2 pochodna funkcji zespolonej. Złożone pochodne

Operacja znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem.

W wyniku rozwiązania problemów znajdowania pochodnych najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji poprzez zdefiniowanie pochodnej jako granicy stosunku przyrostu do przyrostu argumentu powstała tablica pochodnych oraz precyzyjnie określone reguły różniczkowania . Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) jako pierwsi pracowali w dziedzinie wyszukiwania pochodnych.

Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie jest konieczne obliczanie wspomnianej wyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, wystarczy skorzystać z tabeli pochodnych i zasady różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znalezienia pochodnej.

Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem obrysu rozbić proste funkcje i określ jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Dalej znajdujemy pochodne funkcji elementarnych w tablicy pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu - w regułach różniczkowania. Tablicę instrumentów pochodnych i reguły różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.

Przykład 1 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Z reguł różniczkowania dowiadujemy się, że pochodną sumy funkcji jest suma pochodnych funkcji, tj.

Z tabeli pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „X” jest równa jeden, a pochodna sinusa jest równa cosinusowi. Podstawiamy te wartości do sumy pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek problemu:

Przykład 2 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Różniczkujemy jako pochodną sumy, w której ze znaku pochodnej można wyciągnąć drugi wyraz o stałym współczynniku:

Jeśli nadal pojawiają się pytania o to, skąd coś się bierze, to z reguły stają się one jasne po przeczytaniu tabeli pochodnych i najprostszych zasad różniczkowania. Jedziemy do nich właśnie teraz.

Tabela pochodnych funkcji prostych

1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...), która znajduje się w wyrażeniu funkcji. Zawsze zero. Jest to bardzo ważne, aby pamiętać, ponieważ jest to wymagane bardzo często
2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „x”. Zawsze równy jeden. Należy o tym również pamiętać
3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz zamienić pierwiastki niekwadratowe na potęgę.
4. Pochodna zmiennej do potęgi -1
5. Pochodna pierwiastek kwadratowy
6. Pochodna sinusoidalna
7. Pochodna cosinusa
8. Pochodna styczna
9. Pochodna cotangensa
10. Pochodna arcus sinus
11. Pochodna arcus cosinus
12. Pochodna arcus tangens
13. Pochodna tangensa odwrotnego
14. Pochodna logarytmu naturalnego
15. Pochodna funkcji logarytmicznej
16. Pochodna wykładnika
17. Pochodna funkcji wykładniczej

Zasady różnicowania

1. Pochodna sumy lub różnicy
2. Pochodna produktu
2a. Pochodna wyrażenia pomnożona przez stały czynnik
3. Pochodna ilorazu
4. Pochodna funkcji zespolonej

Zasada nr 1Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym momencie, a następnie w tym samym punkcie funkcje

oraz

tych. pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji.

Konsekwencja. Jeżeli dwie funkcje różniczkowalne różnią się o stałą, to ich pochodnymi są, tj.

Zasada 2Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym momencie, to ich produkt jest również różniczkowalny w tym samym punkcie

oraz

tych. pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.

Konsekwencja 1. Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej:

Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego z czynników i wszystkich pozostałych.

Na przykład dla trzech mnożników:

Zasada 3Jeśli funkcje

w pewnym momencie różniczkowalna I , wtedy w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalny.u/v , i

tych. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika i pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownika, a mianownikiem jest kwadrat poprzedniego licznika .

Gdzie szukać na innych stronach

Przy znajdowaniu pochodnej iloczynu i ilorazu w rzeczywistych problemach zawsze konieczne jest zastosowanie kilku reguł różniczkowania naraz, więc więcej przykładów dotyczących tych pochodnych znajduje się w artykule.„Pochodna iloczynu i iloraz”.

Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) jako terminu w sumie i jako czynnika stałego! W przypadku wyrazu jego pochodna jest równa zeru, a w przypadku stałego czynnika jest on wyjęty ze znaku pochodnych. Ten typowy błąd, który występuje na początkowym etapie badania pochodnych, ale jako rozwiązanie kilku jedno-dwuczęściowych przykładów, przeciętny student nie popełnia już tego błędu.

A jeśli, rozróżniając produkt lub iloraz, masz termin ty"v, w którym ty- liczba np. 2 lub 5, czyli stała, to pochodna tej liczby będzie równa zero, a więc cały wyraz będzie równy zero (taki przypadek analizujemy w przykładzie 10) .

Innym częstym błędem jest mechaniczne rozwiązanie pochodnej funkcji zespolonej jako pochodnej funkcji prostej. Dlatego pochodna funkcji zespolonej poświęcona osobnemu artykułowi. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne prostych funkcji.

Po drodze nie można obejść się bez przekształceń wyrażeń. Aby to zrobić, może być konieczne otwarcie nowych podręczników systemu Windows Działania z mocami i korzeniami I Akcje z ułamkami .

Jeśli szukasz rozwiązań dla pochodnych z potęgami i pierwiastkami, czyli gdy funkcja wygląda tak , a następnie postępuj zgodnie z lekcją „ Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami”.

Jeśli masz takie zadanie jak , jesteś na lekcji "Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych".

Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną

Przykład 3 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Określamy części wyrażenia funkcji: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynniki są sumami, w których drugi z wyrazów zawiera czynnik stały. Stosujemy zasadę różniczkowania iloczynu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej:

Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sumy: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ze znakiem minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zero. Tak więc „x” zamienia się w jeden, a minus 5 - w zero. W drugim wyrażeniu „x” mnożymy przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę, co pochodna „x”. Otrzymujemy następujące wartości instrumentów pochodnych:

Znalezione pochodne podstawiamy do sumy iloczynów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek zadania:

I możesz sprawdzić rozwiązanie problemu na pochodnej na .

Przykład 4 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznik jest różnicą między iloczynem mianownika a pochodną licznika i licznika i pochodną mianownika, oraz mianownik to kwadrat poprzedniego licznika. Otrzymujemy:

Znaleźliśmy już pochodną czynników w liczniku w przykładzie 2. Nie zapominajmy również, że iloczyn, który jest drugim czynnikiem w liczniku, jest przyjmowany ze znakiem minus w obecnym przykładzie:

Jeśli szukasz rozwiązań takich problemów, w których trzeba znaleźć pochodną funkcji, gdzie istnieje ciągła sterta pierwiastków i stopni, jak np. to witaj na zajęciach „Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami” .

Jeśli potrzebujesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, tangensów i innych funkcje trygonometryczne, czyli kiedy funkcja wygląda tak: , to masz lekcję "Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych" .

Przykład 5 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloczyn, którego jednym z czynników jest pierwiastek kwadratowy zmiennej niezależnej, którego pochodną poznaliśmy w tabeli pochodnych. Zgodnie z regułą różniczkowania iloczynu i tabelaryczną wartością pochodnej pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

Możesz sprawdzić rozwiązanie problemu pochodnego na kalkulator instrumentów pochodnych online .

Przykład 6 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Zgodnie z regułą różniczkowania ilorazu, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz wartości tabelarycznej pochodnej pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez .

Funkcje złożony typ nazywanie terminu „funkcją złożoną” nie jest całkowicie poprawne. Na przykład wygląda bardzo imponująco, ale ta funkcja nie jest skomplikowana, w przeciwieństwie do.

W tym artykule zrozumiemy koncepcję złożona funkcja, nauczymy się identyfikować go jako część funkcji elementarnych, podać wzór na znalezienie jej pochodnej i szczegółowo rozważyć rozwiązanie typowych przykładów.

Przy rozwiązywaniu przykładów będziemy stale korzystać z tabeli pochodnych i reguł różniczkowania, więc miej je przed oczami.

Złożona funkcja jest funkcją, której argumentem jest również funkcja.

Z naszego punktu widzenia ta definicja jest najbardziej zrozumiała. Konwencjonalnie można to oznaczyć jako f(g(x)) . Oznacza to, że g(x) jest niejako argumentem funkcji f(g(x)) .

Na przykład, jeśli f jest funkcją arcus tangens, a g(x) = lnx jest funkcją logarytmu naturalnego, to złożona funkcja f(g(x)) to arctg(lnx) . Inny przykład: f jest funkcją podniesienia do czwartej potęgi, a - cały funkcja wymierna(patrz) wtedy .

Z kolei g(x) może być również funkcją złożoną. Na przykład, . Konwencjonalnie takie wyrażenie można oznaczyć jako . Tutaj f jest funkcją sinus, jest funkcją pierwiastka kwadratowego, jest ułamkową funkcją wymierną. Logiczne jest założenie, że stopień zagnieżdżenia funkcji może być dowolny skończony Liczba naturalna.

Często można usłyszeć, że złożona funkcja nazywa się skład funkcji.

Wzór na pochodną funkcji zespolonej.

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji zespolonej.

Rozwiązanie.

W ten przykład f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2x+1 jest funkcją liniową.

Oto szczegółowe rozwiązanie wykorzystujące wzór na pochodną funkcji zespolonej:

Znajdźmy tę pochodną, po uproszczeniu postaci pierwotnej funkcji.

W konsekwencji,

Jak widać, wyniki się zgadzają.

Staraj się nie mylić, która funkcja to f, a która to g(x) .

Wyjaśnijmy to przykładem dla uwagi.

Przykład.

Znajdź pochodne funkcji złożonych i .

Rozwiązanie.

W pierwszym przypadku f to funkcja podniesiona do kwadratu, a g(x) to funkcja sinus, więc
.

W drugim przypadku f jest funkcją sinus, a - funkcja zasilania. Zatem ze wzoru na iloczyn funkcji zespolonej mamy

Wzór na pochodną funkcji ma postać

Przykład.

Funkcja różnicowania .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie złożoną funkcję można warunkowo zapisać jako , gdzie to funkcja sinus, funkcja podniesienia do potęgi trzeciej, funkcja logarytmiczna do podstawy e, funkcja przyjmowania arcus tangens i funkcja liniowa odpowiednio.

Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej

Teraz znajdujemy

Zestawienie uzyskanych wyników pośrednich:

Nie ma nic strasznego, rozbieraj złożone funkcje, takie jak zagnieżdżanie lalek.

Mogłoby to zakończyć artykuł, gdyby nie jeden, ale...

Pożądane jest jasne zrozumienie, kiedy należy stosować zasady różniczkowania i tabelę pochodnych, a kiedy wzór na pochodną funkcji złożonej.

BĄDŹ BARDZO TERAZ. Porozmawiamy o różnicy między złożonymi funkcjami a złożonymi funkcjami. Od tego, jak bardzo widzisz tę różnicę, zależeć będzie sukces w znalezieniu instrumentów pochodnych.

Zacznijmy od prostych przykładów. Funkcjonować można uznać za złożoną: g(x) = tgx , . Dlatego możesz od razu zastosować wzór na pochodną funkcji zespolonej

A oto funkcja nie można już nazwać złożonym.

Ta funkcja jest sumą trzech funkcji , 3tgx i 1 . Chociaż - jest funkcją złożoną: - jest funkcją potęgową (parabolą kwadratową), a f jest funkcją styczną. Dlatego najpierw stosujemy wzór na zróżnicowanie sumy:

Pozostaje znaleźć pochodną funkcji zespolonej:

Dlatego .

Mamy nadzieję, że rozumiesz.

Patrząc szerzej, można argumentować, że funkcje typu złożonego mogą być częścią funkcji złożonych, a funkcje złożone mogą być składnikami funkcji typu złożonego.

Jako przykład spójrzmy na części składowe funkcjonować .

Po pierwsze, jest funkcją złożoną, którą można przedstawić jako , gdzie f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g(x) jest sumą dwóch funkcji I . Tj, .

Po drugie, zajmijmy się funkcją h(x) . Jest to związane z .

Jest to suma dwóch funkcji i , gdzie - funkcja zespolona o współczynniku liczbowym 3 . - funkcja kostki, - funkcja cosinus, - funkcja liniowa.

Jest to suma dwóch funkcji i , gdzie - funkcja zespolona, - funkcja wykładnicza, - funkcja wykładnicza.

W ten sposób, .

Po trzecie, przejdź do , który jest iloczynem funkcji złożonej i cała funkcja wymierna

Funkcja do kwadratu to funkcja logarytmiczna o podstawie e.

W konsekwencji, .

Podsumowując:

Teraz struktura funkcji jest jasna i stało się jasne, jakie formuły i w jakiej kolejności należy zastosować przy jej różnicowaniu.

W rozdziale Różniczkowanie funkcji (znajdowanie pochodnej) można znaleźć rozwiązanie takich problemów.

Rozwiązywać zadania fizyczne lub przykłady w matematyce jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jedną z najważniejsze koncepcje Analiza matematyczna. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i geometryczne znaczenie, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podany w pewnym przedziale (a,b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Gdy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to napisać tak:

Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

fizyczne znaczenie pochodna: pochodna czasu toru jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas T . Średnia prędkość w pewnym okresie czasu:

Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:

O derywatach dla manekinów staraliśmy się rozmawiać od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejsze sterowanie i uporać się z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie zajmowałeś się obliczaniem pochodnych.

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 załącznikami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli zostaną zrozumiane (ktoś cierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest prawidłowy ZROZUMIEĆ INWESTYCJE. W przypadkach, w których pojawiają się wątpliwości, przypominam o przydatnym triku: bierzemy na przykład wartość eksperymentalną „x” i próbujemy (w myślach lub szkicowo) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, aby suma była najgłębszym zagnieżdżeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie kostka cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie, najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Formuła różniczkowania złożonej funkcji zaaplikuj w Odwrotna kolejność, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się być bezbłędny:

1) Bierzemy pochodną pierwiastka kwadratowego.

2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę

3) Pochodna trójki jest równa zero. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).

4) Bierzemy pochodną cosinusa.

6) I na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia .

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.

Następny przykład dla niezależne rozwiązanie.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Podpowiedź: Najpierw stosujemy zasady liniowości oraz zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść do czegoś bardziej kompaktowego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że w przykładzie podany jest iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw przyjrzymy się, ale czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sukcesywnie zastosować zasadę różnicowania produktów dwa razy

Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a dla "ve" - logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Nadal można zboczyć i wyciągnąć coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Powyższy przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.

Rozważ podobne przykłady z ułamkami.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie można napisać bardziej zwięźle, jeśli przede wszystkim zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład jest rozwiązany, a pozostawienie go w takiej formie nie będzie błędem. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź?

Doprowadzamy wyrażenie licznika do wspólny mianownik i pozbądź się trzypiętrowej frakcji:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko popełnienia błędu nie przy szukaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie sobie” pochodnej.

Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy techniki znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym proponuje się „straszny” logarytm do różniczkowania

Jeśli zastosujemy się do definicji, to pochodną funkcji w punkcie jest granica współczynnika przyrostu funkcji Δ tak do przyrostu argumentu Δ x:

Wszystko wydaje się jasne. Ale spróbuj obliczyć za pomocą tego wzoru, powiedzmy, pochodną funkcji F(x) = x 2 + (2x+ 3) · mi x grzech x. Jeśli robisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że tak zwane funkcje elementarne można odróżnić od całej różnorodności funkcji. Są to stosunkowo proste wyrażenia, których pochodne od dawna są obliczane i wprowadzane do tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje podstawowe to wszystkie wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji muszą być znane na pamięć. Co więcej, zapamiętanie ich nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Tak więc pochodne funkcji elementarnych:

Imię	Funkcjonować	Pochodna
Stały	F(x) = C, C ∈ r	0 (tak, tak, zero!)
Stopień z wykładnikiem wymiernym	F(x) = x n	n · x n − 1
Zatoka	F(x) = grzech x	sałata x
Cosinus	F(x) = cos x	− grzech x(minus sinus)
Tangens	F(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	F(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturalny logarytm	F(x) = log x	1/x
Logarytm arbitralny	F(x) = log a x	1/(x ja a)
Funkcja wykładnicza	F(x) = mi x	mi x(nic się nie zmieniło)

Jeżeli funkcja elementarna jest mnożona przez dowolną stałą, to łatwo jest również obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · F)’ = C · F ’.

Ogólnie ze znaku pochodnej można pobrać stałe. Na przykład:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Oczywiście podstawowe funkcje można dodawać do siebie, mnożyć, dzielić i wiele więcej. W ten sposób pojawią się nowe funkcje, już nie bardzo elementarne, ale też różniczkowalne według określonych reguł. Zasady te omówiono poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech funkcje F(x) I g(x), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć podstawowe funkcje omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

(F + g)’ = F ’ + g ’
(F − g)’ = F ’ − g ’

Zatem pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie istnieje pojęcie „odejmowania”. Istnieje pojęcie „elementu negatywnego”. Dlatego różnica F − g można przepisać jako sumę F+ (−1) g, a następnie pozostaje tylko jedna formuła - pochodna sumy.

F(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcjonować F(x) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, a więc:

F ’(x) = (x 2+ grzech x)’ = (x 2)' + (grzech x)’ = 2x+ cosx;

Podobnie argumentujemy dla funkcji g(x). Tylko są już trzy wyrazy (z punktu widzenia algebry):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odpowiedź:
F ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wiele osób uważa, że jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk"\u003e równe iloczynowi pochodnych. Ale figi do ciebie! Pochodna produktu jest obliczana przy użyciu zupełnie innej formuły. Mianowicie:

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

Formuła jest prosta, ale często zapominana. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są niepoprawnie rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · mi x .

Funkcjonować F(x) jest iloczynem dwóch funkcji elementarnych, więc wszystko jest proste:

F ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grzech x)

Funkcjonować g(x) pierwszy mnożnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat to się nie zmienia. Oczywiście pierwszy mnożnik funkcji g(x) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · mi x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · mi x + (x 2 + 7x− 7) ( mi x)’ = (2x+ 7) · mi x + (x 2 + 7x− 7) · mi x = mi x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · mi x = x(x+ 9) · mi x .

Odpowiedź:
F ’(x) = x 2 (3cos x − x grzech x);
g ’(x) = x(x+ 9) · mi x .

Zauważ, że w ostatnim kroku pochodna jest faktoryzowana. Formalnie nie jest to konieczne, ale większość pochodnych nie jest obliczana samodzielnie, ale w celu zbadania funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna będzie równa zeru, jej znaki zostaną znalezione i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli istnieją dwie funkcje F(x) I g(x), oraz g(x) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze możemy zdefiniować nową funkcję h(x) = F(x)/g(x). Dla takiej funkcji możesz również znaleźć pochodną:

Nie słaby, prawda? Skąd wziął się minus? Czemu g 2? Właśnie tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych formuł – nie da się tego rozgryźć bez butelki. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka są funkcje elementarne, więc wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Tradycyjnie dzielimy licznik na czynniki - to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie musi być formułą o długości pół kilometra. Na przykład wystarczy przyjąć funkcję F(x) = grzech x i zastąp zmienną x, powiedzmy, wł. x 2+ln x. Okazało się F(x) = grzech ( x 2+ln x) jest funkcją złożoną. Ma też pochodną, ale nie uda się jej znaleźć zgodnie z zasadami omówionymi powyżej.

Jak być? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzór na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

F ’(x) = F ’(T) · T', Jeśli x jest zastąpiony przez T(x).

Z reguły sytuacja przy zrozumieniu tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż przy pochodnej ilorazu. Dlatego lepiej też wyjaśnić to konkretnymi przykładami, z szczegółowy opis każdy krok.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(x) = mi 2x + 3 ; g(x) = grzech ( x 2+ln x)

Zwróć uwagę, że jeśli w funkcji F(x) zamiast wyrażenia 2 x+ 3 będzie łatwe x, to zadziała elementarna funkcja F(x) = mi x. Dlatego dokonujemy podstawienia: niech 2 x + 3 = T, F(x) = F(T) = mi T. Szukamy pochodnej funkcji zespolonej według wzoru:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (mi T)’ · T ’ = mi T · T ’

A teraz - uwaga! Wykonywanie zamiany odwrotnej: T = 2x+ 3. Otrzymujemy:

F ’(x) = mi T · T ’ = mi 2x+ 3 (2 x + 3)’ = mi 2x+ 3 2 = 2 mi 2x + 3

Spójrzmy teraz na funkcję g(x). Oczywiście wymaga wymiany. x 2+ln x = T. Mamy:

g ’(x) = g ’(T) · T' = (grzech T)’ · T' = cos T · T ’

Wymiana odwrotna: T = x 2+ln x. Następnie:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, cały problem sprowadza się do obliczenia pochodnej sumy.

Odpowiedź:
F ’(x) = 2 mi 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) co ( x 2+ln x).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „udar”. Na przykład uderzenie z sumy jest równa sumie uderzeń. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych uderzeń zgodnie z omówionymi powyżej regułami. Jako ostatni przykład wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(x n)’ = n · x n − 1

Niewielu wie o tym w roli n może być liczbą ułamkową. Na przykład korzeń to x 0,5 . Ale co, jeśli pod korzeniem jest coś podstępnego? Znowu okaże się złożona funkcja - lubią dawać takie konstrukcje praca kontrolna i egzaminy.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszmy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy podstawienia: niech x 2 + 8x − 7 = T. Znajdujemy pochodną według wzoru:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.

Dokonujemy zamiany odwrotnej: T = x 2 + 8x− 7. Mamy:

F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na koniec wróćmy do korzeni: