مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق تابع نمایی

ما همچنان به بهبود تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس مطالب پوشش داده شده را ادغام می کنیم، مشتقات پیچیده تری را در نظر می گیریم و همچنین با تکنیک ها و ترفندهای جدید برای یافتن مشتق، به ویژه با مشتق لگاریتمی آشنا می شویم.

خوانندگانی که سطح آموزش پایینی دارند به مقاله مراجعه کنند چگونه مشتق را پیدا کنم؟ نمونه هایی از راه حل ها، که به شما امکان می دهد مهارت های خود را تقریباً از ابتدا بالا ببرید. در مرحله بعد، باید صفحه را به دقت مطالعه کنید مشتق تابع مختلط، بفهمید و حل کنید همهمثال هایی که زدم این درس از نظر منطقی سومین درس متوالی است و پس از تسلط بر آن، با اطمینان توابع نسبتاً پیچیده را متمایز خواهید کرد. پایبندی به موقعیت "کجای دیگر؟" نامطلوب است؟ و بس است!» زیرا تمام مثال ها و راه حل ها از آزمون های واقعی گرفته شده و اغلب در عمل یافت می شوند.

بیایید با تکرار شروع کنیم. در درس مشتق تابع مختلطما به تعدادی از نمونه ها با نظرات دقیق نگاه کرده ایم. در دوره مطالعه حساب دیفرانسیل و سایر شاخه های آنالیز ریاضی، شما باید اغلب متمایز شوید، و نوشتن مثال ها با جزئیات زیاد همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست). بنابراین مشتق یابی را به صورت شفاهی تمرین می کنیم. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقاتی از ساده ترین توابع پیچیده هستند، به عنوان مثال:

طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده :

هنگام مطالعه سایر موضوعات ماتان در آینده، چنین رکورد دقیقی اغلب مورد نیاز نیست، فرض بر این است که دانش آموز می تواند مشتقات مشابهی را در خلبان خودکار خودکار پیدا کند. تصور کنید ساعت 3 صبح تلفن زنگ خورد و صدای دلنشینی پرسید: مشتق مماس دو X چیست؟ این باید با یک پاسخ تقریباً فوری و مودبانه دنبال شود: .

اولین مثال بلافاصله برای یک راه حل مستقل در نظر گرفته می شود.

مثال 1

مشتقات زیر را به صورت شفاهی، در یک مرحله بیابید، به عنوان مثال:. برای تکمیل کار، فقط باید از آن استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی(اگر هنوز به خاطر نیامده است). اگر مشکلی دارید، توصیه می کنم درس را دوباره بخوانید. مشتق تابع مختلط.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با ضمیمه های عملکردی 3-4-5 کمتر ترسناک خواهند بود. شاید دو مثال زیر برای برخی دشوار به نظر برسد، اما اگر آنها را درک کنید (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً هر چیز دیگری در حساب دیفرانسیل مانند یک شوخی کودکانه به نظر می رسد.

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستپیوست ها را درک کنید. در مواردی که شک وجود دارد، یک تکنیک مفید را به یاد می‌آورم: برای مثال، مقدار آزمایشی "X" را می‌گیریم و سعی می‌کنیم (به صورت ذهنی یا روی پیش‌نویس) این مقدار را در "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، به این معنی که مبلغ عمیق ترین سرمایه گذاری است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را به یک مکعب برسانید:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز تابع پیچیده به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم گرفتیم:

بدون اشتباه به نظر می رسد….

(1) مشتق جذر را بگیرید.

(2) ما مشتق تفاوت را با استفاده از قانون می گیریم

(3) مشتق ثلاث صفر است. در ترم دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

(4) مشتق کسینوس را می گیریم.

(5) مشتق لگاریتم را می گیریم.

