Kula wpisana w regularny trójkątny pryzmat. Wielościany opisane wokół kuli Wielościan jest nazywany opisanym wokół kuli jeśli płaszczyzny wszystkich jego ścian dotykają kuli

Temat „Różne problemy dotyczące wielościanów, walca, stożka i kuli” jest jednym z najtrudniejszych na 11-klasowym kursie geometrii. Przed rozwiązaniem problemów geometrycznych zwykle studiują odpowiednie sekcje teorii, do których odwołuje się przy rozwiązywaniu problemów. W podręczniku S. Atanasyana i wsp. Na ten temat (s. 138) można znaleźć tylko definicje wielościanu opisanego wokół kuli, wielościanu wpisanego w kulę, kuli wpisanego w wielościan oraz kuli opisanej w pobliżu wielościanu. V wytyczne w tym podręczniku (patrz książka „Studiowanie geometrii w klasach 10-11” S.M. Sahakyana i V.F.Butuzova, s. 159) jest powiedziane, które kombinacje ciał są brane pod uwagę przy rozwiązywaniu problemów nr 629-646 i zwraca uwagę na fakt, że „przy rozwiązywaniu konkretnego problemu należy przede wszystkim zadbać o to, aby uczniowie mieli dobre rozeznanie we wzajemnym ułożeniu wskazanych w warunku ciał”. Poniżej znajduje się rozwiązanie problemów nr 638 (a) i nr 640.

Biorąc pod uwagę powyższe oraz fakt, że najtrudniejszymi zadaniami dla uczniów są problemy łączenia piłki z innymi ciałami, konieczne jest usystematyzowanie odpowiednich zapisów teoretycznych i przekazanie ich uczniom.

Definicje.

1. Kula jest nazywana wpisaną w wielościan, a wielościan jest nazywany kulą wpisaną, jeśli powierzchnia kuli dotyka wszystkich ścian wielościanu.

2. Kulę nazywamy zakreśloną wokół wielościanu, a wielościan wpisany w kulę, jeśli powierzchnia kuli przechodzi przez wszystkie wierzchołki wielościanu.

3. Kulę nazywa się wpisaną w cylinder, stożek ścięty (stożek), a walec, stożek ścięty (stożek), jest opisany w pobliżu kuli, jeśli powierzchnia kuli dotyka podstaw (podstawy) i wszystkich tworzących cylinder, stożek ścięty (stożek).

(Z tej definicji wynika, że ​​wielki okrąg kuli można wpisać w dowolny przekrój osiowy tych korpusów).

4. Kulę nazywamy zakreśloną wokół walca, stożkiem ściętym (stożkiem), jeśli okręgi podstawowe (okrąg podstawowy i wierzchołek) należą do powierzchni kuli.

(Z tej definicji wynika, że ​​na dowolnym przekroju osiowym tych ciał można opisać obwód większego okręgu kuli).

Ogólne uwagi o położeniu środka piłki.

1. Środek kuli wpisanej w wielościan leży w punkcie przecięcia dwusiecznych płaszczyzn wszystkich kątów dwuściennych wielościanu. Znajduje się tylko wewnątrz wielościanu.

2. Środek kuli opisanej wokół wielościanu leży na przecięciu płaszczyzn prostopadłych do wszystkich krawędzi wielościanu i przechodzących przez ich punkty środkowe. Może być umieszczony wewnątrz, na powierzchni i na zewnątrz wielościanu.

Połączenie kuli z pryzmatem.

1. Kulka wpisana w prosty pryzmat.

Twierdzenie 1. Kulkę można wpisać w prosty pryzmat wtedy i tylko wtedy, gdy w podstawę pryzmatu można wpisać okrąg, a wysokość pryzmatu jest równa średnicy tego koła.

Wniosek 1.Środek kulki wpisanej w prosty pryzmat leży w połowie wysokości pryzmatu przechodzącego przez środek koła wpisanego w podstawę.

Następstwo 2. W szczególności kulę można wpisać w linie proste: trójkątne, regularne, czworokątne (w których sumy przeciwległych boków podstawy są sobie równe), pod warunkiem, że H = 2r, gdzie H jest wysokością pryzmatu , r jest promieniem okręgu wpisanego w podstawę.

2. Kula otoczona pryzmatem.

Twierdzenie 2. Kulę można opisać w pobliżu pryzmatu wtedy i tylko wtedy, gdy pryzmat jest prosty, a koło jego podstawy można opisać okrąg.

Następstwo 1... Środek kuli opisanej na pryzmacie prostym leży w połowie wysokości pryzmatu przeciągniętego przez środek koła opisanego wokół podstawy.

Następstwo 2. W szczególności kulę można opisać: w pobliżu prostego trójkątnego graniastosłupa, w pobliżu regularnego graniastosłupa, w pobliżu prostokątnego równoległościanu, w pobliżu prostego czworokątnego graniastosłupa, w którym suma przeciwnych kątów podstawy wynosi 180 stopni.

Z podręcznika L.S. Atanasyana o łączeniu kuli z pryzmatem można zasugerować problemy nr 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).

Połączenie kuli z piramidą.

1. Kula opisana wokół piramidy.

Twierdzenie 3. Kulę można opisać w pobliżu piramidy wtedy i tylko wtedy, gdy koło jej podstawy można opisać okrąg.

Wniosek 1.Środek kuli opisanej wokół ostrosłupa leży w punkcie przecięcia prostej prostopadłej do podstawy ostrosłupa przechodzącej przez środek okręgu opisanego wokół tej podstawy i płaszczyzny prostopadłej do dowolnej krawędzi bocznej poprowadzonej przez środek ostrosłupa. tę krawędź.

Następstwo 2. Jeśli boczne krawędzie piramidy są do siebie równe (lub jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy), to wokół takiej piramidy można opisać kulę, której środek w tym przypadku leży w punkcie przecięcia wysokość piramidy (lub jej kontynuacji) z osią symetrii krawędzi bocznej leżącej w płaszczyźnie żebra bocznego i wysokość.

Następstwo 3. W szczególności piłkę można opisać: w pobliżu ostrosłupa trójkątnego, w pobliżu ostrosłupa regularnego, w pobliżu ostrosłupa czworokątnego, w którym suma przeciwnych kątów wynosi 180 stopni.

2. Kula wpisana w piramidę.

Twierdzenie 4. Jeżeli ściany boczne piramidy są jednakowo nachylone do podstawy, to w taką piramidę można wpisać kulę.

Wniosek 1.Środek kuli wpisanej w ostrosłup, którego powierzchnie boczne są równo nachylone do podstawy, leży na przecięciu wysokości ostrosłupa z dwusieczną kąta liniowego dowolnego kąta dwuściennego u podstawy ostrosłupa, którego bok to wysokość ściany bocznej narysowanej od szczytu piramidy.

Następstwo 2. Kulę można wpisać w zwykłą piramidę.

Z podręcznika L.S. Atanasyana o połączeniu kuli z piramidą można zasugerować problemy nr 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641.

Połączenie kuli ze ściętą piramidą.

1. Kula otoczona regularną ściętą piramidą.

Twierdzenie 5. Kulę można opisać wokół dowolnej regularnej ściętej piramidy. (Ten warunek jest wystarczający, ale nie jest konieczny)

2. Kula wpisana w regularną ściętą piramidę.

Twierdzenie 6. Kula może być wpisana w regularną ściętą piramidę wtedy i tylko wtedy, gdy apotem piramidy jest równy sumie apotemów podstaw.

W podręczniku L.S. Atanasiana (nr 636) jest tylko jeden problem z połączeniem kuli ze ściętą piramidą.

Połączenie piłki z okrągłymi korpusami.

Twierdzenie 7. Kula może być opisana wokół walca, ściętego stożka (prosty okrągły) lub stożka.

Twierdzenie 8. Kula może być wpisana w cylinder (prosty kołowy) wtedy i tylko wtedy, gdy cylinder jest równoboczny.

Twierdzenie 9. Kulkę można wpisać w dowolny stożek (prosty okrągły).

Twierdzenie 10. Kula może być wpisana w stożek ścięty (prosty kołowy) wtedy i tylko wtedy, gdy jej generator jest równy sumie promieni podstaw.

Z podręcznika L.S. Atanasyana można zaproponować problemy nr 642, 643, 644, 645, 646 dla kombinacji kuli z okrągłymi korpusami.

Aby skuteczniej przestudiować materiał na ten temat, konieczne jest uwzględnienie zadań ustnych w trakcie lekcji:

1. Krawędź sześcianu jest równa a. Znajdź promienie kulek: wpisane w sześcian i opisane wokół niego. (r = a/2, R = a3).

2. Czy można opisać kulę (piłkę) wokół: a) sześcianu; b) prostokątny równoległościan; c) nachylony równoległościan, u podstawy którego leży prostokąt; G) prawy równoległościan; e) nachylony równoległościan? a) tak; b) tak; c) nie; d) nie; e) nie)

3. Czy to prawda, że ​​wokół dowolnej trójkątnej piramidy można opisać kulę? (Tak)

4. Czy można opisać kulę wokół dowolnej piramidy czworokątnej? (Nie, nie wokół żadnej piramidy czworokątnej)

5. Jakie właściwości powinna mieć piramida, aby opisać otaczającą ją sferę? (U jego podstawy powinien znajdować się wielokąt, wokół którego można opisać okrąg)

6. W kulę wpisana jest piramida, której boczna krawędź jest prostopadła do podstawy. Jak znaleźć środek kuli? (Środek kuli jest punktem przecięcia dwóch miejsca geometryczne punkty w przestrzeni. Pierwsza to prostopadła narysowana do płaszczyzny podstawy piramidy przez środek okręgu wokół niej opisanego. Druga to płaszczyzna prostopadła do tej bocznej krawędzi i przeciągnięta przez jej środek)

7. W jakich warunkach możesz opisać kulę wokół pryzmatu, u podstawy której znajduje się trapez? (Po pierwsze, pryzmat musi być prosty, a po drugie, trapez musi być równoramienny, aby można było wokół niego opisać okrąg)

8. Jakie warunki powinien spełniać pryzmat, aby opisać sferę wokół niego? (Graniastosłup musi być prosty, a jego podstawą musi być wielokąt, wokół którego można opisać okrąg)

9. Kula jest opisana przy trójkątnym pryzmacie, którego środek leży poza pryzmatem. Który trójkąt jest podstawą pryzmatu? (trójkąt rozwarty)

10. Czy możesz opisać kulę wokół pochylonego pryzmatu? (Nie)

11. W jakich warunkach środek kuli opisanej na prostym trójkątnym pryzmacie znajdzie się na jednej z bocznych ścian pryzmatu? (U podstawy znajduje się trójkąt prostokątny)

12. Podstawą piramidy jest trapez równoramienny.Rzut prostopadły wierzchołka piramidy na płaszczyznę podstawy jest punktem znajdującym się na zewnątrz trapezu. Czy można opisać kulę wokół takiego trapezu? (Tak, możesz. Fakt, że rzut prostopadły wierzchołka piramidy znajduje się poza jej podstawą, nie ma znaczenia. Ważne jest, aby u podstawy piramidy leżał trapez równoramienny- wielokąt wokół którego można opisać okrąg)

13. W pobliżu prawej piramidy opisana jest kula. Jak znajduje się jego środek w stosunku do elementów piramidy? (Środek kuli znajduje się na prostopadłej do płaszczyzny podstawy przez jej środek)

14. W jakich warunkach środek kuli opisanej na prostym trójkątnym pryzmacie leży: a) wewnątrz pryzmatu; b) poza pryzmatem? (U podstawy pryzmatu: a) trójkąt ostrokątny; b) trójkąt rozwarty)

15. Kula jest opisana wokół prostokątnego równoległościanu, którego krawędzie są równe 1 dm, 2 dm i 2 dm. Oblicz promień kuli. (1,5 dm2)

16. W który stożek ścięty można wpisać kulę? (W stożek ścięty, w którego oś można wpisać okrąg. Przekrój osi stożka jest trapezem równoramiennym, suma jego podstaw powinna być równa sumie jego boków. Innymi słowy, suma promieni podstaw stożka powinna być równa tworzącej)

17. Kula jest wpisana w ścięty stożek. Pod jakim kątem ze środka kuli widoczna jest tworząca stożka? (90 stopni)

18. Jaką właściwość powinien mieć prosty pryzmat, aby można było w niego wpisać sferę? (Po pierwsze, u podstawy prostego graniastosłupa powinien znajdować się wielokąt, w który można wpisać okrąg, a po drugie, wysokość graniastosłupa powinna być równa średnicy okręgu wpisanego u podstawy)

19. Podaj przykład piramidy, w którą nie można wpisać kuli? (Na przykład czworokątna piramida z prostokątem lub równoległobokiem u podstawy)

20. U podstawy prostego pryzmatu znajduje się romb. Czy w ten pryzmat można wpisać kulę? (Nie, nie możesz, ponieważ w ogólnym przypadku nie możesz opisać okręgu wokół rombów)

21. Pod jakim warunkiem kulę można wpisać w prosty trójkątny graniastosłup? (Jeśli wysokość pryzmatu jest dwukrotnością promienia okręgu wpisanego w podstawę)

22. Pod jakim warunkiem sferę można wpisać w regularną czworokątną ściętą piramidę? (Jeśli przekrój danej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez środek boku podstawy prostopadłej do niej jest trapezem równoramiennym, w który można wpisać okrąg)

23. Kula jest wpisana w trójkątną ściętą piramidę. Który punkt piramidy jest środkiem kuli? (Środek kuli wpisanej w tę piramidę znajduje się na przecięciu trzech dwusiecznych płaszczyzn kątów utworzonych przez boczne ściany piramidy z podstawą)

24. Czy można opisać sferę wokół walca (prawa okrągła)? (Tak, możesz)

25. Czy można opisać kulę o stożku, stożku ściętym (prosto kołowym)? (Tak, możesz, w obu przypadkach)

26. Czy kulę można wpisać w dowolny cylinder? Jakie właściwości powinien mieć walec, aby wpisać w niego kulę? (Nie, nie każdy: przekrój osiowy cylindra musi być kwadratowy)

27. Czy w każdy stożek można wpisać kulę? Jak określić położenie środka kuli wpisanej w stożek? (Tak, do każdego. Środek wpisanej kuli znajduje się na przecięciu wysokości stożka i dwusiecznej kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy)

Autor uważa, że ​​z trzech lekcji planowania na temat „Różne problemy wielościanów, walca, stożka i kuli” dwie lekcje należy poświęcić rozwiązywaniu problemów związanych z kombinacją kuli z innymi ciałami. Nie zaleca się udowadniania powyższych twierdzeń ze względu na niewystarczającą ilość czasu na lekcjach. Możesz zaprosić uczniów, którzy posiadają wystarczające umiejętności, aby je udowodnić, wskazując (według uznania prowadzącego) przebieg lub plan dowodu.

„Sfera polityki” - Związek podmiotów społecznych o władza państwowa... Naukowe i teoretyczne. Proces interakcji polityki z gospodarką. Razem z państwem. Regulacja public relations jest uwarunkowana interesami społecznymi. Proces interakcji polityki z moralnością. Siła państwa, perswazja, stymulacja.

„Geometria pryzmatu” — dany prosty czworokątny pryzmat ABCDA1B1C1D1. Euclid prawdopodobnie myślał, że to kwestia… praktyczne przewodniki na geometrii. Pryzmat prosty - pryzmat z boczną krawędzią prostopadłą do podstawy. Pryzmat w geometrii. Według właściwości 2 objętości, V = V1 + V2, to znaczy V = SABD h + SBDC h = (SABD + SBDC) h. Czyli trójkąty A1B1C1 i ABC są równe z trzech stron.

„Objętość pryzmatu” - Jak obliczyć objętość pryzmatu prostego? Objętość oryginalnego pryzmatu jest równa iloczynowi S · h. Jakie są główne kroki w udowodnieniu twierdzenia o pryzmacie bezpośrednim? Obszar bazowy S oryginalnego pryzmatu. Rysowanie wysokości trójkąta ABC. Zadanie. Pryzmat prosty. Cele Lekcji. Koncepcja pryzmatu. Objętość prostego pryzmatu. Rozwiązanie problemu. Pryzmat można podzielić na proste trójkątne pryzmaty o wysokości h.

„Powierzchnia kuli” – Mars. Czy piłka jest piłką? Kula i kula. Grunt. Encyklopedia. Kibicujemy naszej szkolnej drużynie baseballowej. Wenus. Uran. Czy na zdjęciu jest piłka? Trochę historii. Atmosfera. Postanowiłem zrobić trochę badań ……. Saturn. Czy jesteś gotowy odpowiedzieć na pytania?

Wielościany opisane wokół sfery Wielościan jest nazywany sferą, jeśli płaszczyzny wszystkich jego ścian dotykają sfery. Sama kula nazywana jest wpisaną w wielościan. Twierdzenie. Kulę można wpisać w pryzmat wtedy i tylko wtedy, gdy w jej podstawę można wpisać okrąg, a wysokość pryzmatu jest równa średnicy tego koła. Twierdzenie. W dowolnej trójkątnej piramidzie można wpisać kulę, a ponadto tylko jedną.

Ćwiczenie 1 Wymaż kwadrat i narysuj dwa równoległoboki przedstawiające górną i dolną powierzchnię sześcianu. Połącz ich wierzchołki z segmentami. Uzyskaj obraz kuli wpisanej w sześcian. Narysuj kulę wpisaną w sześcian jak na poprzednim slajdzie. Aby to zrobić, narysuj elipsę wpisaną w równoległobok uzyskany przez czterokrotne ściśnięcie koła i kwadratu. Zaznacz bieguny kuli oraz punkty styczności elipsy i równoległoboku.

Ćwiczenie 1 Kula jest wpisana w linię prostą pryzmat czworokątny, u podstawy którego romb o boku 1 i kącie ostrym 60 о. Znajdź promień kuli i wysokość pryzmatu. Rozwiązanie. Promień kuli jest równy połowie wysokości DG podstawy, tj. Wysokość pryzmatu jest równa średnicy kuli, tj.

Ćwiczenie 4 Kula jest wpisana w prosty czworokątny graniastosłup, u podstawy którego znajduje się czworobok, obwód 4 i obszar 2. Znajdź promień r wpisanego kuli. Rozwiązanie. Zauważ, że promień kuli jest równy promieniowi okręgu wpisanego w podstawę pryzmatu. Wykorzystajmy fakt, że promień okręgu wpisanego w wielokąt jest równy powierzchni tego wielokąta podzielonej przez jego półobwód. dostajemy

Ćwiczenie 3 Znajdź promień kuli wpisanej w regularną trójkątną piramidę, której bok podstawy wynosi 2, a kąty dwuścienne przy podstawie wynoszą 60 °. Rozwiązanie. Wykorzystajmy fakt, że środek kuli wpisanej jest punktem przecięcia dwusiecznych płaszczyzn kątów dwuściennych u podstawy piramidy. Dla promienia sfery OE równość jest zachowana.

Ćwiczenie 4 Znajdź promień kuli wpisanej w regularną trójkątną piramidę, której boczne krawędzie wynoszą 1, a płaskie kąty na wierzchołku wynoszą 90 °. Odpowiedź: Decyzja. W czworościanie SABC mamy: SD = DE = SE = Z podobieństwa trójkątów SOF i SDE otrzymujemy równanie, rozwiązując, które znajdujemy

Ćwiczenie 1 Znajdź promień sfery wpisanej w regularną piramidę czworokątną, której wszystkie krawędzie są równe 1. Wykorzystajmy fakt, że dla promienia r okręgu wpisanego w trójkąt zachodzi następujący wzór: r = S /p, gdzie S to pole, p to półobwód trójkąta... W naszym przypadku S = p = rozwiązanie. Promień kuli jest równy promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt SEF, w którym SE = SF = EF = 1, SG = A zatem,

Ćwiczenie 2 Znajdź promień sfery wpisanej w regularny ostrosłup czworokątny, którego bok podstawy wynosi 1, a krawędź boczna 2. Wykorzystujemy fakt, że dla promienia r koła wpisanego w trójkąt otrzymujemy następujący wzór ma miejsce: r = S / p, gdzie S - pole, p jest półobwodem trójkąta. W naszym przypadku S = p = rozwiązanie. Promień kuli jest równy promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt SEF, w którym SE = SF = EF = 1, SG = A zatem,

Ćwiczenie 3 Znajdź promień kuli wpisanej w regularną czworokątną piramidę, której bok podstawy wynosi 2, a kąty dwuścienne przy podstawie wynoszą 60 °. Rozwiązanie. Wykorzystajmy fakt, że środek kuli wpisanej jest punktem przecięcia dwusiecznych płaszczyzn kątów dwuściennych u podstawy piramidy. Dla promienia kuli OG równość jest zachowana.

Ćwiczenie 4 Kula jednostkowa jest wpisana w regularną czworokątną piramidę, której bok podstawy wynosi 4. Znajdź wysokość piramidy. Wykorzystajmy fakt, że dla promienia r okręgu wpisanego w trójkąt obowiązuje następujący wzór: r = S / p, gdzie S jest polem, p jest półobwodem trójkąta. W naszym przypadku S = 2h, p = Rozwiązanie. Oznaczmy wysokość SG piramidy przez h. Promień kuli jest równy promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt SEF, w którym SE = SF = EF = 4. Dlatego mamy równość, z której znajdujemy

Ćwiczenie 1 Znajdź promień sfery wpisanej w regularny ostrosłup sześciokątny o krawędziach podstawy równych 1 i krawędziach bocznych równych 2. Wykorzystajmy fakt, że dla promienia r okręgu wpisanego w trójkąt zachodzi następujący wzór: r = S / p, gdzie S jest polem, p jest półobwodem trójkąta. W naszym przypadku S = p = Dlatego rozwiązanie. Promień kuli jest równy promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt SPQ, w którym SP = SQ = PQ = SH =

Ćwiczenie 2 Znajdź promień kuli wpisanej w regularną sześciokątną piramidę o krawędzi podstawy równej 1 i kątach dwuściennych u podstawy równych 60 stopni. Rozwiązanie. Wykorzystajmy fakt, że środek kuli wpisanej jest punktem przecięcia dwusiecznych płaszczyzn kątów dwuściennych u podstawy piramidy. Dla promienia sfery OH równość jest zachowana.
Ćwiczenie Znajdź promień kuli wpisanej w jednostkowy ośmiościan. Odpowiedź: Decyzja. Promień kuli jest równy promieniowi okręgu wpisanego w romb SESF, w którym SE = SF = EF = 1, SO = Wtedy wysokość rombu spadającego z wierzchołka E będzie równa Wymagany promień wynosi równy połowie wysokości i równy O

Ćwiczenie Znajdź promień kuli wpisanej w dwudziestościan jednostkowy. Rozwiązanie. Wykorzystujemy fakt, że promień OA kuli opisanej jest równy promieniowi AQ okręgu opisanego wokół trójkąt równoboczny z bokiem 1 jest równy Przez twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąt prostokątny OAQ, pobierz Ćwiczenie Znajdź promień kuli wpisanej w dwunastościan jednostkowy. Rozwiązanie. Wykorzystamy fakt, że promień sfery opisanej jest równy promieniowi FQ okręgu opisanego wokół pięciokąt równoboczny o boku 1 jest równy Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego OFQ otrzymujemy

Ćwiczenie 1 Czy możesz wpisać kulę w ścięty czworościan? Rozwiązanie. Zauważ, że środek O sfery wpisanej w ścięty czworościan musi pokrywać się ze środkiem sfery wpisanej w czworościan, który pokrywa się ze środkiem sfery wpisanej w ścięty czworościan. Odległości d 1, d 2 od punktu O do ścian sześciokątnych i trójkątnych oblicza się według twierdzenia Pitagorasa: gdzie R jest promieniem pół-wpisanej kuli, r 1, r 2 są promieniami okręgów wpisanych w odpowiednio sześciokąt i trójkąt. Ponieważ r 1> r 2, potem d 1 r 2, potem d 1