Después de la preparación de arte preliminar, los ejemplos serán menos terribles, con 3-4-5 accesorios de funciones. Quizás los siguientes dos ejemplos parezcan algunos complicados, pero si los entienden (alguien y cáscaras), entonces casi todo lo demás en el cálculo diferencial parece una broma de los niños.

Ejemplo 2.

Encontrar una función derivada

Como se señaló, al encontrar un derivado. función complejaEn primer lugar necesario derechoEntender las inversiones. En los casos en que haya dudas, recuerdo una recepción útil: tomamos el significado experimental de "X", por ejemplo, y intente (mentalmente o en un borrador) para sustituir este valor en la "expresión terrible".

1) Primero, necesitamos calcular la expresión, significa que la cantidad es la inversión más profunda.

2) Entonces es necesario calcular el logaritmo:

4) Luego coseno para construir en un cubo:

5) En el quinto paso, la diferencia:

6) Y, finalmente, la función más externa es una raíz cuadrada:

Formula de fórmula de diferenciación. B. orden inverso, de la función externa en sí, al más interno. Nosotros decidimos:

Parece sin errores:

1) Tomar un derivado de raíz cuadrada.

2) Tomar un derivado de la diferencia utilizando la regla.

3) El derivado de troika es cero. En el segundo término, tomamos un derivado en grado (Cuba).

4) Tomamos un derivado de coseno.

6) y finalmente tome un derivado de la inversión más profunda.

Puede parecer demasiado difícil, pero este no es el ejemplo más brutal. Tome, por ejemplo, la colección Kuznetsov y apreciará la belleza y la simplicidad del derivado desmontado. Noté que me gusta dar una cosa similar a dar en el examen para verificar, entiende a un estudiante cómo encontrar un derivado de una función compleja o no entiende.

El siguiente ejemplo para autodecgua.

Ejemplo 3.

Encontrar una función derivada

Consejo: Primero, aplique las reglas de linealidad y una derivación del trabajo.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Es hora de pasar a algo más compacto y bonito.
La situación no es rara cuando el ejemplo recibe un producto de no dos, sino tres funciones. ¿Cómo encontrar un derivado del trabajo de tres multiplicadores?

Ejemplo 4.

Encontrar una función derivada

Primero, mira, y si es imposible convertir el trabajo de tres funciones en el trabajo de dos funciones? Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el trabajo, sería posible revelar paréntesis. Pero en este ejemplo, todas las funciones son diferentes: grado, expositor y logaritmo.

En tales casos es necesario. secuenciaaplicar la producción de diferenciación de reglas. dos veces

El enfoque es que para "Y" denotamos el producto de dos funciones: y para "ve" - \u200b\u200blogarithm :. ¿Por qué se puede hacer esto? Y no - ¿Esto no es un trabajo de dos multiplicadores y la regla no funciona? No hay nada complicado:

Ahora sigue siendo la segunda vez para aplicar la regla. Al bracket:

Todavía puede jugar y tomar algo detrás de los corchetes, pero en este caso la respuesta es mejor irse en este formulario: será más fácil de verificar.

El ejemplo considerado se puede resolver en la segunda forma:

Ambas soluciones son absolutamente iguales.

Ejemplo 5.

Encontrar una función derivada

Este es un ejemplo para una solución independiente, en la muestra se resuelve de la primera manera.

Considere ejemplos similares con fracciones.

Ejemplo 6.

Encontrar una función derivada

Aquí puedes ir algunas maneras:

Más o menos:

Pero la solución se escribirá más compactas si primero usa una regla de diferenciación privada. , Aceptando para todo el numerador:

En principio, se resuelve un ejemplo, y si lo dejas en este formulario, no será un error. Pero en presencia de tiempo, siempre es recomendable verificar el borrador, y ¿es posible simplificar la respuesta?

Presentamos la expresión del numerador a común denominador y deshacerse de las fracciones de tres pisos:

Los menos de simplificaciones adicionales es que existe un riesgo para permitir un error ya no cuando la derivada ya está fundamentada, sino cuando las transformaciones de Banal School. Por otro lado, los maestros a menudo recuerdan la tarea y piden un derivado de "traer a la mente".

Ejemplo más simple para autop soluciones:

Ejemplo 7.

Encontrar una función derivada

Continuamos aprendiendo las recepciones de la derivada, y ahora consideraremos un caso típico cuando se propone la diferenciación "asustadiza" logarithm.

Derivados complejos. Derivado logarítmico.
Procedimiento de potencia función indicativa

Seguimos aumentando su técnica de diferenciación. Sobre el esta lección Consolidaremos el material completado, consideraremos derivados más complejos, y también familiarizarse con las nuevas técnicas y trucos de encontrar un derivado, en particular, con un derivado logarítmico.

Que los lectores, que tienen un nivel bajo de preparación, deben ponerse en contacto con el artículo ¿Cómo encontrar un derivado? Ejemplos de solucionesQue levantará tus habilidades casi desde cero. A continuación, necesitas aprender cuidadosamente la página. Función compleja derivada, entender y romper todo Los ejemplos dados por mi. Esta lección lógicamente la tercera en una fila, y después de su desarrollo, diferenciará con confianza las funciones bastante complejas. Es necesario adherirse a la posición "¿Dónde más? ¡Sí, y así lo suficiente! ", Dado que todos los ejemplos y técnicas se toman de real. trabajo de prueba Y a menudo ocurren en la práctica.

Vamos a empezar con la repetición. En la lección Función compleja derivadarevisamos una serie de ejemplos con comentarios detallados. Durante el estudio del cálculo diferencial y otras secciones. análisis matemático - Es necesario diferenciar muy a menudo, y no siempre es conveniente (y no siempre es necesario) pintar los ejemplos en detalle. Por lo tanto, estamos practicando en la base oral de derivados. Los "candidatos" más adecuados para esto son derivados de las funciones complejas más simples, por ejemplo:

Según la regla de diferenciación de una función compleja. :

Al estudiar otros temas de Matan en el futuro, a menudo no se requiere una entrada detallada, se supone que el estudiante puede encontrar derivados similares en la máquina automática. Imagina que a las 3 de la noche, hubo una llamada telefónica, y una buena voz preguntó: "¿Cuál es el derivado tangente de dos x?". Se debe seguir una respuesta casi instantánea y educada. .

El primer ejemplo será inmediatamente destinado a una solución independiente.

Ejemplo 1.

Encuentre los siguientes derivados por vía oral, en una acción, por ejemplo:. Para realizar la tarea que necesita usar solo tabla de derivados de funciones elementales. (Si aún no ha recordado). Si es difícil, recomiendo volver a leer la lección. Función compleja derivada.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Respuestas al final de la lección.

Derivados complejos

Después de la preparación de arte preliminar, los ejemplos serán menos terribles, con 3-4-5 accesorios de funciones. Quizás los siguientes dos ejemplos parezcan algunos complicados, pero si los entienden (alguien y cáscaras), entonces casi todo lo demás en el cálculo diferencial parece una broma de los niños.

Ejemplo 2.

Encontrar una función derivada

Como se señaló, al encontrar una función compleja derivada, en primer lugar, es necesario derechoEntender las inversiones. En los casos en que haya dudas, recuerdo una recepción útil: tomamos el significado experimental de "X", por ejemplo, y intente (mentalmente o en un borrador) para sustituir este valor en la "expresión terrible".

1) Primero, necesitamos calcular la expresión, significa que la cantidad es la inversión más profunda.

2) Entonces es necesario calcular el logaritmo:

4) Luego coseno para construir en un cubo:

5) En el quinto paso, la diferencia:

6) Y, finalmente, la función más externa es una raíz cuadrada:

Formula de fórmula de diferenciación. Se aplicará en el orden inverso, desde la función externa, a la más interna. Nosotros decidimos:

Parece ningún error ....

(1) Tome un derivado de una raíz cuadrada.

(2) Tomar un derivado de la diferencia utilizando la regla.

(3) El derivado de troika es cero. En el segundo término, tomamos un derivado en grado (Cuba).

(4) Tomar un derivado de coseno.

(5) Tomar un derivado del logaritmo.

(6) Y finalmente, tomamos un derivado de la inversión más profunda.

Puede parecer demasiado difícil, pero este no es el ejemplo más brutal. Tome, por ejemplo, la colección Kuznetsov y apreciará la belleza y la simplicidad del derivado desmontado. Noté que me gusta dar una cosa similar a dar en el examen para verificar, entiende a un estudiante cómo encontrar un derivado de una función compleja o no entiende.

El siguiente ejemplo es para una solución independiente.

Ejemplo 3.

Encontrar una función derivada

Consejo: Primero, aplique las reglas de linealidad y una derivación del trabajo.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Es hora de pasar a algo más compacto y bonito.
La situación no es rara cuando el ejemplo recibe un producto de no dos, sino tres funciones. ¿Cómo encontrar un derivado del trabajo de tres multiplicadores?

Ejemplo 4.

Encontrar una función derivada

Primero, mira, y si es imposible convertir el trabajo de tres funciones en el trabajo de dos funciones? Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el trabajo, sería posible revelar paréntesis. Pero en este ejemplo, todas las funciones son diferentes: grado, expositor y logaritmo.

