да се намери "n". Какво е необичайно? Да, не споря. Всъщност това е най-простият. Тя е така наречена поради факта, че неизвестното (в този случай е число н.) На стойност показател степен.
На етапа на познаване с геометрична прогресия (това е деветата степен), експоненциалните уравнения не се преподават, да ... това е темата на гимназията. Но няма нищо ужасно. Дори и да не знаете как тези уравнения са решени, нека се опитаме да намерим нашата н., ръководен от прост логика и здрав разум.
Започваме да разсъждаваме. Отляво имаме две до някъде. Все още не знаем какво е конкретно за степента, но не е страшно. Но ние твърдо знаем, че тази степен е 256! Така че си спомням, в каква степен Deucend ни дава 256. Помнете? Да! В осми Степен!
256 = 2 8
Ако не си спомнят или с признаването на степените на проблема, това също не е нищо ужасно: просто последователно издигнете два пъти на площада, в куба, в четвъртата степен, пета и т.н. Избор, всъщност, но на това ниво - доста подвижен.
Както и да е, ще получим:
2 Н. -1 = 2 8
Н.-1 = 8
Н. = 9
Така, 768 е девети Член на нашата прогресия. Всичко, задачата е решена.)
Отговор: 9.
Какво? Скучно е? Уморени от елементарни? Съгласен съм. Аз също. Стъпване на следващото ниво.)
По-сложни задачи.
И сега решаваме задачите по-рязко. Не толкова легнало, но за които трябва да работят малко, за да стигнат до отговора.
Например такива.
Намерете втория член на геометричната прогресия, ако четвъртият му член е равен на -24, а седмият член е 192.
Това е класически жанр. Има няколко различни членове на прогресията и е необходимо да се намери още член. И всички членове не са съседни. Какво объркват отначало, да ...
Като в, за да решават такива задачи, ние разглеждаме два начина. Първият метод е универсален. Алгебрично. Той работи безопасно и с всички източници. Затова е от него и започва.)
Ние описваме всеки член по формулата н.-Ho член!
Точно в точка, както и с аритметичния напредък. Само този път работим друг Обща формула. Това е всичко.) Но същността е същото: вземете и алтернативно Заместваме нашите източници в N-тия формула. За всеки член - собствените си.
За четвъртия член пишете:
Б. 4 = б. 1 · q. 3
-24 = б. 1 · q. 3
Има. Едно уравнение е готово.
За седмия член пишем:
Б. 7 = б. 1 · q. 6
192 = б. 1 · q. 6
Общо получили две уравнения за същата прогресия .
Ние събираме системата:
Въпреки огромната си гледна точка, системата е доста проста. Най-очевидното решение е обичайното заместване. Експрес б. 1 От горното уравнение и заместител на дъното:
Изглеждат малко с по-ниското уравнение (намалявайки степените и разделянето на -24), получаваме:
q. 3 = -8
До същото уравнение, между другото, можете да дойдете и по-лесен начин! Какво? Сега ще ви демонстрирам друга тайна, но много красив, мощен и полезен начин за решаване на такива системи. Такива системи в уравненията на които седит работи само.Поне в едно. Наречен метод на милпен откриванетоедно уравнение на друго.
Така че пред американската система:
И в двете уравнения вляво - състави право - само номер. Това е много добър знак.) Да го вземем и ... Разделете, да речем, долното уравнение на върха! Какво означава, споделихте ли едно уравнение на друго? Много просто. Предприеме лявата част едно уравнение (по-ниско) и delim. На нея лявата част друго уравнение (отгоре). С дясната страна по подобен начин: право част едно уравнение delim. на право част Други.
Целият процес на разделяне изглежда така:
Сега, намалявайки всичко, което е намалено, получаваме:
Q. 3 = -8
Какво е добро по този начин? Във факта, че в процеса на такова разделение всичко не е добро и неудобно може безопасно да намали и да остане доста безвредно уравнение! Ето защо е толкова важно само умножения Най-малко в една от системните уравнения. Няма умножение - няма какво да се изреже, да ...
Като цяло този метод (като много други нетривиални начини за решаване на системи) дори заслужава отделен урок. Не забравяйте да го разберете по-подробно. Някой ден ...
Въпреки това, няма значение как точно решавате системата, във всеки случай, сега трябва да решим полученото уравнение:
Q. 3 = -8
Няма проблем: Извадете корена (кубичен) и - готов!
