تعریف سینوس و کسینوس سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت - هر آنچه که در امتحان ریاضیات (2020) باید بدانید

معلمان معتقدند که هر دانش آموز باید بتواند محاسبات را انجام دهد، فرمول های مثلثاتی را بداند، اما هر معلمی توضیح نمی دهد که سینوس و کسینوس چیست. معنی آنها چیست، کجا استفاده می شود؟ چرا از مثلث صحبت می کنیم اما در کتاب درسی یک دایره ترسیم شده است؟ بیایید سعی کنیم همه حقایق را با هم مرتبط کنیم.

موضوع مدرسه ای

مطالعه مثلثات معمولاً از کلاس هفتم تا هشتم دبیرستان شروع می شود. در این زمان، به دانش آموزان توضیح داده می شود که سینوس و کسینوس چیست، به آنها پیشنهاد می شود با استفاده از این توابع مسائل هندسی را حل کنند. بعداً فرمول ها و عبارات پیچیده تری ظاهر می شوند که باید به روش جبری تبدیل شوند (فرمول های دو و نیم زاویه ، توابع توان) ، کار با یک دایره مثلثاتی انجام می شود.

با این حال، معلمان همیشه قادر به توضیح واضح معنای مفاهیم استفاده شده و کاربرد فرمول ها نیستند. بنابراین دانش آموز اغلب نکته ای را در این موضوع نمی بیند و اطلاعات به خاطر سپرده شده به سرعت فراموش می شود. با این حال، ارزش دارد که برای یک دانش آموز دبیرستانی یک بار توضیح دهید، مثلاً ارتباط بین عملکرد و حرکت نوسانی، و ارتباط منطقی سال ها در یادها می ماند و شوخی ها در مورد بی فایده بودن موضوع به گذشته تبدیل می شود. .

استفاده

برای کنجکاوی، اجازه دهید نگاهی به شاخه های مختلف فیزیک بیندازیم. آیا می خواهید برد پرتابه را تعیین کنید؟ یا نیروی اصطکاک بین یک جسم و یک سطح مشخص را محاسبه می کنید؟ چرخاندن آونگ، تماشای پرتوهای عبوری از شیشه، محاسبه القاء؟ مفاهیم مثلثاتی تقریباً در هر فرمولی ظاهر می شوند. پس سینوس و کسینوس چیست؟

تعاریف

سینوس زاویه نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است، کسینوس نسبت پای مجاور به همان هیپوتنوز است. در اینجا مطلقاً هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد. شاید دانش آموزان معمولاً با مقادیری که در جدول مثلثاتی می بینند گیج شوند، زیرا ریشه های مربع در آنجا ظاهر می شوند. بله، گرفتن کسر اعشاری از آنها خیلی راحت نیست، اما چه کسی گفته است که همه اعداد در ریاضیات باید برابر باشند؟

در واقع، در کتاب های مسائل مثلثاتی، می توانید یک نکته خنده دار پیدا کنید: اکثر پاسخ های اینجا زوج هستند و در بدترین حالت حاوی ریشه دو یا سه هستند. نتیجه گیری ساده است: اگر کسری "چند طبقه" را در پاسخ خود دریافت کردید، راه حل را برای اشتباهات در محاسبات یا استدلال دوباره بررسی کنید. و به احتمال زیاد آنها را پیدا خواهید کرد.

چیز هایی برای به یاد آوردن

مانند هر علم دیگری، مثلثات نیز داده هایی دارد که باید آموخته شوند.

ابتدا باید مقادیر عددی سینوس ها، کسینوس های یک مثلث قائم الزاویه 0 و 90 و همچنین 30، 45 و 60 درجه را به خاطر بسپارید. این شاخص ها در نه مشکل از هر ده مشکل مدرسه یافت می شود. با مشاهده این مقادیر در کتاب درسی، زمان زیادی را تلف خواهید کرد و اصلاً جایی برای نگاه کردن به آزمون یا امتحان وجود نخواهد داشت.

لازم به یادآوری است که مقدار هر دو تابع نمی تواند از یک تجاوز کند. اگر در هر جایی از محاسبات مقداری خارج از محدوده 0-1 دریافت کردید، متوقف شده و دوباره مشکل را حل کنید.

مجموع مجذورات سینوس و کسینوس برابر با یک است. اگر قبلا یکی از مقادیر را پیدا کرده اید، از این فرمول برای پیدا کردن بقیه استفاده کنید.

قضایا

دو قضیه اصلی در مثلثات پایه وجود دارد: سینوس و کسینوس.

اولی می گوید که نسبت هر ضلع مثلث به سینوس زاویه مقابل یکسان است. دوم این است که مربع هر ضلعی را می توان با جمع کردن مربع های دو ضلع باقی مانده و تفریق حاصل ضرب مضاعف آنها در کسینوس زاویه بین آنها بدست آورد.

بنابراین، اگر مقدار زاویه 90 درجه را با قضیه کسینوس جایگزین کنیم، قضیه فیثاغورث را به دست می آوریم. اکنون، اگر باید مساحت شکلی را محاسبه کنید که مثلث قائم الزاویه نیست، دیگر نگران نباشید - دو قضیه در نظر گرفته شده به طور قابل توجهی حل مسئله را ساده می کند.

اهداف و اهداف

یادگیری مثلثات زمانی بسیار ساده تر می شود که به یک واقعیت ساده پی ببرید: تمام اقداماتی که انجام می دهید فقط برای رسیدن به یک هدف هستند. هر پارامتر یک مثلث را می توان در صورتی پیدا کرد که کمترین اطلاعات را در مورد آن بدانید - می تواند مقدار یک زاویه و طول دو ضلع یا مثلاً سه ضلع باشد.

برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس هر زاویه، این داده ها کافی است، با کمک آنها می توانید به راحتی مساحت شکل را محاسبه کنید. تقریباً همیشه یکی از مقادیر ذکر شده به عنوان پاسخ مورد نیاز است و می توانید با استفاده از همان فرمول ها آنها را پیدا کنید.

اختلاف در یادگیری مثلثات

یکی از سوالات نامفهومی که دانش آموزان ترجیح می دهند از آن اجتناب کنند، یافتن ارتباط بین مفاهیم مختلف در مثلثات است. به نظر می رسد که از مثلث ها برای مطالعه سینوس ها و کسینوس های زوایا استفاده می شود، اما به دلایلی اغلب نام گذاری ها در شکل با یک دایره یافت می شود. علاوه بر این، یک نمودار کاملاً غیرقابل درک موج مانند به نام سینوسی وجود دارد که هیچ شباهتی خارجی نه به دایره و نه به مثلث ندارد.

علاوه بر این، زوایا بر حسب درجه و سپس رادیان اندازه گیری می شوند و عدد پی که به سادگی به صورت 3.14 (بدون واحد اندازه گیری) نوشته شده است، به دلایلی در فرمول ها مربوط به 180 درجه ظاهر می شود. همه اینها چگونه به یکدیگر مرتبط است؟

واحدها

چرا Pi دقیقاً 3.14 است؟ یادت هست این معنی چیست؟ این تعداد شعاع هایی است که در یک قوس روی نیم دایره قرار می گیرند. اگر قطر دایره 2 سانتی متر باشد، دور آن 3.14 * 2 یا 6.28 است.

نکته دوم: شاید شما هم متوجه شباهت دو کلمه شعاع و شعاع شده باشید. واقعیت این است که یک رادیان از نظر عددی برابر است با مقدار زاویه ترسیم شده از مرکز دایره بر روی کمانی به طول یک شعاع.

اکنون بیایید دانش به دست آمده را ترکیب کنیم و بفهمیم که چرا بالای محور مختصات در مثلثات "Pi در نیمه" و در سمت چپ - "Pi" نوشته شده است. این یک مقدار زاویه ای است که بر حسب رادیان اندازه گیری می شود، زیرا یک نیم دایره 180 درجه یا 3.14 رادیان است. و جایی که درجات وجود دارد، سینوس و کسینوس وجود دارد. ترسیم مثلث از نقطه مورد نظر آسان است و بخش ها را به مرکز و محور مختصات موکول می کند.

به آینده نگاه کنیم

مثلثات، که در مدرسه مورد مطالعه قرار گرفت، با یک سیستم مختصات مستطیلی سر و کار دارد، جایی که هر چقدر هم که عجیب به نظر برسد، یک خط مستقیم یک خط مستقیم است.

اما روش های پیچیده تری نیز برای کار با فضا وجود دارد: مجموع زوایای یک مثلث در اینجا بیش از 180 درجه خواهد بود و یک خط مستقیم از دید ما مانند یک قوس واقعی به نظر می رسد.

از حرف به عمل برویم! یک سیب بردار با چاقو سه برش بزنید تا از بالا به شکل مثلث در بیاید. برش سیب به دست آمده را بیرون بیاورید و به "دنده ها" جایی که پوست به پایان می رسد نگاه کنید. آنها اصلا مستقیم نیستند. میوه در دستان شما را می توان به صورت مشروط گرد نامید و اکنون تصور کنید که فرمول ها چقدر باید پیچیده باشند که با کمک آن می توانید مساحت قطعه برش را پیدا کنید. اما برخی از متخصصان به طور روزانه چنین مشکلاتی را حل می کنند.

توابع مثلثاتی در زندگی

آیا توجه کرده اید که کوتاه ترین مسیر هواپیما از نقطه A به نقطه B در سطح سیاره ما دارای شکل قوس مشخصی است؟ دلیل آن ساده است: زمین به شکل توپ است، به این معنی که شما نمی توانید با کمک مثلث ها مقدار زیادی محاسبه کنید - در اینجا باید از فرمول های پیچیده تری استفاده کنید.

سینوس / کسینوس یک زاویه حاد را نمی توان در هیچ ماده مرتبط با فضا نادیده گرفت. جالب است که عوامل مختلفی در اینجا همگرا می شوند: هنگام محاسبه حرکت سیارات در امتداد دایره ها، بیضی ها و مسیرهای مختلف اشکال پیچیده تر، به توابع مثلثاتی نیاز است. فرآیند پرتاب موشک، ماهواره، شاتل، باز کردن وسایل نقلیه تحقیقاتی؛ رصد ستارگان دوردست و مطالعه کهکشان هایی که انسان در آینده قابل پیش بینی قادر به رسیدن به آنها نخواهد بود.

به طور کلی، زمینه فعالیت فردی که صاحب مثلثات است بسیار گسترده است و ظاهراً به مرور زمان گسترش خواهد یافت.

نتیجه

امروز یاد گرفتیم یا حداقل تکرار کردیم که سینوس و کسینوس چیست. اینها مفاهیمی هستند که نیازی به ترس از آنها ندارید - فقط می خواهید و معنای آنها را خواهید فهمید. به یاد داشته باشید که مثلثات یک هدف نیست، بلکه تنها ابزاری است که می تواند برای رفع نیازهای واقعی انسان استفاده شود: ساخت خانه، اطمینان از ایمنی ترافیک، حتی کشف وسعت جهان.

در واقع، خود علم ممکن است خسته کننده به نظر برسد، اما به محض اینکه در آن راهی برای رسیدن به اهداف خود پیدا کنید، خودشناسی، فرآیند یادگیری جالب می شود و انگیزه شخصی شما افزایش می یابد.

به عنوان یک تکلیف، سعی کنید راه هایی را برای اعمال توابع مثلثاتی در حوزه فعالیتی که شخصاً به آن علاقه دارید، بیابید. تصور کنید، تخیل خود را روشن کنید، و سپس احتمالاً معلوم می شود که دانش جدید در آینده برای شما مفید خواهد بود. و علاوه بر این، ریاضیات برای رشد عمومی تفکر مفید است.

| بی دی |- طول یک کمان دایره ای که در مرکز یک نقطه قرار دارد آ.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.

سینوس ( گناه α) یک تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتانوس و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پای مقابل | قبل از میلاد | به طول هیپوتنوز | AC |.
کسینوس ( cos α) یک تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور | AB | به طول هیپوتنوز | AC |.

نامگذاری های پذیرفته شده

;
;
.

نمودار تابع سینوسی، y = sin x

نمودار تابع کسینوس، y = cos x

خواص سینوس و کسینوس

دوره ای

توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2 π.

برابری

تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

محدوده تعریف و مقادیر، افراط، افزایش، کاهش

توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خصوصیات اصلی آنها در جدول ارائه شده است (n یک عدد صحیح است).

	y = گناه x	y = cos x
حوزه تعریف و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
صعودی
نزولی
ماکسیما، y = 1
حداقل، y = - 1
صفر، y = 0
نقاط تقاطع با محور y، x = 0	y = 0	y = 1

فرمول های پایه

مجموع مجذورات سینوس و کسینوس

فرمول سینوس و کسینوس برای مجموع و تفاوت

;
;

فرمول های حاصلضرب سینوس ها و کسینوس ها

فرمول های مجموع و تفاوت

بیان سینوس بر حسب کسینوس

;
;
;
.

بیان کسینوس بر حسب سینوس

;
;
;
.

بیان مماس

; .

برای، ما داریم:
; .

در:
; .

جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای برخی از مقادیر آرگومان نشان می دهد.

عبارات با استفاده از متغیرهای پیچیده

;

فرمول اویلر

عبارات بر حسب توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; ... اشتقاق فرمول ها>>>

مشتقات مرتبه n:
{ -∞ < x < +∞ }

سکانت، متقاطع

توابع معکوس

توابع معکوس سینوس و کسینوس به ترتیب سینوس معکوس و کسینوس معکوس هستند.

آرکسین، آرکسین

آرکوزین، آرکوس

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان موسسات فنی، "Lan"، 2009.

همچنین ببینید: برای حل برخی از مسائل، جدولی از هویت های مثلثاتی مفید خواهد بود که انجام تبدیل توابع را بسیار آسان تر می کند:

ساده ترین هویت های مثلثاتی

ضریب تقسیم سینوس زاویه آلفا بر کسینوس همان زاویه برابر است با مماس این زاویه (فرمول 1). همچنین به اثبات صحت تبدیل ساده ترین هویت های مثلثاتی مراجعه کنید.
ضریب تقسیم کسینوس زاویه آلفا بر سینوس همان زاویه برابر است با کوتانژانت همان زاویه (فرمول 2)
سکانس یک زاویه برابر است با تقسیم بر کسینوس همان زاویه (فرمول 3)
مجموع مجذورهای سینوس و کسینوس یک زاویه برابر با یک است (فرمول 4). همچنین به اثبات مجموع مجذور کسینوس و سینوس مراجعه کنید.
مجموع واحد و مماس یک زاویه برابر است با نسبت واحد به مجذور کسینوس این زاویه (فرمول 5)
واحد بعلاوه کتانژانت زاویه برابر است با ضریب تقسیم یک بر سینوس این زاویه (فرمول 6)
حاصل ضرب مماس و کوتانژانت یک زاویه برابر با یک است (فرمول 7).

تبدیل زوایای منفی توابع مثلثاتی ( زوج و فرد)

برای رهایی از مقدار منفی درجه اندازه گیری زاویه هنگام محاسبه سینوس، کسینوس یا مماس، می توانید از تبدیل های مثلثاتی (هویت) زیر بر اساس اصول یکنواختی یا غریب بودن توابع مثلثاتی استفاده کنید.

همانطور که دیدیم، کسینوسو سکنت است حتی عملکرد, سینوسی، مماس و کوتانژانت - توابع فرد.

سینوس یک زاویه منفی برابر است با سینوس منفی همان زاویه مثبت (منهای سینوس آلفا).
کسینوس "منهای آلفا" همان مقدار کسینوس زاویه آلفا را خواهد داد.
مماس منهای آلفا برابر است با مماس منهای آلفا.

فرمول های کاهش زاویه دوتایی (سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه دوتایی)

اگر لازم است یک زاویه را به دو نیم تقسیم کنید، یا برعکس، از یک زاویه دوتایی به یک زاویه واحد بروید، می توانید از هویت های مثلثاتی زیر استفاده کنید:

تبدیل دو زاویه (سینوس زاویه دوتایی، کسینوس زاویه دوتایی و مماس زاویه دوتایی) تک بودن طبق قوانین زیر رخ می دهد:

سینوس دو زاویهبرابر با دو برابر حاصل ضرب سینوس و کسینوس یک زاویه

کسینوس دو زاویهبرابر است با اختلاف مربع کسینوس یک زاویه و مربع سینوس این زاویه

کسینوس دو زاویهبرابر با دو برابر مربع کسینوس یک زاویه منهای یک

کسینوس دو زاویهبرابر با یک منهای دو سینوس مربع از یک زاویه

مماس دو زاویهبرابر کسری است که صورت آن مماس مضاعف یک زاویه و مخرج آن برابر با یک منهای مماس مربع یک زاویه است.

کتانژانت دو زاویهبرابر کسری است که صورت آن مجذور کتانژانت یک زاویه منهای یک و مخرج آن برابر است با دو برابر کتانژانت یک زاویه

فرمول های جایگزین مثلثاتی جهانی

فرمول های تبدیل زیر می توانند زمانی مفید باشند که باید آرگومان یک تابع مثلثاتی (sin α، cos α، tan α) را بر دو تقسیم کنید و بیان را به نصف زاویه کاهش دهید. از مقدار α، α / 2 بدست می آید.

این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های جایگزین مثلثاتی جهانی... ارزش آنها در این واقعیت نهفته است که بیان مثلثاتی با کمک آنها به بیان مماس نیم زاویه کاهش می یابد، صرف نظر از اینکه کدام توابع مثلثاتی (sin cos tg ctg) در ابتدا در عبارت بودند. پس از آن، حل معادله با مماس نصف زاویه بسیار ساده تر است.

تبدیل های مثلثاتی نیم زاویه

در زیر فرمول های تبدیل مثلثاتی نیم زاویه به عدد صحیح آورده شده است.
مقدار آرگومان تابع مثلثاتی α / 2 به مقدار آرگومان تابع مثلثاتی α کاهش می یابد.

فرمول های مثلثاتی برای اضافه کردن زاویه

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

مماس و کتانژانت مجموع زوایاآلفا و بتا را می توان با قوانین تبدیل تابع مثلثاتی زیر تبدیل کرد:

مماس مجموع زوایابرابر کسری است که صورت آن مجموع مماس زاویه اول و مماس زاویه دوم است و مخرج آن یک منهای حاصل ضرب مماس زاویه اول و مماس زاویه دوم است. .

مماس اختلاف زاویهبرابر کسری است که صورت آن برابر است با اختلاف مماس زاویه کاهنده و مماس زاویه تفریق و مخرج برابر با یک به اضافه حاصل ضرب مماس های این زوایا است.

کتانژانت مجموع زوایابرابر کسری است که صورت آن برابر حاصلضرب کوتانژانت این زوایا به اضافه یک و مخرج آن برابر است با تفاضل کتانژانت زاویه دوم و کتانژانت زاویه اول.

کتانژانت اختلاف زاویهبرابر کسری است که صورت آن حاصلضرب کتانژانت های این زوایا منهای یک و مخرج آن برابر مجموع مضراب های این زوایا است.

این هویت‌های مثلثاتی برای استفاده در مواقعی که نیاز دارید مثلاً مماس 105 درجه (tg 105) را محاسبه کنید، راحت هستند. اگر آن را به صورت tg (45 + 60) نشان دهید، می توانید از تبدیل های یکسان مماس مجموع زوایا استفاده کنید و سپس به سادگی مقادیر جدولی مماس 45 و مماس 60 درجه را جایگزین کنید.

فرمول های تبدیل مجموع یا تفاوت برای توابع مثلثاتی

عباراتی که مجموع شکل sin α + sin β را نشان می دهند را می توان با استفاده از فرمول های زیر تبدیل کرد:

فرمول های زاویه سه گانه - sin3α cos3α tg3α را به sinα cosα tgα تبدیل کنید

گاهی اوقات لازم است مقدار سه گانه زاویه را طوری تبدیل کنیم که زاویه α به جای 3α به آرگومان تابع مثلثاتی تبدیل شود.
در این مورد، می توانید از فرمول های تبدیل زاویه سه گانه (هویت ها) استفاده کنید:

فرمول های تبدیل برای حاصلضرب توابع مثلثاتی

اگر لازم است حاصل ضرب سینوس های زوایای مختلف کسینوس زوایای مختلف یا حتی حاصل ضرب سینوس و کسینوس را تبدیل کنید، می توانید از هویت های مثلثاتی زیر استفاده کنید:

در این صورت حاصل ضرب توابع سینوس، کسینوس یا مماس زوایای مختلف به مجموع یا تفاضل تبدیل می شود.

فرمول های کاهش تابع مثلثاتی

شما باید از جدول بازیگران به صورت زیر استفاده کنید. در خط، تابع مورد علاقه ما را انتخاب کنید. ستون شامل گوشه است. به عنوان مثال، سینوس زاویه (α + 90) در تقاطع ردیف اول و ستون اول، متوجه می شویم که sin (α + 90) = cos α.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع مثلثاتی و کاربرد آنها در هندسه می پردازد. توسعه مثلثات در دوران یونان باستان آغاز شد. در طول قرون وسطی، دانشمندان خاورمیانه و هند سهم مهمی در توسعه این علم داشتند.

این مقاله به مفاهیم و تعاریف اساسی مثلثات اختصاص دارد. این تعاریف توابع مثلثاتی اصلی را مورد بحث قرار می دهد: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. معنای آنها در زمینه هندسه توضیح و نشان داده شده است.

در ابتدا تعاریف توابع مثلثاتی که استدلال آنها یک زاویه است، بر حسب نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بیان شد.

تعاریف توابع مثلثاتی

سینوس زاویه (sin α) نسبت پای مخالف این زاویه به هیپوتنوز است.

کسینوس زاویه (cos α) نسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

مماس زاویه (t g α) نسبت پای مقابل به مجاور است.

کوتانژانت زاویه (c t g α) - نسبت پای مجاور به طرف مقابل.

این تعاریف برای زاویه تند مثلث قائم الزاویه ارائه شده است!

در اینجا یک تصویر است.

در مثلث ABC با زاویه قائم C، سینوس زاویه A برابر است با نسبت پایه BC به هیپوتنوز AB.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما امکان می دهد مقادیر این توابع را از طول های شناخته شده اضلاع مثلث محاسبه کنید.

مهم به یاد داشته باشید!

محدوده مقادیر سینوس و کسینوس: از 1- تا 1. به عبارت دیگر سینوس و کسینوس مقادیری از 1- تا 1 می گیرند. محدوده مقادیر مماس و کوتانژانت کل عدد است. خط، یعنی این توابع می توانند هر مقداری را بگیرند.

تعاریف ارائه شده در بالا برای گوشه های تیز است. در مثلثات مفهوم زاویه چرخش معرفی می شود که مقدار آن بر خلاف زاویه حاد به یک قاب از 0 تا 90 درجه محدود نمی شود.زاویه چرخش بر حسب درجه یا رادیان با هر عدد واقعی از - بیان می شود. ∞ به + ∞.

در این زمینه، می توانید تعریفی از سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت با یک زاویه با بزرگی دلخواه ارائه دهید. دایره واحد را در مرکز مبدأ سیستم مختصات دکارتی تصور کنید.

نقطه شروع A با مختصات (1، 0) در اطراف مرکز دایره واحد با مقداری زاویه α می چرخد و به نقطه A 1 می رود. تعریف از طریق مختصات نقطه A 1 (x, y) ارائه شده است.

سینوس (سین) زاویه چرخش

سینوس زاویه چرخش α مصداق نقطه A 1 (x,y) است. sin α = y

کسینوس (cos) زاویه چرخش

کسینوس زاویه چرخش α آبسیسا نقطه A 1 (x,y) است. cos α = x

زاویه چرخش مماس (tg).

مماس زاویه چرخش α نسبت مختصات نقطه A 1 (x, y) به آبسیسا آن است. t g α = y x

کوتانژانت (ctg) زاویه چرخش

کوتانژانت زاویه چرخش α نسبت آبسیسا نقطه A 1 (x, y) به مختصات آن است. c t g α = x y

سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخش تعریف می شوند. این منطقی است، زیرا ابسیسا و مختصات یک نقطه پس از چرخش را می توان در هر زاویه ای تعیین کرد. وضعیت با مماس و کتانژانت متفاوت است. وقتی نقطه پس از چرخش به نقطه صفر (0، 1) و (0، - 1) برود، مماس تعریف نمی شود. در چنین مواردی، بیان مماس t g α = y x به سادگی معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. وضعیت مشابه با کوتانژانت است. تفاوت در این است که زمانی که مختصات یک نقطه ناپدید می شود، کوتانژانت تعریف نمی شود.

مهم به یاد داشته باشید!

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می شوند.

مماس برای همه زوایا تعریف می شود به جز α = 90 درجه + 180 درجه k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z)

کوتانژانت برای همه زوایا به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

هنگام حل مثال های عملی، "سینوس زاویه چرخش α" را نگویید. کلمات "زاویه چرخش" به سادگی حذف شده اند، به این معنی که از متن مشخص است که در مورد چیست.

شماره

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد و نه زاویه چرخش چیست؟

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک عدد

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد تیعددی است که به ترتیب برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت در است تیرادیان

به عنوان مثال، سینوس 10 π برابر است با سینوس زاویه چرخش 10 π rad.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. بیایید آن را با جزئیات بیشتر در نظر بگیریم.

هر عدد واقعی تییک نقطه روی دایره واحد با مرکزی در مبدا یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل اختصاص داده شده است. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعریف می شوند.

نقطه شروع روی دایره نقطه A با مختصات (1، 0) است.

یک عدد مثبت تی

عدد منفی تیمربوط به نقطه ای است که نقطه شروع اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت در امتداد دایره حرکت کند و مسیر t را طی کند، به آن می رسد.

اکنون که ارتباط بین عدد و نقطه روی دایره برقرار شد، به تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت می‌پردازیم.

سینوس (گناه) تی

سینوس عدد تیترتیب نقطه دایره واحد مربوط به عدد است تی sin t = y

کسینوس (cos) عدد t

عدد کسینوس تیآبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد است تی cos t = x

مماس (tg) عدد t

مماس عدد تی- نسبت مجمل به آبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد تی t g t = y x = گناه t cos t

تعاریف اخیر با تعریف ارائه شده در ابتدای این بند مطابقت دارد و منافاتی ندارد. نقطه روی دایره مربوط به عدد تی، منطبق بر نقطه ای است که نقطه شروع پس از چرخش یک زاویه به آن می رود تیرادیان

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

هر مقدار از زاویه α مربوط به مقدار مشخصی از سینوس و کسینوس این زاویه است. و همچنین تمام زوایای α غیر از α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) مقدار مشخصی از مماس مطابقت دارد. کوتانژانت، همانطور که در بالا ذکر شد، برای همه α تعریف شده است، به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z).

می توان گفت sin α، cos α، tg α، c tg α توابعی از زاویه آلفا یا توابعی از آرگومان زاویه ای هستند.

به طور مشابه، می توانید در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان توابعی از یک آرگومان عددی صحبت کنید. به هر عدد واقعی تیمربوط به مقدار خاصی از سینوس یا کسینوس یک عدد است تی... همه اعداد غیر از π 2 + π · k، k ∈ Z، با مقدار مماس مطابقت دارند. کوتانژانت به طور مشابه برای همه اعداد به جز π k, k ∈ Z تعریف شده است.

توابع اصلی مثلثات

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع مثلثاتی اساسی هستند.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که با کدام آرگومان تابع مثلثاتی (آگومان زاویه یا آرگومان عددی) سروکار داریم.

بیایید به داده های همان ابتدای تعاریف و زاویه آلفا بازگردیم که در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد. تعاریف مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت کاملاً با تعاریف هندسی ارائه شده با استفاده از نسبت های یک مثلث قائم الزاویه مطابقت دارد. بیایید آن را نشان دهیم.

دایره واحد را در مرکز یک سیستم مختصات دکارتی مستطیل شکل بگیرید. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را با زاویه تا 90 درجه بچرخانیم و از نقطه حاصل A 1 (x, y) عمود بر محور آبسیسا بکشیم. در مثلث قائم الزاویه حاصل، زاویه A 1 O H برابر با زاویه چرخش α است، طول ساق O H برابر با آبسیسا نقطه A 1 (x, y) است. طول پای مقابل گوشه برابر با مختص نقطه A 1 (x, y) و طول هیپوتنوس برابر با یک است، زیرا شعاع دایره واحد است.

طبق تعریف هندسه، سینوس زاویه α برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

این بدان معنی است که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه از طریق نسبت ابعاد معادل با تعیین سینوس زاویه چرخش α است که آلفا در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد.

به طور مشابه، مطابقت تعاریف را می توان برای کسینوس، مماس و کوتانژانت نشان داد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

مفاهیم سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مقوله های اصلی مثلثات - شاخه ای از ریاضیات هستند و به طور جدایی ناپذیری با تعریف زاویه مرتبط هستند. داشتن این علم ریاضی مستلزم حفظ و درک فرمول ها و قضایا و همچنین تفکر فضایی توسعه یافته است. به همین دلیل است که محاسبات مثلثاتی اغلب برای دانش آموزان و دانش آموزان مشکل ایجاد می کند. برای غلبه بر آنها باید با توابع و فرمول های مثلثاتی با جزئیات بیشتری آشنا شوید.

مفاهیم در مثلثات

برای درک مفاهیم اولیه مثلثات، ابتدا باید مشخص کنید که مثلث قائم الزاویه و زاویه در یک دایره چیست و چرا تمام محاسبات مثلثاتی اولیه با آنها مرتبط است. مثلثی که یکی از گوشه های آن 90 درجه باشد مستطیل است. از نظر تاریخی، این رقم اغلب توسط مردم در معماری، ناوبری، هنر، نجوم استفاده می شد. بر این اساس، با مطالعه و تجزیه و تحلیل ویژگی های این رقم، افراد به محاسبه نسبت های مربوط به پارامترهای آن رسیدند.

دسته های اصلی مرتبط با مثلث های قائم الزاویه، هیپوتنوز و پاها هستند. هیپوتنوز ضلع مثلث مقابل زاویه قائمه است. پاها به ترتیب دو طرف دیگر هستند. مجموع زوایای هر مثلثی همیشه 180 درجه است.

مثلثات کروی بخشی از مثلثات است که در مدرسه مطالعه نمی شود، اما در علوم کاربردی مانند نجوم و زمین شناسی، دانشمندان از آن استفاده می کنند. ویژگی یک مثلث در مثلثات کروی این است که همیشه مجموع زوایای آن بیش از 180 درجه است.

زوایای یک مثلث

در مثلث قائم الزاویه، سینوس یک زاویه، نسبت ساق مخالف به زاویه مورد نظر به هیپوتنوز مثلث است. بر این اساس، کسینوس نسبت پای مجاور و هیپوتنوز است. هر دوی این مقادیر همیشه کمتر از یک هستند، زیرا هیپوتنوز همیشه از ساق بلندتر است.

مماس یک زاویه مقداری است برابر با نسبت پایه مقابل به پایه مجاور زاویه مورد نظر یا سینوس به کسینوس. کوتانژانت به نوبه خود، نسبت پایه مجاور زاویه مورد نظر به پای مقابل است. با تقسیم یک بر مقدار مماس هم می‌توان هم‌تانژانت یک زاویه را بدست آورد.

دایره واحد

دایره واحد در هندسه دایره ای است که شعاع آن برابر با یک است. چنین دایره ای در یک سیستم مختصات دکارتی ساخته می شود، در حالی که مرکز دایره با نقطه مبدا منطبق است و موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور X (ابسیسا) تعیین می شود. هر نقطه از دایره دو مختصات دارد: XX و YY، یعنی مختصات ابسیساها و مختصات. با انتخاب هر نقطه از دایره در صفحه XX و رها کردن عمود از آن به محور آبسیسا، یک مثلث قائم الزاویه به دست می‌آوریم که از شعاع نقطه انتخاب شده (که با حرف C مشخص می‌شود)، با عمود رسم شده به آن، تشکیل می‌شود. محور X (نقطه تقاطع با حرف G نشان داده می شود)، و یک قطعه از محور آبسیسا بین مبدا (نقطه با حرف A مشخص شده است) و نقطه تقاطع G. مثلث حاصل ACG قائم الزاویه است. مثلث محاط شده در یک دایره، که در آن AG هیپوتانوس است، و AC و GC پاها هستند. زاویه بین شعاع دایره AC و بخش محور آبسیسا با نام AG را به عنوان α (آلفا) تعریف می کنیم. بنابراین، cos α = AG / AC. با توجه به اینکه AC شعاع دایره واحد است و برابر با یک است، معلوم می شود که cos α = AG. به طور مشابه، sin α = CG.

علاوه بر این، با دانستن این داده ها، می توان مختصات نقطه C را روی دایره تعیین کرد، زیرا cos α = AG، و sin α = CG، به این معنی که نقطه C دارای مختصات داده شده است (cos α؛ sin α). با دانستن اینکه مماس برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، می توانیم تعیین کنیم که tg α = y / x و ctg α = x / y. با در نظر گرفتن زوایای یک سیستم مختصات منفی، می توانید محاسبه کنید که مقادیر سینوس و کسینوس برخی از زوایا ممکن است منفی باشد.

محاسبات و فرمول های اساسی

مقادیر توابع مثلثاتی

با در نظر گرفتن ماهیت توابع مثلثاتی از طریق دایره واحد، می توانید مقادیر این توابع را برای برخی زوایا استخراج کنید. مقادیر در جدول زیر آمده است.

ساده ترین هویت های مثلثاتی

معادلاتی که در آنها یک مقدار مجهول در زیر علامت تابع مثلثاتی وجود دارد، مثلثاتی می گویند. هویت هایی با مقدار sin х = α، k هر عدد صحیحی است:

sin x = 0، x = πk.
2.sin x = 1، x = π / 2 + 2πk.
sin x = -1، x = -π / 2 + 2πk.
گناه x = a، | a | > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
گناه x = a، | a | ≦ 1، x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

هویت هایی با مقدار cos x = a که k هر عدد صحیحی است:

cos x = 0، x = π / 2 + πk.
cos x = 1، x = 2πk.
cos x = -1، x = π + 2πk.
cos x = a، | a | > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
cos x = a، | a | ≦ 1، x = ± arccos α + 2πk.

هویت هایی با مقدار tg x = a، که در آن k هر عدد صحیح است:

tg x = 0، x = π / 2 + πk.
tg x = a، x = آرکتان α + πk.

هویت هایی با مقدار ctg x = a، که در آن k هر عدد صحیح است:

ctg x = 0، x = π / 2 + πk.
ctg x = a، x = arcctg α + πk.

فرمول های ریخته گری

این دسته از فرمول‌های ثابت روش‌هایی را نشان می‌دهند که می‌توان از آنها برای تغییر از توابع مثلثاتی شکل به توابع یک آرگومان استفاده کرد، یعنی سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه با هر مقدار را به شاخص‌های مربوطه از زاویه فاصله از 0 تا 90 درجه برای راحتی بیشتر محاسبات.

فرمول تبدیل توابع برای سینوس زاویه به صورت زیر است:

گناه (900 - α) = α;
sin (900 + α) = cos α;
sin (1800 - α) = گناه α;
sin (1800 + α) = -sin α;
sin (2700 - α) = -cos α;
sin (2700 + α) = -cos α;
sin (3600 - α) = -sin α;
sin (3600 + α) = گناه α.

برای کسینوس یک زاویه:

cos (900 - α) = گناه α;
cos (900 + α) = -sin α;
cos (1800 - α) = -cos α;
cos (1800 + α) = -cos α;
cos (2700 - α) = -sin α;
cos (2700 + α) = sin α;
cos (3600 - α) = cos α;
cos (3600 + α) = cos α.

استفاده از فرمول های فوق با رعایت دو قانون امکان پذیر است. ابتدا، اگر زاویه را بتوان به عنوان یک مقدار (π / 2 ± a) یا (3π / 2 ± a) نشان داد، مقدار تابع تغییر می کند:

از گناه به cos;
از cos به گناه;
از tg به ctg؛
از ctg به tg.

اگر بتوان زاویه را به صورت (π ± a) یا (2π ± a) نشان داد، مقدار تابع بدون تغییر باقی می ماند.

ثانیاً، علامت تابع کاهش یافته تغییر نمی کند: اگر در ابتدا مثبت بود، همچنان باقی می ماند. به همین ترتیب با توابع منفی.

فرمول های اضافه

این فرمول ها مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه چرخش را بر حسب توابع مثلثاتی بیان می کنند. زاویه ها معمولاً به عنوان α و β شناخته می شوند.

فرمول ها به این شکل هستند:

sin (α ± β) = گناه α * cos β ± cos α * گناه.
cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg (α ± β) = (1-± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

این فرمول ها برای هر مقدار از زوایای α و β معتبر هستند.

فرمول های دو و سه زاویه

فرمول های مثلثاتی دو و سه زاویه فرمول هایی هستند که به ترتیب توابع زوایای 2α و 3α را با توابع مثلثاتی زاویه α مرتبط می کنند. برگرفته از فرمول های جمع:

sin2α = 2sinα * cosα.
cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

انتقال از جمع به محصول

با در نظر گرفتن اینکه 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y) با ساده کردن این فرمول ، هویت sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 را بدست می آوریم. به طور مشابه، sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2؛ cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = گناه (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

حرکت از کار به جمع

این فرمول ها از هویت های انتقال مجموع به محصول به دست می آیند:

sinα * sinβ = 1/2 *;
cosα * cosβ = 1/2 *;
sinα * cosβ = 1/2 *.

فرمول های کاهش درجه

در این هویت ها، توان های مربع و مکعب سینوس و کسینوس را می توان بر حسب سینوس و کسینوس توان اول زاویه چندگانه بیان کرد:

sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

جایگزینی جهانی

فرمول های جانشینی مثلثاتی جهانی، توابع مثلثاتی را بر حسب مماس نیم زاویه بیان می کنند.

sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2)، در حالی که x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2)، که در آن x = π + 2πn;
tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2)، که در آن x = π + 2πn;
ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2)، در حالی که x = π + 2πn.

موارد خاص

موارد خاص از ساده ترین معادلات مثلثاتی در زیر آورده شده است (k هر عدد صحیحی است).

خصوصی برای سینوس:

مقدار Sin x	مقدار X
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk یا 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk یا -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk یا 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk یا -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk یا 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk یا -2π / 3 + 2πk

ضرایب کسینوس عبارتند از:

مقدار Cos x	مقدار X
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

خصوصی برای مماس:

مقدار Tg x	مقدار X
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

خصوصی برای کوتانژانت:

مقدار Ctg x	مقدار X
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

قضایا

قضیه سینوس

دو نسخه از قضیه وجود دارد - ساده و توسعه یافته. قضیه ساده سینوس ها: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. در این حالت، a، b، c اضلاع مثلث هستند و α، β، γ به ترتیب زوایای مخالف هستند.

قضیه سینوس بسط یافته برای یک مثلث دلخواه: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. در این هویت، R نشان دهنده شعاع دایره ای است که مثلث داده شده در آن حک شده است.

قضیه کسینوس

هویت به صورت زیر نمایش داده می شود: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. در فرمول a,b,c اضلاع مثلث و α زاویه مقابل ضلع a است.

قضیه مماس

فرمول رابطه بین مماس های دو زاویه و طول اضلاع مقابل آنها را بیان می کند. اضلاع به صورت a، b، c نشان داده می شوند و زوایای مقابل مربوطه عبارتند از α، β، γ. فرمول قضیه مماس به این صورت است: (a - b) / (a + b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

قضیه کتانژانت

شعاع دایره ای که به صورت مثلث محاط شده است را به طول اضلاع آن متصل می کند. اگر a، b، c اضلاع مثلث و A، B، C به ترتیب زوایای مقابل باشند، r شعاع دایره محاطی و p نیمه محیط مثلث است، هویت های زیر است. معتبر هستند:

ctg A / 2 = (p-a) / r;
ctg B / 2 = (p-b) / r;
ctg C / 2 = (p-c) / r.

اپلیکیشن کاربردی

مثلثات فقط یک علم نظری مربوط به فرمول های ریاضی نیست. خواص، قضایا و قواعد آن در عمل توسط شاخه های مختلف فعالیت های انسانی استفاده می شود - نجوم، ناوبری هوایی و دریایی، تئوری موسیقی، ژئودزی، شیمی، آکوستیک، اپتیک، الکترونیک، معماری، اقتصاد، مهندسی مکانیک، کار اندازه گیری، گرافیک کامپیوتری، نقشه کشی، اقیانوس شناسی، و بسیاری دیگر.

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مفاهیم اولیه مثلثات هستند که به کمک آنها می توان رابطه بین زوایا و طول اضلاع یک مثلث را به صورت ریاضی بیان کرد و از طریق هویت ها، قضایا و قواعد کمیت های مورد نیاز را پیدا کرد.