مشتق تابع y x c برابر است با. مشتق تابع مختلط

که بر روی آن ساده ترین مشتقات را تجزیه و تحلیل کردیم و همچنین با قوانین تمایز و چند تکنیک برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر زیاد با مشتقات توابع آشنا نیستید، یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً با یک روحیه جدی هماهنگ شوید - مطالب آسان نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را به روشی ساده و در دسترس ارائه کنم.

در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.

ما در جدول به قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

درك كردن. اول از همه به ضبط دقت می کنیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و علاوه بر این، تابع، به معنای واقعی کلمه، در تابع تعبیه شده است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجیو تابع - یک تابع درونی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.

برای روشن شدن وضعیت به موارد زیر توجه کنید:

مثال 1

مشتق تابع را بیابید

در زیر سینوس، ما نه فقط حرف "X"، بلکه یک عبارت صحیح داریم، بنابراین نمی توان مشتق را بلافاصله از جدول پیدا کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که شما نمی توانید یک سینوس را "پاره کنید".

در این مثال، قبلاً از توضیحات من، به طور شهودی واضح است که یک تابع یک تابع پیچیده است و چند جمله ای یک تابع داخلی (تودرتو) و یک تابع خارجی است.

گام اول، که باید هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط انجام شود، این است که بفهمید کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

در مورد مثال‌های ساده، واضح است که یک چند جمله‌ای زیر سینوس تودرتو شده است. اما اگر همه چیز واضح نباشد چه؟ چگونه مشخص کنیم که دقیقا کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای این کار استفاده از تکنیک زیر را پیشنهاد می کنم که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.

تصور کنید که باید مقدار یک عبارت at را در یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

ابتدا چه چیزی را محاسبه خواهیم کرد؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماباید پیدا شود، بنابراین سینوس یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما کشفبا توابع داخلی و خارجی، زمان اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است .

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل هر مشتقی همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک سکته مغزی در بالا سمت راست قرار می دهیم:

در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا کنید، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه کنید و متوجه شوید. همه فرمول های جدولی قابل اجرا هستند حتی اگر "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد درونی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه اعمال فرمول در طراحی نهایی به این صورت است:

یک عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

اگر ابهامی وجود داشت راه حل را یادداشت کنید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

مثل همیشه می نویسیم:

بیایید بفهمیم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای انجام این کار، سعی کنید (به صورت ذهنی یا بر روی پیش نویس) مقدار عبارت در را محاسبه کنید. ابتدا چه باید کرد؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است: به این معنی که چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها در این صورت توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است:

طبق فرمول ، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. ما به دنبال فرمول مورد نیاز در جدول هستیم:. باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است... بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع بیرونی را می گیریم، تابع درونی برای ما تغییر نمی کند:

اکنون باقی مانده است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنیم و نتیجه را کمی "شانه" کنیم:

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در انتهای آموزش).

برای تثبیت درک مشتق یک تابع پیچیده، مثالی را بدون نظر می‌آورم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، حدس بزنید که تابع خارجی کجا و تابع داخلی کجاست، چرا وظایف به این ترتیب حل شد؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به صورت درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکلی مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله یک تابع درونی و توان یک تابع خارجی است. ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم :

درجه مجدداً به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان داده می شود و برای مشتق تابع داخلی یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز بیاورید و همه چیز را در یک کسری یادداشت کنید. البته خوب است، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در انتهای آموزش).

جالب است بدانید که گاهی به جای قاعده افتراق یک تابع مختلط، می توان از قانون افتراق ضریب استفاده کرد. ، اما چنین راه حلی به عنوان یک انحراف غیرمعمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی آورده شده است:

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید از قانون برای افتراق ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - منهای را به خارج از علامت مشتق منتقل می کنیم و کسینوس را به صورت شمارنده می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
ما از قانون خود استفاده می کنیم :

مشتق تابع داخلی را پیدا کنید، کسینوس را به پایین تنظیم کنید:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم است که در علائم سردرگم نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در انتهای آموزش).

تا کنون، مواردی را بررسی کرده‌ایم که فقط یک پیوست در یک تابع پیچیده داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

بیایید پیوست های این تابع را درک کنیم. تلاش برای ارزیابی عبارت با استفاده از مقدار تست. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین لانه است:

سپس این آرکسین یک باید مربع شود:

و در نهایت، 7 را به قدرت برسانید:

یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو پیوست داریم، در حالی که درونی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.

ما شروع به حل می کنیم

طبق قاعده ابتدا باید مشتق تابع خارجی را بگیرید. به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد.

به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

خوب، اجازه دهید خیلی دور نرویم، بلافاصله تابع معکوس را در نظر خواهیم گرفت. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه یک عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن بنویسید.

برابر چیست؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: توان و لگاریتم طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از بررسی قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ باز هم یک اصطلاح جدید، دوباره؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. چگونه می توان این فرآیند را در یک کلمه نامید؟ نه مشتق ... دیفرانسیل ریاضی را همان افزایش تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز داریم:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت به خارج از علامت مشتق منتقل می شود.

اگر یک عدد ثابت است (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت:.

بیایید ثابت کنیم. اجازه دهید، یا راحت تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در نقطه؛
2. در نقطه؛
3. در نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق از یک اثر

همه چیز در اینجا یکسان است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما برای یادگیری نحوه یافتن مشتق هر تابع نمایی کافی است، نه فقط توان (آیا فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، تعدادی از آن ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک ریشه جدید تبدیل کنیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم:. سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع مشکل است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق توان است: همانطور که بود، باقی می ماند، فقط یک ضرب ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر نوشت. بنابراین در پاسخ آن را به این شکل رها می کنیم.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون مربوط به تمایز را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یکی دلخواه از لگاریتم با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

شما باید این لگاریتم را به پایه بیاورید. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط در حال حاضر، به جای ما می نویسیم:

مخرج فقط یک عدد ثابت است (عدد ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده است:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در امتحان یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم به نظر شما سخت می رسد، مبحث لگاریتم ها را بخوانید و همه چیز می گذرد) اما از نظر ریاضی کلمه دشوار به معنای دشوار نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیاء به نوعی عمل می کنند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. چنین شی کامپوزیتی به نظر می رسد: یک نوار شکلات پیچیده شده و با روبان گره خورده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد به ما داده می شود (شکلات)، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف) و سپس آنچه را که دارم مربع می کنید (آن را با روبان می بندید). چی شد؟ عملکرد. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم و سپس یک عمل دوم را با نتیجه اولین انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما،.

ما ممکن است همان اقدامات را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا شما مربع می کنید، و سپس من به دنبال کسینوس عدد حاصل می گردم:. به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یکی از ویژگی های مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال را تغییر می دهید، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان). ...

عملی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و اولین اقدام انجام شده - به ترتیب عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان مشخص کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. اولین اقدامی که باید انجام داد چیست؟ ابتدا سینوس را محاسبه می کنیم و تنها پس از آن آن را به مکعب می آوریم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و عملکرد اصلی ترکیب آنها است:.
2. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، اکنون شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم - به دنبال مشتق آن باشید. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت یک قانون رسمی را تدوین کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

به نظر می رسد همه چیز ساده است، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:;

خارجی:;

2) داخلی:;

(فقط سعی نکنید تا الان کم کنید! چیزی از زیر کسینوس خارج نمی شود، یادتان هست؟)

3) داخلی:;

خارجی:;

بلافاصله مشخص می شود که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته ، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (یک نوار شکلات را در آن قرار می دهیم. یک بسته بندی و آن را با یک روبان در یک کیف قرار دهید). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: به هر حال، ما این تابع را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از آخر.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه اینها را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری مراحل راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید مثالی بزنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. دنباله اقدامات - مانند قبل:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید یک مسیر عملی را تعریف کنیم.

1. بیان رادیکال. ...

2. ریشه. ...

3. سینوس. ...

4. مربع. ...

5. کنار هم قرار دادن همه چیز:

مشتق. به طور خلاصه در مورد اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت به خارج از علامت مشتق منتقل می شود:

مشتق مبلغ:

مشتق کار:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

احتمالاً مفهوم مشتق از دوران مدرسه برای هر یک از ما آشنا باشد. معمولاً دانش‌آموزان در درک این موضوع که بدون شک بسیار مهم است، مشکل دارند. این به طور فعال در زمینه های مختلف زندگی انسان استفاده می شود و بسیاری از پیشرفت های مهندسی دقیقاً بر اساس محاسبات ریاضی به دست آمده با استفاده از یک مشتق است. اما قبل از اینکه به تحلیلی بپردازیم که مشتقات اعداد چیست، چگونه آنها را محاسبه کنیم و کجا به کار می‌آیند، اجازه دهید کمی در تاریخ غوطه‌ور شویم.

تاریخ

اساس تجزیه و تحلیل ریاضی (حتی بهتر است بگوییم "اختراع شده"، زیرا در طبیعت وجود نداشت) توسط اسحاق نیوتن، که همه ما او را از کشف قانون گرانش جهانی می شناسیم، کشف شد. این او بود که برای اولین بار این مفهوم را در فیزیک برای پیوند دادن ماهیت سرعت و شتاب اجسام به کار برد. و بسیاری از دانشمندان هنوز نیوتن را به خاطر این اختراع باشکوه تحسین می کنند، زیرا در واقع او اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کرد، در واقع اساس یک رشته کامل از ریاضیات به نام "تحلیل ریاضی". اگر جایزه نوبل در آن زمان بود، نیوتن به احتمال زیاد چندین بار آن را دریافت می کرد.

بدون ذهن های بزرگ دیگر نیست. علاوه بر نیوتن، نابغه های برجسته ریاضیات مانند لئونارد اویلر، لوئیس لاگرانژ و گوتفرید لایبنیتس روی توسعه مشتق و انتگرال کار کردند. به لطف آنها است که ما این نظریه را به شکلی که تا امروز وجود دارد به دست آوردیم. به هر حال، این لایب نیتس بود که معنای هندسی مشتق را کشف کرد، که معلوم شد چیزی جز مماس زاویه تمایل مماس بر نمودار تابع نیست.

مشتقات اعداد چیست؟ بیایید کمی آنچه در مدرسه از سر گذرانده ایم را تکرار کنیم.

مشتق چیست؟

این مفهوم را می توان به چند روش مختلف تعریف کرد. ساده ترین توضیح: مشتق نرخ تغییر یک تابع است. نموداری از تابع y در مقابل x را تصور کنید. اگر خط مستقیم نباشد، در نمودار دارای مقداری خمیدگی، دوره های افزایش و کاهش است. اگر هر فاصله بینهایت کوچکی از این نمودار بگیریم، یک پاره خط مستقیم خواهد بود. بنابراین، نسبت اندازه این قطعه بینهایت کوچک در امتداد مختصات y به اندازه در امتداد مختصات x مشتق این تابع در یک نقطه معین خواهد بود. اگر تابع را به عنوان یک کل در نظر بگیریم، و نه در یک نقطه خاص، تابع مشتق، یعنی وابستگی خاصی از بازی به x را دریافت می کنیم.

علاوه بر این، علاوه بر میزان تغییر تابع، معنای هندسی نیز وجود دارد. اکنون در مورد او صحبت خواهیم کرد.

معنی هندسی

مشتقات اعداد خود عدد معینی را نشان می دهند که بدون درک صحیح، معنایی ندارد. معلوم می شود که مشتق نه تنها میزان رشد یا کاهش تابع را نشان می دهد، بلکه مماس شیب مماس بر نمودار تابع را در یک نقطه مشخص نیز نشان می دهد. تعریف کاملا روشن نیست. بیایید آن را با جزئیات بیشتر تجزیه و تحلیل کنیم. فرض کنید یک نمودار از یک تابع داریم (بیایید یک منحنی برای علاقه بگیریم). تعداد بی نهایت نقطه روی آن وجود دارد، اما مناطقی وجود دارد که تنها یک نقطه دارای حداکثر یا حداقل است. از طریق هر نقطه ای، می توانید یک خط مستقیم را رسم کنید که عمود بر نمودار تابع در این نقطه باشد. چنین خطی را خط مماس می نامند. فرض کنید آن را به نقطه تقاطع با محور OX کشیده ایم. بنابراین، زاویه به دست آمده بین مماس و محور OX توسط مشتق تعیین می شود. به طور دقیق تر، مماس این زاویه برابر با آن خواهد بود.

بیایید کمی در مورد موارد خاص صحبت کنیم و مشتقات اعداد را تحلیل کنیم.

موارد خاص

همانطور که گفتیم، مشتقات اعداد، مقادیر مشتق در یک نقطه خاص هستند. برای مثال، بیایید تابع y = x 2 را در نظر بگیریم. مشتق x یک عدد است و در حالت کلی تابعی برابر با 2 * x است. اگر بخواهیم مشتق را محاسبه کنیم، مثلاً در نقطه x 0 = 1، پس y "(1) = 2 * 1 = 2 را به دست می آوریم. همه چیز بسیار ساده است. یک مورد جالب مشتق است. اجازه دهید بگوییم که این عددی است که شامل واحد فرضی نامیده می شود - عددی که مربع آن برابر با 1 است. محاسبه چنین مشتقی تنها در صورتی امکان پذیر است که شرایط زیر وجود داشته باشد:

1) باید مشتقات جزئی مرتبه اول اجزای واقعی و خیالی بر حسب y و x وجود داشته باشد.

2) شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود که مربوط به برابری مشتقات جزئی است که در بند اول توضیح داده شده است.

مورد جالب دیگر، اگرچه به سختی مورد قبلی نیست، مشتق یک عدد منفی است. در واقع هر عدد منفی را می توان یک عدد مثبت ضرب در -1 در نظر گرفت. خب مشتق ثابت و تابع برابر است با ثابت ضرب در مشتق تابع.

یادگیری در مورد نقش مشتق در زندگی روزمره جالب خواهد بود و این همان چیزی است که اکنون به آن خواهیم پرداخت.

کاربرد

احتمالاً هر یک از ما حداقل یک بار در زندگی خود به این فکر می افتیم که ریاضیات بعید است برای او مفید باشد. و چنین چیز پیچیده ای به عنوان مشتق احتمالاً هیچ کاربردی ندارد. در واقع، ریاضیات - و همه میوه های آن عمدتاً توسط فیزیک، شیمی، نجوم و حتی اقتصاد توسعه می یابد. مشتق پایه‌ای را ایجاد کرد که به ما توانایی نتیجه‌گیری از نمودارهای توابع را داد و ما یاد گرفتیم که قوانین طبیعت را تفسیر کنیم و به لطف او آنها را به نفع خود تبدیل کنیم.

نتیجه

البته ممکن است همه در زندگی واقعی به مشتق نیاز نداشته باشند. اما ریاضیات منطقی را توسعه می دهد که مطمئناً مورد نیاز خواهد بود. بی جهت نیست که ریاضیات را ملکه علوم می نامند: پایه های درک سایر حوزه های دانش از آن شکل می گیرد.

حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتق و روش های محاسبه آن مطلقاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم تحلیل ریاضی است. تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را بفهمیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f (x) در فواصل زمانی داده می شود (الف، ب) ... نقاط х و х0 به این بازه تعلق دارند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر یک آرگومان - تفاوت بین مقادیر آن x-x0 ... این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت در مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق تابع در یک نقطه، حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین محدودیتی چه فایده ای دارد؟ و این چیزی است که:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در این نقطه.

معنای فیزیکی مشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از زمان مدرسه، همه می دانند که سرعت یک مسیر خصوصی است. x = f (t) و زمان تی ... سرعت متوسط ​​در یک دوره زمانی:

برای اطلاع از سرعت حرکت در یک زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: یک عدد ثابت را خارج کنید

ثابت را می توان خارج از علامت مشتق حرکت داد. علاوه بر این، باید انجام شود. هنگام حل مثال های ریاضی، به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید عبارت را ساده کنید، حتما ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را پیدا کنید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده بگوییم. مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی توسط مشتق استدلال میانی نسبت به متغیر مستقل.

در مثال بالا با عبارت زیر مواجه می شویم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق آرگومان میانی فوری ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا به شما بگوییم. این موضوع آنقدر که به نظر می رسد ساده نیست، پس هشدار دهید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

با هر سوالی در این زمینه و موضوعات دیگر می توانید تماس بگیرید خدمات دانشجویی... در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می‌کنیم تا سخت‌ترین آزمون را حل کنید و با کارها مقابله کنید، حتی اگر قبلاً محاسبه مشتقات را انجام نداده باشید.