Моля, обърнете внимание, че тук при извличането не е необходимо да поставяте плюс / минус. Изобретателната (трета) степен е корен. И отговорът е и сам, да.)
Така че знаменателят на прогресията е намерен. Минус две. Отличен! Процесът върви.)
За първия член (да речем, от горното уравнение) ще получим:
Отличен! Ние знаем първия член, познаваме знаменателя. И сега имаме възможност да намерим всеки член на прогресията. Включително втората.)
За втория член всичко е напълно просто:
б. 2 = б. 1 · q. \u003d 3 · (-2) \u003d -6
Отговор: -6.
Така че, алгебричният начин за решаване на проблема, ние поставихме на рафтовете. Сложен? Не е много, съгласен съм. Дълги и досадни? Да разбира се. Но понякога можете значително да намалите размера на работата. За това е графичен метод.Добър стар и познат от нас.)
Начертайте задача!
Да! Точно. Ние отново изобразяваме нашата прогресия на числовата ос. Не е задължително на линия, не е необходимо да издържат на равни интервали между членовете (които, между другото, няма да бъде същото, защото прогресията е геометрична!), Но просто схематичен Ние нарисуваме последователността си.
Имам така:
И сега гледаме на снимката и мислим. Колко идентични мултипликатори "Q" споделят четвърто и седма Членове? Вярно, трима!
Затова имаме пълното право да пишем:
-24 ·q. 3 = 192
От тук лесно се търси лесно чрез Q:
q. 3 = -8
q. = -2
Това е добре, знаменателят вече е в джоба си. И сега погледнем отново картината: колко такива знаменатели седи между тях втори и четвърто членове? Две! Следователно, за да запишете връзката между тези членове, знаменателят ще изпрати в квадрат.
Тук пишем:
б. 2 · q. 2 = -24 От! б. 2 = -24/ q. 2
Ние заменим нашия открит знаменател в израза за B 2, ние вярваме и получаваме:
Отговор: -6.
Както виждате, всичко е много по-лесно и по-бързо, отколкото чрез системата. Освен това всички ние дори не трябваше да разгледаме първия пишка! Изобщо.)
Тук е толкова прост и визуален начин. Но той има сериозен недостатък. Предполагам? Да! Подходящ е само за много кратки парчета прогресия. Такива, когато разстоянията между членовете на интереси не са много големи. Но във всички останали случаи картината вече е трудна за рисуване, да ... след това решаваме проблема аналитично, чрез системата.) И системата е универсална. С всички числа.
Друг епичен проблем:
Вторият член на геометричната прогресия е 10 повече от първия, а третият член е 30 повече от втория. Намерете знаменател на прогресията.
Какво е страхотно? Въобще не! Все същото. Отново превеждаме състоянието на задачата в чистата алгебра.
1) Опишете всеки член с формула н.-Ho член!
Втори термин: b 2 \u003d b 1 · q
Трети член: B 3 \u003d B 1 · Q 2
2) Напишете връзка между членове от състоянието на проблема.
Прочетете условието: "Вторият член на геометричната прогресия е 10 повече от първия." Спрете, това е ценно!
Ние пишем:
Б. 2 = б. 1 +10
И тази фраза се превежда в чиста математика:
Б. 3 = б. 2 +30
Получи две уравнения. Ние ги комбинираме в системата:
Системата е проста. Но нещо много различни индекси на клюките. Заместник вместо втория и третия членове на тяхното изразяване чрез първия член и знаменателят! Напразно, какво ги нарисувахме?
Получаваме:
Но тази система вече не е подарък, да ... Как да решим? За съжаление, универсално тайно заклинание за решаване на комплекс нелинея Няма системи по математика и не могат да бъдат. Фантастично е! Но първото нещо, което трябва да има ум, когато се опитва да шрипей като силен nuthek - това е оценка, не е ли една от системните уравнения в красива гледна точка, която позволява, например, лесно е да се изрази една от променливите през другата?
Така че оценявам. Първото уравнение на системата е ясно по-лесно за второто. Тя е подложена на мъчения.) И не се опитвайте от първото уравнение нещо Експрес нещо? Тъй като искаме да намерим знаменател q., би било по-изгодно за нас да изразим б. 1 през q..
