متوازی الاضلاع. متوازی الاضلاع چگونه ارتفاع پایین تر متوازی الاضلاع را پیدا کنیم

چگونه ارتفاع متوازی الاضلاع را با دانستن برخی از پارامترهای دیگر آن تعیین کنیم؟ مانند مساحت، طول مورب ها و اضلاع، بزرگی زوایا.

شما نیاز خواهید داشت

ماشین حساب

دستورالعمل ها

در مسائل هندسه، به طور دقیق تر در پلان سنجی و مثلثات، گاهی اوقات لازم است که ارتفاع متوازی الاضلاع را بر اساس مقادیر داده شده اضلاع، زوایا، مورب ها و غیره پیدا کنیم.

برای یافتن ارتفاع متوازی الاضلاع، با دانستن مساحت آن و طول قاعده، باید از قانون تعیین مساحت متوازی الاضلاع استفاده کنید. همانطور که می دانید مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب ارتفاع و طول قاعده:

S - ناحیه متوازی الاضلاع،

الف - طول قاعده متوازی الاضلاع،

h طول ارتفاعی است که به سمت a، (یا به ادامه آن) پایین آمده است.

از اینجا متوجه می شویم که ارتفاع متوازی الاضلاع برابر با مساحت تقسیم بر طول قاعده خواهد بود:

مثلا،

داده شده: مساحت متوازی الاضلاع 50 سانتی متر مربع، پایه 10 سانتی متر است -

پیدا کردن: ارتفاع متوازی الاضلاع.

h = 50/10 = 5 (سانتی متر).

از آنجایی که ارتفاع متوازی الاضلاع، قسمت قاعده و ضلع مجاور قاعده یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند، می توان از برخی نسبت ها و زوایای مثلث قائم الزاویه برای یافتن ارتفاع متوازی الاضلاع استفاده کرد.

اگر ضلع متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع h (DE) d (AD) و زاویه A (BAD) مخالف ارتفاع شناخته شود، محاسبه ارتفاع متوازی الاضلاع باید در طول متوازی الاضلاع ضرب شود. کنار سینوس زاویه مقابل:

به عنوان مثال، اگر d = 10 سانتی متر، و زاویه A = 30 درجه، پس

H = 10 * گناه (30؟) = 10 * 1/2 = 5 (سانتی متر).

اگر در شرایط مسئله، طول ضلع متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع h (DE) و طول قسمتی از قاعده قطع شده با ارتفاع (AE) مشخص شود، ارتفاع متوازی الاضلاع می تواند با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می شود:

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2، از آنجا تعریف می کنیم:

h = | ED | =؟ (| بعد از میلاد | ^ 2- | AE | ^ 2)،

آن ها ارتفاع متوازی الاضلاع برابر است با جذر اختلاف بین مربع های طول ضلع مجاور و قسمتی از قاعده که با ارتفاع قطع شده است.

به عنوان مثال، اگر طول ضلع مجاور 5 سانتی متر و طول قسمت برش پایه 3 سانتی متر باشد، طول ارتفاع خواهد بود:

h =؟ (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (سانتی متر).

اگر طول مورب (DВ) متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع و طول قسمتی از قاعده قطع شده توسط ارتفاع (BE) مشخص باشد، می توان ارتفاع متوازی الاضلاع را نیز با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد. :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2، از آنجا تعریف می کنیم:

h = | ED | =؟ (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2)،

آن ها ارتفاع متوازی الاضلاع برابر است با ریشه دوم اختلاف بین مربع های طول قطر مجاور و ارتفاع برش (و مورب) قسمت پایه.

به عنوان مثال، اگر طول ضلع مجاور 5 سانتی متر و طول قسمت برش پایه 4 سانتی متر باشد، طول ارتفاع خواهد بود:

h =؟ (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (سانتی متر).

