Zero akcji. Zasada mnożenia dowolnej liczby przez zero Dowolna liczba pomnożona przez 0 równa się

Nawet w szkole nauczyciele próbowali wbić nam do głowy najprostszą zasadę: "Każda liczba pomnożona przez zero równa się zero!", - ale wciąż jest wokół niego wiele kontrowersji. Ktoś właśnie zapamiętał regułę i nie zawraca sobie głowy pytaniem „dlaczego?”. „Tu nie możesz robić wszystkiego, bo w szkole tak mówili, reguła jest regułą!” Ktoś może wypełnić pół zeszytu formułami, udowadniając tę ​​zasadę lub odwrotnie, jej nielogiczność.

W kontakcie z

Kto w końcu ma rację?

Podczas tych sporów obydwoje, mając przeciwne punkty widzenia, patrzą na siebie jak baran i z całych sił udowadniają, że mają rację. Chociaż, jeśli spojrzysz na nie z boku, zobaczysz nie jednego, ale dwa barany opierające się o siebie z rogami. Jedyna różnica między nimi polega na tym, że jeden jest nieco mniej wykształcony od drugiego.

Najczęściej ci, którzy uważają tę regułę za błędną, próbują przywołać logikę w ten sposób:

Mam na stole dwa jabłka, jeśli włożę do nich zero jabłek, to znaczy nie włożę ani jednego, to moje dwa jabłka z tego nie znikną! Zasada jest nielogiczna!

Rzeczywiście, jabłka nigdzie nie znikną, ale nie dlatego, że reguła jest nielogiczna, ale dlatego, że zastosowano tutaj nieco inne równanie: 2 + 0 \u003d 2. Odrzućmy więc ten wniosek od razu - jest nielogiczny, chociaż ma coś przeciwnego cel - wezwanie do logiki.

Co to jest mnożenie

Pierwotna zasada mnożenia został zdefiniowany tylko dla liczb naturalnych: mnożenie to liczba dodawana do siebie określoną liczbę razy, co implikuje naturalność liczby. Zatem dowolną liczbę z mnożeniem można sprowadzić do tego równania:

1. 25x3=75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25x3 = 25 + 25 + 25

Z tego równania wynika wniosek: że mnożenie jest uproszczonym dodawaniem.

Co to jest zero

Każda osoba od dzieciństwa wie: zero to pustka, mimo że ta pustka ma oznaczenie, to w ogóle niczego nie niesie. Uczeni starożytnego Wschodu myśleli inaczej - podeszli do zagadnienia filozoficznie i dostrzegli pewne paralele między pustką a nieskończonością i dostrzegli w tej liczbie głęboki sens. W końcu zero, które ma wartość pustki, stojąc obok każdego Liczba naturalna, mnoży to dziesięć razy. Stąd wszystkie kontrowersje związane z mnożeniem – ta liczba niesie ze sobą tyle niespójności, że trudno się nie pomylić. Ponadto zero jest stale używane do określania pustych cyfr w ułamkach dziesiętnych, odbywa się to zarówno przed, jak i po przecinku.

Czy można pomnożyć przez pustkę?

Można pomnożyć przez zero, ale jest to bezużyteczne, bo cokolwiek by powiedzieć, ale nawet przy mnożeniu liczby ujemne nadal będzie zero. Wystarczy zapamiętać tę najprostszą zasadę i nigdy więcej nie zadawać tego pytania. W rzeczywistości wszystko jest prostsze, niż się wydaje na pierwszy rzut oka. Nie ma ukrytych znaczeń i tajemnic, jak wierzyli starożytni naukowcy. Najbardziej logiczne wyjaśnienie zostanie podane poniżej, że to mnożenie jest bezużyteczne, ponieważ mnożąc przez nią liczbę, nadal uzyskamy to samo - zero.

Wracając do samego początku, kłótnia o dwa jabłka, 2 razy 0 wygląda tak:

• Jeśli zjesz dwa jabłka pięć razy, to zjesz 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 jabłek
• Jeśli zjesz dwa z nich trzy razy, to zjesz 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 jabłek
• Jeśli zjesz dwa jabłka zero razy, to nic nie zostanie zjedzone - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

W końcu zjedzenie jabłka 0 razy oznacza niejedzenie ani jednego. Będzie to jasne nawet dla najmniejszego dziecka. Czy ci się to podoba, czy nie, wyjdzie 0, dwa lub trzy można zastąpić absolutnie dowolną liczbą i wyjdzie absolutnie to samo. Mówiąc prościej, zero to nic a kiedy masz tam nic nie ma, to bez względu na to, ile pomnożysz - wszystko jest takie samo będzie zero. Nie ma magii i nic nie zrobi jabłka, nawet jeśli pomnożysz 0 przez milion. To najprostsze, najbardziej zrozumiałe i logiczne wyjaśnienie zasady mnożenia przez zero. Dla osoby, która jest daleko od wszelkich formuł i matematyki, takie wyjaśnienie wystarczy, aby dysonans w głowie rozwiązał się i wszystko ułożyło się na swoim miejscu.

Dział

Z powyższego wynika kolejna ważna zasada:

Nie możesz dzielić przez zero!

Ta zasada też uparcie wbija się nam do głów od dzieciństwa. Po prostu wiemy, że to niemożliwe i tyle, bez napychania głowy zbędnymi informacjami. Jeśli nagle pojawi się pytanie, z jakiego powodu dzielenie przez zero jest zabronione, większość będzie zdezorientowana i nie będzie w stanie jednoznacznie odpowiedzieć najprostsze pytanie od program nauczania, ponieważ wokół tej zasady nie ma tak wielu kontrowersji i kontrowersji.

Wszyscy po prostu zapamiętali regułę i nie dzielili przez zero, nie podejrzewając, że odpowiedź leży na powierzchni. Dodawanie, mnożenie, dzielenie i odejmowanie są nierówne, tylko mnożenie i dodawanie są pełne powyższych, a wszystkie inne manipulacje liczbami są z nich budowane. Oznacza to, że wpis 10:2 jest skrótem równania 2 * x = 10. Zatem wpis 10: 0 jest tym samym skrótem dla 0 * x = 10. Okazuje się, że dzielenie przez zero jest zadaniem do znalezienia liczba, pomnożenie przez 0, otrzymujemy 10. I już zorientowaliśmy się, że taka liczba nie istnieje, co oznacza, że ​​to równanie nie ma rozwiązania i będzie a priori niepoprawne.

Pozwól mi powiedzieć

Nie dzielić przez 0!

Wytnij 1, jak chcesz, wzdłuż,

Tylko nie dziel przez 0!

Evgeny Shiryaev, wykładowca i kierownik Pracowni Matematyki Muzeum Politechnicznego, powiedział AiF.ru o dzieleniu przez zero:

1. Jurysdykcja sprawy

Zgadzam się, zakaz nadaje regule szczególną prowokację. Jak to jest niemożliwe? Kto zbanował? Ale co z naszymi prawami obywatelskimi?

Ani konstytucja Federacji Rosyjskiej, ani kodeks karny, ani nawet statut twojej szkoły nie sprzeciwiają się interesującemu nas działaniu intelektualnemu. Oznacza to, że zakaz nie ma mocy prawnej i nic nie stoi na przeszkodzie, aby właśnie tutaj, na stronach AiF.ru, próbować podzielić coś przez zero. Na przykład tysiąc.

2. Dziel zgodnie z nauczaniem

Pamiętaj, kiedy po raz pierwszy uczyłeś się dzielić, pierwsze przykłady były rozwiązywane przez sprawdzanie przez mnożenie: wynik pomnożony przez dzielnik musiał pasować do tego, co podzielne. Nie pasował - nie zdecydował.

Przykład 1 1000: 0 =...

Zapomnijmy na chwilę o zakazanej regule i podejmijmy kilka prób odgadnięcia odpowiedzi.