Така че ще се опитаме да направим тази процедура с първото уравнение, прилагайки старото добро:
b 1 Q \u003d B 1 +10
B 1 Q - B 1 \u003d 10
B 1 (Q-1) \u003d 10
Всичко! Така изразихме ненужно US променлива (B 1) чрез необходимо (q). Да, не е най-лесният израз. Фракцията е някои ... но системата имаме прилично ниво, да.)
Типичен. Какво да правя - знам.
Ние пишем ... (задължително!) :
q ≠ 1.
Умножаваме всичко до знаменателя (Q-1) и намалявам всички фракции:
10 q. 2 = 10 q. + 30(q.-1)
Разделяме всичко за първите десет, разкриваме скобите, съберете всичко вляво:
q. 2 – 4 q. + 3 = 0
Решаваме получените и получаваме два корена:
q. 1 = 1
q. 2 = 3
Окончателният отговор е един: q. = 3 .
Отговор: 3.
Както виждате, пътят за решаване на повечето задачи по формулата на N-тия член на геометричната прогресия е винаги един: прочетете внимателно Състоянието на задачата и използване на N-тия формула превеждаме цялата полезна информация в чиста алгебра.
А именно:
1) описваме отделно всеки в члена на задачата по формулатан.-ХО член.
2) От условията на задачата превеждаме връзката между членове в математическа форма. Направете уравнение или система от уравнения.
3) решаване на полученото уравнение или система на уравнения, ние намираме неизвестни параметри на прогресия.
4) В случай на двусмислен отговор, прочетохме внимателно състоянието на проблема в търсене на допълнителна информация (ако има такова). Също така, ние се стремим към получения отговор с ODZ (ако има такъв).
И сега изброяваме основните проблеми, които най-често водят до грешки в процеса на решаване на проблеми на геометричната прогресия.
1. Елементарна аритметика. Действия с фракции и отрицателни числа.
2. Ако поне една от тези три точки на проблема, неизбежно ще се сбъркате в тази тема. За съжаление ... така че не бъдете мързеливи и повторете това, което е споменато по-горе. И на връзките - отидете. Понякога помага.)
Модифицирани и рецидивиращи формули.
И сега обмислете няколко типични разглеждане на задачи с по-малко познат поток от условия. Да, да, предполагам! то модифициран и повтарящ се Formulas n-the член. С такива формули, ние вече се сблъскахме и работихме в аритметичната прогресия. Тук всичко е подобно. Същността е същата.
Например такава задача от Oge:
Геометричната прогресия е зададена с формулата б. \u003d 3 · 2 Н. . Намерете сумата от първия и четвъртия от членовете си.
Този път прогресията не е доста позната за нас. Под формата на някаква формула. И така, какво? Тази формула - също формула.н.-Ho член! Ние знаем с вас, че формулата на N-тия член може да бъде написана както в общата форма, чрез буквите и за специфична прогресия. От специфични Първи член и знаменател.
В нашия случай ние всъщност поискахме формулата на общ член за геометрична прогресия тук с такива параметри:
б. 1 = 6
Q. = 2
Чек?) Ние пишем формулата на N-тия член като цяло и заместник в нея б. 1 и q.. Получаваме:
Б. = б. 1 · q N. -1
Б. \u003d 6 · 2 Н. -1
Опростяваме използването на разграждането на множителите и свойствата на градуса и получаваме:
б. \u003d 6 · 2 Н. -1 \u003d 3 · 2 · 2 Н. -1 \u003d 3 · 2 Н. -1+1 \u003d 3 · 2 Н.
Както виждате, всичко е честно. Но нашата цел с вас не може да демонстрира заключението на конкретна формула. Това е така, лиричното отстъпление. Чисто за разбиране.) Нашата цел е да решаваме задачата за формулата, която ни е дадена в състоянието. Заснемане?) Така че работим директно с модифицирана формула.
Считаме за първия мандат. Заместител н.=1 Като цяло формула:
б. 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6
Като този. Между другото, не се вписвам и обръщам внимание на типичната обиколка с изчисляването на първия член. Не гледайте формулата б. \u003d 3 · 2 Н., Веднага бързайте да напишете, че първият член е тройката! Това е груба грешка, да ...)
Продължаваме. Заместител н.=4 и ние разглеждаме четвъртия пишка:
Б. 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48
Е, накрая, ние разглеждаме необходимата сума:
Б. 1 + б. 4 = 6+48 = 54
Отговор: 54.
