احتمال وقوع یک رویداد خاص یک مثال است. احتمال رویداد

احتمالرویداد نسبت تعداد پیامدهای اولیه ای است که به نفع یک رویداد معین است به تعداد تمام نتایج ممکن تجربه که ممکن است در آنها رخ دهد. احتمال یک رویداد A با P(A) نشان داده می شود (در اینجا P حرف اول است کلمه فرانسویاحتمال - احتمال). طبق تعریف
(1.2.1)
تعداد نتایج اولیه به نفع رویداد A کجاست. - تعداد تمام نتایج ابتدایی به همان اندازه ممکن تجربه که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد.
این تعریف از احتمال، کلاسیک نامیده می شود. در مرحله اولیه توسعه نظریه احتمال بوجود آمد.

احتمال وقوع یک رویداد دارای ویژگی های زیر است:
1. احتمال وقوع یک رویداد معین برابر با یک است. بیایید یک رویداد خاص را با حرف مشخص کنیم. بنابراین برای یک رویداد خاص
(1.2.2)
2. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن صفر است. رویداد غیر ممکن را با حرف نشان می دهیم. بنابراین برای یک رویداد غیرممکن
(1.2.3)
3. احتمال یک رویداد تصادفی به صورت عدد مثبت کمتر از یک بیان می شود. از آنجایی که نابرابری ها، یا برای یک رویداد تصادفی ارضا می شوند، پس
(1.2.4)
4. احتمال هر رویدادی نابرابری ها را ارضا می کند
(1.2.5)
این از روابط (1.2.2) -(1.2.4) نتیجه می گیرد.

مثال 1یک کوزه حاوی 10 توپ با اندازه و وزن یکسان است که 4 توپ قرمز و 6 توپ آبی است. یک توپ از کوزه کشیده می شود. احتمال آبی بودن توپ کشیده چقدر است؟

راه حل. رویداد "توپ کشیده شده به رنگ آبی درآمد" با حرف A نشان داده می شود. این آزمون دارای 10 نتیجه اولیه ممکن است که 6 مورد آن به نفع رویداد A است. مطابق با فرمول (1.2.1)، ما به دست می آوریم.

مثال 2تمام اعداد طبیعی از 1 تا 30 روی کارت های یکسان نوشته شده و در یک کوزه قرار می گیرند. پس از مخلوط کردن کامل کارت ها، یک کارت از urn خارج می شود. احتمال اینکه عدد روی کارت کشیده مضرب 5 باشد چقدر است؟

راه حل.رخداد "عدد روی کارت گرفته شده مضربی از 5 است" را با A نشان دهید. در این آزمون 30 پیامد ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد که 6 نتیجه به نفع رویداد A است (اعداد 5، 10، 15، 20، 25، 30). در نتیجه،

مثال 3دو تاس پرتاب می شود، مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. احتمال رویداد B را بیابید که شامل این واقعیت است که وجه های بالای مکعب ها در مجموع 9 امتیاز دارند.

راه حل. 6 2 = 36 پیامد ابتدایی به همان اندازه ممکن در این کارآزمایی وجود دارد. رویداد B با 4 نتیجه مورد علاقه قرار می گیرد: (3;6)، (4;5)، (5;4)، (6;3)، بنابراین

مثال 4. به صورت تصادفی انتخاب شده است عدد طبیعی، از 10 تجاوز نمی کند. احتمال اول بودن این عدد چقدر است؟

راه حل.با حرف C رویداد "عدد انتخاب شده اول است" را مشخص کنید. در این مورد، n = 10، m = 4 (اول 2، 3، 5، 7). بنابراین، احتمال مورد نظر

مثال 5دو سکه متقارن پرتاب می شود. احتمال اینکه هر دو سکه دارای ارقام در بالا هستند چقدر است؟

راه حل.بیایید با حرف D رویداد "در بالای هر سکه یک عدد وجود داشت" را نشان دهیم. 4 پیامد ابتدایی به همان اندازه ممکن در این آزمون وجود دارد: (G، G)، (G، C)، (C، G)، (C، C). (نماد (G, C) به این معنی است که روی سکه اول یک نشان اسلحه وجود دارد ، روی دوم - یک عدد). رویداد D با یک نتیجه ابتدایی (C, C) مورد علاقه قرار می گیرد. از آنجایی که m = 1، n = 4، پس

مثال 6احتمال یکسان بودن ارقام یک عدد دو رقمی تصادفی چقدر است؟

راه حل.اعداد دو رقمی اعدادی از 10 تا 99 هستند. در مجموع 90 عدد وجود دارد که 9 عدد دارای ارقام یکسان هستند (اینها اعداد 11، 22، 33، 44، 55، 66، 77، 88، 99 هستند). از آنجایی که در این مورد m = 9، n = 90، پس
,
که در آن A رویداد "عددی با ارقام یکسان" است.

مثال 7از حروف کلمه دیفرانسیلیک حرف به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این حرف باشد چقدر است: الف) مصوت ب) صامت ج) حرف ساعت?

راه حل. در کلمه دیفرانسیل 12 حرف وجود دارد که 5 حرف آن مصوت و 7 حرف صامت است. نامه ها ساعتاین کلمه ندارد. بیایید وقایع را نشان دهیم: A - "واکه"، B - "صامت"، C - "حرف ساعت". تعداد پیامدهای ابتدایی مطلوب: - برای رویداد A، - برای رویداد B، - برای رویداد C. از n \u003d 12، سپس
، و .

مثال 8دو تاس پرتاب می شود، تعداد نقاط روی بالای هر تاس ذکر می شود. احتمال اینکه هر دو تاس دارای تعداد یکسانی باشند را پیدا کنید.

راه حل.این رویداد را با حرف A نشان می‌دهیم. رویداد A با 6 نتیجه اولیه مورد علاقه است: (1;])، (2;2)، (3;3)، (4;4)، (5;5)، (6). ؛ 6). در مجموع نتایج اولیه به همان اندازه ممکن وجود دارد که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد، در این مورد n=6 2 =36. پس احتمال مورد نظر

مثال 9کتاب دارای 300 صفحه می باشد. احتمال اینکه صفحه ای که به طور تصادفی باز می شود دارای شماره دنباله ای باشد که مضربی از 5 است چقدر است؟

راه حل.از شرایط مسئله برمی‌آید که n = 300 از همه پیامدهای ابتدایی ممکن است که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می‌دهند، وجود داشته باشد. در واقع، عددی که مضربی از 5 است به شکل 5k است، که در آن k یک عدد طبیعی است، و از آن جا . در نتیجه،
، جایی که A - رویداد "صفحه" دارای یک شماره دنباله ای است که مضربی از 5 است.

مثال 10. دو تاس پرتاب می شود، مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. چه چیزی بیشتر احتمال دارد که در مجموع 7 یا 8 به دست آید؟

راه حل. بیایید رویدادها را مشخص کنیم: A - "7 امتیاز از بین رفت" ، B - "8 امتیاز از بین رفت". رویداد A با 6 نتیجه اولیه مورد علاقه است: (1؛ 6)، (2؛ 5)، (3؛ 4)، (4؛ 3)، (5؛ 2)، (6؛ 1)، و رویداد B - توسط 5 نتیجه: (2؛ 6)، (3؛ 5)، (4؛ 4)، (5؛ 3)، (6؛ 2). n = 6 2 = 36 از همه پیامدهای ابتدایی به یک اندازه ممکن وجود دارد. و .

بنابراین، P(A)>P(B)، یعنی کسب مجموع 7 امتیاز، احتمال بیشتری نسبت به کسب مجموع 8 امتیاز دارد.

وظایف

1. یک عدد طبیعی بیش از 30 به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اینکه این عدد مضرب 3 باشد چقدر است؟
2. در کوزه آقرمز و بتوپ های آبی با همان اندازه و وزن. احتمال اینکه توپی که به طور تصادفی از این کوزه گرفته شده آبی باشد چقدر است؟
3. عددی که بیشتر از 30 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اینکه این عدد مقسوم علیه zo باشد چقدر است؟
4. در کوزه ولیآبی و بتوپ های قرمز با همان اندازه و وزن. یک توپ از این کوزه بیرون کشیده شده و کنار گذاشته می شود. این توپ قرمز است. سپس یک توپ دیگر از کوزه بیرون کشیده می شود. احتمال اینکه توپ دوم نیز قرمز باشد را پیدا کنید.
5. یک عدد طبیعی که بیشتر از 50 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اول بودن این عدد چقدر است؟
6. سه تاس انداخته می شود، مجموع امتیازات روی صورت های بالایی محاسبه می شود. چه چیزی بیشتر احتمال دارد - در مجموع 9 یا 10 امتیاز کسب کنید؟
7. سه تاس پرتاب می شود، مجموع امتیازات کاهش یافته محاسبه می شود. احتمال کسب مجموع 11 (رویداد A) یا 12 امتیاز (رویداد B) بیشتر است؟