ارتفاع چند ضلعی یک پاره خط مستقیم عمود بر یکی از اضلاع شکل است که آن را به راس گوشه مقابل متصل می کند. چندین قطعه از این قبیل در یک شکل محدب مسطح وجود دارد و اگر حداقل یکی از اضلاع چند ضلعی اندازه متفاوتی داشته باشد، طول آنها یکسان نیست. بنابراین، در مسائل مربوط به درس هندسه، گاهی اوقات لازم است که طول یک ارتفاع بیشتر، به عنوان مثال، یک مثلث یا متوازی الاضلاع تعیین شود.

دستورالعمل ها

تعیین کنید که کدام یک از ارتفاعات چند ضلعی باید بیشترین طول را داشته باشد. در یک مثلث، این قطعه به کوتاه ترین ضلع کاهش یافته است، بنابراین اگر ابعاد هر سه ضلع در شرایط اولیه داده شود، دیگر نیازی به حدس زدن نیست.

اگر علاوه بر طول کوتاهترین اضلاع مثلث (الف)، در شرایط، مساحت (S) شکل نیز داده شود، فرمول محاسبه بزرگترین ارتفاع (H?) خواهد بود. کاملا ساده مساحت را دو برابر کنید و مقدار حاصل را بر طول ضلع کوتاه تقسیم کنید - این ارتفاع مورد نظر خواهد بود: H؟ = 2 * S / a.

بدون دانستن مساحت، اما با داشتن طول تمام ضلع های مثلث (a، b و c)، می توانید طولانی ترین ارتفاع آن را نیز بیابید، اما عملیات ریاضی بسیار بیشتری وجود خواهد داشت. با محاسبه یک مقدار کمکی - نیم محیط (p) شروع کنید. برای انجام این کار، طول تمام اضلاع را اضافه کنید و نتیجه را به نصف تقسیم کنید: p = (a + b + c) / 2.

نیم محیط را سه برابر در اختلاف بین آن و هر ضلع ضرب کنید: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). از مقدار حاصل، ریشه مربع را استخراج کنید؟ (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) و تعجب نکنید - از فرمول Heron برای پیدا کردن مساحت مثلث استفاده کردید. برای تعیین طول بزرگترین ارتفاع، باید مساحت فرمول را از مرحله دوم با عبارت حاصل جایگزین کرد: H? = 2 *؟ (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

اگر مساحت این شکل (S) و طول ضلع کوتاه آن (a) مشخص باشد، ارتفاع متوازی الاضلاع بزرگ (H?) حتی ساده تر محاسبه می شود. اولی را بر دوم تقسیم کنید و به نتیجه دلخواه می رسید: H؟ = S / a.

اگر مقدار زاویه (؟) را در هر یک از رئوس متوازی الاضلاع و همچنین طول اضلاع (a و b) تشکیل دهنده این زاویه را بدانید، پیدا کردن بزرگترین ارتفاع کار چندان دشواری نخواهد بود. . برای انجام این کار، مقدار ضلع بلند را در سینوس زاویه شناخته شده ضرب کنید و نتیجه را بر طول ضلع کوتاه تقسیم کنید: H? = ب * گناه (؟) / الف.

که در آن اضلاع مقابل موازی هستند. اگر متوازی الاضلاع تمام زوایای آن قائم باشد، آن متوازی الاضلاع را مستطیل و مستطیلی که همه اضلاع آن برابر است، مربع نامیده می شود.

همه متوازی الاضلاع دارای ویژگی های زیر هستند:

اضلاع مقابل برابرند:
AB = سی دیو قبل از میلاد مسیح = DA
زوایای مقابل برابر هستند:
∠ABC = ∠CDAو ∠ DAB = ∠BCD
مجموع زوایای مجاور یک ضلع 180 درجه است:
∠ABC + ∠BCD= 180 درجه
∠BCD + ∠CDA= 180 درجه
∠CDA + ∠DAB= 180 درجه
∠DAB + ∠ABC= 180 درجه
در نقطه تقاطع، قطرها نصف می شوند:
AO = OCو BO = OD
هر مورب متوازی الاضلاع را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند:
Δ ABC = Δ CDAو Δ ABD = Δ BCD
نقطه تقاطع مورب ها مرکز تقارن متوازی الاضلاع است:
نقطه Oمرکز تقارن است.

ارتفاع

زیر متوازی الاضلاع آن را می گویند اساس، و عمود بر قاعده از هر نقطه در طرف مقابل افتاده است ارتفاع.

آگهیقاعده متوازی الاضلاع است، ساعت- ارتفاع

ارتفاع بیانگر فاصله دو طرف مقابل است، بنابراین تعریف ارتفاع را می توان به صورت زیر بیان کرد: ارتفاع متوازی الاضلاععمودی است که از هر نقطه در یک طرف به طرف مقابل افتاده است.

مربع

برای اندازه گیری مساحت متوازی الاضلاع، می توانید آن را به صورت مستطیل نشان دهید. متوازی الاضلاع را در نظر بگیرید آ ب پ ت:

ارتفاعات ساخته شده بودنو CFیک مستطیل تشکیل دهید EBCFو دو مثلث: Δ ABEو Δ DCF... متوازی الاضلاع آ ب پ تاز یک چهار ضلعی تشکیل شده است EBCDو مثلث ABE، مستطیل EBCFاز همان چهار ضلعی و مثلث تشکیل شده است DCF... مثلثها ABEو DCFمساوی هستند (طبق چهارمین معیار تساوی مثلث های قائم الزاویه) به این معنی که مساحت مستطیل متوازی الاضلاع برابر است، زیرا از قطعات مساوی تشکیل شده است.

بنابراین، متوازی الاضلاع را می توان به صورت مستطیلی با قاعده و ارتفاع یکسان نشان داد. و از آنجایی که طول پایه و ارتفاع برای یافتن مساحت مستطیل ضرب می شود، به این معنی است که برای یافتن مساحت متوازی الاضلاع باید همین کار را انجام دهید:

مربع آ ب پ ت = آگهی · بودن

از این مثال می توان نتیجه گرفت که مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب قاعده آن در ارتفاع... فرمول کلی:

اس = آه

جایی که اسمساحت متوازی الاضلاع است، آ- پایه، ساعت- ارتفاع

مورب متوازی الاضلاع رسم شده از بالای زاویه منفرد و زوایایی که با اضلاع متوازی الاضلاع ایجاد می کند را بیابید. با استفاده از قضیه کسینوس، می توانید نیمسازهای متوازی الاضلاع را در اضلاع پیدا کنید. اگر مقدار زاویه (α) را در هر یک از رئوس متوازی الاضلاع و همچنین طول اضلاع (a و b) تشکیل دهنده این زاویه را بدانید، پیدا کردن بزرگترین آن کار چندان دشواری نخواهد بود. ارتفاعات.

اگر علاوه بر طول کوتاهترین اضلاع مثلث (a)، شرایط مساحت (S) شکل را نیز بدهد، فرمول محاسبه بزرگتر از ارتفاعات (Hₐ) بسیار ساده خواهد بود. بدون دانستن مساحت، اما با داشتن طول تمام ضلع های مثلث (a، b و c)، می توانید طولانی ترین ارتفاع آن را نیز بیابید، اما عملیات ریاضی بسیار بیشتری وجود خواهد داشت. با محاسبه یک مقدار کمکی - نیم محیط (p) شروع کنید. برای انجام این کار، طول تمام اضلاع را اضافه کنید و نتیجه را به نصف تقسیم کنید: p = (a + b + c) / 2.

از مقدار حاصل، ریشه مربع √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) را استخراج کنید و تعجب نکنید - از فرمول Heron برای پیدا کردن مساحت مثلث استفاده کردید. برای تعیین طول بزرگترین ارتفاع، باید منطقه را در فرمول از مرحله دوم با عبارت حاصل جایگزین کنید: Hₐ = 2 * √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

توجه داشته باشید. این بخشی از درس با مسائل هندسه (متوازی الاضلاع مقطع) است. همچنین ببینید: ویژگی ها و مساحت متوازی الاضلاع. سپس با دانستن یکی از زوایا، بسته به اینکه چه ارتفاعی داده شده است، آن را از 180 درجه کم می کنیم تا دومی را پیدا کنیم. با استفاده از همان قضیه کسینوس، می توانید زاویه بین مورب ها را در یکی از چهار مثلث تشکیل شده توسط آنها پیدا کنید، جایی که اضلاع نیمی از مورب ها و یکی از اضلاع متوازی الاضلاع هستند.

ما در اینجا افراد زیادی داریم که به شما کمک می کنند همچنین آخرین سوال من در کمتر از 10 دقیقه حل شد: D به هر حال می توانید وارد شوید و سعی کنید سوال خود را اضافه کنید. متوازی الاضلاع نوعی چهار ضلعی است و ارتفاع آن عمود از راس به طرف مقابل است.

نیم محیط را سه برابر در اختلاف بین آن و هر ضلع ضرب کنید: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). برای انجام این کار، مقدار ضلع بلند را در سینوس زاویه شناخته شده ضرب کنید و نتیجه را بر طول ضلع کوتاه تقسیم کنید: Hₐ = b * sin (α) / a. نتایج USE نه تنها به دانش و مهارت های فارغ التحصیل بستگی دارد: همچنین پر کردن صحیح ...

کمک رایگان در انجام تکالیف

اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. شما باید یاد بگیرید که چگونه سوال را به درستی و به طور کامل فرموله کنید. لازم است شرایط مشکل را به طور کامل بنویسید. یک مثلث متساوی الساقین در نظر گرفته می شود، زیرا از ویژگی های نیمساز و مجموع زوایای یک مثلث نتیجه می شود که زوایای قاعده چنین مثلثی همسو هستند. لطفا به من کمک کنید تا یک مشکل را حل کنم.

بنابراین، در مسائل مربوط به درس هندسه، گاهی اوقات لازم است که طول یک ارتفاع بیشتر، به عنوان مثال، یک مثلث یا متوازی الاضلاع تعیین شود. محیط متوازی الاضلاع با دانستن اضلاع، مانند مجموع دو برابر شده آنها به نظر می رسد و مساحت حاصلضرب ارتفاع و ضلعی است که به وسیله آن پایین آمده است.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع متضاد و متوازی به هم دارد.

ارتفاع متوازی الاضلاع خطی است که بر یک ضلع متوازی الاضلاع عمود است و آن ضلع را به زاویه مقابل متصل می کند.

برای اینکه بفهمیم چگونه طول ارتفاع متوازی الاضلاع را پیدا کنیم، اجازه دهید به فرمول ها بپردازیم. قد اغلب با حرف h نشان داده می شود.

روش یافتن ارتفاع به مقادیری که در کار می دانیم بستگی دارد. بیایید روش های مختلف را با مثال های خاص در نظر بگیریم.

مثال 1

مساحت (S) و طول قاعده (a) آورده شده است.

فرمول: h = S / a

مثال: مساحت متوازی الاضلاع 100 سانتی متر مربع است، پایه ای که ارتفاع به آن کشیده شده است 20 سانتی متر است. ارتفاع را پیدا کنید.

h = 100/20 = 5
جواب: 5 سانتی متر

مثال 2

طول ضلع متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع (b) و زاویه مقابل خود ارتفاع (a) آورده شده است.

فرمول: h = b * sin a

مثال: بیایید متوازی الاضلاع خود را با حروف ABCD نشان دهیم، ارتفاع BE از زاویه ABC به سمت AD می گذرد. طول ضلع AB 20 سانتی متر، زاویه BAD 30 درجه است. ارتفاع را پیدا کنید

h = 20 * sin 30 ° = 20 * 0.5 = 10

جواب: 10 سانتی متر

مثال 3

طول ضلع متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع (n) و طول ضلع بریده شده از قاعده (m) آورده شده است.

h = ریشه (n 2 - m 2)

مثال: در متوازی الاضلاع ABCD، ارتفاع BE از زاویه ABC به سمت AD می رود. طول AB 5 سانتی متر، طول AE 3 سانتی متر است. ارتفاع را پیدا کنید.

h = ریشه (AD 2 - AB 2)
h = ریشه (5 2 -3 2) = 4
جواب: 4 سانتی متر

مثال 4

طول قطری که از همان زاویه امتداد می یابد با ارتفاع (d) و طول ضلع بریده شده از پایه (m) آورده شده است.

h = ریشه (d 2 - m 2)

مثال: در متوازی الاضلاع ABCD، ارتفاع BE از زاویه ABC به سمت AD می رود. قطر BD 5 سانتی متر، طول ED = 4 سانتی متر است.

h = ریشه (BD 2 - ED 2)
h = ریشه (5 2 - 4 2) = 3
جواب: 3 سانتی متر

اگر در کار نیاز به یافتن ارتفاع متوازی الاضلاع بزرگ باشد، باید طول هر دو ارتفاع را محاسبه کرده و بزرگترین مقدار را انتخاب کنید.

شما نیاز خواهید داشت

ماشین حساب

دستورالعمل ها

1. در مسائل هندسه، یا بهتر است بگوییم در پلان سنجی و مثلثات، گاهی اوقات لازم است که ارتفاع متوازی الاضلاع را بر اساس مقادیر داده شده اضلاع، زوایا، مورب ها و غیره پیدا کنیم. مساحت متوازی الاضلاع، همانطور که مشخص است، برابر است با حاصل ضرب ارتفاع در طول قاعده: S = a * h، که در آن: S مساحت متوازی الاضلاع است، a طول آن است. قاعده متوازی الاضلاع، h طول ارتفاع کاهش یافته به ضلع a، (یا ادامه آن) است که ارتفاع متوازی الاضلاع برابر با مساحت تقسیم بر طول قاعده خواهد بود: h = S / a برای به عنوان مثال، با توجه به: مساحت متوازی الاضلاع 50 سانتی متر مربع، پایه 10 سانتی متر است؛ پیدا کنید: ارتفاع متوازی الاضلاع h = 50/10 = 5 (سانتی متر).

2. از آنجایی که ارتفاع متوازی الاضلاع، قسمتی از قاعده و ضلع مجاور قاعده یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می دهند، می توان از برخی نسبت ها و زوایای مثلث قائم الزاویه برای یافتن ارتفاع متوازی الاضلاع استفاده کرد. BAD)، سپس با محاسبه ارتفاع متوازی الاضلاع، باید طول ضلع مجاور را در سینوس زاویه مقابل ضرب کنید: h = d * sinA، مثلاً اگر d = 10 سانتی متر، و زاویه A = 30 درجه، سپس H = 10 * sin (30؟) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

3. اگر در شرایط مسئله، طول ضلع متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع h (DE) و طول قسمتی از قاعده قطع شده با ارتفاع (AE) مشخص شود، ارتفاع متوازی الاضلاع می تواند با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می شود: | AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2، از آنجا تعریف می کنیم: h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2)، یعنی ارتفاع متوازی الاضلاع برابر است با جذر اختلاف بین مربع های طول ضلع مجاور و ارتفاع برش قسمت قاعده، مثلاً اگر طول ضلع مجاور 5 سانتی متر باشد، و طول قسمت بریده پایه 3 سانتی متر است، سپس طول ارتفاع خواهد بود: h =? (5 ^ 2- 3 ^ 2) = 4 (cm).

4. اگر طول مورب (DB) متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع و طول قسمت قاعده (BE) بریده شده توسط ارتفاع معروف باشد، در این صورت می توان ارتفاع متوازی الاضلاع را نیز با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد. : | BE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | BD | ^ 2، از آنجا تعریف می کنیم: h = | ED | =؟ (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2)، یعنی. ارتفاع متوازی الاضلاع برابر است با ریشه دوم اختلاف بین مربع های طول قطر مجاور و ارتفاع برش (و مورب) قسمت پایه. ضلع 5 سانتی متر است و طول قسمت برش پایه 4 سانتی متر است، سپس طول ارتفاع خواهد بود: h =? ( 5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm).

ارتفاع یک چند ضلعی یک پاره خط مستقیم عمود بر یکی از اضلاع شکل است که آن را به راس گوشه مقابل متصل می کند. چندین قطعه از این قبیل در یک شکل محدب مسطح وجود دارد، و طول آنها یکسان نیست، اگر حداقل یکی از اضلاع چند ضلعی نسبت به بقیه اندازه خوبی داشته باشد. در نتیجه، در مسائل مربوط به درس هندسه، گاهی اوقات لازم است که طول یک ارتفاع بیشتر، مثلاً یک مثلث یا متوازی الاضلاع، تعیین شود.

دستورالعمل ها

1. تعیین کنید که کدام یک از ارتفاعات چند ضلعی باید بیشترین طول را داشته باشد. در یک مثلث، این قطعه ای است که به کوتاه ترین ضلع پایین آمده است، بنابراین اگر شرایط اولیه اندازه هر 3 ضلع را نشان دهد، دیگر لازم نیست حدس بزنید.

2. اگر علاوه بر طول کوتاهترین اضلاع مثلث (a)، شرایط مساحت (S) شکل را نیز بدست آورد، فرمول محاسبه بزرگتر از ارتفاعات (H?) نسبتاً ابتدایی خواهد بود. مساحت را دو برابر کنید و مقدار حاصل را بر طول ضلع کوتاه تقسیم کنید - این ارتفاع مورد نظر خواهد بود: H؟ = 2 * S / a.

3. بدون دانستن مساحت، اما با داشتن طول تمام اضلاع مثلث (a، b و c)، می توان بلندترین ارتفاع آن را نیز یافت، اما عملیات ریاضی بسیار زیادتر خواهد بود. با محاسبه یک مقدار کمکی - نیم محیط (p) شروع کنید. برای انجام این کار، طول تمام اضلاع را اضافه کنید و کل را به نصف تقسیم کنید: p = (a + b + c) / 2.

4. نیم محیط را سه برابر در اختلاف بین آن و هر یک از اضلاع ضرب کنید: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). از مقدار حاصل، ریشه مربع را استخراج کنید؟ (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) و تعجب نکنید - از فرمول Heron برای پیدا کردن مساحت مثلث استفاده کردید. برای تعیین طول بزرگترین ارتفاع، باید مساحت فرمول را از مرحله دوم با عبارت حاصل جایگزین کرد: H? = 2 *؟ (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

5. اگر مساحت این شکل (S) و طول ضلع کوتاه آن (a) مشخص باشد، ارتفاع عظیم متوازی الاضلاع (H?) حتی ساده تر است. اولی را بر دوم تقسیم کنید و جمع مورد نیاز را بدست آورید: H؟ = S / a.

6. اگر مقدار زاویه (؟) را در هر یک از رئوس متوازی الاضلاع و همچنین طول اضلاع (a و b) تشکیل دهنده این زاویه بدانیم، پیدا کردن بزرگترین ارتفاع نیز دشوار نخواهد بود. . برای انجام این کار، مقدار ضلع بلند را در سینوس زاویه معروف ضرب کنید و کل را بر طول ضلع کوتاه تقسیم کنید: H؟ = ب * گناه (؟) / الف.

ویدیو های مرتبط