Решението на тригонометричните уравнения чрез разлагане върху мултипликатори. Тригонометрични уравнения

Можете да поръчате подробно решение на вашата задача !!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака тригонометрична функция ("SIN X, COS X, TG X" или "CTG X") се нарича тригонометрично уравнение, ние сме техните формули, които ще разгледаме по-нататък.

Най-простите се наричат \u200b\u200bуравнения `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, където 'x` е ъгълът да се намери," a "- всеки номер. Пишем за всяка от тях корените.

1. Уравнение "SIN X \u003d A".

С `| a |\u003e 1 нямате решения.

С `| a | 1 има безкраен брой решения.

Корени с формула: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + pi n, n z`

2. Уравнение `cos x \u003d a`

С `| a |\u003e 1" - както в случай на синус, няма решения между валидни числа.

С `| a | 1 има безкрайни решения.

Корени с формула: `x \u003d pm arccos a + 2 pi n, n z`

Частни дела за синус и косинус в графики.

3. уравнение `tg x \u003d a`

Той има безкраен набор от решения за всякакви стойности на "А".

Формула на корените: `x \u003d ARCTG A + pi n, n z`

4. Уравнение `ctg x \u003d a`

Той също така има безкрайни решения за всякакви стойности на "А".

Формулни корени: `x \u003d ARCCTG A + pi n, n z`

Формулите на корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синус:
За косинус:
За допирателна и котелност:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• като го превръщат в най-простия;
• за решаване на най-простото уравнение, използвайки горните писмени формули на корените и таблиците.

Помислете за основните методи за решения в примерите.

Алгебричен метод.

В този метод променливата се заменя и заместването му в равенство.

Пример. Решаване на уравнение: `2COS ^ 2 (x + \\ t frac pi 6) -3sin (frac pi 3 - x) + 1 \u003d 0` '

`2cos ^ 2 (x + \\ t frac pi 6) -3cos (x +] frac pi 6) + 1 \u003d 0`

ние правим замяна: `cos (x + k + pi 6) \u003d y`, след това" 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0 ",

ние откриваме корените: y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, от които следват два случая:

1. "COS (x +" frac pi 6) \u003d 1 ", x + \\ t ',` x_1 \u003d - frac pi 6 + 2 pi n`.

2. cos (x + \\ t frac pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ t 3 - FRAC PI 6 + 2 Pi N`.

Отговор: `x_1 \u003d - frac pi 6 + 2 pi n`,` x_2 \u003d pm frac pi 3- frac pi 6 + 2 pi n`.

Факторизация.

Пример. Разрешаване на уравнение: "SIN X + COS X \u003d 1".

Решение. Преместване на ляво всички членове на равенството: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Използвайки, ние се трансформираме и разлагаме на множителите лявата част:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

1. "SIN X / 2 \u003d 0", x / 2 \u003d pi n`, `x_1 \u003d 2 pi n`.
2. "cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1 ",` x / 2 \u003d ARCTG 1 + pi n`, `x / 2 \u003d pi / 4 + pi n`, \\ t `x_2 \u003d pi / 2 + 2 pi n`.

Отговор: `x_1 \u003d 2 pi n`,` x_2 \u003d pi / 2 + 2 pi n`.

Привеждане в хомогенно уравнение

Първоначално това тригонометрично уравнение трябва да бъде доведено до един от двата вида:

"SIN X + B COS X \u003d 0 (хомогенно уравнение на първата степен) или" SIN ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 х \u003d 0 "(хомогенно уравнение на втората степен).

След това разделете двете части на `cos x no 0` - за първия случай и на" cos ^ 2 x ne 0 "- за второто. Получаваме уравнението спрямо tg x`: `tg x + b \u003d 0 и 'a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0', което трябва да решите добре познати методи.

Пример. Решаване на уравнение: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Решение. Ние пишем дясната страна като `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x ',

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` 'sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение на втората степен, ние разделяме левите и десните си части за `cos ^ 2 x ne 0`, получаваме:

"FRAC (SIN ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Въвеждаме подмяната на `tg x \u003d t`, в резултат на" t ^ 2 + t - 2 \u003d 0 ". Корените на това уравнение: `t_1 \u003d -2` и` t_2 \u003d 1`. Тогава:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d ARCTG (-2) + pi n`, `n z`
2. "Tg x \u003d 1", `x \u003d ARCTG 1+ pi n`,` x_2 \u003d pi / 4 + pi n`, `n z`.