Повече задача.
Геометрична прогресия се задава:
Б. 1 = -7;
Б. +1 = 3 б.
Намерете четвъртия мандат на прогресията.
Тук прогресията се определя от повтарящата се формула. Ми добре.) Как да работим с такава формула - Също така знаем.
Така че действат. Стъпки.
1) Ние разглеждаме две последователност Член на прогресията.
Първият член вече е настроен. Минус седем. Но следващият, вторият член може лесно да изчисли върху повтарящата се формула. Ако разбирате принципа на нейната работа, разбира се.)
Тук разглеждаме втория член според известния първи:
Б. 2 = 3 б. 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21
2) разглеждаме знаменателя на прогресията
Също няма проблеми. Право, разграничение. втори Член на първо.
Получаваме:
Q. = -21/(-7) = 3
3) Напишете формулан.-Ho член в обичайната форма и помислете за желания член.
Така че, първият член знае, знаменател - също. Тук пишем:
Б. \u003d -7 · 3 Н. -1
Б. 4 \u003d -7 · 3 3 = -7 · 27 \u003d -189
Отговор: -189.
Както виждате, работата с такива формули за геометрична прогресия не е друга по отношение на нейната същност от това за прогресиране на аритметика. Важно е само да се разбере общата същност и значението на тези формули. Е, значението на геометричната прогресия също трябва да бъде разбрано, да.) И тогава няма да има глупави грешки.
Добре, майната си?)
Завършете елементарни задачи, за загряване:
1. Геометрична прогресия на Дана б. 1 \u003d 243 и q. \u003d -2/3. Намерете шестия член на прогресията.
2. Общият член на геометричната прогресия е зададен по формулата б. = 5∙2 Н. +1 . Намерете номера на последния трицифрен член на тази прогресия.
3. Геометричната прогресия се определя от условията:
Б. 1 = -3;
Б. +1 = 6 б.
Намерете петия член на прогресията.
Малко по-сложно:
4. Геометрична прогресия на Дана:
Б. 1 =2048; q. =-0,5
Какво е шестият отрицателен член?
Какво изглежда превъзходно? Въобще не. Запазете логиката и разбирането на значението на геометричната прогресия. Е, формулата на N-тия член, разбира се.
5. Третият член на геометричната прогресия е -14, а осмият член е 112. Намерете знаменателя на прогресията.
6. Сумата от първия и втория член на геометричната прогресия е 75 и сумата на втория и третия членове е 150. Намерете шестия член на прогресията.
Отговори (в разстройство): 6; -3888; - 800; -32; 448.
Това е почти всичко. Остава само да се научи да ни разглежда сумата на първите членове на геометричната прогресия Да, открийте безкрайно намаляване на геометричната прогресия и неговата сума. Много интересно и необичайно нещо, между другото! За това - в следните уроци.)
Математиката е това, при коетохората контролират природата и сами по себе си.
Съветски математик, академик А.н. Колмогоров
Геометрична прогресия.
Заедно със задачите за аритметична прогресия, проблемите, свързани с концепцията за геометрична прогресия, са общи за входните тестове в математиката. За успешно решаване на такива задачи е необходимо да се познават свойствата на геометричната прогресия и да имат добри умения за ползване.
Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Ето примери за решения на типични задачи., Заимствани от задачите на входните тестове в математиката.
Преди това отбележете основните свойства на геометричната прогресия и напомнят най-важните формули и одобрение, свързани с тази концепция.
Определение. Числената последователност се нарича геометричен напредък, ако всеки от номера му започва от втория, равен на предишния, умножен по същия брой. Номерът се нарича знаменател на геометричната прогресия.
За геометрична прогресияформулите са валидни
, (1)
където. Формула (1) се нарича формула на общ член на геометричната прогресия и формула (2) е основното свойство на геометричната прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средната геометрична на съседните си членове и.
Забележка Какво точно заради този имот, разглежданата прогресия се нарича "геометрична".
Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:
, (3)
За изчисляване на сумата Първо Членове на геометрична прогресия Формулата се прилага
Ако определите тогава
където. Тъй като формулата (6) е обобщаване на формула (5).
В случая, когато и Геометрична прогресия е безкрайно намаляването. За изчисляване на суматавсички членове на безкрайно намаляване на геометричната прогресия се използват формула
. (7)
Например , С помощта на формула (7) можете да покажете, Какво
където. Тези равенства се получават от формула (7), при условие че (първо равенство) и (второ равенство).
Теорема. Ако тогава
Доказателства. Ако тогава
Теорема се доказва.
Нека се обърнем към разглеждането на примери за решаване на проблеми по темата "геометрична прогресия".
Пример 1. Дано: и. Да намеря .
Решение. Ако се прилага формула (5), тогава
Отговор:.
Пример 2.Нека бъде. Да намеря .
Решение. Тъй като ние използваме формулите (5), (6) и получаваме системата на уравнения
Ако второто уравнение на системата (9) е разделено на първия, след това или. Следователно I. . Разгледайте два случая.
1. ако, след това от първото уравнение на системата (9) имаме.
2. Ако тогава.
Пример 3.Нека, и. Да намеря .
Решение. От формула (2) следва това или. След това или.
Чрез условие. Следователно обаче. От след това тук има система от уравнения
Ако второто уравнение на системата е разделено на първото, тогава или.
Тъй като уравнението има единствения подходящ корен. В този случай от първото уравнение на системата тече.
Като се вземат предвид формулата (7), получаваме.
Отговор:.
Пример 4.Данар: и. Да намеря .
Решение. От тогава.
След това или
Според формулата (2) имаме. В това отношение от равенство (10) получаваме или.
Следователно, чрез условие, следователно.
Пример 5. Известно е, че. Да намеря .
Решение. Според теоремата имаме две равнища
След това или. От тогава.
Отговор:.
Пример 6. Данар: и. Да намеря .
Решение. Като се вземат предвид формулата (5), ние получаваме
От тогава. Оттогава и след това.
Пример 7. Нека бъде. Да намеря .
Решение. Според формулата (1) можете да записвате
Следователно имаме или. Известно е, че следователно.
Отговор:.
Пример 8. Намерете знаменател на безкрайното намаляване на геометричната прогресия, ако
и.
Решение. От формула (7) следва и . От тук и от условията на задачата получаваме система от уравнения
Ако първото уравнение на системата е да се изгради квадрат, и след това полученото уравнение е разделено на второ уравнение, Взимам
Или .
Отговор:.
Пример 9. Намерете всички стойности, в които последователността е геометричен напредък.
Решение. Нека, и. Според формула (2), която определя основната собственост на геометричната прогресия, може да бъде записана или.
От тук получаваме квадратно уравнение, Корените на които са и.
Извършване на чек: ако, тогава; Ако тогава, и.
В първия случай имаме И, и във втория - и.
Отговор: ,.
Пример 10.Решаване на уравнение
, (11)
къде и.
Решение. Лявата част на уравнението (11) е сумата от безкрайното намаляване на геометричната прогресия, в която, предвидена: и.
От формула (7) следва, Какво . В това отношение уравнението (11) отнема или . Подходящ корен квадратното уравнение е
Отговор:.
Пример 11.Пс договор от положителни числа Формира аритметична прогресия, но - Геометрична прогресия, с какво общо има това. Да намеря .
Решение.Като аритметична последователностT. (Основното свойство на аритметичната прогресия). Дотолкова доколкото, след това или. Това предполага , тази геометрична прогресия има формата. Съгласно формула (2), след това запишете това.
Както е . В този случай изразът възприема или. Чрез условие, Следователно, от уравнението Получаваме единственото решение на разглеждания проблем. .
Отговор:.
Пример 12.Изчислете сумата
. (12)
Решение. Умножете на 5 части от равенството (12) и получете
Ако се покори от получения израз (12)T.
или .
За изчисляването заменим във формулата (7) на стойностите и получаваме. От тогава.
Отговор:.
Примерите за разрешаване на решения, дадени тук, ще бъдат полезни за кандидатите при подготовката за встъпителни тестове. За по-дълбоко изследване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометричния напредък, Можете да използвате учебници от списъка с препоръчителна литература.
1. Събиране на проблеми в математиката за входящи в почвата / ЕД. M.i. Шанави. - м.: Световната и образованието, 2013. - 608 стр.
2. Suprun v.p. Математика за ученици от гимназията: допълнителни раздели на училищната програма. - м.: Lenand / Urss, 2014. - 216 p.
