مثلث متساوی الساقین و اضلاع آن. ویژگی هایی که عناصر و خواص یک مثلث متساوی الساقین را تشکیل می دهند

مثلث متساوی الساقینمثلثی است که طول دو ضلع آن برابر است. اضلاع مساوی را جانبی و آخری را قاعده می نامند. طبق تعریف، مثلث متساوی الاضلاع نیز متساوی الساقین است، اما برعکس آن درست نیست.

خواص

زوایای مقابل اضلاع مساوی مثلث متساوی الساقین با یکدیگر برابرند. نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات رسم شده از این زوایا نیز برابر هستند.
نیمساز، میانه، ارتفاع و عمود بر قاعده منطبق است. مرکز دایره های منقوش و محصور روی این خط قرار دارد.
زوایای مقابل اضلاع مساوی همیشه تیز هستند (از تساوی آنها پیروی می کند).

بگذار باشد آ- طول دو ضلع مساوی یک مثلث متساوی الساقین، ب- طول ضلع سوم، α و β - زوایای مربوطه، آر- شعاع دایره محدود شده، r- شعاع حکاکی شده

اضلاع را می توان به شرح زیر یافت:

زاویه ها را می توان به روش های زیر بیان کرد:

محیط مثلث متساوی الساقین را می توان به یکی از روش های زیر محاسبه کرد:

مساحت مثلث را می توان به یکی از روش های زیر محاسبه کرد:

(فرمول هرون).

نشانه ها

دو گوشه مثلث با هم برابرند.
ارتفاع با میانه مطابقت دارد.
ارتفاع با نیمساز منطبق است.
نیمساز با میانه منطبق است.
دو قد با هم برابرند.
دو میانه با هم برابرند.
دو نیمساز برابر هستند (قضیه اشتاینر - لموس).

را نیز ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید "مثلث متساوی الساقین" در فرهنگ های دیگر چیست:

مثلث مساوی، مثلث، دارای دو ضلع مساوی در طول. زوایای این اضلاع نیز برابر است ... فرهنگ دانشنامه علمی و فنی

و (ساده) مثلث، مثلث، شوهر. 1. شکل هندسی که توسط سه خط مستقیم متقاطع که سه گوشه داخلی را تشکیل می دهند محدود شده است. مثلث مات. مثلث حاد زاویه دار. راست گوشه.… … فرهنگ توضیحی اوشاکوف

EQUAL, th, th: مثلث متساوی الساقین با دو ضلع مساوی. | اسم متساوی الساقین، و، همسران. فرهنگ توضیحی اوژگوف. S.I. اوژگوف، ن.یو. شودووا 1949 1992 ... فرهنگ توضیحی اوژگوف

مثلث- ▲ چند ضلعی که دارای سه، مثلث زاویه، ساده ترین چند ضلعی است. با 3 نقطه که روی یک خط مستقیم قرار ندارند داده می شود. مثلثی زاویه حاد. حاد زاویه دار مثلث قائم الزاویه: ساق هیپوتنوئوس. مثلث متساوی الساقین. ▼…… فرهنگ لغت ایدئوگرافیک زبان روسی

مثلث- TRIANGLE1، a، m what یا با def. جسمی به شکل یک شکل هندسی که با سه خط مستقیم متقاطع محدود شده است که سه گوشه داخلی را تشکیل می دهند. نامه های شوهرش، مثلث های زرد رنگ خط جلو را انگشت گذاشت. مثلث2، a، m ... ... فرهنگ لغت توضیحی اسامی روسی

این اصطلاح معانی دیگری دارد، مثلث (معانی) را ببینید. مثلث (در فضای اقلیدسی) شکل هندسی است که توسط سه پاره خط تشکیل شده است که سه نقطه را که روی یک خط مستقیم قرار ندارند به هم متصل می کند. سه امتیاز، ... ... ویکی پدیا

مثلث (چند ضلعی)- مثلث: 1 حاد زاویه، مستطیل و منفرد. 2 صحیح (متساوی الاضلاع) و متساوی الساقین; 3 نیمساز؛ 4 میانه و مرکز ثقل؛ 5 ارتفاع؛ 6 اورتوسنتر; 7 خط وسط. مثلث، چند ضلعی با 3 ضلع. گاهی زیر ...... فرهنگ لغت دایره المعارف مصور