(6) در نهایت، مشتق عمیق ترین تودرتو را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این هنوز وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از تمام جذابیت و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال بعدی برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

نکته: ابتدا قوانین خطی و قانون تمایز محصول را اعمال کنید

راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

اکنون زمان آن است که به سراغ چیزهای جمع و جورتر و زیباتر بروید.
غیرمعمول نیست که یک مثال یک محصول نه دو، بلکه سه تابع ارائه دهد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

ابتدا ببینیم آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله‌ای در محصول داشتیم، می‌توانیم براکت‌ها را گسترش دهیم. اما در این مثال، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است هموارهاعمال قانون تمایز محصول دو برابر

ترفند این است که برای "y" حاصلضرب دو تابع را نشان می دهیم:، و برای "ve" - ​​لگاریتم:. چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا آن است - این محصول دو عامل نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون برای دومین بار باقی مانده است که قانون را اعمال کنیم به پرانتز:

شما هنوز هم می توانید منحرف شوید و چیزی را خارج از پرانتز قرار دهید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال در نظر گرفته شده را می توان به روش دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه به روش اول حل می شود.

بیایید به مثال های مشابه با کسری نگاه کنیم.

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

چندین راه برای رفتن به اینجا وجود دارد:

یا مثل این:

اما اگر اول از همه از قانون افتراق ضریب استفاده کنیم راه حل فشرده تر نوشته می شود. ، در نظر گرفتن کل صورتگر:

در اصل مثال حل می شود و اگر آن را به حال خود رها کنید خطا نمی شود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می شود پیش نویس را بررسی کنید، اما آیا می توان پاسخ را ساده کرد؟ بیایید بیان عدد را به یک مخرج مشترک و کاهش دهیم از شر کسری سه طبقه خلاص شوید:

ضرر ساده سازی های اضافی این است که خطر اشتباه در یافتن مشتق، بلکه در مورد دگرگونی های پیش پا افتاده مدرسه وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می کنند و می خواهند مشتق را "به ذهن بیاورند".

یک مثال ساده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

ما به تسلط بر روش های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر خواهیم گرفت که لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، راه طولانی را طی کنید:

اما اولین قدم بلافاصله شما را در ناامیدی فرو می برد - باید مشتق ناخوشایندی را از یک درجه کسری و سپس از یک کسری بگیرید.

از همین رو قبل ازچگونه مشتق لگاریتم "فانتزی" را بگیریم، ابتدا با استفاده از ویژگی های مدرسه معروف ساده شده است:

! اگر دفترچه تمرینی در دست دارید، این فرمول ها را همانجا کپی کنید. اگر دفتری ندارید، آنها را روی یک تکه کاغذ دوباره بکشید، زیرا بقیه مثال‌های درسی حول این فرمول‌ها می‌چرخند.

خود راه حل را می توان به صورت زیر ساختار داد:

بیایید تابع را تبدیل کنیم:

مشتق را بیابید:

پیش پیکربندی خود تابع راه حل را بسیار ساده کرده است. بنابراین، هنگامی که یک لگاریتم مشابه برای تمایز پیشنهاد می شود، همیشه توصیه می شود که آن را "تقسیم" کنید.

و اکنون چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

تمام تحولات و پاسخ ها در پایان درس.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق لگاریتم ها به این موسیقی شیرین باشد، این سوال پیش می آید که آیا در برخی موارد می توان لگاریتم را به صورت مصنوعی سازماندهی کرد؟ می توان! و حتی ضروری است.

مثال 11

مشتق تابع را بیابید

نمونه های مشابهی را اخیراً دیده ایم. چه باید کرد؟ شما می توانید به طور مداوم قانون متمایز کردن ضریب و سپس قانون متمایز کردن کار را اعمال کنید. عیب این روش این است که شما یک کسری سه طبقه عظیم بدست می آورید که اصلاً نمی خواهید با آن برخورد کنید.

اما در تئوری و عمل، چیز شگفت انگیزی به نام مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها را می توان با آویزان کردن آنها در هر دو طرف به طور مصنوعی سازماندهی کرد:

توجه داشته باشید : از آنجا که تابع می تواند مقادیر منفی بگیرد، سپس، به طور کلی، باید از ماژول ها استفاده کنید: که در نتیجه تمایز از بین می رود. با این حال، طراحی فعلی نیز قابل قبول است، که در آن پیش فرض ها در نظر گرفته شده است مجتمعارزش های. اما اگر با تمام شدت، پس در هر دو مورد، باید رزرو کرد که.

