Što bilanca podjele do 45. podjele cjelih s ostatkom, pravila, primjeri
Znakovi brojeva djeljivosti- To su pravila koja omogućuju nekvalitetne podjele relativno brzo otkriju je li taj broj podijeljen u dao bez ostataka.
Neke od znakovi djelića Prilično jednostavno, neki teže. Na ovoj stranici naći ćete znakove djeluje jednostavni brojevi, kao što su, na primjer, 2, 3, 5, 7, 11 i znakovi sestranosti komponenti, kao što je 6 ili 12.
Nadam se da će vam ove informacije biti korisne.
Ugodno učenje!
Znak nedjeljive na 2
Ovo je jedan od najjednostavnijih znakova djeljivosti. Zvuči ovako: ako snimanje prirodnog broja završava čitateljem, onda je ravnomjerno (podijeljeno bez ostatka po 2), a ako se zapis o broju završava u neobičnoj znamenki, tada je taj broj neparan.
Drugim riječima, ako je posljednji broj znamenke jednak 2
, 4
, 6
, 8
ili 0
- Broj je podijeljen na 2, ako ne, nije podijeljen
Na primjer, brojevi: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
Oni su podijeljeni u 2, jer su čak i.
Brojevi: 23 5
, 137
, 2303
Na 2 nisu podijeljeni, jer su čudne.
Znak nedjeljine na 3
Ova značajka podjele je potpuno drugačija: ako je broj brojeva podijeljen s 3, tada se broj podijeljen na 3; Ako broj broja brojeva nije podijeljen s 3, tada broj nije podijeljen s 3.
Dakle, razumjeti je li broj podijeljen na 3, potrebno je samo međusobno dodati brojeve od kojih se sastoji.
Izgleda ovako: 3987 i 141 podijeljeno je s 3, jer u prvom slučaju 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - Podijeljena je bez ostataka od 3), au drugom 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - također podijeljeno bez ostataka od 3).
No, brojevi: 235 i 566 nisu podijeljeni u 3, jer 2 + 3 + 5 \u003d 10
i 5 + 6 + 6 \u003d 17
(I znamo da ni 10 ni 17 nisu podijeljeni u 3 bez ostatka).
Znak djeliteti na 4
Ovaj znak nedjelje bit će složeniji. Ako posljednje 2 znamenke brojeva oblikuju broj podijeljen s 4 ili je 00, tada se broj podijeljen na 4, inače taj broj nije podijeljen na 4 bez ostatka.
Na primjer: 1. 00
i 3. 64
podijeljen s 4, jer u prvom slučaju broj se završava 00
, iu drugom 64
što je zauzvrat podijeljeno na 4 bez ostatka (64: 4 \u003d 16)
Brojevi 3. 57
i 8. 86
ne dijelite 4 jer niti 57
n. 86
4 nisu podijeljene i stoga ne odgovaraju tom znaku djeluje.
Znak nedjeljive na 5
I opet, imamo prilično jednostavan znak debljine: ako snimanje prirodnog broja završi s brojem 0 ili 5, tada je taj broj podijeljen bez ostatka do 5. ako se broj broja završava s drugom znamenkom, Tada broj bez ostatka nije podijeljen u 5.
To znači da sve brojeve koji završavaju brojevima 0
i 5
, na primjer, 1235. 5
i 43. 0
, padaju pravilo i podijeljeno s 5.
A, na primjer, 1549 3
i 56. 4
Nemojte završiti na slici 5 ili 0, što znači da ne mogu dijeliti 5 bez ostatka.
Znak nedjeljine na 6
Imamo kompozitni broj 6, koji je proizvod brojeva 2 i 3. Stoga je znak desetifibilnosti za 6 također kompozit: tako da je broj podijeljen s 6, mora odgovarati dva znaka nedjele istovremeno: znak debljine na 2 i znak djelitelja do 3. U isto vrijeme, imajte na umu da takav kompozitni broj kao 4 ima individualni znak djelitelja, jer je to dokaz broja 2 na sebe. Ali natrag na znak debljine na 6.
Brojevi 138 i 474 su čak odgovaraju znakovima djelića za 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 i 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), što znači da su podijeljeni do 6., ali 123 i 447, iako su podijeljeni u 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 i 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ali su neparni i Stoga ne odgovaraju znaku djelića za 2, i stoga ne odgovaraju znaku djelića za 6.
Znak nedjeljive na 7
Ovaj znak nedjelje je složeniji: broj je podijeljen na 7 ako je rezultat oduzimanja twin-trajne brojke desetaka tog broja podijeljen na 7 ili jednak 0.
Zvuči prilično zbunjujuće, ali u praksi je lako. Vidimo se: broj 95
9 je podijeljen na 7, jer 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 podijeljeno s 7 bez ostatka). A ako je broj s brojem dobivenim tijekom transformacije nastao (zbog svoje veličine, teško je razumjeti, podijeljeno je na 7 ili ne, tada se ovaj postupak može nastaviti onoliko puta koliko se smatrate potrebnim).
Na primjer, 45
5 I. 4580
1 Posjeduju znakove djeljive do 7. U prvom slučaju, sve je vrlo jednostavno: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. U drugom slučaju ćemo to učiniti: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Teško nam je shvatiti da li je podijeljeno ako 457
8 do 7, tako da ponovimo proces: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. I opet koristimo znak nedjeljive, jer smo još uvijek troznamenkasti broj 44
1. tako 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, tj. 42 je podijeljen na 7 bez ravnoteže, što znači da je 45801 podijeljeno s 7.
Ali brojevi 11
1 I. 34
5 nisu podijeljeni u 7, jer 11
-2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 nije podijeljeno bez ostatka do 7) i 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 nije podijeljena bez ostatka do 7).
Znak nedjeljive na 8
Znak nedjeljive na 8 zvukova: ako posljednje 3 znamenke čine broj podijeljen s 8, ili je 000, tada je navedeni broj podijeljen s 8.
Brojevi 1. 000
ili 1. 088
podijeljeno s 8: prve ciljeve 000
, drugo 88
: 8 \u003d 11 (podijeljeno s 8 bez ostatka).
Ali broj 1 100
ili 4. 757
ne dijelite 8, jer brojeve 100
i 757
Ne dijelite bez ostataka.
Znak nedjeljive na 9
Ovaj znak nedjeljive je sličan znak djelitelja za 3: ako je broj brojeva podijeljen s 9, tada se broj podijeljen na 9; Ako broj brojeva nije podijeljen u 9, tada se broj ne podijeli u 9.
Na primjer: 3987 i 144 su podijeljeni u 9, jer u prvom slučaju 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - Podijeljena je bez ostataka od 9), au drugom 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - također podijeljeno bez ostataka od 9).
Ali brojevi: 235 i 141 nisu podijeljeni u 9, jer 2 + 3 + 5 \u003d 10
i 1 + 4 + 1 \u003d 6
(I znamo da ni 10 ni 6 nisu podijeljeni u 9 bez ostatka).
Znakovi djelišta na 10, 100, 1000 i drugih bitnih jedinica
Ovi znakovi djelistibilnosti koje sam kombinirao jer se mogu jednako opisati: broj je podijeljen u jedinicu za ispuštanje ako je broj nula na kraju broja veći ili jednak broju nula u određenom bitnom.
Drugim riječima, na primjer, imamo takve brojeve: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
, Od njih, svi su podijeljeni u 1 0
; 46400
i 867. 000
Oni su podijeljeni u 1 00
; I samo jedan od njih - 867 000
podijeljen s 1. 000
.
Bilo koji brojevi u kojem je broj nula na kraju je manji od one od jedinice za pražnjenje, nisu podijeljeni u ovu pražnjenje, na primjer 600 30
i 7. 93
Ne dijelite 1. 00
.
Znak nedjeljive na 11
Kako bi se saznala je li broj podijeljen na 11, potrebno je dobiti razliku u iznosu čak i neparnih brojeva ovog broja. Ako je ta razlika jednaka 0 ili podijeljena s 11 bez ostatka, tada je broj sam podijeljen s 11 bez ostatka.
Da bih bio jasniji, predlažem da razmotrite primjere: 2
35
4 je podijeljena s 11, jer ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 je također podijeljena na 11, od ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Ali 1. 1
1 ili 4
35
4 nisu podijeljene s 11, budući da u prvom slučaju imamo (1 + 1) - 1
\u003d 1, au drugom ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Znak nedjeljine na 12
Broj 12 je kompozitan. Njegov znak nedjelje je korespondencija znakova djelitelja za 3 i 4. u isto vrijeme.
Na primjer, 300 i 636 odgovara znakovima djelistibilnosti na 4 (posljednje 2 znamenke su nule ili su podijeljene na 4) i znakovi djelića za 3 (zbroj brojeva i prvi i temelji broj je podijeljen u 3) , i primjenjivat će se, podijeljeni su s 12 bez ravnoteže.
No, 200 ili 630 se ne podijeli u 12, jer u prvom slučaju broj samo odgovara samom značem djeljivosti za 4, au drugom - samo znak debljine do 3. ali ne i ni znakove u isto vrijeme ,
Znak nedjeljine na 13
Znak nedjeljive na 13 je da će, ako je broj desetaka brojeva, presavijeni s pomnoženim 4 jedinice ovog broja, bit će višestruki 13 ili jednak 0, tada je sam broj podijeljen s 13.
Na primjer 70
2. tako 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 je podijeljeno bez ostatka do 13), to znači 70
2 je podijeljena s 13 bez ostatka. Drugi primjer je broj 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Broj 130 je podijeljen u 13 bez ostatka, što znači da je određeni broj odgovara znakovima djelića za 13.
Ako uzimate brojeve 12
5 ili 21
2, onda dobivamo 12
+ 4 * 5 \u003d 32 i 21
+ 4 * 2 \u003d 29 se dopisiva, a ni 32 ni 29 nisu podijeljeni u 13 bez ostatka, što znači da navedeni brojevi nisu podijeljeni bez ostatka do 13.
Discjenosti brojeva
Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, može se pretpostaviti da se bilo koji od prirodnih brojeva može odabrati svoj individualni znak debljine ili "kompozitne" značajke ako je broj više od nekoliko različiti brojevi, No, kao što praksa pokazuje, uglavnom veći broj, to je teži njezin znak. Možda je vrijeme provedeno na provjeru znaka nedjelje ili više od samog podjele. Stoga, obično koristimo najjednostavnije znakove djeljive.
Razmotrite jednostavan primjer:
15:5=3
U ovom primjeru prirodni broj 15 Mi smo podijeljeni dkape3, bez ravnoteže.
Ponekad je prirodni broj u potpunosti mogao podijeliti fokus. Na primjer, razmotrite zadatak:
16 igračaka ležalo je u ormaru. Grupa je imala pet djece. Svako dijete je uzeo isti broj igračaka. Koliko igračaka ima svako dijete?
Odluka:
Podijelimo broj 16 na 5 stupca dobivamo:
Znamo da je 16 ne dijeli. Najnižniji broj koji je podijeljen s 5 je 15 i 1 u ostatku. Broj 15 možemo slikati kao 5⋅3. Kao rezultat (16 - delimi, 5 - razdjelnici, 3 - nepotpuni privatni, 1 - ostatak). Primljen formula odjel s ostatkomšto se može učiniti provjera rješenja.
a.=
b.⋅
c.+
d.
a. - Delimi,
b. - razdjelnik,
c. - nepotpuna privatna,
d. - ravnoteža.
Odgovor: Svako dijete će potrajati 3 igračaka i jedna će se igračka ostati.
Ostatak podjele
Ostatak treba uvijek biti manji od razdjelnika.
Ako je prilikom podjele ostatka nula, to znači da je neživotno dijeljenje dkape Ili bez ravnoteže na razdjelniku.
Ako se podijelite ostatak više divisor, to znači da pronađeni broj nije najveći. Postoji veći broj koji se dijeli i ostatak će biti manji od razdjelnika.
Pitanja o temi "Odluka s ostatkom":
Ostatak može biti više razdjelnika?
Odgovor: Ne.
Ostatak može biti jednak razdjelniku?
Odgovor: Ne.
Kako pronaći djeljiv na nepotpunom privatnom, razdjelniku i ostatku?
Odgovor: Vrijednosti nepotpune privatne, razdjelne i ostatke supstituirane su u formulu i pronađite djeluje. Formula:
a \u003d b⋅c + d
Primjer broj 1:
Izvršite podjelu s ostatkom i provjerite: a) 258: 7 b) 1873: 8
Odluka:
a) Podijelimo stupac:
258 - Delimi,
7 - razdjelnik,
36 - nepotpuna privatna,
6 - ostatak. Ostatak manje razdjelnika 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Podijelimo stupac:
1873 - Delimi,
8 - razdjelnik,
234 - Nepotpuno privatno,
1 - ostatak. Ostatak je manji od razdjelnika 1<8.
Zamjena u formuli i provjerite je li odlučio riješiti primjer:
8⋅234+1=1872+1=1873
Primjer broj 2:
Koji su ostaci dobiveni pri dijeljenju prirodnih brojeva: a) 3 b) 8?
Odgovor:
a) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje 3. U našem slučaju, ostatak može biti jednak 0, 1 ili 2.
b) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje od 8. U našem slučaju, ostatak može biti jednak 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ili 7.
Primjer broj 3:
Koji se najveći ostatak može ispasti pri dijeljenju prirodnih brojeva: a) 9 b) 15?
Odgovor:
a) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje od 9. Ali moramo odrediti najveću ravnotežu. To je najbliži broj razdjelnika. Ovo je broj 8.
b) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje od 15 godina. Ali moramo odrediti najveću ravnotežu. To je najbliži broj razdjelnika. Ovo je broj 14.
Primjer broj 4:
Pronađite djelište: a) A: 6 \u003d 3 (OST 4) b) C: 24 \u003d 4 (istok11)
Odluka:
a) umanjenje uz pomoć formule:
a \u003d b⋅c + d
(A - delimi, b - razdjelnici, c - nepotpuni privatni, D - ostatak.)
O: 6 \u003d 3 (OST.4)
(A - delimi, 6 - razdjelnici, 3 - nepotpuni privatni, 4-ostatak.) Zamijenite brojeve u formuli:
A \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Odgovor: A \u003d 22
b) riješeno uz pomoć formule:
a \u003d b⋅c + d
(A - delimi, b - razdjelnici, c - nepotpuni privatni, D - ostatak.)
C: 24 \u003d 4 (istok11)
(C - delimi, 24 - razdjelnici, 4 - nepotpuni privatni, 11 - ostatak.) Zamijenite brojeve u formuli:
C \u003d 24 ° 4 + 11 \u003d 107
Odgovor: c \u003d 107
Zadatak:
Žica 4m. Potrebno je izrezati na komade od 13 cm. Koliko će takvih djela raditi?
Odluka:
Prvo morate prevesti metara do centimetara.
4m. \u003d 400 cm.
Možete dijeliti stupac ili u umu ćemo dobiti:
400: 13 \u003d 30 (OST.10)
Ček:
13⋅30+10=390+10=400
Odgovor: 30 komada ispada i 10 cm će ostati.
U ovom članku ćemo analizirati podjela cijelih brojeva s ostatkom, Počnimo s općim načelom podjele cijelih brojeva s ostatkom, formuliramo i dokazimo teoremu o djelistibilnosti cijelih brojeva s ostatkom, prateći vezu između djelilja, razdjelnika, nepotpunog privatnog i ostatka. Zatim provedemo pravila na kojima se provodi podjela cjelih s ostatkom i razmotriti uporabu ovih pravila pri rješavanju primjera. Nakon toga naučite kako provjeriti rezultat podjele cijelih brojeva s ostatkom.
Navigacijsku stranicu.
Opći pogled na podjelu cijelih brojeva s ostatkom
Podjela cijelih brojeva s ostatkom smatrat ćemo kao generalizacija podjele s ostatkom prirodnih brojeva. To je zbog činjenice da su prirodni brojevi sastavni dio cijelih brojeva.
Počnimo s uvjetima i oznakama koje se koriste u opisu.
Po analogiji s podjelom prirodnih brojeva s ostatkom, pretpostavit ćemo da je rezultat dijeljenja s ostatkom dvaju cijelih brojeva A i B (B nije nula) dva cijela broja C i D. Brojevi A i B se nazivaju djeljiv i šestar Prema tome, broj D - talog od podjele A na B, a cijeli broj c naziva se nepotpuna privatna (ili jednostavno privatniako je ostatak nula).
Slažemo se pretpostaviti da je ostatak ne-negativan broj, a njegova vrijednost ne prelazi B, to jest, upoznali smo se, kada smo rekli o usporedbi s tri i više cijelih brojeva).
Ako je broj C nepotpuno privatan, a broj D je ostatak od podjele cijeli broj po cijelom broju B, tada ćemo takva činjenica ukratko zabilježiti kao jednakost obrasca A: b \u003d c (Ost. D).
Imajte na umu da kada podijelite cijeli broj A na cijeli broj B, ostatak može biti nula. U ovom slučaju, kažu da je A podijeljen na b bez ostataka (ili dkape). Stoga je podjela cijelih brojeva bez ostatka poseban slučaj podjele cijelih brojeva s ostatkom.
Također je vrijedno reći da kada se dijeli nula za neki cijeli broj, uvijek se bavimo podjelom bez ravnoteže, jer u ovom slučaju privatna će biti nula (vidi dio teorije nula podjele) i ostatak također će biti nula.
Određena terminologijom i oznakama, sada ćemo razumjeti sa značenjem podjele cijelih brojeva s ostacima.
Podjela čitavog negativnog broja A na cijeli pozitivan broj B može se dati i značenju. Da biste to učinili, razmislite o cijelom negativnom broju kao dug. Zamislite ovu situaciju. Dug koji čini stavke moraju isplatiti osobu B tako što čini isti doprinos. Apsolutna vrijednost nepotpunih privatnih C u ovom slučaju će odrediti iznos duga svakog od tih ljudi, a ostatak D će pokazati koliko će stavki ostati nakon plaćanja duga. Dajmo primjer. Pretpostavimo da 2 osobe trebaju 7 jabuka. Ako pretpostavimo da bi svaka od njih trebala biti 4 jabuke, a zatim nakon plaćanja duga, ostaju 1 jabuka. Ova situacija odgovara jednakosti (-7): 2 \u003d -4 (OST. 1).
Odjel s ostatkom proizvoljnog cijelog broja A za cijeli negativan broj nećemo dati nikakvu točku, ali ostavit ćemo pravo na postojanje.
Teorem o djelićnosti cijelih brojeva s ostatkom
Kada smo razgovarali o podjeli prirodnih brojeva s ostatkom, saznali su da je to neživotno, razdjelnik B, nepotpun privatni C i ostatak D se odnose na ravnopravnost a \u003d b · c + d. Za cijele brojeve, A, B, C i D karakterizira ista veza. Ova veza je odobrena sljedećim teorem s definicijom s ostatkom.
Teorema.
Bilo koji cijeli broj a svibanj biti jedini put kroz cijeli broj i različit od nultog broja B kao a \u003d b · · · · · · r, gdje su Q i R neki cijeli brojevi i.
Dokaz.
Prvo, dokazujemo mogućnost zastupanja a \u003d b · · · r.
Ako se cijeli brojevi A i B tako da je A podijeljen u B usmjeren, tada po definiciji postoji takav cijeli broj q da je \u003d b · q. U ovom slučaju, postoji jednakost a \u003d b · · · r na r \u003d 0.