ویژگی اصلی مکان نقاط روی یک خط مستقیم را فرموله کنید. خط مستقیم در هواپیما - اطلاعات مورد نیاز است
یک خط مستقیم در هواپیما - اطلاعات لازم.
در این مقاله به یکی از مفاهیم اولیه هندسه خواهیم پرداخت - مفهوم خط مستقیم در یک صفحه. ابتدا، اجازه دهید اصطلاحات و تعاریف اصلی را تعریف کنیم. در ادامه در مورد موقعیت نسبی یک خط و یک نقطه و همچنین دو خط مستقیم در صفحه بحث می کنیم و بدیهیات لازم را بیان می کنیم. در پایان، راه‌هایی برای تعریف خط مستقیم در یک صفحه و ارائه تصاویر گرافیکی را در نظر خواهیم گرفت.
پیمایش صفحه.
- خط مستقیم در هواپیما یک مفهوم است.
- ترتیب متقابل یک خط مستقیم و یک نقطه.
- ترتیب متقابل خطوط مستقیم در یک صفحه.
- روش های تعیین خط مستقیم در یک صفحه
خط مستقیم در هواپیما یک مفهوم است.
قبل از ارائه مفهوم خط مستقیم در یک هواپیما، باید به وضوح بفهمد که هواپیما چیست. مفهوم هواپیمابه شما امکان می دهد، برای مثال، یک سطح میز صاف یا دیوار یک خانه را دریافت کنید. با این حال، باید در نظر داشت که ابعاد جدول محدود است، و صفحه از این مرزها تا بی نهایت گسترش می یابد (انگار ما یک میز خودسرانه بزرگ داریم).
اگر یک مداد خوب تراشیده بردارید و آن را با یک میله به سطح "میز" لمس کنید، تصویری از یک نقطه دریافت می کنیم. اینگونه به دست می آوریم ایده یک نقطه در هواپیما.
حالا می توانید به مفهوم خط مستقیم در یک صفحه.
یک ورق کاغذ تمیز را روی سطح میز (روی یک هواپیما) قرار می دهیم. برای به تصویر کشیدن یک خط مستقیم باید یک خط کش برداریم و تا جایی که ابعاد خط کش و ورق کاغذ استفاده شده اجازه می دهد با مداد خطی بکشیم. لازم به ذکر است که به این ترتیب تنها بخشی از خط مستقیم به دست می آید. ما فقط می توانیم یک خط مستقیم را تصور کنیم که تا بی نهایت امتداد دارد.
بازگشت به بالای صفحه
ترتیب متقابل یک خط مستقیم و یک نقطه.
ما باید با اصل موضوع شروع کنیم: در هر خط مستقیم و در هر صفحه نقاطی وجود دارد.
مرسوم است که نقاط را با حروف بزرگ لاتین تعیین کنید، به عنوان مثال، نقاط آو اف... به نوبه خود، خطوط مستقیم با حروف لاتین کوچک نشان داده می شوند، به عنوان مثال، مستقیم آو د.
ممکن است دو گزینه برای موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک نقطه در صفحه: یا نقطه ای روی خط مستقیم قرار می گیرد (در این مورد هم می گویند خط مستقیم از نقطه ای می گذرد) یا نقطه ای روی خط مستقیم قرار نمی گیرد (نقطه ای را هم می گویند مال مستقیم نیست. خط یا خط مستقیم از نقطه ای عبور نمی کند).
برای نشان دادن اینکه یک نقطه به یک خط مستقیم خاص تعلق دارد، از علامت "" استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر نقطه آروی یک خط مستقیم قرار دارد آ، سپس می توانید بنویسید. اگر نقطه آمتعلق به مستقیم نیست آسپس یادداشت کنید
جمله زیر درست است: یک خط مستقیم از هر دو نقطه عبور می کند.
این بیانیه بدیهی است و باید به عنوان یک واقعیت در نظر گرفته شود. علاوه بر این، این کاملا واضح است: ما دو نقطه را روی کاغذ علامت گذاری می کنیم، یک خط کش روی آنها اعمال می کنیم و یک خط مستقیم می کشیم. خط مستقیمی که از دو نقطه مشخص (مثلاً از نقاط آو V) را می توان با این دو حرف (در مورد ما خط مستقیم) نشان داد ABیا VA).
باید درک کرد که بی نهایت نقاط مختلف روی یک خط مستقیم که در یک صفحه تعریف شده است قرار دارند و همه این نقاط در یک صفحه قرار دارند. این بیانیه با اصل موضوع ایجاد می شود: اگر دو نقطه از یک خط مستقیم در یک صفحه معین قرار گیرند، تمام نقاط این خط مستقیم در این صفحه قرار دارند.
مجموعه تمام نقاط واقع بین دو نقطه داده شده روی یک خط مستقیم، همراه با این نقاط نامیده می شود بخش خطیا به سادگی بخش... نقاطی که یک خط را مشخص می کنند، انتهای خط نامیده می شوند. بخش با دو حرف مربوط به نقاط انتهای قطعه مشخص می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید نقاط آو Vانتهای بخش هستند، سپس این بخش را می توان نشان داد ABیا VA... لطفاً توجه داشته باشید که این تعیین یک پاره خط با تعیین یک خط مستقیم همزمان است. برای جلوگیری از سردرگمی، توصیه می کنیم کلمه "بخش" یا "مستقیم" را به نام اضافه کنید.
برای ثبت مختصر تعلق و عدم تعلق یک نقطه به یک بخش معین، از همه نمادها و علامت های مشابه استفاده می شود. برای نشان دادن اینکه یک بخش خاص روی یک خط مستقیم قرار دارد یا نه، به ترتیب از نمادها استفاده کنید. به عنوان مثال، اگر بخش ABمتعلق به مستقیم است آ، می توان به طور خلاصه نوشت.
همچنین باید در مورد زمانی که سه نقطه مختلف به یک خط مستقیم تعلق دارند، صحبت کرد. در این مورد، یک و تنها یک نقطه بین دو نقطه دیگر قرار دارد. این بیان یک اصل دیگر است. اجازه دهید نقاط آ, Vو باروی یک خط مستقیم دراز بکشید، و نقطه Vبین نقاط قرار دارد آو با... سپس می توان گفت که نقاط آو بادر طرف مقابل نقطه قرار دارند V... شما همچنین می توانید بگویید که نقاط Vو بابه یک طرف دراز بکشید سپس اشاره کنید آو امتیازات آو Vدر یک طرف نقطه دراز بکشید با.
