Noktaların konumunun ana özelliğini düz bir çizgi üzerinde formüle edin. Uçakta düz çizgi - gerekli bilgi
Uçakta düz bir çizgi - gerekli bilgiler.
Bu yazıda, geometrinin temel kavramlarından biri olan düzlemde düz bir çizgi kavramı üzerinde duracağız. İlk olarak, temel terimleri ve tanımları tanımlayalım. Daha sonra, düzlemdeki iki düz çizginin yanı sıra bir doğrunun ve bir noktanın göreli konumunu tartışacağız ve gerekli aksiyomları vereceğiz. Sonuç olarak, bir düzlemde düz bir çizgi tanımlamanın yollarını ele alacağız ve grafik çizimler sağlayacağız.
Sayfa gezintisi.
- Düz bir çizgi bir düzlemde bir kavramdır.
- Düz bir çizgi ve bir noktanın karşılıklı düzenlenmesi.
- Düz çizgilerin bir düzlemde karşılıklı düzenlenmesi.
- Düzlemde düz bir çizgi belirleme yöntemleri.
Düz bir çizgi bir düzlemde bir kavramdır.
Bir düzlemde düz bir çizgi kavramını vermeden önce, düzlemin ne olduğunu açıkça anlamalıdır. Uçak kavramıörneğin düz bir masa yüzeyi veya bir evin duvarı elde etmenizi sağlar. Ancak, tablonun boyutlarının sınırlı olduğu ve düzlemin bu sınırların ötesine sonsuza kadar uzandığı (sanki keyfi olarak büyük bir masamız varmış gibi) akılda tutulmalıdır.
İyi bilenmiş bir kalem alır ve "masanın" yüzeyine bir çubukla dokunursanız, bir nokta görüntüsü elde ederiz. Bu şekilde alıyoruz uçakta bir nokta fikri.
şimdi gidebilirsin bir uçakta düz bir çizgi kavramı.
Masanın yüzeyine (bir uçakta) bir sayfa temiz kağıt koyduk. Düz bir çizgiyi tasvir etmek için, bir cetvel alıp, kullanılan cetvelin ve kağıdın boyutlarının izin verdiği ölçüde kurşun kalemle bir çizgi çizmemiz gerekir. Bu şekilde düz çizginin sadece bir kısmını elde ettiğimize dikkat edilmelidir. Sonsuza kadar uzanan düz bir çizgiyi ancak hayal edebiliriz.
Sayfanın başına dön
Düz bir çizgi ve bir noktanın karşılıklı düzenlenmesi.
Aksiyomla başlamalıyız: Her düz çizgide ve her düzlemde noktalar vardır.
Noktaları büyük Latin harfleriyle belirtmek gelenekseldir, örneğin noktalar A ve F... Sırayla, düz çizgiler küçük Latin harfleriyle gösterilir, örneğin düz a ve NS.
Mümkün düz bir çizginin ve düzlemdeki bir noktanın göreli konumu için iki seçenek: ya bir nokta düz bir çizgi üzerindedir (bu durumda, düz bir çizginin bir noktadan geçtiğini de söylerler) ya da bir nokta düz bir çizgi üzerinde uzanmaz (bir noktanın düz bir çizgiye ait olmadığını da söylerler) doğru veya düz bir doğru bir noktadan geçmez).
Bir noktanın belirli bir düz çizgiye ait olduğunu belirtmek için "" sembolü kullanılır. Örneğin, eğer nokta A düz bir çizgide yatıyor a, sonra yazabilirsiniz. Eğer nokta A doğrudan ait değil a sonra yaz.
Aşağıdaki ifade doğrudur: herhangi iki noktadan tek bir düz çizgi geçer.
Bu ifade bir aksiyomdur ve bir gerçek olarak alınmalıdır. Ayrıca, bu oldukça açık: kağıt üzerinde iki nokta işaretliyoruz, onlara bir cetvel uyguluyoruz ve düz bir çizgi çiziyoruz. Belirtilen iki noktadan geçen düz bir çizgi (örneğin, noktalardan geçen) A ve V), bu iki harfle gösterilebilir (bizim durumumuzda düz çizgi AB veya VA).
Bir düzlemde tanımlanmış düz bir çizgi üzerinde sonsuz sayıda farklı noktanın bulunduğu ve tüm bu noktaların aynı düzlemde olduğu anlaşılmalıdır. Bu ifade aksiyom tarafından belirlenir: Eğer bir doğrunun iki noktası belirli bir düzlemde bulunuyorsa, o zaman bu doğrunun tüm noktaları bu düzlemdedir.
Bir doğru üzerinde verilen iki nokta arasında bulunan tüm noktaların bu noktalarla birlikte oluşturduğu kümeye denir. çizgi segmenti ya da sadece segment... Bir çizgiyi sınırlayan noktalara çizgi uçları denir. Segment, segmentin uçlarının noktalarına karşılık gelen iki harfle belirtilir. Örneğin, noktalara izin verin A ve V segmentin uçları ise, bu segment belirtilebilir AB veya VA... Lütfen bir çizgi parçasının bu tanımının düz bir çizginin tanımıyla çakıştığını unutmayın. Karışıklığı önlemek için, atamaya "segment" veya "düz" kelimesini eklemenizi öneririz.
Bir noktanın belirli bir segmente ait olup olmadığını kısaca kaydetmek için, hepsi aynı semboller ve kullanılır. Belirli bir doğru parçasının düz bir çizgi üzerinde uzandığını veya uzanmadığını göstermek için sırasıyla ve sembollerini kullanın. Örneğin, eğer segment AB doğrudan aittir a, kısaca yazılabilir.
Üç farklı noktanın aynı doğruya ait olduğu durum üzerinde de durulmalıdır. Bu durumda, diğer ikisi arasında bir ve yalnızca bir nokta bulunur. Bu ifade başka bir aksiyomdur. puan olsun A, V ve İLE BİRLİKTE düz bir çizgi üzerinde uzanın ve nokta V noktalar arasında yer alır A ve İLE BİRLİKTE... O zaman diyebiliriz ki, noktalar A ve İLE BİRLİKTE noktanın zıt taraflarında V... noktalar olduğunu da söyleyebilirsiniz. V ve İLE BİRLİKTE bir tarafa yat, sonra işaret et A ve noktalar A ve V noktanın bir tarafında yatmak İLE BİRLİKTE.