اکنون باید لگاریتم سمت راست را حداکثر "تخریب کنید" (فرمول های جلوی چشمان خود؟). من این فرآیند را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

در واقع ما به سمت تمایز پیش می رویم.
ما هر دو قسمت را زیر سکته مغزی محصور می کنیم:

مشتق سمت راست بسیار ساده است، من در مورد آن نظر نمی دهم، زیرا اگر در حال خواندن این متن هستید، باید با اطمینان با آن کنار بیایید.

سمت چپ چطور؟

در سمت چپ ما داریم تابع پیچیده... من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یک حرف" ygrek "زیر لگاریتم نیز وجود دارد؟"

واقعیت این است که این "یک حرف igrek" - خودش یک تابع است(اگر خیلی واضح نیست، به مقاله برگرفته از یک تابع ضمنی مراجعه کنید). بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی است و "بازی" یک تابع درونی است. و از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

در سمت چپ، گویی با جادو، یک مشتق داریم. علاوه بر این، طبق قانون تناسب، ما "بازی" را از مخرج سمت چپ به بالای سمت راست پرتاب می کنیم:

و اکنون به یاد می آوریم که چه نوع عملکرد "بازی" را در تمایز مورد بحث قرار دادیم؟ ما به شرایط نگاه می کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. نمونه طرح نمونه ای از این نوع در پایان درس.

با کمک مشتق لگاریتمی می‌توان هر یک از مثال‌های 4-7 را حل کرد، اما نکته دیگر این است که توابع در آنجا ساده‌تر هستند و شاید استفاده از مشتق لگاریتمی چندان موجه نباشد.

مشتق تابع نمایی

ما هنوز این تابع را در نظر نگرفته ایم. تابع نمایی تابعی است که در آن و درجه و پایه به "x" بستگی دارد... یک مثال کلاسیک که در هر کتاب درسی یا در هر سخنرانی به شما داده می شود:

چگونه مشتق تابع نمایی را پیدا کنیم؟

لازم است از تکنیکی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده شود - مشتق لگاریتمی. لگاریتم ها را در دو طرف آویزان می کنیم:

به عنوان یک قاعده، درجه از زیر لگاریتم در سمت راست خارج می شود:

در نتیجه، در سمت راست، محصولی از دو تابع دریافت کردیم که طبق فرمول استاندارد متمایز می شود. .

ما مشتق را پیدا می کنیم، برای این ما هر دو قسمت را زیر سکته ها محصور می کنیم:

اقدامات بعدی ساده هستند:

سرانجام:

اگر تغییری کاملاً واضح نیست، لطفاً توضیحات در مثال 11 را مجدداً بخوانید.

در کارهای عملی، تابع نمایی همیشه پیچیده تر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده خواهد بود.

مثال 13

مشتق تابع را بیابید

ما از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم.

در سمت راست ما یک ثابت و حاصلضرب دو عامل داریم - "x" و "لگاریتم لگاریتم x" (لگاریتم دیگری در زیر لگاریتم تعبیه شده است). هنگام تمایز ثابت ، همانطور که به یاد داریم ، بهتر است فوراً علامت مشتق را بردارید تا زیر پای شما مانع نشود. و البته ما قانون آشنا را اعمال می کنیم :

اثبات و اشتقاق فرمول های مشتق لگاریتم طبیعی و پایه لگاریتم. نمونه هایی از محاسبه مشتقات ln 2x، ln 3x و ln nx. اثبات فرمول مشتق مرتبه n لگاریتم با روش استقراء ریاضی.

محتوا

همچنین ببینید: لگاریتم - خواص، فرمول ها، نمودار
لگاریتم طبیعی - خواص، فرمول ها، نمودار

اشتقاق فرمول برای مشتقات لگاریتم طبیعی و پایه لگاریتم a

مشتق لگاریتم طبیعی x برابر است با یک تقسیم بر x:
(1) (ln x) ′ =.

مشتق پایه لگاریتم a برابر است با تقسیم بر متغیر x ضربدر لگاریتم طبیعی a:
(2) (log a x) ′ =.

اثبات

بگذارید یک عدد مثبت وجود داشته باشد که برابر با یک نباشد. تابعی را در نظر بگیرید که به متغیر x که لگاریتم پایه است بستگی دارد:
.
این تابع در تعریف شده است. اجازه دهید مشتق آن را با توجه به متغیر x پیدا کنیم. طبق تعریف، مشتق حد زیر است:
(3) .

بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده تقلیل دهیم. برای این کار باید حقایق زیر را بدانیم:
آ)خواص لگاریتمی ما به فرمول های زیر نیاز داریم:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ب)پیوستگی لگاریتم و خاصیت حدود برای یک تابع پیوسته:
(7) .
در اینجا تابعی وجود دارد که دارای محدودیت است و این حد مثبت است.
V)معنای محدودیت قابل توجه دوم:
(8) .

ما این حقایق را تا حد خود اعمال می کنیم. ابتدا عبارت جبری را تبدیل می کنیم
.
برای این ما ویژگی های (4) و (5) را اعمال می کنیم.

.

اجازه دهید از ویژگی (7) و محدودیت قابل توجه دوم (8) استفاده کنیم:
.

و در نهایت، ویژگی (6) را اعمال می کنیم:
.
پایه لگاریتم هتماس گرفت لگاریتم طبیعی... به شرح زیر تعیین می شود:
.
سپس ؛
.

بنابراین، ما فرمول (2) را برای مشتق لگاریتم به دست آورده ایم.

مشتق لگاریتم طبیعی

یک بار دیگر، فرمول مشتق لگاریتم را با توجه به پایه a می نویسیم:
.
این فرمول ساده ترین شکل را برای لگاریتم طبیعی دارد که برای آن،. سپس
(1) .

به دلیل همین سادگی، لگاریتم طبیعی به طور گسترده در تحلیل ریاضی و در شاخه های دیگر ریاضیات مرتبط با حساب دیفرانسیل استفاده می شود. توابع لگاریتمی با پایه های دیگر را می توان بر حسب لگاریتم طبیعی با استفاده از ویژگی (6) بیان کرد:
.

مشتق پایه لگاریتم را می توان از فرمول (1) یافت، اگر ثابت از علامت تمایز خارج شود:
.

راه های دیگر برای اثبات مشتق لگاریتم

در اینجا فرض می کنیم که فرمول مشتق توان را می دانیم:
(9) .
سپس می‌توانیم فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را استخراج کنیم، با توجه به اینکه لگاریتم معکوس تابع نمایی است.

اجازه دهید فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را ثابت کنیم، با اعمال فرمول مشتق تابع معکوس:
.
در مورد ما . تابع معکوس لگاریتم طبیعی توان:
.
مشتق آن با فرمول (9) تعیین می شود. متغیرها را می توان با هر حرفی تعیین کرد. در فرمول (9)، متغیر x را با y جایگزین کنید:
.
از آن به بعد
.
سپس
.
فرمول ثابت شده است.

اکنون فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را با استفاده از آن ثابت می کنیم قوانین تمایز توابع پیچیده... از آنجایی که توابع و معکوس یکدیگر هستند، پس
.
این معادله را با توجه به متغیر x متمایز می کنیم:
(10) .
مشتق x برابر با یک است:
.
ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم:
.
اینجا . جایگزین در (10):
.
از اینجا
.

مثال

مشتقات را بیابید ln 2x، ln 3xو ln nx.

توابع اصلی مشابه هستند. بنابراین، مشتق تابع را پیدا خواهیم کرد y = ln nx... سپس n=2 و n=3 را وصل کنید. و بنابراین، فرمول هایی را برای مشتقات به دست می آوریم ln 2xو ln 3x .

بنابراین، ما به دنبال مشتق تابع هستیم
y = ln nx .
بیایید این تابع را به عنوان یک تابع پیچیده، متشکل از دو تابع تصور کنیم:
1) توابع وابسته به متغیر:;
2) توابع وابسته به متغیر:.
سپس تابع اصلی از توابع و:
.

اجازه دهید مشتق تابع را با توجه به متغیر x پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق تابع را با توجه به متغیر پیدا کنیم:
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.
.
اینجا ما راه اندازی کردیم.

بنابراین ما دریافتیم:
(11) .
می بینیم که مشتق مستقل از n است. اگر تابع اصلی را با استفاده از فرمول لگاریتم محصول تبدیل کنیم، این نتیجه کاملاً طبیعی است:
.
ثابت است مشتق آن صفر است. سپس با توجه به قاعده افتراق جمع داریم:
.

; ; .

مشتق لگاریتم مدول x

بیایید مشتق یک تابع بسیار مهم دیگر - لگاریتم طبیعی مدول x را پیدا کنیم:
(12) .

بیایید یک مورد را در نظر بگیریم. سپس تابع به شکل زیر است:
.
مشتق آن با فرمول (1) تعیین می شود:
.

حال قضیه را در نظر بگیرید. سپس تابع به شکل زیر است:
,
جایی که .
اما مشتق این تابع را نیز در مثال بالا پیدا کردیم. به n بستگی ندارد و برابر است
.
سپس
.

ما این دو حالت را در یک فرمول ترکیب می کنیم:
.

بر این اساس، برای پایه لگاریتم a، داریم:
.

مشتقات مرتبه بالاتر لگاریتم طبیعی

تابع را در نظر بگیرید
.
مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم:
(13) .

مشتق مرتبه دوم را پیدا کنید:
.
مشتق مرتبه سوم را بیابید:
.
بیایید مشتق مرتبه چهارم را پیدا کنیم:
.

می توان دید که مشتق مرتبه n به شکل زیر است:
(14) .
اجازه دهید این را با روش استقرای ریاضی ثابت کنیم.

اثبات

اجازه دهید مقدار n = 1 را با فرمول (14) جایگزین کنیم:
.
از آنجا که، پس برای n = 1 ، فرمول (14) معتبر است.

فرض کنید فرمول (14) برای n = k برقرار است. اجازه دهید ثابت کنیم که این نشان می دهد که فرمول برای n = k معتبر است + 1 .

در واقع، برای n = k داریم:
.
با توجه به متغیر x متمایز می کنیم:

.
بنابراین ما دریافتیم:
.
این فرمول با فرمول (14) برای n = k + منطبق است 1 ... بنابراین، از این فرض که فرمول (14) برای n = k معتبر است، نتیجه می شود که فرمول (14) برای n = k + معتبر است. 1 .

بنابراین، فرمول (14)، برای مشتق از مرتبه n، برای هر n معتبر است.

مشتقات مرتبه بالاتر لگاریتم با پایه a

برای یافتن مشتق مرتبه n از پایه لگاریتم، باید آن را بر حسب لگاریتم طبیعی بیان کنید:
.
با استفاده از فرمول (14)، مشتق n را پیدا می کنیم:
.

همچنین ببینید:

به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

خوب، اجازه دهید خیلی دور نرویم، بلافاصله تابع معکوس را در نظر خواهیم گرفت. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه یک عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن بنویسید.

برابر چیست؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: توان و لگاریتم طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از بررسی قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ باز هم یک اصطلاح جدید، دوباره؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. چگونه می توان این فرآیند را در یک کلمه نامید؟ نه مشتق ... دیفرانسیل ریاضی را همان افزایش تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز داریم:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت به خارج از علامت مشتق منتقل می شود.

اگر یک عدد ثابت است (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت:.

بیایید ثابت کنیم. اجازه دهید، یا راحت تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در نقطه؛
2. در نقطه؛
3. در نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق از یک اثر

همه چیز در اینجا یکسان است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما برای یادگیری نحوه یافتن مشتق هر تابع نمایی کافی است، نه فقط توان (آیا فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، تعدادی از آن ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک ریشه جدید تبدیل کنیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم:. سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع مشکل است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق توان است: همانطور که بود، باقی می ماند، فقط یک ضرب ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر نوشت. بنابراین در پاسخ آن را به این شکل رها می کنیم.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون مربوط به تمایز را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یکی دلخواه از لگاریتم با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

شما باید این لگاریتم را به پایه بیاورید. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط در حال حاضر، به جای ما می نویسیم:

مخرج فقط یک عدد ثابت است (عدد ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده است:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در امتحان یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم به نظر شما سخت می رسد، مبحث لگاریتم ها را بخوانید و همه چیز می گذرد) اما از نظر ریاضی کلمه دشوار به معنای دشوار نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیاء به نوعی عمل می کنند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. چنین شی کامپوزیتی به نظر می رسد: یک نوار شکلات پیچیده شده و با روبان گره خورده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد به ما داده می شود (میله شکلاتی)، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفحه)، و سپس شما آنچه را که دارم مربع می کنید (آن را با یک روبان می بندید). چی شد؟ عملکرد. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم و سپس یک عمل دوم را با نتیجه اولین انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما،.

ما ممکن است همان اقدامات را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا شما مربع می کنید و سپس من به دنبال کسینوس عدد حاصل می گردم:. به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یکی از ویژگی های مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال را تغییر می دهید، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان). ...

عملی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و اولین اقدام انجام شده - به ترتیب عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان مشخص کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. اولین اقدامی که باید انجام داد چیست؟ ابتدا سینوس را محاسبه می کنیم و تنها پس از آن آن را به مکعب می آوریم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و عملکرد اصلی ترکیب آنها است:.
2. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی:؛ خارجی:.
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، اکنون شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم - به دنبال مشتق آن باشید. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت یک قانون رسمی را تدوین کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

به نظر می رسد همه چیز ساده است، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:;

خارجی:;

2) داخلی:;

(فقط سعی نکنید تا الان کم کنید! چیزی از زیر کسینوس خارج نمی شود، یادتان هست؟)

3) داخلی:;

خارجی:;

بلافاصله مشخص می شود که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته ، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (یک نوار شکلات را در آن قرار می دهیم. یک بسته بندی و آن را با یک روبان در یک کیف قرار دهید). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: به هر حال، ما این تابع را به همان ترتیب معمول "باز کردن" می کنیم: از آخر.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه اینها را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری مراحل راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید مثالی بزنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. دنباله اقدامات - مانند قبل:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید یک مسیر عملی را تعریف کنیم.

1. بیان رادیکال. ...

2. ریشه. ...

3. سینوس. ...

4. مربع. ...

5. کنار هم قرار دادن همه چیز:

مشتق. به طور خلاصه در مورد اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت به خارج از علامت مشتق منتقل می شود:

مشتق مبلغ:

مشتق کار:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

به نظر شما هنوز زمان زیادی تا امتحان باقی مانده است؟ یک ماهه؟ دو؟ سال؟ تمرین نشان می دهد که دانش آموز اگر از قبل شروع به آماده شدن برای امتحان کند، بهترین عملکرد را با امتحان دارد. بسیاری از وظایف دشوار در امتحان وجود دارد که مانع رسیدن دانش آموز و متقاضی آینده به بالاترین امتیاز می شود. شما باید یاد بگیرید که بر این موانع غلبه کنید، علاوه بر این، انجام آن دشوار نیست. شما باید اصل کار با کارهای مختلف را از بلیط ها درک کنید. سپس با موارد جدید مشکلی وجود نخواهد داشت.

در نگاه اول، لگاریتم ها بسیار پیچیده به نظر می رسند، اما تجزیه و تحلیل دقیق وضعیت را بسیار ساده تر می کند. اگر می خواهید در آزمون بالاترین نمره قبول شوید، باید مفهوم مورد نظر را درک کنید که در این مقاله پیشنهاد می کنیم این کار را انجام دهید.

