Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları trigonometrinin ana kategorileridir - matematiğin bir dalı ve bir açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu matematiksel bilime sahip olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasını ve ayrıca gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlar ve formüller hakkında daha ayrıntılı bilgi sahibi olmalısınız.

trigonometrideki kavramlar

Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için önce bir dik açılı üçgenin ve bir dairedeki açının ne olduğunu ve tüm temel trigonometrik hesaplamaların neden bunlarla ilişkili olduğunu belirlemelisiniz. Köşelerinden birinin 90 derece olduğu bir üçgen dikdörtgendir. Tarihsel olarak, bu rakam genellikle insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat, astronomide kullanılmıştır. Buna göre, bu rakamın özelliklerini inceleyen ve analiz eden insanlar, parametrelerinin karşılık gelen oranlarının hesaplanmasına geldi.

Dik açılı üçgenlerle ilgili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs, üçgenin dik açının karşısındaki kenarıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, okulda çalışılmayan, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamlarının kullandığı bir trigonometri bölümüdür. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, her zaman 180 dereceden fazla açı toplamına sahip olmasıdır.

Bir üçgenin açıları

Dik açılı bir üçgende, bir açının sinüsü, istenen açının karşısındaki bacağın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik bacak ve hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğu için bu değerlerin her ikisi de her zaman birden küçüktür.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı bacağının bitişik bacağına veya sinüsün kosinüs oranına eşit bir değerdir. Kotanjant, istenen açıdaki bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır. Bir açının kotanjantı, birini tanjant değerine bölerek de elde edilebilir.

Birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan çemberdir. Böyle bir daire, bir Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilirken, dairenin merkezi başlangıç ​​noktasıyla çakışır ve yarıçap vektörünün ilk konumu, X ekseninin (apsis) pozitif yönü boyunca belirlenir. Dairenin her noktasının iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsislerin ve koordinatların koordinatları. XX düzleminde daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip, dikini ondan apsis eksenine bırakarak, yarıçapın seçilen noktaya (C harfi ile belirtin) oluşturduğu dik açılı bir üçgen elde ederiz. X eksenine (kesişim noktası G harfi ile gösterilir) ve orijin (nokta A harfi ile gösterilir) ile kesişme noktası G arasındaki apsis ekseninin bir parçası. Ortaya çıkan üçgen ACG bir sağ- AG'nin hipotenüs ve AC ve GC'nin bacaklar olduğu bir daire içinde yazılı açılı üçgen. AC çemberinin yarıçapı ile AG adı verilen apsis ekseninin parçası arasındaki açıyı α (alfa) olarak tanımlarız. Yani, çünkü α = AG / AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu düşünüldüğünde, cos α = AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde, günah α = CG.

Ek olarak, bu verileri bilerek, cos α = AG ve sin α = CG olduğundan daire üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, bu da C noktasının belirtilen koordinatlara sahip olduğu anlamına gelir (cos α; sin α). Tanjantın sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek, tg α = y / x ve ctg α = x / y olduğunu belirleyebiliriz. Negatif bir koordinat sisteminde açıları dikkate alarak bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceğini hesaplayabilirsiniz.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyonların değerleri

Birim çember üzerinden trigonometrik fonksiyonların özünü göz önünde bulundurarak, bazı açılar için bu fonksiyonların değerlerini türetebilirsiniz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik kimlikler

Trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değerin bulunduğu denklemlere trigonometrik denir. sin х = α değerine sahip özdeşlikler, k herhangi bir tamsayıdır:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. günah x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. günah x = a, |a | > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arksin α + πk.

cos x = a değerine sahip özdeşlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. çünkü x = 0, x = π / 2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x = -1, x = π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a | > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

tg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arktan α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arkctg α + πk.

döküm formülleri

Bu sabit formül kategorisi, formun trigonometrik işlevlerinden bir argümanın işlevlerine geçmek, yani herhangi bir değerin sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını ilgili göstergelere getirmek için kullanılabilecek yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için aralığın 0 ila 90 derece arasındaki açısı.

Bir açının sinüsü için fonksiyonları dönüştürmek için formüller şöyle görünür:

• günah (900 - α) = α;
• günah (900 + α) = cos α;
• günah (1800 - α) = günah α;
• günah (1800 + α) = -sin α;
• günah (2700 - α) = -cos α;
• günah (2700 + α) = -cos α;
• günah (3600 - α) = -sin α;
• günah (3600 + α) = günah α.