برای کامل بودن، توجه داشته باشید که هر نقطه از یک خط مستقیم، این خط مستقیم را به دو قسمت تقسیم می کند - دو قسمت اشعه... برای این مورد، بدیهی داده شده است: یک نقطه دلخواه Oمتعلق به یک خط مستقیم این خط مستقیم را به دو پرتو تقسیم می کند و هر دو نقطه از یک پرتو در همان سمت نقطه قرار می گیرند. Oو هر دو نقطه از پرتوهای مختلف در دو طرف نقطه قرار دارند O.
بازگشت به بالای صفحه
این نشریه به نظام مند کردن دانش کسب شده قبلی و همچنین آماده شدن برای امتحان یا آزمون و گذراندن موفقیت آمیز آنها کمک می کند.
2. شرط یافتن سه نقطه در یک خط مستقیم. معادله یک خط مستقیم. ترتیب متقابل نقاط و یک خط مستقیم. یک دسته از خطوط مستقیم. فاصله از نقطه به خط
1. اجازه دهید وجود دارد داده می شود سه امتیاز آ 1 (NS 1 , در 1), آ 2 (NS 2 , در 2), آ 3 (NS 3 , در 3) سپس شرط یافتن آنها در یک خط مستقیم:
یا ( NS 2 – NS 1) (در 3 – در 1) – (NS 3 – ایکس 1) (در 2 – در 1) = 0.
2. بگذارید دو امتیاز داده شود آ 1 (NS 1 , در 1), آ 2 (NS 2 , در 2)، سپس y تراز خط مستقیمی که از این دو نقطه می گذرد:
(NS 2 – NS 1)(y - y 1) – (x - x 1)(در 2 – در 1) = 0 یا ( x - x 1) / (NS 2 – NS 1) = (y - y 1) / (در 2 – در 1).
3. بگذارید نکته ای وجود داشته باشد م (NS 1 , در 1) و مقداری خط مستقیم Lبا معادله نشان داده شده است در = اوه + با. معادله یک خط مستقیم که به موازات یک خط مستقیم داده شده می گذرد L از طریق این نقطه م:
y - y 1 = آ(x - x 1).
اگر مستقیم Lتوسط معادله داده شده است اوه + وو + با م، توسط معادله توصیف می شود آ(x - x 1) + V(y - y 1) = 0.
معادله یک خط مستقیم که عمود بر یک خط مستقیم داده شده می گذرد L از طریق این نقطه م:
y - y 1 = –(x - x 1) / آ
آ(y - y 1) = NS 1 – NS.
اگر مستقیم Lتوسط معادله داده شده است اوه + وو + با= 0، سپس یک خط مستقیم به موازات آن که از نقطه عبور می کند م(NS 1 , در 1) با معادله توصیف می شود آ (y - y 1) – V(x - x 1) = 0.
4. بگذارید دو امتیاز داده شود آ 1 (NS 1 , در 1), آ 2 (NS 2 , در 2) و خط مستقیم داده شده توسط معادله اوه + وو + C = 0. موقعیت نسبی نقاط نسبت به این خط مستقیم:
1) امتیاز آ 1 , آ 2 در یک طرف این خط مستقیم دراز بکشید اگر عبارات ( اوه 1 + وو 1 + با) و ( اوه 2 + وو 2 + با) علائم یکسانی دارند.
2) امتیاز آ 1 ,آ 2 در دو طرف این خط مستقیم دراز بکشید اگر عبارت ( اوه 1 + وو 1 + با) و ( اوه 2 + وو 2 + با) نشانه های مختلفی دارند.
3) یک یا هر دو نقطه آ 1 , آاگر یک یا هر دو عبارت، به ترتیب ( اوه 1 + + وو 1 + با) و ( اوه 2 + وو 2 + با) صفر بگیرید.
5. پرتو مرکزیمجموعه ای از خطوط مستقیم است که از یک نقطه عبور می کنند م (NS 1 , در 1) تماس گرفت مرکز پرتو... هر یک از خطوط مستقیم تیر با معادله پرتو توصیف می شود y - y 1 = به(x - x 1) (پارامتر پرتو بهبرای هر خط خودش).
تمام خطوط مستقیم تیر را می توان با معادله نشان داد: ل(y - y 1) = متر(x - x 1) کجا ل، م- اعداد دلخواه همزمان با صفر برابر نیستند.
اگر دو تیر مستقیم L 1 و L 2 به ترتیب دارای فرم ( آ 1 NS + V 1 در+ با 1) = 0 و ( آ 2 NS+ V 2 در+ با 2) = 0، سپس معادله پرتو: متر 1 (آ 1 NS + V 1 در + با 1) + متر 2 (آ 2 NS + V 2 در + با 2) = 0. اگر خطوط مستقیم L 1 و L 2 متقاطع، سپس بسته نرم افزاری مرکزی است، اگر خطوط مستقیم موازی باشند، بسته نرم افزاری موازی است.
6. اجازه دهید یک امتیاز داده شود م(NS 1 ,در 1) و خط مستقیم داده شده توسط معادله تبر + وو + سی = 0. فاصله داز جانباین نکته ها م به راست:
- 1. مفاهیم اساسی. دستگاه های مختصات. خطوط مستقیم و موقعیت نسبی آنها
- 2. شرط یافتن سه نقطه در یک خط مستقیم. معادله یک خط مستقیم. ترتیب متقابل نقاط و یک خط مستقیم. یک دسته از خطوط مستقیم. فاصله از نقطه به خط
پاره بخشی از یک خط مستقیم است که شامل تمام نقاط این خط مستقیم است که بین دو نقطه داده شده آن قرار دارد. به این نقاط انتهای خط می گویند. بخش با نشان دادن انتهای آن نشان داده می شود.
در شکل 7، b، قطعه AB بخشی از خط مستقیم a است. نقطه M بین نقاط A و B قرار دارد و بنابراین به بخش AB تعلق دارد. نقطه K بین نقاط A و B قرار ندارد، بنابراین به بخش AB تعلق ندارد.
اصل موضوع (ویژگی اصلی) مکان نقاط روی یک خط مستقیم به صورت زیر فرموله می شود:
از سه نقطه روی یک خط مستقیم، یک و تنها یکی بین دو نقطه دیگر قرار دارد.
اصل زیر ویژگی اصلی اندازه گیری پاره خط را بیان می کند.
هر بخش طول معینی دارد، بزرگتر از صفر. طول یک قطعه برابر است با مجموع طول قطعاتی که به هر یک از نقاط آن تقسیم می شود.
این به این معنی است که اگر هر نقطه C بر روی قطعه MK گرفته شود، طول قطعه MK برابر است با مجموع طول قطعات MC و SK (شکل 7، ج).
طول قطعه MK را فاصله بین نقاط M و K نیز می گویند.
مثال 1. سه نقطه O، P و M بر روی یک خط مستقیم آورده شده است.معلوم است که. آیا نقطه P بین O و M قرار دارد؟ آیا نقطه B می تواند متعلق به بخش PM باشد، اگر؟ پاسخ را توضیح دهید.
