مثلث متساوی الساقین. نظریه تفصیلی با مثال (2020)

ویژگی های مثلث متساوی الساقین.
نشانه های مثلث متساوی الساقین.
فرمول مثلث متساوی الساقین:
- فرمول های طول جانبی؛
- فرمول طول اضلاع مساوی؛
- فرمول ارتفاع، میانه، نیمساز مثلث متساوی الساقین.

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن برابر باشد. این احزاب نامیده می شوند جانبیو شخص ثالث است اساس.

AB = BC - اضلاع جانبی

AC - پایه

خواص مثلث متساوی الساقین

خواص مثلث متساوی الساقین بر حسب بیان می شود 5 قضیه:

قضیه 1.در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

اثبات قضیه:

یک متساوی الساقین Δ را در نظر بگیرید ABC با پایه مانند .

اضلاع مساوی هستند AB = آفتاب ,

بنابراین، زوایای در پایه ∠ BАC = ∠ BCA .

قضیه نیمساز، میانه، ارتفاع، کشیده شده به قاعده مثلث متساوی الساقین

قضیه 2.در مثلث متساوی الساقین، نیمساز کشیده شده به قاعده، وسط و ارتفاع است.
قضیه 3.در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده، نیمساز و ارتفاع است.
قضیه 4.در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع کشیده شده به قاعده، نیمساز و میانه است.

اثبات قضیه:

دن Δ ABC .
از نقطه V ارتفاع را نگه داریم BD.
مثلث به Δ تقسیم می شود ABD و Δ CBD. این مثلث ها مساوی هستند زیرا هیپوتانوس و پای مشترک آنها برابر است ().
مستقیم مانند و BD عمود نامیده می شوند.
B Δ ABD و Δ BCD ∠ بد = ∠ BСD (از قضیه 1).
AB = قبل از میلاد - طرفین برابر هستند
مهمانی آگهی = سی دی، از آنجا که نقطه دی بخش را به نصف تقسیم می کند.
از این رو Δ ABD = Δ BCD.
نیمساز، ارتفاع و میانه یک بخش هستند - BD

خروجی:

ارتفاع مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، میانه و نیمساز است.
میانه یک مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، ارتفاع و نیمساز است.
نیمساز مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، وسط و ارتفاع است.

یاد آوردن!هنگام حل چنین مسائلی، ارتفاع را تا قاعده مثلث متساوی الساقین پایین بیاورید. برای تقسیم آن به دو مثلث قائم الزاویه مساوی.

قضیه 5.اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها مساوی هستند.

اثبات قضیه:

دو Δ ABC و Δ A 1 B 1 C 1 داده شده است. اضلاع AB = A 1 B 1; BC = B 1 C 1; AC = A 1 C 1.

اثبات با تناقض.

اجازه دهید مثلث ها مساوی نباشند (در غیر این صورت مثلث ها در صفت اول برابر بودند).
فرض کنید Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC، که راس C 2 آن در یک نیم صفحه با راس C 1 نسبت به خط مستقیم A 1 B 1 قرار دارد. با فرض، رئوس C 1 و C 2 بر هم منطبق نیستند. فرض کنید D نقطه وسط قطعه C 1 C 2 باشد. ΔA 1 C 1 C 2 و Δ B 1 C 1 C 2 متساوی الساقین با قاعده مشترک C 1 C 2 هستند. بنابراین، میانه آنها A 1 D و B 1 D ارتفاع هستند. بنابراین، خطوط A 1 D و B 1 D بر خط C 1 C 2 عمود هستند. A 1 D و B 1 D دارای نقاط مختلف A 1 و B 1 هستند، بنابراین منطبق نیستند. اما از طریق نقطه D خط مستقیم C 1 C 2 فقط یک خط مستقیم عمود بر آن را می توان رسم کرد.
از اینجا به یک تناقض رسیدیم و قضیه را ثابت کردیم.

نشانه های مثلث متساوی الساقین

اگر دو زاویه در یک مثلث مساوی باشند.
مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.
اگر در یک مثلث، نیمساز میانه یا ارتفاع است.
اگر در مثلث باشد، میانه نیمساز یا ارتفاع است.
اگر در مثلث باشد، ارتفاع میانه یا نیمساز است.

فرمول های مثلث متساوی الساقین

ب- جانبی (پایه)
آ- اضلاع مساوی
آ - زوایای پایه
ب

فرمول های طول ضلع(زمینه - ب):

b = 2a \ sin (\ beta / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ beta)
b = 2a \ cos \ آلفا

فرمول های طول ضلع برابر - (آ):

a = \ frac (b) (2 \ sin (\ beta / 2)) = \ frac (b) (\ sqrt (2-2 \ cos \ بتا))
a = \ فراک (ب) (2 \ cos \ آلفا)

L- ارتفاع = نیمساز = میانه
ب- جانبی (پایه)
آ- اضلاع مساوی
آ - زوایای پایه
ب - زاویه تشکیل شده توسط اضلاع مساوی

فرمول های ارتفاع، نیمساز و میانه، از طریق ضلع و زاویه، ( L):

ل = گناه آ
L = \ frac (b) (2) * \ tg \ آلفا
L = a \ sqrt ((1 + \ cos \ بتا) / 2) = a \ cos (\ بتا) / 2)

فرمول ارتفاع، نیمساز و میانه، از اضلاع، ( L):

L = \ sqrt (a ^ (2) -b ^ (2) / 4)

ب- جانبی (پایه)
آ- اضلاع مساوی
ساعت- ارتفاع

فرمول مساحت مثلث بر حسب ارتفاع h و قاعده b، ( اس):

S = \ فراک (1) (2) * bh

محاسبه ارتفاع مثلث به خود شکل بستگی دارد (متساوی الاضلاع، متساوی الاضلاع، همه کاره، مستطیل). در هندسه عملی، فرمول های پیچیده، به عنوان یک قاعده، رخ نمی دهد. کافی است که اصل کلی محاسبات را بدانیم تا بتوان آن را به طور کلی برای همه مثلث ها کاربردی کرد. امروز شما را با اصول اولیه محاسبه ارتفاع یک شکل، فرمول های محاسبه بر اساس ویژگی های ارتفاع مثلث ها آشنا می کنیم.

قد چیست؟

ارتفاع دارای چندین ویژگی متمایز است

نقطه ای که تمام ارتفاعات به هم می رسند، مرکز قائم نامیده می شود. اگر مثلث نوک تیز باشد، مرکز قائم در داخل شکل است، اگر یکی از گوشه‌ها منفرد باشد، معمولاً مرکز عمود بیرون است.
در مثلثی که یک زاویه آن 90 درجه است، مرکز و راس یکسان هستند.
بسته به نوع مثلث، چندین فرمول برای چگونگی پیدا کردن ارتفاع مثلث وجود دارد.

محاسبات سنتی

اگر p نصف محیط باشد، a، b، c تعیین اضلاع شکل مورد نیاز است، h ارتفاع است، اولین و ساده ترین فرمول به این صورت خواهد بود: h = 2 / a √p (pa) (ص) (کامپیوتر) ...
در کتاب های درسی مدرسه اغلب می توانید مسائلی را بیابید که در آنها مقدار یکی از اضلاع مثلث و مقدار زاویه بین این ضلع و پایه مشخص است. سپس فرمول محاسبه ارتفاع به این صورت خواهد بود: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
با توجه به مساحت مثلث - S و همچنین طول پایه - a، محاسبات تا حد امکان ساده خواهد بود. ارتفاع با فرمول پیدا می شود: h = 2S / a.
هنگامی که شعاع دایره ای که به دور یک شکل احاطه شده است داده می شود، ابتدا طول دو ضلع آن را محاسبه می کنیم و سپس ارتفاع داده شده مثلث را محاسبه می کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم: h = b ∙ c / 2R که b و c دو ضلع مثلث هستند که پایه نیستند و R شعاع است.

چگونه ارتفاع مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم؟

تمام اضلاع این شکل معادل هستند، طول آنها برابر است، بنابراین زوایای پایه نیز برابر خواهند بود. از این نتیجه می‌شود که ارتفاعاتی که روی پایه‌ها می‌کشیم نیز برابر خواهند بود، آنها در عین حال وسط و نیم‌ساز هستند. به زبان ساده، ارتفاع در مثلث متساوی الساقین، قاعده را به دو قسمت تقسیم می کند. مثلث با زاویه قائمه که پس از رسم ارتفاع مشخص شد، با استفاده از قضیه فیثاغورث در نظر گرفته می شود. بیایید ضلع را به عنوان a و پایه را به عنوان b، سپس ارتفاع h = ½ √4 a2 - b2 را تعیین کنیم.

چگونه ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟

فرمول یک مثلث متساوی الاضلاع (شکل هایی که همه اضلاع از نظر اندازه برابر هستند) را می توان بر اساس محاسبات قبلی پیدا کرد. فقط کافی است طول یکی از اضلاع مثلث را اندازه گیری و آن را به عنوان a تعیین کنیم. سپس ارتفاع با فرمول استنتاج می شود: h = √3 / 2 a.

چگونه ارتفاع مثلث قائم الزاویه را پیدا کنم؟

همانطور که می دانید، زاویه در یک مثلث قائم الزاویه 90 درجه است. ارتفاعی که با یک پا پایین می آید در همان زمان پای دوم است. روی آنها ارتفاعات مثلث با زاویه قائمه قرار می گیرد. برای به دست آوردن اطلاعات در مورد ارتفاع، شما باید فرمول فیثاغورث موجود را کمی تغییر دهید، پاها - a و b، و همچنین اندازه گیری طول هیپوتانوس - c.

طول ساق را پیدا کنید ( سمتی که ارتفاع به آن عمود خواهد شد): a = √ (c2 - b2). طول پایه دوم دقیقاً با استفاده از همان فرمول پیدا می شود: b = √ (c2 - b2). پس از آن، با محاسبه مساحت شکل - s، می توانید شروع به محاسبه ارتفاع یک مثلث با زاویه راست کنید. مقدار ارتفاع h = 2s / a.

محاسبات با یک مثلث همه کاره

هنگامی که یک مثلث همه کاره دارای گوشه های تیز باشد، ارتفاع کاهش یافته تا پایه قابل مشاهده است. اگر مثلث با زاویه منفرد باشد، ارتفاع می تواند خارج از شکل باشد و برای به دست آوردن نقطه اتصال ارتفاع و قاعده مثلث، باید به صورت ذهنی آن را ادامه دهید. ساده ترین راه برای اندازه گیری ارتفاع، محاسبه آن از طریق یکی از اضلاع و بزرگی زوایا است. فرمول به این صورت است: h = b sin y + c sin ß.

متساوی الساقینچنین است مثلث، که در آن طول دو ضلع آن با یکدیگر برابر است.

هنگام حل مسائل در مورد یک موضوع "مثلث متساوی الساقین"لازم است از موارد زیر استفاده شود معروف است خواص:

1. زوایایی که در مقابل اضلاع مساوی قرار دارند با یکدیگر مساوی هستند.
2. نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات ترسیم شده از زوایای مساوی با یکدیگر مساوی هستند.
3. نیمساز، وسط و ارتفاع که به قاعده مثلث متساوی الساقین کشیده شده اند، با یکدیگر منطبق هستند.
4. مرکز دایره محاطی و مرکز دایره محاط شده در ارتفاع قرار دارند و بنابراین روی میانه و نیمساز کشیده شده به قاعده قرار دارند.
5. زوایایی که در مثلث متساوی الساقین مساوی هستند همیشه تیز هستند.