فرهنگ لغت دایره المعارفی

مثلث- آ؛ متر 1) الف) شکل هندسی محدود به سه خط مستقیم متقاطع که سه گوشه داخلی را تشکیل می دهند. مستطیل، مثلث متساوی الساقین / کتان. مساحت مثلث را محاسبه کنید. ب) نماینده چی یا با دف شکل یا شیئی به این شکل ....... فرهنگ لغت بسیاری از عبارات

آ؛ متر 1. شکل هندسی محدود شده توسط سه خط مستقیم متقاطع که سه گوشه داخلی را تشکیل می دهند. مستطیل، متساوی الساقین متر مساحت مثلث را محاسبه کنید. // what یا با دف. شکل یا شیئی به این شکل. T. سقف. ت.…… فرهنگ لغت دایره المعارفی

ویژگی های مثلث متساوی الساقین.
نشانه های مثلث متساوی الساقین.
فرمول مثلث متساوی الساقین:
- فرمول های طول جانبی؛
- فرمول طول اضلاع مساوی؛
- فرمول ارتفاع، میانه، نیمساز مثلث متساوی الساقین.

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن برابر باشد. این احزاب نامیده می شوند جانبیو شخص ثالث است اساس.

AB = BC - اضلاع جانبی

AC - پایه

خواص مثلث متساوی الساقین

خواص مثلث متساوی الساقین بر حسب بیان می شود 5 قضیه:

قضیه 1.در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

اثبات قضیه:

یک متساوی الساقین Δ را در نظر بگیرید ABC با پایه مانند .

اضلاع مساوی هستند AB = آفتاب ,

بنابراین، زوایای در پایه ∠ BАC = ∠ BCA .

قضیه نیمساز، میانه، ارتفاع، کشیده شده به قاعده مثلث متساوی الساقین

قضیه 2.در مثلث متساوی الساقین، نیمساز کشیده شده به قاعده، وسط و ارتفاع است.
قضیه 3.در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده، نیمساز و ارتفاع است.
قضیه 4.در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع کشیده شده به قاعده، نیمساز و میانه است.

اثبات قضیه:

دن Δ ABC .
از نقطه V ارتفاع را نگه داریم BD.
مثلث به Δ تقسیم می شود ABD و Δ CBD. این مثلث ها مساوی هستند زیرا هیپوتانوس و پای مشترک آنها برابر است ().
مستقیم مانند و BD عمود نامیده می شوند.
B Δ ABD و Δ BCD ∠ بد = ∠ BСD (از قضیه 1).
AB = قبل از میلاد - طرفین برابر هستند
مهمانی آگهی = سی دی، از آنجا که نقطه دی بخش را به نصف تقسیم می کند.
از این رو Δ ABD = Δ BCD.
نیمساز، ارتفاع و میانه یک بخش هستند - BD

خروجی:

ارتفاع مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، میانه و نیمساز است.
میانه یک مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، ارتفاع و نیمساز است.
نیمساز مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، وسط و ارتفاع است.

یاد آوردن!هنگام حل چنین مسائلی، ارتفاع را تا قاعده مثلث متساوی الساقین پایین بیاورید. برای تقسیم آن به دو مثلث قائم الزاویه مساوی.

قضیه 5.اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها مساوی هستند.

اثبات قضیه:

دو Δ ABC و Δ A 1 B 1 C 1 داده شده است. اضلاع AB = A 1 B 1; BC = B 1 C 1; AC = A 1 C 1.

اثبات با تناقض.

اجازه دهید مثلث ها مساوی نباشند (در غیر این صورت مثلث ها در صفت اول برابر بودند).
فرض کنید Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC، که راس C 2 آن در یک نیم صفحه با راس C 1 نسبت به خط مستقیم A 1 B 1 قرار دارد. با فرض، رئوس C 1 و C 2 بر هم منطبق نیستند. فرض کنید D نقطه وسط قطعه C 1 C 2 باشد. ΔA 1 C 1 C 2 و Δ B 1 C 1 C 2 متساوی الساقین با قاعده مشترک C 1 C 2 هستند. بنابراین، میانه آنها A 1 D و B 1 D ارتفاع هستند. بنابراین، خطوط A 1 D و B 1 D بر خط C 1 C 2 عمود هستند. A 1 D و B 1 D دارای نقاط مختلف A 1 و B 1 هستند، بنابراین منطبق نیستند. اما از طریق نقطه D خط مستقیم C 1 C 2 فقط یک خط مستقیم عمود بر آن را می توان رسم کرد.
از اینجا به یک تناقض رسیدیم و قضیه را ثابت کردیم.

نشانه های مثلث متساوی الساقین

اگر دو زاویه در یک مثلث مساوی باشند.
مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.
اگر در یک مثلث، نیمساز میانه یا ارتفاع است.
اگر در مثلث باشد، میانه نیمساز یا ارتفاع است.
اگر در مثلث باشد، ارتفاع میانه یا نیمساز است.

فرمول های مثلث متساوی الساقین

ب- جانبی (پایه)
آ- اضلاع مساوی
آ - زوایای پایه
ب

فرمول های طول ضلع(زمینه - ب):

b = 2a \ sin (\ beta / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ beta)
b = 2a \ cos \ آلفا

فرمول های طول ضلع برابر - (آ):

a = \ frac (b) (2 \ sin (\ beta / 2)) = \ frac (b) (\ sqrt (2-2 \ cos \ بتا))
a = \ فراک (ب) (2 \ cos \ آلفا)

L- ارتفاع = نیمساز = میانه
ب- جانبی (پایه)
آ- اضلاع مساوی
آ - زوایای پایه
ب - زاویه تشکیل شده توسط اضلاع مساوی

فرمول های ارتفاع، نیمساز و میانه، از طریق ضلع و زاویه، ( L):

ل = گناه آ
L = \ frac (b) (2) * \ tg \ آلفا
L = a \ sqrt ((1 + \ cos \ بتا) / 2) = a \ cos (\ بتا) / 2)

فرمول ارتفاع، نیمساز و میانه، از اضلاع، ( L):

L = \ sqrt (a ^ (2) -b ^ (2) / 4)

ب- جانبی (پایه)
آ- اضلاع مساوی
ساعت- ارتفاع

فرمول مساحت مثلث بر حسب ارتفاع h و قاعده b، ( اس):

S = \ فراک (1) (2) * bh

در این درس مبحث "مثلث متساوی الساقین و ویژگی های آن" بررسی می شود. شما یاد خواهید گرفت که مثلث های متساوی الاضلاع و متساوی الاضلاع چه شکلی هستند و با آنها مشخص می شوند. قضیه تساوی زوایای قاعده مثلث متساوی الساقین را ثابت کنید. همچنین قضیه نیمساز (میانه و ارتفاع) را که به قاعده یک مثلث متساوی الساقین کشیده شده است در نظر بگیرید. در پایان درس با استفاده از تعریف و ویژگی های مثلث متساوی الساقین دو مسئله را تجزیه می کنید.

تعریف:متساوی الساقینمثلثی با دو ضلع مساوی نامیده می شود.

برنج. 1. مثلث متساوی الساقین

AB = AC - طرفین جانبی. BC پایه است.

مساحت مثلث متساوی الساقین نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است.

تعریف:متساوی الاضلاعمثلثی می گویند که هر سه ضلع آن با هم برابرند.

برنج. 2. مثلث متساوی الاضلاع

AB = BC = CA.

قضیه 1:در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

داده شده: AB = AC.

ثابت كردن:∠В = ∠С.

برنج. 3. رسم به قضیه

اثبات:مثلث ABC = مثلث ACB بر اساس اول (روی دو ضلع مساوی و زاویه بین آنها). تساوی مثلث ها به معنای برابری همه عناصر متناظر است. از این رو، ∠В = ∠С، در صورت لزوم.

قضیه 2:در یک مثلث متساوی الساقین نیمسازبه پایگاه برده می شود میانهو ارتفاع.

داده شده: AB = AC، ∠1 = ∠2.

ثابت كردن: BD = DC، AD عمود بر BC.

برنج. 4. رسم به قضیه 2

اثبات:مثلث ADB = مثلث ADC با ویژگی اول (AD - مشترک، AB = AC بر اساس شرط، ∠BAD = ∠DAC). تساوی مثلث ها به معنای برابری همه عناصر متناظر است. BD = DC از آنجایی که آنها زوایای مساوی مخالف هستند. این بدان معنی است که AD میانه است. همچنین ∠3 = ∠4، زیرا آنها مخالف اضلاع مساوی هستند. اما، علاوه بر این، آنها جمع می شوند. بنابراین، ∠3 = ∠4 =. از این رو، AD بر حسب نیاز، ارتفاع مثلث است.

در تنها مورد a = b =. در این حالت خطوط مستقیم AC و BD را عمود بر هم می گویند.

از آنجایی که نیمساز، ارتفاع و میانه یک قطعه هستند، عبارات زیر نیز درست است:

ارتفاع مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، میانه و نیمساز است.

میانه یک مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، ارتفاع و نیمساز است.

مثال 1:در مثلث متساوی الساقین قاعده نصف ضلع و محیط آن 50 سانتی متر است اضلاع مثلث را پیدا کنید.

داده شده: AB = AC، BC = AC. P = 50 سانتی متر.

پیدا کردن: BC، AC، AB.

راه حل:

برنج. 5. نقاشی برای مثال 1

بیایید پایه BC را a تعیین کنیم، سپس AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50، a = 10.

پاسخ: BC = 10 سانتی متر، AC = AB = 20 سانتی متر.

مثال 2:ثابت کنید که همه زوایا در مثلث متساوی الاضلاع برابر هستند.

داده شده: AB = BC = CA.

ثابت كردن:∠А = ∠В = ∠С.

اثبات:

برنج. 6. برای مثال نقاشی

∠B = ∠C، زیرا AB = AC، و ∠A = ∠B، زیرا AC = BC.

بنابراین، بر حسب نیاز، ∠A = ∠B = ∠C.

پاسخ:اثبات شده است.

در درس امروز یک مثلث متساوی الساقین را بررسی کردیم و خواص اساسی آن را بررسی کردیم. در درس بعدی به حل مسائل مربوط به مثلث متساوی الساقین می پردازیم تا مساحت مثلث متساوی الساقین و متساوی الاضلاع را محاسبه کنیم.

الکساندروف A.D.، Verner A.L.، Ryzhik V.I. و دیگران هندسه 7. - M .: آموزش و پرورش.
Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B. و همکاران هندسه 7. ویرایش پنجم. - م .: آموزش و پرورش
بوتوزوف V.F.، Kadomtsev S.B.، Prasolova V.V. هندسه 7 / V.F. بوتوزوف، S.B. کادومتسف، وی. پراسولوا، ویرایش. سادوونیچی V.A. - م .: آموزش و پرورش، 2010.

فرهنگ لغت و دایره المعارف در مورد "آکادمیک" ().
جشنواره ایده های آموزشی "درس باز" ().
Кaknauchit.ru ().

1. شماره 29. Butuzov VF, Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. هندسه 7 / V.F. بوتوزوف، S.B. کادومتسف، وی. پراسولوا، ویرایش. سادوونیچی V.A. - م .: آموزش و پرورش، 2010.

2. محیط مثلث متساوی الساقین 35 سانتی متر و قاعده آن سه برابر ضلع جانبی کمتر است. اضلاع مثلث را پیدا کنید.

3. داده شده: AB = BC. ثابت کنید که ∠1 = ∠2.

4. محیط مثلث متساوی الساقین 20 سانتی متر است که یک ضلع آن دو برابر ضلع دیگر است. اضلاع مثلث را پیدا کنید. مشکل چند راه حل دارد؟

خواص مثلث متساوی الساقین قضایای زیر را بیان می کند.

قضیه 1. در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده مساوی است.

قضیه 2. در مثلث متساوی الساقین، نیمساز قاعده، وسط و ارتفاع است.

قضیه 3. در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده، نیمساز و ارتفاع است.

قضیه 4. در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع کشیده شده به قاعده، نیمساز و میانه است.

اجازه دهید یکی از آنها را ثابت کنیم، برای مثال، قضیه 2.5.