Отговор. `x_1 \u003d ARCTG (-2) + pi n`,` n z`, `x_2 \u003d pi / 4 + pi n`,` n z`.

Преход към полу-ъгъл

Пример. Разрешаване на уравнение: "11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Решение. Приложици с двойно ъгъл формули, в резултат: 22 sin (x / 2) cos (x / 2) -` '2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Прилагане на алгебричния метод, описан по-горе, ние получаваме:

1. `Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 pi n`, `n z`,
2. "TG X / 2 \u003d 3/4", `x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 Pi N`,` n z`.

Отговор. `x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 pi n, n в z`,` x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 pi n`, `n z`.

Въвеждането на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение "sin x + b cos x \u003d c", където А, В, С - коефициенти, и X е променлива, ние разделяме двете части на` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"Frac A (sqrt (^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `frac c (sqrt (A ^ 2) \\ t + B ^ 2)).

Коефициентите в лявата част имат свойствата на синуса и косинуса, а именно сумата от техните квадрати, равна на 1 и техните модули, са не повече от 1. означават следното: "FRAC A (SQRT (A ^ 2 + B) ^ 2) \u003d cos varphi ", frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) \u003d sin varphi", frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d c - Тогава:

`Cos varphi sin x + sin varphi cos x \u003d c`.

Нека разгледаме по-подробно на следващия пример:

Пример. Разрешаване на уравнение: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Решение. Разделяме двете части на равенството на `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, получаваме:

"Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `` \\ t FRAC 2 (sqrt \\ t (3 ^ 2 + 4 ^ 2))

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Обозначава с `3/5 \u003d cos varphi`,` 4/5 \u003d sin varphi`. Тъй като `sin varphi\u003e 0,` cos varphi\u003e 0, след това като спомагателен ъгъл, вземете `varphi \u003d arcsin 4/5`. Тогава нашето равенство ще пише във формата:

`Cos varphi sin x + sin varphi cos x \u003d 2/5`

Чрез прилагане на сумата от сумата на ъглите за синуса, ние пишем нашето равенство в следната форма:

`sin (x + varphi) \u003d 2/5`

`X + varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + pi n`,` n z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + pi n`, `n z`.

Отговор. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + pi n`, `n z`.

Фракционни рационални тригонометрични уравнения

Това са равенство с фракции, в числателите и знаменателите, от които има тригонометрични функции.

Пример. Решаване на уравнение. `Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството в `(1 + cos x)`. В резултат на това получаваме:

"Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `Rac ((1-COS X) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

"FRAC (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

"FRAC (sin x) (1 + cos x) \u003d` `` \\ t (SIN ^ 2 x) (1 + cos x)

`Frac (sin x) (1 + cos x) -`` '" (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Като се има предвид, че знаменателят е равен на нула, не може, ние получаваме `1 + cos x не 0,` cos x n -1`, `x ne pi + 2 pi n, n z`.

Ние се радваме на нула числа: "SIN X-SIN ^ 2 x \u003d 0", sin x (1-sin x) \u003d 0 ". След това "sin x \u003d 0" или "1-sin x \u003d 0".

1. "sin x \u003d 0", `x \u003d pi n`,` n z`
2. "1-sin x \u003d 0", sin x \u003d -1`, `x \u003d pi / 2 + 2 pi n, n z`.

Като се има предвид, че `x ne pi + 2 pi n, n в z`, решенията ще бъдат" x \u003d 2 pi n, n в z "и` x \u003d pi / 2 + 2 pi n` , "n".

Отговор. `x \u003d 2 pi n`,` n z`, `x \u003d pi / 2 + 2 pi n`,` n z`.

Тригонометрията и тригонометричните уравнения се използват в почти всички сфери на геометрията, физиката, инженерството. Проучването в 10-ия клас започва, задачите са задължително представят за изпита, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометрични уравнения - те определено ще ви използват!

Въпреки това не е необходимо да ги запомните, най-важното е да се разбере същността и да може да се оттегли. Не е трудно, както изглежда. Не забравяйте да гледате видеоклипа.

Решението на тригонометричното уравнение се състои от два етапа: конвертиране на уравнение да си вземе най-простата видове (виж по-горе) и решение получени най-просто тригонометрично уравнение.Има седем основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

1. алгебричен метод.

(метод за подмяна на променлива и заместване).

2. Разлагане на множители.

Pri me r 1. решаване на уравнението:греха. х. + Cos. х. = 1 .

RE W E N E. Премести всички членове на лявото уравнение:

Греха. х. + Cos. х. – 1 = 0 ,

Ние трансформираме и разлагаме изразяването на факторите

Лявата част на уравнението:

Pri me r 2. решава уравнението:защото. 2 х. + Грях Х. · Защото. Х. = 1.

R e S N E. cos 2 х. + Грях х. · Защото. х.– sIN 2. х. - cos 2. х. = 0 ,

Греха. х. · Защото. х.– SIN 2. х. = 0 ,

Греха. х. · (Защото. х.– греха. Х. ) = 0 ,

PRI M E P 3. Решава уравнението:cos 2. х.- COS 8. х. + Cos 6. х. = 1.

R e S N E. cos 2 х.+ Cos 6. х. \u003d 1 + cos 8 х.,

2 cos 4. х. Cos 2. х. \u003d 2 cos. ² 4. х. ,

Cos 4. х. · (Защото 2. х. - cos 4. х.) = 0 ,

Cos 4. х. · 2 SIN 3 х. · Греш х. = 0 ,

един). Cos 4. х. \u003d 0, 2). SIN 3. х. \u003d 0, 3). греха. х. = 0 ,

4. Преход до половин ъгъл.

Помислете за този метод на примера:

PRI Mers. Решаване на уравнение: 3греха. х. - 5 защото. х. = 7.

R E W E. 6 SIN ( х./ 2) · cos ( х./ 2) - 5 cos ² ( х./ 2) + 5 SIN ² ( х./ 2) =

7 SIN ² ( х./ 2) + 7 cos ² ( х./ 2) ,

2 SIN ² ( х./ 2) - 6 греха ( х. / 2) · cos ( х./ 2) + 12 cos ² ( х./ 2) = 0 ,

тен ² ( х./ 2) - 3 тен ( х./ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Въвеждане на спомагателен ъгъл.

Помислете за уравнението на изгледа:

а. греха. х. + б. защото. х. = ° С. ,

Където А., б., ° С. - коефициенти;х. - Неизвестно.

Сега коефициентите на уравнението притежават свойствата на синусите и косинус, именно: Модул (абсолютна стойност) на всеки от тях, не повече от 1, и сумата на техните квадрати е равна на 1. Тогава можете да определите съответно като защото и греха (тук - т.нар спомагателен ъгъл), I.нашето уравнение

Основните методи за решаване на тригонометрични уравнения са: смесване на уравнения към най-простите (използвайки тригонометрични формули), въвеждане на нови променливи, разлагане на мултипликатори. Помислете за тяхното използване в примерите. Обърнете внимание на регистрацията на записа на решения на тригонометрични уравнения.

Предпоставка за успешно решаване на тригонометрични уравнения е познаването на тригонометричните формули (тема 13 на работа 6).

Примери.

1. Уравненията се свеждат до най-простите.

1) решаване на уравнение

Решение:

Отговор:

2) Намерете корените на уравнението

(SINX + COSX) 2 \u003d 1 - SINXCOSX, принадлежащ към сегмента.

Решение:

Отговор:

2. Уравненията се намаляват до квадрат.

1) Решаване на уравнение 2 SIN 2 x - COSX -1 \u003d 0.

Решение: Използвайки греш на формула. 2 x \u003d 1 - cos 2 x, get

Отговор:

2) Решете COS 2X \u003d 1 + 4 COSX уравнение.

Решение: Използване на cos 2x \u003d 2 cos 2 x - 1 формула, ние получаваме

Отговор:

3) решаване на уравнението TGX - 2CTGGX + 1 \u003d 0

Решение:

Отговор:

3. Единни уравнения

1) решават уравнение 2sinx - 3COSX \u003d 0

Решение: Нека cosx \u003d 0, след това 2sinx \u003d 0 и sinx \u003d 0 - противоречие с факта, че SIN 2 x + cos 2 x \u003d 1. така cosx ≠ 0 и може да бъде разделен на cosx уравнение. Получаване

Отговор:

2) решават уравнение 1 + 7 cos 2 x \u003d 3 sin 2x

Решение:

Ние използваме формули 1 \u003d sin 2 x + cos 2 x и sin 2x \u003d 2 sinxcosx, получаваме

sIN 2 X + COS 2 X + 7COS 2 x \u003d 6SINXCOSX
SIN 2 x - 6SINXCOSX + 8COS 2 x \u003d 0

Нека cosx \u003d 0, след това sin 2 x \u003d 0 и sinx \u003d 0 - противоречие с факта, че SIN 2 x + cos 2 x \u003d 1.
Така cosx ≠ 0 и може да бъде разделен на уравнението за COS 2 x . Получаване

tG 2 x - 6 TGX + 8 \u003d 0
Означава tgx \u003d y
Y 2 - 6 Y + 8 \u003d 0
y 1 \u003d 4; Y 2 \u003d 2
а) tgx \u003d 4, x \u003d ARCTG4 + 2 К., К.
b) tgx \u003d 2, x \u003d ARCTG2 + 2 К., К. .

Отговор: ARCTG4 + 2. К., ARCTG2 + 2 К, К.

4. Преглед на уравнения А. Sinx +. Б. cosx \u003d. C, S.≠ 0.

1) решаване на уравнението.

Решение:

Отговор:

5. Уравненията, решени чрез разлагане на множители.

1) решаване на уравнението sin2x - sinx \u003d 0.

Коренът на уравнението Е. ( Х.) = φ ( Х.) Може да има само номер 0. Проверете дали:

cos 0 \u003d 0 + 1 - Равенството е вярно.

Номер 0 единственият корен на това уравнение.

Отговор: 0.

Предмет:"Методи за решаване на тригонометрични уравнения."

Цели Урок:

образование:

Формират умения за разграничаване между тригонометричните уравнения;

Задълбочаване на разбирането на методите за решаване на тригонометрични уравнения;

образование:

Образование за познавателен интерес към учебния процес;

Формирането на способността да се анализира задачата;

разработване:

Оформят умението да анализира ситуацията с последващия избор на най-рационален изход.

Оборудване: Плакат с основни тригонометрични формули, компютър, проектор, екран.

Нека започнем урок от повторението на основното приемане на решението на всяко уравнение: да го намалим до стандартния формуляр. Чрез трансформации линейни уравнения карам до формата ah \u003d в, квадрат - към формата aX 2 +.bX +.c \u003d 0. В случай на тригонометрични уравнения е необходимо да ги намалите до най-простия тип: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, което лесно може да бъде решено.

Първо, разбира се, е необходимо да се използва основната тригонометрични формуликоито са представени на плаката: добавяне на формули, формули с двойно ъгъл, понижаване на множествеността на уравнението. Вече знаем как да решаваме такива уравнения. Повтаряме някои от тях:

В същото време има уравнения, чието решение изисква знания за някои специални техники.

Темата на нашия урок е разглеждането на тези техники и систематизиране на методите за решаване на тригонометрични уравнения.

Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

1. Трансформация К. квадратно уравнение По отношение на всяка тригонометрична функция, последвана от променлива подмяна.

Помислете за всеки от изброените методи в примерите, но ще продължи по-подробно на последните две, тъй като първите две вече сме използвани в решаването на уравнения.

1. Трансформация до квадратно уравнение за всяка тригонометрична функция.

2. решението на уравненията чрез разлагане от множители.

3. Разтвор на хомогенни уравнения.

Единните уравнения на първата и втора степен се наричат \u200b\u200bуравнения на формуляра:

съответно (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

При решаване на хомогенни уравнения се достигат и двете части на COSX уравнение за (1) уравнения и COS 2 x за (2). Това разделение е възможно, тъй като SINX и COSX не са равни на нула едновременно - те се обръщат към нула в различни точки. Разгледайте примери за решаване на хомогенни уравнения на първата и втората степен.

Ще помним това уравнение: когато разглеждаме следващия метод - въвеждането на спомагателен аргумент, решаването му по друг начин.

4. Въвеждане на спомагателен аргумент.

Помислете за вече решаването на уравнението с предишния метод:

Както можете да видите, се получава същият резултат.

Разгледайте друг пример:

В разглежданите примери обикновено се разбира, че е необходимо да се раздели първоначалното уравнение за въвеждане на спомагателен аргумент. Но може да се случи, че не е очевидно кой разделител да избере. За това има специална техника, която сега и обмисляме общ. Нека бъде дадено уравнението.