Doğal logaritmanın ve bir logaritmanın tabanının türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi. ln 2x, ln 3x ve ln nx türevlerini hesaplama örnekleri. Matematiksel tümevarım yöntemiyle logaritmanın n'inci mertebesinin türevi formülünün kanıtı.

İçerik

Ayrıca bakınız: Logaritma - özellikler, formüller, grafik
Doğal logaritma - özellikler, formüller, grafik

Doğal logaritmanın türevleri için formüllerin türetilmesi ve logaritma tabanı a

x'in doğal logaritmasının türevi bir bölü x'e eşittir:
(1) (ln x) ′ =.

a tabanının logaritmasının türevi, x değişkeninin a'nın doğal logaritmasının çarpımına bölünen bire eşittir:
(2) (bir x log) ′ =.

Kanıt

Bire eşit olmayan bir pozitif sayı olsun. Tabanın logaritması olan x değişkenine bağlı bir fonksiyon düşünün:
.
Bu fonksiyon adresinde tanımlanmıştır. x değişkenine göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi iyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçekleri bilmemiz gerekir:
A) Logaritma özellikleri. Aşağıdaki formüllere ihtiyacımız var:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(7) .
Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
V)İkinci dikkate değer sınırın anlamı:
(8) .

Bu gerçekleri sınırımıza kadar uyguluyoruz. İlk olarak, cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunun için (4) ve (5) özelliklerini uyguluyoruz.

.

Özelliği (7) ve ikinci dikkat çekici sınırı (8) kullanalım:
.

Ve son olarak, özelliği (6) uygularız:
.
Logaritma tabanı e aranan doğal logaritma... Aşağıdaki gibi belirlenmiştir:
.
Sonra ;
.

Böylece logaritmanın türevi için formül (2) elde ettik.

Doğal logaritmanın türevi

Bir kez daha, a tabanına göre logaritmanın türevinin formülünü yazıyoruz:
.
Bu formül, doğal logaritma için en basit forma sahiptir. Sonra
(1) .

Bu basitlik nedeniyle, doğal logaritma, matematiksel analizde ve diferansiyel hesapla ilgili matematiğin diğer dallarında çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Diğer bazlarla birlikte logaritmik fonksiyonlar, özellik (6) kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
.

Sabit, türev işaretinden çıkarılırsa, logaritmanın temel türevi formül (1)'den bulunabilir:
.

Logaritmanın türevini kanıtlamanın diğer yolları

Burada üssün türevi formülünü bildiğimizi varsayıyoruz:
(9) .
O zaman, logaritmanın üstel fonksiyonun tersi olduğu göz önüne alındığında, doğal logaritmanın türevinin formülünü türetebiliriz.

Doğal logaritmanın türevi formülünü ispatlayalım, ters fonksiyonun türevi için formülü uygulayarak:
.
Bizim durumumuzda. Doğal logaritmanın tersi olan fonksiyon üssüdür:
.
Türevi formül (9) ile belirlenir. Değişkenler herhangi bir harfle belirtilebilir. Formül (9)'da x değişkenini y ile değiştirin:
.
O zamandan beri
.
Sonra
.
Formül kanıtlanmıştır.

Şimdi doğal logaritmanın türevi formülünü kullanarak ispatlayalım: karmaşık fonksiyon türevleme kuralları... Fonksiyonlar ve birbirinin tersi olduğundan,
.
Bu denklemi x değişkenine göre türevlendiriyoruz:
(10) .
x-türevi bire eşittir:
.
Karmaşık bir işlevi türevlendirme kuralını uygularız:
.
Buraya . (10)'daki yerine koyun:
.
Buradan
.

Örnek

türevlerini bulun 2x'te, 3x içinde ve ln nx.

Orijinal işlevler benzerdir. Bu nedenle, fonksiyonun türevini bulacağız. y = ln nx... Ardından n = 2 ve n = 3'ü takın. Ve böylece, türevleri için formüller elde ederiz. 2x içinde ve 3x içinde .

Yani fonksiyonun türevini arıyoruz.
y = ln nx .
Bu işlevi, iki işlevden oluşan karmaşık bir işlev olarak düşünelim:
1) Değişkene bağlı fonksiyonlar:;
2) Değişken bağımlı fonksiyonlar:.
Daha sonra orijinal işlev, işlevlerden oluşur ve:
.

Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
Değişkene göre fonksiyonun türevini bulalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uygularız.
.
İşte kurduk.