راه حل. نقطه P بین نقاط O و M قرار دارد، اگر تحقق این شرط را بررسی کنیم:. نتیجه گیری: نقطه P بین نقاط O و M قرار دارد.
نقطه B اگر بین نقاط P و M قرار داشته باشد به بخش PM تعلق دارد، یعنی بررسی کنید: و با شرط. نتیجه گیری: نقطه B به بخش PM تعلق ندارد.
مثال 2. آیا می توان 6، 7 و 8 پاره خط را در یک صفحه طوری مرتب کرد که هر کدام دقیقاً سه پاره خط دیگر را قطع کنند؟
راه حل. 6 بخش را می توان به این ترتیب مرتب کرد (شکل 8، o). 8 قطعه را نیز می توان به این ترتیب مرتب کرد (شکل 8، ب). 7 بخش را نمی توان به این ترتیب مرتب کرد.
اجازه دهید بیانیه آخر را ثابت کنیم. فرض کنید که چنین ترتیبی از هفت بخش خط ممکن است. اجازه دهید بخش ها را شماره گذاری کنیم و چنین جدولی را در سلول در محل تقاطع سطر و ستون بسازیم، اگر پاره با j-ام قطع شد "+" و اگر قطع نشد "-" قرار دهیم. اگر این نیز تنظیم شده است، بیایید به دو صورت شمارش کنیم که چند کاراکتر در جدول وجود دارد.
از یک طرف، 3 مورد از آنها در هر خط وجود دارد، بنابراین فقط شخصیت ها وجود دارد. از سوی دیگر، جدول به صورت متقارن با توجه به قطر پر شده است:
اگر در سلول C: j) در سلول نیز باشد. این بدان معناست که تعداد کل کاراکترها باید زوج باشد. ما دچار تناقض شدیم.
در اینجا از برهان تناقض استفاده کرده ایم.
5. ری.
نیمه مستقیم یا پرتو بخشی از یک خط مستقیم است که شامل تمام نقاط این خط مستقیم است که در یک طرف نقطه داده شده آن قرار دارد. به این نقطه نقطه شروع نیم خط یا ابتدای پرتو می گویند. نیم خط های مختلف یک خط مستقیم با نقطه شروع مشترک مکمل نامیده می شوند.
نیمه مستقیم با حروف کوچک لاتین نشان داده می شود. شما می توانید یک نیم خط با دو حرف تعیین کنید: یک حرف اول و یک حرف دیگر مربوط به یک نقطه متعلق به نیم خط. در این مورد، نقطه شروع در وهله اول قرار می گیرد. به عنوان مثال، در شکل 9، a، تیرهای AB و AC نشان داده شده اند که اضافی هستند، در شکل 9، b، تیرهای MA، MB و تیر c نشان داده شده اند.
اصل زیر ویژگی اصلی به تعویق انداختن پاره های خط را منعکس می کند.
روی هر نیم خطی از نقطه شروعش، می‌توانید پاره‌ای به طول معین را به تعویق بیندازید، و فقط یکی.
مثال. دو نقطه A و B به شما داده می شود. چند خط می توانید از طریق نقاط A و B بکشید؟ چند پرتو در خط AB با مبدا در نقطه A و در نقطه B وجود دارد؟ دو نقطه در خط A B، متفاوت از A و B علامت گذاری کنید. آیا آنها متعلق به بخش AB هستند؟
راه حل. 1) با توجه به بدیهیات، همیشه می توانید یک خط مستقیم را از طریق نقاط A و B و فقط یک خط بکشید.
2) روی خط مستقیم AB با مبدأ در نقطه A دو پرتو وجود دارد که به آنها اضافه می گویند. به طور مشابه برای نقطه B.
3) پاسخ به محل نقاط مشخص شده بستگی دارد. بیایید موارد احتمالی را در نظر بگیریم (شکل 10). واضح است که در مورد الف) نقاط متعلق به بخش AB است. در موارد ب) ج) یک امتیاز
متعلق به یک بخش است، و دیگری نیست. در موارد د) و ه) نقاط M و N به بخش AB تعلق ندارند.
6. محیط. دایره.
دایره شکلی است که از تمام نقاط صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه قرار دارند تشکیل شده است. به این نقطه مرکز دایره می گویند.
فاصله نقاط دایره تا مرکز آن را شعاع دایره می گویند. هر پاره خطی که نقطه ای از یک دایره را به مرکز آن متصل کند شعاع نیز نامیده می شود.
قطعه ای که دو نقطه از یک دایره را به هم متصل می کند وتر نامیده می شود. وتر که از مرکز عبور می کند قطر نامیده می شود.
شکل 11، a دایره ای را در مرکز نقطه O نشان می دهد. بخش OA شعاع این دایره، BD وتر دایره، CM قطر دایره است.
دایره شکلی است که شامل تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین بیشتر از یک نقطه معین فاصله ندارند. این نقطه را مرکز دایره و به این فاصله شعاع دایره می گویند. مرز دایره دایره ای با مرکز و شعاع یکسان است (شکل 11، ب).
مثال. بیشترین تعداد قسمت های مختلف که نقاط مشترکی ندارند به جز مرزهای آنها چقدر است، صفحه را می توان به: الف) خط مستقیم و دایره تقسیم کرد. ب) دو دایره؛ ج) سه دایره؟
راه حل. اجازه دهید موارد آرایش متقابل ارقام مربوط به شرایط را در شکل به تصویر بکشیم. بیایید پاسخ را یادداشت کنیم: الف) چهار قسمت (شکل 12، o). ب) چهار قسمت (شکل 12، ب). ج) هشت قسمت (شکل 12، ج).
7. نیمه هواپیما.
اجازه دهید یک اصل دیگر از هندسه را فرموله کنیم.
خط مستقیم هواپیما را به دو نیم صفحه تقسیم می کند.
در شکل 13، خط مستقیم a صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند به طوری که هر نقطه از صفحه که به خط مستقیم o تعلق ندارد در یکی از آنها قرار می گیرد. این پارتیشن دارای ویژگی زیر است: اگر انتهای یک پاره به یک نیم صفحه تعلق داشته باشد، آن پاره با یک خط مستقیم قطع نمی شود. اگر انتهای قطعه متعلق به نیم صفحه های مختلف باشد، آن قسمت با یک خط مستقیم قطع می شود. در شکل 13، نقاط در یکی از نیم صفحه هایی قرار دارند که خط a صفحه را به آن تقسیم می کند. بنابراین قطعه AB با خط مستقیم a قطع نمی شود. نقاط C و D در نیم صفحه های مختلف قرار دارند. بنابراین قطعه CD خط a را قطع می کند.