یک مثلث متساوی الساقین است اگر دارای موارد زیر باشد نشانه ها:

1. دو زاویه مثلث با هم برابرند.
2. ارتفاع با میانه مطابقت دارد.
3. نیمساز با میانه منطبق است.
4. ارتفاع با نیمساز منطبق است.
5. دو ارتفاع مثلث با هم برابرند.
6. دو نیمساز یک مثلث با هم برابرند.
7. دو وسط مثلث با هم برابرند.

بیایید چندین کار را در مورد موضوع در نظر بگیریم "مثلث متساوی الساقین"و ما یک راه حل دقیق به آنها خواهیم داد.

هدف 1.

در یک مثلث متساوی الساقین، ارتفاع کشیده شده به قاعده 8 است و قاعده به ضلع جانبی 6:5 مربوط می شود. فاصله راس مثلث تا نقطه تقاطع نیمسازهای آن را بیابید.

راه حل.

اجازه دهید یک مثلث متساوی الساقین ABC داده شود (عکس. 1).

1) از آنجایی که AC: BC = 6: 5، AC = 6x و BC = 5x. VN - ارتفاع کشیده شده به قاعده AC مثلث ABC.

از آنجایی که نقطه H وسط AC است (با خاصیت مثلث متساوی الساقین)، پس HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = BH 2 + HC 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;

x = 2، سپس

AC = 6x = 6 2 = 12 و

قبل از میلاد = 5x = 5 2 = 10.

3) از آنجایی که نقطه تقاطع نیمسازهای مثلث مرکز دایره محاطی است، پس
OH = r. شعاع دایره محاط شده در مثلث ABC با فرمول بدست می آید

4) S ABC = 1/2 * (AC * BH)؛ S ABC = 1/2 * (12 * 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC)؛ p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16، سپس OH = r = 48/16 = 3.

از این رو VO = VN - OH. VO = 8 - 3 = 5.

جواب: 5.

هدف 2.

نیمساز AD در مثلث متساوی الساقین ABC رسم شده است. مساحت مثلث های ABD و ADC برابر با 10 و 12 است. مساحت مربعی را که سه بار بزرگ شده است، در ارتفاع این مثلث ساخته شده است و به قاعده AC کشیده شده است.

راه حل.

مثلث ABC - متساوی الساقین، AD - نیمساز زاویه A را در نظر بگیرید (شکل 2).

1) مساحت مثلث های BAD و DAC را بنویسیم:

S BAD = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) نسبت مساحت را پیدا کنید:

S BAD / S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB / AC.

از آنجایی که S BAD = 10، S DAC = 12، سپس 10/12 = AB / AC؛

AB / AC = 5/6، سپس اجازه دهید AB = 5x و AC = 6x.

AH = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) از مثلث ABN - مستطیل با توجه به قضیه فیثاغورث AB 2 = AN 2 + BN 2؛

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A ВС = 1/2 AS ВН; S A B C = 1/2 6x 4x = 12x2.

از آنجایی که S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22، پس 22 = 12x 2.

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) مساحت مربع برابر است با BH 2 = 88/3. 3 88/3 = 88.

جواب: 88.

هدف 3.

در مثلث متساوی الساقین، قاعده 4 و ضلع آن 8 است. مربع ارتفاع کاهش یافته به ضلع را پیدا کنید.

راه حل.

در مثلث ABC - متساوی الساقین BC = 8، AC = 4 (شکل 3).

1) VN - ارتفاع کشیده شده به قاعده AC مثلث ABC.

از آنجایی که نقطه H وسط AC است (با خاصیت مثلث متساوی الساقین)، پس HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) از یک مثلث VNS - مستطیل با توجه به قضیه فیثاغورث VS 2 = VN 2 + NS 2؛

64 = BH 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 (AC BH)، و همچنین S ABC = 1/2 (AM BC)، سپس سمت راست فرمول ها را معادل می کنیم، به دست می آوریم.

1/2 AC BH = 1/2 AM BC;

AM = (AC · BH) / قبل از میلاد؛

AM = (√60 4) / 8 = (2√15 4) / 8 = √15.

جواب: 15.

وظیفه 4.

در یک مثلث متساوی الساقین، قاعده و ارتفاعی که نسبت به آن کاهش یافته است برابر با 16 است.

راه حل.

در مثلث ABC - قاعده متساوی الساقین AC = 16، BH = 16 - ارتفاع کشیده شده به قاعده AC (شکل 4).

1) AH = HC = 8 (با خاصیت مثلث متساوی الساقین).

2) از مثلث VNS - مستطیل با توجه به قضیه فیثاغورث

BC 2 = BH 2 + HC 2;

قبل از میلاد 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) یک مثلث ABC را در نظر بگیرید: با قضیه سینوس ها، 2R = AB / sin C، که در آن R شعاع دایره ای است که اطراف یک مثلث ABC محصور شده است.

sin C = BH / BC (از مثلث VNS با تعریف سینوس).

sin C = 16 / (8√5) = 2 / √5، سپس 2R = 8√5 / (2 / √5)؛

2R = (8√5 √5) / 2; R = 10.

جواب: 10.

وظیفه 5.

طول ارتفاع کشیده شده به قاعده مثلث متساوی الساقین 36 و شعاع دایره محاطی 10 است. مساحت مثلث را پیدا کنید.

راه حل.

بگذارید مثلث متساوی الساقین ABC داده شود.

1) از آنجایی که مرکز دایره محاط شده در مثلث نقطه تقاطع نیمسازهای آن است، پس O ϵ VN و AO نیمساز زاویه A است و جریان OH = r = 10 (شکل 5).

2) VO = VN - OH; BO = 36 - 10 = 26.

3) مثلث ABN را در نظر بگیرید. با قضیه نیمساز زاویه مثلث

AB / AN = VO / OH؛

AB / AH = 26/10 = 13/5، سپس اجازه دهید AB = 13x و AH = 5x.

با قضیه فیثاغورث، AB 2 = AN 2 + BH 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 3) 2;

144x 2 = 144 9;

x = 3، سپس AC = 2 AH = 10x = 10 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 * (AC * BH)؛ S ABC = 1/2 * (36 * 30) = 540;

جواب: 540.

وظیفه 6.

در مثلث متساوی الساقین دو ضلع 5 و 20 هستند. نیمساز زاویه قاعده مثلث را بیابید.

راه حل.

1) فرض کنید اضلاع مثلث 5 و قاعده 20 باشد.

سپس 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (شکل 6).

2) اجازه دهید LC = x، سپس BL = 20 - x. با قضیه نیمساز زاویه مثلث

AB / AC = BL / LC؛

20/5 = (20 - x) / x،

سپس 4x = 20 - x;

بنابراین، LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) از فرمول نیمساز زاویه مثلث استفاده می کنیم:

AL 2 = AB AC - BL LC،

سپس AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;

پاسخ: 6.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه مسائل هندسی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

از آنجایی که ارتفاع یک مثلث متساوی الساقین که تا قاعده پایین می آید، هم نیمساز و هم میانه است، بنابراین، قاعده و زاویه راس را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند و یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع a و b / تشکیل می دهد. 2. از قضیه فیثاغورث در چنین مثلثی، می توانید خود پایه را پیدا کنید و سپس تمام داده های ممکن دیگر را محاسبه کنید. (شکل 88.2) h ^ 2 + (b / 2) ^ 2 = a ^ 2 b = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

برای محاسبه محیط مثلث متساوی الساقین، پایه یا رادیکال فوق را از طریق ارتفاع به دو ضلع جانبی اضافه کنید. P = 2a + b = 2a + √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