3. Медицински m.m. Пълен курс на елементарна математика по задачи и упражнения. Резервирай 2: Цифрови последователности и прогресия. - м.: ODITUS, 2015. - 208. \\ t
Имате въпроси?
За да получите помощ за наставник - Регистрирайте се.
сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.
Аритметична и геометрична прогресия
Теоретична информация
Теоретична информация
Аритметична прогресия |
Геометрична прогресия |
|
Дефиниция |
Аритметична прогресия н. Последователността се нарича всеки член, който започва от втория, е равен на предишния елемент, сгънат със същия номер д. (д. - Разлика на прогресията) |
Геометрична прогресия б. Последователността на ненулеви номера се нарича, всеки член, който започва от втория, е предишния член, умножен по същия брой q. (q. - знаменател на прогресията) |
Повтаряща се формула |
За всеки естествен н. |
За всеки естествен н. |
Няма формула |
n \u003d a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Характерно свойство |  |
|
| N-първите членове |  |
 |
Примери за задачи с коментари
Упражнение 1.
В аритметична прогресия ( н.) а 1. = -6, а2.
Съгласно формулата на NO член:
22. = а 1. + D (22 - 1) \u003d а 1. + 21 D.
Чрез условие:
а 1. \u003d -6, тогава 22. \u003d -6 + 21 d.
Необходимо е да се намери разликата в прогресията:
d \u003d. а 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
22. = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Отговор: 22. = -48.
Задача 2.
Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6; ....
1-ви метод (използвайки N формулата)
Съгласно формулата на NO член на геометричната прогресия:
b 5 \u003d B 1 ∙ Q 5 - 1 = b 1 ∙ Q 4.
Като b 1. = -3,
2-ри метод (използвайки повтаряща се формула)
Тъй като деноминаторът на прогресия е -2 (Q \u003d -2), тогава:
b 3. = 6 ∙ (-2) = -12;
б 4. = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5. = 24 ∙ (-2) = -48.
Отговор: b 5. = -48.
Задача 3.
В аритметична прогресия ( a N) A 74 = 34; 76. \u003d 156. Намерете седемдесет пети член на тази прогресия.
За аритметична прогресия, характерният имот има формата 
.
Следователно:
.
Заместващи данни във формулата:
Отговор: 95.
Задача 4.
В аритметична прогресия ( a n) a n \u003d 3N - 4. Намерете сумата от седемнадесет първите членове.
За да се намери сумата от първите членове на аритметична прогресия, се използват две формули:
.
Какво от тях са по-удобни да кандидатстват?
При условие е известно с формулата на N-кой член на първоначалната прогресия ( н.) н. \u003d 3N - 4 може да се намери веднага и а 1., I. 16. Без намиране d. Затова използваме първата формула.
Отговор: 368.
Задача 5.
В аритметична прогресия ( н.) а 1. = -6; а2. \u003d -8. Намерете двадесет и втора прогресия.
Съгласно формулата на NO член:
22 \u003d A 1 + D (22 – 1) = а 1. + 21d.
При условие, ако а 1. \u003d -6 тогава 22. \u003d -6 + 21D. Необходимо е да се намери разликата в прогресията:
d \u003d. а 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
22. = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Отговор: 22. = -48.
Задача 6.
Записват се няколко последователни члена на геометричната прогресия:
Намерете член на прогресията, посочена от буквата x.
При решаване използваме формулата на N-тия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 За геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменател на прогресията на Q, трябва да вземете някоя от данните за прогресирането на прогресията и да се разделите на предишното. В нашия пример можете да вземете и разделите. Получаваме това q \u003d 3. вместо n във формулата заменяме 3, тъй като е необходимо да се намери трети термин, даден от геометрична прогресия.
Подлежащите на установените стойности във формулата, получаваме:
.
Отговор:.
Задача 7.
От аритметичния напредък, даден на формулата на N-тия член, изберете този, за който се извършва състоянието 27. > 9:
Тъй като посоченото състояние трябва да се извърши за 27-ия член на прогресията, ние ще заменим 27 вместо N във всеки от четирите прогресирания. В четвъртата прогресия получаваме:
.
Отговор: 4.
Задача 8.
В аритметична прогресия а 1. \u003d 3, d \u003d -1.5. Посочете най-високата стойност на N, за която се извършва неравенство н. > -6.
Зареждане...