پاسخ ها

1. 1/3. 2 . ب/(آ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(آ+ب-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - احتمال کسب 9 امتیاز در کل. p 2 \u003d 27/216 - احتمال کسب 10 امتیاز در کل. p2 > p1 7 . P(A) = 27/216، P(B) = 25/216، P(A) > P(B).

سوالات

1. احتمال وقوع یک رویداد به چه چیزی گفته می شود؟
2. احتمال وقوع یک رویداد خاص چقدر است؟
3. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن چقدر است؟
4. حدود احتمال یک رویداد تصادفی چیست؟
5. حدود احتمال هر رویداد چیست؟
6. چه تعریفی از احتمال را کلاسیک می نامند؟

واضح است که هر رویدادی درجاتی از امکان وقوع (اجرای آن) دارد. برای مقایسه کمی رویدادها با یکدیگر بر حسب درجه امکان آنها، بدیهی است که باید عدد معینی را با هر رویداد مرتبط کرد، که هر چه بزرگتر باشد، رویداد امکان پذیرتر است. به این عدد، احتمال وقوع می گویند.

احتمال رویداد- اندازه گیری عددی درجه امکان عینی وقوع این رویداد است.

یک آزمایش تصادفی و یک رویداد تصادفی A را در نظر بگیرید که در این آزمایش مشاهده شده است. بیایید این آزمایش را n بار تکرار کنیم و m(A) تعداد آزمایشاتی باشد که در آن رویداد A رخ داده است.

رابطه (1.1)

تماس گرفت فراوانی نسبیرویداد A در سری آزمایش ها.

به راحتی می توان اعتبار ویژگی ها را تأیید کرد:

اگر A و B ناسازگار باشند (AB=)، ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

فرکانس نسبی تنها پس از یک سری آزمایش تعیین می شود و به طور کلی ممکن است از سری به سری دیگر متفاوت باشد. با این حال، تجربه نشان می دهد که در بسیاری از موارد، با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس نسبی به عدد خاصی نزدیک می شود. این واقعیت پایداری فرکانس نسبی بارها تأیید شده است و می توان آن را به طور تجربی ثابت کرد.

مثال 1.19.. اگر یک سکه پرتاب کنید، هیچکس نمی تواند پیش بینی کند که در کدام سمت فرود خواهد آمد. اما اگر دو تن سکه پرتاب کنید، همه می گویند که حدود یک تن مانند یک نشان می افتد، یعنی فرکانس نسبی افتادن نشان تقریباً 0.5 است.

اگر با افزایش تعداد آزمایش‌ها، فرکانس نسبی رویداد ν(A) به یک عدد ثابت متمایل شود، می‌گوییم که رویداد A از نظر آماری پایدار استو این عدد را احتمال رویداد A می نامند.

احتمال وقوع یک رویداد ولیمقدار ثابتی P(A) نامیده می شود که فرکانس نسبی ν(A) این رویداد با افزایش تعداد آزمایش ها به آن گرایش پیدا می کند، یعنی:

این تعریف نامیده می شود تعریف آماریاحتمالات .

آزمایش تصادفی را در نظر بگیرید و بگذارید فضای رویدادهای ابتدایی آن شامل مجموعه ای متناهی یا نامتناهی (اما قابل شمارش) از رویدادهای ابتدایی ω 1 , ω 2 , …, ω i , … باشد. فرض کنید به هر رویداد ابتدایی ω i یک عدد مشخص اختصاص داده شده است - р i، که درجه احتمال وقوع این رویداد ابتدایی را مشخص می کند و ویژگی های زیر را برآورده می کند:

چنین عددی p i نامیده می شود احتمال رویداد ابتداییω من .

حال اجازه دهید A یک رویداد تصادفی باشد که در این آزمایش مشاهده شده است و مجموعه خاصی با آن مطابقت دارد

در چنین محیطی احتمال رویداد ولی مجموع احتمالات وقایع ابتدایی به نفع A نامیده می شود(شامل در مجموعه A مربوطه):

احتمال معرفی شده به این ترتیب دارای همان خواص فرکانس نسبی است، یعنی:

و اگر AB \u003d (A و B ناسازگار هستند)،

سپس P(A+B) = P(A) + P(B)

در واقع، طبق (1.4)

در رابطه آخر، از این واقعیت بهره برده ایم که هیچ رویداد ابتدایی نمی تواند همزمان دو رویداد ناسازگار را به نفع خود قرار دهد.

ما مخصوصاً متذکر می شویم که نظریه احتمال روش هایی را برای تعیین p i نشان نمی دهد، آنها باید از ملاحظات عملی جستجو شوند یا از یک آزمایش آماری مناسب به دست آیند.

به عنوان مثال، طرح کلاسیک نظریه احتمال را در نظر بگیرید. برای انجام این کار، یک آزمایش تصادفی را در نظر بگیرید که فضای رویدادهای ابتدایی آن از تعداد محدود (n) عنصر تشکیل شده است. اجازه دهید علاوه بر این فرض کنیم که همه این رویدادهای ابتدایی به یک اندازه محتمل هستند، یعنی احتمالات رویدادهای ابتدایی p(ω i)=p i =p است. از این رو نتیجه می شود که

مثال 1.20. هنگام پرتاب یک سکه متقارن، نشان و دم به یک اندازه ممکن است، احتمال آنها 0.5 است.

مثال 1.21. هنگامی که یک قالب متقارن پرتاب می شود، همه چهره ها به یک اندازه محتمل هستند، احتمال آنها 1/6 است.

اجازه دهید اکنون رویداد A مورد علاقه m رویدادهای ابتدایی باشد، آنها معمولاً نامیده می شوند نتایج به نفع رویداد A. سپس

اخذ شده تعریف کلاسیک احتمال: احتمال P(A) رویداد A برابر است با نسبت تعداد پیامدهای مطلوب رویداد A به تعداد کل پیامدها

مثال 1.22. یک کوزه حاوی m توپ سفید و n توپ سیاه است. احتمال رسم یک توپ سفید چقدر است؟

راه حل. در مجموع m+n رویداد ابتدایی وجود دارد. همه آنها به یک اندازه باورنکردنی هستند. رویداد مساعد الف از آنها م. در نتیجه، .

ویژگی های زیر از تعریف احتمال به دست می آیند:

ملک 1. احتمال وقوع یک رویداد معین برابر با یک است.

در واقع، اگر رویداد قابل اعتماد باشد، هر یک از نتایج ابتدایی آزمون به نفع رویداد است. در این مورد m=p،در نتیجه،

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

ملک 2. احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

در واقع، اگر رویداد غیرممکن باشد، هیچ یک از نتایج اولیه محاکمه به نفع واقعه نیست. در این مورد تی= 0، بنابراین، P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

ملک 3.احتمال یک رویداد تصادفی است عدد مثبتبین صفر و یک

در واقع، تنها بخشی از تعداد کل نتایج ابتدایی آزمون به نفع یک رویداد تصادفی است. یعنی 0≤m≤n، که به معنای 0≤m/n≤1 است، بنابراین، احتمال هر رویدادی نابرابری مضاعف 0≤ را برآورده می کند. P(A) ≤1. (1.8)

با مقایسه تعاریف احتمال (1.5) و فراوانی نسبی (1.1) نتیجه می گیریم: تعریف احتمال. برای انجام آزمایش نیازی ندارددر حقیقت؛ تعریف فرکانس نسبی این را فرض می کند آزمایشات در واقع انجام شد. به عبارت دیگر، احتمال قبل از تجربه و فراوانی نسبی - بعد از تجربه محاسبه می شود.

با این حال، محاسبه احتمال نیاز به اطلاعات قبلی در مورد تعداد یا احتمالات پیامدهای اولیه به نفع یک رویداد معین دارد. در غیاب چنین اطلاعات اولیه، از داده های تجربی برای تعیین احتمال استفاده می شود، یعنی فراوانی نسبی رویداد از نتایج یک آزمایش تصادفی تعیین می شود.

مثال 1.23. بخش کنترل فنی کشف شد 3قطعات غیر استاندارد در دسته ای از 80 قطعه که به طور تصادفی انتخاب شده اند. فراوانی نسبی وقوع قطعات غیر استاندارد r (A)= 3/80.

مثال 1.24. با هدف.تولید شده 24 شلیک شد و 19 ضربه به ثبت رسید. فرکانس نسبی اصابت به هدف. r (A)=19/24.

مشاهدات طولانی مدت نشان داده است که اگر آزمایش‌ها در شرایط یکسانی انجام شوند، که در هر یک از آنها تعداد آزمایش‌ها به اندازه کافی زیاد باشد، فرکانس نسبی خاصیت پایداری را نشان می‌دهد. این ملک است که در آزمایش‌های مختلف فرکانس نسبی کمی تغییر می‌کند (هرچه کمتر، آزمایش‌های بیشتری انجام شود)، که حول یک عدد ثابت مشخص در نوسان است.معلوم شد که این عدد ثابت را می توان به عنوان مقدار تقریبی احتمال در نظر گرفت.

رابطه بین فرکانس نسبی و احتمال در زیر با جزئیات بیشتر و دقیق تر توضیح داده خواهد شد. حال اجازه دهید ویژگی پایداری را با مثال هایی توضیح دهیم.

مثال 1.25. بر اساس آمار سوئد، میزان زاد و ولد نسبی دختران در سال 1935 به تفکیک ماه با اعداد زیر مشخص می شود (اعداد به ترتیب ماه ها مرتب شده اند، با شروع از ژانویه): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

فرکانس نسبی در اطراف عدد 0.481 در نوسان است که می توان آن را به عنوان در نظر گرفت ارزش تقریبیاحتمال دختر داشتن

توجه داشته باشید که آمار کشورهای مختلف تقریباً همان مقدار فراوانی نسبی را نشان می دهد.

مثال 1.26.آزمایش های مکرر با پرتاب یک سکه انجام شد که در آن تعداد رخدادهای "نشان اسلحه" شمارش شد. نتایج چندین آزمایش در جدول نشان داده شده است.

نظریه احتمالات یک شاخه مستقل نسبتاً گسترده از ریاضیات است. در دوره مدرسه، نظریه احتمال بسیار سطحی در نظر گرفته می شود، با این حال، در آزمون یکپارچه دولتی و GIA وظایفی در مورد این موضوع وجود دارد. با این حال، حل مشکل دوره مدرسهچندان دشوار نیست (حداقل تا آنجا که به عملیات حسابی مربوط می شود) - نیازی به محاسبه مشتقات، گرفتن انتگرال و حل پیچیده نیست. تبدیل های مثلثاتی- نکته اصلی این است که بتوانید با آن مقابله کنید اعداد اولو کسرها

نظریه احتمال - اصطلاحات اساسی

اصطلاحات اصلی نظریه احتمال عبارتند از آزمایش، نتیجه و رویداد تصادفی. در تئوری احتمال، آزمایش نامیده می شود - یک سکه پرتاب کنید، یک کارت بکشید، یک قرعه بکشید - همه اینها آزمایش هستند. نتیجه آزمایش، حدس زدید، نتیجه نامیده می شود.

رویداد تصادفی چیست؟ در تئوری احتمال، فرض بر این است که آزمون بیش از یک بار انجام شده و نتایج زیادی دارد. یک رویداد تصادفی مجموعه ای از نتایج آزمون است. به عنوان مثال، اگر یک سکه پرتاب کنید، دو رویداد تصادفی ممکن است رخ دهد - سر یا دم.

مفاهیم نتیجه و رویداد تصادفی را با هم اشتباه نگیرید. نتیجه یک نتیجه از یک آزمایش است. یک رویداد تصادفی مجموعه ای از نتایج ممکن است. به هر حال، اصطلاحی به عنوان یک رویداد غیرممکن وجود دارد. به عنوان مثال، رویداد "عدد 8 سقوط کرد" در قالب بازی استاندارد غیرممکن است.

چگونه احتمال را پیدا کنیم؟

همه ما تقریباً درک می کنیم که احتمال چیست و اغلب از این کلمه در واژگان خود استفاده می کنیم. علاوه بر این، حتی می‌توانیم در مورد احتمال وقوع یک رویداد نتیجه‌گیری کنیم، به عنوان مثال، اگر بیرون از پنجره برف باریده باشد، به احتمال زیاد می‌توان گفت که اکنون تابستان نیست. با این حال، چگونه می توان این فرض را به صورت عددی بیان کرد؟

برای معرفی فرمولی برای یافتن احتمال، مفهوم دیگری را معرفی می کنیم - نتیجه مطلوب، یعنی نتیجه ای که برای یک رویداد خاص مطلوب است. البته تعریف نسبتا مبهم است، اما با توجه به شرایط مسئله، همیشه مشخص است که کدام یک از نتایج مطلوب است.

به عنوان مثال: 25 نفر در کلاس هستند که سه نفر از آنها کاتیا هستند. معلم اولیا را به وظیفه منصوب می کند و او به یک شریک نیاز دارد. احتمال شریک شدن کاتیا چقدر است؟

که در این مثالنتیجه مطلوب - شریک کاتیا. کمی بعد این مشکل را حل خواهیم کرد. اما ابتدا با استفاده از یک تعریف اضافی، فرمولی برای یافتن احتمال معرفی می کنیم.

• P = A/N، که در آن P احتمال، A تعداد پیامدهای مطلوب، N تعداد کل نتایج است.

همه چيز وظایف مدرسهحول این فرمول بچرخید و مشکل اصلی معمولاً در یافتن نتایج نهفته است. گاهی اوقات پیدا کردن آنها آسان است، گاهی اوقات نه چندان.

چگونه مشکلات احتمالی را حل کنیم؟

وظیفه 1

خب حالا بیایید مشکل فوق را حل کنیم.

تعداد نتایج مطلوب (معلم کاتیا را انتخاب می کند) سه است، زیرا سه کاتیا در کلاس وجود دارد و کل نتایج 24 است (25-1، زیرا اولیا قبلاً انتخاب شده است). سپس احتمال این است: P = 3/24=1/8=0.125. بنابراین، احتمال اینکه کاتیا شریک اولیا شود 12.5٪ است. آسان است، درست است؟ بیایید به چیز پیچیده تر نگاه کنیم.

وظیفه 2

یک سکه دو بار پرتاب می شود، احتمال ترکیبی شدن آن چقدر است: یک سر و یک دم؟

بنابراین، ما نتایج کلی را در نظر می گیریم. چگونه سکه ها می افتند - سر / سر، دم / دم، سر / دم، دم / سر؟ بنابراین تعداد کل پیامدها 4 است. چند پیامد مطلوب؟ دو - سر / دم و دم / سر. بنابراین، احتمال به دست آوردن سر/دم برابر است با:

• P = 2/4 = 0.5 یا 50 درصد.

حال بیایید چنین مشکلی را در نظر بگیریم. ماشا 6 سکه در جیب خود دارد: دو - با ارزش اسمی 5 روبل و چهار - با ارزش اسمی 10 روبل. ماشا 3 سکه را به جیب دیگری منتقل کرد. احتمال اینکه سکه های 5 روبلی در جیب های مختلف باشد چقدر است؟

برای سادگی، بیایید سکه ها را با اعداد - 1،2 - سکه های پنج روبلی، 3،4،5،6 - سکه های ده روبلی مشخص کنیم. بنابراین، چگونه سکه ها می توانند در جیب باشند؟ در کل 20 ترکیب وجود دارد:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که برخی از ترکیب ها از بین رفته اند، مثلا 231، اما در مورد ما، ترکیب های 123، 231 و 321 معادل هستند.

حالا می شمریم که چند نتیجه مطلوب داریم. برای آنها، ترکیباتی را می گیریم که در آنها عدد 1 یا 2 وجود دارد: 134، 135، 136، 145، 146، 156، 234، 235، 236، 245، 246، 256. 12 مورد از آنها وجود دارد. بنابراین، احتمال این است:

• P = 12/20 = 0.6 یا 60٪.

مسائل موجود در نظریه احتمالات که در اینجا ارائه شده اند بسیار ساده هستند، اما فکر نکنید که نظریه احتمال شاخه ساده ای از ریاضیات است. اگر تصمیم به ادامه تحصیل در دانشگاه (به استثنای رشته های علوم انسانی) داشته باشید، قطعاً زوج هایی خواهید داشت ریاضیات بالاتر، که در آن با اصطلاحات پیچیده تر این نظریه آشنا می شوید و وظایف در آنجا بسیار دشوارتر خواهد بود.

که در از تکالیف استفاده کنیددر ریاضیات، مسائل احتمالی پیچیده تری نیز وجود دارد (از آنچه در قسمت 1 در نظر گرفتیم)، که در آن باید قانون جمع، ضرب احتمالات و تمایز بین رویدادهای مشترک و ناسازگار را اعمال کنید.

بنابراین، نظریه.

رویدادهای مشترک و غیر مشترک

وقایع در صورتی ناسازگار گفته می شود که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگر باشد. یعنی فقط یک رویداد خاص می تواند اتفاق بیفتد یا رویداد دیگر.

مثلا پرتاب کردن تاس، می توان رویدادهایی مانند از دست دادن تعداد زوج و از دست دادن تعداد فرد امتیاز را تشخیص داد. این رویدادها ناسازگار هستند.

وقایع را در صورتی مشترک می گویند که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگری نباشد.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک قالب، می توانید بین رویدادهایی مانند وقوع تعداد فرد امتیاز و از دست دادن تعدادی امتیاز که مضرب سه است، تمایز قائل شوید. وقتی سه رول می شود، هر دو رویداد تحقق می یابد.

مجموع رویدادها

مجموع (یا اتحاد) چند رویداد رویدادی است که حداقل یکی از این رویدادها را در خود دارد.

که در آن مجموع دو رویداد ناهمگون مجموع احتمالات این رویدادها است:

به عنوان مثال، احتمال کسب 5 یا 6 امتیاز از یک تاس در یک پرتاب به این دلیل است که هر دو رویداد (افتادن 5، قطره 6) ناسازگار هستند و احتمال یک یا دومین رویداد به صورت زیر محاسبه می شود:

امکان مجموع دو رویداد مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون در نظر گرفتن وقوع مشترک آنها:

به عنوان مثال، در مرکز خریددو دستگاه فروش یکسان قهوه می فروشند. احتمال تمام شدن قهوه دستگاه تا پایان روز 0.3 است. احتمال تمام شدن قهوه هر دو دستگاه 0.12 است. بیایید این احتمال را پیدا کنیم که در پایان روز قهوه حداقل در یکی از دستگاه ها (یعنی در یکی، یا در دیگری، یا در هر دو به طور همزمان) تمام شود.

احتمال رخداد اول «قهوه در دستگاه اول تمام می شود» و همچنین احتمال رویداد دوم «قهوه در دستگاه دوم ختم می شود» با شرط برابر با 0.3 است. رویدادها مشارکتی هستند.

احتمال تحقق مشترک دو رویداد اول طبق شرط برابر با 12/0 است.

این به این معنی است که احتمال اینکه در پایان روز قهوه در حداقل یکی از دستگاه ها تمام شود.

رویدادهای وابسته و مستقل

دو رویداد تصادفی A و B در صورتی مستقل نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد. در غیر این صورت رویدادهای A و B وابسته نامیده می شوند.

به عنوان مثال، وقتی دو تاس به طور همزمان ریخته می شوند، یکی از آنها، مثلاً 1، و 5 تاس دیگر، رویدادهای مستقلی هستند.

محصول احتمالات

محصول (یا تقاطع) چندین رویداد رویدادی است که شامل وقوع مشترک همه این رویدادها است.

اگر دو تا هستند رویدادهای مستقل A و B با احتمالات P(A) و P(B) به ترتیب، پس احتمال تحقق رویدادهای A و B به طور همزمان برابر با حاصلضرب احتمالات است:

به عنوان مثال، ما علاقه مند به از دست دادن یک شش بر روی یک تاس دو بار متوالی هستیم. هر دو رویداد مستقل هستند و احتمال وقوع هر یک از آنها جداگانه است. احتمال وقوع هر دوی این رویدادها با استفاده از فرمول بالا محاسبه می شود: .

منتخبی از کارها را برای کار کردن موضوع مشاهده کنید.