En tales casos es necesario. secuenciaaplicar la producción de diferenciación de reglas. dos veces

El enfoque es que para "Y" denotamos el producto de dos funciones: y para "ve" - \u200b\u200blogarithm :. ¿Por qué se puede hacer esto? Y no - ¿Esto no es un trabajo de dos multiplicadores y la regla no funciona? No hay nada complicado:

Ahora sigue siendo la segunda vez para aplicar la regla. Al bracket:

Todavía puede jugar y tomar algo detrás de los corchetes, pero en este caso la respuesta es mejor irse en este formulario: será más fácil de verificar.

El ejemplo considerado se puede resolver en la segunda forma:

Ambas soluciones son absolutamente iguales.

Ejemplo 5.

Encontrar una función derivada

Este es un ejemplo para una solución independiente, en la muestra se resuelve de la primera manera.

Considere ejemplos similares con fracciones.

Ejemplo 6.

Encontrar una función derivada

Aquí puedes ir algunas maneras:

Más o menos:

Pero la solución se escribirá más compactas si primero usa una regla de diferenciación privada. , Aceptando para todo el numerador:

En principio, se resuelve un ejemplo, y si lo dejas en este formulario, no será un error. Pero en presencia de tiempo, siempre es recomendable verificar el borrador, y ¿es posible simplificar la respuesta? Damos la expresión del numerador al denominador general y deshacerse de las fracciones de tres pisos:

Los menos de simplificaciones adicionales es que existe un riesgo para permitir un error ya no cuando la derivada ya está fundamentada, sino cuando las transformaciones de Banal School. Por otro lado, los maestros a menudo recuerdan la tarea y piden un derivado de "traer a la mente".

Ejemplo más simple para autop soluciones:

Ejemplo 7.

Encontrar una función derivada

Continuamos aprendiendo las recepciones de la derivada, y ahora consideraremos un caso típico cuando se propone la diferenciación "asustadiza" logarithm.

Ejemplo 8.

Encontrar una función derivada

Aquí puede pasar mucho tiempo usando la regla de diferenciación de una función compleja:

Pero el primer paso inmediatamente se convierte en un desaliento, para tomar un derivado desagradable de grado fraccional, y luego también de la fracción.

por lo tanto antes de Cómo tomar un derivado del logaritmo "complicado", se simplifica preliminar utilizando propiedades escolares famosas:

! Si su mano tiene un cuaderno con práctica, reescribe estas fórmulas allí mismo. Si no hay un cuaderno, redídalo en el folleto, ya que los ejemplos restantes de la lección giran alrededor de estas fórmulas.

La decisión en sí se puede emitir algo como esto:

Convertimos la función:

Encuentra un derivado:

La transformación preliminar de la función en sí mismo simplificó significativamente la solución. Por lo tanto, cuando se propone un logaritmo similar para la diferenciación, siempre es recomendable "destruir".

Y ahora un par de ejemplos simples para una solución independiente:

Ejemplo 9.

Encontrar una función derivada

Ejemplo 10.

Encontrar una función derivada

Todas las transformaciones y respuestas al final de la lección.

Derivado logarítmico

Si un derivado de logaritmos es una música tan dulce, entonces la pregunta surge, y si es imposible organizar logaritmo en algunos casos. ¡Lata! E incluso necesidad.

Ejemplo 11.

Encontrar una función derivada

Ejemplos relacionados que consideramos recientemente. ¿Qué hacer? Es posible aplicar constantemente la regla de diferenciación de la proporción, y luego la regla de derivación del producto. La desventaja del método es que un enorme disparo de tres pisos, con el que no quiero tratar en absoluto.

Pero en teoría y práctica, hay algo tan maravilloso como un derivado logarítmico. Los logaritmos se pueden organizar artificialmente, "navegar" en ambas partes:

Nota : Porque La función puede tomar valores negativos, entonces, en general, debe usar los módulos: que desaparecerá como resultado de la diferenciación. Sin embargo, se permite la decoración actual, donde se toma en cuenta por defecto. complejo valores. Pero si con todo el rigor, entonces, en ese caso, en otro caso debería hacer una reserva que.

Ahora necesita "arrancar" el logaritmo del lado derecho (fórmula antes de sus ojos). Voy a inclinar este proceso muy detallado:

En realidad proceder a la diferenciación.
Concluimos ambas partes bajo el código de barras:

El derivado del lado derecho es bastante simple, no lo comentaré, porque si lees este texto, debes arreglarlo para hacer frente a ella.

¿Cómo estar con el lado izquierdo?

En la parte izquierda de nosotros. función compleja. Prevee la pregunta: "¿Por qué, hay un Bukova" Igarek "bajo el logaritmo?".

El hecho es que este "un bucche del juego" - En sí mismo es una función (Si no es muy claro, consulte el artículo derivado de la función especificada implícitamente). Por lo tanto, el logaritmo es una función externa, y "Igrek" es una función interna. Y utilizamos la regla de diferenciación de una función compleja. :

En el lado izquierdo, como una varita mágica, el derivado "Drew" estaba "pintado". Además, según la regla de la proporción, lanzamos "Igarek" desde el denominador del lado izquierdo hasta la parte superior del lado derecho:

Y ahora recuerdo lo que tal "Igrek", ¿estuvimos razonados con la diferenciación? Miramos la condición:

Respuesta final:

Ejemplo 12.

Encontrar una función derivada

Este es un ejemplo para una solución independiente. Ejemplo de diseño de muestra este tipo Al final de la lección.

Con la ayuda de un derivado logarítmico, cualquiera de los Ejemplos No. 4-7 podría resolverse, otra cosa es que hay más fácil, y tal vez el uso de un derivado logarítmico no sea demasiado absuelto.

El derivado de la función indicativa paso a paso.

Todavía no hemos considerado esta función. La función indicativa paso a paso es una función que y el grado y la fundación dependen de "x". Un ejemplo clásico que se le dará en cualquier libro de texto o en cualquier conferencia:

¿Cómo encontrar un derivado de una función indicativa paso a paso?

Es necesario utilizar solo la recepción, el derivado logarítmico. Colocación de logaritmos en ambas partes:

Como regla general, en la parte derecha del logaritmo se realiza un grado:

Como resultado, en el lado derecho, tuvimos un producto de dos funciones, que se diferenciarán por la fórmula estándar. .

Encontramos un derivado, ya que concluimos ambas partes para los toques:

Los siguientes pasos son fáciles:

Finalmente:

Si alguna transformación no está del todo clara, vuelva a leer cuidadosamente las explicaciones del Ejemplo No. 11.

EN tareas prácticas La función indicativa paso a paso siempre será más complicada que el ejemplo de la Conferencia considerada.

Ejemplo 13.

Encontrar una función derivada

Utilice el derivado logarítmico.

En la parte derecha, tenemos una constante y el trabajo de dos factores: "IKSA" y "Logaritmo logarithm" (para un logaritmo uno más logaritmo). Al diferenciar una constante, como recordamos, es mejor sacar inmediatamente el signo derivado para que no interfiera con las piernas; Y, por supuesto, aplicamos una regla familiar. :

En esta lección, aprenderemos a encontrar. función compleja derivada. La lección es una continuación lógica de las clases. ¿Cómo encontrar un derivado?donde desmontamos los derivados más simples, y también nos familiaricamos con las reglas de diferenciación y algunas técnicas técnicas de encontrar derivados. Por lo tanto, si no está muy claro con derivados de funciones, no estará completamente claro, luego lea primero la lección anterior. Por favor, cree una forma seria: el material no es simple, pero todavía intento configurarlo de manera simple y accesible.

En la práctica, un derivado de una función compleja tiene que enfrentar muy a menudo, incluso diría, casi siempre cuando las tareas de encontrar derivados.

Miramos la mesa para una regla (núm. 5) de la diferenciación de una función compleja:

Entendemos. En primer lugar, preste atención al registro. Aquí tenemos dos funciones, y, además, la función, figurativamente hablando, se invierte en la función. La función de este tipo (cuando una función está incrustada en otra) y se llama una función compleja.

Llamaré a la función función externa, y función - Función interna (o anidadida).

! Estas definiciones no son teóricas y no deben aparecer en el diseño del pistón de tareas. Utilizo expresiones informales "Función externa", función "interna" solo para que sea más fácil para usted comprender el material.

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1.

Encontrar una función derivada

Bajo el seno, no somos solo la letra "X", sino una expresión entera, por lo que no será posible encontrar un derivado inmediatamente en la mesa. También notamos que aquí es imposible aplicar las primeras cuatro reglas, parece que hay una diferencia, pero el hecho es que el seno no está "separado en partes":

EN este ejemplo Ya desde mis explicaciones, es intuitivo que la función sea una función compleja, y el polinomio es una función interna (accesorio) y es una función externa.

Primer pasopara realizar al encontrar una función compleja derivada para averigua qué función es interna y qué es lo externo..

En el caso de ejemplos simples, parece que parece que se invierte un polinomio bajo seno. Pero, ¿y si todo no es obvio? ¿Cómo determinar exactamente qué función es externa, y qué es lo interno? Para hacer esto, propongo usar la próxima recepción, que se puede realizar mentalmente o en el borrador.

Imagine que necesitamos calcular el valor de un valor de expresión en la calculadora (en lugar de una unidad puede haber cualquier número).

¿Qué calculamos primero? En primer lugar Deberá realizar lo siguiente:, por lo tanto, el polinomio y será la función interna:

en segundo lugar Será necesario encontrar, por lo que el seno, será una función externa:

Después de que nosotros Han descubierto Con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja.

Comenzamos a resolver. De la lección ¿Cómo encontrar un derivado? Recordamos que la decoración de la solución de cualquier derivado siempre comienza, concluimos una expresión en los paréntesis y nos ponemos a la derecha en la parte superior del código de barras:

Primero Encuentra un derivado de la función externa (sinus), nos fijamos en la tabla de derivados. funciones elementales Y notamos que. Todas las fórmulas tabulares son aplicables y, en el caso, si "X" se reemplaza por una expresión compleja, en este caso:

Tenga en cuenta que la función interna no cambió, no la tocamos..

Bueno, es bastante obvio que

El resultado de la aplicación de la fórmula en el diseño del pistón se ve así:

Un multiplicador permanente generalmente soporta expresiones:

Si sigue siendo algún malentendido, vuelva a escribir la decisión sobre el documento y volver a leer las explicaciones.

Ejemplo 2.

Encontrar una función derivada

Ejemplo 3.

Encontrar una función derivada

Como siempre, escribe:

Entendemos dónde tenemos una función externa, y dónde está el interior. Para hacer esto, intente (mentalmente o en un borrador) para calcular el valor de la expresión en. ¿Qué hay que realizar primero? En primer lugar, es necesario contar lo que es igual a la base:, significa que el polinomio es la función interna:

Y, solo el ejercicio se lleva a cabo en la medida, por lo tanto, la función de alimentación es una función externa:

Según la fórmula, primero debe encontrar un derivado de la función externa, en este caso, en la medida. Querido en la mesa fórmula necesaria:. Repetimos otra vez: cualquier fórmula tabular es válida no solo para "X", sino también para una expresión compleja. Por lo tanto, el resultado de aplicar la runación de diferenciación de una función compleja es la siguiente:

Enfatizo nuevamente que cuando tomamos un derivado de una función externa, la función interna no cambia con nosotros:

Ahora queda por encontrar un derivado completamente simple de la función interna y un poco de "peinar" el resultado:

Ejemplo 4.

Encontrar una función derivada

Este es un ejemplo para una solución independiente (respuesta al final de la lección).

Para asegurar una comprensión de la función compleja derivada, daré un ejemplo sin comentarios, intentaré resolverlo usted mismo, pintar, donde externo y dónde está la función interna, ¿por qué las tareas resuelven de esta manera?

Ejemplo 5.

a) encontrar una función derivada

b) encontrar una función derivada

Ejemplo 6.

Encontrar una función derivada

Aquí tenemos una raíz, y para indiferenciar la raíz, debe representarse en forma de grado. Por lo tanto, primero da la función a la forma adecuada:

Analizando la función, concluimos que la suma de los tres términos es una función interna, y la función externa es la función externa. Aplique la regla de diferenciación de una función compleja:

El grado nuevamente representa en forma de un radical (raíz), y para el derivado de la función interna, use una regla simple de la cantidad de diferenciación:

Listo. También puede poner la expresión al denominador general y escribir con una fracción entre paréntesis. Hermosa, por supuesto, pero cuando se obtienen derivados voluminosos largos, es mejor no hacer esto (es fácil de confundir, permitir un error innecesario, y el maestro verificará inconvenientemente).

Ejemplo 7.

Encontrar una función derivada

Este es un ejemplo para una solución independiente (respuesta al final de la lección).

Es interesante observar que a veces en lugar del procedimiento para la diferenciación de una función compleja, puede utilizar la regla de diferenciación de la proporción , Pero tal solución se verá como una diversión de la perversión. Aquí hay un ejemplo característico:

Ejemplo 8.

Encontrar una función derivada

Aquí puedes usar la regla de diferenciación de la proporción. Pero es mucho más rentable encontrar un derivado a través de una regla de diferenciación de una función compleja:

Preparamos la función para la diferenciación: tomamos un minus por signo de la derivada, y el aumento de coseno en el numerador:

El coseno es una función interna, la función externa es una función externa.
Utilizamos nuestra regla:

Encontramos el derivado de la función interna, el cosine se descarta de nuevo:

Listo. En el ejemplo examinado, es importante no confundirse en signos. Por cierto, trate de resolverlo usando la regla. Las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9.

Encontrar una función derivada

Este es un ejemplo para una solución independiente (respuesta al final de la lección).

Hasta ahora, hemos considerado casos cuando solo una inversión fue en nuestra compleja función. En las tareas prácticas, a menudo es posible cumplir con los derivados, donde, como Matryoshki, uno a otro, están incrustados a la vez 3, o incluso 4-5 funciones.

Ejemplo 10.

Encontrar una función derivada

Entendemos en las inversiones de esta función. Intentamos calcular la expresión utilizando el valor experimental. ¿Cómo creemos en la calculadora?

Primero que necesitas encontrar, significa, Arksinus es la inversión más profunda:

Luego, estas unidades Arxinus deben construirse en el cuadrado:

Y, finalmente, los siete se erigen en un grado:

Es decir, en este ejemplo, tenemos tres funciones diferentes y dos accesorios, mientras que la función interna es Arxino, y la función externa en sí es una función indicativa.

Comenzamos a decidir

Según la regla, primero debe tomar un derivado de la función externa. Miramos la tabla de derivados y encontramos un derivado de la función indicativa: la única diferencia es en lugar de "x" tenemos una expresión difícil que no cancela la validez de esta fórmula. Por lo tanto, el resultado de aplicar la runación de diferenciación de una función compleja es la siguiente:

Bajo el golpe, tenemos una función complicada otra vez! Pero es más fácil. Es fácil asegurarse de que la función interna sea Arxinus, la función externa es un grado. Según la diferenciación de una función compleja, primero necesitas tomar un derivado.

Si un gRAMO.(x.) I. f.(u.) - Funciones diferenciales de sus argumentos, respectivamente en puntos. x. y u.= gRAMO.(x.), luego, la función compleja también se diferencia en el punto. x.y se encuentra junto a la fórmula.

Un error típico en la resolución de tareas a derivados: la transferencia automática de las reglas de diferenciación de funciones simples en funciones complejas. Aprenderemos a evitar este error.

Ejemplo 2.Encontrar una función derivada

Mala decisión: Calcule el logaritmo natural de cada término entre paréntesis y busque la cantidad de derivados:

Solución correcta: De nuevo, definimos dónde la "Apple", y donde "picado". Aquí, el logaritmo natural de la expresión entre paréntesis es una "manzana", es decir, la función por argumento intermedio u.y la expresión entre paréntesis está "picada", es decir, un argumento intermedio u. en una variable independiente x..

Luego (aplicando Fórmula 14 de la tabla de derivados)

En muchas tareas reales, la expresión con logaritmo es algo más complicada, por lo que hay una lección.

Ejemplo 3.Encontrar una función derivada

Mala decisión:

Solución correcta. Una vez más, definimos dónde la "Apple", y donde "picadizado". Aquí, el coseno de la expresión entre paréntesis (Fórmula 7 en la tabla de derivados) es la "Apple", se prepara en el modo 1, que afecta solo a ella, y la expresión entre paréntesis (grado derivado - número 3 en los derivados La tabla) está "picada", se prepara en modo 2, que afecta solo a ella. Y, como siempre, conectamos dos derivados con el signo del trabajo. Resultado:

El derivado de una función logarítmica compleja es una tarea frecuente en las pruebas, por lo que recomendamos encarecidamente visitar la lección "Función logarítmica derivada".

Los primeros ejemplos estaban en funciones complejas en las que un argumento intermedio para una variable independiente era una función simple. Pero en tareas prácticas, a menudo es necesario encontrar un derivado de una función compleja, donde el argumento intermedio o en sí mismo es una función compleja o contiene tal función. ¿Qué hacer en tales casos? Encuentre derivados de tales funciones en tablas y reglas de diferenciación. Cuando se encontró la derivada del argumento intermedio, simplemente está sustituido en el lugar deseado de la fórmula. A continuación se muestran dos ejemplos, como se hace.

Además, es útil saber lo siguiente. Si la función compleja se puede representar como una cadena de tres funciones.

debe encontrarse como un producto de derivados de cada una de estas funciones:

Para resolver muchas de su tarea, es posible que deba abrir los beneficios en las nuevas ventanas. Acciones con títulos y raíces. y Acciones con fracciones. .

Ejemplo 4.Encontrar una función derivada

Aplique la regla de diferenciación de una función compleja, sin olvidar que en el producto resultante de derivados un argumento intermedio para una variable independiente x. no cambia:

Preparamos la segunda fábrica del trabajo y aplicamos la regla de diferenciación de la cantidad:

El segundo término es la raíz, por lo tanto.

Por lo tanto, se obtuvo que un argumento intermedio, que es la cantidad, ya que uno de los términos contiene una función compleja: la construcción de una función compleja y el hecho de que está integrado en un título: un argumento intermedio para una variable independiente x..

Por lo tanto, vuelva a aplicar la regla de diferenciación de una función compleja:

El grado del primer factor se transforma en la raíz, y la diferenciación del segundo factor, no olvide que el derivado constante es cero:

Ahora podemos encontrar la derivada del argumento intermedio requerido para calcular el problema requerido por el problema de la función derivada y:

Ejemplo 5.Encontrar una función derivada

Primero, use la cantidad de diferenciación de la cantidad:

Recibió la cantidad de derivados de dos funciones complejas. Encuentra el primero de ellos:

Aquí, la construcción del seno en un grado es una función compleja, y el seno en sí es un argumento intermedio para una variable independiente x.. Por lo tanto, utilizamos la regla de diferenciación de una función compleja, en el camino. la intro de un multiplicador para los soportes :

Ahora encontramos el segundo término de la función derivada de formación. y:

Aquí está la construcción de un coseno en un grado: una función compleja f., y el coseno en sí es un argumento intermedio para una variable independiente. x.. Usaremos la regla de diferenciación de una función compleja:

El resultado es el derivado deseado:

Tabla de derivados de algunas funciones complejas.

Para las funciones complejas basadas en la regla de diferenciación de la función compleja, la fórmula del derivado de una función simple toma otra especie.

1. Complejo derivado. función de poderdónde u. x.
2. Raíz derivada de la expresión.
3. Función indicativa derivada.
4. Caso privado de una función indicativa.
5. Función logarítmica derivada con una base positiva arbitraria. pero
6. Función logarítmica compleja derivada, donde u. - Función de argumento diferencial. x.
7. Derivado sinusal
8. Derivado de coseno
9. Derivado tangente
10. La derivada de Kotangens.
11. Derivado de arksinus
12. Derivado de Arkkosinus
13. Arctangen derivado
14. El derivado de arkkotangence.

La operación de encontrar un derivado se llama diferenciación.

Como resultado de resolver problemas para encontrar derivados de las funciones más simples (y no muy simples) para determinar el derivado como un límite de la actitud hacia un argumento, aparecieron una tabla de derivados y reglas de diferenciación definidas con precisión. Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fueron primero para el campo de los hallazgos de los derivados.

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar un derivado de cualquier función, no es necesario calcular el límite anterior de la proporción del incremento de la función para incrementa el argumento, y solo necesita usar la tabla de derivados y reglas de diferenciación . Para encontrar el derivado, el siguiente algoritmo es adecuado.

Para encontrar un derivado, es necesario para la expresión bajo el signo del accidente cerebrovascular. desmonte los componentes de las funciones simples. y determinar qué acciones (Trabajo, cantidad, privado) Estas funciones están conectadas. A continuación, se encuentran derivados de funciones elementales en la tabla de derivados y fórmulas de derivados, cantidades y privados, en las reglas de diferenciación. La tabla de derivados y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1. Encontrar una función derivada

Decisión. A partir de las reglas de diferenciación, descubrimos que la derivada de la función de las funciones es la cantidad de derivados, es decir.

Desde la tabla de derivados, descubrimos que la derivada de la "ICCA" es igual a una, y el derivado sinusal es coseno. Sustituimos estos valores en la cantidad de derivados y encontramos la condición requerida de la tarea derivada:

Ejemplo 2. Encontrar una función derivada

Decisión. Diferenciado como una suma derivada en la que se puede alcanzar el segundo término con un factor constante por un signo derivado:

Si todavía hay preguntas, desde donde se toma, generalmente se aclaran después de la familiarización con los derivados de la tabla y las reglas de diferenciación más simples. Vamos a ellos ahora mismo.

Tabla de funciones simples derivadas.

1. Constante derivada (números). Cualquier número (1, 2, 5, 200 ...), que está en la expresión de la función. Siempre igual a cero. Es muy importante recordar ya que es necesario muy a menudo.
2. El derivado de una variable independiente. La mayoría de las veces "IKSA". Siempre igual a uno. También es importante recordar durante mucho tiempo.
3. Grado derivado. El grado en resolver tareas que necesita para convertir raíces inquietantes.
4. Derivado variable a grado -1
5. Derivado de la raíz cuadrada.
6. Derivado sinusal.
7. Derivado de coseno
8. Derivado Tangente
9. La derivada de Kotangens.
10. Derivado de arksinus
11. Arckosinus derivado
12. Arctangen derivado
13. Arkkotangen derivado
14. Derivado del logaritmo natural.
15. Función logarítmica derivada
16. Derivado de exhibición
17. Función indicativa derivada

Reglas de diferenciación

1. Cantidad de derivado o diferencia
2. Trabajo derivado.
2a. El derivado de la expresión multiplicado por el multiplicador constante.
3. Derivado privado
4. Función compleja derivada.

Regla 1. Si funciona

diferencialmente en algún momento, luego, en el mismo punto diferenciado y funciones.

y

esos. El derivado de la cantidad algebraica de funciones es igual a la cantidad algebraica de derivados de estas funciones.

Corolario. Si dos funciones diferenciables difieren en un término permanente, sus derivados son iguales.

Regla 2.Si funciona

diferencialmente en algún momento, luego en el mismo punto de manera diferente y su trabajo.

y

esos. La derivada de las dos funciones es igual a la cantidad de las obras de cada una de estas funciones en el DIFERENTE Derivado.

Corolario 1. El multiplicador permanente se puede hacer para una marca derivada.:

Corolario 2. El derivado del trabajo de varias funciones diferenciables es igual a la cantidad de productos de la derivada de cada uno de los factores a todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

Regla 3.Si funciona

diferencial en algún momento y , luego en este punto de manera diferente y su privado.u / v, y

esos. El derivado de las dos funciones privadas es igual a la fracción, cuyo numerador es la diferencia en los productos del denominador en la derivada del numerador y el numerador en el derivado del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. .

Donde qué buscar en otras páginas

Al encontrar un derivado del trabajo y privado en tareas reales, siempre se pueden aplicar varias reglas de diferenciación, por lo que más ejemplos para estos derivados, en el artículo"Trabajo derivado y funciones privadas"..

Comentario.¡No debe confundirse con una constante (es decir, el número) como el término en la cantidad y como multiplicador constante! En el caso de la Fundación, su derivado es cero, y en el caso de un multiplicador constante, se presenta para el signo de derivados. eso error típicoque se reúne en la etapa inicial de estudiar derivados, pero como varios ejemplos de una etapa ya se han resuelto, el estudiante promedio no hace este error.

Y si, con la diferenciación del trabajo o privado, apareció un término u."v. , en el cual u. - Un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, la derivada de este número será cero y, por lo tanto, todo el término será cero (tal caso se desmonta en el Ejemplo 10).

Otro error frecuente es una solución mecánica de una función compleja derivada como un derivado de una función simple. por lo tanto función compleja derivada Artículo separado dedicado. Pero primero aprenderemos a encontrar derivados de funciones simples.

En el curso, no lo hagas sin transformaciones de expresiones. Para hacer esto, es posible que deba abrir los beneficios en nuevas ventanas. Acciones con títulos y raíces. y Acciones con fracciones. .

Si está buscando soluciones de derivados con grados y raíces, es decir, cuando la función es como un tipo , Siga la ocupación "derivada de fracciones con títulos y raíces".

Si tienes una tarea como , entonces estás en los "Derivados de funciones trigonométricas simples".

Ejemplos paso a paso - Cómo encontrar un derivado

Ejemplo 3. Encontrar una función derivada

Decisión. Determinamos la parte de la expresión de la función: toda la expresión representa el trabajo, y sus factores son sumas, en el segundo de los cuales uno de los términos contiene un multiplicador permanente. Utilizamos una derivación del producto: un derivado del trabajo de dos funciones es igual a la cantidad de obras de cada una de estas funciones en el derivado diferente:

A continuación, aplique la cantidad de cantidad de diferenciación: la derivada de la cantidad algebraica de funciones es igual a la cantidad algebraica de derivados de estas funciones. En nuestro caso, cada suma es el segundo término con un signo menos. En cada suma, vemos y una variable independiente, cuya derivada es igual a una, y la constante (número), cuya derivada es cero. Entonces, "X" nos convivamos en uno, y menos 5 - en cero. En la segunda expresión "X" se multiplica por 2, por lo que los dos se multiplican por la misma unidad que un derivado de "IKSA". Obtenemos los siguientes valores de derivados:

Sustituimos los derivados encontrados en la cantidad de obras y obtenemos la condición requerida para el problema de la derivada de toda la función:

Y puede verificar la solución al problema derivado.

Ejemplo 4. Encontrar una función derivada

Decisión. Necesitamos encontrar un derivado privado. Uso de la fórmula para la diferenciación de la diferenciación: el derivado de las dos funciones privadas es igual a la fracción, cuyo numerador es la diferencia de los productos del denominador en la derivada del numerador y el numerador en el derivado del denominador y el El denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado un derivado de los factores en el numertel en el Ejemplo 2. Ni siquiera olvidaré que el trabajo que es la segunda fábrica en el numerador en el ejemplo actual se toma con un signo menos:

Si está buscando soluciones a tales tareas en las que es necesario encontrar una función derivada, donde las razas sólidas de las raíces y grados, como, por ejemplo, , luego bienvenido a la ocupación "El derivado de fracciones con grados y raíces" .

Si necesita aprender más sobre los derivados de los senos, el coseno, las tangentes y otros. funciones trigonométricas, es decir, cuando la función parece entonces estas en la lección "Derivados de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Encontrar una función derivada

Decisión. En esta característica, vemos el trabajo, uno de los factores de los cuales es una raíz cuadrada de una variable independiente, con la derivada de la que hemos leído la tabla de derivados. De acuerdo con la derivación del producto y el valor de la tabla del derivado de la raíz cuadrada, obtenemos:

Compruebe que la solución del problema en el derivado puede estar en derivados de la calculadora en línea .

Ejemplo 6. Encontrar una función derivada

Decisión. En esta característica, vemos privado, que es una raíz cuadrada de una variable independiente. Según la regla de diferenciación de la privada, que repetimos y aplicamos en el Ejemplo 4, obtenemos el valor tabletable del derivado de la raíz cuadrada:

Para deshacerse de la fracción en el numerador, multiplique el numerador y el denominador.