مفاهیم سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مقوله های اصلی مثلثات - شاخه ای از ریاضیات هستند و به طور جدایی ناپذیری با تعریف زاویه مرتبط هستند. داشتن این علم ریاضی مستلزم حفظ و درک فرمول ها و قضایا و همچنین تفکر فضایی توسعه یافته است. به همین دلیل است که محاسبات مثلثاتی اغلب برای دانش آموزان و دانش آموزان مشکل ایجاد می کند. برای غلبه بر آنها باید با توابع و فرمول های مثلثاتی با جزئیات بیشتری آشنا شوید.

مفاهیم در مثلثات

برای درک مفاهیم اولیه مثلثات، ابتدا باید مشخص کنید که مثلث قائم الزاویه و زاویه در یک دایره چیست و چرا تمام محاسبات مثلثاتی اولیه با آنها مرتبط است. مثلثی که یکی از گوشه های آن 90 درجه باشد مستطیل است. از نظر تاریخی، این رقم اغلب توسط مردم در معماری، ناوبری، هنر، نجوم استفاده می شد. بر این اساس، با مطالعه و تجزیه و تحلیل ویژگی های این رقم، افراد به محاسبه نسبت های مربوط به پارامترهای آن رسیدند.

دسته های اصلی مرتبط با مثلث های قائم الزاویه، هیپوتنوز و پاها هستند. هیپوتنوز ضلع مثلث مقابل زاویه قائمه است. پاها به ترتیب دو طرف دیگر هستند. مجموع زوایای هر مثلثی همیشه 180 درجه است.

مثلثات کروی بخشی از مثلثات است که در مدرسه مطالعه نمی شود، اما در علوم کاربردی مانند نجوم و زمین شناسی، دانشمندان از آن استفاده می کنند. ویژگی یک مثلث در مثلثات کروی این است که همیشه مجموع زوایای آن بیش از 180 درجه است.

زوایای یک مثلث

در مثلث قائم الزاویه، سینوس یک زاویه، نسبت ساق مخالف به زاویه مورد نظر به هیپوتنوز مثلث است. بر این اساس، کسینوس نسبت پای مجاور و هیپوتنوز است. هر دوی این مقادیر همیشه کمتر از یک هستند، زیرا هیپوتنوز همیشه از ساق بلندتر است.

مماس یک زاویه مقداری است برابر با نسبت پایه مقابل به پایه مجاور زاویه مورد نظر یا سینوس به کسینوس. کوتانژانت به نوبه خود، نسبت پایه مجاور زاویه مورد نظر به پای مقابل است. با تقسیم یک بر مقدار مماس هم می‌توان هم‌تانژانت یک زاویه را بدست آورد.

دایره واحد

دایره واحد در هندسه دایره ای است که شعاع آن برابر با یک است. چنین دایره ای در یک سیستم مختصات دکارتی ساخته می شود، در حالی که مرکز دایره با نقطه مبدا منطبق است و موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور X (ابسیسا) تعیین می شود. هر نقطه از دایره دو مختصات دارد: XX و YY، یعنی مختصات ابسیساها و مختصات. با انتخاب هر نقطه از دایره در صفحه XX و رها کردن عمود از آن به محور آبسیسا، یک مثلث قائم الزاویه به دست می‌آوریم که از شعاع نقطه انتخاب شده (که با حرف C مشخص می‌شود)، با عمود رسم شده به آن، تشکیل می‌شود. محور X (نقطه تقاطع با حرف G نشان داده می شود)، و یک قطعه از محور آبسیسا بین مبدا (نقطه با حرف A مشخص شده است) و نقطه تقاطع G. مثلث حاصل ACG قائم الزاویه است. مثلث محاط شده در یک دایره، که در آن AG هیپوتانوس است، و AC و GC پاها هستند. زاویه بین شعاع دایره AC و بخش محور آبسیسا با نام AG را به عنوان α (آلفا) تعریف می کنیم. بنابراین، cos α = AG / AC. با توجه به اینکه AC شعاع دایره واحد است و برابر با یک است، معلوم می شود که cos α = AG. به طور مشابه، sin α = CG.

علاوه بر این، با دانستن این داده ها، می توانید مختصات نقطه C را روی دایره تعیین کنید، زیرا cos α = AG، و sin α = CG، به این معنی که نقطه C دارای مختصات مشخص شده است (cos α؛ sin α). با دانستن اینکه مماس برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، می توانیم تعیین کنیم که tg α = y / x و ctg α = x / y. با در نظر گرفتن زوایای یک سیستم مختصات منفی، می توانید محاسبه کنید که مقادیر سینوس و کسینوس برخی از زوایا ممکن است منفی باشد.

محاسبات و فرمول های اساسی

مقادیر توابع مثلثاتی

با در نظر گرفتن ماهیت توابع مثلثاتی از طریق دایره واحد، می توانید مقادیر این توابع را برای برخی زوایا استخراج کنید. مقادیر در جدول زیر آمده است.

ساده ترین هویت های مثلثاتی

معادلاتی که در آنها یک مقدار مجهول در زیر علامت تابع مثلثاتی وجود دارد، مثلثاتی می گویند. هویت هایی با مقدار sin х = α، k هر عدد صحیحی است:

1. sin x = 0، x = πk.
2. 2.sin x = 1، x = π / 2 + 2πk.
3. sin x = -1، x = -π / 2 + 2πk.
4. گناه x = a، | a | > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
5. گناه x = a، | a | ≦ 1، x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

هویت هایی با مقدار cos x = a که k هر عدد صحیحی است:

1. cos x = 0، x = π / 2 + πk.
2. cos x = 1، x = 2πk.
3. cos x = -1، x = π + 2πk.
4. cos x = a، | a | > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
5. cos x = a، | a | ≦ 1، x = ± arccos α + 2πk.

هویت هایی با مقدار tg x = a، که در آن k هر عدد صحیح است:

1. tg x = 0، x = π / 2 + πk.
2. tg x = a، x = آرکتان α + πk.

هویت هایی با مقدار ctg x = a، که در آن k هر عدد صحیح است:

1. ctg x = 0، x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a، x = arcctg α + πk.

فرمول های ریخته گری

این دسته از فرمول‌های ثابت روش‌هایی را نشان می‌دهند که می‌توان از آنها برای تغییر از توابع مثلثاتی شکل به توابع آرگومان استفاده کرد، یعنی سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه با هر مقدار را به شاخص‌های مربوطه از زاویه فاصله از 0 تا 90 درجه برای راحتی بیشتر محاسبات.

فرمول تبدیل توابع برای سینوس زاویه به صورت زیر است:

• گناه (900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin (1800 - α) = گناه α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin (3600 + α) = گناه α.

برای کسینوس یک زاویه:

• cos (900 - α) = گناه α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

استفاده از فرمول های فوق با رعایت دو قانون امکان پذیر است. ابتدا، اگر زاویه را بتوان به عنوان یک مقدار (π / 2 ± a) یا (3π / 2 ± a) نشان داد، مقدار تابع تغییر می کند:

• از گناه به cos;
• از cos به گناه;
• از tg به ctg؛
• از ctg به tg.

اگر بتوان زاویه را به صورت (π ± a) یا (2π ± a) نشان داد، مقدار تابع بدون تغییر باقی می ماند.

ثانیاً، علامت تابع کاهش یافته تغییر نمی کند: اگر در ابتدا مثبت بود، همچنان باقی می ماند. به همین ترتیب با توابع منفی.

فرمول های اضافه

این فرمول ها مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه چرخش را برحسب توابع مثلثاتی بیان می کنند. زاویه ها معمولاً به عنوان α و β شناخته می شوند.

فرمول ها به این شکل هستند:

1. sin (α ± β) = گناه α * cos β ± cos α * گناه.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (1-± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

این فرمول ها برای هر مقدار از زوایای α و β معتبر هستند.

فرمول های دو و سه زاویه

فرمول های مثلثاتی زاویه دو و سه فرمول هایی هستند که به ترتیب توابع زوایای 2α و 3α را به توابع مثلثاتی زاویه α مرتبط می کنند. برگرفته از فرمول های جمع:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

انتقال از جمع به محصول

با در نظر گرفتن اینکه 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y) با ساده کردن این فرمول ، هویت sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 را بدست می آوریم. به طور مشابه، sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2؛ cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = گناه (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

حرکت از کار به جمع

این فرمول ها از هویت های انتقال مجموع به محصول به دست می آیند:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

فرمول های کاهش درجه

در این هویت ها، توان های مربع و مکعب سینوس و کسینوس را می توان بر حسب سینوس و کسینوس توان اول زاویه چندگانه بیان کرد:

• sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

جایگزینی جهانی

فرمول های جانشینی مثلثاتی جهانی، توابع مثلثاتی را بر حسب مماس نیم زاویه بیان می کنند.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2)، در حالی که x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2)، که در آن x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2)، که در آن x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2)، در حالی که x = π + 2πn.

موارد خاص

موارد خاص از ساده ترین معادلات مثلثاتی در زیر آورده شده است (k هر عدد صحیحی است).

خصوصی برای سینوس:

ضرایب کسینوس عبارتند از:

خصوصی برای مماس:

خصوصی برای کوتانژانت:

قضایا

قضیه سینوس

دو نسخه از قضیه وجود دارد - ساده و توسعه یافته. قضیه ساده سینوس ها: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. در این حالت، a، b، c اضلاع مثلث هستند و α، β، γ به ترتیب زوایای مخالف هستند.

قضیه سینوس بسط یافته برای یک مثلث دلخواه: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. در این هویت، R نشان دهنده شعاع دایره ای است که مثلث داده شده در آن حک شده است.

قضیه کسینوس

هویت به صورت زیر نمایش داده می شود: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. در فرمول a,b,c اضلاع مثلث و α زاویه مقابل ضلع a است.

قضیه مماس

فرمول رابطه بین مماس های دو زاویه و طول اضلاع مقابل آنها را بیان می کند. اضلاع به صورت a، b، c نشان داده می شوند و زوایای مقابل مربوطه عبارتند از α، β، γ. فرمول قضیه مماس این است: (a - b) / (a ​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

قضیه کتانژانت

شعاع دایره ای که به صورت مثلث محاط شده است را به طول اضلاع آن متصل می کند. اگر a، b، c اضلاع مثلث، و A، B، C به ترتیب زوایای مخالف، r شعاع دایره محاطی و p نیمی از محیط مثلث باشد، هویت های زیر است. معتبر:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

اپلیکیشن کاربردی

مثلثات فقط یک علم نظری مربوط به فرمول های ریاضی نیست. خواص، قضایا و قواعد آن در عمل توسط شاخه های مختلف فعالیت های انسانی استفاده می شود - نجوم، ناوبری هوایی و دریایی، تئوری موسیقی، ژئودزی، شیمی، آکوستیک، اپتیک، الکترونیک، معماری، اقتصاد، مهندسی مکانیک، کار اندازه گیری، گرافیک کامپیوتری، نقشه کشی، اقیانوس شناسی، و بسیاری دیگر.

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مفاهیم اولیه مثلثات هستند که به کمک آنها می توان رابطه بین زوایا و طول اضلاع یک مثلث را به صورت ریاضی بیان کرد و از طریق هویت ها، قضایا و قواعد کمیت های مورد نیاز را پیدا کرد.

جدول مقادیر تابع مثلثاتی

توجه داشته باشید... این جدول از مقادیر تابع مثلثاتی از علامت √ برای نشان دادن ریشه دوم استفاده می کند. برای نشان دادن کسری - نماد "/".

را نیز ببینیدمواد مفید:

برای تعیین مقدار تابع مثلثاتی، آن را در تقاطع خط تابع مثلثاتی پیدا کنید. به عنوان مثال، سینوس 30 درجه - به دنبال ستونی با عنوان گناه (سینوس) باشید و تقاطع این ستون جدول را با خط "30 درجه" پیدا کنید، در تقاطع آنها نتیجه را می خوانیم - یک ثانیه. به همین ترتیب، ما پیدا می کنیم کسینوس 60درجه، سینوس 60درجه (یک بار دیگر، در تقاطع ستون sin (سینوس) و ردیف 60 درجه، مقدار sin 60 = √3 / 2 را پیدا می کنیم) و غیره. به همین ترتیب، مقادیر سینوس، کسینوس و مماس سایر زوایای "محبوب" یافت می شود.

سینوس پی، کسینوس پی، مماس پی و زوایای دیگر بر حسب رادیان

جدول کسینوس، سینوس و مماس زیر نیز برای یافتن مقدار توابع مثلثاتی که آرگومان آنها مناسب است. به رادیان داده می شود... برای این کار از ستون دوم مقادیر زاویه استفاده کنید. به لطف این، مقدار زوایای محبوب را می توان از درجه به رادیان تبدیل کرد. مثلاً در خط اول زاویه 60 درجه را پیدا کرده و مقدار آن را بر حسب رادیان زیر آن بخوانیم. 60 درجه برابر است با π / 3 رادیان.

عدد پی وابستگی محیط را به درجه اندازه گیری زاویه بیان می کند. پس رادیان پی برابر با 180 درجه است.

هر عددی که بر حسب پی (رادیان) بیان شود را می توان به راحتی با جایگزینی عدد پی (π) با 180 به یک درجه تبدیل کرد..

نمونه هایی از:
1. سینو پی.
sin π = sin 180 = 0
بنابراین سینوس پی همان سینوس 180 درجه و صفر است.

2. کسینوس پی.
cos π = cos 180 = -1
بنابراین، کسینوس پی همان کسینوس 180 درجه و برابر با منهای یک است.

3. مماس پی
tg π = tg 180 = 0
بنابراین مماس پی همان مماس 180 درجه و صفر است.

جدول مقادیر سینوس، کسینوس، مماس برای زوایای 0 - 360 درجه (مقادیر رایج)

اگر در جدول مقادیر توابع مثلثاتی به جای مقدار تابع، خط تیره (مماس (tg) 90 درجه، کتانژانت (ctg) 180 درجه) نشان داده شود، این تابع هیچ معنای مشخصی برای این مقدار اندازه گیری درجه ندارد. از زاویه اگر خط تیره وجود نداشته باشد - سلول خالی است، ما هنوز مقدار لازم را وارد نکرده ایم. ما علاقه مندیم که کاربران برای چه درخواست هایی به ما مراجعه کنند و جدول را با مقادیر جدید تکمیل کنند، علیرغم این واقعیت که داده های فعلی در مورد مقادیر کسینوس، سینوس و مماس رایج ترین مقادیر زاویه ها کاملاً کافی است. حل اکثر مشکلات

جدول مقادیر توابع مثلثاتی sin، cos، tg برای محبوب ترین زوایای
0، 15، 30، 45، 60، 90 ... 360 درجه
(مقادیر عددی "مانند جداول برادیس")

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع مثلثاتی و کاربرد آنها در هندسه می پردازد. توسعه مثلثات در دوران یونان باستان آغاز شد. در طول قرون وسطی، دانشمندان خاورمیانه و هند سهم مهمی در توسعه این علم داشتند.

این مقاله به مفاهیم و تعاریف اساسی مثلثات اختصاص دارد. این تعاریف توابع مثلثاتی اصلی را مورد بحث قرار می دهد: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. معنای آنها در زمینه هندسه توضیح و نشان داده شده است.

در ابتدا تعاریف توابع مثلثاتی که استدلال آنها یک زاویه است، بر حسب نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بیان شد.

تعاریف توابع مثلثاتی

سینوس زاویه (sin α) نسبت پای مخالف این زاویه به هیپوتنوز است.

کسینوس زاویه (cos α) نسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

مماس زاویه (t g α) نسبت پای مقابل به مجاور است.

کوتانژانت زاویه (c t g α) - نسبت پای مجاور به طرف مقابل.

این تعاریف برای زاویه تند مثلث قائم الزاویه ارائه شده است!

در اینجا یک تصویر است.

در مثلث ABC با زاویه قائم C، سینوس زاویه A برابر است با نسبت پایه BC به هیپوتنوز AB.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما امکان می دهد مقادیر این توابع را از طول های شناخته شده اضلاع مثلث محاسبه کنید.

مهم به یاد داشته باشید!

محدوده مقادیر سینوس و کسینوس: از 1- تا 1. به عبارت دیگر سینوس و کسینوس مقادیری از 1- تا 1 می گیرند. محدوده مقادیر مماس و کوتانژانت کل عدد است. خط، یعنی این توابع می توانند هر مقداری را بگیرند.

تعاریف ارائه شده در بالا برای گوشه های تیز است. در مثلثات مفهوم زاویه چرخش معرفی می شود که مقدار آن بر خلاف زاویه حاد به یک قاب از 0 تا 90 درجه محدود نمی شود.زاویه چرخش بر حسب درجه یا رادیان با هر عدد واقعی از - بیان می شود. ∞ به + ∞.

در این زمینه، می توانید تعریفی از سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت با یک زاویه با بزرگی دلخواه ارائه دهید. دایره واحد را در مرکز مبدأ سیستم مختصات دکارتی تصور کنید.

نقطه شروع A با مختصات (1، 0) در اطراف مرکز دایره واحد با مقداری زاویه α می چرخد ​​و به نقطه A 1 می رود. تعریف از طریق مختصات نقطه A 1 (x, y) ارائه شده است.

سینوس (سین) زاویه چرخش

سینوس زاویه چرخش α مصداق نقطه A 1 (x,y) است. sin α = y

کسینوس (cos) زاویه چرخش

کسینوس زاویه چرخش α آبسیسا نقطه A 1 (x,y) است. cos α = x

زاویه چرخش مماس (tg).

مماس زاویه چرخش α نسبت مختصات نقطه A 1 (x, y) به آبسیسا آن است. t g α = y x

کوتانژانت (ctg) زاویه چرخش

کوتانژانت زاویه چرخش α نسبت آبسیسا نقطه A 1 (x, y) به مختصات آن است. c t g α = x y

سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخش تعریف می شوند. این منطقی است، زیرا ابسیسا و مختصات یک نقطه پس از چرخش را می توان در هر زاویه ای تعیین کرد. وضعیت با مماس و کتانژانت متفاوت است. وقتی نقطه پس از چرخش به نقطه صفر (0، 1) و (0، - 1) برود، مماس تعریف نمی شود. در چنین مواردی، بیان مماس t g α = y x به سادگی معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. وضعیت مشابه با کوتانژانت است. تفاوت در این است که زمانی که مختصات یک نقطه ناپدید می شود، کوتانژانت تعریف نمی شود.

مهم به یاد داشته باشید!

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می شوند.

مماس برای همه زوایا به جز α = 90 درجه + 180 درجه k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

کوتانژانت برای همه زوایا به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

هنگام حل مثال های عملی، "سینوس زاویه چرخش α" را نگویید. کلمات "زاویه چرخش" به سادگی حذف شده اند، به این معنی که از متن مشخص است که در مورد چیست.

شماره

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد و نه زاویه چرخش چیست؟

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک عدد

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد تیعددی است که به ترتیب برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت در است تیرادیان

به عنوان مثال، سینوس 10 π برابر است با سینوس زاویه چرخش 10 π rad.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. بیایید آن را با جزئیات بیشتر در نظر بگیریم.

هر عدد واقعی تییک نقطه روی دایره واحد با مرکزی در مبدا یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل اختصاص داده شده است. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعریف می شوند.

نقطه شروع روی دایره نقطه A با مختصات (1، 0) است.

یک عدد مثبت تی

عدد منفی تیمربوط به نقطه ای است که نقطه شروع اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت در امتداد دایره حرکت کند و مسیر t را طی کند، به آن می رسد.

اکنون که ارتباط بین عدد و نقطه روی دایره برقرار شد، به تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت می‌پردازیم.

سینوس (گناه) تی

سینوس عدد تیترتیب نقطه دایره واحد مربوط به عدد است تی sin t = y

کسینوس (cos) عدد t

عدد کسینوس تیآبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد است تی cos t = x

مماس (tg) عدد t

مماس عدد تی- نسبت مجمل به آبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد تی t g t = y x = گناه t cos t

تعاریف اخیر با تعریف ارائه شده در ابتدای این بند مطابقت دارد و منافاتی ندارد. نقطه روی دایره مربوط به عدد تی، منطبق بر نقطه ای است که نقطه شروع پس از چرخش یک زاویه به آن می رود تیرادیان

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

هر مقدار از زاویه α مربوط به مقدار مشخصی از سینوس و کسینوس این زاویه است. و همچنین تمام زوایای α غیر از α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) مقدار مشخصی از مماس مطابقت دارد. کوتانژانت، همانطور که در بالا ذکر شد، برای همه α تعریف شده است، به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z).

می توان گفت sin α، cos α، tg α، c tg α توابعی از زاویه آلفا یا توابعی از آرگومان زاویه ای هستند.

به طور مشابه، می توانید در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان توابعی از یک آرگومان عددی صحبت کنید. به هر عدد واقعی تیمربوط به مقدار خاصی از سینوس یا کسینوس یک عدد است تی... همه اعداد غیر از π 2 + π · k، k ∈ Z، با مقدار مماس مطابقت دارند. کوتانژانت به طور مشابه برای همه اعداد به جز π k, k ∈ Z تعریف شده است.

توابع اصلی مثلثات

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع مثلثاتی اساسی هستند.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که با کدام آرگومان تابع مثلثاتی (آگومان زاویه یا آرگومان عددی) سروکار داریم.

بیایید به داده های همان ابتدای تعاریف و زاویه آلفا بازگردیم که در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد. تعاریف مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت کاملاً با تعاریف هندسی ارائه شده با استفاده از نسبت های یک مثلث قائم الزاویه مطابقت دارد. بیایید آن را نشان دهیم.

دایره واحد را در مرکز یک سیستم مختصات دکارتی مستطیل شکل بگیرید. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را با زاویه ای تا 90 درجه بچرخانیم و از نقطه حاصل A 1 (x, y) عمود بر محور آبسیسا بکشیم. در مثلث قائم الزاویه حاصل، زاویه A 1 O H برابر با زاویه چرخش α است، طول ساق O H برابر با آبسیسا نقطه A 1 (x, y) است. طول پای مقابل گوشه برابر با مختص نقطه A 1 (x, y) و طول هیپوتنوس برابر با یک است، زیرا شعاع دایره واحد است.

طبق تعریف هندسه، سینوس زاویه α برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

این بدان معنی است که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه از طریق نسبت ابعاد معادل با تعیین سینوس زاویه چرخش α است که آلفا در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد.

به طور مشابه، مطابقت تعاریف را می توان برای کسینوس، مماس و کوتانژانت نشان داد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

1. یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه 25 سانتی متر است، اگر زاویه مجاور ساق معلوم 36 درجه باشد، طول پایه دوم را محاسبه کنید.
   

   راه حل:

   طبق تعریف، مماس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت پای مقابل به ساق مجاور. ساق a = 25 سانتی متر در مجاورت زاویه α = 36 درجه است و پایه مجهول b در مقابل است. سپس:

   $$ tg (\ alpha) = \ frac (b) (a) $$، بنابراین $$ b = a \ cdot tg (\ alpha) $$

   بیایید جایگزینی را انجام دهیم:

   $$ b = 25 \ cdot tg (36 ^ 0) = 25 \ cdot 0.727 = 18.175 سانتی متر $$

   پاسخ:

   $$ b = 18.175 سانتی متر $$

2. مقدار عبارت را محاسبه کنید: $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ چپ (\ frac (\ pi) (5) \ راست) $$
   

   راه حل:

   هنگام جایگزینی، در نظر بگیرید که یکی از زاویه ها بر حسب درجه و دیگری با رادیان اندازه گیری می شود:

   $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ چپ (\ frac (\ pi) (5) \ سمت راست) = 2 + 0.213 - 0.727 ^ 2 \ تقریباً 1.684 $ $

   پاسخ:
3. برای محاسبه ارتفاع هرم خئوپس، دانشمند منتظر ماند تا خورشید از جایی که او قرار دارد، بالای آن را لمس کند. سپس ارتفاع زاویه ای خورشید را در بالای افق اندازه گرفت، معلوم شد که 21 درجه است و فاصله تا هرم 362 متر است، ارتفاع آن چقدر است؟
   

   راه حل:

   ارتفاع هرم H و فاصله L تا آن ساق های یک مثلث قائم الزاویه است که هیپوتنوز آن یک پرتو خورشید است. سپس مماس زاویه ای که خورشید در بالای هرم دیده می شود:

   $$ tg \ alpha = \ frac (H) (L) $$ ، ارتفاع را با تبدیل فرمول محاسبه می کنیم:

   $$ H = L \ cdot tg (\ alpha) = 362 \ cdot tg (21 ^ 0) = 138.96 $$

   پاسخ:

   $$ H = 138.96 $ $

4. اگر پای مقابل 6 سانتی متر و پای مجاور آن 5 سانتی متر باشد tg α را پیدا کنید.
   

   راه حل:

   الف- مقدماتی

   $$ tg \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ alpha = \ frac (6) (5) = 1.2 $$

   بنابراین زاویه $$ \ آلفا = 50 ^ (\ circ) $$ است.

   پاسخ:

   $$ tg \ alpha = 1.2 $$

5. اگر پای مقابل 8 سانتی متر و هیپوتانوس 10 سانتی متر باشد tg α را پیدا کنید.
   

   راه حل:

   با استفاده از فرمول فیثاغورث، ساق مجاور مثلث را پیدا می کنیم:

   $$ a = \ sqrt ((c ^ 2 - b ^ 2)) $$

   $$ a = \ sqrt ((10 ^ 2 - 8 ^ 2)) = \ sqrt (36) = 6 \ cm $$

   الف- مقدماتی

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (8) (6) = 1.333 $$

   بنابراین زاویه $$ \ آلفا = 53 ^ (\ circ) $$ است.

   پاسخ:

   $$ tg \ alpha = 1.333 $$

6. اگر پای مجاور 2 برابر بزرگتر از پای مقابل باشد و هیپوتانوس 5√5 سانتی متر باشد tg α را پیدا کنید.
   

   راه حل:

   با استفاده از فرمول فیثاغورث، ساق های مثلث را پیدا می کنیم:

   $$ c = \ sqrt ((b ^ 2 + 4b ^ 2)) = \ sqrt ((5b ^ 2)) = b \ sqrt (5) $$

   $$ b = \ frac (c) (\ sqrt (5)) = \ frac (5 \ sqrt (5)) (\ sqrt (5)) = 5 \ cm $$

   $$ a = 5 \ cdot 2 = 10 \ cm $$

   الف- مقدماتی

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (5) (10) = 0.5 $$

   بنابراین، زاویه $$ \ آلفا = 27 ^ (\ circ) $$.

   پاسخ:

   $$ tg \ آلفا = 0.5 $$

7. اگر هيپوتنوز 12 سانتيمتر و زاويه β 30 درجه باشد، رنگ قهوه اي مايل به زرد را بيابيد.
   

   راه حل:

   بیایید پای مجاور زاویه مورد نظر را پیدا کنیم. مشخص است که پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتنوز است. به معنای،

   $$ a = 6 \ cm $$

   با قضیه فیثاغورث، ساق مقابل زاویه مورد نظر را پیدا می کنیم:

   $$ b = \ sqrt ((c ^ 2 + a ^ 2)) $$

   $$ b = \ sqrt ((144-36)) = \ sqrt (108) = 6 \ sqrt (3) $$

   الف- مقدماتی

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \\ alpha = \ frac (6 \ sqrt (3)) (6) = \ sqrt (3) = 1.732 $$

   بنابراین زاویه $$ \ آلفا = 60 ^ (\ circ) $$ است.

   پاسخ:

   $$ tg \ آلفا = 1.732 $$

8. اگر پايه هاي مقابل و مجاور مساوي باشند و هيپوتنوز 6√2cm باشد، tg α را بيابيد.
   

   راه حل:

   الف- مقدماتی

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ آلفا = 1 $$

   بنابراین زاویه $$ \ آلفا = 45 ^ (\ circ) $$ است.

   پاسخ:

   سخنرانی: سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت زاویه دلخواه

   سینوس، کسینوس با زاویه دلخواه

   
   

   برای درک اینکه توابع مثلثاتی چیست، اجازه دهید به دایره ای با شعاع واحد بپردازیم. این دایره در مبدأ در صفحه مختصات متمرکز است. برای تعیین توابع داده شده از بردار شعاع استفاده می کنیم یاکه از مرکز دایره و نقطه شروع می شود آرنقطه دایره است این بردار شعاع یک زاویه آلفا با محور تشکیل می دهد اوه... از آنجایی که دایره دارای شعاع برابر با یک است، پس OP = R = 1.

   

   اگر از نقطه آرعمود بر محور را پایین بیاورید اوه، سپس یک مثلث قائم الزاویه با هیپوتانوس برابر با یک بدست می آوریم.

   
   

   اگر بردار شعاع در جهت عقربه های ساعت حرکت کند، این جهت نامیده می شود منفی، اگر خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کند - مثبت.

   

   
   

   زاویه سینوسی یا، ترتیب نقطه است آربردارهای روی یک دایره

   یعنی برای به دست آوردن مقدار سینوس آلفای یک زاویه معین، باید مختصات را تعیین کرد دارندروی سطح

   این مقدار چگونه به دست آمد؟ از آنجایی که می دانیم سینوس یک زاویه دلخواه در یک مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتانوس، به این نتیجه می رسیم که

   

   و از R = 1، سپس sin (α) = y 0 .

   
   

   در دایره واحد، مقدار مختصات نمی تواند کمتر از -1 و بیشتر از 1 باشد، به این معنی که

   

   

   سینوس در ربع اول و دوم دایره واحد مثبت و در سوم و چهارم منفی است.

   زاویه کسینوسدایره داده شده توسط بردار شعاع تشکیل شده است یا، ابسیسه نقطه است آربردارهای روی یک دایره

   یعنی برای بدست آوردن مقدار کسینوس یک زاویه آلفای معین، باید مختصات را تعیین کرد NSروی سطح

   
   

   کسینوس یک زاویه دلخواه در یک مثلث قائم الزاویه نسبت پایه مجاور به هیپوتانوس است، ما دریافتیم که

   
   

   و از R = 1، سپس cos (α) = x 0 .

   در دایره واحد، مقدار آبسیسا نمی تواند کمتر از -1 و بیشتر از 1 باشد، به این معنی که

   

   

   کسینوس در ربع اول و چهارم دایره واحد مثبت و در دوم و سوم منفی است.

   مماسزاویه دلخواهنسبت سینوس به کسینوس در نظر گرفته می شود.

   اگر یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم، این نسبت پای مقابل به مجاور است. اگر در مورد دایره واحد صحبت می کنیم، پس این نسبت مختصات به ابسیسا است.

   

   با قضاوت بر اساس این نسبت ها، می توان فهمید که مماس نمی تواند وجود داشته باشد اگر مقدار آبسیسا صفر باشد، یعنی در زاویه 90 درجه. مماس می تواند تمام مقادیر دیگر را بگیرد.

   

   مماس در ربع اول و سوم دایره واحد مثبت و در ربع دوم و چهارم منفی است.