Açıortay. Eksiksiz Dersler - Bilgi Hipermarketi

Bugün çok kolay bir ders olacak. Sadece bir nesneyi - bir açının açıortayını - ele alacağız ve gelecekte bizim için çok yararlı olacak en önemli özelliğini kanıtlayacağız.

Rahatlamayın: bazen aynı OGE veya USE'den yüksek puan almak isteyen öğrenciler, ilk derste bilesektörün tanımını doğru bir şekilde formüle edemezler.

Ve gerçekten ilginç işler yapmak yerine, böyle basit şeylerle zaman harcıyoruz. Bu nedenle okuyun, görün - ve hizmete alın. :)

Yeni başlayanlar için biraz garip bir soru: açı nedir? Bu doğru: açı, aynı noktadan çıkan iki ışındır. Örneğin:

Açı örnekleri: keskin, geniş ve düz

Resimden de görebileceğiniz gibi, köşeler keskin, geniş, düz olabilir - şimdi önemli değil. Çoğu zaman, kolaylık olması için, her ışın üzerinde ek bir nokta işaretlenir ve önümüzde $ AOB $ açısının olduğunu söylerler ($ \ açı AOB $ olarak yazılır).

Açıklığın kaptanı, $ OA $ ve $ OB $ ışınlarına ek olarak, $ O $ noktasından her zaman bir demet ışın çizebileceğinizi ima ediyor gibi görünüyor. Ama aralarında özel bir tane olacak - bisektör denilen o.

Tanım. Bir açının açıortay, o açının tepesinden çıkan ve açıyı ikiye bölen bir ışındır.

Yukarıdaki açılar için açıortaylar şöyle görünecektir:

Dar, geniş ve dik açılar için açıortay örnekleri

Gerçek çizimlerde, belirli bir ışının (bizim durumumuzda $ OM $ ışınıdır) ilk açıyı iki eşit açıya böldüğü her zaman açık olmaktan uzak olduğundan, geometride eşit açıları aynı sayıda yay ile işaretlemek gelenekseldir. (çizimimizde bu, dar açı için 1 yay, kör açı için iki, doğrudan açı için üç yaydır).

Tamam, tanımı bulduk. Şimdi bisektörün hangi özelliklere sahip olduğunu anlamanız gerekiyor.

Bir açının açıortayının ana özelliği

Aslında, bir bisektörün birçok özelliği vardır. Ve bir sonraki derste kesinlikle onlara bakacağız. Ancak şu anda anlamanız gereken bir numara var:

Teorem. Bir açının açıortay, belirli bir açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

Matematikten Rusçaya çevrildiğinde, bu aynı anda iki gerçek anlamına gelir:

Belirli bir açının açıortayı üzerinde bulunan herhangi bir nokta, bu açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunur.
Ve tam tersi: bir nokta belirli bir açının kenarlarından aynı uzaklıktaysa, o zaman bu açının açıortayı üzerinde olması garanti edilir.

Bu ifadeleri kanıtlamadan önce, bir noktayı açıklığa kavuşturalım: Aslında, bir noktadan bir açının kenarına olan mesafeye ne denir? Burada, bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin eski moda tanımı bize yardımcı olacaktır:

Tanım. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, verilen bir noktadan o doğruya çizilen bir dikmenin uzunluğudur.

Örneğin, $ l $ doğrusunu ve bu doğru üzerinde yer almayan bir $ A $ noktasını ele alalım. Dik bir $ AH $ çizin, burada $ H \ içinde l $. O zaman bu dikin uzunluğu $ A $ noktasından $ l $ düz çizgisine olan mesafe olacaktır.

Noktadan çizgiye olan mesafenin grafiksel gösterimi

Bir açı sadece iki kiriş olduğundan ve her kiriş düz bir çizginin parçası olduğundan, bir noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirlemek kolaydır. Bunlar sadece iki dikeydir:

Noktadan köşenin kenarlarına olan mesafeyi belirleyin

Bu kadar! Artık mesafenin ve bisektörün ne olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, ana özellik kanıtlanabilir.

Söz verdiğimiz gibi, ispatı iki bölüme ayıralım:

1. Ortaortay üzerindeki bir noktadan açının kenarlarına olan uzaklıklar aynıdır.

$ O $ tepe noktası ve $ OM $ açıortayı ile rastgele bir açı düşünün:

Bu $ M $ noktasının köşenin kenarlarından aynı uzaklıkta olduğunu ispatlayalım.

Kanıt. $ M $ noktasından köşenin kenarlarına dikler çizin. Onlara $ M ((H) _ (1)) $ ve $ M ((H) _ (2)) $ diyelim:
Köşenin kenarlarına dikey çizin
İki dik üçgenimiz var: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ ve $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Ortak bir hipotenüs $ OM $ ve eşit açıları vardır:

$ \ MO açısı ((H) _ (1)) = \ MO açısı ((H) _ (2)) $ koşula göre ($ OM $ bir açıortay olduğu için);

$ \ açı M ((H) _ (1)) O = \ açı M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ yapımına göre;

$ \ OM açısı ((H) _ (1)) = \ OM açısı ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ açısı MO ((H) _ (1)) $, çünkü toplama Bir dik üçgenin dar açıları her zaman 90 derecedir.

Sonuç olarak, üçgenler kenarlarda ve iki bitişik açıda eşittir (üçgenlerin eşitliğinin işaretlerine bakın). Bu nedenle, özellikle $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, yani. $ O $ noktasından köşenin kenarlarına olan mesafeler gerçekten eşittir. Q.E.D. :)

2. Mesafeler eşitse, nokta ortay üzerindedir.

Şimdi durum tersine döndü. $ O $ açısı ve bu açının kenarlarından eşit uzaklıkta $ M $ noktası verilsin:

$OM $ ışınının bir açıortay olduğunu ispatlayalım, yani, $ \ MO açısı ((H) _ (1)) = \ MO açısı ((H) _ (2)) $.

Kanıt. Başlamak için, bu çok ışını $ OM $ çizelim, aksi takdirde kanıtlayacak hiçbir şey olmayacak:
$ OM $ ışınını köşede harcadı
Yine iki dik üçgenimiz var: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ ve $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Açıkça eşittirler çünkü:

Hipotenüs $ OM $ - toplam;

Bacaklar $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ koşula göre (sonuçta $ M $ noktası köşenin kenarlarından eşit uzaklıktadır);

Kalan bacaklar da eşittir, çünkü Pisagor teoremi ile $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Bu nedenle, $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ ve $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ üçgenleri üç taraftadır. Özellikle açıları eşittir: $ \ açısı MO ((H) _ (1)) = \ açısı MO ((H) _ (2)) $. Ve bu sadece $ OM $'ın bir bisektör olduğu anlamına gelir.

Kanıtın sonunda, elde edilen eşit açıları kırmızı yaylarla işaretliyoruz:
Bisektör $ \ açısını ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $'ı iki eşit parçaya böler

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey yok. Bir açının açıortayının, bu açının kenarlarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğunu kanıtladık. :)

Artık terminolojiye az çok karar verdiğimize göre, yeni bir düzeye geçme zamanı. Bir sonraki derste, açıortayın daha karmaşık özelliklerini analiz edeceğiz ve bunları gerçek problemleri çözmek için nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.

Bir üçgenin açıortay, üçgenin açısını iki eşit açıya bölen bir doğru parçasıdır. Örneğin, üçgenin açısı 120 0 ise, o zaman açıortay çizerek, her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.

Ve bir üçgende üç açı olduğu için üç bisektör çizilebilir. Hepsinin bir kesme noktası var. Bu nokta, üçgende yazılı dairenin merkezidir. Başka bir şekilde, bu kesişme noktasına üçgenin merkezi denir.

İç ve dış açıların iki bisektörü kesiştiğinde 90 0'lık bir açı elde edilir. Bir üçgende dış köşe, üçgenin iç köşesine bitişik olan açıdır.

Pirinç. 1. 3 bisektörlü üçgen

Bisektör, karşı tarafı, kenarlara bağlı iki doğru parçasına böler:

$$ (CL \ üst (LB)) = (AC \ üst (AB)) $$

Bisektörün noktaları köşenin kenarlarından eşit uzaklıkta, yani köşenin kenarlarından aynı uzaklıkta. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her iki tarafına dikleri indirirsek, bu dikler eşit olacaktır.

Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun parça ve yükseklik en kısa parça olacaktır.

Bisektörün bazı özellikleri

Bazı üçgen türlerinde açıortayın özel özellikleri vardır. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu figürün iki özdeş tarafı vardır ve üçüncüsü taban olarak adlandırılır.

Bir ikizkenar üçgenin açısının tepe noktasından tabana bir açıortay çizersek, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre açıortayın uzunluğu, ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.

Tanımlar:

Boy uzunluğu- üçgenin tepesinden karşı tarafa düşen dik ..
Medyan- üçgenin üst tarafını ve karşı tarafın ortasını birleştiren bir segment.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgende Bisektör

Bu aynı zamanda bir eşkenar üçgen, yani üç kenarı da eşit olan bir üçgen için geçerlidir.

Örnek görev

Bir ABC üçgeninde: BR açıortaydır, burada AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.

Pirinç. 3. Bir üçgende Bisektör

Çözüm:

Bisektör, üçgenin kenarını belirli bir oranda böler. Bu oranı kullanalım ve AR'yi ifade edelim. Sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, bu kenarın açıortay tarafından bölündüğü bölümlerin toplamı olarak bulacağız.

$ (AB \ üst (BC)) = (AR \ üst (RC)) $
$ RC = (6 \ üzeri (4)) * 2 = 3 cm $

Sonra tüm segment AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 cm.

Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen açıortay üçgeni iki eşit dik üçgene böler.

Ne öğrendik?

Bisektör konusunu inceledikten sonra bir açıyı iki eşit açıya böldüğünü öğrendik. Ve tabana ikizkenar veya eşkenar üçgen çizilirse, aynı anda hem ortanca hem de yükseklik özelliklerine sahip olacaktır.

Konuya göre test edin

Makale değerlendirmesi

Ortalama puanı: 4.2. Alınan toplam puan: 157.

Bir üçgenin açıortay, çalışmada herhangi bir özel zorluğa neden olmayan yaygın bir geometrik kavramdır. Özellikleri hakkında bilgi sahibi olarak, birçok problem çok zorlanmadan çözülebilir. bisektör nedir? Okuyucuyu bu matematiksel çizginin tüm sırlarıyla tanıştırmaya çalışacağız.

Temas halinde

kavramın özü

Kavramın adı, anlamı "bi" - iki, "sectio" - kesim olan Latince kelimelerin kullanımından geldi. Işınlar arasındaki boşluğu kırmak - özellikle kavramın geometrik anlamına işaret ederler. iki eşit parçaya.

Üçgenin bisektörü, şeklin üst kısmından başlayan ve diğer ucu, boşluğu iki eşit parçaya bölerken diğer ucu da karşısındaki tarafta bulunan bir segmenttir.

Öğrenciler tarafından matematiksel kavramların hızlı çağrışımsal ezberlenmesi için birçok öğretmen, ayetlerde veya çağrışımlarda gösterilen farklı terminoloji kullanır. Tabii ki, bu tanım daha büyük çocuklar için önerilir.

Bu düz çizgi nasıl belirlenir? Burada segmentleri veya ışınları belirtmek için kurallara güveniyoruz. Üçgen bir figürün açısının açıortayının belirlenmesinden bahsediyorsak, genellikle uçları olan bir segment olarak yazılır. tepe noktası ve tepe noktasının karşısındaki tarafla kesişme noktası... Ayrıca, atamanın başlangıcı tam olarak üstten yazılmıştır.

Dikkat! Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır? Cevap açık: Ne kadar üç tepe varsa o kadar var.

Özellikler

Tanıma ek olarak, okul ders kitabında bu geometrik kavramın pek çok özelliğini bulamazsınız. Okul çocuklarına tanıtılan bir üçgenin açıortayının ilk özelliği, yazılı olanın merkezidir ve onunla doğrudan ilgili olan ikincisi, bölümlerin orantılılığıdır. Sonuç aşağıdaki gibidir:

Bölme çizgisi ne olursa olsun, üzerinde noktalar vardır. yanlardan aynı uzaklıkta kirişler arasındaki boşluğu oluşturur.
Üçgen bir şekle bir daire çizebilmek için, bu doğru parçalarının kesişeceği noktayı belirlemek gerekir. Bu dairenin merkez noktasıdır.
Ayırma çizgisinin onu böldüğü üçgen geometrik şeklin kenarının parçaları, açılı kenarlarla orantılı.

Geri kalan özellikleri sisteme getirmeye çalışacağız ve bu geometrik kavramın esasını daha iyi anlamamıza yardımcı olacak ek gerçekler sunacağız.

Uzunluk

Okul çocukları için zorluklara neden olan sorun türlerinden biri, bir üçgenin açıortayının uzunluğunu bulmaktır. Uzunluğunu içeren ilk seçenek aşağıdaki verileri içerir:

bu segmentin tepesinden çıktığı ışınlar arasındaki boşluk miktarı;
bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları.

Sorunu çözmek formül kullanılır, anlamı, açıyı oluşturan kenarların değerlerinin iki katının, yarısının kosinüsü ile kenarların toplamına oranını bulmaktır.

Belirli bir örneği ele alalım. A açısından bir doğru parçasının çizildiği ve BC kenarını K noktasında kestiği bir ABC şekli verildiğini varsayalım. A'nın değeri Y ile gösterilir. Buna göre AK = (2 * AB * AC * cos (Y) / 2)) / (AB + AC).

Bir üçgenin açıortay uzunluğunun belirlendiği problemin ikinci versiyonu aşağıdaki verileri içerir:

şeklin tüm taraflarının anlamları bilinmektedir.

Bu tür bir sorunu çözerken, başlangıçta yarı çevreyi belirle... Bunu yapmak için, tüm tarafların değerlerini ekleyin ve ikiye bölün: p = (AB + BC + AC) / 2. Ardından, önceki problemde bu segmentin uzunluğunu belirlemek için kullanılan hesaplama formülünü uygularız. Sadece yeni parametrelere göre formülün özünde bazı değişiklikler yapmak gerekir. O halde, tepeye komşu olan kenarların uzunluklarının yarım çevre ile çarpımından ve yarım çevre ile köşe uzunluğu arasındaki farktan ikinci derecenin iki katına çıkan kökünün oranını bulmak gerekir. açıyı oluşturan kenarların toplamına zıt kenar. Yani AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Dikkat! Malzemede ustalaşmayı kolaylaştırmak için, bu düz çizginin "maceralarını" anlatan İnternette bulunan komik hikayelere başvurabilirsiniz.

Özel durumlar

Dik açılı bir üçgenin açıortayı tüm genel özelliklere sahiptir. Ancak, yalnızca kendisine özgü olan özel bir duruma dikkat edilmelidir: tabanları akut dik açılı üçgenlerin üstleri olan kesişen segmentler, ışınlar arasında 45 derece elde edilir.

Bir ikizkenar üçgenin açıortayının da kendine has özellikleri vardır:

Bu segmentin tabanı, tabanın karşısındaki üst kısım ise, o zaman hem yükseklik hem de ortanca.
Parçalar tabandaki köşelerin köşelerinden çizilirse uzunlukları birbirine eşittir.

Geometri dersi, bisektörün özelliklerini inceliyoruz

Bir üçgenin açıortayının özellikleri

açıortay nedir?

Besectrix, köşelerde yürüyen ve köşeyi ikiye bölen bir sıçandır.
Bisektör özellikleri

a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + ca)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2
la = bca1a2
Nereye:
yani bir şekilde))
Açılmamış açının düz açısı onu 2 dik açıya böler
bu sıçan bölünür
Açının bisektörü (Latince bi - çift ve sektio kesimden), açının tepesinde başlayan ve açıyı iki eşit parçaya bölen bir ışındır.
Açının bisektörü (Latince bi - çift ve sektio kesimden), açının tepesinde başlayan ve açıyı iki eşit parçaya bölen bir ışındır.
Bisektör, köşelerde koşan ve köşeyi cinsiyete göre bölen bir sıçandır.
ışın bölme açısı 2 eşit açıya
Bisektör, köşelerde koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir!
😉
Açının bisektörü (Latince bi - çift ve sektio kesimden), açının tepesinde başlayan ve açıyı iki eşit parçaya bölen bir ışındır.
Bir açının açıortayı (devamı ile birlikte), açının kenarlarından (veya uzantılarından) eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.
Tanım. Bir üçgenin açıortay, bu köşeyi karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bu açının açıortayının bir parçasıdır.
Bir üçgenin iç açılarının üç bisektöründen herhangi birine üçgenin bisektörü denir.
Bir üçgenin açıortay iki şeyden birini gösterebilir: ışın bu açının açıortayıdır veya bu açının açıortayının üçgenin kenarıyla kesişmeden önceki bir parçasıdır.
Bisektör özellikleri
Bir üçgenin açıortay, karşı tarafı komşu iki kenarın oranına eşit bir oranda böler.
Üçgenin iç köşelerinin açıortayları bir noktada kesişir. Bu noktaya yazılı dairenin merkezi denir.
İç ve dış köşelerin açıortayları diktir.
Üçgenin dış köşesinin açıortayı karşı tarafın devamıyla kesişiyorsa, ADBD = ACBC olur.
Bir üçgenin bir iç ve iki dış köşesinin açıortayı bir noktada kesişir. Bu nokta, bu üçgenin üç dış çemberinden birinin merkezidir.
Bir üçgenin iki iç ve bir dış köşesinin açıortayının tabanları, dış köşenin açıortayı üçgenin karşı tarafına paralel değilse, aynı düz çizgi üzerindedir.
Üçgenin dış köşelerinin açıortayları karşı taraflara paralel değilse, tabanları bir düz çizgi üzerindedir.
a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + c # 8722; a)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2 # 8722;
la = bc # 8722; a1a2
Nereye:
la, a'nın açıortayıdır,
a, b, üçgenin yanından sırasıyla A, B, C köşelerine karşı,
al, açıortay lc'nin c tarafını böldüğü 2 parça,
Üçgenin sırasıyla a, b, c köşelerindeki iç açıları,
ha, a tarafına düşen üçgenin yüksekliğidir.
açıortay, açıyı palam ile bölen bir çizgidir.
Açının bisektörü (Latince bi - çift ve sektio kesimden), açının tepesinde başlayan ve açıyı iki eşit parçaya bölen bir ışındır.
Bir açının açıortayı (devamı ile birlikte), açının kenarlarından (veya uzantılarından) eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.
Bisektör, köşelerde yürüyen, açıyı yarıya indiren bir faredir.
bisektör, böyle bir sıçan, köşelerde koşar ve açıyı vuruşlara böler)
Köşeyi ikiye böler
onu (köşe) ikiye bölen çizgi.
Bisektör, köşelerde koşan ve onları ikiye bölen bir sıçandır.

Bisektör, bir açıyı ikiye bölen bir çizgidir.

Problemdeki bisektörle tanıştınız mı? Aşağıdaki şaşırtıcı özelliklerden birini (ve bazen birkaçını) uygulamaya çalışın.

1. Bir ikizkenar üçgende Bisektör.

"Teorem" kelimesinden korkmuyor musun? Eğer korkuyorsan, o zaman - boşuna. Matematikçiler, bir teoremle diğer daha basit ifadelerden bir şekilde çıkarılabilecek herhangi bir ifadeyi adlandırmaya alışkındır.

Yani, dikkat, teorem!

kanıtlayalım bu teorem, yani, bunun neden böyle olduğunu anlayacağız? İkizkenarlara bakın.

Onlara yakından bakalım. Ve sonra göreceğiz ki

- Genel.

Ve bu şu anlama gelir (daha doğrusu üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini hatırlayın!) Bu.

Ne olmuş? öyle mi demek istiyorsun Ve bu üçgenlerin üçüncü kenarlarına ve kalan köşelerine henüz bakmamış olmamız.

Şimdi bakalım. Bir kez, o zaman kesinlikle tam olarak ve hatta ek olarak.

Yani ortaya çıktı

tarafı ikiye böldü, yani medyan olduğu ortaya çıktı
, bu, ikisinin de açık olduğu anlamına gelir, çünkü (resme bir kez daha bakın).

Böylece bir bisektör ve bir yükseklik olduğu ortaya çıktı!

Yaşasın! Teoremi kanıtladık. Ama hayal edin, hepsi bu kadar değil. Bu da doğru converse teoremi:

Kanıt? merak ediyor musun? Bir sonraki teori seviyesini okuyun!

Ve eğer ilginç değilse, o zaman sıkıca hatırla:

Bunu neden sıkıca ezberlesin? Bu nasıl yardımcı olabilir? Ama bir göreviniz olduğunu hayal edin:

Verilen: .

Bulmak: .

Hemen farkediyorsunuz, bisektör ve işte, o tarafı ikiye böldü! (şartla…). Bunun olacağını kesin olarak hatırlıyorsan bir tek bir ikizkenar üçgende, bunun ne anlama geldiği sonucuna varırsınız, cevabı yazarsınız:. Harika, değil mi? Tabii ki, tüm görevler o kadar kolay olmayacak, ancak bilgi kesinlikle yardımcı olacaktır!

Ve şimdi bir sonraki mülk. Hazır?

2. Bir açının açıortayı, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

Korkmuş? Aslında sorun değil. Tembel matematikçiler dördü iki satıra sakladılar. Peki, bu ne anlama geliyor, "Bisector - noktaların yeri"? Bu, hemen yürütüldükleri anlamına gelir. 2ifadeler:

Nokta bisektör üzerindeyse, ondan açının kenarlarına olan mesafeler eşittir.
Bir noktada köşenin kenarlarına olan mesafeler eşitse, o zaman bu nokta mutlaka bisektör üzerinde yatıyor.

1 ve 2 numaralı ifadeler arasındaki farkı görüyor musunuz? Değilse, o zaman Alice Harikalar Diyarında'daki Şapkacı'yı hatırlayın: "Yani hala söyleyecek iyi bir şeyiniz var, sanki" ne yediğimi görüyorum "ve" gördüğümü yiyorum" aynı şeymiş gibi!

Öyleyse, 1. ve 2. ifadeleri ve ardından ifadeyi kanıtlamamız gerekiyor: "Ortaorta, köşenin kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir" ispatlanacak!

1 neden doğrudur?

Bisektördeki herhangi bir noktayı alın ve adlandırın.

Bu noktadan köşe kenarlarına dikleri bırakalım.

Ve şimdi ... dik açılı üçgenlerin eşitlik işaretlerini hatırlamaya hazırlanın! Bunları unuttuysanız, bölüme bir göz atın.

Yani ... iki dik açılı üçgen: ve. Onlarda var:

Genel hipotenüs.
(çünkü - bisektör!)

Bunun anlamı - açı ve hipotenüs ile. Bu nedenle, bu üçgenlerin karşılık gelen bacakları eşittir! Yani.

Noktanın köşenin kenarlarından eşit (veya eşit) uzaklıkta olduğu kanıtlandı. 1. nokta ile dizildi. Şimdi 2. maddeye geçelim.

2 neden doğrudur?

Ve noktaları birleştirin ve.

Yani, bisektörde yatıyor!

Bu kadar!

Bütün bunlar sorunların çözümüne nasıl uygulanabilir? Örneğin, problemlerde genellikle şöyle bir ifade vardır: “Daire köşenin kenarlarına dokunuyor…”. Ve bir şey bulmalısın.

bunu çabuk anlarsın

Ve eşitliği kullanabilirsiniz.

3. Bir üçgende üç bisektör bir noktada kesişir

Bisektörün, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olma özelliğinden aşağıdaki ifade çıkar:

Tam olarak nasıl takip ediyor? Ama bakın: iki bisektör kesinlikle kesişecek, değil mi?

Ve üçüncü bisektör şöyle gidebilir:

Ama aslında, her şey çok daha iyi!

İki bisektörün kesişim noktasını ele alalım. Arayalım.

Burada iki kere ne kullandık? Evet paragraf 1, elbette! Nokta açıortay üzerindeyse, köşenin kenarlarından eşit uzaklıkta.

Böylece ortaya çıktı ve.

Ama bu iki eşitliğe dikkatlice bakın! Sonuçta, onlardan ve bu nedenle, izler.

Ama şimdi harekete geçecek 2. nokta: açının kenarlarına olan mesafeler eşitse, nokta açıortay üzerindedir ... açı nedir? Resme tekrar bakın:

ve açının kenarlarına olan mesafelerdir ve eşittirler, bu da noktanın açının açıortayı üzerinde olduğu anlamına gelir. Üçüncü bisektör aynı noktadan geçti! Üç bisektörün hepsi bir noktada kesişiyor! Ve ek bir hediye olarak -

yarıçap yazılıçevreler.

(Emin olmak için başka bir konuya bakın).

Eh, şimdi asla unutmayacaksın:

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, yazılı dairenin merkezidir.

Bir sonraki mülke geçiyoruz ... Vay be, bisektörün bir çok mülkü var, değil mi? Ve bu harika, çünkü daha fazla özellik, açıortay ile ilgili sorunları çözmek için daha fazla araç.

4. Bisektör ve paralellik, bitişik açıların bisektörleri

Bisektörün açıyı ikiye böldüğü gerçeği, bazı durumlarda tamamen beklenmedik sonuçlara yol açmaktadır. Örneğin,

Dava 1

Harika, değil mi? Bunun neden böyle olduğunu anlayalım.

Bir yandan bisektör yapıyoruz!

Ama öte yandan, kesişen köşeler gibi (konuyu hatırla).

Ve şimdi ortaya çıkıyor; ortayı atmak:! - ikizkenar!

2. durum

Bir üçgen hayal edin (veya resme bakın)

Bir nokta için yandan devam edelim. Şimdi iki köşemiz var:

- iç köşe
- dış köşe - dışarıda, değil mi?

Yani, şimdi birileri bir değil, aynı anda iki bisektör çizmek istedi: için ve için. Ne olacak?

Ve ortaya çıkacak dikdörtgen!

Şaşırtıcı bir şekilde, durum tam olarak budur.

Anlamak.

Sizce toplamı nedir?

Tabii ki, çünkü hepsi bir arada öyle bir açı oluşturuyor ki, düz bir çizgi çıkıyor.

Ve şimdi bunu hatırlayın ve açıortaylar ve köşenin içinde tam olarak yarım dört açının toplamından: ve - - yani, tam olarak. Denklemi de yazabilirsiniz:

Yani, inanılmaz, ama gerçek:

Üçgenin iç ve dış köşelerinin açıortayı arasındaki açıdır.

vaka 3

Burada her şeyin iç ve dış köşelerle aynı olduğunu görüyor musunuz?

Ya da bunun neden böyle olduğunu tekrar düşünün?

Yine bitişik köşelere gelince,

(paralel bazlarda eşleştirildiği gibi).

Ve yine makyaj tam olarak yarısı toplamdan

Çıktı: Sorun bisektör içeriyorsa ilgili açılar veya bisektörler ilgili paralelkenar veya yamuk açıları, o zaman bu problemde kesinlikle bir dik açılı üçgen ve hatta belki de bütün bir dikdörtgen söz konusudur.

5. Bisektör ve karşı taraf

Üçgenin açıortayının karşı tarafı bir şekilde değil, özel ve çok ilginç bir şekilde böldüğü ortaya çıktı:

Yani:

İnanılmaz bir gerçek, değil mi?

Şimdi bu gerçeği kanıtlayacağız, ama hazır olun: eskisinden biraz daha zor olacak.

Yine - uzay yürüyüşü - ek inşaat!

Düz bir çizgi çizelim.

Ne için? Şimdi göreceğiz.

Bisektörü düz çizgi ile kesişme noktasına kadar devam ettirin.

Tanıdık geliyor mu? Evet, evet, evet, 4. paragrafta olduğu gibi, durum 1 - ortaya çıktı (ortaydır)

Çapraz yalan söylemek gibi

Anlamı - bu da.

Şimdi üçgenlere bakalım ve.

Onlar hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Onlar benzer. Evet, dikey ile aynı açılara sahipler. Bu nedenle, iki köşede.

Artık ilgili tarafların ilişkilerini yazma hakkımız var.

Ve şimdi kısa gösterimle:

Ah! Bir şeye benziyor, değil mi? Kanıtlamak istediğimiz bu değil miydi? Evet, bu o!

"Uzay yürüyüşünün" ne kadar harika olduğunu görüyorsunuz - ek bir düz çizginin inşası - kendini kanıtladı - onsuz hiçbir şey olmazdı! Ve böylece kanıtladık

Artık güvenle kullanabilirsiniz! Bir üçgenin açılarının açıortaylarının bir özelliğini daha inceleyelim - paniğe kapılmayın, şimdi en zor kısım bitti - daha kolay olacak.

anladık

Bu bilgi, iki bisektörün dahil olduğu ve sadece açının verildiği ve istenen değerlerin korunduğu veya tersine verildiği problemlerde uygulanabilir, ancak açının katılımıyla bir şeyler bulmanız gerekir.

Bisektörün temel bilgisi bitti. Bu gerçekleri birleştirerek, herhangi bir bisektör sorununun anahtarını bulacaksınız!

AÇIORTAY. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6: