انتظارات ریاضی X Y. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته

هر یک از ارزش های جداگانه به طور جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین، برای حل وظایف عملی، به اندازه کافی برای شناخت چندین ویژگی عددی، به لطف توانایی ارائه ویژگی های اصلی، به اندازه کافی وجود دارد متغیر تصادفی به صورت مختصر

این مقادیر به طور عمده ذکر شده است. ارزش مورد انتظار و پراکندگی .

ارزش مورد انتظار - میانگین میانگین واریانس تصادفی در تئوری احتمال. نشان می دهد که چگونه.

اکثر. راه ساده انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی x (w)، پیدا کردن به عنوان انتگرالlebesgue در رابطه با احتمال r منبع فضای احتمالی

هنوز انتظار ریاضی از مقدار را پیدا کنید انتگرال Lebesgue از جانب h. توسط توزیع احتمالات R H. ارزش های ایکس.:

کجا - مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن است ایکس..

انتظارات ریاضی توابع از متغیر تصادفی ایکس. قفل شده از طریق توزیع R H.. مثلا، اگر یک ایکس. - مقدار تصادفی با مقادیر در و f (x) - یکپارچه borelevskayaتابع H. ، سپس:

اگر یک f (x) - تابع توزیع ایکس.سپس انتظارات ریاضی تصور می شود انتگرالLebesga - Stilletes (یا Riemann - Stilly):

در این مورد، یکپارچگی ایکس. به لحاظ ( * ) مربوط به انتگرال اندام است

در موارد خاص، اگر ایکس. توزیع گسسته با مقادیر احتمالی دارد x k., k \u003d 1، 2. ، و احتمالات، پس از آن

اگر یک ایکس. این توزیع کاملا مداوم با تراکم احتمالی دارد p (x)T.

در همان زمان وجود انتظارات ریاضی این معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال است.

خواص انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی.

• انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با این مقدار است:

C.- مقدار ثابت؛

• m \u003d c.m [x]

• انتظار ریاضی از مقدار مقادیر به طور تصادفی گرفته شده برابر با مجموع انتظارات ریاضی آنها است:

• انتظار ریاضی از کار مستقل به صورت تصادفی به طور تصادفی گرفته شده \u003d محصول انتظارات ریاضی آنها:

m \u003d m [x] + m [y]

اگر یک ایکس. و Y. مستقل.

اگر یک عدد همگرا باشد:

الگوریتم برای محاسبه انتظارات ریاضی.

خواص متغیرهای تصادفی گسسته: تمام ارزش های آنها را می توان رد کرد اعداد طبیعی؛ هر مقدار برای معادله احتمال به غیر از صفر.

1. به نوبه خود، جفت را روشن کنید: x I. در p I..

2. ما محصول هر جفت را بارگذاری می کنیم x من.

سابقبرای n. = 4 :

تابع توزیع تصادفی گسسته گام، آن را با پرش در آن نقاط افزایش می دهد که احتمالات آن علامت مثبت است.

مثال:یک انتظار ریاضی را با فرمول پیدا کنید.

قانون توزیع به طور کامل یک مقدار تصادفی را مشخص می کند. با این حال، قانون توزیع ناشناخته است و باید به اطلاعات کمتری محدود شود. گاهی اوقات آن را حتی سودمندتر از اعداد است که مجموع مقدار تصادفی را توصیف می کنند، چنین تعداد نامیده می شود ویژگی های عددی متغیر تصادفی یکی از ویژگی های عددی مهم شامل انتظارات ریاضی است.

انتظارات ریاضی، همانطور که بیشتر نشان داده می شود، تقریبا برابر با مقدار متوسط \u200b\u200bمتغیر تصادفی است. برای حل بسیاری از وظایف، کافی است که انتظارات ریاضی را بدانیم. به عنوان مثال، اگر شناخته شده باشد، انتظار می رود که انتظارات ریاضی از تعداد نقاط شکسته در فلش اول بیشتر از دوم باشد، اولین فلش به طور متوسط \u200b\u200bامتیاز بیشتری نسبت به دوم دارد و بنابراین بهتر است آن را بهتر بچرخاند.

تعریف 4.1: انتظارات ریاضی واریانس تصادفی گسسته، مقدار محصولات تمامی مقادیر ممکن را برای احتمالات آنها فراخوانی می کند.

مقدار تصادفی را بگذارید ایکس. می تواند تنها ارزش ها را بگیرد x 1، x 2، ... x nاحتمال احتمالی آن برابر است p 1، P 2، ... p n.سپس انتظارات ریاضی متر (X.) متغیر تصادفی ایکس. تعیین شده توسط برابری

m (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Esley مقدار تصادفی گسسته ایکس. یک مجموعه قابل شمارش از مقادیر احتمالی را می گیرد، سپس

,

علاوه بر این، انتظارات ریاضی وجود دارد اگر ردیف در سمت راست برابری به طور کامل همگرا باشد.

مثال.یک انتظار ریاضی از تعداد رویدادها را پیدا کنید آ.در یک آزمون، اگر احتمال یک رویداد باشد آ. برابر پ..

تصمیم گیری: مقدار تصادفی ایکس. - تعداد رویدادها آ. توزیع Bernoulli را دارد

به این ترتیب، انتظارات ریاضی تعداد رویدادها در یک آزمون برابر با احتمال این رویداد است..

معنای احتمالی انتظارات ریاضی

اجازه دهید تولید شود n. تست هایی که در آن یک مقدار تصادفی ایکس. پذیرفته شده متر 1 یک بار ارزش x 1, متر 2 یک بار ارزش x 2 ,…, m k. یک بار ارزش x k.و m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. سپس مجموع تمام ارزش ها را تصویب کرد ایکس.، برابر x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

میانگین محاسباتی تمام مقادیر تصویب شده توسط یک متغیر تصادفی خواهد بود

نگرش m i / n- فراوانی نسبی W I. ارزش های x I.تقریبا برابر با احتمال وقوع حوادث p I.جایی که ، بنابراین

معنای احتمالی نتیجه حاصل شده است: انتظارات ریاضی تقریبا برابر است (دقیق تر، تعداد بیشتر آزمون ها) محاسبات متوسط \u200b\u200bمقادیر تصادفی را مشاهده کرد.

خواص انتظارات ریاضی

املاک 1:انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با ثابت ترین است

املاک 2:ضریب دائمی می تواند برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ساخته شود.

تعریف 4.2: دو متغیر تصادفی به نام مستقلاگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیر احتمالی ارزش دیگر دریافت نمی شود. در غیر این صورت متغیرهای تصادفی وابسته هستند.

تعریف 4.3: چندین متغیر تصادفی زنگ زدن متقابلا مستقلاگر قوانین توزیع هر تعداد از آنها بستگی ندارد که مقادیر احتمالی ارزش های باقی مانده باشد.

املاک 3:انتظارات ریاضی از کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

نتیجه: انتظار ریاضی از کار چندین متغیرهای تصادفی مستقل مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

املاک 4:انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی آنها است.

نتیجه: انتظار ریاضی از مجموع چندین متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی آنها است.

مثال.محاسبه انتظارات ریاضی متغیر تصادفی دوتایی ایکس -تعداد این رویداد آ. که در n. آزمایش.

تصمیم گیری: تعداد کل ایکس. ظاهر رویداد آ. در این آزمایش ها، از تعداد رویدادهای آزمایش های فردی تشکیل شده است. ما متغیرهای تصادفی را معرفی می کنیم x I. - تعداد رویدادها در من.تست های WED که مقادیر تصادفی Bernoullievish با انتظارات ریاضی است که در آن . توسط اموال انتظارات ریاضی ما داریم

به این ترتیب، ارزش مورد انتظار توزیع دو جمله ای با پارامترهای N و P برابر با محصول NP.

مثال.احتمال ضربه زدن به هدف هنگام عکسبرداری از تفنگ p \u003d 0.6اگر 10 عکس تولید شود، انتظارات ریاضی از تعداد کل بازدید ها را پیدا کنید.

تصمیم گیری: هر شات به نتایج عکس های دیگر بستگی ندارد، بنابراین حوادث مورد نظر مستقل هستند و بنابراین انتظارات ریاضی مطلوب مورد نظر است

متغیرهای تصادفی علاوه بر قوانین توزیع نیز می توانند شرح داده شوند ویژگی های عددی .

انتظارات ریاضی m (x) یک متغیر تصادفی مقدار متوسط \u200b\u200bآن است.

انتظارات ریاضی متغیر تصادفی گسسته توسط فرمول محاسبه می شود

جایی که – مقادیر تصادفی، ص من -وحشت زده.

خواص انتظارات ریاضی را در نظر بگیرید:

1. انتظارات ریاضی ثابت برابر با ثابت است

2. اگر یک متغیر تصادفی با تعداد k ضرب شود، انتظار می رود که انتظارات ریاضی همان تعداد را افزایش دهد

m (kx) \u003d km (x)

3. انتظار ریاضی از مقدار متغیرهای تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی خود است

متر (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d m (x 1) + m (x 2) + ... + m (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d m (x 1) - m (x 2)

5. برای متغیرهای تصادفی مستقل X 1، X 2، ... X N انتظارات ریاضی کار برابر با محصول انتظارات ریاضی خود است

متر (x 1، x 2، ... x n) \u003d m (x 1) m (x 2) ... m (x n)

6. متر (x - m (x)) \u003d m (x) - m (m (x)) \u003d m (x) - m (x) \u003d 0

ما انتظارات ریاضی را برای یک متغیر تصادفی از مثال 11 محاسبه می کنیم.

m (x) \u003d \u003d \u003d .

مثال 12 اجازه دهید متغیرهای تصادفی X 1، X 2 به ترتیب به ترتیب قوانین توزیع داده شوند:

x 1 جدول 2

x 2 جدول 3

محاسبه M (x 1) و m (x 2)

متر (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 · 0.4 + 0.01 · 0.2 + 0.1 · 0.1 \u003d 0

متر (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 · 0.2 + 10 · 0.1 + 20 · 0.3 \u003d 0

انتظارات ریاضی هر دو متغیرهای تصادفی یکسان هستند - آنها صفر هستند. با این حال، ماهیت توزیع آنها متفاوت است. اگر مقادیر x 1 از انتظارات ریاضی آنها کم باشد، مقادیر x 2 عمدتا از انتظارات ریاضی آنها متفاوت است و احتمال چنین انحرافات کوچک نیست. این نمونه ها نشان می دهد که با ارزش متوسط، تعیین می شود که کدام انحراف از آن هر دو به کوچکتر و در بیشتر موارد رخ می دهد. بنابراین با همان مقدار متوسط \u200b\u200bسقوط در دو ناحیه بارش به مدت یک سال، غیرممکن است که بگوییم این مناطق به همان اندازه برای کار کشاورزی مطلوب هستند. به طور مشابه، از لحاظ دستمزد متوسط، امکان قضاوت در مورد گرانش خاص کارگران بسیار کم و کم هزینه وجود ندارد. بنابراین، مشخصه عددی معرفی شده است - پراکندگی D (x) , که درجه انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط \u200b\u200bآن را مشخص می کند:

d (x) \u003d m (x - m (x)) 2. (2)

پراکندگی انتظار ریاضی از انحراف مربع متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی است. برای یک متغیر تصادفی گسسته، پراکندگی توسط فرمول محاسبه می شود:

d (x) \u003d = (3)

از تعریف پراکندگی آن را دنبال می کند که d (x) 0.

خواص پراکندگی:

1. ثابت پراکندگی صفر است

2. اگر متغیر تصادفی با تعداد k ضرب شود، پراکندگی بر روی مربع این عدد ضرب می شود

D (kx) \u003d k 2 d (x)

3. d (x) \u003d m (x 2) - m 2 (x)

4. برای متغیرهای تصادفی مستقل زوج X 1، X 2، ... N، پراکندگی مقدار برابر با مقدار پراکندگی است.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)

پراکندگی را برای یک متغیر تصادفی از مثال 11 محاسبه کنید.

انتظار ریاضی M (x) \u003d 1. بنابراین، توسط فرمول (3) ما:

d (x) \u003d (0 - 1) 2 · 1/4 + (1 - 1) 2 · 1/2 + (2 - 1) 2 · 1/4 \u003d 1 · 1/4 + 1 · 1/4 \u003d 1/2

توجه داشته باشید که اگر از اموال 3 استفاده می کنید، پراکندگی آسان تر محاسبه می شود:

d (x) \u003d m (x 2) - m 2 (x).

محاسبه پراکندگی برای متغیرهای تصادفی X 1، X 2 از مثال 12 برای این فرمول. انتظارات ریاضی هر دو متغیرهای تصادفی صفر است.

D (x 1) \u003d 0.01 · 0،1 + 0.01 · 0.2 + 0.0001 · 0.2 + 0.01 · 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 \u003d 0.00204.

D (x 2) \u003d (-20) 2 · 0،3 + (-10) 2 · 0.1 + 10 2 · 0.1 + 20 2 · 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260

نزدیک تر مقدار پراکندگی به صفر، کوچکتر پراکندگی از متغیر تصادفی نسبت به مقدار متوسط.

مقدار نامیده می شود انحراف رقابت. متغیر تصادفی مد ایکس. نوع گسسته MD. این مقدار یک متغیر تصادفی است که مربوط به بزرگترین احتمال است.

متغیر تصادفی مد ایکس. نوع MD مداوم، آن را یک شماره معتبر به عنوان تعریف حداکثر تراکم توزیع احتمال F (x) تعریف شده است.

متغیر تصادفی متوسط ایکس. نوع مداوم Mnشماره معتبر را رضایت بخش معادله نامیده است

تئوری احتمال یک بخش ویژه از ریاضیات است که فقط توسط دانش آموزان موسسات آموزشی عالی یاد می گیرد. آیا محاسبات و فرمول ها را دوست دارید؟ شما از چشم انداز آشنایی با توزیع نرمال، آنتروپی گروه، انتظار ریاضی و پراکندگی متغیر تصادفی گسسته ترسیدید؟ سپس این موضوع بسیار جالب خواهد بود. بیایید با چند مفاهیم اساسی اساسی این بخش از علم آشنا شویم.

اصول اولیه را به یاد بیاورید

حتی اگر ساده ترین مفاهیم نظریه احتمالی را به یاد داشته باشید، اولین پاراگراف مقاله را نادیده نگیرید. واقعیت این است که بدون درک روشنی از اصول اولیه شما قادر به کار با فرمول های زیر نیست.

بنابراین، برخی وجود دارد رویداد تصادفی، برخی آزمایش ها به عنوان یک نتیجه از اقدامات، ما می توانیم چندین نتیجه را دریافت کنیم - برخی از آنها شایع تر هستند، دیگران - کمتر. احتمال وقوع یک رویداد نسبت تعداد نتایج حاصل از نتایج به دست آمده از همان نوع به تعداد کل امکان پذیر است. فقط دانستن تعریف کلاسیک این مفهوم، شما می توانید به مطالعه انتظارات ریاضی و پراکندگی متغیرهای تصادفی مداوم ادامه دهید.

میانگین

هنوز در مدرسه در درس های ریاضیات، شما شروع به کار با ریاضی متوسط \u200b\u200bکرد. این مفهوم به طور گسترده ای در تئوری احتمال استفاده می شود، و به همین دلیل غیر ممکن است که از طرف دور بماند. مهمترین چیز ما در حال حاضر این است که ما با آن در فرمول های انتظارات ریاضی و پراکندگی یک متغیر تصادفی روبرو خواهیم شد.

ما یک دنباله ای از اعداد داریم و می خواهیم میانگین محاسبات را پیدا کنیم. همه چیزهایی که از ما مورد نیاز است این است که همه چیز را در دسترس قرار دهیم و تعداد عناصر را در دنباله تقسیم کنیم. اجازه دهید ما از 1 تا 9 عدد داشته باشیم. مقدار عناصر برابر با 45 سال است و این مقدار ما توسط 9 تقسیم می شود. پاسخ: - 5.

پراکندگی

صحبت کردن با زبان علمی، پراکندگی به طور متوسط \u200b\u200bمربع انحراف از نشانه های به دست آمده از ویژگی از میانگین ریاضی است. این توسط یک عنوان نامه لاتین نشان داده شده است. چه چیزی باید آن را محاسبه کنید؟ برای هر عنصر دنباله، ما تفاوت بین تعداد موجود و میانگین ریاضی را محاسبه می کنیم و به مربع متصل می شود. مقادیر دقیقا همانطور که حوادثی که توسط ما در نظر گرفته می شود، تبدیل می شود. بعد، ما همه چیز به دست آمده را خلاصه می کنیم و با تعداد عناصر در دنباله تقسیم می شود. اگر ما پنج نتیجه داشته باشیم، ما پنج را تقسیم می کنیم.

پراکندگی دارای خواصی است که باید هنگام حل وظایف به یاد داشته باشید. به عنوان مثال، با افزایش متغیر تصادفی در X بار، پراکندگی به X در زمان مربع افزایش می یابد (I.E. X * X). هرگز کمتر از صفر اتفاق نمی افتد و به تغییر ارزش ها بستگی ندارد ارزش برابر در یک طرف بزرگ یا کوچکتر. علاوه بر این، برای آزمایش های مستقل، پراکندگی مقدار برابر با مقدار پراکندگی است.

در حال حاضر ما باید نمونه هایی از پراکندگی واریانس تصادفی گسسته و انتظارات ریاضی را در نظر بگیریم.

فرض کنید ما 21 آزمایش را صرف کردیم و 7 نتیجه مختلف دریافت کردیم. هر کدام از آنها به ترتیب 1،2،2،3،4،4 و 5 بار مشاهده کردیم. پراکندگی برابر است؟

اولا، میانگین محاسبات را در نظر بگیرید: مجموع عناصر، البته، برابر با 21 است. ما آن را به 7 تقسیم می کنیم. ، و نتایج با هم جمع می شوند. به نظر می رسد 12. حالا ما باید تعداد عناصر را تقسیم کنیم، و به نظر می رسد، همه چیز. اما یک ضربه زدن وجود دارد! بیایید بحث کنیم

وابستگی به تعداد آزمایشات

به نظر می رسد که هنگام محاسبه پراکندگی در مخزن ممکن است یکی از دو عدد باشد: یا n یا n-1. در اینجا n تعداد آزمایشات یا تعداد عناصر در دنباله است (که اساسا یکسان است). بستگی دارد؟

اگر تعداد تست ها توسط صدها اندازه گیری شود، باید در صورتی که واحد N. n-1 را در n-n-1 قرار دهید، قرار دهید. دانشمندان مرزی تصمیم گرفتند کاملا نمادین را نگه داشته باشند: امروزه با توجه به شکل 30 عبور می کند. اگر کمتر از 30 آزمایش صرف کردیم، مقدار N-1 را تقسیم کردیم، و اگر بیشتر - سپس در N.

یک وظیفه

بیایید به مثال ما حل کنیم که مسئله پراکندگی و انتظارات ریاضی را حل می کند. ما یک شماره متوسط \u200b\u200b12 را دریافت کردیم که لازم بود بر روی n یا n-1 تقسیم شود. از آنجا که آزمایشاتی که ما انجام دادیم 21، کمتر از 30، گزینه دوم را انتخاب کنید. بنابراین، پاسخ: پراکندگی 12/2 \u003d 2 است.

ارزش مورد انتظار

اجازه دهید ما را به مفهوم دوم تبدیل کنیم که باید این مقاله را در نظر بگیریم. انتظارات ریاضی نتیجه افزودن تمام نتایج ممکن است، که با احتمالات مربوطه افزایش می یابد. مهم است که درک کنیم که ارزش به دست آمده، و همچنین نتیجه محاسبه پراکندگی، تنها یک بار به دست می آید کل کارچقدر نتایج آن در آن در نظر گرفته نشده است.

فرمول انتظار ریاضی بسیار ساده است: ما نتیجه را می گیریم، به احتمال زیاد آن را افزایش می دهیم، ما همین را برای دوم، نتیجه سوم، و غیره اضافه می کنیم. همه چیز مربوط به این مفهوم آسان است. به عنوان مثال، مقدار بازی های سازنده برابر با مجموع مقدار است. برای کار مربوط به یکسان است. چنین عملیات ساده باعث می شود که از هر مقدار در نظریه احتمالی استفاده کند. بیایید این کار را انجام دهیم و اهمیت مفاهیم را که در یک بار مطالعه کردیم، در نظر بگیریم. علاوه بر این، ما توسط تئوری منحرف شدیم - وقت آن رسیده است.

یک مثال دیگر

ما 50 آزمون را صرف کردیم و 10 نوع نتیجه را دریافت کردیم - تعداد 0 تا 9 - در درصد مختلف ظاهر می شود. این، به ترتیب: 2٪، 10٪، 4٪، 14٪، 2٪، 18٪، 6٪، 16٪، 10٪، 18٪. به یاد بیاورید که به منظور به دست آوردن احتمالات، لازم است که ارزش ها را در هر 100 درصد تقسیم کنید. بنابراین، ما 0.02 را به دست می آوریم؛ 0.1، و غیره تصور کنید برای پراکندگی واریانس تصادفی و نمونه انتظارات ریاضی از یک راه حل برای مشکل.

میانگین محاسباتی توسط فرمول محاسبه می شود که من از مدرسه جوانتر به یاد می آورم: 50/10 \u003d 5.

در حال حاضر ما احتمال را به تعداد نتایج "در قطعات" انتقال خواهیم داد، به طوری که آن را راحت تر می شود. ما 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5، 7، 1، 1، 9، 3، 8، 1، 1، 9، 3، 8، 1، 9، 3، 8، 5، 9، 3، 8، 5، و 9 را دریافت می کنیم. از هر مقدار به دست آمده، به طور متوسط \u200b\u200bمحاسبات محاسبه می شود هر یک از نتایج به دست آمده به مربع ساخته شده است. نگاه کنید به چگونگی انجام این کار، در مثال اول عنصر: 1 - 5 \u003d (-4). بعد: (-4) * (-4) \u003d 16. برای مقادیر باقی مانده، این عملیات خود را انجام دهید. اگر همه چیز را درست انجام دادید، پس از آنکه شما 90 دریافت کردید.

ادامه محاسبه پراکندگی و انتظارات ریاضی، تقسیم 90 بر روی N. چرا ما انتخاب n، و نه n-1؟ درست است، زیرا تعداد آزمایشات انجام شده بیش از 30 است. بنابراین: 90/10 \u003d 9. پراکندگی ما دریافت کردیم. اگر تعداد دیگری دارید، ناامید نکنید. به احتمال زیاد، هنگام محاسبه یک خطای موقت ایجاد کردید. چک کردن نوشته شده، و مطمئنا همه چیز به جای آن سقوط خواهد کرد.

در نهایت، فرمول انتظار را به یاد داشته باشید. ما تمام محاسبات را نمی دهیم، با تکمیل تمام مراحل مورد نیاز، تنها پاسخی را که می توانید انجام دهید، بنویسید. مادی سازی برابر با 5.48 خواهد بود. به یاد بیاورید فقط نحوه اجرای عملیات، در مثال اول عناصر: 0 * 0.02 + 1 * 0،1 ... و غیره. همانطور که می بینید، ما به سادگی ارزش نتیجه نتیجه آن را چند برابر می کنیم.

انحراف

مفهوم دیگر، نزدیک به پراکندگی و انتظارات ریاضی - میانگین انحراف درجه دوم. این توسط حروف SD لاتین یا حروف کوچک یونانی "سیگما" نشان داده شده است. این مفهوم نشان می دهد که چگونه مقادیر از علامت مرکزی جدا می شوند. برای پیدا کردن معنی آن، شما باید محاسبه کنید ریشه دوم از پراکندگی

اگر یک برنامه را بسازید توزیع نرمال و شما می خواهید به طور مستقیم بر روی انحراف درجه دوم ببینید، این را می توان در چند مرحله انجام داد. نیمی از تصویر را به سمت چپ یا راست حالت (ارزش مرکزی) ببرید، عمود بر محور افقی را انجام دهید تا منطقه ای از ارقام برابر باشد. اندازه بخش بین وسط توزیع و پیش بینی نتیجه در محور افقی، یک انحراف درجه دوم ثانویه خواهد بود.

نرم افزار

همانطور که از توصیف فرمول ها دیده می شود و نمونه هایی ارائه شده، محاسبات پراکندگی و انتظارات ریاضی ساده ترین روش از نقطه نظر حسابرسی نیست. به منظور صرف وقت، منطقی است که از برنامه مورد استفاده در بالاترین استفاده شود موسسات آموزشی - آن را "R" نامیده می شود. این توابع را دارد که به شما این امکان را می دهد که مقادیر بسیاری از مفاهیم از نظریه آمار و احتمال را محاسبه کنید.

به عنوان مثال، شما مقادیر بردار را مشخص می کنید. این به شرح زیر انجام می شود: بردار<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

سرانجام

پراکندگی و انتظارات ریاضی بدون آن دشوار است که هر چیز دیگری را محاسبه کنید. در سال های اصلی سخنرانی ها در دانشگاه ها، آنها قبلا در ماه های اول مطالعه موضوع مورد توجه قرار گرفته اند. این به خاطر سوء تفاهم از این ساده ترین مفاهیم و ناتوانی در محاسبه آنها است، بسیاری از دانش آموزان بلافاصله شروع به عقب ماندگی برنامه می کنند و بعدا علامت های بد را بر اساس نتایج جلسه، که آنها را از بورس تحصیلی محروم می کند، دریافت می کند.

تمرین حداقل یک هفته نیم ساعت در روز، انجام وظایف مشابه آنچه که در این مقاله ارائه شده است. سپس، در هر کنترل بر روی نظریه احتمالی، شما نمونه هایی را بدون راهنمایی و کابین خارجی انجام خواهید داد.

- تعداد پسران در میان 10 نوزاد.

کاملا واضح است که این مقدار در پیشبرد شناخته شده نیست، و در دوازده فرزند متولد شده، ممکن است:

یا پسران - یک و تنها از گزینه های ذکر شده.

و به منظور حفظ فرم، آموزش فیزیکی کمی:

- فاصله پرش طولانی (در برخی از واحدها).

او قادر به پیش بینی حتی یک استاد ورزش نیست :)

با این حال، فرضیه های شما؟

2) یک مقدار تصادفی مداوم - طول می کشد همه چيز مقادیر عددی از شکاف محدود یا بی نهایت.

توجه داشته باشید : در ادبیات آموزشی، اختصارات DSV و NSV

ابتدا ما مقدار تصادفی گسسته را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، سپس مداوم.

متغیر تصادفی گسسته

- این هست انطباق بین مقادیر احتمالی این میزان و احتمالات آنها. اغلب قانون توسط جدول ثبت می شود:

اغلب اصطلاحات یافت می شود ردیف توزیع هااما در برخی موارد او به نظر می رسد مبهم است، و بنابراین من به "قانون" پایبند است.

و در حال حاضر لحظه بسیار مهم: از آنجا که مقدار تصادفی قبل از ویک کردن یکی از معانی سپس رویدادهای مربوطه فرم گروه کامل و مجموع احتمال وقوع آنها برابر با یک است:

یا اگر شما آن را ضبط کنید، به نظر می رسد:

به عنوان مثال، قانون توزیع احتمالات نقاط سقوط بر روی مکعب به شرح زیر است:

بدون نظر

شاید شما این تصور را داشته باشید که مقدار تصادفی گسسته می تواند تنها ارزش های صحیح "خوب" را داشته باشد. اجازه دهید توهم - آنها می توانند هر گونه:

مثال 1

برخی از بازی ها دارای قانون توزیع پیروزی زیر است:

... احتمالا، شما طولانی از چنین وظایفی رویای :) من راز را آشکار خواهم کرد - من هم همینطور. به خصوص پس از تکمیل کار نظریه میدان.

تصمیم: از آنجا که یک مقدار تصادفی می تواند تنها یکی از سه ارزش باشد، سپس رویدادهای مربوطه گروه کاملبنابراین، مجموع احتمالات آنها برابر با یک است:

توضیح "Partizan":

- بنابراین، احتمال برنده شدن واحدهای شرطی 0.4 است.

کنترل: آنچه که لازم بود مطمئن شوید.

پاسخ:

هنگامی که قانون توزیع مستقل است، غیر معمول نیست. برای این استفاده تعریف احتمالی کلاسیک, قضیه ضرب / افزوده رویدادها و دیگر تراشه ها ترانس:

مثال 2

50 بلیط قرعه کشی در جعبه وجود دارد که از جمله 12 برنده است و 2 نفر از آنها 1000 روبل به دست آوردند و بقیه 100 روبل هستند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی - اندازه برنده، اگر یک بلیط از جعبه به طور تصادفی استخراج شود.

تصمیم: همانطور که متوجه شدید، مقادیر متغیر تصادفی معمول است که باید قرار داده شود سفارش افزایش آنها. بنابراین، ما با کوچکترین برنده ها شروع می کنیم، و روبل است.

مجموع صفحات 50 تا 12 \u003d 38، و تعریف کلاسیک:
- احتمال این که رستگاری یک بلیط آموخته دریافت کرد کمی خواهد بود.

با بقیه موارد، همه چیز ساده است. احتمال برنده شدن روبل:

بررسی: - و این یک لحظه به خصوص دلپذیر از چنین وظایف است!

پاسخ: قانون توزیع دوم برنده:

وظیفه زیر برای راه حل های خود:

مثال 3

احتمال این که تیرانداز به هدف برسد برابر است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را ایجاد کنید - تعداد بازدید ها پس از 2 عکس.

... من می دانستم که شما او را از دست دادید :) من به یاد دارم ضرب و تئوری های اضافی. راه حل و پاسخ در پایان درس.

قانون توزیع به طور کامل یک مقدار تصادفی را توصیف می کند، با این حال، در عمل (و گاهی اوقات مفید) مفید است تا تنها برخی از او را بداند ویژگی های عددی .

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته

در زبان ساده، این است ارزش متوسط \u200b\u200bقیمت با تکرار چند تست. مقدار تصادفی را با احتمالات می برد به ترتیب. سپس انتظار ریاضی این متغیر تصادفی برابر است مقدار آثار تمام مقادیر آن در احتمال های مربوطه:

یا در فرم پیچ خورده:

به عنوان مثال، انتظار می رود انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی - تعداد نقاط سقوط در یک cubicle بازی:

حالا به ما اجازه دهید ما بازی فرضیه ما را به یاد داشته باشید:

این سوال مطرح می شود: آیا این بازی سودمند است؟ ... چه چیزی هر گونه تصورات؟ پس از همه، "Offhdka" و شما نمی توانید بگویید! اما این سوال را می توان به راحتی پاسخ داد، محاسبه انتظارات ریاضی، در واقع - وزن در احتمال، برنده شدن:

بنابراین، انتظار ریاضی این بازی از دست دادن.

اعتقادات را باور نکنید - کامیون!

بله، در اینجا شما می توانید 10 و حتی 20-30 بار در یک ردیف برنده شوید، اما در فاصله ای طولانی ما منتظر یک ویرانی اجتناب ناپذیر هستیم. و من توصیه نمی کنم شما را به بازی های چنین بازی :) خوب، شاید تنها به خاطر سرگرمی.

از موارد فوق، این بدان معنی است که انتظار ریاضی دیگر مقدار تصادفی نیست.

وظیفه خلاقانه برای مطالعه خود:

مثال 4

آقای X یک رولت اروپایی را در سیستم زیر پخش می کند: به طور مداوم 100 روبل را به "قرمز" می گذارد. یک قانون توزیع یک متغیر تصادفی را ایجاد کنید - برندهای او. صبر ریاضی از برنده ها را محاسبه کنید و آن را به Kopecks تبدیل کنید. چند تا میانگین بازیکن را با هر صدها تامین می کند؟

مرجع : رولت اروپایی شامل 18 قرمز، 18 سیاه و 1 بخش سبز (صفر) است. در صورت پخش "قرمز"، نرخ دو برابر پرداخت می شود، در غیر این صورت به درآمد کازینو می رسد

بسیاری از سیستم های بازی رولت دیگر وجود دارد که می توانید جداول احتمالی خود را تشکیل دهید. اما این مورد زمانی است که ما به هیچ یک از قوانین توزیع و جدول نیاز نداریم، زیرا برآورد شده است که انتظار ریاضی از بازیکن دقیقا همان است. از سیستم به سیستم تنها تغییر می کند