8. زاویه. درجه اندازه گیری زاویه.
زاویه شکلی است که از یک نقطه - راس زاویه و دو نیم خط متفاوت که از این نقطه سرچشمه می‌گیرد - از اضلاع زاویه تشکیل شده است (شکل 14). اگر اضلاع گوشه نیم خطوط اضافی باشد، آنگاه زاویه باز شده نامیده می شود.
یک زاویه یا با نشان دادن راس آن یا با نشان دادن اضلاع آن یا با نشان دادن سه نقطه نشان داده می شود. رئوس و دو نقطه در طرفین گوشه. کلمه گوشه گاهی با علامت Z جایگزین می شود.
زاویه در شکل 14 را می توان به سه روش نشان داد:
آنها می گویند که یک پرتو c از بین اضلاع یک زاویه عبور می کند اگر از راس آن خارج شود و از قسمتی با انتهای آن در طرفین زاویه عبور کند.
در شکل 15، پرتو c از بین اضلاع زاویه عبور می کند، زیرا قطعه AB را قطع می کند.
در مورد گوشه صاف، هر پرتوی که از راس آن و غیر از اضلاع آن ساطع می شود، از بین دو طرف گوشه عبور می کند.
زاویه ها بر حسب درجه اندازه گیری می شوند. اگر یک زاویه کشیده را بگیرید و آن را بر 180 زاویه مساوی تقسیم کنید، درجه اندازه گیری هر یک از این زاویه ها یک درجه نامیده می شود.
ویژگی های اصلی اندازه گیری زاویه ها در اصل زیر بیان می شود:
هر زاویه دارای درجه معینی است که بزرگتر از صفر است. زاویه صاف 180 درجه است. درجه اندازه گیری زاویه برابر است با مجموع درجه های زوایایی که با هر پرتویی که از اضلاع آن می گذرد به آنها تقسیم می شود.
این بدان معنی است که اگر پرتو c از بین اضلاع زاویه عبور کند، آنگاه زاویه برابر با مجموع زوایا است.
درجه اندازه گیری زاویه با استفاده از نقاله پیدا می شود.
زاویه ای برابر با 90 درجه را زاویه راست می گویند. زاویه کمتر از 90 درجه را زاویه حاد می گویند. زاویه بزرگتر از 90 درجه و کمتر از 180 درجه را کج می گویند.
اجازه دهید ویژگی اصلی رسوب گوشه ها را فرموله کنیم.
از هر نیم خط به یک نیم صفحه معین، می توانید زاویه ای را با درجه معینی کمتر از 180 درجه و فقط یک به تعویق بیندازید.
نیم خط a را در نظر بگیرید. اجازه دهید آن را فراتر از نقطه شروع A گسترش دهیم. خط مستقیم حاصله، صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند. شکل 16 نشان می دهد که چگونه با استفاده از یک نقاله، زاویه ای را با درجه معین 60 درجه از نیم خط a تا نیمه صفحه بالایی کنار بگذارید.
اگر دو گوشه از یک نیم خط معین به یک نیم صفحه کنار گذاشته شود، ضلع زاویه کوچکتر، متفاوت از نیم خط داده شده، از بین اضلاع زاویه بزرگتر عبور می کند.
زوایای را که از نیم خط داده شده و در یک نیم صفحه رسم شده اند، بگذارید و بگذارید زاویه کمتر از زاویه باشد. قضیه 1.2 بیان می کند که پرتو b از اضلاع زاویه (ac) عبور می کند (شکل 17).
نیمساز یک زاویه پرتویی است که از رأس آن بیرون می‌آید، از اضلاع آن عبور می‌کند و زاویه را به دو نیم می‌کند. در شکل 18، پرتو OM نیمساز زاویه AOB است.
در هندسه مفهوم زاویه مسطح وجود دارد. زاویه صفحه قسمتی از صفحه است که توسط دو پرتو متفاوت که از یک نقطه ساطع می شوند محدود شده است. به این پرتوها اضلاع زاویه می گویند. دو گوشه مسطح با این اضلاع وجود دارد. به آنها مکمل می گویند. در شکل 19 یکی از گوشه های مسطح با اضلاع a و b سایه دار شده است.
اگر یک زاویه صفحه جزئی از یک نیم صفحه باشد، اندازه درجه آن، اندازه گیری درجه یک زاویه معمولی با اضلاع یکسان است. اگر زاویه صفحه شامل یک نیم صفحه باشد، اندازه درجه آن 360 درجه - a است، که در آن a اندازه گیری درجه زاویه صفحه اضافی است.
مثال. پرتو a بین اضلاع از زاویه ای برابر با 120 درجه عبور می کند. زوایایی را بیابید که درجه آنها 4:2 باشد.
راه حل. پرتو a از بین دو طرف زاویه عبور می کند، به این معنی که با توجه به ویژگی اصلی اندازه گیری زاویه ها (به مورد 8 مراجعه کنید)
از آنجایی که معیارهای درجه به صورت 4: 2 مرتبط هستند، پس
9. گوشه های مجاور و عمودی.
دو گوشه اگر یک ضلع مشترک داشته باشند مجاور نامیده می شوند و اضلاع دیگر این گوشه ها نیم خط اضافی هستند. در شکل 20، گوشه ها مجاور هستند.
مجموع زوایای مجاور 180 درجه است.
قضیه 1.3 بر ویژگی های زیر دلالت دارد:
1) اگر دو زاویه مساوی باشند، زوایای مجاور آنها برابر است.
2) یک زاویه مجاور یک زاویه قائمه یک زاویه راست است.
3) زاويه مجاور با حاد منفرد و زاويه مجاور تند تند است.
اگر اضلاع یک گوشه مکمل ضلع نیمه مستقیم گوشه دیگر باشد، دو گوشه عمودی نامیده می شوند. در شکل 21، گوشه ها عمودی هستند.
زوایای عمودی برابر است.
بدیهی است که دو خط مستقیم متقاطع، زوایای مجاور و عمودی را تشکیل می دهند. زوایای مجاور تا 180 درجه مکمل یکدیگر هستند. اندازه زاویه ای کوچکتر آنها را زاویه بین خطوط مستقیم می گویند.
مثال. در شکل 21، b، زاویه 30 است. ° زوایای AOK و
راه حل. زوایای COD و AOK عمودی هستند، بنابراین، با قضیه 1.4، آنها برابر هستند، یعنی زاویه TUK مجاور زاویه SOD، با قضیه 1.3 برابر است.
10. گوشه های مرکزی و کتیبه ای.
زاویه مرکزی در یک دایره یک زاویه مسطح با یک راس در مرکز آن است. بخشی از دایره که در داخل یک زاویه صاف قرار دارد، قوس دایره ای مربوط به آن زاویه مرکزی نامیده می شود. اندازه گیری درجه یک کمان دایره، اندازه گیری درجه زاویه مرکزی مربوطه است.
در شکل 22، زاویه AOB زاویه مرکزی دایره، راس O آن مرکز این دایره است و اضلاع OA و OB دایره را قطع می کنند. قوس AB بخشی از یک دایره در داخل گوشه مرکزی است.
درجه اندازه گیری قوس AB در شکل 22 برابر با درجه اندازه گیری زاویه AOB است. درجه اندازه گیری قوس AB AB تعیین می شود.
زاویه ای که راس آن روی دایره قرار دارد و اضلاع آن این دایره را قطع می کنند، در دایره محاط می گویند. شکل 23 زوایای محاطی را نشان می دهد.
یک زاویه محاط شده در دایره ای که اضلاع آن از دو نقطه مشخص از دایره عبور می کند، برابر با نیمی از زاویه بین شعاع های کشیده شده به این نقاط است یا این نیمه را تا 180 درجه تکمیل می کند.
هنگام اثبات قضیه 1. 5، لازم است سه حالت مختلف را در نظر بگیریم که در شکل 23 نشان داده شده است: یکی از اضلاع زاویه محاط شده از مرکز دایره عبور می کند (شکل 23، ج). مرکز دایره در داخل گوشه حکاکی شده قرار دارد (شکل 23، ب). مرکز دایره در خارج از زاویه محاطی قرار دارد (شکل 23، ج).
قضیه 1.5 حاکی از نتیجه زیر است: تمام زوایای محاط شده در یک دایره، که اضلاع آن از دو نقطه مشخص از دایره عبور می کند، و رئوس در یک طرف خط مستقیم که این نقاط را به هم متصل می کند، برابر هستند. زوایای محاطی که اضلاع آن از انتهای قطر دایره می گذرد مستقیم است.
در شکل 24، اضلاع زاویه محاطی ABC از انتهای قطر AC عبور می کند، بنابراین
مثال. نقاط A، B و C روی دایره ای با مرکز O قرار دارند. زاویه AOC را پیدا کنید اگر
راه حل. زاویه ABC که در یک دایره حک شده است، بر روی قوس AC و زاویه مرکزی این دایره قرار دارد (شکل 25). از این رو، با قضیه 1.5، و از آنجایی که زاویه AOC مرکزی است، اندازه درجه آن برابر است با درجه اندازه گیری قوس AC، یعنی.
11. خطوط موازی.
دو خط مستقیم در یک صفحه اگر متقاطع نباشند موازی نامیده می شوند.
شکل 26 نشان می دهد که چگونه با استفاده از یک مربع و یک خط کش، یک خط مستقیم 6 را از طریق نقطه مشخص B، موازی با یک خط مستقیم معین a رسم کنید.
برای نشان دادن موازی خطوط مستقیم از علامت II استفاده می شود. در ورودی آمده است: "خط a موازی با خط ب است".
اصل موازی ویژگی اصلی خطوط موازی را بیان می کند.
از طریق نقطه ای که روی یک خط مستقیم مشخص قرار نمی گیرد، حداکثر می توان یک خط مستقیم موازی با خط داده شده روی صفحه رسم کرد.
دو خط مستقیم، موازی با خط سوم، موازی با یکدیگر هستند.
در شکل 27، خطوط مستقیم a و b با خط مستقیم c موازی هستند. قضیه 1. 6 بیان می کند که.
شما می توانید ثابت کنید که از طریق نقطه ای که به یک خط مستقیم تعلق ندارد، می توانید یک خط مستقیم موازی با نقطه داده شده رسم کنید. در شکل 28، یک خط مستقیم a از طریق یک نقطه A که متعلق به b نیست، به موازات یک خط مستقیم b کشیده شده است.
با مقایسه این عبارت و اصل تشابهات، آنها به یک نتیجه مهم می رسند: در صفحه ای که از نقطه ای عبور می کند که روی یک خط مستقیم معین قرار نمی گیرد، می توان یک خط مستقیم به موازات آن ترسیم کرد و فقط یک خط.
اصل توازی در کتاب اقلیدس «آغازها نامیده شد» اصل پنجم است. هندسه‌سنج‌های باستانی سعی کردند منحصر به فرد بودن موازی را ثابت کنند. این تلاش های ناموفق برای بیش از 2000 سال، تا قرن 19 ادامه یافت.
ریاضیدان بزرگ روسی NI Lobachevsky و مستقل از او ریاضیدان مجارستانی J. Boyai نشان دادند که با فرض امکان ترسیم چندین خط مستقیم به موازات یک نقطه معین از طریق یک نقطه، می توان دیگری را غیر صحیح ساخت. -هندسه اقلیدسی هندسه لوباچفسکی اینگونه متولد شد.
مثالی از قضیه ای که از مفهوم توازی استفاده می کند و اثبات آن بر اساس اصل متوازی است، قضیه تالس است. تالس از میلتوس یک ریاضیدان یونان باستان بود که در سال های 625-547 زندگی می کرد. قبل از میلاد مسیح NS.
اگر خطوط مستقیم موازی که اضلاع یک زاویه را قطع می‌کنند، بخش‌های مساوی را از یک طرف آن قطع می‌کنند، آنگاه بخش‌های مساوی را از طرف دیگر آن قطع می‌کنند (قضیه تالس).
نقاط تقاطع خطوط مستقیم موازی را در یکی از اضلاع گوشه بگذارید و بین آنها قرار بگیرند (شکل 29). نقاط تقاطع مربوط به این خطوط را با طرف دیگر گوشه بگذارید. قضیه 1.7 بیان می کند که اگر پس
مثال 1. آیا هفت خط در هشت نقطه می توانند قطع شوند؟
راه حل. آنها می توانند. به عنوان مثال، شکل 30 هفت خط مستقیم را نشان می دهد که سه تای آنها موازی هستند.
مثال 2. یک قطعه دلخواه از AC به 6 قسمت مساوی تقسیم می شود.
راه حل. بیایید یک قطعه از AC را رسم کنیم. اجازه دهید از نقطه A یک پرتو AM رسم کنیم که روی خط AC قرار ندارد. در پرتو AM از نقطه A، ما به طور متوالی 6 قطعه مساوی را کنار می گذاریم (شکل 31). انتهای پاره ها برچسب گذاری می شود. نقطه را با یک پاره با نقطه C وصل می کنیم و از طریق نقاط، خطوط مستقیم موازی با خط مستقیم ترسیم می کنیم. نقاط تلاقی این خطوط با قطعه AC آن را به 6 قسمت مساوی تقسیم می کند (با قضیه 1.7).
12. نشانه های موازی خطوط مستقیم.
بگذارید AB و CD دو خط باشند. بگذارید AC سومین خط متقاطع خطوط AB و CD باشد (شکل 32، ج). AC مستقیم نسبت به مستقیم AB و CD را secant می گویند. زوایای قائمه ای که توسط این زوایای قائمه تشکیل می شوند اغلب به صورت جفت دیده می شوند. جفت زاویه ها نام های خاصی دریافت کرده اند. بنابراین، اگر نقاط B و D در یک نیم صفحه نسبت به خط مستقیم AC قرار گیرند، آنگاه زوایای BAC و DCA یک طرفه داخلی نامیده می شوند (شکل 32، ج). اگر نقاط B و D در نیم صفحه های مختلف نسبت به خط مستقیم AC قرار داشته باشند، آنگاه زوایای BAC و DCA به صورت متقاطع داخلی نامیده می شوند (شکل 32، ب).
AC متقاطع با خطوط مستقیم AB و CD دو جفت زاویه داخلی یک طرفه دو جفت زاویه متقاطع داخلی شکل می دهد. 32، ج).
اگر زوایای نهفته متقاطع داخلی برابر باشند یا مجموع زوایای یک طرفه داخلی 180 درجه باشد، خطوط مستقیم موازی هستند.
در شکل 32، ج، چهار جفت گوشه شماره گذاری شده است. قضیه 1.8 بیان می کند که اگر یا آنگاه خطوط c و b موازی باشند. قضیه 1.8 نیز بیان می کند که اگر یا، پس خطوط a و b موازی هستند.
قضایای 1.6 و 1.8 معیارهایی برای موازی بودن خطوط هستند. قضیه معکوس قضیه 1.8 نیز صادق است.
اگر دو خط مستقیم موازی با خط مستقیم سوم قطع شوند، زوایای خوابیده متقاطع داخلی برابر هستند و مجموع زوایای یک طرفه داخلی 180 درجه است.
مثال. یکی از گوشه های یک طرفه داخلی که در تقاطع دو خط مستقیم موازی خط مستقیم سوم ایجاد شده است، 4 برابر بزرگتر از دیگری است. این زوایای برابر با چه چیزی هستند؟
راه حل. با قضیه 1.9، مجموع زوایای یک طرفه داخلی برای دو خط موازی و یک سکونت 180 درجه است. اجازه دهید این زوایا را با حروف a و P نشان دهیم، سپس a مشخص می شود که a 4 برابر بیشتر است، یعنی پس،
13. خطوط مستقیم عمود بر هم.
دو خط مستقیم اگر در زاویه قائم همدیگر را قطع کنند عمود نامیده می شوند (شکل 33).
عمود بودن خطوط مستقیم با استفاده از علامت نوشته می شود.در ورودی آمده است: "خط a عمود بر خط b است".
عمود بر یک خط مستقیم معین، پاره ای از یک خط مستقیم عمود بر یک خط معین است که نقطه پایانی از تقاطع آنها دارد. این انتهای خط را قاعده عمود می گویند.
در شکل 34 عمود AB از نقطه A به خط a رسم شده است. نقطه B قاعده عمود است.
از طریق هر نقطه از خط مستقیم، شما می توانید یک خط مستقیم عمود بر آن، و تنها یک.
از هر نقطه ای که روی خط مستقیم قرار نگیرید، می توانید یک عمود بر این خط مستقیم بیندازید، و فقط یک.
طول عمودی که از یک نقطه معین روی یک خط مستقیم کاهش می یابد، فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم نامیده می شود.
فاصله بین خطوط مستقیم موازی فاصله هر نقطه از یک خط مستقیم تا خط مستقیم دیگر است.
فرض کنید BA عمودی باشد که از نقطه ای روی خط a کاهش یافته است، و C - هر نقطه از یک خط c، غیر از A. پاره BC مایل نامیده می شود که از نقطه B به خط a کشیده شده است (شکل 35). نقطه C را قاعده مایل می گویند. قطعه AC یک برآمدگی مایل نامیده می شود.
خط مستقیمی که از وسط یک قطعه عمود بر آن می گذرد، نقطه میانی عمود بر آن نامیده می شود.
در شکل 36، خط مستقیم a بر پاره AB عمود است و از نقطه C - وسط قطعه AB می گذرد، یعنی a نقطه وسط عمود است.
مثال. پاره های مساوی AD و CB، محصور بین خطوط موازی AC و BD، در نقطه O قطع می شوند. ثابت کنید.
راه حل. بیایید از نقاط A تا C عمود بر خط BD رسم کنیم (شکل 37). AK = CM به عنوان فاصله بین خطوط مستقیم موازی، ZAKD و DSLYAV مستطیل هستند، آنها
در هیپوتانوس و ساق برابر هستند (به T. 1.25 مراجعه کنید)، که به معنای متساوی الساقین است (T. 1.19)، یعنی از تساوی مثلث های AKT) و CTAB برمی آید که، و سپس، یعنی A. AOS متساوی الساقین است، یعنی
14. مماس بر دایره. مماس دایره ها
خط مستقیمی که از نقطه ای روی دایره ای عمود بر شعاع رسم شده به این نقطه می گذرد، خط مماس نامیده می شود. در این حالت به این نقطه از دایره نقطه مماس می گویند. در شکل 38 خط مستقیم a از نقطه A از دایره عمود بر شعاع OA کشیده شده است. خط c مماس بر دایره است. نقطه A نقطه تماس است. همچنین می توان گفت که دایره خط مستقیم a را در نقطه A لمس می کند.
آنها می گویند که اگر یک خط مماس مشترک در آن نقطه داشته باشند، دو دایره با یک نقطه مشترک در این نقطه برخورد می کنند. مماس دایره ها در صورتی داخلی نامیده می شود که مراکز دایره ها در یک طرف مماس مشترک خود قرار گیرند. مماس دایره ها در صورتی بیرونی نامیده می شود که مراکز دایره ها در دو طرف مشترک آنها قرار داشته باشند.
مماس در شکل 39، ج، مماس دایره ها داخلی است و در شکل 39، b - خارجی است.
مثال 1. دایره ای با شعاع معین مماس بر یک خط مستقیم در یک نقطه معین بسازید.
راه حل. مماس بر دایره عمود بر شعاع کشیده شده به نقطه مماس است. بنابراین مرکز دایره مورد نظر روی عمود بر خط مستقیم داده شده که از نقطه داده شده می گذرد قرار دارد و از این نقطه در فاصله ای برابر با شعاع قرار دارد. مشکل دو راه حل دارد - دو دایره متقارن با یکدیگر نسبت به یک خط مستقیم داده شده (شکل 40).
مثال 2. دو دایره به قطر 4 و 8 سانتی متر به صورت خارجی لمس می شوند. فاصله بین مراکز این دایره ها چقدر است؟
راه حل. شعاع دایره های OA و O، A عمود بر مماس مشترک عبوری از نقطه A هستند (شکل 41). بنابراین، ببینید
15. مثلث.
مثلث شکلی است که از سه نقطه تشکیل شده است که روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند و سه قسمت که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند. نقاط را رئوس مثلث و پاره های خط را اضلاع می نامند. مثلث با رئوس آن نشان داده می شود. به جای کلمه مثلث از علامت D استفاده شده است.
شکل 42 یک مثلث ABC را نشان می دهد. A، B، C - رئوس این مثلث؛ A B، BC و AC اضلاع آن هستند.
زاویه مثلث ABC در راس A زاویه ای است که توسط نیم خطوط AB و AC تشکیل می شود. زوایای مثلث در رئوس B تا C نیز مشخص می شود.
اگر خط مستقیمی که از هیچ یک از رئوس مثلث نمی گذرد، یکی از اضلاع آن را قطع کند، آنگاه فقط یکی از دو ضلع دیگر را قطع می کند.
ارتفاع مثلثی که از یک راس معین پایین می‌آید، عمودی نامیده می‌شود که از این راس به خط مستقیمی که ضلع مقابل مثلث را شامل می‌شود، می‌گویند. در شکل 43، ج، قطعه AD ارتفاع A با زاویه حاد است. ABC، و در شکل 43، b پایه ارتفاع نقطه منفرد D - در ادامه ضلع BC قرار دارد.
نیمساز مثلث قسمتی از نیمساز زاویه مثلث است که راس را به نقطه ای در طرف مقابل متصل می کند. در شکل 44، قطعه AD نیمساز مثلث ABC است.
میانه مثلثی که از یک راس معین کشیده می شود، قطعه ای است که این راس را به وسط متصل می کند.
ضلع مقابل مثلث در شکل 45، بخش AD وسط مثلث است
خط وسط مثلث قسمتی است که وسط دو ضلع آن را به هم وصل می کند.
خط وسط مثلث که وسط این دو ضلع را به هم متصل می کند، موازی و برابر با نصف ضلع سوم است.
فرض کنید DE خط وسط مثلث ABC باشد (شکل 46).
قضیه بیان می کند که.
نابرابری مثلث خاصیت فواصل بین سه نقطه است که با قضیه زیر بیان می شود:
این سه نقطه هر چه باشد، فاصله بین هر دو نقطه از مجموع فاصله آنها تا نقطه سوم بیشتر نیست.
سه نقطه داده شده را بگذارید. موقعیت نسبی این نقاط می تواند متفاوت باشد: الف) دو نقطه از سه یا هر سه بر هم منطبق است، در این صورت بیان قضیه آشکار است. ب) نقاط متفاوت هستند و روی یک خط مستقیم قرار می گیرند (شکل 47، a)، یکی از آنها، برای مثال B، بین دو نقطه دیگر قرار دارد، در این مورد از آنجا نتیجه می شود که هر یک از سه فاصله بیشتر از مجموع دو مورد دیگر؛ ج) نکات دروغ نمی گویند
روی یک خط مستقیم (شکل 47، ب)، سپس قضیه 1.14 این را بیان می کند.
در حالت ج) سه نقطه A، B، C رئوس مثلث هستند. بنابراین در هر مثلثی هر ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کمتر است.
مثال 1. آیا مثلث ABC با اضلاع وجود دارد: a); ب)
راه حل. برای اضلاع مثلث ABC، نابرابری های زیر باید برآورده شوند:
در مورد الف) نابرابری (2) برقرار نیست، به این معنی که چنین ترتیبی از نقاط نمی تواند باشد. در حالت ب) نابرابری ها پابرجا هستند، یعنی مثلث وجود دارد.
مثال 2. فاصله بین نقاط A که با یک مانع از هم جدا شده اند را بیابید.
راه حل. برای یافتن فاصله، سی دی پایه را آویزان می کنیم و خطوط مستقیم BC و AD رسم می کنیم (شکل 48). نقطه M - وسط CD را پیدا کنید. ما همچنین MPAD را انجام می دهیم. نتیجه این است که PN خط وسط است، یعنی.
با اندازه گیری PN، یافتن AB دشوار نیست.
16. تساوی مثلث ها.
به دو پاره خط مساوی گفته می شود که طول آنها یکسان باشد. به دو زاویه مساوی گفته می شود که اندازه های زاویه ای آنها بر حسب درجه یکسان باشد.
مثلث های ABC و مساوی اگر نامیده می شوند
این به اختصار در کلمات بیان می شود: مثلث ها اگر اضلاع متناظر داشته باشند و زوایای متناظر با هم برابر باشند برابرند.
بیایید ویژگی اصلی وجود مثلث های مساوی را فرمول بندی کنیم (اصولاً وجود یک مثلث برابر با یک داده شده):
مثلث هر چه که باشد، در یک مکان معین یک مثلث مساوی نسبت به یک نیم خط معین وجود دارد.
سه معیار برای برابری مثلث ها وجود دارد:
اگر دو ضلع و زاویه یک مثلث به ترتیب با دو ضلع و زاویه بین آنها با مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها مساوی هستند (نشانه تساوی مثلث های دو ضلع و زاویه بین آنها).
اگر ضلع و زوایای مجاور یک مثلث به ترتیب با ضلع و زوایای مجاور آن مثلث دیگر برابر باشند، این مثلث ها با هم برابرند (نشانه تساوی مثلث های امتداد ضلع و زوایای مجاور آن. ).
اگر سه ضلع یک مثلث به ترتیب با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، چنین مثلث هایی با هم برابر هستند (نشانه تساوی مثلث های سه ضلع).
مثال. نقاط B و D در نیم صفحه های مختلف نسبت به خط مستقیم AC قرار دارند (شکل 49). معلوم است که ثابت کند که
راه حل. با شرط، و از آنجایی که این زوایا با تفریق از زوایای مساوی BCD و DAB زوایای مساوی BC A و DAC به دست می آیند. علاوه بر این، سمت بلندگو در مثلث های مشخص شده مشترک است. این مثلث ها از نظر ضلع و زوایای مجاور آن برابر هستند.
17. مثلث متساوی الساقین.
مثلثی را متساوی الساقین می گویند که دو ضلع آن برابر باشند. این اضلاع مساوی را ضلع و ضلع سوم را قاعده مثلث می نامند.
در مثلث یعنی ABC متساوی الساقین با قاعده AC است.
در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.
اگر دو زاویه در یک مثلث مساوی باشند، آنگاه متساوی الساقین است (برعکس قضیه T. 1.18).
در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده، نیمساز و ارتفاع است.
همچنین می توانید ثابت کنید که در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع کشیده شده به قاعده نیمساز و میانه است. به طور مشابه، نیمساز یک مثلث متساوی الساقین که از راس مقابل قاعده کشیده شده است، میانه و ارتفاع است.
مثلثی که تمام اضلاع آن برابر باشد متساوی الاضلاع نامیده می شود.
مثال. در مثلث ADB، زاویه D 90 درجه است. در ادامه سمت AD یک قطعه وجود دارد (نقطه D بین نقاط A و C قرار دارد) (شکل 51). ثابت کنید مثلث ABC متساوی الساقین است.
گوشه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی که مجاور آن نیستند.
از قضیه 1.22 نتیجه می شود که زاویه بیرونی یک مثلث بزرگتر از هر زاویه داخلی است که مجاور آن نباشد.
مثال. در یک مثلث
نیمساز AD این مثلث از آن جدا می شود گوشه های این مثلث را پیدا کنید.
راه حل. از آنجایی که AD نیمساز زاویه A است (قضیه فرعی را به عنوان زاویه بیرونی با مجموع زاویه ها ببینید
19. مثلث مستطیل شکل. قضیه فیثاغورس.
مثلثی که زاویه قائمه داشته باشد مستطیل نامیده می شود. از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، یک مثلث قائم الزاویه فقط یک زاویه قائمه دارد. دو گوشه دیگر مثلث قائم الزاویه تیز هستند و تا 90 درجه مکمل یکدیگر هستند. ضلع مثلث قائم الزاویه در مقابل زاویه قائمه را هیپوتنوز و دو ضلع دیگر را پاها می نامند. ABC که در شکل 54 نشان داده شده است، پاهای مستطیلی، مستقیم، هیپوتنوزی، CB و BA - است.
برای مثلث های قائم الزاویه، می توانید معیارهای برابری خود را فرموله کنید.
اگر زوایای هیپوتانوس و حاد یک مثلث قائم الزاویه به ترتیب برابر با زاویه هیپوتانوس و زاویه حاد مثلث دیگر باشد، آنگاه چنین مثلث هایی با هم برابرند (نشانه برابری برای زاویه هیپوتانوس و زاویه حاد).
اگر پايه و گوشه مقابل يك مثلث قائم الزاويه به ترتيب با ساق و گوشه مقابل مثلث ديگر برابر باشند، اين مثلث ها مساوي هستند (نشانه برابري در ساق و گوشه مقابل).
اگر هیپوتانوس و پایه یک مثلث قائم الزاویه به ترتیب با هیپوتنوز و ساق مثلث دیگر برابر باشند، چنین مثلث هایی با هم برابر هستند (نشانه تساوی برای هیپوتانوس و ساق).
در یک مثلث قائم الزاویه با زاویه 30 درجه، پای مقابل زاویه اتم نصف گذرگاه هیپوتنوز است.
در مثلث ABC، نشان داده شده در شکل یک خط مستقیم است، بنابراین، در این مثلث.
در یک مثلث قائم الزاویه، قضیه فیثاغورث معتبر است که به نام فیثاغورث دانشمند یونان باستان، که در قرن ششم می زیسته است، نامگذاری شده است. قبل از میلاد مسیح NS.
در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها (قضیه فیثاغورث).
فرض کنید ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم C، پاهای a و b و هیپوتانوس c باشد (شکل 56). قضیه بیان می کند که
از قضیه فیثاغورث چنین بر می آید که در مثلث قائم الزاویه هر یک از پایه ها کمتر از هیپوتانوس است.
از قضیه فیثاغورث چنین بر می آید که اگر یک خط عمود و مایل از یک نقطه رسم شود، آنگاه مایل از عمود بزرگتر است. مساوی oblique دارای برجستگی مساوی; از دو مایل، بزرگتر است که با برجستگی بزرگتر است.
در شکل 57 از نقطه O به خط مستقیم a یک OA عمود بر و مورب OB و OS و OD رسم شده است در حالی که بر اساس موارد فوق: الف)
محیط مستطیل KDMA 18 سانتی متر است
مثال 3. در دایره ای به شعاع 25 سانتی متر، دو وتر موازی به طول 40 و 30 سانتی متر در یک طرف مرکز آن رسم شده است، فاصله این وترها را پیدا کنید.
راه حل. شعاع OK را عمود بر وترهای AB و CD رسم می کنیم، مرکز دایره O را با نقاط C، A، D و B وصل می کنیم (شکل 60). مثلث COD و AOB متساوی الساقین هستند، زیرا (به عنوان شعاع). OM و ON ارتفاع این مثلث ها هستند. با قضیه 1.20، هر یک از ارتفاع ها به طور همزمان میانه مثلث مربوطه است، یعنی:
مثلث های OCM و O AN در آنها مستطیل هستند. ON و ОМ توسط قضیه فیثاغورث یافت می شوند.
20. دایره هایی که در یک مثلث محاط شده و دور مثلث محصور شده اند.
دایره ای که از تمام رئوس مثلث عبور کند، محصور در اطراف یک مثلث نامیده می شود.
مرکز دایره ای که اطراف یک مثلث است، نقطه تلاقی عمود بر اضلاع مثلث است.
در شکل 61، یک دایره در اطراف مثلث ABC توضیح داده شده است. مرکز این دایره O نقطه تلاقی عمودهای میانی ОМ، ON و OJT است که به ترتیب به اضلاع AB، BC و C A کشیده شده است.
دایره ای را در مثلث محاط می گویند که همه اضلاع آن را لمس کند.
مرکز دایره ای که در یک مثلث محاط شده است، نقطه تقاطع نیمسازهای آن است.
در شکل 62، دایره در مثلث ABC درج شده است. مرکز این دایره O نقطه تقاطع نیمسازهای AO، BO و CO زوایای مربوط به مثلث است.
مثال. در مثلث قائم الزاویه، ساق ها 12 و 16 سانتی متر هستند. 2) دایره دور.
راه حل. 1) اجازه دهید مثلث ABC داده شود، که در آن مرکز دایره محاطی است (شکل 63، a). محیط مثلث ABC برابر است با مجموع هیپوتانوس دو برابر شده و قطر دایره محاط شده در مثلث (از تعریف مماس بر دایره و تساوی مثلث قائم الزاویه AOM و AOK، MOC و LOC در امتداد استفاده کنید. هیپوتانوز و پا).
بنابراین، از کجا، توسط قضیه فیثاغورث، i.e.
2) مرکز دایره ای که پیرامون یک مثلث قائم الزاویه محصور شده است با وسط هیپوتنوس منطبق است، از این رو شعاع دایره محصور شده سانتی متر است (شکل 63، ب).
بارگذاری...