Bütünlük adına, düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın bu düz çizgiyi iki parçaya böldüğüne dikkat edin - iki ışın... Bu durumda, bir aksiyom verilir: keyfi bir nokta Ö bir doğruya ait olmak bu doğruyu iki ışına böler ve bir ışının herhangi iki noktası noktanın aynı tarafında bulunur. Ö ve farklı ışınların herhangi iki noktası noktanın zıt taraflarındadır. Ö.
Sayfanın başına dön
Bu yayın, daha önce edinilen bilgileri sistematik hale getirmenin yanı sıra bir sınava veya teste hazırlanmaya ve bunları başarıyla geçmeye yardımcı olacaktır.
2. Bir doğru üzerinde üç nokta bulma şartı. Düz bir çizginin denklemi. Noktaların karşılıklı düzenlenmesi ve düz bir çizgi. Bir dizi düz çizgi. Noktadan çizgiye uzaklık
1. Üç puan verilsin A 1 (NS 1 , NS 1), A 2 (NS 2 , NS 2), A 3 (NS 3 , NS 3), sonra onları tek bir düz çizgide bulma koşulu:
herhangi biri ( NS 2 – NS 1) (NS 3 – NS 1) – (NS 3 – x 1) (NS 2 – NS 1) = 0.
2. İki puan verilsin A 1 (NS 1 , NS 1), A 2 (NS 2 , NS 2), sonra y bu iki noktadan geçen düz bir çizginin hizalanması:
(NS 2 – NS 1)(y - y 1) – (x - x 1)(NS 2 – NS 1) = 0 veya ( x - x 1) / (NS 2 – NS 1) = (y - y 1) / (NS 2 – NS 1).
3. Bir nokta olsun m (NS 1 , NS 1) ve bazı düz çizgi L denklemle temsil edilir NS = Ah + ile birlikte. Verilen bir doğruya paralel geçen bir doğrunun denklemi L bu noktadan M:
y - y 1 = a(x - x 1).
düz ise L denklem tarafından verilen Ah + uu + İLE BİRLİKTE m, denklem ile tanımlanır A(x - x 1) + V(y - y 1) = 0.
Verilen bir doğruya dik geçen bir doğrunun denklemi L bu noktadan m:
y - y 1 = –(x - x 1) / a
a(y - y 1) = NS 1 – NS.
düz ise L denklem tarafından verilen Ah + uu + İLE BİRLİKTE= 0, daha sonra noktadan geçen ona paralel bir düz çizgi m(NS 1 , NS 1) denklem ile tanımlanır A (y - y 1) – V(x - x 1) = 0.
4. İki puan verilsin A 1 (NS 1 , NS 1), A 2 (NS 2 , NS 2) ve denklem tarafından verilen düz çizgi Ah + uu + C = 0. Bu düz çizgiye göre noktaların göreli konumu:
1) puan A 1 , A 2 eğer ifadeler ( Ah 1 + uu 1 + İLE BİRLİKTE) ve ( Ah 2 + uu 2 + İLE BİRLİKTE) aynı işaretlere sahip;
2) puan A 1 ,A 2 eğer ifadeler ( Ah 1 + uu 1 + İLE BİRLİKTE) ve ( Ah 2 + uu 2 + İLE BİRLİKTE) farklı işaretlere sahip;
3) bir veya iki nokta A 1 , A 2, sırasıyla ifadelerden biri veya her ikisi ise bu satırda ( Ah 1 + + uu 1 + İLE BİRLİKTE) ve ( Ah 2 + uu 2 + İLE BİRLİKTE) sıfır alın.
5. Merkezi ışın Bir noktadan geçen doğrular kümesidir m (NS 1 , NS 1) aradı ışının merkezi... Kirişin düz çizgilerinin her biri kiriş denklemi ile tanımlanır. y - y 1 = NS(x - x 1) (ışın parametresi NS her satır için kendi).
Kirişin tüm düz çizgileri denklemle temsil edilebilir: ben(y - y 1) = m(x - x 1), nerede ben, m- aynı anda sıfıra eşit olmayan rastgele sayılar.
Eğer iki düz kiriş L 1 ve L 2 sırasıyla ( A 1 NS + V 1 NS+ İLE BİRLİKTE 1) = 0 ve ( A 2 NS+ V 2 NS+ İLE BİRLİKTE 2) = 0, ardından ışın denklemi: m 1 (A 1 NS + V 1 NS + İLE BİRLİKTE 1) + m 2 (A 2 NS + V 2 NS + İLE BİRLİKTE 2) = 0. Düz çizgiler ise L 1 ve L 2 kesişiyorsa, demet merkezidir, düz çizgiler paralelse demet paraleldir.
6. Bir puan verilsin m(NS 1 ,NS 1) ve denklem tarafından verilen düz çizgi Balta + Wu + C = 0. Mesafe NSitibaren Bugün nasılsın puan m düz:
- 1. Temel kavramlar. Koordinat sistemleri. Düz çizgiler ve göreli konumları
- 2. Bir doğru üzerinde üç nokta bulma şartı. Düz bir çizginin denklemi. Noktaların karşılıklı düzenlenmesi ve düz bir çizgi. Bir dizi düz çizgi. Noktadan çizgiye uzaklık
Segment, verilen iki nokta arasında uzanan bu düz çizginin tüm noktalarından oluşan düz bir çizginin bir parçasıdır. Bu noktalara çizgi uçları denir. Segment, uçlarının belirtilmesiyle belirtilir.
Şekil 7, b'de, AB doğru parçası a doğrusunun bir parçasıdır. M noktası A ve B noktaları arasında yer alır ve bu nedenle AB doğru parçasına aittir; K noktası A ve B noktaları arasında yer almaz, bu nedenle AB doğru parçasına ait değildir.
Düz bir çizgi üzerindeki noktaların konumunun aksiyomu (ana özellik) şu şekilde formüle edilir:
Düz bir çizgi üzerindeki üç noktadan biri ve sadece biri diğer ikisi arasında yer alır.
Aşağıdaki aksiyom, çizgi parçalarını ölçmenin temel özelliğini ifade eder.
Her segmentin sıfırdan büyük belirli bir uzunluğu vardır. Bir doğru parçasının uzunluğu, bölündüğü parçaların uzunluklarının toplamına eşittir.
Bu, MK parçası üzerinde herhangi bir C noktası alınırsa, MK parçasının uzunluğunun, MC ve SK parçalarının uzunluklarının toplamına eşit olduğu anlamına gelir (Şekil 7, c).
MK doğru parçasının uzunluğuna M ve K noktaları arasındaki uzaklık da denir.
Örnek 1. Düz bir doğru üzerinde O, P ve M olmak üzere üç nokta verilmiştir. P noktası O ile M arasında mı? B noktası PM segmentine ait olabilir mi? Cevabı açıklayın.
Çözüm. Bu koşulun yerine getirildiğini kontrol edersek, P noktası O ve M noktaları arasında yer alır:. Sonuç: P noktası, O ve M noktaları arasında yer alır.
B noktası, P ve M noktaları arasında yer alıyorsa, yani kontrol: ve koşula göre, PM segmentine aittir. Sonuç: B noktası PM segmentine ait değildir.
Örnek 2. Bir düzlemde 6, 7 ve 8 doğru parçasının her biri tam olarak diğer üçünü kesecek şekilde düzenlemek mümkün müdür?
Çözüm. 6 segment bu şekilde düzenlenebilir (Şekil 8, o). 8 segment de bu şekilde düzenlenebilir (Şekil 8, b). 7 segment bu şekilde düzenlenemez.
Son ifadeyi kanıtlayalım. Yedi doğru parçasının böyle bir düzenlemesinin mümkün olduğunu varsayalım. Segmentleri numaralandıralım ve satır ve sütunun kesiştiği hücrede böyle bir tablo oluşturalım, segment j-inci ile kesişiyorsa “+”, kesişmiyorsa “-” koyalım. Bu da ayarlanmışsa, tabloda kaç karakter olduğunu iki şekilde sayalım.
Bir yandan, her satırda 3 tane var, yani sadece karakterler var. Öte yandan, tablo köşegene göre simetrik olarak doldurulur:
C hücresinde ise: j) hücrede de vardır. Bu, toplam karakter sayısının çift olması gerektiği anlamına gelir. Bir çelişki yakaladık.
Burada çelişki yoluyla ispat kullandık.
5. Işın.
Yarı düz veya ışın, verilen noktasının bir tarafında bulunan bu düz çizginin tüm noktalarından oluşan düz bir çizginin parçasıdır. Bu noktaya yarım çizginin başlangıç noktası veya ışının başlangıcı denir. Başlangıç noktası ortak olan aynı doğrunun farklı yarım doğrularına tamamlayıcı denir.
Yarı düz, küçük Latin harfleriyle gösterilir. İki harfli bir yarım çizgi belirleyebilirsiniz: yarım çizgiye ait bir noktaya karşılık gelen bir baş harf ve başka bir harf. Bu durumda, başlangıç noktası ilk sıraya konur. Örneğin, Şekil 9'da a, ek olan AB ve AC kirişleri, Şekil 9, b'de MA, MB kirişleri ve c kirişi gösterilmiştir.
Aşağıdaki aksiyom, ertelenen doğru parçalarının ana özelliğini yansıtır.
Başlangıç noktasından itibaren herhangi bir yarım satırda, belirli uzunluktaki bir segmenti ve yalnızca birini erteleyebilirsiniz.
Örnek. Size A ve B noktaları verilmiş. A ve B noktalarından geçen kaç doğru çizebilirsiniz? Orijini A noktasında, B noktasında olan AB doğrusu üzerinde kaç tane ışın vardır? A B doğrusu üzerinde A ve B'den farklı iki nokta işaretleyin. Bunlar AB doğru parçasına mı ait?
Çözüm. 1) Aksiyoma göre, her zaman A ve B noktalarından geçen bir düz çizgi çizebilirsiniz ve sadece bir tane.
2) Orijini A noktasında olan AB düz çizgisi üzerinde, ek olarak adlandırılan iki ışın vardır. Benzer şekilde B noktası için.
3) Cevap, işaretli noktaların konumuna bağlıdır. Olası durumları ele alalım (Şekil 10). a) durumunda noktaların AB doğru parçasına ait olduğu açıktır; durumlarda b), c) bir nokta
bir segmente aittir ve diğeri değildir; d) ve e) durumlarında M ve N noktaları AB doğru parçasına ait değildir.
6. Çevre. Daire.
Daire, düzlem üzerinde belirli bir noktadan belirli bir uzaklıkta bulunan tüm noktalardan oluşan bir şekildir. Bu noktaya çemberin merkezi denir.
Dairenin noktalarından merkezine olan uzaklığa dairenin yarıçapı denir. Bir dairenin bir noktasını merkeze bağlayan herhangi bir doğru parçasına yarıçap da denir.
Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. Merkezden geçen kirişe çap denir.
Şekil 11, a, O noktasında ortalanmış bir daireyi göstermektedir. OA segmenti bu dairenin yarıçapıdır, BD dairenin kirişidir, CM dairenin çapıdır.
Daire, düzlemin belirli bir noktadan belirli bir mesafeden daha uzak olmayan tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Bu noktaya dairenin merkezi ve bu mesafeye dairenin yarıçapı denir. Dairenin sınırı, merkezi ve yarıçapı aynı olan bir dairedir (Şek. 11, b).
Örnek. Sınırları dışında ortak noktaları olmayan en fazla farklı parça sayısı nedir, düzlem aşağıdakilere ayrılabilir: a) düz bir çizgi ve bir daire; b) iki daire; c) üç daire?
Çözüm. Şekilde, duruma karşılık gelen karşılıklı şekil düzenleme durumlarını gösterelim. Cevabı yazalım: a) dört kısım (Şek. 12, o); b) dört parça (Şekil 12, b); c) sekiz parça (Şekil 12, c).
7. Yarım düzlem.
Bir geometri aksiyomu daha formüle edelim.
Düz çizgi, düzlemi iki yarı düzleme böler.
Şekil 13'te, a düz çizgisi düzlemi iki yarı düzleme böler, böylece düzlemin düz çizgiye ait olmayan her noktası bunlardan birinde yer alır. Bu bölüm şu özelliğe sahiptir: eğer bir parçanın uçları bir yarım düzleme aitse, o zaman parça düz bir çizgi ile kesişmez; segmentin uçları farklı yarım düzlemlere aitse, segment düz bir çizgiyle kesişir. Şekil 13'te noktalar, a Doğrusunun düzlemi böldüğü yarı düzlemlerden birinde yer alır. Bu nedenle, AB doğru parçası a ile kesişmez. C ve D noktaları farklı yarı düzlemlerde bulunur. Bu nedenle, CD segmenti a doğrusu ile kesişir.
8. Açı. Açının derece ölçüsü.
Açı, bir noktadan - açının tepe noktası ve bu noktadan çıkan iki farklı yarım çizgiden - açının kenarlarından oluşan bir şekildir (Şekil 14). Köşenin kenarları ek yarım çizgiler ise, açıya katlanmamış denir.
Bir açı, ya tepe noktası belirtilerek ya da yanları belirtilerek ya da üç nokta belirtilerek gösterilir; köşelerin kenarlarında köşeler ve iki nokta. “Köşe” kelimesi bazen Z sembolü ile değiştirilir.
Şekil 14'teki açı üç şekilde gösterilebilir:
Bir c ışını, bir açının köşesinden çıkıyorsa ve uçları açının kenarlarında olan bir parçayı geçiyorsa, bir açının kenarları arasından geçtiğini söylüyorlar.
Şekil 15'te c ışını AB doğru parçasıyla kesiştiği için açının kenarları arasından geçmektedir.
Düz bir köşede, köşeden ve kenarlarından başka bir ışın, köşenin kenarları arasından geçer.
Açılar derece olarak ölçülür. Genişletilmiş bir açı alır ve onu 180 eşit açıya bölerseniz, bu açıların her birinin derece ölçüsüne derece denir.
Açıların ölçülmesinin temel özellikleri aşağıdaki aksiyomla ifade edilir:
Her açının sıfırdan büyük belirli bir derece ölçüsü vardır. Düzleştirilmiş açı 180 ° 'dir. Açının derece ölçüsü, kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşittir.
Bu, c ışını açının kenarları arasından geçerse, açının, açıların toplamına eşit olduğu anlamına gelir.
Açının derece ölçüsü bir iletki kullanılarak bulunur.
90° olan açıya dik açı denir. 90°'den küçük açılara dar açı denir. 90°'den büyük ve 180°'den küçük açılara geniş açı denir.
Köşelerin birikmesinin ana özelliğini formüle edelim.
Herhangi bir yarım hattan belirli bir yarım düzleme, belirli bir derece ölçüsü 180 ° 'den az olan bir açıyı ve yalnızca bir tanesini erteleyebilirsiniz.
Yarım çizgiyi düşünün a. Bunu A başlangıç noktasının ötesine uzatalım. Ortaya çıkan düz çizgi, düzlemi iki yarı düzleme böler. Şekil 16, bir iletki kullanarak, yarım çizgi a'dan üst yarım düzleme belirli bir derece ölçüsü olan 60 ° ile bir açının nasıl bir kenara bırakılacağını gösterir.
İki köşe, belirli bir yarım hattan bir yarım düzleme ayrılırsa, verilen yarım hattan farklı olan daha küçük açının kenarı, daha büyük açının kenarları arasından geçer.
Verilen yarım hattan ve bir yarım düzlemde çizilen açılar olsun ve açı açıdan küçük olsun. Teorem 1.2, b ışınının (ac) açısının kenarları arasından geçtiğini belirtir (Şekil 17).
Bir açının açıortay, köşesinden çıkan, kenarlarının arasından geçen ve açıyı ikiye bölen bir ışındır. Şekil 18'de OM ışını, AOB açısının açıortayıdır.
Geometride düz açı kavramı vardır. Düzlem açısı, bir düzlemin bir noktadan çıkan iki farklı ışınla sınırlanan kısmıdır. Bu ışınlara açının kenarları denir. Bu kenarlara sahip iki düzlemsel köşe vardır. Bunlara tamamlayıcı denir. Şekil 19'da a ve b kenarları olan düz köşelerden biri gölgelendirilmiştir.
Bir düzlem açı bir yarım düzlemin parçasıysa, derece ölçüsü aynı kenarlara sahip sıradan bir açının derece ölçüsüdür. Düzlem açısı bir yarım düzlem içeriyorsa, derece ölçüsü 360 ° - a'dır; burada a, ek düzlem açısının derece ölçüsüdür.
Örnek. 120 ° 'ye eşit bir açının kenarları arasında bir geçiş yapın. Derece ölçüleri 4: 2 ise açıları bulun.
Çözüm. Işın a açının kenarları arasından geçer, yani açıları ölçmenin temel özelliğine göre (bkz. madde 8)
Derece ölçüleri 4:2 olarak ilişkili olduğundan,
9. Bitişik ve dikey köşeler.
Bir tarafı ortaksa iki köşeye bitişik denir ve bu köşelerin diğer kenarları ek yarım çizgilerdir. Şekil 20'de köşeler bitişiktir.
Bitişik açıların toplamı 180 ° 'dir.
Teorem 1.3 aşağıdaki özellikleri ifade eder:
1) iki açı eşitse, onlara bitişik açılar eşittir;
2) bir dik açıya bitişik bir açı, bir dik açıdır;
3) Dar olana bitişik bir açı geniştir ve geniş olana bitişik bir açı dardır.
Bir köşenin kenarları diğerinin tamamlayıcı yarı düz kenarları ise iki köşe dikey olarak adlandırılır. Şekil 21'de ve köşeler dikeydir.
Dikey açılar eşittir.
Açıkça, kesişen iki düz çizgi, bitişik ve dikey açılar oluşturur. Bitişik açılar birbirini 180 ° 'ye kadar tamamlar. Küçük olanın açı ölçüsüne doğrular arasındaki açı denir.
Örnek. Şekil 21, b'de açı 30'dur. ° AOK ve AOK açıları nelerdir?
Çözüm. COD ve AOK açıları dikeydir, bu nedenle, Teorem 1.4'e göre, eşittirler, yani, Teorem 1.3'e göre, SOD açısına bitişik TUK açısı anlamına gelir.
10. Orta ve yazıtlı köşeler.
Bir dairedeki merkez açı, merkezinde bir köşe bulunan düz bir açıdır. Dairenin düz bir açı içinde bulunan kısmına, o merkez açıya karşılık gelen dairesel yay denir. Bir dairenin yayının derece ölçüsü, karşılık gelen merkez açının derece ölçüsüdür.
Şekil 22'de AOB açısı dairenin merkez açısıdır, O tepe noktası bu dairenin merkezidir ve OA ve OB kenarları daireyi kesmektedir. AB yayı, orta köşenin içindeki bir dairenin parçasıdır.
Şekil 22'deki AB yayının derece ölçüsü, AOB açısının derece ölçüsüne eşittir. AB yayının derece ölçüsü AB olarak adlandırılır.
Köşesi daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyi kesen açıya daire içinde yazılı denir. Şekil 23, yazılı açıları göstermektedir.
Kenarları dairenin verilen iki noktasından geçen bir daire içinde yazılı bir açı, bu noktalara çizilen yarıçaplar arasındaki açının yarısına eşittir veya bu yarımı 180 ° 'ye tamamlar.
Teorem 1.5'i ispatlarken, Şekil 23'te gösterilen üç farklı durumu göz önünde bulundurmak gerekir: yazılı açının kenarlarından biri dairenin merkezinden geçer (Şekil 23, c); dairenin merkezi, yazılı köşenin içinde yer alır (Şek. 23, b); dairenin merkezi çizilen açının dışındadır (Şek. 23, c).
Teorem 1.5, aşağıdaki sonucu ima eder: bir daireye çizilen, kenarları dairenin verilen iki noktasından geçen ve köşeleri bu noktaları birleştiren doğrunun bir tarafında bulunan tüm açılar eşittir; kenarları dairenin çapının uçlarından geçen yazılı açılar düzdür.
Şekil 24'te, ABC yazılı açısının kenarları AC çapının uçlarından geçer, dolayısıyla
Örnek. A, B ve C noktaları O merkezli bir çember üzerindedir. Aşağıdaki durumlarda AOC açısını bulunuz.
Çözüm. Bir daire içine yazılan ABC açısı, AC yayına ve bu dairenin merkez açısına dayanır (Şek. 25). , dolayısıyla Teorem 1.5 ile ve AOC açısı merkez olduğundan, derece ölçüsü AC yayının derece ölçüsüne eşittir, yani.
11. Paralel çizgiler.
Bir düzlemde kesişmeyen iki doğruya paralel denir.
Şekil 26, bir kare ve bir cetvel kullanarak, belirli bir B noktasından, belirli bir a düz çizgisine paralel bir düz çizgi 6'yı nasıl çizdiğini gösterir.
Düz çizgilerin paralelliğini belirtmek için II sembolü kullanılır. Giriş okur: "A satırı, b satırına paraleldir".
Paralellik aksiyomu, paralel çizgilerin ana özelliğini ifade eder.
Verilen bir doğru üzerinde yer almayan bir noktadan, verilene paralel en fazla bir doğru düzlem üzerinde çizilebilir.
Üçüncüye paralel iki düz çizgi birbirine paraleldir.
Şekil 27'de a ve b düz çizgileri c düz çizgisine paraleldir. Teorem 1.6 bunu belirtir.
Doğruya ait olmayan bir noktadan, verilene paralel bir doğru çizebileceğinizi kanıtlayabilirsiniz. Şekil 28'de, b'ye ait olmayan bir A noktasından geçen, b düz çizgisine paralel bir a düz çizgisi çizilmiştir.
Bu ifade ile paralellikler aksiyomunu karşılaştırarak önemli bir sonuca varırlar: belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan bir noktadan geçen bir düzlemde, ona paralel bir düz çizgi ve sadece bir çizgi çizmek mümkündür.
Öklid'in "Başlangıçlar" adlı kitabındaki paralellik aksiyomu beşinci postüla olarak adlandırıldı. Antik geometriciler paralelin benzersizliğini kanıtlamaya çalıştı. Bu başarısız girişimler 2000 yılı aşkın bir süre, 19. yüzyıla kadar devam etti.
Büyük Rus matematikçi NI Lobachevsky ve ondan bağımsız olarak Macar matematikçi J. Boyai, bir noktadan belirli bir noktaya paralel birkaç düz çizgi çizme olasılığını varsayarak, eşit derecede “doğru” olmayan bir başkasını inşa etmenin mümkün olduğunu gösterdi. -Öklid geometrisi. Lobachevsky'nin geometrisi böyle doğdu.
Paralellik kavramını kullanan ve kanıtı paralel aksiyoma dayanan bir teorem örneği, Thales teoremidir. Miletli Thales, 625-547'de yaşayan eski bir Yunan matematikçiydi. M.Ö NS.
Bir açının kenarlarını kesen paralel doğrular, açının bir tarafında eşit parçalar kesiyorsa, diğer tarafında da eşit parçalar keserler (Thales teoremi).
Köşenin kenarlarından birinde paralel düz çizgilerin kesişme noktalarına izin verin (Şekil 29). Köşenin diğer tarafı ile bu çizgilerin karşılık gelen kesişme noktalarına izin verin. Teorem 1.7, eğer öyleyse
Örnek 1. Yedi doğru sekiz noktada kesişebilir mi?
Çözüm. Yapabilirler. Örneğin, Şekil 30, üçü paralel olan bu tür yedi düz çizgiyi göstermektedir.
Örnek 2. AC'nin rastgele bir parçası 6 eşit parçaya bölünmüştür.
Çözüm. AC'nin bir segmentini çizelim. A noktasından AC doğrusu üzerinde yer almayan bir AM ışını çizelim. A noktasından gelen AM ışını üzerinde art arda 6 eşit parça ayırıyoruz (Şekil 31). Parçaların uçları etiketlenecektir. Noktayı C noktası olan bir parça ile birleştirin ve noktalardan düz çizgiye paralel düz çizgiler çizeceğiz. Bu doğruların AC doğru parçası ile kesişme noktaları onu 6 eşit parçaya bölecektir (Teorem 1.7'ye göre).
12. Düz çizgilerin paralellik belirtileri.
AB ve CD iki doğru olsun. AC, AB ve CD çizgileriyle kesişen üçüncü çizgi olsun (Şek. 32, c). Doğrudan AB ve CD'ye göre doğrudan AC'ye sekant denir. Bu dik açıların oluşturduğu dik açılar genellikle çift olarak görülür. Açı çiftleri özel isimler almıştır. Dolayısıyla, B ve D noktaları AC düz çizgisine göre aynı yarım düzlemde bulunuyorsa, BAC ve DCA açılarına iç tek taraflı denir (Şekil 32, c). B ve D noktaları AC düz çizgisine göre farklı yarım düzlemlerde bulunuyorsa, BAC ve DCA açılarına iç çaprazlama denir (Şekil 32, b).
AC sekantı AB ve CD düz çizgileri ile iki çift iç tek taraflı iki çift iç çapraz açı oluşturur. 32, c).
İç çapraz açılar eşitse veya iç tek taraflı açıların toplamı 180 ° ise, düz çizgiler paraleldir.
Şekil 32, c'de dört çift köşe numaralandırılmıştır. Teorem 1.8, c ve b doğrularının paralel olup olmadığını belirtir. Teorem 1.8 ayrıca if veya, o zaman a ve b çizgilerinin paralel olduğunu belirtir.
1.6 ve 1.8 teoremleri doğruların paralelliği için kriterlerdir. Teorem 1.8'in tersi teorem de doğrudur.
İki paralel düz çizgi üçüncü bir düz çizgiyle kesişirse, iç çapraz yatma açıları eşittir ve iç tek taraflı açıların toplamı 180 ° 'dir.
Örnek. Üçüncü düz çizginin iki paralel düz çizgisinin kesişiminde oluşan tek taraflı iç köşelerden biri diğerinden 4 kat daha büyüktür. Bu açılar neye eşittir?
Çözüm. Teorem 1.9'a göre, iki paralel doğru ve bir sekant için iç tek taraflı açıların toplamı 180 ° 'dir. Bu açıları a ve P harfleriyle gösterelim, o zaman a, a'nın 4 katı olduğu bilinir, yani o zaman So,
13. Dikey düz çizgiler.
Dik açılarda kesişirlerse iki düz çizgiye dik denir (şek. 33).
Düz çizgilerin dikliği şu sembol kullanılarak yazılır: "a doğrusu b doğrusuna diktir".
Belirli bir düz çizgiye dik, belirli bir düz çizgiye dik olan ve kesişimlerinin bir bitiş noktasına sahip olan bir düz çizgi parçasıdır. Çizginin bu ucuna dikin tabanı denir.
Şekil 34'te, AB dikmesi A noktasından a doğrusuna çizilir. B noktası dikeyin tabanıdır.
Düz çizginin her noktasından, ona dik ve sadece bir düz çizgi çizebilirsiniz.
Düz çizgi üzerinde olmayan herhangi bir noktadan, bu düz çizgiye bir dik ve sadece bir tane bırakabilirsiniz.
Belirli bir noktadan düz bir çizgiye bırakılan bir dikmenin uzunluğuna bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe denir.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık, bir doğrunun herhangi bir noktasından başka bir doğruya olan uzaklıktır.
BA, a çizgisi üzerindeki bir noktadan düşen bir dik ve C - c çizgisinin A dışında herhangi bir noktası olsun. BC parçasına eğimli denir, B noktasından a çizgisine çizilir (Şek. 35). C noktasına eğikliğin tabanı denir. AC doğru parçasına eğik izdüşüm denir.
Bir doğrunun ortasından kendisine dik olan doğruya dik orta nokta denir.
Şekil 36'da, a düz çizgisi AB parçasına diktir ve C noktasından geçer - AB parçasının ortası, yani a dik orta noktadır.
Örnek. AC ve BD paralel çizgileri arasında yer alan eşit AD ve CB doğru parçaları O noktasında kesişiyor. Bunu kanıtlayın.
Çözüm. A noktasından C noktasına BD doğrusuna dik çizelim (şekil 37). AK = CM paralel düz çizgiler arasındaki mesafe olarak, ZAKD ve DSLYAV dikdörtgendir, bunlar
hipotenüs ve bacakta eşittir (bkz. T. 1.25), bu ikizkenar anlamına gelir (T. 1.19), bu, AKT üçgenlerinin eşitliğinden geldiği anlamına gelir) ve CTAB, yani. A. AOS ikizkenar , yani
14. Çembere teğet. Dairelerin teğetliği.
Çember üzerindeki bir noktadan bu noktaya çizilen yarıçapa dik olan doğruya teğet doğru denir. Bu durumda çemberin bu noktasına teğet noktası denir. Şekil 38'de, OA yarıçapına dik olan dairenin A noktasından geçen a düz çizgisi çizilir. C doğrusu çembere teğettir. A noktası temas noktasıdır. Çemberin A noktasında a düz çizgisine değdiğini de söyleyebiliriz.
Bu noktada ortak bir teğet doğrusu varsa, ortak noktası olan iki çemberin bu noktada temas ettiğini söylüyorlar. Dairelerin merkezleri ortak teğetlerinin bir tarafında yer alıyorsa, dairelerin teğetliğine iç denir. Dairelerin merkezleri ortak noktalarının zıt taraflarındaysa, dairelerin teğetliğine dış denir.
teğet. Şekil 39, c'de, dairelerin teğetliği içseldir ve Şekil 39'da b - dışsaldır.
Örnek 1. Verilen bir noktada verilen bir doğruya teğet verilen yarıçaplı bir daire oluşturun.
Çözüm. Çemberin teğeti, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir. Bu nedenle, istenen dairenin merkezi, verilen noktadan geçen verilen doğruya diktir ve bu noktadan yarıçapa eşit bir mesafede bulunur. Problemin iki çözümü var - verilen bir doğruya göre birbirine simetrik iki daire (Şekil 40).
Örnek 2. 4 ve 8 cm çapında iki daire dıştan temas ediyor. Bu çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık nedir?
Çözüm. OA ve O, A dairelerinin yarıçapları, A noktasından geçen ortak teğete diktir (Şek. 41). Bu nedenle, bkz.
15. Üçgenler.
Üçgen, bir doğru üzerinde olmayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir. Noktalara üçgenin köşeleri, doğru parçalarına kenarlar denir. Üçgen, köşeleri ile gösterilir. "Üçgen" kelimesi yerine D. sembolü kullanılır.
Şekil 42, bir ABC üçgenini göstermektedir; A, B, C - bu üçgenin köşeleri; A B, BC ve AC kenarlarıdır.
ABC üçgeninin A köşesindeki açısı, AB ve AC yarım doğrularının oluşturduğu açıdır. Üçgenin B'den C'ye kadar olan köşelerindeki açıları da belirlenir.
Üçgenin herhangi bir köşesinden geçmeyen bir doğru, kenarlarından birini kesiyorsa, diğer iki kenardan sadece birini keser.
Verilen bir tepe noktasından düşen bir üçgenin yüksekliğine, bu tepe noktasından üçgenin karşı tarafını içeren düz bir çizgiye çizilen dik denir. Şekil 43, c'de, AD segmenti, dar açılı A. ABC'nin yüksekliğidir ve Şekil 43, b, geniş açılı D noktasının yüksekliğinin tabanı, BC tarafının devamı üzerindedir.
Bir üçgenin açıortay, köşeyi karşı taraftaki bir noktaya bağlayan üçgenin açısının açıortayının parçasıdır. Şekil 44'te AD doğru parçası, ABC üçgeninin açıortayıdır.
Belirli bir tepe noktasından çizilen bir üçgenin medyanı, bu tepe noktasını orta nokta ile birleştiren doğru parçasıdır.
üçgenin karşı tarafı. Şekil 45'te AD segmenti üçgenin medyanıdır.
Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.
Bu iki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi, üçüncü kenarın yarısına paralel ve eşittir.
DE, ABC üçgeninin orta çizgisi olsun (Şekil 46).
Teorem bunu belirtir.
Üçgen eşitsizliği, aşağıdaki teorem ile ifade edilen üç nokta arasındaki mesafelerin özelliğidir:
Üç nokta ne olursa olsun, bu noktalardan herhangi ikisi arasındaki mesafe, onlardan üçüncü noktaya olan mesafelerin toplamından fazla değildir.
Verilen üç nokta olsun. Bu noktaların göreceli konumu farklı olabilir: a) üç noktadan ikisi veya üçü de çakışır, bu durumda teoremin ifadesi açıktır; b) noktalar farklıdır ve bir düz çizgi üzerinde uzanır (Şekil 47, a), bunlardan biri, örneğin B, diğer ikisi arasında uzanır, bu durumda, bu durumda, üç mesafenin her birinin, diğer ikisinin toplamı; c) noktalar yalan söylemez
bir düz çizgi üzerinde (Şekil 47, b), ardından Teorem 1.14 olduğunu iddia eder.
c) durumunda A, B, C üç noktası üçgenin köşeleridir. Bu nedenle, herhangi bir üçgende, her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.
Örnek 1. Kenarları olan bir ABC üçgeni var mı: a); B)
Çözüm. ABC üçgeninin kenarları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmalıdır:
a) eşitsizliği (2) geçerli değilse, bu, böyle bir nokta düzenlemesinin olamayacağı anlamına gelir; b) durumunda eşitsizlikler geçerlidir, yani üçgen vardır.
Örnek 2. Bir engel ile ayrılmış A noktaları arasındaki mesafeyi bulun.
Çözüm. Mesafeyi bulmak için, temel CD'yi asarız ve BC ve AD düz çizgileri çizeriz (Şekil 48). M noktasını bulun - CD'nin ortası. MPAD'ı da yürütüyoruz. PN'nin orta çizgi olduğu, yani.
PN'yi ölçerek AB'yi bulmak zor değildir.
16. Üçgenlerin eşitliği.
Aynı uzunluktaki iki doğru parçasının eşit olduğu söylenir. Derece cinsinden açıları aynı olan iki açıya eşit denir.
ABC üçgenleri ve eğer eşit denir
Bu kısaca şu kelimelerle ifade edilir: Üçgenler, karşılık gelen kenarları varsa ve karşılık gelen açıları eşitse eşittir.
Eşit üçgenlerin varlığının ana özelliğini formüle edelim (belirli bir üçgene eşit bir üçgenin varlığının aksiyomu):
Üçgen ne olursa olsun, verilen bir yarım çizgiye göre belirli bir yerde eşit bir üçgen vardır.
Üçgenlerin eşitliği için üç kriter vardır:
Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, diğer üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu tür üçgenler eşittir (iki kenardaki üçgenlerin eşitliğinin işareti ve aralarındaki açı).
Bir üçgenin kenarı ve ona bitişik açılar sırasıyla diğer üçgenin kenarına ve ona bitişik açılara eşitse, bu tür üçgenler eşittir (kenar boyunca üçgenlerin ve ona bitişik açıların eşitliğinin bir işaretidir) ).
Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu tür üçgenler eşittir (üç kenardaki üçgenlerin eşitliğinin işareti).
Örnek. B ve D noktaları, AC düz çizgisine göre farklı yarım düzlemlerde bulunur (Şekil 49). Bunu kanıtladığı bilinmektedir.
Çözüm. duruma göre ve bu açılar eşit açılardan BCD ve DAB eşit açılardan BC A ve DAC çıkarılarak elde edildiğinden. Ayrıca, belirtilen üçgenlerde hoparlör tarafı ortaktır. Bu üçgenlerin kenar ve bitişik açıları eşittir.
17. İkizkenar üçgen.
İki kenarı eşitse üçgene ikizkenar denir. Bu eşit kenarlara kenar denir ve üçüncü kenara üçgenin tabanı denir.
Üçgende ABC, tabanı AC olan ikizkenardır.
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.
Bir üçgendeki iki açı eşitse, o zaman ikizkenardır (Teorem T. 1.18'in tersi).
Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, açıortay ve yüksekliktir.
Ayrıca bir ikizkenar üçgende tabana çizilen yüksekliğin bisektör ve medyan olduğunu da kanıtlayabilirsiniz. Benzer şekilde, bir ikizkenar üçgenin tabanın karşısındaki tepe noktasından çizilen açıortayı, medyan ve yüksekliktir.
Bütün kenarları eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.
Örnek. ADB üçgeninde D açısı 90°'dir. AD tarafının devamında bir doğru parçası vardır (D noktası A ve C noktaları arasındadır) (Şek. 51). ABC üçgeninin ikizkenar olduğunu kanıtlayın.
Bir üçgenin dış köşesi, ona bitişik olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Teorem 1.22'den, bir üçgenin dış açısının, kendisine bitişik olmayan herhangi bir iç açıdan daha büyük olduğu sonucu çıkar.
Örnek. bir üçgende
Bu üçgenin açıortayı AD ondan kesiliyor Bu üçgenin köşelerini bulun.
Çözüm. AD, A açısının açıortayı olduğundan (açıların toplamına göre dış açı olarak alt bölüme bakınız teoremi)
19. Dikdörtgen üçgen. Pisagor teoremi.
Dik açısı olan üçgene dikdörtgen denir. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, dik açılı üçgenin yalnızca bir dik açısı vardır. Dik açılı üçgenin diğer iki köşesi keskindir ve birbirlerini 90°'ye kadar tamamlarlar. Dik üçgenin dik açının karşısındaki kenarına hipotenüs, diğer iki kenarına bacak denir. Şekil 54'te gösterilen bir ABC, dikdörtgen, düz, hipotenüs, CB ve BA - bacaklar.
Dik açılı üçgenler için kendi eşitlik kriterlerinizi oluşturabilirsiniz.
Bir dik üçgenin hipotenüsü ve dar açısı sırasıyla başka bir üçgenin hipotenüsüne ve dar açısına eşitse, bu tür üçgenler eşittir (hipotenüs ve dar açı için bir eşitlik işareti).
Bir dik üçgenin ayağı ve karşı köşesi sırasıyla diğer üçgenin ayağına ve karşı köşesine eşitse, bu tür üçgenler eşittir (bacakta ve karşı köşede bir eşitlik işareti).
Bir dik üçgenin hipotenüsü ve bacağı sırasıyla diğer üçgenin hipotenüsüne ve bacağına eşitse, bu tür üçgenler eşittir (hipotenüs ve bacak için bir eşitlik işareti).
Açısı 30° olan dik açılı bir üçgende atom açısının karşısındaki bacak hipotenüs veriyolunun yarısıdır.
ABC üçgeninde, şekilde gösterilen düz bir çizgidir, Yani, bu üçgende.
Dik açılı bir üçgende, 6. yüzyılda yaşayan eski Yunan bilim adamı Pisagor'un adını taşıyan Pisagor teoremi geçerlidir. M.Ö NS.
Dik açılı bir üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir (Pisagor teoremi).
ABC dik açısı C, bacakları a ve b ve hipotenüsü c olan bir dik açılı üçgen olsun (Şekil 56). Teorem diyor ki
Pisagor teoreminden, dik açılı bir üçgende herhangi bir bacağın hipotenüsten küçük olduğu sonucu çıkar.
Pisagor teoreminden, bir noktadan bir dik ve bir eğik çizgi çizilirse, eğik dikeyden daha büyüktür; eşit eğik eşit çıkıntılara sahiptir; iki eğikden daha büyük olan, daha büyük çıkıntıya sahip olandır.
Şekil 57'de, O noktasından a düz çizgisine dik bir OA ve eğik OB, OS ve OD çizilirken, yukarıdakilere dayanarak: a)
KDMA dikdörtgeninin çevresi 18 cm'dir.
Örnek 3. Yarıçapı 25 cm olan bir çemberde, merkezinin bir tarafına 40 ve 30 cm uzunluğunda iki paralel kiriş çizilmiştir.Bu kirişler arasındaki mesafeyi bulunuz.
Çözüm. AB ve CD kirişlerine dik olan OK yarıçapını çizelim, O çemberinin merkezini C, A, D ve B noktalarıyla birleştirelim (Şek. 60). COD ve AOB üçgenleri ikizkenardır, çünkü (yarıçap olarak); ОМ ve ON bu üçgenlerin yükseklikleridir. Teorem 1.20'ye göre, yüksekliklerin her biri aynı anda karşılık gelen üçgenin medyanıdır, yani,
OCM ve OAN üçgenleri içlerinde dikdörtgen şeklindedir. ON ve ОМ Pisagor teoremi tarafından bulunur.
20. Üçgenin içine çizilmiş ve çevresinde çevrelenmiş daireler.
Tüm köşelerinden geçiyorsa, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir daire denir.
Bir üçgenin çevrelediği dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına dik olan noktaların kesişme noktasıdır.
Şekil 61'de, bir ABC üçgeni etrafında bir daire gösterilmektedir. Bu O çemberinin merkezi, sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarına çizilen ОМ, ON ve OJT orta diklerinin kesişme noktasıdır.
Bir daireye, tüm kenarlarına dokunuyorsa üçgen içinde yazılı denir.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, ortaylarının kesişme noktasıdır.
Şekil 62'de daire ABC üçgeninde yazılmıştır. Bu çemberin O merkezi, üçgenin karşılık gelen açılarının AO, BO ve CO açıortaylarının kesişme noktasıdır.
Örnek. Dik açılı bir üçgende bacaklar 12 ve 16 cm'dir Yarıçapları hesaplayın: 1) yazılı daire; 2) çevre.
Çözüm. 1) Yazılı dairenin merkezi olan bir ABC üçgeni verilsin (Şek. 63, a). ABC üçgeninin çevresi, ikiye katlanmış hipotenüsün toplamına ve üçgende yazılı dairenin çapına eşittir (dairenin teğetinin tanımını ve AOM ve AOK, MOC ve LOC dik açılı üçgenlerinin eşitliğini kullanın. hipotenüs ve bacak).
Böylece, Pisagor teoremi tarafından, yani.
2) Dik açılı bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi, hipotenüsün ortasıyla çakışır, bu nedenle çevrelenmiş dairenin yarıçapı cm'dir (Şekil 63, b).
Yükleniyor...