Каква е сумата на ъглите. Каква е сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник

Триъгълникът е многоъгълник с три страни (три ъгъл). Най-често страните са обозначени с малки букви, съответстващи на главни буквикоето означава противоположни върхове. В тази статия ще се запознаем с видовете геометрични фигуриТеорема, която определя каква е сумата на ъглите на триъгълника.

Видове ъгли

Разграничават се следните видове многоъгълници с три върха:

остра дело, в която всички ъгли са остри;
правоъгълна, с един прав ъгъл, с неговите състави, се наричат \u200b\u200bкатегории, а страната, която е поставена противоположна на директен ъгъл, се нарича хипотенуза;
глупав, когато един;
неудобства, в които две страни са равни, и те се наричат \u200b\u200bстрана, а третата - основата на триъгълника;
еднакво, имайки трите равни страни.

Имоти

Разпределят основните свойства, които са характерни за всеки вид триъгълник:

напротив, повечето страни винаги са по-голям ъгъл и обратно;
противоположно на равния размер на страните равни ъгли, и обратно;
всеки триъгълник има два остри ъгли;
външен ъгъл повече в сравнение с всеки вътрешен ъгъл, който не е свързан с него;
количеството на всеки два ъгъла е винаги по-малко от 180 градуса;
външният ъгъл е равен на сумата от другите два ъгъла, които не се преплитат с нея.

Теорема на сумата на ъглите на триъгълника

Теоремът твърди, че ако добавите всички ъгли на дадена геометрична форма, която се намира на евклидовата равнина, тогава тяхното количество ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем тази теорема.

Нека имаме произволен триъгълник с върховете на CMN.

Чрез върха, КН ще носи (все още се нарича пряко Euclidea direct). Тя ще отбележи точката и по този начин точката k и a се намира от различни страни на права линия. Получаваме равни ъгли на AMN и KNM, които, като вътрешни, лежат в най-близкия и са оформени от последователния MN, заедно с директни CN и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата на ъглите на триъгълника, разположен в върховете на m и h, е равен на размера на ъгъла на CMA. И трите ъгъла представляват количеството, което е равно на количеството на ъглите на CMA и MCN. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранти спрямо паралелната директна Цнения и УО с последователен cm, тяхното количество е 180 градуса. Теорема се доказва.

Следствие

От гореизложеното теоремата следва следната последица: всеки триъгълник има два остри ъгли. Да се \u200b\u200bдокаже, да приемем, че тази геометрична фигура има само един остър ъгъл. Може да се предположи, че никой от ъглите не е остър. В този случай трябва да има поне два ъгъл, чиято величина е равна на или повече от 90 градуса. Но тогава сумата на ъглите ще бъде по-голяма от 180 градуса. И това не може да бъде, защото според теоремата сумата на ъглите на триъгълника е 180 ° - не повече и не по-малко. Това е необходимо, за да се докаже.

Собственост на външни ъгли

Каква е сумата на ъглите на триъгълника, които са външни? Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез прилагане на един от двата начина. Първото е, че е необходимо да се намери количеството на ъглите, които се приемат по един във всеки връх, т.е. три ъгъла. Втората предполага, че трябва да намерите сумата от всичките шест ъгъла на върховете. За да започнем, ще се справим с първия вариант. Така че триъгълникът съдържа шест външни ъгли - с всеки връх два.

Всяка двойка има равни ъгли, тъй като те са вертикални:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Освен това е известно, че външният ъгъл в триъгълника е равен на сумата на двата вътрешни, които не се преплитат с нея. Следователно,

∟1 \u003d ∟ + ∟с, ∟2 \u003d ∟a + ∟v, ∟3 \u003d ∟в + ∟с.

Оказва се, че количеството външни ъгли, които са взети един по един върхове, ще бъдат равни на:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟a + ∟с + ∟a + ∟v + ∟v + ∟с \u003d 2 x (∟ + ∟v + ∟с).

Като се вземе предвид фактът, че количеството на ъглите е равно на 180 градуса, може да се твърди, че ∟ + ∟V + ∟C \u003d 180 °. Това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Ако се използва втората опция, сумата от шест ъгъла ще бъде съответно повече от два пъти. Това означава, че сумата на външните ъгли на триъгълника ще бъде:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Право триъгълник

Каква е сумата на ъглите на правоъгълния триъгълник, които са остър? Отговорът на този въпрос отново следва от теоремата, която твърди, че ъглите в триъгълника в сумата са 180 градуса. И нашето изявление звучи (собственост), така че: в правоъгълен триъгълник Остри ъгли в количеството дава 90 градуса. Доказвам истинността му.