Bir açının kosinüsü için:

• cos (900 - α) = günah α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - a) = -sin a;
• cos (2700 + α) = günah α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala tabidir. İlk olarak, açı bir değer (π / 2 ± a) veya (3π / 2 ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• günahtan günaha;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkincisi, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Aynı şekilde negatif fonksiyonlarda.

Toplama formülleri

Bu formüller iki dönme açısının toplamı ve farkının trigonometrik fonksiyonları cinsinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Açılar genellikle α ve β olarak adlandırılır.

Formüller şöyle görünür:

1. günah (α ± β) = günah α * cos β ± cos α * günah.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ günah α * günah.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller, α ve β açılarının herhangi bir değeri için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

Çift ve üç açılı trigonometrik formüller, sırasıyla 2α ve 3α açılarının fonksiyonlarını α açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx * rahat = sin (x + y) + sin (x-y) olduğunu dikkate alarak, bu formülü basitleştirerek, sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * günah (α - β) / 2; tgα + tgβ = günah (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = günah (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

İşten toplama geçiş

Bu formüller, toplamın ürüne geçişinin kimliklerinden gelir:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Derece azaltma formülleri

Bu özdeşliklerde sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, çoklu açının birinci kuvvetinin sinüs ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:

• günah ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• günah ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• günah ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• çünkü ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

evrensel ikame

Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.

• günah x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), x = π + 2πn;
• çünkü x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), burada x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), burada x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x = π + 2πn.

Özel durumlar

En basit trigonometrik denklemlerin özel durumları aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için özel:

Kosinüs için bölümler:

Teğet için özel:

Kotanjant için özel:

teoremler

sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır - basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Bu durumda a, b, c üçgenin kenarları ve α, β, γ sırasıyla zıt açılardır.

Rasgele bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapını gösterir.

kosinüs teoremi

Özdeşlik şu şekilde görüntülenir: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarlarıdır ve α, a kenarının karşısındaki açıdır.

teğet teoremi

Formül, iki açının tanjantları ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak gösterilir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dir. Teğet teoreminin formülü şudur: (a - b) / (a ​​​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

kotanjant teoremi

Bir üçgende yazılı dairenin yarıçapını, kenarlarının uzunluğuna bağlar. a, b, c üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C karşılıklı açılarsa, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarım çevresi ise, aşağıdaki özdeşlikler şunlardır: geçerli:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

Uygulanan uygulama

Trigonometri sadece matematiksel formüllerle ilgili teorik bir bilim değildir. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte insan faaliyetinin çeşitli dalları tarafından kullanılır - astronomi, hava ve deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm işleri, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, trigonometrinin temel kavramlarıdır, bu sayede bir üçgendeki açılar ve kenarların uzunlukları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade edebilir ve özdeşlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla gerekli miktarları bulabilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyon değerleri tablosu

Not... Bu trigonometrik fonksiyon değerleri tablosu, karekökü belirtmek için √ işaretini kullanır. Bir kesri belirtmek için - "/" sembolü.

Ayrıca bakınız faydalı malzemeler:

İçin trigonometrik fonksiyonun değerini belirleme, trigonometrik fonksiyon çizgisinin kesişim noktasında bulun. Örneğin, sinüs 30 derece - günah (sinüs) başlıklı bir sütun arayın ve tablonun bu sütununun kesişimini "30 derece" çizgisiyle bulun, kesişimlerinde sonucu okuruz - bir saniye. Benzer şekilde, bulduğumuz kosinüs 60 derece, sinüs 60 derece (yine sin (sinüs) sütunu ve 60 derece satırının kesişiminde, sin 60 = √3 / 2) değerini buluruz, vb. Aynı şekilde diğer "popüler" açıların sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri de bulunur.

Pi'nin sinüsü, pi'nin kosinüsü, pi'nin tanjantı ve radyan cinsinden diğer açılar

Aşağıdaki kosinüs, sinüs ve tanjant tablosu da bağımsız değişkeni olan trigonometrik fonksiyonların değerini bulmak için uygundur. radyan cinsinden verilir... Bunu yapmak için açı değerlerinin ikinci sütununu kullanın. Bu sayede popüler açıların değerini dereceden radyana çevirebilirsiniz. Örneğin, ilk satırda 60 derecelik bir açı bulalım ve altındaki değerini radyan cinsinden okuyalım. 60 derece π / 3 radyana eşittir.