Böylece bulduk:
(11) .
Türevin n'den bağımsız olduğunu görüyoruz. Bu sonuç, ürünün logaritması için formülü kullanarak orijinal işlevi dönüştürürsek oldukça doğaldır:
.
sabittir. Türevi sıfırdır. Ardından, toplamın türevini alma kuralına göre, elimizde:
.

; ; .

x modülünün logaritmasının türevi

Başka bir çok önemli fonksiyonun türevini bulalım - x modülünün doğal logaritması:
(12) .

Bir vaka düşünelim. Daha sonra fonksiyon şu forma sahiptir:
.
Türevi formül (1) ile belirlenir:
.

Şimdi durumu düşünün. Daha sonra fonksiyon şu forma sahiptir:
,
nerede .
Ancak yukarıdaki örnekte bu fonksiyonun türevini de bulduk. n'ye bağlı değildir ve eşittir
.
Sonra
.

Bu iki durumu tek bir formülde birleştiriyoruz:
.

Buna göre, logaritma tabanı a için:
.

Doğal logaritmanın daha yüksek dereceli türevleri

işlevi düşünün
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(13) .

İkinci dereceden türevi bulun:
.
Üçüncü dereceden türevi bulun:
.
Dördüncü mertebeden türevini bulalım:
.

n. dereceden türevin şu şekilde olduğu görülebilir:
(14) .
Bunu matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlayalım.

Kanıt

n = 1 değerini formül (14) ile değiştirelim:
.
n = için 1 , formül (14) geçerlidir.

Formül (14)'ün n = k için geçerli olduğunu varsayalım. Bunun formülün n = k için geçerli olduğunu ima ettiğini ispatlayalım. + 1 .

Gerçekten de, n = k için elimizde:
.
x değişkenine göre türev alıyoruz:

.
Böylece aldık:
.
Bu formül, n = k + için formül (14) ile çakışmaktadır. 1 ... Böylece, formül (14)'ün n = k için geçerli olduğu varsayımından, formül (14)'ün n = k + için geçerli olduğu sonucu çıkar. 1 .

Bu nedenle, n'inci derecenin türevi için formül (14), herhangi bir n için geçerlidir.

a tabanlı logaritmanın daha yüksek mertebeden türevleri

Bir logaritmanın n. mertebesinden türevini bulmak için, onu doğal logaritma cinsinden ifade etmeniz gerekir:
.
(14) formülünü uygulayarak, n'inci türevi buluruz:
.

Ayrıca bakınız:

Karmaşık türevler. Logaritmik türev.
Üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste, kapsanan materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevleri ele alacağız ve ayrıca türevi, özellikle de logaritmik türevi bulmak için yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

Eğitim seviyesi düşük olan okuyucular makaleye başvurmalıdır. Türevini nasıl bulurum? Çözüm örnekleri, bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize izin verecek. Ardından, sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, anla ve çöz herşey verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak arka arkaya üçüncü derstir ve ustalaştıktan sonra, oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede? Ve bu kadarı yeter! ”, Çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek testlerden alınmıştır ve genellikle pratikte bulunur.

Tekrarlama ile başlayalım. Derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrıntılı yorumlarla bir dizi örneğe baktık. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer dallarını incelerken, çok sık türev almanız gerekecek ve örnekleri ayrıntılı olarak yazmak her zaman uygun (ve her zaman gerekli değildir) değildir. Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar", en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi kuralına göre :

Gelecekte matanın diğer konularını incelerken, genellikle böyle ayrıntılı bir kayıt gerekli değildir, öğrencinin otomatik otomatik pilotta benzer türevleri bulabileceği varsayılır. Saat 3'te telefonun çaldığını ve hoş bir sesin "İki X'in tanjantının türevi nedir?" diye sorduğunu hayal edin. Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt takip etmelidir: .

İlk örnek hemen bağımsız bir çözüme yönelik olacaktır.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri sözlü olarak tek adımda bulun, örneğin:. Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlanmamışsa). Herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dersin sonunda cevaplar

karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra 3-4-5 işlev ekleri olan örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için zor görünebilir, ancak onları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey çocukça bir şaka gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ Ekleri ANLAYIN. Şüphelerin olduğu durumlarda, yararlı bir tekniği hatırlıyorum: örneğin "X"in deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri "korkunç ifade" ile değiştirmeye çalışırız.