مساحت یک مثلث متساوی الساقین از طریق ارتفاع و قاعده، طبق تعریف، نصف حاصلضرب آنها محاسبه می شود. با جایگزینی پایه با عبارت مربوط به آن، مساحت را از طریق ارتفاع و ضلع مثلث متساوی الساقین بدست می آوریم. S = hb / 2 = (h√ (a ^ 2-h ^ 2)) / 4

در مثلث متساوی الساقین، نه تنها اضلاع با هم برابرند، بلکه زوایای قاعده نیز با هم برابرند و از آنجایی که مجموع آنها همیشه 180 درجه است، هر یک از زوایای آن را می توان با شناخت دیگری پیدا کرد. زاویه اول با قضیه کسینوس داده شده برای اضلاع مساوی محاسبه می شود، و زاویه دوم را می توان از طریق اختلاف از 180 یافت. (شکل 88.1) cos⁡α = (b^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / 2bc = (b ^ 2 + a ^ 2-a ^ 2) / 2ba = b ^ 2 / 2ba = b / 2a cos⁡β = (a ^ 2 + a ^ 2-b ^ 2) / (2a ^ 2) = (2a ^ 2 -b ^ 2) / (2a ^ 2) α = (180 ° -β) / 2 β = 180 ° -2α

میانه مرکزی و نیمساز کاهش یافته به قاعده با ارتفاع منطبق است و میانه های جانبی، ارتفاعات و نیمسازها را می توان با استفاده از فرمول های زیر برای مثلث های متساوی الساقین پیدا کرد. برای محاسبه آنها از نظر ارتفاع و ضلع، باید پایه را با عبارت معادل آن جایگزین کنید. (شکل 88.3) m_a = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (a ^ 2 + 2b ^ 2) / 2

ارتفاع به ضلع جانبی از طریق ارتفاع پایین آمده به سمت قاعده و ضلع جانبی یک مثلث متساوی الساقین کاهش می یابد. (شکل 88.8) h_a = (b√ ((4a ^ 2-b ^ 2))) / 2a = (√ (a ^ 2-h ^ 2) √ ((4a ^ 2-a ^ 2 + h ^ 2 ))) / 2a = √ ((a ^ 2-h ^ 2) (3a ^ 2 + h ^ 2)) / 2

نیمسازهای جانبی را می توان بر حسب ضلع جانبی و ارتفاع مرکزی مثلث نیز بیان کرد. (شکل 88.4) l_a = √ (ab (2a + b) (a + ba)) / (a + b) = √ (a (a ^ 2-h ^ 2) (2a + √ (a ^ 2 -h ^ 2))) / (a + √ (a ^ 2-h ^ 2))

خط وسط به موازات هر دو ضلع مثلث رسم می شود و نقاط وسط اضلاع را نسبت به آن به هم وصل می کند. بنابراین، همیشه معلوم می شود که برابر با نیمی از ضلع موازی با آن است. به جای یک پایه مجهول، می توانید رادیکال مورد استفاده در فرمول را جایگزین کنید تا خط وسط را از طریق ارتفاع و ضلع یک مثلث متساوی الساقین پیدا کنید (شکل 88.5) M_b = b / 2 = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2 M_a = a / 2

شعاع دایره ای محاط شده در مثلث متساوی الساقین از نقطه تقاطع نیمسازها شروع شده و عمود بر دو طرف می رود. برای پیدا کردن آن از طریق ارتفاع و ضلع مثلث، باید پایه را در فرمول با رادیکال جایگزین کنید. (شکل 88.6) r = 1/2 √ (((a ^ 2-h ^ 2) (2a-√ (a ^ 2-h ^ 2))) / (2a + √ (a ^ 2-h ^ 2 )))

شعاع دایره ای که اطراف یک مثلث متساوی الساقین احاطه شده است نیز از فرمول کلی با جایگزینی رادیکال در طول و ضلع به جای قاعده به دست می آید. (شکل 88.7) R = a ^ 2 / √ (3a ^ 2-h ^ 2)