Sinüs ve kosinüs tanımı. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant - matematik sınavında bilmeniz gereken her şey (2020)

Öğretmenler her öğrencinin hesaplama yapabilmesi, trigonometrik formülleri bilmesi gerektiğine inanır, ancak her öğretmen sinüs ve kosinüsün ne olduğunu açıklamaz. Anlamları nedir, nerede kullanılırlar? Neden üçgenlerden bahsediyoruz, ama ders kitabında bir daire çiziliyor? Tüm gerçekleri birbirine bağlamaya çalışalım.

Okul konusu

Trigonometri çalışması genellikle lisenin 7-8. sınıfında başlar. Bu sırada öğrencilere sinüs ve kosinüsün ne olduğu anlatılır, bu fonksiyonları kullanarak geometrik problemleri çözmeleri önerilir. Daha sonra, cebirsel bir şekilde dönüştürülmesi gereken daha karmaşık formüller ve ifadeler ortaya çıkar (çift ve yarım açı formülleri, güç fonksiyonları), trigonometrik bir daire ile çalışma yapılır.

Ancak öğretmenler, kullanılan kavramların anlamını ve formüllerin uygulanabilirliğini her zaman net bir şekilde açıklamaktan uzaktır. Bu nedenle öğrenci bu konudaki noktayı çoğu zaman görmez ve ezberlenen bilgiler çabuk unutulur. Bununla birlikte, bir lise öğrencisine bir kez açıklamaya değer, örneğin, işlev ve salınım hareketi arasındaki bağlantı ve mantıksal bağlantı uzun yıllar hatırlanacak ve konunun yararsızlığı ile ilgili şakalar geçmişte kalacak. .

kullanım

Merak için, fiziğin çeşitli dallarına bir göz atalım. Merminin menzilini belirlemek istiyor musunuz? Yoksa bir nesne ile belirli bir yüzey arasındaki sürtünme kuvvetini mi hesaplıyorsunuz? Sarkacı sallamak, camdan geçen ışınları izlemek, indüksiyonu hesaplamak? Trigonometrik kavramlar hemen hemen her formülde görünür. Peki sinüs ve kosinüs nedir?

Tanımlar

Açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranı, kosinüs ise bitişik bacağın aynı hipotenüse oranıdır. Burada kesinlikle karmaşık bir şey yok. Belki de öğrenciler genellikle trigonometrik tabloda gördükleri değerlerle karıştırılıyor, çünkü orada karekökler görünüyor. Evet onlardan ondalık kesirler almak pek uygun değil ama matematikte bütün sayıların eşit olması gerektiğini kim söylemiş?

Aslında, trigonometri problem kitaplarında komik bir ipucu bulabilirsiniz: Buradaki cevapların çoğu eşittir ve en kötü durumda iki veya üçün kökünü içerir. Sonuç basittir: Cevabınızda "çok katlı" bir kesir alırsanız, çözümü hesaplamalarda veya akıl yürütmede hatalar için iki kez kontrol edin. Ve büyük olasılıkla onları bulacaksınız.

Hatırlanacak şeyler

Herhangi bir bilimde olduğu gibi, trigonometri de öğrenilmesi gereken verilere sahiptir.

İlk olarak, sinüsler için sayısal değerleri, 0 ve 90 dik üçgeninin kosinüslerini ve ayrıca 30, 45 ve 60 derecelerini hatırlamalısınız. Bu göstergeler on okul probleminden dokuzunda bulunur. Ders kitabında bu değerleri gözetlemek çok zaman kaybedecek ve teste ya da sınava hiç bakacak yer kalmayacak.

Unutulmamalıdır ki, her iki fonksiyonun değeri bir taneyi geçemez. Hesaplamanın herhangi bir yerinde 0-1 aralığının dışında bir değer alırsanız, durun ve sorunu yeniden çözün.

Sinüs ve kosinüsün karelerinin toplamı bire eşittir. Değerlerden birini zaten bulduysanız, geri kalanını bulmak için bu formülü kullanın.

teoremler

Temel trigonometride iki ana teorem vardır: sinüsler ve kosinüsler.

Birincisi, bir üçgenin her bir kenarının karşı açının sinüsüne oranının aynı olduğunu söylüyor. İkincisi, herhangi bir kenarın karesi, kalan iki kenarın kareleri toplanarak ve bunların çift çarpımı, aralarındaki açının kosinüsü ile çarpılarak elde edilebilir.

Böylece, 90 derecelik bir açının değerini kosinüs teoremine koyarsak, Pisagor teoremini elde ederiz. Şimdi, dik açılı bir üçgen olmayan bir şeklin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, artık endişelenmenize gerek yok - ele alınan iki teorem, sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirecektir.

Hedefler ve hedefler

Basit bir gerçeği fark ettiğinizde trigonometri öğrenmek çok daha kolay hale gelir: Yaptığınız tüm eylemler tek bir hedefe ulaşmaya yöneliktir. Bir üçgenin herhangi bir parametresi, onun hakkında en az bilgiyi biliyorsanız bulunabilir - bir açının değeri ve iki kenarın uzunluğu veya örneğin üç kenar olabilir.

Herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını belirlemek için bu veriler yeterlidir, onların yardımıyla şeklin alanını kolayca hesaplayabilirsiniz. Hemen hemen her zaman, cevap olarak belirtilen değerlerden biri gereklidir ve bunları aynı formülleri kullanarak bulabilirsiniz.

Trigonometri öğrenmedeki tutarsızlıklar

Öğrencilerin kaçınmayı tercih ettiği anlaşılmaz sorulardan biri, trigonometrideki çeşitli kavramlar arasında bağlantı bulmaktır. Üçgenlerin açıların sinüslerini ve kosinüslerini incelemek için kullanıldığı anlaşılıyor, ancak bazı nedenlerden dolayı atamalar genellikle bir daire ile şekilde bulunur. Ek olarak, ne bir daireye ne de üçgenlere dışsal bir benzerliği olmayan, sinüzoid adı verilen tamamen anlaşılmaz dalga benzeri bir grafik vardır.

Ayrıca, açılar önce derece, sonra radyan cinsinden ölçülür ve basitçe 3.14 (ölçü birimi olmadan) olarak yazılan Pi sayısı, bir nedenden dolayı formüllerde 180 dereceye karşılık gelen görünür. Bütün bunlar birbiriyle nasıl ilişkilidir?

Birimler

Pi neden tam olarak 3.14? Bu anlamın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu, yarım daire üzerinde bir yaya uyan yarıçapların sayısıdır. Dairenin çapı 2 santimetre ise çevresi 3.14 * 2 veya 6.28'dir.

İkinci nokta: "radyan" ve "yarıçap" kelimeleri arasındaki benzerliği fark etmiş olabilirsiniz. Gerçek şu ki, bir radyan, çemberin merkezinden bir yarıçap uzunluğundaki bir yaya çizilen açının değerine sayısal olarak eşittir.

Şimdi edinilen bilgileri birleştirelim ve neden trigonometride koordinat ekseninin tepesinde "Pi'nin yarısı" ve solda - "Pi" yazıldığını anlayalım. Yarım daire 180 derece veya 3.14 radyan olduğundan, bu radyan cinsinden ölçülen açısal bir değerdir. Ve derecelerin olduğu yerde sinüsler ve kosinüsler vardır. Parçaları merkeze ve koordinat eksenine erteleyerek, istenen noktadan üçgeni çizmek kolaydır.

Geleceğe bakalım

Okulda öğrenilen trigonometri, kulağa garip gelse de düz bir çizginin düz bir çizgi olduğu doğrusal bir koordinat sistemi ile ilgilenir.

Ancak uzayla çalışmanın daha karmaşık yolları da var: burada bir üçgenin açılarının toplamı 180 dereceden fazla olacak ve görüşümüze göre düz bir çizgi gerçek bir yay gibi görünecektir.

Sözlerden eylemlere geçelim! Bir elma al. Yukarıdan bakıldığında üçgen oluşturacak şekilde bıçakla üç kesim yapın. Ortaya çıkan elma dilimini çıkarın ve kabuğun bittiği "kaburgalara" bakın. Hiç düz değiller. Elinizdeki meyve şartlı olarak yuvarlak olarak adlandırılabilir ve şimdi, kesilen parçanın alanını bulabileceğiniz formüllerin ne kadar karmaşık olması gerektiğini hayal edin. Ancak bazı uzmanlar bu tür sorunları günlük olarak çözmektedir.

Hayatta trigonometrik fonksiyonlar

Gezegenimizin yüzeyinde A noktasından B noktasına giden en kısa uçak rotasının belirgin bir yay şekline sahip olduğunu fark ettiniz mi? Nedeni basit: Dünya bir top şeklindedir, bu da üçgenlerin yardımıyla fazla hesap yapamayacağınız anlamına gelir - burada daha karmaşık formüller kullanmanız gerekir.

Dar açının sinüsü / kosinüsü, uzayla ilgili hiçbir konuda göz ardı edilemez. Burada çok çeşitli faktörlerin bir araya gelmesi ilginçtir: gezegenlerin daireler, elipsler ve daha karmaşık şekillerdeki çeşitli yörüngeler üzerindeki hareketini hesaplarken trigonometrik fonksiyonlar gereklidir; roketlerin, uyduların, mekiklerin fırlatılması, araştırma araçlarının yerinden çıkarılması süreci; uzak yıldızların gözlemi ve insanların yakın gelecekte ulaşamayacakları galaksilerin incelenmesi.

Genel olarak, trigonometriye sahip bir kişinin faaliyet alanı çok geniştir ve görünüşe göre sadece zamanla genişleyecektir.

Çözüm

Bugün sinüs ve kosinüsün ne olduğunu öğrendik veya en azından tekrarladık. Bunlar korkmanıza gerek olmayan kavramlardır - sadece istersiniz ve anlamlarını anlarsınız. Trigonometrinin bir hedef olmadığını, yalnızca gerçek insan ihtiyaçlarını karşılamak için kullanılabilecek bir araç olduğunu unutmayın: evler inşa edin, trafik güvenliğini sağlayın, hatta evrenin enginliğini keşfedin.

Aslında, bilimin kendisi sıkıcı görünebilir, ancak kendi hedeflerinize ulaşmanın, kendinizi gerçekleştirmenin bir yolunu bulur bulmaz, öğrenme süreci ilginç hale gelecek ve kişisel motivasyonunuz artacaktır.

Bir ev ödevi olarak, kişisel olarak ilginizi çeken bir faaliyet alanına trigonometrik fonksiyonları uygulamanın yollarını bulmaya çalışın. Hayal edin, hayal gücünüzü çalıştırın ve o zaman muhtemelen yeni bilginin gelecekte sizin için faydalı olacağı ortaya çıkacaktır. Ayrıca matematik, düşünmenin genel gelişimi için faydalıdır.

|BD |- bir noktada ortalanmış bir dairenin yayının uzunluğu A.
α radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

sinüs ( günah α), hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan, karşı ayağın uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur |BC | hipotenüsün uzunluğuna | AC |.
kosinüs ( çünkü α) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, komşu ayağın uzunluğunun oranına eşittir |AB | hipotenüsün uzunluğuna | AC |.

Kabul edilen atamalar

;
;
.

;
;
.

Sinüs fonksiyon grafiği, y = günah x

Kosinüs fonksiyon grafiği, y = cos x

Sinüs ve kosinüs özellikleri

periyodiklik

fonksiyonlar y = günah x ve y = çünkü x dönemli periyodik 2 π.

parite

Sinüs fonksiyonu tektir. Kosinüs fonksiyonu çifttir.

Tanım ve değerler aralığı, ekstrema, artış, azalma

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları tanım alanlarında, yani tüm x için süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır (n bir tamsayıdır).

	y = günah x	y = çünkü x
Tanım ve süreklilik alanı	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Değer aralığı	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
artan
Azalan
maksimum, y = 1
Minimum, y = - 1
Sıfırlar, y = 0
y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0	y = 0	y = 1

Temel formüller

sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı

Toplam ve fark için sinüs ve kosinüs formülleri

;
;

Sinüs ve kosinüslerin çarpımı için formüller

Toplam ve Fark Formülleri

sinüsün kosinüs cinsinden ifadesi

;
;
;
.

Sinüs cinsinden kosinüs ifadesi

;
;
;
.

teğet ifade

; .

Şunlara sahibiz:
; .

NS :
; .

Sinüs ve kosinüs, tanjant ve kotanjant tablosu

Bu tablo, argümanın bazı değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini gösterir.

Karmaşık değişkenler kullanan ifadeler

;

Euler formülü

Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler

;
;

türevler

; ... Formüllerin türetilmesi >>>

n. mertebeden türevler:
{ -∞ < x < +∞ }

sekant, kosekant

ters fonksiyonlar

Sinüs ve kosinüsün ters fonksiyonları sırasıyla ters sinüs ve ters kosinüs'tür.

arksin, arksin

arkkozin, arkos

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Teknik Kurumların Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, "Lan", 2009.

Ayrıca bakınız: Bazı problemleri çözmek için, fonksiyonların dönüşümlerini gerçekleştirmeyi çok daha kolay hale getirecek bir trigonometrik kimlikler tablosu faydalı olacaktır:

En basit trigonometrik kimlikler

Alfa açısının sinüsünün aynı açının kosinüsüne bölünmesinin bölümü bu açının tanjantına eşittir (Formül 1). En basit trigonometrik özdeşliklerin dönüşümünün doğruluğunun kanıtına da bakınız.
Alfa açısının kosinüsünü aynı açının sinüsüne bölme bölümü, aynı açının kotanjantına eşittir (Formül 2)
Bir açının sekantı, aynı açının kosinüsüne bölünen bire eşittir (Formül 3)
Aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı bire eşittir (Formül 4). ayrıca kosinüs ve sinüsün karelerinin toplamının ispatına da bakınız.
Bir açının birimi ile tanjantının toplamı, birimin bu açının kosinüsünün karesine oranına eşittir (Formül 5)
Birim artı açının kotanjantı, birini bu açının sinüs karesine bölme bölümüne eşittir (Formül 6)
Aynı açının tanjantının ve kotanjantının çarpımı bire eşittir (Formül 7).

Trigonometrik fonksiyonların negatif açılarını dönüştürün (çift ve tek)

Sinüs, kosinüs veya tanjant hesaplanırken açının derece ölçüsünün negatif değerinden kurtulmak için, trigonometrik fonksiyonların düzgünlük veya teklik ilkelerine dayanan aşağıdaki trigonometrik dönüşümleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz.

Görüldüğü gibi, kosinüs ve sekant eşit işlev, sinüs, tanjant ve kotanjant - tek fonksiyonlar.

Negatif açının sinüsü, aynı pozitif açının negatif sinüsüne (eksi sinüs alfa) eşittir.
Kosinüs "eksi alfa", alfa açısının kosinüsüyle aynı değeri verecektir.
Teğet eksi alfa, eksi tanjant alfaya eşittir.

Çift açı indirgeme formülleri (çift açının sinüs, kosinüs, tanjantı ve kotanjantı)

Bir açıyı ikiye bölmeniz veya tam tersi durumda, çift açıdan tek açıya geçmeniz gerekiyorsa, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:

Çift açı dönüştürme (çift ​​açının sinüsü, çift açının kosinüsü ve çift açının tanjantı) single aşağıdaki kurallara göre oluşur:

Çift açılı sinüs tek bir açının sinüs ve kosinüsünün çarpımının iki katına eşit

Çift açılı kosinüs tek bir açının kosinüsünün karesi ile bu açının sinüsünün karesi arasındaki farka eşittir

Çift açılı kosinüs tek bir açının kosinüsünün karesinin iki katı eksi bire eşit

Çift açılı kosinüs tek bir açının bir eksi çift sinüs karesine eşit

Çift açılı teğet payı tek bir açının çift tanjantı olan bir kesre eşittir ve payda bir eksi tek bir açının karesinin tanjantına eşittir.

Çift açılı kotanjant payı tek bir açının kotanjantının karesi eksi bir olan bir kesre eşittir ve payda tek bir açının kotanjantının iki katına eşittir

Evrensel trigonometrik ikame formülleri

Aşağıdaki dönüştürme formülleri, bir trigonometrik fonksiyonun (sin α, cos α, tan α) argümanını ikiye bölmeniz ve ifadeyi açının yarısına indirmeniz gerektiğinde faydalı olabilir. α değerinden α / 2 elde ederiz.

Bu formüller denir evrensel trigonometrik ikame formülleri... Değerleri, yardımlarıyla trigonometrik ifadenin, başlangıçta ifadede hangi trigonometrik fonksiyonların (sin cos tg ctg) olduğuna bakılmaksızın, yarım açının tanjantının ifadesine indirgenmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bundan sonra, açının yarısının tanjantı olan denklemi çözmek çok daha kolaydır.

Yarım açının trigonometrik dönüşümleri

Aşağıdakiler, yarım açının bir tamsayı değerine trigonometrik dönüşümü için formüllerdir.
Trigonometrik fonksiyon α / 2'nin argümanının değeri, trigonometrik fonksiyon α'nın argümanının değerine indirgenir.

Açı eklemek için trigonometrik formüller

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

günah (α + β) = günah α cos β + günah β cos α

günah (α - β) = günah α cos β - günah β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Açıların toplamının tanjantı ve kotanjantı alfa ve beta, aşağıdaki trigonometrik fonksiyon dönüştürme kurallarıyla dönüştürülebilir:

Açıların toplamının tanjantı payı, birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının toplamı olan bir kesre eşittir ve payda, bir eksi birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının çarpımıdır. .

Açı farkı tanjantı payı, indirgenmiş açının tanjantı ile çıkarılan açının tanjantı arasındaki farka eşit olan kesre eşittir ve payda, bir artı bu açıların tanjantlarının ürününe eşittir.

açıların toplamının kotanjantı payı, bu açıların kotanjantlarının çarpımı artı bir olan bir kesre eşittir ve payda, ikinci açının kotanjantı ile birinci açının kotanjantı arasındaki farka eşittir.

Açı farkı kotanjantı payı bu açıların kotanjantlarının çarpımı eksi bir olan bir kesre eşittir ve payda bu açıların kotanjantlarının toplamına eşittir.

Bu trigonometrik kimlikler, örneğin 105 derecenin tanjantını (tg 105) hesaplamanız gerektiğinde kullanmak için uygundur. Bunu tg (45 + 60) olarak temsil ederseniz, açıların toplamının tanjantının verilen özdeş dönüşümlerini kullanabilir ve ardından tanjant 45 ve tanjant 60 derecenin tablo değerlerini değiştirebilirsiniz.

Trigonometrik Fonksiyonlar için Toplam veya Fark Dönüştürme Formülleri

sin α + sin β biçiminin toplamını temsil eden ifadeler, aşağıdaki formüller kullanılarak dönüştürülebilir:

Üçlü açı formülleri - sin3α cos3α tg3α'yı sinα cosα tgα'ya dönüştürün

Bazen açının üçlü değerini dönüştürmek gerekir, böylece α açısı 3α yerine trigonometrik fonksiyonun argümanı olur.
Bu durumda, üçlü açı dönüşüm formüllerini (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz:

Trigonometrik Fonksiyonların Çarpımı İçin Dönüşüm Formülleri

Farklı açılardaki kosinüslerin sinüslerinin çarpımını, hatta sinüs ve kosinüsün çarpımını dönüştürmek gerekirse, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:


Bu durumda, farklı açıların sinüs, kosinüs veya tanjant fonksiyonlarının çarpımı, toplama veya farka dönüştürülür.

Trigonometrik fonksiyon azaltma formülleri

Cast tablosunu aşağıdaki gibi kullanmanız gerekir. Satırda, bizi ilgilendiren işlevi seçin. Sütun köşeyi içerir. Örneğin, ilk satır ile ilk sütunun kesiştiği noktada açının sinüsü (α + 90), sin (α + 90) = cos α olduğunu öğreniriz.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometrideki kullanımını inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometrinin gelişimi antik Yunan günlerinde başladı. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamları bu bilimin gelişimine önemli katkılarda bulundular.

Bu makale, trigonometrinin temel kavramlarına ve tanımlarına ayrılmıştır. Ana trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanır ve gösterilir.

Başlangıçta, argümanı bir açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları, dik açılı bir üçgenin kenarlarının oranları cinsinden ifade edildi.

trigonometrik fonksiyonların tanımları

Açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının kosinüsü (cos α), bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının tanjantı (t g α), karşı bacağın bitişik olana oranıdır.

Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik bacağın zıt olana oranı.

Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!

İşte bir örnek.

Dik açısı C olan bir ABC üçgeninde, A açısının sinüsü, BC ayağının AB hipotenüsüne oranına eşittir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.

Hatırlamak önemli!

Sinüs ve kosinüs değer aralığı: -1'den 1'e kadar. Başka bir deyişle, sinüs ve kosinüs, -1'den 1'e kadar değerler alır. Tanjant ve kotanjantın değer aralığı tam sayıdır. satırı, yani bu fonksiyonlar herhangi bir değer alabilir.

Yukarıda verilen tanımlar keskin köşeler içindir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece arasındaki bir çerçeve ile sınırlı olmayan bir dönüş açısı kavramı tanıtılır.Derece veya radyan cinsinden dönüş açısı, herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir - ∞ ila + ∞.

Bu bağlamda, keyfi büyüklükteki bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımını verebilirsiniz. Kartezyen koordinat sisteminin orijininde merkezlenen birim çemberi hayal edin.

(1, 0) koordinatlarına sahip A başlangıç ​​noktası, birim çemberin merkezi etrafında α açısı kadar döner ve A 1 noktasına gider. Tanım, A 1 (x, y) noktasının koordinatları aracılığıyla verilir.

Dönme açısının sinüsü (günahı)

α dönme açısının sinüsü, A 1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y

Dönme açısının kosinüsü (cos)

α dönme açısının kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x

Teğet (tg) dönüş açısı

α dönme açısının tanjantı, A1 (x, y) noktasının ordinatının apsisine oranıdır. t g α = yx

Dönme açısının kotanjantı (ctg)

Dönme açısının α kotanjantı, A 1 (x, y) noktasının apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y

Sinüs ve kosinüs, herhangi bir dönüş açısı için tanımlanmıştır. Bu mantıklıdır, çünkü bir noktanın dönüşten sonraki apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Durum tanjant ve kotanjant ile farklıdır. Döndükten sonra nokta sıfır apsisi (0, 1) ve (0, - 1) olan noktaya gittiğinde teğet tanımlanmaz. Bu gibi durumlarda, t g α = y x tanjantının ifadesi, sıfıra bölme içerdiğinden, bir anlam ifade etmez. Durum kotanjant ile benzer. Aradaki fark, bir noktanın koordinatı kaybolduğunda kotanjantın tanımlanmamasıdır.

Hatırlamak önemli!

Herhangi bir α açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır.

Tanjant, α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Kotanjant, α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Pratik örnekleri çözerken "dönme açısının sinüsü α" demeyin. "Dönme açısı" sözcükleri, bağlamdan ne hakkında olduğunun açıkça anlaşıldığını ima ederek basitçe çıkarılmıştır.

sayılar

Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımına ne dersiniz?

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjantı, kotanjantı

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjantı ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.

Örneğin, 10 π'nin sinüsü, 10 π rad dönüş açısının sinüsüne eşittir.

Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemek için başka bir yaklaşım daha vardır. Daha ayrıntılı olarak düşünelim.

herhangi bir gerçek sayı T Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin orijininde merkezi olan birim çember üzerinde bir nokta atanır. Bu noktanın koordinatları üzerinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlanır.

Daire üzerindeki başlangıç ​​noktası, (1, 0) koordinatlarına sahip A noktasıdır.

pozitif bir sayı T

negatif sayı T daire boyunca saat yönünün tersine hareket ederse ve t yolunu geçerse, başlangıç ​​noktasının gideceği noktaya karşılık gelir.

Artık sayı ile daire üzerindeki nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımına geçiyoruz.

t'nin sinüsü (günahı)

sayının sinüsü T sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının ordinatıdır. T. günah t = y

t sayısının kosinüsü (cos)

kosinüs sayısı T sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının apsisidir. T. çünkü t = x

t sayısının tanjantı (tg)

sayının tanjantı T- ordinatın sayıya karşılık gelen birim çember noktasının apsisine oranı T. t g t = y x = günah t cos t

Sonraki tanımlar, bu maddenin başında verilen tanımla tutarlıdır ve bu tanımla çelişmez. Sayıya karşılık gelen daire üzerindeki nokta T, bir açıyla döndürmeden sonra başlangıç ​​noktasının gittiği noktayla çakışır T radyan.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α açılarının yanı sıra tanjantın belirli bir değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda bahsedildiği gibi, α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) hariç tüm α için tanımlanmıştır.

Sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant hakkında konuşabilirsiniz. Her gerçek sayıya T bir sayının sinüsünün veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T... π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar tanjant değerine karşılık gelir. Kotanjant, π k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için benzer şekilde tanımlanır.

Trigonometrinin temel işlevleri

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açı argümanı veya sayısal argüman) uğraştığımız genellikle bağlamdan açıktır.

Tanımların en başındaki verilere ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları, dik açılı bir üçgenin en boy oranları kullanılarak verilen geometrik tanımlarla tamamen tutarlıdır. Hadi gösterelim.

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde ortalanmış birim çemberi alın. A (1, 0) başlangıç ​​noktasını 90 dereceye kadar döndürelim ve elde edilen A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik açılı üçgende, A 1 O H açısı, α dönme açısına eşittir, OH bacağının uzunluğu, A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Köşenin karşısındaki bacağın uzunluğu, A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve hipotenüsün uzunluğu, birim çemberin yarıçapı olduğu için bire eşittir.

Geometriden yapılan tanıma göre, α açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir.

günah α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Bu, dik açılı bir üçgendeki dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığındayken, α dönüş açısının sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, tanımların karşılıkları kosinüs, tanjant ve kotanjant için gösterilebilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları trigonometrinin ana kategorileridir - matematiğin bir dalı ve bir açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu matematiksel bilime sahip olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasını ve ayrıca gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlar ve formüller hakkında daha ayrıntılı bilgi sahibi olmalısınız.

trigonometrideki kavramlar

Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için önce bir dik açılı üçgenin ve bir çemberdeki açının ne olduğunu ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğunu belirlemelisiniz. Köşelerinden birinin 90 derece olduğu bir üçgen dikdörtgendir. Tarihsel olarak, bu rakam genellikle insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat, astronomide kullanılmıştır. Buna göre, bu rakamın özelliklerini inceleyen ve analiz eden insanlar, parametrelerinin karşılık gelen oranlarının hesaplanmasına geldi.

Dik açılı üçgenlerle ilgili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs, üçgenin dik açının karşısındaki kenarıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, okulda öğrenilmeyen, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamlarının kullandığı bir trigonometri bölümüdür. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, her zaman 180 dereceden fazla açı toplamına sahip olmasıdır.

Bir üçgenin açıları

Dik açılı bir üçgende, bir açının sinüsü, istenen açının karşısındaki bacağın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik bacak ve hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğu için bu değerlerin her ikisi de her zaman birden küçüktür.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı bacağının bitişik bacağına veya sinüsün kosinüs oranına eşit bir değerdir. Kotanjant, istenen açıdaki bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır. Bir açının kotanjantı, birini tanjant değerine bölerek de elde edilebilir.

Birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan çemberdir. Böyle bir daire, bir Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilirken, dairenin merkezi başlangıç ​​noktasıyla çakışır ve yarıçap vektörünün ilk konumu, X ekseninin (apsis) pozitif yönü boyunca belirlenir. Dairenin her noktasının iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsislerin ve koordinatların koordinatları. XX düzleminde daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip, ondan apsis eksenine dikmeyi bırakarak, seçilen noktaya (C harfi ile gösterilen) yarıçap tarafından oluşturulan dik açılı bir üçgen elde ederiz. X ekseni (kesişim noktası G harfi ile gösterilir) ve orijin (nokta A harfi ile gösterilir) ile kesişme noktası G arasındaki apsis ekseninin bir parçası. Ortaya çıkan ACG üçgeni dik açılıdır. AG'nin hipotenüs ve AC ve GC'nin bacaklar olduğu bir daire içinde yazılı üçgen. AC çemberinin yarıçapı ile AG adı verilen apsis ekseninin parçası arasındaki açıyı α (alfa) olarak tanımlarız. Yani, çünkü α = AG / AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu düşünüldüğünde, cos α = AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde, günah α = CG.

Ayrıca bu verileri bilerek, cos α = AG ve sin α = CG olduğundan daire üzerindeki C noktasının koordinatını belirlemek mümkündür, bu da C noktasının verilen koordinatlara sahip olduğu anlamına gelir (cos α; sin α). Tanjantın sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek, tg α = y / x ve ctg α = x / y olduğunu belirleyebiliriz. Negatif bir koordinat sisteminde açıları dikkate alarak bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceğini hesaplayabilirsiniz.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyonların değerleri

Birim çember üzerinden trigonometrik fonksiyonların özünü göz önünde bulundurarak, bazı açılar için bu fonksiyonların değerlerini türetebilirsiniz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik kimlikler

Trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değerin bulunduğu denklemlere trigonometrik denir. sin х = α değerine sahip özdeşlikler, k herhangi bir tamsayıdır:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. günah x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. günah x = a, |a | > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arksin α + πk.

cos x = a değerine sahip özdeşlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. çünkü x = 0, x = π / 2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x = -1, x = π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a | > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

tg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arktan α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arkctg α + πk.

döküm formülleri

Bu sabit formül kategorisi, formun trigonometrik işlevlerinden bir argümanın işlevlerine geçmek, yani herhangi bir değerin sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını ilgili göstergelere getirmek için kullanılabilecek yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için aralığın 0 ila 90 derece arasındaki açısı.

Bir açının sinüsü için fonksiyonları dönüştürmek için formüller şöyle görünür:

• günah (900 - α) = α;
• günah (900 + α) = cos α;
• günah (1800 - α) = günah α;
• günah (1800 + α) = -sin α;
• günah (2700 - α) = -cos α;
• günah (2700 + α) = -cos α;
• günah (3600 - α) = -sin α;
• günah (3600 + α) = günah α.

Bir açının kosinüsü için:

• cos (900 - α) = günah α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - a) = -sin a;
• cos (2700 + α) = günah α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala tabidir. İlk olarak, açı bir değer (π / 2 ± a) veya (3π / 2 ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• günahtan günaha;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkincisi, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Aynı şekilde negatif fonksiyonlarda.

Toplama formülleri

Bu formüller iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade eder. Açılar genellikle α ve β olarak adlandırılır.

Formüller şöyle görünür:

1. günah (α ± β) = günah α * cos β ± cos α * günah.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ günah α * günah.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller, α ve β açılarının herhangi bir değeri için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

Çift ve üç açılı trigonometrik formüller, sırasıyla 2α ve 3α açılarının fonksiyonlarını, α açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx * rahat = sin (x + y) + sin (x-y) olduğunu dikkate alarak, bu formülü basitleştirerek, sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * günah (α - β) / 2; tgα + tgβ = günah (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = günah (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

İşten toplama geçiş

Bu formüller, toplamın ürüne geçişinin kimliklerinden gelir:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Derece azaltma formülleri

Bu özdeşliklerde sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, çoklu açının birinci kuvvetinin sinüs ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:

• günah ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• günah ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• günah ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• çünkü ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

evrensel ikame

Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.

• günah x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), x = π + 2πn;
• çünkü x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), burada x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), burada x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x = π + 2πn.

Özel durumlar

En basit trigonometrik denklemlerin özel durumları aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için özel:

günah x değeri	X değeri
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk veya 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk veya -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk veya 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk veya -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk veya 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk veya -2π / 3 + 2πk

Kosinüs için bölümler:

çünkü x değeri	X değeri
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Teğet için özel:

Tg x değeri	X değeri
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

Kotanjant için özel:

ctg x değeri	X değeri
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

teoremler

sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır - basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Bu durumda a, b, c üçgenin kenarları ve α, β, γ sırasıyla zıt açılardır.

Rasgele bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapını gösterir.

kosinüs teoremi

Özdeşlik şu şekilde görüntülenir: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarlarıdır ve α, a kenarının karşısındaki açıdır.

teğet teoremi

Formül, iki açının tanjantları ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak gösterilir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dir. Teğet teoreminin formülü şudur: (a - b) / (a ​​​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

kotanjant teoremi

Bir üçgende yazılı dairenin yarıçapını, kenarlarının uzunluğuna bağlar. A, b, c üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C karşılıklı açılarsa, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarım çevresi ise, aşağıdaki özdeşlikler geçerli:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

Uygulanan uygulama

Trigonometri sadece matematiksel formüllerle ilgili teorik bir bilim değildir. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte insan faaliyetinin çeşitli dalları tarafından kullanılır - astronomi, hava ve deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm işleri, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, trigonometrinin temel kavramlarıdır, bu sayede bir üçgendeki açılar ve kenarların uzunlukları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade edebilir ve özdeşlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla gerekli miktarları bulabilirsiniz.