Нека ни дадем триъгълник на kmn, чийто \u003d 90 °. Необходимо е да се докаже, че ∟k + ∟m \u003d 90 °.

Така че, според теоремата на сумата на ъглите на ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °. В нашето състояние се казва, че ∟n \u003d 90 °. Така се оказва, ∟k + ∟m + 90 ° \u003d 180 °. Това означава, ∟k + ∟m \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Това е, което трябва да докажем.

В допълнение към горните свойства на правоъгълния триъгълник, можете да добавите към следното:

ъглите, които лежат срещу катетите, са остри;
триъгълно хипотенуза е повече от някой от катедрите;
количеството на катетите е по-хипотенуза;
кататът на триъгълника, който се намира срещу ъгъла от 30 градуса, е два пъти по-малко хипотензи, т.е. равен на половината й.

Като друго свойство на тази геометрична форма можете да изберете теоремата Pythagora. Той твърди, че в триъгълник с ъгъл от 90 градуса (правоъгълна) сумата на квадратите на катерите е равна на квадрата на хипотенузата.

Сумата на ъглите на повишен триъгълник

По-рано казахме, че полигонът с три върха, съдържащ две равни страни, е еднакво извикан. Това свойство на тази геометрична форма е известно: ъглите в основата му са равни. Доказваме го.

Вземете триъгълника на кмн, който е еднакво съкратена, книгата е нейната основа.

Трябва да докажем, че ∟k \u003d ∟ Така че, да кажем, че УО е бисейк на нашия триъгълник на км. Триъгълникът на ICA, като се вземе предвид първият признак за равенство равен на триъгълника MNA. Именно, според състоянието, се дава, че km \u003d nm, m е обща партия, ∟1 \u003d ∟2, тъй като Ma е бисектор. Използвайки факта на равенството на тези два триъгълника, тя може да се твърди, че ∟k \u003d ∟. Така че теоремата е доказана.

Но ние се интересуваме от това, което сумата на ъглите на триъгълника (е уравнена). Тъй като в това отношение той няма свой собствен черти, ще бъде отблъснат от теоремата, обсъждана по-рано. Това означава, че можем да твърдим, че ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, или 2 x ∟k + ∟m \u003d 180 ° (тъй като ∟k \u003d ∟n). Няма да докажем този имот, защото теоремата на сумата на ъглите на триъгълника е доказана по-рано.

В допълнение към свойствата на триъгълните ъгли, има и такива важни твърдения:

който е пропуснат за базата, е едновременно среден, бисектор ъгъл, който е между равни партита, както и неговата база;
медиани (бисектор, височини), които са били извършени от двете страни на такава геометрична форма, са равни.

Равностранен триъгълник

Също така се нарича правилно, това е триъгълник, който всички страни са равни. И следователно ъглите също са равни. Всеки от тях е 60 градуса. Доказваме този имот.

Да предположим, че имаме кмн триъгълник. Ние знаем, че km \u003d nm \u003d kN. И това означава, че според имота на ъглите, разположени в основата в равновесен триъгълник, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟. Тъй като според теоремата, сумата на ъглите на триъгълника е ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, след това 3 x ∟k \u003d 180 ° или ∟k \u003d 60 °, ∟m \u003d 60 °, ∟N \u003d 60 °. По този начин се доказва одобрението.

Както може да се види от горното доказателство въз основа на теоремата, сумата на ъглите, тъй като сумата на ъглите на всеки друг триъгълник е 180 градуса. Да докаже тази теорема, която трябва да бъде необходима.

Все още има такива свойства, характерни за равностранен триъгълник:

медиана, бисектор, височина в такава геометрична фигура съвпада и тяхната дължина се изчисляват като (и X √3): 2;
ако опишете около този кръгъл кръг, неговият радиус ще бъде равен на (и X √3): 3;
за да влезе в кръг в равностранен триъгълник, неговият радиус ще бъде (a x √3): 6;
площта на тази геометрична форма се изчислява по формулата: (A2 X √3): 4.

Глупав триъгълник

Според дефиницията един от нейните ъгли е между 90 до 180 градуса. Но като се има предвид факта, че другият ъгъл на тази геометрична форма е остър, може да се заключи, че те не надвишават 90 градуса. Следователно теорема на сумата на ъглите на триъгълника работи при изчисляване на количеството на ъглите в глупавия триъгълник. Оказва се, че можем спокойно да твърдим, разчитайки на гореспоменатия теорема, че сумата на ъглите глупав триъгълник равен на 180 градуса. Отново, тази теорема не се нуждае от повторно доказателство.

Доказателства

Нека бъде ABC " - произволен триъгълник. Нека прекарваме през върха Б. направо, паралелно директно AC. (Това директно се нарича пряко евклиде). Забележка за нейната точка Д. така че точките А. и Д. лежи по различни страни от права Пр. Хр..Ugly DBC. и ACB. равни като вътрешни гардемове, които лежат, формирани от продажбата Пр. Хр. с паралелен прав AC. и BD.. Следователно, сумата на ъглите на триъгълника в върховете Б. и От равен на ъгъла ABD.Такива триъгълни ъгли са равни на сумата на ъглите ABD. и BAC.. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранчиви за паралел AC. и BD. под sech. AB.Тяхното количество е 180 °. Теорема се доказва.

Следствие

От теоремата следва, че всеки триъгълник има два ъгъл остър. Наистина, прилагането на доказателство от никой друг, предполага, че триъгълникът има само един остър ъгъл или изобщо няма остри ъгли. След това този триъгълник има поне два ъгъл, всеки от които не е по-малък от 90 °. Сумата от тези ъгли е не по-малка от 180 °. И това не е възможно, тъй като сумата на всички ъгли на триъгълника е 180 °. Q.E.D.

Обобщение в теорията на симплекса

Където -gol между I и J са краищата на простотата.

. \\ T

В сферата, сумата на ъглите на триъгълника винаги надвишава 180 °, разликата се нарича сферичен излишък и е пропорционален на триъгълника.
В лобахевския самолет, сумата от триъгълните ъгли е винаги по-малка от 180 °. Разликата е пропорционална на триъгълника.

Вижте също

Фондация Wikimedia. 2010.

Гледайте какво е "теорема на сумата на ъглите на триъгълните ъгли" в други речници:

Имотът на полигоните в евклидовата геометрия: сумата на ъглите N на солта е 180 ° (n 2). Съдържание 1 Доказателство 2 Забележка ... Уикипедия

Теоремата на Питийгора е една от основните теореми на евклидовата геометрия, която създава връзката между страните на правоъгълия триъгълник. Съдържание 1 ... Уикипедия

Теоремата на Питийгора е една от основните теореми на евклидовата геометрия, която създава връзката между страните на правоъгълия триъгълник. Съдържание 1 Формулиране 2 Доказателства ... Уикипедия

Cosine Theorem обобщение на питагорейската теорема. Квадратна страна на триъгълника равен на сумата Квадрати на другите две от страните си без двоен продукт от тези страни на косинуса на ъгъла между тях. За плосък триъгълник партита a, b, c и ъгъл α ... ... Уикипедия

Този термин има други стойности, вижте триъгълника (стойности). Триъгълникът (в евклидовото пространство) е геометрична форма, образувана от три сегмента, които свързват три, които не лежат на една права точка. Три точки, ... ... Уикипедия

Стандартни обозначения триъгълник най-простият полигон с 3 върха (ъгъл) и 3 страни; Част от самолета, ограничена от три точки, без да лежи по един прав и три сегмента, двойки свързват тези точки. Върховете на триъгълника ... Уикипедия

Древен гръцки математик. Работил е в Александрия през III век. БК д. Основната работа на "началото" (15 книги), съдържаща основите на древната математика на елементарната геометрия, теорията на числата, \\ t обща теория Отношения и метод за определяне на зони и обеми, ... ... ... Енциклопедичен речник

- (умира между 275 и 270 г. пр. Хр. Д) Древно гръцки математик. Информацията за времето и мястото на раждането му не беше достигнала ни, обаче, е известно, че евклидоан е живял в Александрия и процъфтяването на неговата дейност попада по време на царуването в Египет Птолемия ... ... ... ... Голям енциклопедичен речник

Геометрията, подобна на евклидовата геометрия е, че определя движението на фигури, но се различава от евклидовата геометрия, тъй като една от петте му постулати (втора или пета) се заменя с нейното отричане. Отричането на един от евклидовите постулати ... ... Цвят на енциклопедия

Сумата от вътрешните ъгли на триъгълника е 180 0. Това е една от основните оси на геометрията на евклид. Това е тази геометрия, която изучава учениците. Геометрията се определя от науката, която изучава пространствените форми на реалния свят.

Какво накара древните гърци да развият геометрия? Необходимостта от измерване на полета, ливади - раздели на повърхността на Земята. В същото време древните гърци взеха, че повърхността на земята е хоризонтална, плоска. Като се вземат предвид това предположение, бяха създадени аксиомите на еуклид, включително сумата на вътрешните ъгли на триъгълника през 180 0.

Под аксиома означава разпоредба, която не изисква доказателства. Как трябва да разберете? Тя се изразява от желание, което отговаря на човека и след това се потвърждава от илюстрации. Но всичко, което не е доказано - фантастика, какво не е в действителност.

Поемане земна повърхност Хоризонтални, древните гърци автоматично приемат формата на плоския плосък, но е различен - сферичен. Няма хоризонтални самолети и прави линии в природата, защото гравитацията обрати място. Прави линии и хоризонтални равнини се предлагат само в човешкия мозък.

Ето защо, геометрията на евклид, обясняваща пространствените форми на измисления свят, е симулакром - копие, което няма оригинала.

Една от аксиома на евклида гласи, че сумата на вътрешните ъгли на триъгълника е 180 0. Всъщност, в истинското пространство за усукване или върху сферичната повърхност на земята, сумата на вътрешните ъгли на триъгълника е винаги по-голяма от 180 0.

Ние твърдим така. Всеки меридиан на земното кълбо пресича с екватор под ъгъл от 90 °. За да получите триъгълник, трябва да се отдалечите от меридиана на друг меридиан. Сумата на ъглите на триъгълника между меридианите и страна на екватора ще бъде 180 0. Но все още ще има ъгъл на стълба. В резултат на това сумата от всички ъгли ще бъде повече от 180 0.

Ако страните са пуснати под ъгъл от 90 0, тогава сумата на вътрешните ъгли на такъв триъгълник ще бъде 270 0. Двама меридиани, пресичащи се с екватора под прав ъгъл в този триъгълник, ще бъдат успоредни един на друг, а на полюса, пресичайки се един с друг под ъгъл от 90 0, ще станат перпендикулярни. Оказва се, че две паралелни линии на една и съща равнина не само се пресичат, но мога да бъда перпендикулярна на полюса.

Разбира се, страните на такъв триъгълник няма да бъдат прави линии, а от изпъкнали, повтарящи се сферична форма на земното кълбо. Но, точно такава реалния свят пространство.

Геометрията на реалното пространство, като се вземат предвид кривината си в средата на XIX век. Разработи германски математик Б. Риман (1820-1866). Но те не говорят ученици.

Така че, геометрията на Евклидова, приема на формата на Земята плоска с хоризонтална повърхност, която всъщност не е симулярна. Nootik - Geometry Riemann, която взема предвид кривината на пространството. Сумата от вътрешните ъгли на триъгълника в нея е по-голяма от 180 0.

Изследвания

На темата:

"Винаги ли е сумата от триъгълните ъгли, равна на 180˚?"

Изпълнени:

Студентски 7б клас

Mbou inzen ss №2

г. Инца, Юнановска област

Малишв Ян.

Научен съветник:

Болшакова Людмила Юняевна

СЪДЪРЖАНИЕ

Въведение ................................................. ........................ ..3.

Основната част ................................................. .... 4.

търсене на информация

експерименти

изход

Заключение ................................................... ..... ..12.

Въведение

Тази година започнах да научавам нова геометрия. Тази наука изучава свойствата на геометричните форми. На един от уроците изучавахме теоремата за сумата на ъглите на триъгълника. И с помощта на доказателство заключихме: сумата на ъглите на триъгълника е 180˚.

Мислех, че има такива триъгълници, които имат количеството ъгли, няма да бъдат 180˚?

След това си поставихМИШЕНА :

За да разберете, когато сумата на ъглите на триъгълника не е равна на 180˚?

Поставете следнотоЗадачи :

Запознайте се с историята на геометрията;

Запознайте се с евклидовата геометрия, Roman, Lobachevsky;

Докажете експерименталния начин, по който сумата на триъгълните ъгли може да не е равна на 180˚.

ГЛАВНА ЧАСТ

Геометрията е възникнала и разработена във връзка с нуждите практическа дейност човек. По време на изграждането на дори най-примитивните структури е необходимо да се изчисли колко материал ще отиде в строителството, изчисляване на разстоянията между точки в пространството и ъглите между самолетите. Търговското и навигационното развитие изискваше уменията за навигация и пространство.

За развитието на геометрията направи много учени Древна Гърция. Първото доказателство за геометрични факти е свързано с иметоФалес Милцки.

Една от най-известните училища е питагорейска, наречена на нейния основател, автор на доказателствата за много теореми,Питагора.

Геометрия, която се учи в училище, наречена Euclidean, нареченаEuclida. - древен гръцки учен.

Евклид е живял в Александрия. Той написа известната книга "Начало". Последователността и тежестта правят този продукт с източник на геометрични знания в много страни по света по време на повече от две хилядолетия. Доскоро почти всички училищни учебници Бяха по много начини, подобни на "началото".

Но през 19-ти век е показано, че аксиомите на евклид не са универсални и са правилни при никакви обстоятелства. Основните открития на геометричната система, в която аксиомите на евклид не са правилни, са направени от Георг Риман и Николай Лобачевски. Те говорят за това за създателите на геометрия на не-дете.

И тук, разчитайки на ученията на Евклид, Риман и Лобаховски, нека се опитаме да отговорим на въпроса: е количеството на триъгълниците винаги 180˚?

Експерименти

Помислете за триъгълник от гледна точка на геометриятаEuclidea.

За да направите това, вземете триъгълник.

Напълнете ъглите си с червени, зелени и сини цветове.

Ще прекараме права линия. Това е подробен ъгъл, той е 180 ˚.

Изтеглете ъглите на нашия триъгълник и ги поставете на разгънения ъгъл. Виждаме, че сумата от три ъгли е 180˚.

Един от етапите на развитието на геометрията е елиптична геометрияRiemann. Специален случай на тази елиптична геометрия е геометрията на сферата. В геометрията на Riemann сумата на ъглите на триъгълника е по-голяма от 180˚.

Така че това е сферата.

Вътре в тази сфера се формира триъгълник от меридиани и екватора. Вземете този триъгълник, боядисвайте ъглите си.

Нарежете ги и се прилагат към линията. Виждаме, че сумата от три ъгли е по-голяма от 180˚.

В геометрияЛобачовски Сумата от ъглите на триъгълника е по-малка от 180˚.

Тази геометрия се счита за повърхност на хиперболичния параболоид (това е вдлъбната повърхност, наподобяваща седло).

Примери за параболоиди могат да бъдат намерени в архитектурата.

И дори "плюрените" чипове - Paraboloid.

Проверете сумата на ъглите на модела на хиперболичния параболоид.

На повърхността се образува триъгълник.

Вземете този триъгълник, затворете ъглите си, изрежете ги и ги поставете по права линия. Сега виждаме, че сумата от три ъгли е по-малка от 180˚.

Изход

Така доказахме, че сумата на ъглите на триъгълника не винаги е равна на 180˚.

Тя може да бъде повече и по-малко.

Заключение

В заключение искам да кажа, че е интересно да се работи по тази тема. Научих много нови неща за себе си и в бъдеще ще се радвам да науча тази интересна геометрия.

Източници на информация

ru.wikipedia.org.

e-osnova.ru.

vestishki.ru.

yun.moluch.ru.

Доказателство:

Дан триъгълник ABC.
Чрез върхове B ще прекараме директен DK успоредно на основния AC.
Ъгълът cbk \u003d ъгъл С като вътрешен по-близо под паралелния DK и AC и за закрепване на пр. Хр.
Ъгъл DBA \u003d ъгълът е вътрешен по-близо до DK паралелния AC и обезопасяването на AB. DBK ъгъл се разгръща и равен
Ъгъл dbk \u003d ъгъл DBA + ъгъл b + anle cbk
Тъй като подробен ъгъл е 180 ^ cir, angle cbk \u003d angle c и ъгъл dba \u003d ъгъл А, получавам 180 ^ cirm \u003d ъгъл A + ъгъл B + angle c.

Теорема е доказана

Последиците от теоремата върху сумата на ъглите на триъгълника:

Сумата от острите ъгли на правоъгълния триъгълник е равна на 90 °..
В равновесен правоъгълен триъгълник всеки остър ъгъл е равен 45 °..
В оборудван триъгълник Всеки ъгъл е равен 60 °..
Във всеки триъгълник, и всички ъгли са остри, или два ъгъла са остри, а третата е глупава или права.
Външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от два вътрешни ъгли, които не са свързани с нея.

Теорема на външния триъгълник

Външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от останалите триъгълни ъгли, а не в непосредствена близост до този външен ъгъл.

Доказателство:

Дан триъгълник ABC, където ALD е външен ъгъл.
Ъгъл Bac + Ъгъл ABC + Ъгъл BCA \u003d 180 ^ 0
От равен ъгъл Ъгъл BCD + Ъгъл BCA \u003d 180 ^ 0
Получаване Ъгъл BCD \u003d Ъгъл Bac + Ъгъл ABC.