Pi sayısı, çevrenin açının derece ölçüsüne bağımlılığını benzersiz bir şekilde ifade eder. Böylece, pi radyan 180 dereceye eşittir.

Pi (radyan) cinsinden ifade edilen herhangi bir sayı, pi (π) yerine 180 ile değiştirilerek kolaylıkla derece ölçüsüne dönüştürülebilir..

Örnekleri:
1. sinüs pi.
günah π = günah 180 = 0
dolayısıyla pi'nin sinüsü 180 derecenin sinüsü ile aynıdır ve sıfırdır.

2. kosinüs pi.
çünkü π = cos 180 = -1
bu nedenle, pi'nin kosinüsü 180 derecenin kosinüsüyle aynıdır ve eksi bire eşittir.

3. teğet pi
tg π = tg 180 = 0
bu nedenle, pi'nin tanjantı, 180 derecenin tanjantı ile aynıdır ve sıfırdır.

0 - 360 derece açılar için sinüs, kosinüs, teğet değerleri tablosu (ortak değerler)

Trigonometrik fonksiyonların değer tablosunda fonksiyon değeri yerine bir tire (tanjant (tg) 90 derece, kotanjant (ctg) 180 derece) belirtilirse, fonksiyonun derece ölçüsünün bu değeri için kesin bir anlamı yoktur. açının. Çizgi yoksa - hücre boşsa, gerekli değeri henüz girmedik. En sık karşılaşılan açı değerlerinin kosinüs, sinüs ve tanjant değerlerine ilişkin mevcut verilerin yeterli olmasına rağmen, kullanıcıların bize ne istekleriyle gelip tabloyu yeni değerlerle tamamladığıyla ilgileniyoruz. çoğu sorunu çöz.

En popüler açılar için trigonometrik fonksiyonların sin, cos, tg değerleri tablosu
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 derece
("Bradis tablolarında olduğu gibi sayısal değerler")

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometrideki kullanımını inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometrinin gelişimi antik Yunan günlerinde başladı. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamları bu bilimin gelişimine önemli katkılarda bulundular.

Bu makale, trigonometrinin temel kavramlarına ve tanımlarına ayrılmıştır. Ana trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanır ve gösterilir.

Başlangıçta, argümanı bir açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları, dik açılı bir üçgenin kenarlarının oranları cinsinden ifade edildi.

trigonometrik fonksiyonların tanımları

Açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının kosinüsü (cos α), bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının tanjantı (t g α), karşı bacağın bitişik olana oranıdır.

Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik bacağın zıt olana oranı.

Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!

İşte bir örnek.

Dik açısı C olan bir ABC üçgeninde, A açısının sinüsü, BC ayağının AB hipotenüsüne oranına eşittir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.

Hatırlamak önemli!

Sinüs ve kosinüs değer aralığı: -1'den 1'e kadar. Başka bir deyişle, sinüs ve kosinüs, -1'den 1'e kadar değerler alır. Tanjant ve kotanjantın değer aralığı tam sayıdır. satırı, yani bu fonksiyonlar herhangi bir değer alabilir.

Yukarıda verilen tanımlar keskin köşeler içindir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece arasındaki bir çerçeve ile sınırlı olmayan bir dönüş açısı kavramı tanıtılır.Derece veya radyan cinsinden dönüş açısı, herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir - ∞ ila + ∞.

Bu bağlamda, keyfi büyüklükteki bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımını verebilirsiniz. Kartezyen koordinat sisteminin orijininde merkezlenen birim çemberi hayal edin.

(1, 0) koordinatlarına sahip A başlangıç ​​noktası, birim çemberin merkezi etrafında α açısı kadar döner ve A 1 noktasına gider. Tanım, A 1 (x, y) noktasının koordinatları aracılığıyla verilir.

Dönme açısının sinüsü (günahı)

α dönme açısının sinüsü, A 1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y

Dönme açısının kosinüsü (cos)

α dönme açısının kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x

Teğet (tg) dönüş açısı

Dönme açısının α tanjantı, A 1 (x, y) noktasının ordinatının apsisine oranıdır. t g α = yx

Dönme açısının kotanjantı (ctg)

Dönme açısının α kotanjantı, A 1 (x, y) noktasının apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y

Sinüs ve kosinüs, herhangi bir dönüş açısı için tanımlanmıştır. Bu mantıklıdır, çünkü bir noktanın dönüşten sonraki apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Tanjant ve kotanjant ile durum farklıdır. Döndükten sonra nokta sıfır apsisi (0, 1) ve (0, - 1) olan noktaya gittiğinde teğet tanımlanmaz. Bu gibi durumlarda, t g α = y x tanjantının ifadesi, sıfıra bölme içerdiğinden, bir anlam ifade etmez. Durum kotanjant ile benzer. Aradaki fark, bir noktanın koordinatı kaybolduğunda kotanjantın tanımlanmamasıdır.

Hatırlamak önemli!

Herhangi bir α açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır.

Tanjant, α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Kotanjant, α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Pratik örnekleri çözerken "dönme açısının sinüsü α" demeyin. "Dönme açısı" sözcükleri, bağlamdan ne hakkında olduğunun açıkça anlaşıldığını ima ederek basitçe çıkarılmıştır.

sayılar

Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımına ne dersiniz?

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjantı, kotanjantı

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjantı ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.

Örneğin, 10 π'nin sinüsü, 10 π rad dönüş açısının sinüsüne eşittir.

Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemek için başka bir yaklaşım daha vardır. Daha ayrıntılı olarak düşünelim.

herhangi bir gerçek sayı T Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin orijininde merkezi olan birim çember üzerinde bir nokta atanır. Bu noktanın koordinatları üzerinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlanır.

Daire üzerindeki başlangıç ​​noktası, (1, 0) koordinatlarına sahip A noktasıdır.

pozitif bir sayı T

negatif sayı T daire boyunca saat yönünün tersine hareket ederse ve t yolunu geçerse, başlangıç ​​noktasının gideceği noktaya karşılık gelir.

Artık sayı ve daire üzerindeki nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımına geçiyoruz.

t'nin sinüsü (günahı)

sayının sinüsü T sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının ordinatıdır. T. günah t = y

t sayısının kosinüsü (cos)

kosinüs sayısı T sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının apsisidir. T. çünkü t = x

t sayısının tanjantı (tg)

sayının tanjantı T- ordinatın sayıya karşılık gelen birim çember noktasının apsisine oranı T. t g t = y x = günah t cos t

Sonraki tanımlar, bu maddenin başında verilen tanımla tutarlıdır ve bu tanımla çelişmez. Sayıya karşılık gelen daire üzerindeki nokta T, bir açıyla döndürmeden sonra başlangıç ​​noktasının gittiği noktayla çakışır T radyan.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α açılarının yanı sıra tanjantın belirli bir değerine karşılık gelir. Yukarıda bahsedildiği gibi kotanjant, α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) hariç tüm α için tanımlanmıştır.

Sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının işlevleri veya açısal argümanın işlevleri olduğunu söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant hakkında konuşabilirsiniz. Her gerçek sayıya T bir sayının sinüsünün veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T... π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar tanjant değerine karşılık gelir. Kotanjant, π k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için benzer şekilde tanımlanır.

Trigonometrinin temel işlevleri

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açı argümanı veya sayısal argüman) uğraştığımız genellikle bağlamdan açıktır.

Tanımların en başındaki verilere ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları, dik açılı bir üçgenin en boy oranları kullanılarak verilen geometrik tanımlarla tamamen tutarlıdır. Hadi gösterelim.

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde ortalanmış birim çemberi alın. A (1, 0) başlangıç ​​noktasını 90 dereceye kadar döndürelim ve elde edilen A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik açılı üçgende, A 1 O H açısı, α dönme açısına eşittir, OH bacağının uzunluğu, A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Köşenin karşısındaki bacağın uzunluğu, A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve hipotenüsün uzunluğu, birim çemberin yarıçapı olduğu için bire eşittir.

Geometriden yapılan tanıma göre, α açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir.

günah α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Bu, dik açılı bir üçgende dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığındayken, dönüş açısının sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, tanımların karşılıkları kosinüs, tanjant ve kotanjant için gösterilebilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

1. Dik açılı bir üçgenin bir ayağı 25 cm'dir Bilinen bacağa komşu açı 36º ise ikinci ayağın uzunluğunu hesaplayın.
   

   Çözüm:

   Tanıma göre, dik açılı bir üçgende dar açının tanjantı, karşı bacağın bitişik bacağa oranına eşittir. Bacak a = 25 cm, α = 36º açısına bitişiktir ve bilinmeyen bacak b zıttır. Sonra:

   $$ tg (\ alpha) = \ frac (b) (a) $$, dolayısıyla $$ b = a \ cdot tg (\ alpha) $$

   Değiştirmeyi yapalım:

   $$ b = 25 \ cdot tg (36 ^ 0) = 25 \ cdot 0.727 = 18.175 cm $$

   Cevap:

   $$ b = 18.175 cm $$

2. İfadenin değerini hesaplayın: $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ sol (\ frac (\ pi) (5) \ sağ) $$
   

   Çözüm:

   Değiştirirken, açılardan birinin derece, diğerinin radyan cinsinden ölçüldüğünü dikkate alın:

   $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ sol (\ frac (\ pi) (5) \ sağ) = 2 + 0,213 - 0,727 ^ 2 \ yaklaşık 1,684 $$

   Cevap:
3. Bilim adamı, Cheops piramidinin yüksekliğini hesaplamak için bulunduğu yerden Güneş'in tepesine değmesini bekledi. Sonra Güneş'in ufkun üzerindeki açısal yüksekliğini ölçtü, 21º olduğu ortaya çıktı ve piramide olan mesafesi 362 m idi, yüksekliği nedir?
   

   Çözüm:

   H piramidinin yüksekliği ve ona L mesafesi, hipotenüsü bir güneş ışını olan dik açılı bir üçgenin bacaklarıdır. O halde piramidin tepesinde Güneş'in görüldüğü açının tanjantı:

   $$ tg \ alpha = \ frac (H) (L) $$, formülü dönüştürerek yüksekliği hesaplıyoruz:

   $$ H = L \ cdot tg (\ alpha) = 362 \ cdot tg (21 ^ 0) = 138,96 $$

   Cevap:

   $$ Y = 138,96 $$

4. Karşı bacak 6 cm ve bitişik bacak 5 cm ise tg α'yı bulun.
   

   Çözüm:

   A-manastırı

   $$ tg \ alpha = \ frak (b) (a) $$

   $$ tg \ alpha = \ frak (6) (5) = 1,2 $$

   Yani açı $$ \ alpha = 50 ^ (\ circ) $$'dır.

   Cevap:

   $$ tg \ alfa = 1,2 $$

5. Karşı bacak 8 cm ve hipotenüs 10 cm ise tg α'yı bulun.
   

   Çözüm:

   Pisagor formülünü kullanarak üçgenin bitişik ayağını buluruz:

   $$ a = \ sqrt ((c ^ 2 - b ^ 2)) $$

   $$ a = \ kare ((10 ^ 2 - 8 ^ 2)) = \ kare (36) = 6 \ cm $$

   A-manastırı

   $$ tg \ \ alfa = \ frak (8) (6) = 1.333 $$

   Yani açı $$ \ alpha = 53 ^ (\ circ) $$'dır.

   Cevap:

   $$ tg \ alfa = 1.333 $$

6. Bitişik bacak diğerinden 2 kat daha büyükse ve hipotenüs 5√5 cm ise tg α'yı bulun.
   

   Çözüm:

   Pisagor formülünü kullanarak üçgenin bacaklarını buluruz:

   $$ c = \ kare ((b ^ 2 + 4b ^ 2)) = \ kare ((5b ^ 2)) = b \ kare (5) $$

   $$ b = \ frak (c) (\ sqrt (5)) = \ frak (5 \ sqrt (5)) (\ sqrt (5)) = 5 \ cm $$

   $$ a = 5 \ cdot 2 = 10 \ cm $$

   A-manastırı

   $$ tg \ \ alfa = \ parça (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frak (5) (10) = 0,5 $$

   Dolayısıyla, $$ \ alpha = 27 ^ (\ circ) $$ açısı.

   Cevap:

   $$ tg \ alfa = 0,5 $$

7. Hipotenüs 12 cm ve açı β = 30 ° ise tan α'yı bulun.
   

   Çözüm:

   İstenen açıya bitişik bacağı bulalım. 30 ° 'lik bir açının karşısında duran bir bacağın hipotenüsün yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Anlamına geliyor,

   $$ a = 6 \ cm $$

   Pisagor teoremine göre, istenen açının karşısındaki bacağı buluruz:

   $$ b = \ sqrt ((c ^ 2 + bir ^ 2)) $$

   $$ b = \ kare ((144-36)) = \ kare (108) = 6 \ kare (3) $$

   A-manastırı

   $$ tg \ \ alfa = \ parça (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alfa = \ frak (6 \ kare (3)) (6) = \ kare (3) = 1.732 $$

   Yani açı $$ \ alpha = 60 ^ (\ circ) $$'dır.

   Cevap:

   $$ tg \ alfa = 1.732 $$

8. Karşılıklı ve bitişik bacaklar eşitse ve hipotenüs 6√2 cm ise tg α'yı bulun.
   

   Çözüm:

   A-manastırı

   $$ tg \ \ alfa = \ parça (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alfa = 1 $$

   Yani açı $$ \ alpha = 45 ^ (\ circ) $$'dır.

   Cevap:

   Ders: Sinüs, kosinüs, tanjant, keyfi bir açının kotanjantı

   Sinüs, keyfi bir açının kosinüsü

   
   

   Trigonometrik fonksiyonların ne olduğunu anlamak için birim yarıçaplı bir daireye dönelim. Bu daire, koordinat düzleminde orijinde ortalanır. Verilen fonksiyonları belirlemek için yarıçap vektörünü kullanacağız. VEYA dairenin merkezinden başlayan ve r dairenin noktasıdır. Bu yarıçap vektörü, eksenle bir alfa açısı oluşturur. AH... Çemberin yarıçapı bire eşit olduğundan, o zaman OP = R = 1.

   

   Eğer noktadan r eksene dik olanı alçaltın AH, sonra hipotenüsü bire eşit olan dik açılı bir üçgen elde ederiz.

   
   

   Yarıçap vektörü saat yönünde hareket ederse, bu yöne denir. olumsuz, saat yönünün tersine hareket ederse - pozitif.

   

   
   

   sinüs açısı VEYA, noktanın koordinatıdır r bir daire üzerinde vektörler.

   Yani belirli bir alfa açısının sinüs değerini elde etmek için koordinatını belirlemek gerekir. Sahip olmak yüzeyde.

   Bu değer nasıl elde edildi? Bir dik üçgende keyfi bir açının sinüsünün, karşı bacağın hipotenüse oranı olduğunu bildiğimiz için, şunu elde ederiz:

   

   Dan beri R = 1, sonra günah (α) = y 0 .

   
   

   Birim çemberde, ordinatın değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz, yani

   

   

   Sinüs, birim çemberin birinci ve ikinci çeyreğinde pozitif, üçüncü ve dördüncü çeyreğinde negatiftir.

   kosinüs açısı yarıçap vektörü tarafından oluşturulan verilen daire VEYA, noktanın apsisi r bir daire üzerinde vektörler.

   Yani, belirli bir alfa açısının kosinüs değerini elde etmek için koordinatını belirlemek gerekir. NS yüzeyde.

   
   

   Dik açılı bir üçgende keyfi bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır, bunu elde ederiz.

   
   

   Dan beri R = 1, sonra çünkü (α) = x 0 .

   Birim çemberde apsisin değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz, yani

   

   

   Birim çemberin birinci ve dördüncü çeyreğinde kosinüs pozitif, ikinci ve üçüncü çeyrekte negatiftir.

   Teğetkeyfi açı sinüsün kosinüsüne oranı kabul edilir.

   Dik açılı bir üçgen düşünürsek, bu karşı bacağın bitişik olana oranıdır. Birim çemberden bahsediyorsak, bu, ordinatın apsise oranıdır.

   

   Bu oranlara bakılarak, apsisin değeri sıfırsa, yani 90 derecelik bir açıyla tanjantın var olamayacağı anlaşılabilir. Tanjant diğer tüm değerleri alabilir.

   

   Teğet birim çemberin birinci ve üçüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve dördüncü çeyreğinde negatiftir.