Nieprawidłowy spowoduje odcięcie czeku. Iteruj po opcjach: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Dla każdej z nich test da ten sam wynik:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Zero przez mnożenie zamienia wszystko w siebie, nigdy w tysiąc. Wniosek jest łatwy do sformułowania: żaden numer nie zda egzaminu. Oznacza to, że żadna liczba nie może być wynikiem dzielenia liczby niezerowej przez zero. Taki podział nie jest zabroniony, ale po prostu nie ma rezultatu.

3. Niuanse

Prawie przegapiłem jedną okazję do obalenia zakazu. Tak, zdajemy sobie sprawę, że niezerowa liczba nie będzie podzielna przez 0. Ale może samo 0 może?

Przykład 2 0: 0 = ...

Twoje propozycje na prywatne? 100? Proszę: iloraz 100 pomnożony przez dzielnik 0 jest równy podzielności 0.

Więcej opcji! jeden? Również odpowiedni. Oraz -23 i 17, i wszystko-wszystko. W tym przykładzie wynik kontroli będzie pozytywny dla dowolnej liczby. I szczerze mówiąc, rozwiązanie w tym przykładzie nie powinno nazywać się liczbą, ale zbiorem liczb. Każdy. I nie trzeba długo czekać, aby zgodzić się, że Alice to nie Alicja, ale Mary Ann i obie są marzeniem królika.

4. A co z matematyką wyższą?

Problem rozwiązany, niuanse brane pod uwagę, kropki umieszczone, wszystko jasne - żadna liczba nie może być odpowiedzią na przykład z dzieleniem przez zero. Rozwiązanie takich problemów jest beznadziejne i niemożliwe. Bardzo interesujące! Podwójne dwa.

Przykład 3 Dowiedz się, jak podzielić 1000 przez 0.

Ale nie ma mowy. Ale 1000 można łatwo podzielić przez inne liczby. Cóż, zróbmy przynajmniej to, co działa, nawet jeśli zmienimy zadanie. A tam, widzicie, damy się ponieść emocjom, a odpowiedź pojawi się sama. Zapomnij o zerze na minutę i podziel przez sto:

Sto jest dalekie od zera. Zróbmy krok w tym kierunku, zmniejszając dzielnik:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Oczywista dynamika: im bliżej zera jest dzielnik, tym większy iloraz. Trend można zaobserwować dalej, przechodząc do ułamków i kontynuując zmniejszanie licznika:

Pozostaje zauważyć, że możemy zbliżyć się do zera tak blisko, jak nam się podoba, co powoduje, że iloraz jest dowolnie duży.

W tym procesie nie ma zera ani ostatniego ilorazu. Zasygnalizowaliśmy ruch w ich kierunku, zastępując liczbę ciągiem zbieżnym do interesującej nas liczby:

Oznacza to podobne zastąpienie dywidendy:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Strzałki są dwustronne z jakiegoś powodu: niektóre sekwencje mogą zbiegać się w liczby. Wtedy możemy powiązać ciąg z jego limitem liczbowym.

Spójrzmy na ciąg ilorazów:

Rośnie w nieskończoność, dążąc do braku liczby i przewyższając każdą. Matematycy dodają symbole do liczb ∞ aby móc umieścić dwustronną strzałkę obok takiego ciągu:

Porównanie liczby ciągów z granicą pozwala nam zaproponować rozwiązanie trzeciego przykładu:

Przy elementarnym dzieleniu ciągu zbieżnego do 1000 przez ciąg liczby dodatnie, zbieżny do 0, otrzymujemy ciąg zbieżny do ∞.

