عملکرد تراکم متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شده. توزیع نرمال و پارامترهای آن

در بسیاری از چالش های مرتبط با مقادیر تصادفی به طور معمول توزیع شده، لازم است که احتمال آن را تعیین کنید متغیر تصادفی ، به قانون عادی با پارامترها، به سایت از قبل وابسته است. برای محاسبه این احتمال، ما از فرمول کلی استفاده می کنیم

کجا - اندازه توزیع اندازه.

پیدا کردن عملکرد توزیع یک متغیر تصادفی توزیع شده با توجه به یک قانون عادی با پارامترها. مقدار تراکم توزیع عبارتند از:

از اینجا ما تابع توزیع را پیدا می کنیم

. (6.3.3)

ما با جایگزینی متغیر در یک انتگرال (6.3.3) ایجاد خواهیم کرد

و ما آن را به ذهن می دهیم:

(6.3.4)

انتگرال (6.3.4) از طریق بیان نمی شود توابع ابتداییاما می توان آن را از طریق یک تابع خاص که یکپارچگی خاص را از یک عبارت یا (یکپارچگی به اصطلاح به اصطلاح) که جدول کامپایل شده است، محاسبه می شود. برای مثال، انواع مختلفی از چنین توابع وجود دارد:

;

و غیره. کدام یک از این توابع استفاده می شود - موضوع طعم. ما به عنوان چنین تابع انتخاب خواهیم کرد.

. (6.3.5)

دشوار نیست که ببینیم این عملکرد چیزی جز یک تابع توزیع برای یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی با پارامترها نیست.

ما موافقت میکنیم که تابع را فراخوانی کنیم تابع عادی توزیع ضمیمه (جدول 1) جداول جدول جدول را نشان می دهد.

تابع توزیع (6.3.3) مقادیر را با پارامترها و از طریق عملکرد توزیع نرمال بیان کنید. به طور مشخص

در حال حاضر ما احتمال واریانس تصادفی ورودی را به سایت از قبل پیدا می کنیم. با توجه به فرمول (6.3.1)

بنابراین، ما بیان کردیم که یک متغیر تصادفی به صورت تصادفی با توجه به قانون عادی با هر پارامترهای استاندارد توزیع شده، از طریق تابع توزیع استاندارد مربوط به ساده ترین قانون عادی با پارامترهای 0.1 بیان شده است. توجه داشته باشید که استدلال عملکرد در فرمول (6.3.7) یک معنی بسیار ساده دارد: فاصله ای از انتهای سمت راست سایت به مرکز پراکندگی وجود دارد که بیان شده در انحرافات درجه دوم متوسط؛ - همان فاصله برای انتهای سمت چپ سایت، و این فاصله مثبت در نظر گرفته می شود اگر پایان در سمت راست مرکز پراکندگی قرار گیرد و منفی باشد، اگر در سمت چپ.

مانند هر تابع توزیع، عملکرد دارای خواص:

3. - عملکرد مجددا.

علاوه بر این، از تقارن توزیع نرمال با پارامترهای نسبت به شروع مختصات، آن را دنبال می کند

با استفاده از این ویژگی، در واقع، می توان جداول تابع را تنها با مقادیر مثبت این استدلال محدود کرد، اما برای جلوگیری از عملیات بیش از حد (تفریق از یک)، در جدول 1 از برنامه، مقادیر است معتبر برای هر دو استدلال مثبت و منفی است.

در عمل، وظیفه محاسبه احتمال ورود به یک متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شده به منطقه اغلب نسبت به مرکز پراکندگی متقارن است. چنین بخشی از طول را در نظر بگیرید (شکل 6.3.1). ما محاسبه likelios از ورود به این بخش توسط فرمول (6.3.7):

با توجه به اموال (6.3.8) از عملکرد و دادن بخش چپ فرمول (6.3.9) ظاهر فشرده تر، ما یک فرمول برای احتمال یک متغیر تصادفی به دست می آوریم، توزیع شده با توجه به قانون عادی به منطقه، متقارن نسبت به مرکز پراکندگی:

. (6.3.10)

اجازه دهید کار زیر را بگذار ما از مرکز پراکندگی بخش های پی در پی (شکل 6.3.2) به تعویق می افتیم و احتمال واریانس تصادفی ورودی را در هر یک از آنها محاسبه می کنیم. از آنجا که منحنی قانون عادی متقارن است، به اندازه کافی برای تعویض چنین بخش ها تنها یک راه است.

توسط فرمول (6.3.7) ما می بینیم:

(6.3.11)

همانطور که از این داده ها دیده می شود، احتمالات ورود به هر یک از بخش های زیر (پنجم، ششم و غیره) با دقت 0.001 صفر است.

در اطراف احتمال احتمالات به بخش ها به 0.01 (تا 1٪)، ما سه عدد را که به راحتی به یاد می آوریم دریافت خواهیم کرد:

0,34; 0,14; 0,02.

مجموع این سه ارزش 0.5 است. این به این معنی است که برای یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده، تمام پراکندگی (با دقت یک درصد) بر روی سایت قرار می گیرد.

این اجازه می دهد تا دانستن میانگین انحراف درجه دوم و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی، به صورت آزمایشی، فاصله ای از مقادیر عملی ممکن را نشان می دهد. این روش برآورد محدوده مقادیر احتمالی متغیر تصادفی شناخته شده است آمار ریاضی تحت نام "حکومت سه سیگما". از سه قواعد سیگما، روش تخمینی برای تعیین میانگین انحراف درجه دوم یک متغیر تصادفی نیز دنبال می شود: حداکثر انحراف عملا ممکن است از میانگین و تقسیم آن به سه. البته، این پذیرش خشن می تواند تنها در صورتی که هیچ روش دیگری برای تعیین آن وجود نداشته باشد، توصیه شود.

مثال 1. یک متغیر تصادفی، توزیع شده با توجه به قانون عادی، یک خطای اندازه گیری از یک فاصله مشخص است. در اندازه گیری، یک خطای سیستماتیک به میزان 1.2 (متر) به نسبت بیش از حد مجاز می شود. میانگین انحراف درجه دوم خطای اندازه گیری 0.8 (m) است. این احتمال را پیدا کنید که انحراف از مقدار اندازه گیری شده از TRUE ارزش مطلق 1.6 (متر) را فراتر رود.

تصمیم گیری خطای اندازه گیری یک مقدار تصادفی به قانون عادی با پارامترها و همچنین وجود دارد. لازم است احتمال این احتمال را به سایت از قبل پیدا کنید. توسط فرمول (6.3.7) ما داریم:

با استفاده از جداول تابع (برنامه، جدول 1)، ما پیدا خواهیم کرد:

; ,

مثال 2. همان احتمال را در مثال قبلی پیدا کنید، اما در صورتی که هیچ خطای سیستماتیک وجود نداشته باشد.

تصمیم گیری در فرمول (6.3.10)، معتقد است، ما می بینیم:

مثال 3. برای هدف داشتن یک نوع نوار (بزرگراه)، عرض آن 20 متر است، تیراندازی در جهت عمود بر آزادراه. هدف در خط Midline از بزرگراه انجام شده است. میانگین انحراف درجه دوم در جهت تیراندازی برابر با m است. یک خطای سیستماتیک در جهت شلیک وجود دارد: یک هفته 3 متر. پیدا کردن احتمال ورود به بزرگراه در یک شات.

در نظریه احتمال، تعداد زیادی از قوانین توزیع متنوع در نظر گرفته شده است. برای حل مشکلات مرتبط با ساخت کارت های کنترل، تنها برخی از آنها مورد توجه هستند. مهمترین آنها این است قانون توزیع عادیکه برای ساخت کارت های کنترل استفاده می شود، استفاده می شود علامت کمی. هنگامی که ما با یک متغیر تصادفی مداوم برخورد می کنیم. قانون توزیع نرمال موقعیت خاصی را در میان قوانین دیگر قرار می دهد. این به خاطر این واقعیت است که در ابتدا، اغلب، اغلب در عمل یافت می شود، و در مرحله دوم، این قانون حاشیه ای است که قوانین توزیع دیگری با شرایط معمول معمول نزدیک می شوند. همانطور که برای شرایط دوم، در تئوری احتمالات، ثابت شد که مجموع تعداد زیادی از متغیرهای تصادفی مستقل (یا ضعیف) متغیرهای تصادفی وابسته به چه مقدار قوانین توزیع (با توجه به محدودیت های بسیار غیر سفت ) تقریبا از قانون عادی اطاعت می کند، و این دقیق تر است، بیشتر تعداد متغیرهای تصادفی خلاصه شده است. اکثر افراد در عمل متغیرهای تصادفی مانند خطاهای اندازه گیری مواجه می شوند، می توانند به عنوان مجموع تعداد بسیار کمی از شرایط نسبتا کوچک - خطاهای ابتدایی ارائه شوند، که هر کدام از آنها به علت یک دلیل تنها، مستقل است بقیه قانون عادی در مواردی که یک متغیر تصادفی وجود دارد، ظاهر می شود H. این نتیجه تعداد زیادی از عوامل مختلف است. هر عامل به طور جداگانه به اندازه H. کمی تاثیر می گذارد، و شما نمیتوانید مشخص کنید کدام یک از آنها تاثیر می گذارد بیشتر ازاز بقیه.

توزیع نرمال(توزیع گاولس لاپلاس) - توزیع احتمالات یک متغیر تصادفی مداوم H. به طوری که تراکم توزیع احتمالی زمانی - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

ejr (3)

به عبارت دیگر، توزیع نرمال توسط دو پارامتر M و S مشخص می شود، جایی که m - ارزش مورد انتظار؛ S- انحراف استاندارد توزیع نرمال.

S. 2 - این پراکندگی توزیع نرمال است.

انتظارات ریاضی M موقعیت مرکز توزیع را مشخص می کند و انحراف استاندارد S (SBE) یک ویژگی پراکندگی است (شکل 3).

f (x) f (x)

شکل 3 - توابع تراکم توزیع نرمال با:

الف) انتظارات ریاضی مختلف m؛ ب) اسکی مختلف.

بنابراین، ارزش μ تعیین شده توسط موقعیت منحنی توزیع در محور Abscissa. بعد، ابعاد، اندازه μ - همانند ابعاد متغیر تصادفی ایکس.. با رشد انتظارات ریاضی، توده ای از تابع به طور موازی به سمت راست حرکت می کند. با کاهش پراکندگی S 2 تراکم به طور فزاینده ای در اطراف m متمرکز می شود، در حالی که عملکرد توزیع سردتر می شود.

مقدار σ شکل منحنی توزیع را تعریف می کند. از آنجا که منطقه تحت منحنی توزیع همیشه باید باقی بماند واحد مساوی، با افزایش σ، منحنی توزیع بیشتر مسطح می شود. در شکل 3.1 نشان می دهد سه منحنی در مختلف σ: σ1 \u003d 0.5؛ σ2 \u003d 1.0؛ σ3 \u003d 2.0.

شکل 3.1 - توابع تراکم توزیع نرمال بااسکی مختلف

تابع توزیع (تابع انتگرال) دارای فرم است (شکل 4):

(4)

شکل 4 - تابع انتگرال (a) و دیفرانسیل (B) توزیع نرمال

به ویژه برای تبدیل خطی یک متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شده بسیار مهم است. H.پس از آن یک متغیر تصادفی به دست می آید Z. با انتظار ریاضی 0 و پراکندگی 1. چنین تحول به نام تقلید نامیده می شود:

این را می توان برای هر متغیر تصادفی انجام داد. جابجایی اجازه می دهد تمام انواع ممکن از توزیع نرمال برای کاهش به یک مورد: m \u003d 0، s \u003d 1.

توزیع نرمال با m \u003d 0، s \u003d 1 نامیده می شود توزیع نرمال عادی (استاندارد شده).

توزیع نرمال استاندارد (توزیع استاندارد Laplas-Gauss یا توزیع نرمال نرمال شده) توزیع احتمال متغیر تصادفی معمولی استاندارد شده است Z.، تراکم توزیع آن چیست؟

وقتی - ¥<z.< + ¥

مقادیر تابع f (z) تعیین شده توسط فرمول:

(7)

مقادیر تابع f (z) و تراکم f (z) توزیع نرمال نرمال شده محاسبه شده و به جداول (جدول بندی شده) کاهش می یابد. جدول فقط برای مقادیر مثبت ساخته شده است z.بنابراین:

f (–z) \u003d 1–f (z) (8)

با استفاده از این جداول، شما می توانید نه تنها ارزش های تابع و تراکم توزیع نرمال عادی را برای مشخص شده تعریف کنید z.، اما همچنین مقادیر عملکرد توزیع کلی طبیعی، به عنوان:

; (9)

. 10)

در بسیاری از چالش های مرتبط با مقادیر تصادفی به طور معمول توزیع شده، لازم است که احتمال متغیر تصادفی تعیین شود H.، به قانون عادی با پارامترهای M و S، به یک منطقه خاص وابسته است. چنین بخش ممکن است، به عنوان مثال، زمینه تحمل به پارامتر از ارزش بالا تو نوشه L..

احتمال ورود به فاصله از h. 1 h. 2 می تواند توسط فرمول تعیین شود:

بنابراین، احتمال واریانس تصادفی (ارزش پارامتر) H. در زمینه تحمل توسط فرمول تعیین می شود

شما می توانید این احتمال را پیدا کنید که یک متغیر تصادفی H. به نظر می رسد که در داخل μ باشد K.s. . مقادیر به دست آمده برای k. \u003d 1.2 و 3 موارد زیر هستند (همچنین به شکل 5 نگاه کنید):

بنابراین، اگر هر مقدار به نظر خارج از بخش سه قطعه، که در آن 99.73٪ از تمام مقادیر ممکن وجود دارد، و احتمال چنین رویدادی بسیار کوچک است (1: 270)، باید در نظر گرفته شود که ارزش مورد نظر تبدیل شده است خارج شدن بیش از حد کوچک یا بیش از حد بزرگ است. نه به خاطر تغییرات تصادفی، بلکه به علت دخالت ضروری در فرآیند خود، قادر به ایجاد تغییرات در ماهیت توزیع است.

این طرح دروغین در داخل مرزهای سه طرفه نیز نامیده می شود منطقه تحمل آماری دستگاه یا فرآیند مناسب

مثال فایل

توزیع نرمال را در نظر بگیرید. با استفاده از یک تابع خانم اکسل norm.rasp () ما نمودار های تابع توزیع و تراکم احتمالی را ساختیم. اجازه دهید مجموعه ای از اعداد تصادفی توزیع شده بر اساس یک قانون عادی تولید کنیم، ما پارامترهای توزیع، میانگین و انحراف استاندارد را ارزیابی خواهیم کرد .

توزیع نرمال (همچنین توزیع Gauss نامیده می شود) مهمترین تئوری است، بنابراین در برنامه های کاربردی سیستم کنترل برنامه. اهمیت معنی توزیع نرمال (مهندس طبیعی توزیع) در بسیاری از زمینه های علم، از نظریه احتمال پیروی می شود.

تعریف : مقدار تصادفی ایکس. توزیع شده توسط قانون عادی اگر آن را داشته باشد:

توزیع نرمال بستگی به دو پارامتر دارد: μ (MJ) - است، و σ ( سیگما) - این (انحراف استاندارد) است. پارامتر μ تعیین موقعیت مرکز را تعیین می کند چگالی احتمالی توزیع نرمال ، و σ - پراکنده نسبت به مرکز (متوسط).

توجه داشته باشید : بر اثر پارامترهای μ و σ در فرم توزیع در مقاله در مورد، و در مثال مثال فایل بر روی ورق اثر پارامترها شما می توانید به شکل منحنی تغییر دهید.

توزیع نرمال در MS اکسل

در MS Excel، از سال 2010، برای توزیع نرمال هنجارهای هنجارها وجود دارد. ARP ()، نام انگلیسی - norm.dist ()، که به شما اجازه می دهد تا محاسبه کنید چگالی احتمالی (فرمول بالا را ببینید) و تابع توزیع انتگرال (احتمال این که مقدار تصادفی x، توزیع شده توسط قانون عادی مقدار کمتر از یا برابر با x را مصرف خواهد کرد). محاسبات در مورد دوم بر اساس فرمول زیر ساخته شده است:

توزیع بالا دارای تعیین است n. (μ; σ). همچنین اغلب از تعیین از طریق استفاده از n. (μ؛ σ 2).

توجه داشته باشید : به MS اکسل 2010 در اکسل تنها یک تابع normsp () وجود داشت که همچنین به شما اجازه می دهد تا تابع توزیع و تراکم احتمالات را محاسبه کنید. Normrasp () در MS Excel 2010 برای سازگاری باقی مانده است.

توزیع نرمال استاندارد

توزیع نرمال استاندارد به نام توزیع نرمال c μ \u003d 0 و σ \u003d 1. توزیع بالا دارای تعیین است n. (0;1).

توجه داشته باشید : در ادبیات برای یک متغیر تصادفی توزیع شده توسط استاندارد قانون عادی تعیین ویژه Z ثابت است.

هر کسی توزیع نرمال می تواند به استاندارد از طریق جایگزینی متغیر تبدیل شود Z. =( ایکس. -μ)/σ . این فرآیند تبدیل نامیده می شود استاندارد سازی .

توجه داشته باشید : MS Excel دارای عملکرد عادی () است که تبدیل فوق را انجام می دهد. اگر چه در MS اکسل این تحول به دلایلی نامیده می شود عادی سازی . فرمول \u003d (x-μ) / σ و \u003d عادی سازی (x؛ μ؛ σ) نتیجه مشابهی را بازگردانید

در MS اکسل 2010 برای یک تابع خاص از هنجارها وجود دارد. str.sp () و نسخه قدیمی آن از NormStrap () انجام محاسبات مشابه.

ما نشان خواهیم داد که چگونه فرایند استاندارد سازی در MS Excel اجرا می شود توزیع نرمال n. (1,5; 2).

برای انجام این کار، ما احتمال این را محاسبه می کنیم که یک متغیر تصادفی توزیع شده توسط قانون عادی n (1.5؛ 2) ، کمتر یا برابر 2.5. فرمول به نظر می رسد این است: \u003d هنجارها Rasp (2.5؛ 1.5؛ 2؛ حقیقت) \u003d 0.691462. با جایگزینی متغیر Z. =(2,5-1,5)/2=0,5 ، فرمول را برای محاسبه بنویسید توزیع نرمال استاندارد: \u003d norm.st.Rasp (0.5؛ حقیقت) =0,691462.

به طور طبیعی، هر دو فرمول نتایج مشابهی را ارائه می دهند (نگاه کنید به مثال مثال مثال فایل).

توجه داشته باشید که استاندارد سازی فقط C. (بحث و جدل انتگرال برابر با حقیقت)، و نه به چگالی احتمالی .

توجه داشته باشید : در ادبیات برای یک تابع که احتمال یک متغیر تصادفی توزیع شده را محاسبه می کند استاندارد قانون عادی تعیین ویژه F (Z). در MS اکسل، این ویژگی توسط فرمول محاسبه می شود \u003d norm.st.sp (z؛ حقیقت) . محاسبات توسط فرمول ساخته شده است

با توجه به توازن تابع توزیع F (x)، یعنی f (x) \u003d f (s)، تابع توزیع نرمال استاندارد این دارایی F (-X) \u003d 1-F (x) است.

توابع معکوس

تابع norm.st.sp (x؛ حقیقت) محاسبه احتمال P را محاسبه می کند که مقدار تصادفی X مقدار کمتر از یا برابر با x را دریافت می کند. اما اغلب لازم است برای محاسبه معکوس انجام شود: دانستن احتمال P، لازم است که مقدار x را محاسبه کنید. مقدار محاسبه شده X نامیده می شود استاندارد توزیع نرمال .

در MS اکسل برای محاسبه کمتری با استفاده از تابع norms.Stro.Ob () و هنجارها.

گرافیک توابع

فایل مثال شامل گرافیک تراکم توزیع احتمال I. تابع توزیع انتگرال .

همانطور که می دانید، حدود 68 درصد از مقادیر انتخاب شده از مجموع توزیع نرمال در 1 انحراف استاندارد (σ) از μ (انتظارات متوسط \u200b\u200bیا ریاضی)؛ حدود 95٪ - در عرض 2 σ، و در عرض 3 σ در حال حاضر 99٪ از ارزش ها وجود دارد. مطمئن شوید که توزیع نرمال استاندارد شما می توانید یک فرمول بنویسید:

= norm.st.sprasp (1؛ حقیقت) -Norm.st.Rasp (-1؛ حقیقت)

که ارزش 68.2689٪ را باز می کند - این دقیقا درصد مقادیر در +/- 1 از انحراف استاندارد از متوسط (سانتی متر. نمودار گراف در فایل مثال).

با توجه به توازن تابع تراکم طبیعی استاندارد توزیع: F. ( ایکس.)= F. (s) تابع توزیع نرمال استاندارد این دارایی F (-X) \u003d 1-F (x) است. بنابراین، فرمول بالا می تواند ساده شود:

= 2 * norm.st.rasp (1؛ حقیقت) -1

برای خودسرانه توابع توزیع نرمال n (μ؛ σ) محاسبات مشابه باید توسط فرمول ساخته شود:

2 * norms.rsp (μ + 1 * Σ؛ μ؛ σ؛ حقیقت) -1

محاسبات بالا از احتمالات مورد نیاز است.

توجه داشته باشید : برای سهولت نوشتن، فرمول ها در فایل مثال برای پارامترهای توزیع ایجاد می شوند: μ و σ.

نسل اعداد تصادفی

اجازه دهید ما 3 آرایه از 100 عدد را با μ و σ متفاوت تولید کنیم. برای انجام این کار در پنجره نسل اعداد تصادفی مقادیر زیر را برای هر جفت پارامتر تنظیم کنید:

توجه داشته باشید : اگر گزینه را تنظیم کنید پراکندگی تصادفی ( بذر تصادفی) شما می توانید یک مجموعه تصادفی خاص از اعداد تولید شده را انتخاب کنید. به عنوان مثال، با تنظیم این گزینه به 25، شما می توانید مجموعه های مشابهی از اعداد تصادفی را در رایانه های مختلف تولید کنید (مگر اینکه، البته، دیگر پارامترهای توزیع دیگر). مقدار گزینه می تواند کل ارزش را از 1 تا 32 767 انجام دهد. نام گزینه پراکندگی تصادفی می تواند گیج شود بهتر است ترجمه آن را مانند شماره را با اعداد تصادفی تنظیم کنید .

در نتیجه، ما 3 ستون اعداد داریم، بر اساس آن شما می توانید پارامترهای توزیع را ارزیابی کنید، که از آن نمونه ساخته شده است: μ و σ . برآورد برای μ می تواند با استفاده از عملکرد Srnavov ()، و برای σ - با استفاده از تابع استاندارد Standot Clone () انجام شود.

توجه داشته باشید : برای تولید مجموعه ای از اعداد توزیع شده توسط قانون عادی ، شما می توانید فرمول را استفاده کنید \u003d norms prof (چسب ()؛ μ؛ σ) . عملکرد چسب () از 0 تا 1 تولید می شود که فقط به محدوده تغییر احتمالی مربوط می شود (نگاه کنید به مثال فایل نمونه تولید).

وظایف

task1. . این شرکت موضوعات نایلون را با قدرت متوسط \u200b\u200b41 مگاپاسکال و انحراف استاندارد 2 مگاپاسکال تولید می کند. مصرف کننده می خواهد موضوعات را با دوام حداقل 36 مگاپاسکال به دست آورد. محاسبه احتمال اینکه اتوبوس های ساخته شده توسط شرکت برای مصرف کننده مطابق با الزامات و یا بیش از آنها. راه حل 1 : = 1-norms مجموعه ها (36؛ 41؛ 2؛ حقیقت)

task2. . این شرکت تولید لوله ها، قطر متوسط \u200b\u200bبیرونی آن 20.20 میلی متر است و انحراف استاندارد 0.25 میلی متر است. با توجه به شرایط فنی، لوله ها به عنوان مناسب تشخیص داده می شوند اگر قطر در محدوده 20.00 +/- 0.40 میلی متر باشد. چه نسبت لوله های تولید شده چیست؟ راه حل 2 : = norm.rasp (20.00 + 0.40؛ 20.20؛ 0.25؛ حقیقت) - norms.RSP (20.00-0.40؛ 20.20؛ 0.25) شکل زیر، منطقه مقادیر قطر برجسته شده است، که مشخصات مشخصات را برآورده می کند.

راه حل در آن داده شده است مثال فایل به دست آوردن وظایف .

task3. . این شرکت تولید لوله ها، قطر متوسط \u200b\u200bبیرونی آن 20.20 میلی متر است و انحراف استاندارد 0.25 میلی متر است. قطر بیرونی نباید بیش از یک مقدار خاص باشد (فرض بر این است که مرز پایین تر مهم نیست). چه مرز بالایی در مشخصات فنی باید نصب شود تا 97.5 درصد از محصولات تولید شده با آن مطابقت داشته باشند؟ راه حل 3 : = هنجار تولید (0.975؛ 20.20؛ 0.25) \u003d 20،6899 یا \u003d norm.st.ob (0،975) * 0.25 + 20،2 (ساخته شده "تعیین"، به بالا نگاه کنید)

وظیفه 4 . پیدا کردن پارامترها توزیع نرمال توسط مقادیر 2 (یا). فرض کنید شناخته شده است که یک مقدار تصادفی دارای توزیع نرمال است، اما پارامترهای آن شناخته شده نیست، اما تنها 2 درصد (به عنوان مثال، 0.5- درصد . متوسط \u200b\u200bو 0،95 درصد) زیرا شناخته شده است، پس ما می دانیم، به عنوان مثال μ. برای پیدا کردن شما نیاز به استفاده. راه حل در آن داده شده است مثال فایل به دست آوردن وظایف .

توجه داشته باشید : تا زمانی که MS Excel 2010 در اکسل هنجارها () و normster () ()، که معادل هنجارها هستند، وجود دارد. ارتباطات () و هنجارها. Normobra () و Normsman () در MS اکسل 2010 و بالاتر فقط برای سازگاری باقی مانده است.

ترکیب خطی متغیرهای تصادفی به طور معمول توزیع شده

شناخته شده است که ترکیبی خطی از متغیرهای تصادفی به طور معمول توزیع شده است ایکس. ( من.) با پارامترهای μ. ( من.) و σ. ( من.) این نیز معمولا توزیع شده است. به عنوان مثال، اگر مقدار تصادفی y \u003d x (1) + x (2)، پس از آن، توزیع با پارامترهای μ (1) + μ (2) و ریشه (Σ (1) ^ 2 + σ (2) ^ 2). اطمینان حاصل کنید که خانم اکسل.

تعریف. طبیعیتوزیع احتمالهای یک متغیر تصادفی مداوم، که با تراکم احتمالی توصیف می شود، نامیده می شود

قانون توزیع نرمال نیز نامیده می شود قانون گاو.

قانون توزیع نرمال یک مکان مرکزی در تئوری احتمال را اشغال می کند. این به خاطر این واقعیت است که این قانون در همه موارد ظاهر می شود که در آن مقدار تصادفی نتیجه تعداد زیادی از عوامل مختلف است. تمام قوانین توزیع دیگر به قانون عادی نزدیک می شوند.

این را می توان به راحتی نشان داد که پارامترها و تراکم توزیع به ترتیب انتظارات ریاضی و میانگین انحراف درجه دوم متغیر تصادفی X است.

تابع توزیع را پیدا کنید f (x).

یک نمودار از تراکم توزیع نرمال نامیده می شود منحنی طبیعییا منحنی گاوسا.

منحنی طبیعی دارای خواص زیر است:

1) تابع بر روی کل محور عددی تعیین می شود.

2) در همه h. تابع توزیع تنها مقدار مثبت را می گیرد.

3) محور OH، آسمیت افقی از نمودار چگالی احتمالی است، زیرا با افزایش نامحدود در ارزش مطلق این استدلال h.مقدار تابع تلاش برای صفر است.

4) ما عملکرد افراطی را پیدا می کنیم.

زیرا برای y '\u003e 0 برای ایکس.< m و y '< 0 برای x\u003e m. سپس در نقطه x \u003d t. تابع حداکثر برابر است.

5) این تابع متقارن در مورد مستقیم است x \u003d A.زیرا تفاوت

(x - A.) شامل تابع تراکم توزیع در مربع است.

6) پیدا کردن نقاط انفصال گراف، ما دومین مشتق از تابع چگالی را پیدا می کنیم.

برای x \u003d m. + S I. x \u003d m. - S دوم مشتق صفر است و هنگامی که تغییر از طریق این نقاط، علامت را تغییر می دهد، I.E. در این نقاط، عملکرد یک انفجار دارد.

در این نقاط، مقدار تابع برابر است.

ما یک نمودار از تابع تراکم توزیع را ساختیم.

نمودارها ساخته شده اند t. \u003d 0 و سه مقدار ممکن از میانگین انحراف درجه دوم S \u003d 1، S \u003d 2 و S \u003d 7. همانطور که مشاهده می شود، با افزایش ارزش میانگین انحراف درجه دوم، گراف ملایم تر می شود و حداکثر مقدار کاهش می یابد.

اگر یک ولی \u003e 0، سپس برنامه در جهت مثبت تغییر خواهد کرد ولی < 0 – в отрицательном.

برای ولی \u003d 0 و S \u003d 1 منحنی نامیده می شود هنجار. معادله منحنی نرمال شده:

برای کوتاه بودن، گفته شده است که همکاران قانون N (M، S)، I.E. x ~ n (m، s). پارامترهای M و S همزمان با ویژگی های اساسی توزیع: m \u003d m x، s \u003d s \u003d s x \u003d. اگر SV X ~ N (0، 1)، سپس آن را نامیده می شود مقیاس طبیعی استاندارد شده. FR استاندارد استاندارد طبیعی نامیده می شود تابع لاپلاس و به عنوان نشان داده شده است f (x). با آن، ممکن است احتمال احتمالات فاصله برای توزیع نرمال N (M، S) را محاسبه کنید:

p (x 1 £ x< x 2) = Ф - Ф .

هنگام حل وظایف به توزیع نرمال، اغلب لازم است از مقادیر جدول عملکرد لاپلاس استفاده شود. از آنجا که عملکرد لاپلاس معتبر است f (s) = 1 - f (x)سپس به اندازه کافی ارزش های جدول تابع را دارد f (x) فقط برای مقادیر مثبت این استدلال.

برای احتمال ورود به یک متقارن نسبت به انتظارات ریاضی، فاصله فرمول: P (| X - M X |< e) = 2×f (e / s) - 1.

لحظات مرکزی توزیع نرمال، نسبت مکرر را برآورده می کند: M n +2 \u003d (n + 1) s 2 m n، n \u003d 1، 2، .... این به این معنی است که تمام لحظات مرکزی نظم عجیب و غریب صفر است (از آنجا که m 1 \u003d 0).

پیدا کردن احتمال ورودی یک متغیر تصادفی توزیع شده با توجه به یک قانون عادی به یک فاصله داده شده است.

مشخص کن

زیرا انتگرال از طریق توابع ابتدایی بیان نشده است، عملکرد به نظر می رسد.

,

که نامیده می شود تابع لاپلاسیا احتمالات یکپارچه.

مقادیر این تابع زمانی که مقادیر مختلف h. در نظر گرفته شده و در جداول خاص داده می شود.

نمودار عملکرد لاپلاس در زیر نشان داده شده است.

لاپلاس ویژگی های ویژگی های زیر را دارد:

2) f (- h.) \u003d - f ( h.);

تابع لاپلاس نیز نامیده می شود تابع خطا و دلب کردن ERF. ایکس..

هنوز استفاده می شود هنجارویژگی LaPlace، که با عملکرد لاپلاس همراه با نسبت:

گراف عملکرد معمول LaPlas در زیر نشان داده شده است.

هنگامی که با توجه به قانون توزیع نرمال، یک رویداد مهم خصوصی اختصاص داده می شود، شناخته شده است قانون سه سیگم.

ما این احتمال را بنویسیم که انحراف متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شده از انتظارات ریاضی کمتر است مقدار مشخص شده D:

اگر D \u003d 3S را مصرف کنید، ما با استفاده از مقادیر تابع لاپلاس با استفاده از جداول استفاده می کنیم:

کسانی که. احتمال این که یک مقدار تصادفی از انتظارات ریاضی خود از طریق یک مقدار بزرگتر از میانگین انحراف درجه سه برابر تقریبا برابر با صفر باشد، از بین می رود.

این قانون نامیده می شود حکومت سه سیگم.

تمرین نکنید اعتقاد بر این است که اگر برای هر متغیر تصادفی، قاعده سه SIGM انجام شود، این مقدار تصادفی توزیع نرمال دارد.

مثال. قطار شامل 100 واگن است. توده هر ماشین - یک متغیر تصادفی، توزیع شده با توجه به یک قانون عادی با انتظارات ریاضی ولی \u003d 65 تن و میانگین انحراف درجه دوم S \u003d 0.9 تن. لوکوموتیو می تواند توده ای بیش از 6600 تن حمل کند، در غیر این صورت لازم است که لوکوموتیو دوم را آموزش دهد. پیدا کردن احتمال این که لوکوموتیو دوم مورد نیاز نیست.

لوکوموتیو دوم مورد نیاز نخواهد بود اگر انحراف جرم ترکیب از انتظار (100 × 65 \u003d 6500) از 6600 تا 6500 \u003d 100 تن تجاوز نمی کند.

زیرا توده هر کرونی دارای توزیع نرمال است، سپس توده کل ترکیب نیز به طور معمول توزیع خواهد شد.

ما گرفتیم:

مثال. به طور معمول توزیع تصادفی تصادفی X توسط پارامترهای آن تنظیم می شود - a \u003d 2 -انتظارات ریاضی و S \u003d 1 - میانگین انحراف درجه دوم. لازم است که تراکم احتمالی را بنویسید و برنامه خود را بسازید، احتمال آن را پیدا کنید که آیا از فاصله زمانی (1؛ 3) ارزش را پیدا کنید، این احتمال را پیدا کنید که X از انتظار ریاضی از انتظارات ریاضی (توسط ماژول) رد شود بیش از 2

تراکم توزیع این است:

ساخت یک برنامه:

احتمال احتمال واریانس تصادفی ورودی را به فاصله (1، 3) پیدا کنید.

ما احتمال انحراف یک متغیر تصادفی را از انتظارات ریاضی با ارزش، نه بیشتر از 2 پیدا می کنیم.

همان نتیجه را می توان با استفاده از عملکرد نرمال لاپلاس به دست آورد.

سخنرانی 8 قانون تعداد زیادی(بخش 2)

سخنرانی های طرح

قضیه محدود مرکزی (فرمول بندی عمومی و فرمول بندی خصوصی برای متغیرهای تصادفی مستقل توزیع شده).

نابرابری Chebyshev.

قانون تعداد زیادی در قالب چبیشف.

مفهوم فرکانس رویداد.

درک آماری از احتمال.

قانون تعداد زیادی در قالب برنولی.

مطالعه الگوهای آماری امکان ایجاد آن را در شرایط خاص ایجاد کرده است، رفتار کلی تعداد زیادی از متغیرهای تصادفی تقریبا شخصیت تصادفی را از دست می دهد و طبیعی می شود (به عبارت دیگر، انحرافات تصادفی از برخی رفتارهای متوسط، به طور متقابل بازپرداخت می شود). به طور خاص، اگر تاثیر بر مقدار شرایط فردی به طور مساوی کوچک باشد، مقدار توزیع مقدار در حال نزدیک شدن به حالت عادی است. فرمول ریاضی این بیانیه در یک گروه از قضیه ها به نام قانون تعداد زیادی.

قانون تعداد زیادی - اصل کلی، به موجب آن، اقدام مفصلی از عوامل تصادفی منجر به شرایط بسیار کلی برای نتیجه می شود که تقریبا مستقل از پرونده است. اولین نمونه از این اصل، روابط نزدیک شدن بروز توهین آمیز است رویداد تصادفی با احتمال او، با افزایش تعداد آزمایشات (اغلب در عمل، به عنوان مثال، در هنگام استفاده از فرکانس وقوع هر گونه ویژگی پاسخ دهنده در نمونه به عنوان ارزیابی انتخابی از احتمال متناظر استفاده می شود).

ذات قانون تعداد زیادی این زمانی است که عدد بزرگ آزمایش های مستقل فرکانس ظاهر برخی از رویدادها نزدیک به احتمال آن است.

قضیه محدود مرکزی (CPT) (در متن Lyapunov A.M. برای SV به طور مساوی توزیع شده). اگر SV X 1، X 2، ...، XN مستقل باشد، ... همان قانون توزیع را با ویژگی های عددی محدود M \u003d M و D \u003d S 2، و سپس با n ® ¥، قانون توزیع SV است نامحدود نزدیک شدن به قانون عادی n (n × m،).

نتیجه گیری اگر در شرایط قضیه باشد ، سپس در N ® ¥، قانون توزیع CV Y نامحدود نزدیک به قانون عادی N (m، s /) است.

Moavorwor LaPlace Theorym.اجازه دهید SV K تعداد "موفقیت" در آزمون های N با توجه به طرح Bernoulli باشد. سپس، در N® ¥ و مقدار ثابت احتمال موفقیت "موفقیت" در یک آزمون P، قانون توزیع CV K نامحدود نزدیک شدن به قانون عادی N (n × P) است.

نتیجه گیری اگر در شرایط قضیه، به جای C / N، فرکانس "موفقیت" در آزمون های N با توجه به طرح Bernoulli، قانون معامله آن با N ® ¥ و مقدار ثابت P نامحدود نزدیک شدن به قانون عادی N (پ،).

اظهار نظر. اجازه دهید SV K تعداد "موفقیت" در آزمون های N با توجه به طرح Bernoulli باشد. قانون توزیع چنین قانون Binomine. سپس، در N ® ¥، قانون Binomine دارای دو توزیع محدود است:

توزیع n پواسون (برای n ® ¥ و l \u003d n × p \u003d const)؛

توزیع n گوزا n (n × p،) (با n ® ¥ و p \u003d const).

مثال. احتمال موفقیت "موفقیت" در یک آزمون تنها P \u003d 0.8 است. چقدر باید آزمایشات را آزمایش کنید تا با احتمال حداقل 0.9، شما می توانید انتظار داشته باشید که فرکانس مشاهده شده "موفقیت" در آزمایشات با توجه به طرح Bernoulli از احتمال P نه بیشتر از E \u003d 0.01؟

تصمیم گیری برای مقایسه، ما این مشکل را به دو روش حل خواهیم کرد.

در مقایسه با سایر انواع توزیع ها. ویژگی اصلی این توزیع این است که تمام قوانین دیگر توزیع ها تلاش می کنند تا این قانون را با تکرار بی نهایت تعداد آزمایشات انجام دهند. این توزیع چگونه می شود؟

تصور کنید که با استفاده از دینامومتر دستی، شما در جایگاه جوانتر شهر قرار دارید. و هر کس که از آن عبور می کند، پیشنهاد می کنید قدرت خود را اندازه گیری کنید، دینامومتر را با دست راست یا چپ فشار دهید. خواندن دینامومتر به طور منظم مهار می شود. بعد از مدتی، به اندازه کافی مقادیر زیاد تست ها، شما در محور Abscissa از دینامومتر قرار می گیرید، و مقدار افرادی که "فشرده" هستند، شهادت در محور Ordinate است. نقاط به دست آمده به خط صاف پیوستند. نتیجه منحنی نشان داده شده در شکل 9.8 است. ظاهر این منحنی با افزایش زمان تجربه به طور خاص تغییر نخواهد کرد. علاوه بر این، از لحاظ لحظه ای، مقادیر جدید تنها منحنی را بدون تغییر شکل آن مشخص می کند.

شکل. 9.8.

در حال حاضر ما با دینامومتر ما در سالن ورزشی حرکت خواهیم کرد و آزمایش را تکرار خواهیم کرد. در حال حاضر حداکثر منحنی به سمت راست حرکت می کند، انتهای سمت چپ تا حدودی محکم خواهد شد، در حالی که پایان راست آن واضح تر خواهد بود (شکل 9.9).

شکل. 9.9.

توجه داشته باشید که حداکثر فرکانس برای توزیع دوم (نقطه B) کمتر از حداکثر فرکانس توزیع اول (نقطه A) خواهد بود. این را می توان با این واقعیت توضیح داد که تعداد کل افرادی که از سالن ورزشکار بازدید می کنند، کمتر از تعداد افرادی است که در نزدیکی آزمایشگر در اولین مورد (در مرکز شهر در یک مکان به اندازه کافی انسان) گذشتند. حداکثر به سمت راست حرکت می کند، زیرا سالن های ورزشی بیشتر از لحاظ جسمی شرکت می کنند مردم قوی در مقایسه با پس زمینه عمومی.

و در نهایت، از مدرسه، مهد کودک ها و خانه های پرستاری با همان هدف بازدید کنید: برای شناسایی دست بازدید کنندگان به این مکان ها. و دوباره منحنی توزیع یک فرم مشابهی داشته باشد، اما اکنون، بدیهی است، انتهای سمت چپ آن بیشتر شیب دار خواهد بود و درست تر می شود. و هر دو در مورد دوم، حداکثر (نقطه C) پایین تر از نقطه A خواهد بود (شکل 9.10).

شکل. 9.10

این یک ویژگی فوق العاده از توزیع نرمال است - برای حفظ شکل منحنی تراکم توزیع احتمالی (شکل 8 - 10) متوجه شد و در سال 1733 توسط Moavr توضیح داده شد و سپس توسط گاوس مورد بررسی قرار گرفت.

که در تحقیق علمی، در تکنیک، در پدیده های توده ای یا آزمایشات زمانی که آن را به مقادیر تصادفی تکراری تکراری تحت شرایط ثابت تجربه تجربه می کند، گفته شده است که نتایج آزمون در معرض پراکندگی تصادفی با قانون منحنی توزیع نرمال تجربه می کنند

(21)

شایع ترین رویداد کجاست؟ به عنوان یک قانون، در فرمول (21) به جای پارامتر قرار داده شده است. علاوه بر این، طول آن یک سری آزمایشی است، کمتر از پارامتر از انتظارات ریاضی متفاوت خواهد بود. منطقه تحت منحنی (شکل 9.11) در یک واحد برابر است. منطقه ای که با فاصله محور Abscissa مطابقت دارد، عددی برابر با احتمال یک نتیجه تصادفی در این فاصله است.

شکل. 9.11.

عملکرد توزیع نرمال دارای فرم است

(22)

توجه داشته باشید که منحنی نرمال (شکل 9.11) متقارن با توجه به مستقیم و متضاد در نزدیکی محور آه در.

محاسبه انتظارات ریاضی برای قانون عادی

(23)

خواص توزیع نرمال

خواص اساسی این توزیع مهم را در نظر بگیرید.

املاک 1. عملکرد تراکم توزیع نرمال (21) تعیین بر کل محور Abscissa.

املاک 2. عملکرد تراکم توزیع نرمال (21) بیشتر از صفر برای هر یک از منطقه تعریف است ().

املاک 3. با افزایش بی نهایت (کاهش)، تابع توزیع (21) به صفر می رسد .

املاک 4. با تابع توزیع، مجموعه (21)، دارای بزرگترین ارزش برابر

(24)

املاک 5. نمودار تابع (شکل 9.11) در مورد مستقیم متقارن است.

املاک 6. گراف تابع (شکل 9.11) دارای دو نقطه از انفجار نسبتا مستقیم مستقیم است:

(25)

املاک 7. تمام لحظات مرکزی عجیب و غریب صفر است. توجه داشته باشید که استفاده از اموال 7، عدم تقارن تابع توسط فرمول تعیین می شود. اگر، پس از آن، نتیجه گیری می شود که توزیع مورد مطالعه به طور متقارن نسبتا مستقیم است. اگر، آنها می گویند که یک ردیف به سمت راست حرکت می کند (شاخه حق رایج تر نمودار یا سفت شدن). اگر، پس از آن اعتقاد بر این است که ردیف به سمت چپ حرکت می کند (شعبه چپ چپ گرافیکی شکل 9.12).

شکل. 9.12.

املاک 8. بیش از حد توزیع 3. اغلب در عمل محاسبه می شود و در مجاورت این مقدار به صفر، تعیین "فشرده سازی" یا "تار شدن" گراف (شکل 9.13). و از آنجایی که با آن ارتباط دارد، در نهایت درجه پراکندگی فرکانس داده را مشخص می کند. و همچنین تعیین می کند