1) İlk olarak, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekiyor.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü bir küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık fonksiyon farklılaşma formülü en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru ters sırada uygulanır. Karar veriyoruz:

Hatasız görünüyor….

(1) Karekökün türevini alın.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız

(3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

(5) Logaritmanın türevini alıyoruz.

(6) Son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Kulağa çok zor gelebilir, ancak bu henüz en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Bir sonraki örnek, kendin yap çözümü içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk olarak, doğrusallık kurallarını ve çarpım farklılaştırma kuralını uygulayın

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi daha kompakt ve sevimli bir şeye geçme zamanı.
Bir örneğin iki değil, üç işlevin bir ürününü vermesi nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü bir bakalım. Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri genişletebiliriz. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli sürekliürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki işlevin çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralın uygulanması ikinci kez kaldı parantez için:

Yine de saptırılabilir ve parantezlerin dışına bir şey koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gitmenin birkaç yolu var:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün türevini almak için kuralı kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılacaktır. , tüm pay için alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakırsanız hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür? Payın ifadesini ortak bir paydaya indirgeyelim ve üç katlı kesirden kurtul:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türevi bulmada değil, banal okul dönüşümleri durumunda hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle ödevi reddeder ve türevi "akla getirmek" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada karmaşık bir işlevi ayırt etme kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sokar - kesirli bir dereceden ve sonra bir kesirden hoş olmayan bir türev almanız gerekir.

Bu yüzden önce"fantezi" logaritmanın türevi nasıl alınır, iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak önceden basitleştirilmiştir:

! Elinizde bir alıştırma defteri varsa, bu formülleri buraya kopyalayın. Bir defteriniz yoksa, bunları bir kağıda yeniden çizin, çünkü ders örneklerinin geri kalanı bu formüller etrafında dönecektir.

Çözümün kendisi şu şekilde yapılandırılabilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevini bulun:

İşlevin kendisini önceden yapılandırmak, çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, onu "parçalamak" her zaman tavsiye edilir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonunda.

logaritmik türev

Logaritmaların türevi çok tatlı bir müzikse, o zaman soru ortaya çıkar, bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün müdür? Yapabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Yakın zamanda buna benzer örnekler gördük. Ne yapalım? Bölümün türevini alma kuralını ve ardından işin türevini alma kuralını tutarlı bir şekilde uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemediğiniz üç katlı devasa bir kesir elde etmenizdir.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev gibi harika bir şey var. Logaritmalar, her iki tarafa da "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Not : dan beri işlev negatif değerler alabilir, o zaman genel olarak konuşursak, modülleri kullanmanız gerekir: farklılaşma sonucunda ortadan kalkacaktır. Ancak, varsayılanlar dikkate alındığında mevcut tasarım da kabul edilebilir. karmaşık değerler. Ancak tüm ciddiyetle, o zaman her iki durumda da, bir çekince yapılmalıdır..

Şimdi sağ tarafın logaritmasını maksimum düzeyde "yok etmeniz" gerekiyor (gözlerinizin önündeki formüller?). Bu süreci ayrıntılı olarak anlatacağım:

Aslında farklılaşmaya geçiyoruz.
Her iki parçayı da strok altına alıyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basittir, onun hakkında yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okuyorsanız, onunla güvenle başa çıkmalısınız.

Peki sol taraf?

sol tarafta bizde karmaşık fonksiyon... Şu soruyu öngörüyorum: "Neden, logaritmanın altında bir "ygrek" harfi de var?

Gerçek şu ki, bu "tek harfli igrek" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok net değilse, Örtülü Bir İşlevden Türetilmiş makaleye bakın). Bu nedenle, logaritma harici bir fonksiyondur ve "oyun" bir dahili fonksiyondur. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanıyoruz :

Sol tarafta, sanki sihirle bir türevimiz var. Ayrıca, orantı kuralına göre, "oyunu" sol tarafın paydasından sağ tarafın üstüne atıyoruz:

Ve şimdi farklılaşmada ne tür bir "oyun" -fonksiyonu tartıştığımızı hatırlıyoruz? duruma bakıyoruz:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Dersin sonunda bu tür bir örneğin tasarımının bir örneği.

Logaritmik türev yardımı ile 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkün oldu, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımı çok haklı değil.

Üstel fonksiyonun türevi

Bu işlevi henüz düşünmedik. Üstel bir işlev, içinde bulunduğu bir işlevdir. ve derece ve taban "x"e bağlıdır... Herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste size verilecek klasik bir örnek:

Üstel bir fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce ele alınan tekniği kullanmak gerekir - logaritmik türev. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, derece sağ taraftaki logaritmanın altından alınır:

Sonuç olarak, sağ tarafta, standart formüle göre farklılaştırılacak iki fonksiyonun bir çarpımı elde ettik. .

Türevi buluyoruz, bunun için her iki parçayı da vuruşların altına alıyoruz:

Diğer eylemler basittir:

Nihayet:

Herhangi bir dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek 11'deki açıklamaları dikkatlice tekrar okuyun.

Pratik görevlerde, üstel fonksiyon her zaman düşünülen ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabit ve iki faktörün çarpımı var - "x" ve "x'in logaritmasının logaritması" (logaritmanın altında başka bir logaritma gömülü). Sabitin türevini alırken, hatırladığımız gibi, ayaklarınızın altına girmemesi için türevin işaretini hemen çıkarmak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uygularız :

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, fazla ileri gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alacağız. Hangi fonksiyon üstel fonksiyonun tersidir? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanı olan bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir notasyon kullanırız: bunun yerine yazın.

Neye eşittir? Tabii ki, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. fonksiyonunun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz basit fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev kurallarını inceledikten sonra inceleyeceğiz.

farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir terim, yine mi?! ...

farklılaşma türev bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu süreci tek kelimeyle başka nasıl adlandırabilirim? Bir türetme değil... Matematiğin diferansiyeline de bir fonksiyonun aynı artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Buraya.

Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Ayrıca artışları için formüllere ihtiyacımız var:

Toplamda 5 kural vardır.

Sabit, türev işaretinin dışına taşınır.

Eğer bir sabit sayı ise (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de geçerlidir:.

Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.

Örnekler

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev, doğrusal bir fonksiyon olduğu için tüm noktalarda aynıdır, hatırladınız mı?);

Bir işin türevi

Burada her şey aynı: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. noktasında fonksiyonun türevini bulunuz.

Çözümler:

Üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki, bir sayı nerede.

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir sayı tabanına dönüştürmeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: Sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun zor olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir çarpan ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha basit bir biçimde yazılamaz. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilgili türev alma kuralını uygularız:

Bu örnekte, iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmanın keyfi birini bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmeniz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi bunun yerine şunu yazacağız:

Payda sadece bir sabittir (sabit sayı, değişken yok). Türev çok basittir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir arktanjant değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor görünüyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey geçecek), ancak matematik açısından "zor" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı düşünün: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bir tür hareket yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için, ters adımları ters sırayla yapmanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı verildi (çikolata çubuğu), kosinüsünü (sarıcı) buluyorum ve sonra sahip olduğum şeyin karesini alıyorsunuz (bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyona bir örnektir: değerini bulmak için ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucuyla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.

Diğer bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

Örneğimiz için,

Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

İkinci örnek: (aynı). ...

En son yaptığımız eylem çağrılacak "Harici" işlev, ve ilk yapılan işlem - sırasıyla "Dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış işlevleri ayırmak, değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin, bir işlevde

1. Yapılacak ilk işlem nedir? İlk önce sinüsü hesaplayacağız ve ancak o zaman onu bir küp haline getireceğiz. Bu, dahili bir işlev olduğu, ancak harici bir işlev olduğu anlamına gelir.
   Ve orijinal işlev onların bileşimidir:.
2. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
3. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
4. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
5. Dahili:; harici:.
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Peki, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - bir türev arayın. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak, şöyle görünür:

Başka bir örnek:

Öyleyse, nihayet resmi bir kural formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili:;

Harici:;

2) Dahili:;

(Şimdilik azaltmaya çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılamaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili:;

Harici:;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen açıktır: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlevdir ve ondan kökü de çıkarırız, yani üçüncü eylemi gerçekleştiririz (bir çikolata koyarız). sarın ve kurdeleli bir evrak çantasına koyun). Ancak korkmak için bir neden yok: her neyse, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla "açacağız": sondan.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra tüm bunları çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, adımları numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla yapacağız? Bir örnek verelim:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar “harici” olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Bir hareket tarzı tanımlayalım.

1. Radikal bir ifade. ...

2. Kök. ...

3. Sinüs. ...

4. Kare. ...

5. Her şeyi bir araya getirmek:

TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA

Bir fonksiyonun türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinin dışına taşınır:

Tutarın türevi:

İşin türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.