بیایید با جدا کردن این تعاریف شروع کنیم. لگاریتم (log) چیست؟ این نشانگر درجه ای است که پایه باید برای به دست آوردن عدد مشخص شده افزایش یابد. اگر واضح نیست، بیایید به یک مثال ابتدایی نگاه کنیم.

در این حالت، پایه زیر باید به توان دوم افزایش یابد تا عدد 4 به دست آید.

حال به مفهوم دوم می پردازیم. مشتق یک تابع در هر شکل مفهومی است که تغییر در یک تابع در یک نقطه کاهش یافته را مشخص می کند. با این حال، این یک برنامه درسی مدرسه است و اگر به طور جداگانه با این مفاهیم مشکل دارید، ارزش تکرار موضوع را دارد.

مشتق لگاریتم

در تکالیف آزمون این مبحث می توان به چند تکلیف به عنوان مثال اشاره کرد. برای شروع، ساده ترین مشتق لگاریتمی. یافتن مشتق تابع زیر ضروری است.

باید مشتق زیر را پیدا کنیم

یک فرمول خاص وجود دارد.

در این مورد x = u، log3x = v. ما مقادیر تابع خود را در فرمول جایگزین می کنیم.

مشتق x برابر با یک خواهد بود. لگاریتم کمی دشوارتر است. اما اگر فقط مقادیر را جایگزین کنید، می توانید اصل را درک کنید. به یاد بیاورید که مشتق lg x مشتق لگاریتم اعشاری نامیده می شود و مشتق ln x مشتق لگاریتم طبیعی (مبنای e) است.

اکنون فقط این مقادیر را به فرمول وصل کنید. خودتان آن را امتحان کنید، سپس پاسخ را بررسی کنید.

مشکل اینجا برای بعضی ها چی میتونه باشه؟ ما مفهوم لگاریتم طبیعی را معرفی کرده ایم. ما در مورد آن به شما خواهیم گفت، و در عین حال چگونگی حل مشکلات را با آن کشف خواهیم کرد. شما هیچ چیز پیچیده ای را نخواهید دید، به خصوص زمانی که بفهمید چگونه کار می کند. شما باید به آن عادت کنید، زیرا اغلب در ریاضیات (به ویژه در آموزش عالی) استفاده می شود.

مشتق لگاریتم طبیعی

در هسته آن، مشتق پایه e لگاریتم است (این یک عدد غیر منطقی است که برابر با 2.7 است). در واقع، ln بسیار ساده است، و بنابراین اغلب در ریاضیات به طور کلی استفاده می شود. در واقع حل مشکل با او هم مشکلی نخواهد داشت. شایان ذکر است که مشتق پایه e لگاریتم طبیعی برابر با یک تقسیم بر x خواهد بود. آشکارترین راه حل مثال زیر خواهد بود.

بیایید آن را به عنوان یک تابع پیچیده، متشکل از دو تابع ساده تصور کنیم.

برای تبدیل کافی است

به دنبال مشتق u با توجه به x

بیایید به دومی ادامه دهیم

ما از روش حل مشتق یک تابع مختلط با جایگزینی u = nx استفاده می کنیم.

آنچه در پایان اتفاق افتاد؟

حالا بیایید به یاد بیاوریم که n در این مثال چه معنایی داشت؟ این هر عددی است که ممکن است در لگاریتم طبیعی قبل از x ظاهر شود. برای شما مهم است که درک کنید که پاسخ به او بستگی ندارد. هر چیزی را که دوست دارید جایگزین کنید، پاسخ همچنان 1/x خواهد بود.

همانطور که می بینید، در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد، فقط کافی است اصل را درک کنید تا به سرعت و کارآمد مشکلات مربوط به این موضوع را حل کنید. حالا شما نظریه را می دانید، باید در عمل تثبیت شود. حل مسائل را تمرین کنید تا اصل حل آنها را برای مدت طولانی به خاطر بسپارید. ممکن است پس از فارغ التحصیلی به این دانش نیازی نداشته باشید، اما در امتحان بیشتر از همیشه مرتبط خواهد بود. موفق باشی!