اثبات یک مثلث متساوی الساقین ABC را با قاعده BC در نظر بگیرید و ثابت کنید که ∠ B = ∠ C. فرض کنید AD نیمساز مثلث ABC باشد (شکل 1). مثلث های ABD و ACD با اولین علامت تساوی مثلث ها برابر هستند (AB = AC بر اساس شرط، AD یک ضلع مشترک است، ∠ 1 = ∠ 2، زیرا AD یک نیمساز است). از برابری این مثلث ها نتیجه می شود که ∠ B = ∠ C. قضیه ثابت می شود.

با استفاده از قضیه 1، قضیه زیر ایجاد می شود.

قضیه 5. سومین معیار برای تساوی مثلث ها. اگر سه ضلع یک مثلث به ترتیب برابر با سه ضلع مثلث دیگر باشد، آنگاه چنین مثلث هایی برابر هستند (شکل 2).

اظهار نظر. جملاتی که در مثال های 1 و 2 آورده شده اند، ویژگی های نقطه میانی عمود بر پاره خط را بیان می کنند. از این جملات بر می آید که وسط های عمود بر اضلاع مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.

مثال 1.ثابت کنید که نقطه صفحه با فاصله مساوی از انتهای قطعه بر روی عمود بر این قطعه قرار دارد.

راه حل. بگذارید نقطه M از انتهای قطعه AB فاصله داشته باشد (شکل 3)، یعنی AM = BM.

سپس Δ AMB متساوی الساقین است. اجازه دهید یک خط مستقیم p از نقطه M و O وسط قطعه AB رسم کنیم. قطعه MO بر اساس ساخت، میانه مثلث متساوی الساقین AMB است، و بنابراین (قضیه 3)، و ارتفاع، یعنی خط مستقیم MO، میانه عمود بر قطعه AB است.

مثال 2.ثابت کنید که هر نقطه عمود بر پاره از انتهای آن به یک اندازه فاصله دارد.

راه حل. فرض کنید p نقطه وسط عمود بر قطعه AB و نقطه O - نقطه میانی قطعه AB باشد (شکل 3 را ببینید).

یک نقطه دلخواه M را که روی خط p قرار دارد در نظر بگیرید. بیایید بخش های AM و VM را ترسیم کنیم. مثلث های AOM و PTO با هم برابرند، چون در راس O دارای زوایای مستقیم هستند، پایه OM مشترک است، و ساق OA برابر با پایه OB بر اساس شرط است. از برابری مثلث های AOM و PTO نتیجه می شود که AM = BM.

مثال 3.در مثلث ABC (شکل 4 را ببینید) AB = 10 سانتی متر، BC = 9 سانتی متر، AC = 7 سانتی متر. در مثلث DEF DE = 7 سانتی متر، EF = 10 سانتی متر، FD = 9 سانتی متر.

مثلث های ABC و DEF را با هم مقایسه کنید. زوایای مشابه را پیدا کنید.

راه حل. این مثلث ها در صفت سوم با هم برابرند. بر این اساس، زوایای مساوی: A و E (در مقابل اضلاع مساوی BC و FD قرار دارند)، B و F (در مقابل اضلاع مساوی AC و DE قرار دارند)، C و D (در مقابل اضلاع مساوی AB و EF قرار دارند).

مثال 4.در شکل 5 AB = DC، BC = AD، ∠B = 100 درجه.

زاویه D را پیدا کنید.

راه حل. مثلث های ABC و ADC را در نظر بگیرید. آنها در معیار سوم برابر هستند (AB = DC، BC = AD بر اساس شرایط و طرف AC مشترک است). از تساوی این مثلث ها نتیجه می شود که ∠ В = ∠ D اما زاویه В برابر با 100 درجه است، یعنی زاویه D برابر با 100 درجه است.

مثال 5.در یک مثلث متساوی الساقین ABC با پایه AC، زاویه بیرونی در راس C 123 درجه است. زاویه ABC را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

راه حل ویدیویی

اولین مورخان تمدن ما - یونانیان باستان - از مصر به عنوان زادگاه هندسه یاد می کنند. مخالفت با آنها دشوار است، زیرا بدانیم که مقبره های غول پیکر فراعنه با چه دقت خیره کننده ای ساخته شده است. ترتیب متقابل صفحات اهرام، نسبت آنها، جهت گیری به نقاط اصلی - دستیابی به چنین کمالی بدون دانستن اصول هندسه غیرممکن است.

خود کلمه "هندسه" را می توان به عنوان "اندازه گیری زمین" ترجمه کرد. علاوه بر این، کلمه "زمین" به عنوان یک سیاره - بخشی از منظومه شمسی - بلکه به عنوان یک هواپیما ظاهر می شود. علامت گذاری مناطق برای کشاورزی، به احتمال زیاد، اساس بسیار اصلی علم اشکال هندسی، انواع و خواص آنها است.

مثلث ساده ترین شکل فضایی پلان سنجی است که فقط شامل سه نقطه است - رئوس (هرگز کمتر وجود ندارد). اساس مبانی شاید این باشد که چرا چیزی مرموز و کهن در او پدیدار می شود. چشم همه‌بین در داخل مثلث یکی از اولین نشانه‌های غیبی شناخته شده است و جغرافیای توزیع و بازه زمانی آن به سادگی شگفت‌انگیز است. از تمدن های مصر باستان، سومری، آزتک و سایر تمدن ها گرفته تا جوامع غیبی مدرن تر که در سراسر جهان پراکنده شده اند.

مثلث ها چیست؟

یک مثلث همه کاره معمولی یک شکل هندسی بسته است که از سه بخش با طول های مختلف و سه زاویه تشکیل شده است که هیچ یک راست نیست. علاوه بر او، چندین نوع خاص وجود دارد.

یک مثلث با زاویه حاد همه زوایای آن کمتر از 90 درجه است. به عبارت دیگر، تمام گوشه های چنین مثلثی تیز هستند.

مثلث قائم الزاویه که همیشه دانش آموزان مدرسه به دلیل فراوانی قضایا بر آن گریه می کردند، یک زاویه با قدر 90 درجه یا همان طور که به آن خط مستقیم می گویند دارد.

فرق یک مثلث منفرد این است که یکی از گوشه های آن منفرد است، یعنی قدر آن بیش از 90 درجه است.

یک مثلث متساوی الاضلاع دارای سه ضلع با طول یکسان است. برای چنین شکلی، تمام زوایا نیز برابر هستند.

و در نهایت در مثلث متساوی الساقین سه ضلعی دو برابرند.

ویژگی های متمایز کننده

خواص یک مثلث متساوی الساقین نیز تفاوت اصلی و اصلی آن - برابری دو ضلع را تعیین می کند. این ضلع های مساوی معمولاً باسن (یا اغلب پهلوها) نامیده می شوند، اما طرف سوم "پایه" نامیده می شود.

در شکل مورد نظر a = b.

دومین معیار برای مثلث متساوی الساقین از قضیه سینوس ها ناشی می شود. از آنجایی که اضلاع a و b مساوی هستند، سینوس های زوایای مقابل آنها نیز برابر هستند:

a / sin γ = b / sin α، از آنجا داریم: sin γ = گناه α.

تساوی سینوس ها بر برابری زوایا دلالت دارد: γ = α.

پس علامت دوم مثلث متساوی الساقین برابری دو زاویه مجاور قاعده است.

علامت سوم در مثلث، عناصری مانند ارتفاع، نیمساز و میانه از هم متمایز می شوند.

اگر در روند حل مسئله معلوم شود که در مثلث در نظر گرفته شده هر دو از این عناصر منطبق هستند: ارتفاع با نیمساز. نیمساز با میانه; میانه با ارتفاع - قطعاً می توانیم نتیجه بگیریم که مثلث متساوی الساقین است.

ویژگی های هندسی شکل

1. خواص مثلث متساوی الساقین. یکی از ویژگی های متمایز شکل، برابری زوایای مجاور پایه است:

<ВАС = <ВСА.

2. یک ویژگی دیگر در بالا در نظر گرفته شد: وسط، نیمساز و ارتفاع در یک مثلث متساوی الساقین در صورتی که از بالای آن تا قاعده ساخته شوند منطبق هستند.

3. تساوی نیمسازهای رسم شده از رئوس در قاعده:

اگر AE نیمساز زاویه BAC و CD نیمساز زاویه BCA باشد، آنگاه: AE = DC.

4. خصوصیات مثلث متساوی الساقین نیز برابری ارتفاعات را فراهم می کند که از رئوس قاعده گرفته می شود.

اگر ارتفاع مثلث ABC (جایی که AB = BC) را از رئوس A و C بسازیم، قسمت های CD و AE به دست آمده برابر خواهند بود.

5. وسط های کشیده شده از گوشه های پایه نیز برابر خواهند بود.

بنابراین، اگر AE و DC میانه باشند، یعنی AD = DB، و BE = EC، آنگاه AE = DC.

ارتفاع مثلث متساوی الساقین

تساوی اضلاع و زوایای آنها ویژگی هایی را در محاسبه طول عناصر شکل مورد نظر ایجاد می کند.

ارتفاع در مثلث متساوی الساقین شکل را به 2 مثلث قائم الزاویه متقارن تقسیم می کند که اضلاع آن ها با هیپوتنوس ها بیرون زده اند. ارتفاع در این مورد مطابق قضیه فیثاغورث، مانند یک پا تعیین می شود.

یک مثلث می تواند هر سه ضلع آن برابر باشد، پس آن را متساوی الاضلاع می نامند. ارتفاع در یک مثلث متساوی الاضلاع به همین ترتیب تعیین می شود ، فقط برای محاسبات کافی است فقط یک مقدار - طول ضلع این مثلث را بدانید.

می توانید ارتفاع را به روش دیگری برای مثال با دانستن پایه و زاویه مجاور آن تعیین کنید.

میانه مثلث متساوی الساقین

نوع مثلث در نظر گرفته شده، به دلیل ویژگی های هندسی آن، به سادگی با حداقل مجموعه داده های اولیه حل می شود. از آنجایی که میانه در یک مثلث متساوی الساقین با ارتفاع و نیمساز آن برابر است، الگوریتم تعیین آن با ترتیب محاسبه این عناصر تفاوتی ندارد.

به عنوان مثال، می توانید طول میانه را با ضلع جانبی شناخته شده و مقدار زاویه راس تعیین کنید.

نحوه تعیین محیط

از آنجایی که دو ضلع شکل پلان متری در نظر گرفته شده همیشه با هم برابر هستند، برای تعیین محیط کافی است طول قاعده و طول یکی از اضلاع را بدانیم.

زمانی که باید محیط یک مثلث را از یک قاعده و ارتفاع مشخص تعیین کنید، مثالی را در نظر بگیرید.

محیط برابر است با مجموع قاعده و دو برابر طول ضلع. ضلع جانبی نیز به نوبه خود با استفاده از قضیه فیثاغورث به عنوان فرضیه یک مثلث قائم الزاویه تعریف می شود. طول آن برابر است با جذر مجذور مجذور قد و مجذور نصف قاعده.

مساحت مثلث متساوی الساقین

به عنوان یک قاعده، محاسبه مساحت یک مثلث متساوی الساقین دشوار نیست. قانون جهانی برای تعیین مساحت یک مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع آن، البته در مورد ما اعمال می شود. با این حال، ویژگی های یک مثلث متساوی الساقین کار را دوباره آسان می کند.

فرض کنید ارتفاع و زاویه مجاور پایه مشخص است. تعیین مساحت شکل ضروری است. شما می توانید این کار را انجام دهید.

از آنجایی که مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه است، تعیین مقدار زاویه دشوار نیست. در مرحله بعد، با استفاده از نسبت ساخته شده بر اساس قضیه سینوس، طول قاعده مثلث تعیین می شود. همه چیز، پایه و ارتفاع - داده های کافی برای تعیین منطقه - در دسترس است.

سایر خواص مثلث متساوی الساقین

موقعیت مرکز دایره ای که اطراف یک مثلث متساوی الساقین احاطه شده است به بزرگی زاویه راس بستگی دارد. بنابراین، اگر یک مثلث متساوی الساقین دارای زاویه تند باشد، مرکز دایره در داخل شکل قرار دارد.

مرکز دایره ای که دور یک مثلث متساوی الساقین منفرد احاطه شده است در خارج از آن قرار دارد. و در نهایت، اگر زاویه در راس 90 درجه باشد، مرکز دقیقاً در وسط پایه قرار دارد و قطر دایره از خود پایه عبور می کند.

برای تعیین شعاع دایره ای که اطراف یک مثلث متساوی الساقین قرار دارد، کافی است طول ضلع جانبی را بر دو برابر کسینوس نصف مقدار زاویه راس تقسیم کنیم.