5. A oto niuans z dwoma zerami

Jaki będzie wynik podzielenia dwóch ciągów liczb dodatnich, które są zbieżne do zera? Jeśli są takie same, to identyczna jednostka. Jeśli dywidenda sekwencji zbliża się do zera szybciej, to w określonej sekwencji z limitem zerowym. A gdy elementy dzielnika maleją znacznie szybciej niż elementy dzielnika, ciąg ilorazu będzie silnie rósł:

Niepewna sytuacja. I tak to się nazywa: niepewność formy 0/0 . Kiedy matematycy widzą sekwencje, które pasują do takiej niepewności, nie spieszą się z dzieleniem przez siebie dwóch identycznych liczb, ale dowiadują się, która z sekwencji zbliża się do zera szybciej iw jaki sposób. A każdy przykład będzie miał swoją własną konkretną odpowiedź!

6. W życiu

Prawo Ohma odnosi się do prądu, napięcia i rezystancji w obwodzie. Często jest pisany w tej formie:

Pomińmy dokładne fizyczne zrozumienie i formalnie spójrzmy na prawą stronę jako iloraz dwóch liczb. Udawajmy, że rozwiązujemy zadanie szkolne na energię elektryczną. Warunkiem jest napięcie w woltach i rezystancja w omach. Pytanie jest oczywiste, decyzja w jednym działaniu.

Przyjrzyjmy się teraz definicji nadprzewodnictwa: jest to właściwość niektórych metali polegająca na zerowym oporze elektrycznym.

Cóż, rozwiążmy problem dotyczący obwodu nadprzewodzącego? Po prostu tak to ujmij R= 0 nie zadziała, fizyka rzuca ciekawy problem, za którym oczywiście kryje się odkrycie naukowe. A ludzie, którym w tej sytuacji udało się podzielić przez zero, dostali nagroda Nobla. Umiejętność ominięcia wszelkich zakazów jest przydatna!

Samo zero to bardzo ciekawa liczba. Sama w sobie oznacza pustkę, brak znaczenia, a obok kolejnej liczby zwiększa swoje znaczenie dziesięciokrotnie. Wszelkie liczby do potęgi zerowej zawsze dają 1. Ten znak był używany w cywilizacji Majów, a także oznaczał pojęcie „początek, przyczyna”. Nawet kalendarz zaczynał się od dnia zerowego. A ta liczba wiąże się z surowym zakazem.

Od samego początku szkolne lata wszyscy wyraźnie nauczyliśmy się zasady „nie można dzielić przez zero”. Ale jeśli w dzieciństwie dużo bierzesz na wiarę, a słowa dorosłego rzadko budzą wątpliwości, to z biegiem czasu czasami nadal chcesz zrozumieć powody, aby zrozumieć, dlaczego ustanowiono pewne zasady.

Dlaczego nie możesz podzielić przez zero? Chciałbym uzyskać jasne logiczne wyjaśnienie tego pytania. W pierwszej klasie nauczyciele nie mogli tego zrobić, bo w matematyce zasady wyjaśnia się za pomocą równań, a w tym wieku nie mieliśmy pojęcia, co to jest. A teraz nadszedł czas, aby to rozgryźć i uzyskać jasne logiczne wyjaśnienie, dlaczego nie można dzielić przez zero.

Faktem jest, że w matematyce tylko dwie z czterech podstawowych operacji (+, -, x, /) na liczbach są uznawane za niezależne: mnożenie i dodawanie. Pozostałe operacje są uważane za instrumenty pochodne. Rozważmy prosty przykład.

Powiedz mi, ile się okaże, jeśli odejmie się 18 od 20? Oczywiście odpowiedź natychmiast pojawia się w naszej głowie: będzie 2. A jak doszliśmy do takiego wyniku? Niektórym to pytanie będzie wydawać się dziwne - w końcu wszystko jest jasne, że wyjdzie 2, ktoś wyjaśni, że wziął 18 z 20 kopiejek i dostał dwie kopiejki. Logicznie rzecz biorąc, wszystkie te odpowiedzi nie budzą wątpliwości, ale z punktu widzenia matematyki problem ten należy rozwiązać inaczej. Przypomnijmy raz jeszcze, że głównymi operacjami w matematyce są mnożenie i dodawanie, a zatem w naszym przypadku odpowiedź leży w rozwiązaniu następującego równania: x + 18 = 20. Z czego wynika, że ​​x = 20 - 18, x = 2. Wydawałoby się, po co malować wszystko tak szczegółowo? W końcu wszystko jest takie proste. Jednak bez tego trudno wytłumaczyć, dlaczego nie da się dzielić przez zero.

Zobaczmy teraz, co się stanie, jeśli chcemy podzielić 18 przez zero. Zróbmy ponownie równanie: 18: 0 = x. Ponieważ operacja dzielenia jest pochodną procedury mnożenia, to przekształcając nasze równanie otrzymujemy x * 0 = 18. Tu zaczyna się impas. Dowolna liczba zamiast x pomnożona przez zero da 0 i nie uda nam się uzyskać 18. Teraz staje się niezwykle jasne, dlaczego nie można dzielić przez zero. Samo zero można podzielić dowolną liczbą, ale odwrotnie - niestety jest to niemożliwe.

Co się dzieje, gdy zero jest dzielone samo przez się? Można to zapisać w postaci: 0: 0 = x lub x * 0 = 0. To równanie ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Więc wynikiem końcowym jest nieskończoność. Dlatego operacja w tym przypadku również nie ma sensu.

Dzielenie przez 0 jest źródłem wielu wyimaginowanych matematycznych żartów, które w razie potrzeby mogą zagadać każdą nieświadomą osobę. Rozważmy na przykład równanie: 4 * x - 20 \u003d 7 * x - 35. Weźmiemy 4 z nawiasów po lewej stronie i 7 po prawej. Otrzymujemy: 4 * (x - 5) \u003d 7 * (x - 5). Teraz mnożymy lewą i prawą stronę równania przez ułamek 1 / (x - 5). Równanie przyjmie następującą postać: 4 * (x - 5) / (x - 5) \u003d 7 * (x - 5) / (x - 5). Zmniejszamy ułamki o (x - 5) i otrzymujemy 4 \u003d 7. Z tego możemy wywnioskować, że 2 * 2 \u003d 7! Oczywiście haczyk polega na tym, że jest równy 5 i nie można było zmniejszyć ułamków, ponieważ doprowadziło to do podziału przez zero. Dlatego redukując ułamki należy zawsze sprawdzić, czy zero przypadkowo nie znalazło się w mianowniku, w przeciwnym razie wynik okaże się całkowicie nieprzewidywalny.

Liczbę 0 można przedstawić jako rodzaj granicy oddzielającej świat liczb rzeczywistych od urojonych lub ujemnych. Ze względu na niejednoznaczną pozycję wiele operacji z tą wartością liczbową nie jest zgodnych z logiką matematyczną. Niemożliwość dzielenia przez zero jest tego najlepszym przykładem. A dozwolone operacje arytmetyczne z zerem można wykonywać przy użyciu ogólnie przyjętych definicji.

Historia Zero

Zero jest punktem odniesienia we wszystkich standardowych systemach liczbowych. Użycie tej liczby przez Europejczyków jest stosunkowo nowe, ale mędrcy starożytnych Indii używali zera przez tysiąc lat, zanim pusta liczba była regularnie używana przez europejskich matematyków. Jeszcze przed Indianami zero było obowiązkową wartością w systemie liczbowym Majów. Ten naród amerykański używał systemu dwunastkowego i zaczynał pierwszy dzień każdego miesiąca od zera. Co ciekawe, wśród Majów znak „zera” całkowicie pokrywał się ze znakiem „nieskończoności”. Tak więc starożytni Majowie doszli do wniosku, że te ilości są identyczne i niepoznawalne.

Operacje matematyczne z zerem

Standardowe operacje matematyczne z zerem można sprowadzić do kilku reguł.

Dodawanie: jeśli do dowolnej liczby dodasz zero, to nie zmieni ona jej wartości (0+x=x).

Odejmowanie: przy odejmowaniu zera od dowolnej liczby, wartość odejmowanego pozostaje niezmieniona (x-0=x).

Mnożenie: dowolna liczba pomnożona przez 0 daje 0 w iloczynie (a*0=0).

Dzielenie: Zero można podzielić przez dowolną liczbę niezerową. W takim przypadku wartość takiego ułamka będzie wynosić 0. A dzielenie przez zero jest zabronione.

Potęgowanie. Czynność tę można wykonać z dowolnym numerem. Dowolna liczba podniesiona do potęgi zera da 1 (x 0 =1).

Zero do dowolnej mocy jest równe 0 (0 a \u003d 0).

W tym przypadku natychmiast pojawia się sprzeczność: wyrażenie 0 0 nie ma sensu.

Paradoksy matematyki

O tym, że dzielenie przez zero jest niemożliwe, wiele osób wie ze szkoły. Ale z jakiegoś powodu nie można wyjaśnić przyczyny takiego zakazu. Rzeczywiście, dlaczego formuła dzielenia przez zero nie istnieje, ale inne działania z tą liczbą są całkiem rozsądne i możliwe? Odpowiedzi na to pytanie udzielają matematycy.

Chodzi o to, że zwykłe operacje arytmetyczne, których uczą się uczniowie Szkoła Podstawowa w rzeczywistości nie są tak równe, jak nam się wydaje. Wszystkie proste operacje na liczbach można zredukować do dwóch: dodawania i mnożenia. Te operacje są istotą samej koncepcji liczby, a reszta operacji opiera się na użyciu tych dwóch.

Dodawanie i mnożenie

Weźmy standardowy przykład odejmowania: 10-2=8. W szkole uważa się to za proste: jeśli z dziesięciu przedmiotów zabierze się dwa, pozostaje osiem. Ale matematycy patrzą na tę operację zupełnie inaczej. W końcu nie ma dla nich takiej operacji jak odejmowanie. Ten przykład można zapisać w inny sposób: x+2=10. Dla matematyków nieznana różnica to po prostu liczba, którą należy dodać do dwóch, aby otrzymać osiem. I tutaj nie jest wymagane odejmowanie, wystarczy znaleźć odpowiednią wartość liczbową.

W ten sam sposób traktuje się mnożenie i dzielenie. W przykładzie 12:4=3 można zrozumieć, że mówimy o podziale ośmiu obiektów na dwa równe stosy. Ale w rzeczywistości jest to tylko odwrócona formuła do pisania 3x4 \u003d 12. Takie przykłady podziału można podawać bez końca.

Przykłady dzielenia przez 0

W tym momencie staje się trochę jasne, dlaczego nie można dzielić przez zero. Mnożenie i dzielenie przez zero mają swoje własne zasady. Wszystkie przykłady na podział tej wielkości można sformułować jako 6:0=x. Ale jest to odwrotne wyrażenie wyrażenia 6 * x = 0. Ale, jak wiadomo, dowolna liczba pomnożona przez 0 daje tylko 0. Ta właściwość jest nierozerwalnie związana z samą koncepcją wartości zerowej.

Okazuje się, że taka liczba, która pomnożona przez 0, daje jakąkolwiek namacalną wartość, nie istnieje, czyli ten problem nie ma rozwiązania. Takiej odpowiedzi nie należy się bać, jest to naturalna odpowiedź na tego typu problemy. Samo pisanie 6:0 nie ma sensu i niczego nie wyjaśnia. Krótko mówiąc, wyrażenie to można wytłumaczyć nieśmiertelnym „bez dzielenia przez zero”.

Czy istnieje operacja 0:0? Rzeczywiście, jeśli operacja mnożenia przez 0 jest legalna, czy zero można podzielić przez zero? W końcu równanie postaci 0x5=0 jest całkiem legalne. Zamiast cyfry 5 możesz wpisać 0, produkt nie zmieni się z tego.

Rzeczywiście, 0x0=0. Ale nadal nie możesz dzielić przez 0. Jak już powiedziano, dzielenie jest po prostu odwrotnością mnożenia. Zatem jeśli w przykładzie 0x5=0, musisz określić drugi czynnik, otrzymamy 0x0=5. Lub 10. Albo nieskończoność. Dzielenie nieskończoności przez zero - jak ci się podoba?

Ale jeśli do wyrażenia pasuje jakaś liczba, to nie ma to sensu, nie możemy wybrać jednej z nieskończonego zbioru liczb. A jeśli tak, to znaczy, że wyrażenie 0:0 nie ma sensu. Okazuje się, że nawet samo zero nie może być podzielone przez zero.

wyższa matematyka

Dzielenie przez zero to ból głowy dla matematyki w szkole średniej. Analiza matematyczna studiowana na politechnikach nieco poszerza pojęcie problemów, które nie mają rozwiązania. Na przykład do znanego już wyrażenia 0:0 dodawane są nowe, które nie mają rozwiązania na szkolnych kursach matematyki:

• nieskończoność podzielona przez nieskończoność: ∞:∞;
• nieskończoność minus nieskończoność: ∞−∞;
• jednostka podniesiona do nieskończonej potęgi: 1 ∞ ;
• nieskończoność pomnożona przez 0: ∞*0;
• jacyś inni.

Nie da się rozwiązać takich wyrażeń metodami elementarnymi. Ale wyższa matematyka dzięki dodatkowym możliwościom wielu podobnych przykładów daje ostateczne rozwiązania. Jest to szczególnie widoczne w rozważaniach problemów z teorii granic.

Ujawnienie niepewności

W teorii granic wartość 0 zastępuje się zmienną warunkową nieskończenie małą. A wyrażenia, w których dzielenie przez zero jest uzyskiwane podczas podstawienia żądanej wartości, są konwertowane. Poniżej znajduje się standardowy przykład rozszerzania granic przy użyciu zwykłych przekształceń algebraicznych:

Jak widać na przykładzie, prosta redukcja ułamka sprowadza jego wartość do całkowicie racjonalnej odpowiedzi.

Rozważając ograniczenia funkcje trygonometryczne ich ekspresje mają tendencję do ograniczania się do pierwszej niezwykłej granicy. Rozważając granice, w których mianownik dochodzi do 0, gdy granica jest zastępowana, stosuje się drugą godną uwagi granicę.

Metoda L'Hopitala

W niektórych przypadkach granice wyrażeń można zastąpić granicami ich pochodnych. Guillaume Lopital - francuski matematyk, założyciel szkoły francuskiej Analiza matematyczna. Udowodnił, że granice wyrażeń są równe granicom pochodnych tych wyrażeń. W notacji matematycznej jego zasada jest następująca.

Na ta lekcja przyjrzymy się, jak wykonać mnożenie i dzielenie przez liczby, takie jak 10, 100, 0,1, 0,001. Rozwiązane zostaną również różne przykłady na ten temat.

Ćwiczenie. Jak pomnożyć liczbę 25,78 przez 10?

Notacja dziesiętna dla danej liczby jest skróconą notacją sumy. Musisz to bardziej szczegółowo opisać:

Dlatego musisz pomnożyć kwotę. Aby to zrobić, możesz po prostu pomnożyć każdy termin:

Okazało się, że.

Możemy stwierdzić, że pomnożenie ułamka dziesiętnego przez 10 jest bardzo proste: trzeba przesunąć przecinek w prawo o jedną pozycję.

Ćwiczenie. Pomnóż 25,486 przez 100.

Mnożenie przez 100 to to samo, co mnożenie dwa razy przez 10. Innymi słowy, musisz przesunąć przecinek w prawo dwa razy:

Ćwiczenie. Podziel 25,78 przez 10.

Podobnie jak w poprzednim przypadku, liczbę 25,78 należy przedstawić jako sumę:

Ponieważ musisz podzielić sumę, jest to równoznaczne z dzieleniem każdego terminu:

Okazuje się, że aby podzielić przez 10, trzeba przesunąć przecinek w lewo o jedną pozycję. Na przykład:

Ćwiczenie. Podziel 124 478 przez 100.

Dzielenie przez 100 to to samo, co dwukrotne dzielenie przez 10, więc przecinek jest przesunięty w lewo o 2 miejsca:

Jeśli ułamek dziesiętny ma zostać pomnożony przez 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle pozycji, ile jest zer w mnożniku.

I odwrotnie, jeśli ułamek dziesiętny ma zostać podzielony przez 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w lewo o tyle pozycji, ile jest zer w mnożniku.

Przykład 1

Mnożenie przez 100 oznacza przesunięcie przecinka w prawo o dwa miejsca.

Po przesunięciu może się okazać, że po przecinku nie ma więcej cyfr, co oznacza, że frakcja jest nieobecny. Wtedy przecinek nie jest potrzebny, liczba okazała się liczbą całkowitą.

Przykład 2

Musisz przesunąć 4 pozycje w prawo. Ale po przecinku są tylko dwie cyfry. Warto pamiętać, że istnieje równoważny zapis dla ułamka 56,14.

Teraz mnożenie przez 10 000 jest łatwe:

Jeśli nie jest jasne, dlaczego możesz dodać dwa zera do ułamka w poprzednim przykładzie, dodatkowe wideo pod linkiem może w tym pomóc.

Równoważne wpisy dziesiętne

Wpis 52 oznacza, co następuje:

Jeśli umieścimy 0 na początku, otrzymamy rekord 052. Te rekordy są równoważne.

Czy można wstawić dwa zera z przodu? Tak, te wpisy są równoważne.

Spójrzmy teraz na ułamek dziesiętny:

Jeśli przypiszemy zero, otrzymamy:

Te wpisy są równoważne. Podobnie możesz przypisać kilka zer.

W ten sposób do dowolnej liczby można przypisać kilka zer po części ułamkowej i kilka zer przed częścią całkowitą. Będą to równoważne wpisy o tej samej liczbie.

Przykład 3

Ponieważ występuje dzielenie przez 100, konieczne jest przesunięcie przecinka o 2 pozycje w lewo. Po lewej stronie kropki dziesiętnej nie ma cyfr. cała część jest nieobecny. Ta notacja jest często używana przez programistów. W matematyce, jeśli nie ma części całkowitej, zamiast niej wstawiamy zero.

Przykład 4

Musisz przesunąć się w lewo o trzy pozycje, ale są tylko dwie pozycje. Jeśli napiszesz kilka zer przed liczbą, będzie to równoważna notacja.

Oznacza to, że przesuwając się w lewo, jeśli liczby się skończyły, musisz wypełnić je zerami.

Przykład 5

W takim przypadku warto pamiętać, że przecinek zawsze występuje po części całkowitej. Następnie:

Mnożenie i dzielenie przez liczby 10, 100, 1000 to bardzo prosta procedura. To samo dotyczy liczb 0,1, 0,01, 0,001.

Przykład. Pomnóż 25,34 przez 0,1.

Zapiszmy ułamek dziesiętny 0,1 w postaci zwykłego. Ale mnożenie przez to to samo, co dzielenie przez 10. Dlatego musisz przesunąć przecinek 1 w lewo:

Podobnie mnożenie przez 0,01 to dzielenie przez 100:

Przykład. 5,235 podzielone przez 0,1.

Decyzja ten przykład skonstruowana w podobny sposób: 0.1 wyraża się jako wspólny ułamek, a dzielenie przez jest równoznaczne z mnożeniem przez 10:

Oznacza to, że aby podzielić przez 0,1, musisz przesunąć przecinek w prawo o jedną pozycję, co odpowiada pomnożeniu przez 10.

Mnożenie przez 10 i dzielenie przez 0,1 to to samo. Przecinek należy przesunąć w prawo o 1 pozycję.

Dzielenie przez 10 i pomnożenie przez 0,1 to to samo. Przecinek należy przesunąć w prawo o 1 pozycję: