Üstel denklemler konusuna örnekler. Güç veya üstel denklemler

Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları okurken karşılaşmıştınız.

Örneğin, ihtiyacınız varsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimler ile ikinci ve dördüncü terimler.

Birinci ve üçüncünün karelerin farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncü ortak bir üç faktöre sahiptir:

O zaman orijinal ifade buna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden çıkarılacağı artık zor değil:

Sonuç olarak,

Üstel denklemleri çözerken yaklaşık olarak böyle davranacağız: terimler arasında "ortaklık" arayın ve parantezlerin dışına koyun, o zaman - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =))

Örnek No. 14

Sağda yedi dereceden uzak (kontrol ettim!) Ve solda - çok daha iyi değil ...

Tabii ki, birinci terimden ikinciden a faktörünü "kesebilirsiniz" ve ardından alınanlarla ilgilenebilirsiniz, ancak bunu sizinle daha ihtiyatlı yapalım.

Kaçınılmaz olarak “vurgulamaktan” kaynaklanan kesirler ile uğraşmak istemiyorum, bu yüzden katlanmak daha iyi olmaz mıydı?

O zaman kesirlerim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

İfadeyi parantez içinde sayın.

Büyülü, büyülü bir şekilde ortaya çıkıyor (şaşırtıcı, başka ne bekleyebiliriz ki?).

O zaman denklemin her iki tarafını da bu faktörle iptal edeceğiz. Alırız:, nereden.

İşte daha karmaşık bir örnek (biraz, gerçekten):

Ne talihsizlik! Burada ortak bir noktamız yok!

Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil.

Elimizden geleni yapalım: önce "dört ayakları" bir tarafa, "beşleri" diğer tarafa taşıyalım:

Şimdi "ortak"ı sola ve sağa kaydıralım:

Peki şimdi ne olacak?

Böyle aptal bir grubun yararı ne? İlk bakışta hiç görünmüyor ama biraz daha derine inelim:

Pekala, şimdi öyle yapalım ki solda sadece ile ve sağda - diğer her şey ifadesine sahip olalım.

Bunu nasıl yapabiliriz?

Şu şekilde: Denklemin her iki tarafını da önce ile bölün (bu şekilde sağdaki dereceden kurtuluruz) ve sonra her iki tarafı da bölün (bu şekilde soldaki sayısal faktörden kurtuluruz).

Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz!

Solda bir ifademiz var ve sağda basit bir ifademiz var.

O zaman hemen şu sonuca varıyoruz:

Örnek No. 15

onu getireceğim kısa çözüm(açıklamalarla kendinizi gerçekten rahatsız etmeyin), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz bulmaya çalışın.

Şimdi geçen malzemenin son konsolidasyonu.

Aşağıdaki 7 problemi kendi başıma çözme (cevaplarla)

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım:
2. İlk ifadeyi şu şekilde temsil ediyoruz:, her iki parçayı da bölün ve şunu elde edin:
3. , sonra orijinal denklem şu şekle dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bak sen ve ben bu denklemi nerede çözmüşüz!
4. Nasıl, nasıl ve sonra her iki parçayı da böldüğünü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
5. Parantezleri çıkarın.
6. Parantezleri çıkarın.

AÇIKLAYICI DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

Sanırım ilk makaleyi okuduktan sonra üstel denklemler nelerdir ve nasıl çözülür ustalaştın gerekli minimum En basit örnekleri çözmek için gerekli bilgi.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yöntemi analiz edeceğim, bu ...

Yeni bir değişken (veya değiştirme) tanıtma yöntemi

Üstel denklemler konusundaki "zor" problemlerin çoğunu çözer (ve sadece denklemleri değil).

Bu yöntem bunlardan biri en sık pratikte kullanılır.Öncelikle konuya aşina olmanızı tavsiye ederim.

Adından da anladığınız gibi, bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir değişkene dönüşeceği bir değişken değişikliği getirmektir.

Bu çok “basitleştirilmiş denklemi” çözdükten sonra size kalan tek şey “ters değiştirme” yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene geri dönmek.

Az önce söylediğimizi çok basit bir örnekle açıklayalım:

Örnek 16. Basit ikame yöntemi

Bu denklem kullanılarak çözülür "Basit değiştirme", matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi.

Gerçekten de, buradaki değiştirme en bariz olanıdır. Sadece bunu görmek gerekir

O zaman orijinal denklem şuna dönüşecektir:

Ayrıca nasıl olduğunu hayal ederseniz, neyin değiştirilmesi gerektiği tamamen açıktır ...

Elbette, .

O zaman orijinal denklem neye dönüşecek? Ve işte ne:

Köklerini kolayca kendi başınıza bulabilirsiniz:.

Şimdi ne yapmalıyız?

Orijinal değişkene geri dönme zamanı.

Neyi belirtmeyi unuttum?

Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani, bir görünümü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler!

Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz.

Böylece, sen ve ben ilgilenmiyoruz, ancak ikinci kök bizim için oldukça uygun:

Sonra nereye.

Cevap:

Gördüğünüz gibi, önceki örnekte, değiştirme elimizi soruyordu. Ne yazık ki, bu her zaman böyle değildir.

Ancak, doğrudan üzücü olana gitmeyelim, ancak oldukça basit bir değiştirme ile bir örnek daha ile pratik yapalım.

Örnek 17 Basit Değiştirme Yöntemi

Büyük olasılıkla değiştirilmesi gerekeceği açıktır (bu, denklemimize dahil edilen derecelerin en küçüğüdür).

Bununla birlikte, değiştirmeyi tanıtmadan önce, denklemimiz bunun için "hazırlanmalıdır", yani:,.

Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi alıyorum:

Oh dehşet: çözümü için tamamen ürkütücü formüllere sahip kübik bir denklem (genel anlamda konuşursak).

Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapacağımızı düşünelim.

Hile yapmayı önereceğim: "Güzel" bir cevap almak için, onu üçlünün bir gücü şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (neden böyle olsun, ha?).

Denklemimizin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (üçün kuvvetleriyle tahmin etmeye başlayacağım).

İlk varsayım. Bu bir kök değil. Ne yazık ki...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ kısım: !

Var! İlk kökü tahmin ettin. Şimdi işler daha kolay olacak!

“Köşe” bölme şemasını biliyor musunuz? Elbette, bir sayıyı diğerine böldüğünüzde kullandığınızı biliyorsunuz.

Ancak çok az insan aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor.

Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulandığında, bu bana neyin bölünebileceğini söyler.

Bölünme nasıl yapılır? Bu nasıl:

Hangi tek terimliyi elde etmek için çarpmam gerektiğine bakıyorum

Açıktır ki, o zaman:

Ortaya çıkan ifadeyi şundan çıkarın, şunu alın:

Şimdi elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor?

Açıktır ki, o zaman alacağım:

ve elde edilen ifadeyi kalan ifadeden tekrar çıkarın:

Pekala, son adım, çarpacağım ve kalan ifadeden çıkaracağım:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik?

Kendi kendine: .

Sonra orijinal polinomun aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

Sonra orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Elbette, sıfırdan küçük olduğu için son kökü atacağız.

Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi korkutmak istemedim!

Aksine, amacım, oldukça basit bir değiştirmeye sahip olmamıza rağmen, yine de çözümü bizden bazı özel beceriler gerektiren oldukça karmaşık bir denkleme yol açtığını göstermekti.

Eh, hiç kimse bundan bağışık değildir. Ancak bu durumda değiştirme oldukça açıktı.

Örnek # 18 (daha az belirgin bir değiştirme ile)

Ne yapmamız gerektiği hiç belli değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir taban herhangi bir (makul, doğal olarak) dereceye yükseltilerek diğerinden elde edilemez.

Ancak, ne görüyoruz?

Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklıdır ve ürünleri, bire eşit karelerin farkıdır:

Tanım:

Bu nedenle, örneğimizde baz olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllıca bir hareket Denklemin her iki tarafını eşlenik sayı ile çarpın.

Örneğin, üzerinde, sonra Sol Taraf denklem eşit olacak ve doğru olanı.

Bir ikame yaparsak, sizinle orijinal denklemimiz şöyle olur:

kökleri, o zaman ve bunu hatırlayarak, bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi "okul" üstel denklemlerinin çoğunu çözmek için yeterlidir.

Sonraki Görevler artan seviye zorluklar KULLANIM seçeneklerinden alınır.

Sınav seçeneklerinden artan karmaşıklığa sahip üç görev

Bu örnekleri bağımsız olarak çözmek için zaten yeterince yetkinsiniz. Sadece gerekli değişimi vereceğim.

1. Denklemi çözün:
2. Denklemin köklerini bulun:
3. Denklemi çözün:. Segmente ait olan bu denklemin tüm köklerini bulun:

Ve şimdi kısa bir açıklama ve cevaplar:

Örnek No. 19

Burada şunu not etmemiz yeterli ve.

O zaman orijinal denklem buna eşdeğer olacaktır:

Bu denklem değiştirilerek çözülür.

Diğer hesaplamaları kendiniz yapın.

Sonunda, göreviniz en basit trigonometriyi (sinüs veya kosinüs'e bağlı olarak) çözmeye indirgenecektir. Bu tür örneklerin çözümünü diğer bölümlerde inceleyeceğiz.

Örnek No. 20

Burada değiştirmeden bile yapabilirsiniz ...

Çıkarılanı sağa kaydırmak ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil etmek yeterlidir: ve sonra doğrudan ikinci dereceden denkleme gidin.

Örnek No. 21

Ayrıca oldukça standart bir şekilde çözülür: nasıl olduğunu hayal edin.

Ardından, yerine ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: sonra,

Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musunuz? Numara? O halde acilen konuyu okuyun!

İlk kök, açıkçası, segmente ait değil ve ikincisi anlaşılmaz!

Ama çok yakında öğreneceğiz!

O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!)

Her iki kısımdan da çıkar, sonra şunu elde ederiz:

Sol taraf şu şekilde temsil edilebilir:

her iki parçayı da şununla çarpın:

ile çarpılabilir, o zaman

O zaman karşılaştıralım:

o zamandan beri:

Sonra ikinci kök gerekli aralığa aittir.

Cevap:

Gördüğünüz gibi, üstel denklemlerin köklerinin seçimi yeterli derin bilgi logaritmaların özellikleri bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim.

Tahmin edebileceğiniz gibi, matematikte her şey birbirine bağlıdır!

Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Matematik, tarih gibi, bir gecede okuyamazsınız."

Kural olarak, tüm artan karmaşıklık düzeyindeki problemleri çözmedeki zorluk, tam olarak denklemin köklerinin seçimidir.

Eğitime bir örnek daha...

Örnek 22

Denklemin kendisinin çözülmesinin oldukça basit olduğu açıktır.

Değiştirmeyi yaparak, orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyeceğiz:

İlk olarak, düşünelim ilk kök.

Karşılaştır ve: o zamandan beri. (logaritmik fonksiyonun özelliği, at).

O zaman ilk kökün de bizim aralığa ait olmadığı açıktır.

Şimdi ikinci kök:. Açıktır ki (d'deki fonksiyon artıyor).

Karşılaştırmak için kalır ve.

o zamandan beri, aynı zamanda.

Bu şekilde ve arasında "peg kullanabilirim".

Bu mandal bir sayıdır.

İlk ifade daha küçük ve ikincisi daha büyük.

Sonra ikinci ifade ilkinden daha fazla ve kök yayılma alanına aittir.

Cevap: .

Özetlemek gerekirse, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım.

Örnek 23 (Standart olmayan ikameli denklem!)

Hemen ne yapabileceğinizle başlayalım ve ne - prensipte yapabilirsiniz, ancak yapmamak daha iyidir.

Her şeyi üç, iki ve altının kuvvetleriyle temsil edebilirsiniz.

Nereye götürüyor?

Evet, hiçbir şeye yol açmayacak: karmakarışık dereceler ve bazılarından kurtulmak oldukça zor olacak.

O zaman ne gerekli?

not edelim ki bir

Ve bize ne verecek?

Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği!

İlk önce denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Pekala, şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve yoldan sapmamanız için onlara sadece kısa yorumlar yapacağım! İyi şanlar!

Örnek No. 24

En zor!

Burada bir yedek bulmak kolay değil! Ancak yine de, bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir tam kare seçimi.

Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin için bir yedek:

(Lütfen burada, değiştirmemiz sırasında negatif kökü bırakamayacağımızı unutmayın !!! Ve neden düşünüyorsunuz?)

Şimdi, örneği çözmek için iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de "standart değiştirme" ile çözülür (ancak bir örnekte ikincisi!)

Örnek 25

2. Bunu not edin ve yenisini yapın.

Örnek No. 26

3. Sayıyı asal çarpanlara ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

Örnek No. 27

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve veya ile değiştirin.

Örnek No. 28

5. Sayıların ve sayıların eşlenik olduğuna dikkat edin.

AÇIK DENKLEMLERİN LOGARIFLEME YÖNTEMİYLE ÇÖZÜMÜ. İLERİ DÜZEY

Ek olarak, başka bir yol düşünelim - logaritma yöntemiyle üstel denklemlerin çözümü.

Bu yöntemle üstel denklemlerin çözümünün çok popüler olduğunu söyleyemem, ancak bazı durumlarda sadece bizi sonuca götürebilir. doğru karar bizim denklemimiz.

Özellikle sık sık sözde çözmek için kullanılır " karışık denklemler": Yani, farklı türdeki işlevlerin buluştuğu yerler.

Örnek No. 29

genel durumda, yalnızca her iki tarafın logaritmasını (örneğin, taban tarafından) alarak çözülebilir, burada orijinal denklem aşağıdakine dönüşür:

Aşağıdaki örneğe bir göz atalım:

Logaritmik fonksiyonun ODZ'sine göre sadece ilgilendiğimiz açıktır.

Bununla birlikte, bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, başka bir nedenden de kaynaklanmaktadır.

Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafını da tabana yazalım:

Gördüğünüz gibi, orijinal denklemimizin logaritmasını yeterince hızlı almak bizi doğru (ve güzel!) cevaba götürdü.

Bir örnekle daha çalışalım.

Örnek No. 30

Burada da yanlış bir şey yok: Denklemin her iki tarafını da tabana göre logaritliyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak, bir şeyi kaçırıyoruz! Nerede yanlış yaptığımı fark ettin mi? Sonuçta, o zaman:

hangi gereksinimi karşılamaz (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıda verilen üstel denklemlerin çözümlerini kendiniz yazmaya çalışın:

Şimdi buna karşı kararınızı kontrol edin:

Örnek No. 31

Aşağıdakileri dikkate alarak her iki tarafı tabana göre logaritma:

(ikinci kök, değiştirme nedeniyle bize uymuyor)

Örnek No. 32

Logaritma tabanı:

Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki forma dönüştürüyoruz:

KEŞİF DENKLEMLERİ. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

üstel denklem

Formun denklemi:

isminde en basit üstel denklem.

Güç özellikleri

Çözüme yönelik yaklaşımlar

• Aynı tabana döküm
• Aynı üsse dönüştürme
• Değişken değiştirme
• Yukarıdakilerden birinin ifadesinin basitleştirilmesi ve uygulanması.

Lise öğrencilerinin final sınavına hazırlık aşamasında "Üslü Denklemler" konusundaki bilgilerini geliştirmeleri gerekmektedir. Geçmiş yılların deneyimi, bu tür görevlerin okul çocukları için belirli zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, lise öğrencilerinin, eğitim seviyelerine bakılmaksızın, teoriye tam olarak hakim olmaları, formülleri ezberlemeleri ve bu tür denklemleri çözme ilkesini anlamaları gerekir. Bu tür bir görevle nasıl başa çıkacaklarını öğrenen mezunlar, yüksek puanlar matematikte sınavı geçerken.

Shkolkovo ile sınav testine hazır olun!

Kapsanan materyalleri gözden geçirirken, birçok öğrenci denklemleri çözmek için gerekli formülleri bulma sorunuyla karşı karşıya kalmaktadır. Bir okul ders kitabı her zaman elinizin altında değildir ve internette bir konuyla ilgili gerekli bilgilerin seçimi uzun zaman alır.

"Shkolkovo" eğitim portalı, öğrencileri bilgi tabanımızı kullanmaya davet ediyor. Son teste hazırlanmak için tamamen yeni bir yöntem uyguluyoruz. Web sitemizde çalışarak, bilgi eksikliklerini belirleyebilecek ve en büyük zorluklara neden olan görevlere tam olarak dikkat edebileceksiniz.

Shkolkovo öğretmenleri başarılı bir eğitim için gerekli olan her şeyi topladı, sistematize etti ve sundu. sınavı geçmek malzeme en basit ve en erişilebilir biçimde.

Temel tanımlar ve formüller "Teorik Referans" bölümünde sunulmuştur.

Malzemenin daha iyi özümsenmesi için görevleri uygulamanızı öneririz. Hesaplama algoritmasını anlamak için bu sayfada sunulan bir çözümle üstel denklem örneklerini dikkatlice inceleyin. Bundan sonra, "Dizinler" bölümündeki görevlere geçin. En kolay problemlerle başlayabilir veya doğrudan birkaç bilinmeyenli veya karmaşık üstel denklemleri çözmeye gidebilirsiniz. Web sitemizdeki egzersiz tabanı sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Size zorluk çıkaran göstergeleri olan örnekler Favorilerinize eklenebilir. Bu şekilde onları hızlı bir şekilde bulabilir ve çözümü eğitmeninizle tartışabilirsiniz.

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için her gün Shkolkovo portalında çalışın!

Tüm yeni video derslerden haberdar olmak için sitemizin youtube kanalında.

Başlangıç ​​olarak, derecelerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Bir sayının çarpımı a n kez kendi başına gelirse, bu ifadeyi a ... a = a n olarak yazabiliriz.

1.a 0 = 1 (a ≠ 0)

3.a n bir m = bir n + m

4. (bir n) m = bir nm

5.a n b n = (ab) n

7.a n / bir m = bir n - m

Güç veya üstel denklemler- bunlar, değişkenlerin kuvvetlerde (veya üslerde) olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

İÇİNDE bu örnek 6 sayısı tabandır, her zaman altta durur ve değişken x derece veya gösterge.

İşte bazı üstel denklem örnekleri.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım.

Basit bir denklem alalım:

2 x = 2 3

Böyle bir örnek akılda bile çözülebilir. x = 3 olduğu görülüyor. Sonuçta, sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekir.
Şimdi bu çözümün nasıl resmileştirilmesi gerektiğine bakalım:

2 x = 2 3
x = 3

Böyle bir denklemi çözmek için çıkardık özdeş gerekçeler(yani, ikili) ve kalanları yazdı, bunlar derecelerdir. İstediğimiz cevabı aldık.

Şimdi kararımızı özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor aynısı denklemin sağda ve solda tabanları olup olmadığı. Gerekçeler aynı değilse, bu örneği çözmek için seçenekler arıyoruz.
2. Bazlar aynı olduktan sonra, kıyaslanmak derece ve elde edilen yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örnek çözelim:

Basitten başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, bu da tabanı atıp derecelerini eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.

x + 2 = 4 Bu en basit denklemdir.
x = 4 - 2
x = 2
Cevap: x = 2

Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu, 3 ve 9 olduğunu görebilirsiniz.

3 3x - 9x + 8 = 0

Başlamak için, dokuzu sağ tarafa aktarıyoruz, şunu elde ediyoruz:

Şimdi aynı üsleri yapmanız gerekiyor. 9 = 3 2 olduğunu biliyoruz. Derece (a n) m = a nm formülünü kullanalım.

3 3x = (3 2) x + 8

9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16 elde ederiz.

3 3x = 3 2x + 16 şimdi sol ve sağ taraftaki tabanların aynı ve üçe eşit olduğunu görebilirsiniz, böylece onları atabilir ve dereceleri eşitleyebiliriz.

3x = 2x + 16 en basit denklemi elde etti
3x - 2x = 16
x = 16
Cevap: x = 16.

Aşağıdaki örneğe bakın:

2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4

Öncelikle üslere bakıyoruz, üsler farklı iki ve dört. Ve olmamız gerekiyor - aynı. Dördünü (a n) m = a nm formülüyle dönüştürün.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanırız:

2 2x + 4 = 2 2x 2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Örneği de aynı gerekçeye taşıdık. Ama diğer 10 ve 24 sayıları bizi engelliyor. Onlarla ne yapmalı? Yakından bakarsanız, sol tarafta 2 2x tekrarladığımızı görebilirsiniz, işte cevap - 2 2x parantezlerden çıkarabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Tüm denklemi 6'ya bölün:

4 = 2 2 düşünelim:

2 2x = 2 2 taban aynı, onları atıyoruz ve kuvvetleri eşitliyoruz.
2x = 2 en basit denklemi elde ederiz. 2'ye bölersek alırız
x = 1
Cevap: x=1.

Denklemi çözelim:

9 x - 12 * 3 x + 27 = 0

Hadi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız 3'e eşittir. Bu örnekte, ilk üçün ikinciden iki kat (2x) dereceye (sadece x) sahip olduğunu görebilirsiniz. Bu durumda çözebilirsin değiştirme yöntemi... Sayıyı en küçük derece ile değiştirin:

Sonra 3 2x = (3x) 2 = t 2

t ile denklemdeki tüm güçleri x ile değiştirin:

t 2 - 12t + 27 = 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:
D = 144-108 = 36
1 = 9
t2 = 3

Değişkene geri dönmek x.

1'i alıyoruz:
t 1 = 9 = 3 x

Yani,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. t 2'den ikinciyi arıyoruz:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 = 2; x2 = 1.

Sitede ÇÖZÜM İÇİN YARDIM bölümünde merak ettiğiniz soruları sorabilirsiniz, size mutlaka cevap vereceğiz.

Gruba katıl

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgi amaçlıdır ve tüm sunum seçeneklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

ders türü

: "Üslü denklemler ve bunları çözmenin yolları" konulu genelleme ve karmaşık bilgi, beceri ve yetenek uygulamaları dersi.

Dersin Hedefleri.

eğitici:

“Üslü denklemler, çözümleri” konusunun ana materyalini tekrarlamak ve sistematize etmek; çeşitli türlerde üstel denklemleri çözerken uygun algoritmaları kullanma yeteneğini pekiştirmek; sınava hazırlık.

Geliştirme:

öğrencilerin mantıksal ve ilişkisel düşünmelerini geliştirmek; bilginin bağımsız uygulama becerisinin geliştirilmesine katkıda bulunur.

eğitici:

Denklemleri çözmede amaçlılık, dikkat ve doğruluğu eğitmek.

Teçhizat:

bilgisayar ve multimedya projektörü.

ders kullanır Bilişim teknolojisi : metodolojik destek derse - Microsoft Power Point programında sunum.

Dersler sırasında

Her beceri emekle verilir

BEN. Ders hedefi belirleme(2 numaralı slayt )

Bu dersimizde “Üslü denklemler, çözümleri” konusunu özetleyip genelleyeceğiz. Tipik ile tanışalım KULLANIM görevleri Bu konuda farklı yıllar.

Üstel denklemleri çözme problemleri, sınav görevlerinin herhangi bir bölümünde bulunabilir. Parçada " İÇİNDE " genellikle en basit üstel denklemleri çözmeyi önerirler. Parçada " İLE BİRLİKTE " çözümü genellikle görevin aşamalarından biri olan daha karmaşık üstel denklemler bulabilirsiniz.

Örneğin ( 3 numaralı slayt ).

• Birleşik Devlet Sınavı - 2007

S 4 - En büyük ifade değerini bulun x y, nerede ( NS; NS) - sistem çözümü:

• Birleşik Devlet Sınavı - 2008

B 1 - Denklemleri çözün:

ancak) NS 6 3NS – 36 6 3NS = 0;

b) 4 NS +1 + 8 4NS= 3.

• Birleşik Devlet Sınavı - 2009

S 4 - İfadenin anlamını bulun x + y, nerede ( NS; NS) - sistem çözümü:

• Birleşik Devlet Sınavı - 2010

– Denklemi çözün: 7 NS– 2 = 49. - Denklemin köklerini bulun: 4 NS 2 + 3NS – 2 - 0,5 2x2 + 2NS – 1 = 0. - Denklem sistemini çözün:

II. Temel bilgilerin güncellenmesi. Tekrarlama

(4 - 6 numaralı slaytlar ders için sunumlar)

Ekran şunları gösterir: destekleyici özet teorik malzeme Bu konuda.

Aşağıdaki konular tartışılmaktadır:

1. Hangi denklemler denir gösterge?
2. Bunları çözmenin ana yollarını adlandırın. türlerine örnekler veriniz ( 4 numaralı slayt )

(Her yöntem için önerilen denklemleri bağımsız olarak çözün ve slaytı kullanarak kendi kendini test edin)

3. Formun en basit üstel denklemlerini çözmek için hangi teorem kullanılır: ve f (x) = a g (x)?
4. Üstel denklemleri çözmek için başka hangi yöntemler var? ( 5 numaralı slayt )

• Faktoring yöntemi
(derece özelliklerine göre aynı temeller, kabul: en küçük üslü derece parantezden çıkarılır).
• Homojen üstel denklemleri çözerken sıfırdan farklı bir üstel ifade ile bölme (çarpma) alımı
.

• Tavsiye:

üstel denklemleri çözerken, önce denklemin her iki tarafında aynı tabanlara sahip dereceler elde ederek dönüşümleri gerçekleştirmek yararlıdır.

1. Denklemleri son iki yöntemle ve ardından yorumlarla çözme

(6 numaralı slayt ).

. 4 NS+ 1 – 2 4 NS– 2 = 124, 4 NS– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 NS– 2 62 = 124,

4 NS– 2 = 2, 4 NS– 2 = 4 0,5 , NS– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 NS 5NS - 5 5 2NS= 0¦: 5 2 NS 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) NS - 5 = 0,

t = (2/5) x, T > 0, 2T 2 - 3T - 5 = 0,T= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, NS= ?...

III. 2010 sınavının görevlerini çözme

Öğrenciler, 3 numaralı slaytta dersin başında önerilen görevleri, çözüm talimatlarını kullanarak bağımsız olarak çözer, çözüm derslerini kontrol eder ve sunumu kullanarak cevaplarını kontrol eder ( 7 numaralı slayt). Çalışma sırasında seçenekler ve çözüm yolları tartışılır, çözümdeki olası hatalara dikkat çekilir.

: a) 7 NS- 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7x = 36. Cevap: ancak) NS= 4, b) NS = 2. : 4 NS 2 + 3NS – 2 - 0,5 2x2 + 2NS- 1 = 0. (0,5 = 4 - 0,5'i değiştirebilirsiniz)

Çözüm. ,

NS 2 + 3NS – 2 = -NS 2 - 4NS + 0,5 …

Cevap: NS= -5/2, NS = 1/2.

: 5 5tg y+ 4 = 5 -tg y, cos'ta y< 0.

Çözüm için gösterge

... 5 5 kilo y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tl y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. NS= 5 tg y , …

5 kilo y = -1 (?...), 5 kilo y = 1/5.

TG'den beri y= -1 ve cos y< 0, o zaman NS II koordinat çeyreği

Cevap: NS= 3/4 + 2k, k n.

IV. Tahtada işbirliği yapın

Yüksek düzeyde bir eğitimin görevi kabul edilir - 8 numaralı slayt... Bu slayt yardımıyla öğretmen ve öğrenciler arasında bir diyalog gerçekleşir ve çözümün geliştirilmesine katkıda bulunur.

- Hangi parametrede ancak denklem 2 2 NS – 3 2 NS + ancak 2 – 4ancak= 0'ın iki kökü var mı?

İzin vermek T= 2 NS, nerede T > 0 ... alırız T 2 – 3T + (ancak 2 – 4ancak) = 0 .

bir). Denklemin iki kökü olduğundan, D> 0;

2). Olarak T 1,2> 0, sonra T 1 T 2> 0, yani ancak 2 – 4ancak> 0 (?...).

Cevap: ancak(- 0,5; 0) veya (4; 4,5).

V. Doğrulama çalışması

(9 numaralı slayt )

Öğrenciler gerçekleştirmek doğrulama çalışması kağıt parçaları üzerinde, kendi kendini kontrol etme ve bir sunum yardımıyla yapılan çalışmanın öz değerlendirmesini yapma, konuyu teyit etme. Çalışma kitaplarında yapılan hatalara dayanarak bilgiyi düzenlemek ve düzeltmek için bağımsız olarak kendileri için bir program belirlerler. Tamamlanmış bağımsız çalışma içeren sayfalar, doğrulama için öğretmene teslim edilir.

Altı çizili sayılar - temel Seviye, yıldız işaretiyle - artan karmaşıklık.

Çözüm ve cevaplar.

0,3 2NS + 1 = 0,3 – 2 , 2NS + 1 = -2, NS= -1,5.

(1; 1).

3. 2 NS– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 NS– 1 76 = 19, 2 NS– 1 = 1/4, 2 NS– 1 = 2 – 2 , NS– 1 = -2,

x = -1.

4 * .3 9 x = 2 3 NS 5NS+ 5 25 NS | : 25 NS ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) NS+ 5,

3 (9/27) NS = 2 (3/5) NS + 5 = 0,

3 (3/5) 2NS – 2 (3/5) NS - 5 = 0,…, (3/5) NS = -1 (uygun değil),

(3/5) NS = 5, x = -1.

VI. Ev ödevi

(10 numaralı slayt )

• § 11, 12'yi tekrarlayın.
• İtibaren sınav malzemeleri 2008 - 2010, konuyla ilgili görevleri seçmek ve bunları çözmek için.
• Evde tarama çalışması
:

Bu ders, üstel denklemleri yeni öğrenmeye başlayanlar için hazırlanmıştır. Her zaman olduğu gibi, bir tanım ve basit örneklerle başlayalım.

Bu dersi okuyorsanız, en basit denklemleri en azından asgari düzeyde anladığınızdan şüpheleniyorum - doğrusal ve kare: $ 56x-11 = $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $, vb. Bu tür yapıları çözebilmek, şimdi tartışılacak konuya "takılıp kalmamak" için kesinlikle gereklidir.

Yani, üstel denklemler. Hemen bir iki örnek vereyim:

\ [((2) ^ (x)) = 4; \ dörtlü ((5) ^ (2x-3)) = \ frak (1) (25); \ dörtlü ((9) ^ (x)) = - 3 \]

Bazıları size daha karmaşık gelebilir, bazıları ise tam tersine çok basit. Ancak hepsinin ortak bir önemli özelliği vardır: gösterimleri $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $ üstel işlevini içerir. Böylece, tanımı tanıtıyoruz:

Üstel bir denklem, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir, yani. $ ((a) ^ (x)) $ gibi bir ifade. Belirtilen işleve ek olarak, bu tür denklemler diğer cebirsel yapıları içerebilir - polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar, vb.

Oh iyi. Tanımı anladık. Şimdi soru şu: Bütün bu saçmalık nasıl çözülür? Cevap hem basit hem de karmaşık.

İyi haberle başlayalım: Birçok öğrenciyle yaşadığım derslere dayanarak, çoğu için üstel denklemleri vermenin aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay olduğunu söyleyebilirim.

Ancak kötü haberler de var: bazen her türlü ders kitabı ve sınav için problemlerin yazarları "ilham alır" ve uyuşturucularla alevlenen beyinleri o kadar iğrenç denklemler çıkarmaya başlar ki, onları çözmek sadece öğrenciler için değil - hatta birçok öğretmen için sorunlu hale gelir. gibi sorunlara takılıp kaldı.

Ancak, üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme geri dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. Peki, 4 sayısını elde etmek için 2 sayısı ne kadar yükseltilmelidir? Muhtemelen ikincisi? Sonuçta, $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $ x = 2 $. Peki, teşekkürler kap, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebildi. :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frak (1) (25) \]

Ve burada zaten biraz daha karmaşık. Birçok öğrenci $ ((5) ^ (2)) = 25 $'ın bir çarpım tablosu olduğunu bilir. Bazıları ayrıca $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ öğesinin esasen negatif güçlerin bir tanımı olduğundan şüphelenir ($ ((a) ^ (- n)) = \ formülüne benzer) frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Son olarak, yalnızca birkaç seçkin kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini tahmin ediyor ve çıktıda aşağıdaki sonucu alıyor:

\ [\ frak (1) (25) = \ frak (1) (((5) ^ (2))) = ((5) ^ (- 2)) \]

Böylece, orijinal denklemimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Sağ Ok ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (- 2)) \]

Ama bu zaten oldukça çözülebilir! Denklemin solunda üstel bir fonksiyon var, denklemde sağda bir üstel fonksiyon var, başka hiçbir yerde onlardan başka bir şey yok. Bu nedenle, üsleri "atabilir" ve göstergeleri aptalca eşitleyebilirsiniz:

Herhangi bir öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satırda:

\ [\ start (hizalama) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ bitiş (hizalama) \]

Son dört satırda neler olduğunu anlamadıysanız, “konuya döndüğünüzden emin olun. lineer denklemler"Ve tekrar et. Çünkü bu konuyu net bir şekilde anlamadan, üstel denklemleri ele almak için çok erken.

\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]

Peki, bu nasıl çözülür? İlk düşünce: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $, yani orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\ [((\ sol (((3) ^ (2)) \ sağ)) ^ (x)) = - 3 \]

O zaman, bir gücü bir güce yükseltirken, göstergelerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\ [(\ sol (((3) ^ (2)) \ sağ)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Sağ Ok ((3) ^ (2x)) = - (( 3) ^ (1)) \]

\ [\ start (hizalama) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ bitiş (hizalama) \]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş bir ikili alacağız. Çünkü biz bir Pokemon sükûnetiyle üçün önüne eksi işaretini bu üçün derecesine kadar gönderdik. Ve bunu yapamazsın. Ve bu yüzden. Şuna baksana farklı derecelerüçüzler:

\ [\ başlangıç ​​(matris) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frak (1) (3) & ((3) ^ (\ frak (1)) ( 2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & ((3) ^ (- 2)) = \ frak (1) (9) & ((3) ^ (\ frak (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & ((3) ^ (- 3)) = \ frak (1) (27) & (( 3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ end (matris) \]

Bu tableti oluştururken, sapkın değildim: Olumlu dereceleri, olumsuzları ve hatta kesirleri düşündüm ... peki, en az bir nerede negatif sayı? O orada değil! Ve olamaz, çünkü üstel fonksiyon $ y = ((a) ^ (x)) $, ilk olarak, her zaman sadece pozitif değerler alır (iki ile ne kadar çarpılır veya bölünürse çarpılsın, yine de pozitif olacaktır. sayı) ve ikinci olarak, böyle bir işlevin tabanı - $ a $ sayısı - tanım gereği pozitif bir sayıdır!

Peki, o zaman $ ((9) ^ (x)) = - 3 $ denklemi nasıl çözülür? Ama hiçbir şekilde: kök yok. Ve bu anlamda, üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer - ayrıca kök olmayabilir. Ama eğer içinde ikinci dereceden denklemler kök sayısı ayrımcı tarafından belirlenir (pozitif ayrımcı - 2 kök, negatif - kök yok), daha sonra üstel olanlarda her şey eşittir işaretinin sağında ne olduğuna bağlıdır.

Böylece, kilit sonucu formüle ediyoruz: $ ((a) ^ (x)) = b $ formunun en basit üstel denklemi, ancak ve ancak $ b \ gt 0 $ ise bir köke sahiptir. Bu basit gerçeği bilerek size önerilen denklemin kökleri olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Onlar. hiç çözmeye değer mi yoksa sadece kök olmadığını yazın.

Bu bilgi, daha karmaşık sorunları çözmemiz gerektiğinde bize birçok kez yardımcı olacaktır. Bu arada, yeterince şarkı sözü - üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel denklemler nasıl çözülür

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\ [((a) ^ (x)) = b, \ dörtlü a, b \ gt 0 \]

Daha önce hareket ettiğimiz "saf" algoritmaya göre, $ b $ sayısını $ a $ sayısının bir kuvveti olarak temsil etmek gerekir:

Ayrıca, $ x $ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, zaten çözülebilecek yeni bir denklem elde edeceğiz. Örneğin:

\ [\ başla (hizala) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Sağ Ok ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Sağ Ok x = 3; \\ & ((3) ^ (- x)) = 81 \ Sağ Ok ((3) ^ (- x)) = ((3) ^ (4)) \ Sağ Ok -x = 4 \ Sağ Ok x = -4; \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Sağ Ok ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Sağ Ok 2x = 3 \ Sağ Ok x = \ frak (3) ( 2). \\\ bitiş (hizalama) \]

Ve garip bir şekilde, bu şema zamanın yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki ya kalan %10? Kalan% 10, formun biraz "şizofrenik" üstel denklemleridir:

\ [((2) ^ (x)) = 3; \ dörtlü ((5) ^ (x)) = 15; \ dörtlü ((4) ^ (2x)) = 11 \]

Peki, 3 elde etmek için 2 ne kadar yükseltilmelidir? Birinci? Ama hayır: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ - yeterli değil. Saniye? Ayrıca değil: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ - biraz fazla. Hangisi o zaman?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: bu gibi durumlarda, “güzel” çözmenin imkansız olduğu durumlarda, “ağır topçu” - logaritmalar - konuyla ilgilidir. Logaritma kullanarak, herhangi bir pozitif sayının (biri hariç) herhangi bir pozitif sayının kuvveti olarak gösterilebileceğini hatırlatmama izin verin:

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritmalardan bahsettiğimde, sizi her zaman uyarırım: bu formül (aynı zamanda temel logaritmik özdeşliktir veya isterseniz bir logaritmanın tanımıdır) sizi çok uzun süre rahatsız edecek ve "ortaya çıkar". en beklenmedik yerler. Pekala, ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bir göz atalım:

\ [\ start (hizalama) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ bitiş (hizalama) \]

$ a = 3 $'ın sağdaki orijinal sayımız olduğunu ve $ b = 2 $'ın tam taban olduğunu varsayarsak üstel fonksiyon, sağ tarafı küçültmek istediğimiz için aşağıdakileri elde ederiz:

\ [\ start (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightarrow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )); \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Sağ Ok ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Sağ Ok x = ( (\ günlük) _ (2)) 3. \\\ bitiş (hizalama) \]

Biraz garip bir cevap aldık: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. Başka bir görevde, böyle bir cevapla, çoğu kişi şüpheye düşer ve çözümlerini tekrar kontrol etmeye başlardı: Ya bir yerde bir hata varsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar oldukça tipik bir durumdur. O yüzden alışın. :)

Şimdi kalan iki denklemi analojiyle çözelim:

\ [\ başla (hizala) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Sağ Ok ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Sağ ok x = ((\ log) _ (5)) 15; \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Sağ Ok ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Sağ Ok 2x = ( (\ log) _ (4)) 11 \ Sağ ok x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ bitiş (hizalama) \]

Bu kadar! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Çarpanı logaritma argümanına tanıttık. Ancak bu faktörü temele sokmak için kimse bizi rahatsız etmiyor:

Ayrıca, üç seçeneğin tümü doğrudur - bunlar yalnızca aynı sayıyı yazmanın farklı biçimleridir. Bu çözümde hangisini seçip yazacağınız size kalmış.

Böylece, $ ((a) ^ (x)) = b $ biçimindeki herhangi bir üstel denklemi çözmeyi öğrendik, burada $ a $ ve $ b $ sayıları kesinlikle pozitiftir. Ancak dünyamızın acımasız gerçekliği öyle basit görevler karşınıza çok ama çok nadir çıkacaktır. Çok daha sık böyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\ [\ başla (hizala) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ bitiş (hizalama) \]

Peki, bu nasıl çözülür? Bu hiç çözülebilir mi? Ve eğer öyleyse, nasıl?

Panik yapma. Tüm bu denklemler hızlı ve kolay bir şekilde bunlara indirgenir. basit formüller ki biz zaten ele aldık. Cebir dersinden birkaç tekniği hatırlamayı bilmeniz yeterlidir. Ve elbette, derecelerle çalışmak için kuralsız hiçbir yer yoktur. Şimdi hepsini anlatacağım :)

Üstel denklemleri dönüştürme

Hatırlanması gereken ilk şey: herhangi bir üstel denklem, ne kadar karmaşık olursa olsun, bir şekilde en basit denklemlere - daha önce ele aldığımız ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemlere - indirgenmelidir. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şöyle görünür:

1. Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Bir tür anlaşılmaz saçmalık yap. Hatta "denklemi dönüştürün" denilen birkaç saçmalık bile;
3. Çıktıda, $ ((4) ^ (x)) = 4 $ veya buna benzer bir şey gibi en basit ifadeleri alın. Ayrıca, bir orijinal denklem aynı anda birkaç böyle ifade verebilir.

İlk nokta ile her şey açıktır - kedim bile denklemi bir kağıda yazabilir. Üçüncü nokta ile de, öyle görünüyor ki, az çok açıktır - yukarıda bu tür bir sürü denklemi zaten çözdük.

Ama ikinci nokta ne olacak? Ne tür bir dönüşüm? Neyi neye dönüştürmeli? Ve nasıl?

Pekala, çözelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

1. Denklem, aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Formül, farklı tabanlara sahip üstel işlevler içerir. Örnekler: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ ve $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0.09 $.

İlk tür denklemlerle başlayalım - çözmesi en kolay olanlardır. Ve çözümlerinde, kararlı ifadeleri vurgulama gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Sabit bir ifadeyi vurgulama

Bu denkleme bir kez daha bakalım:

\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]

Ne görüyoruz? Dördü değişen derecelerde inşa ediliyor. Ancak tüm bu güçler, $ x $ değişkeninin diğer sayılarla basit toplamlarıdır. Bu nedenle, derecelerle çalışma kurallarını hatırlamak gerekir:

\ [\ başla (hizala) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)); \\ & ((a) ^ (xy)) = ((a) ^ (x))): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ) ^ (y))). \\\ bitiş (hizalama) \]

Basitçe söylemek gerekirse, üslerin toplanması kuvvetlerin çarpımına dönüştürülebilir ve çıkarma işlemi kolayca bölmeye dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin kuvvetlerine uygulamaya çalışalım:

\ [\ başla (hizala) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (x)) \ cdot \ frak (1) (4); \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ bitiş (hizalama) \]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım ve ardından soldaki tüm terimleri toplayalım:

\ [\ başla (hizala) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -onbir; \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frak (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ bitiş (hizalama) \]

İlk dört terim $ ((4) ^ (x)) $ öğesini içeriyor - hadi onu parantezin dışına çıkaralım:

\ [\ başla (hizala) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ sol (1+ \ frak (1) (4) -4 \ sağ) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frak (4 + 1-16) (4) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ sol (- \ frac (11) (4) \ sağ) = - 11. \\\ bitiş (hizalama) \]

Denklemin her iki tarafını $ - \ frac (11) (4) $ fraksiyonuna bölmeye devam eder, yani. esasen ters çevrilmiş kesir ile çarpın - $ - \ frac (4) (11) $. Alırız:

\ [\ başla (hizala) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ sol (- \ frak (11) (4) \ sağ) \ cdot \ sol (- \ frak (4) (11) \ sağ ) = - 11 \ cdot \ sol (- \ frac (4) (11) \ sağ); \\ & ((4) ^ (x)) = 4; \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)); \\ & x = 1. \\\ bitiş (hizalama) \]

Bu kadar! Orijinal denklemi en basitine indirgedik ve son cevabı aldık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde $ ((4) ^ (x)) $ ortak faktörünü bulduk (ve hatta parantezden çıkardık) - bu kararlı ifadedir. Yeni bir değişken olarak tanımlanabilir veya basitçe doğru bir şekilde ifade edilebilir ve cevaplanabilir. Her durumda, çözümün temel prensibi aşağıdaki gibidir:

Orijinal denklemde, tüm üstel fonksiyonlardan kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böyle istikrarlı bir ifadeye izin veriyor.

Ancak kötü haber şu ki, bu gibi ifadeler yanıltıcı olabilir ve seçilmesi zor olabilir. Bu nedenle, bir görevi daha analiz edeceğiz:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]

Belki şimdi birisinin bir sorusu olacaktır: “Paşa, taşlandın mı? Burada farklı bazlar var - 5 ve 0,2”. Ama dereceyi taban 0.2'den dönüştürmeye çalışalım. Örneğin, ondalık kesirden kurtulalım ve onu normal olana getirelim:

\ [((0,2) ^ (- x-1)) = ((0,2) ^ (- \ sol (x + 1 \ sağ))) = ((\ sol (\ frac (2) (10)) ) \ sağ)) ^ (- \ sol (x + 1 \ sağ))) = ((\ sol (\ frac (1) (5) \ sağ)) ^ (- \ sol (x + 1 \ sağ)) ) \]

Gördüğünüz gibi, paydada da olsa 5 sayısı hala ortaya çıktı. Aynı zamanda, gösterge negatif olarak yeniden yazılmıştır. Ve şimdi birini hatırlıyoruz temel kurallar derecelerle çalışın:

\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Sağ Ok ((\ sol (\ frac (1) (5) \ sağ)) ^ ( - \ sol (x + 1 \ sağ))) = ((\ sol (\ frac (5) (1) \ sağ)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]

Burada elbette biraz aldattım. Çünkü tam bir anlayış için olumsuz göstergelerden kurtulmanın formülünün şöyle yazılması gerekiyordu:

\ [((a) ^ (- n)) = \ frak (1) (((a) ^ (n))) = ((\ sol (\ frak (1) (a) \ sağ)) ^ (n )) \ Sağ ok ((\ sol (\ frac (1) (5) \ sağ)) ^ (- \ sol (x + 1 \ sağ))) = ((\ sol (\ frac (5) (1) \ sağ)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \]

Öte yandan, hiçbir şey bizi tek bir kesirle çalışmaktan alıkoyamadı:

\ [((\ sol (\ frac (1) (5) \ sağ)) ^ (- \ sol (x + 1 \ sağ))) = ((\ sol ((5) ^ (- 1)) \ sağ)) ^ (- \ sol (x + 1 \ sağ))) = ((5) ^ (\ sol (-1 \ sağ) \ cdot \ sol (- \ sol (x + 1 \ sağ) \ sağ) )) = ((5) ^ (x + 1)) \]

Ancak bu durumda, dereceyi başka bir dereceye yükseltebilmeniz gerekir (unutmayın: bu durumda göstergeler toplanır). Ama kesirleri "ters çevirmek" zorunda değildim - belki bazıları için daha kolay olacaktır. :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\ [\ start (hizalama) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ bitiş (hizalama) \]

Böylece, orijinal denklemi çözmenin daha önce düşünülenden daha kolay olduğu ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine azaltıldı. Sadece $ 1 = ((5) ^ (0)) $ olduğunu hatırlamak için kalır, nereden geliyoruz:

\ [\ başla (hizala) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)); \\ & x + 2 = 0; \\ & x = -2. \\\ bitiş (hizalama) \]

Bütün çözüm bu! Son cevabı aldık: $ x = -2 $. Aynı zamanda, bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir tekniğe dikkat çekmek istiyorum:

Üstel denklemlerde, kurtulduğunuzdan emin olun. ondalık kesirler, onları normal olanlara dönüştürün. Bu, derecelerin aynı tabanlarını görmenizi sağlayacak ve çözümü büyük ölçüde basitleştirecektir.

daha fazlasına geçelim karmaşık denklemler, genellikle derece yardımıyla birbirine indirgenemeyen farklı bazların bulunduğu.

Derece özelliğini kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz olduğunu hatırlatmama izin verin:

\ [\ başla (hizala) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ bitiş (hizalama) \]

Buradaki temel zorluk, neye ve hangi nedenle yol açacağının net olmamasıdır. Küme ifadeleri nerede? Aynı gerekçeler nerede? Bunun hiçbiri yok.

Ama diğer tarafa gitmeyi deneyelim. Eğer hazır özdeş bazlar yoksa mevcut bazları çarpanlarına ayırarak bulmaya çalışabilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\ [\ başla (hizala) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Rightarrow ((21) ^ (3x)) = ((\ sol (7 \ cdot 3 \ sağ)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ bitiş (hizalama) \]

Ancak bunun tersini yapabilirsiniz - 21 sayısını 7 ve 3 sayılarından oluşturun. Her iki derecenin göstergeleri aynı olduğundan, bunu solda yapmak özellikle kolaydır:

\ [\ başla (hizala) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ sol (7 \ cdot 3 \ sağ)) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (x + 6)); \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & x + 6 = 3x; \\ & 2x = 6; \\ & x = 3. \\\ bitiş (hizalama) \]

Bu kadar! Üssü çarpımın dışına çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denklemle ilgilenelim. Burada her şey çok daha karmaşık:

\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0.09 \]

\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ sol (\ frak (27) (10) \ sağ)) ^ (1-x)) = \ frak (9) (100) \]

Bu durumda, kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabilirse, onu azalttığınızdan emin olun. Çoğu zaman bu, üzerinde çalışılacak ilginç temeller yaratacaktır.

Ne yazık ki, ülkemizde gerçekten hiçbir şey ortaya çıkmadı. Ancak üründe soldaki üslerin zıt olduğunu görüyoruz:

Size hatırlatmama izin verin: göstergedeki eksi işaretinden kurtulmak için kesriyi “çevirmeniz” yeterlidir. Peki, orijinal denklemi yeniden yazalım:

\ [\ start (hizalama) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ sol (\ frac (10) (27) \ sağ)) ^ (x-1)) = \ frac (9 )(100); \\ & ((\ sol (100 \ cdot \ frak (10) (27) \ sağ)) ^ (x-1)) = \ frak (9) (100); \\ & ((\ sol (\ frak (1000) (27) \ sağ)) ^ (x-1)) = \ frak (9) (100). \\\ bitiş (hizalama) \]

İkinci satırda, $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ left (a \ cdot b \ right)) ^ (x)) $ ve ikincisinde 100 sayısını bir kesirle çarpmışlar.

Şimdi soldaki (altta) ve sağdaki sayıların biraz benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, açıktır: aynı sayıdaki güçlerdir! Sahibiz:

\ [\ start (hizalama) & \ frac (1000) (27) = \ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ sol (\ frac ( 10) (3) \ sağ)) ^ (3)); \\ & \ frak (9) (100) = \ frak (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ sol (\ frak (3) (10)) \ sağ)) ^ (2)). \\\ bitiş (hizalama) \]

Böylece denklemimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\ [(\ sol ((\ sol (\ frac (10) (3) \ sağ)) ^ (3)) \ sağ)) ^ (x-1)) = ((\ sol (\ frac (3)) ) (10) \ sağ)) ^ (2)) \]

\ [(\ sol ((\ sol (\ frac (10) (3) \ sağ)) ^ (3)) \ sağ)) ^ (x-1)) = ((\ sol (\ frac (10) ) (3) \ sağ)) ^ (3 \ sol (x-1 \ sağ))) = ((\ sol (\ frac (10) (3) \ sağ)) ^ (3x-3)) \]

Bu durumda, sağda, aynı temele sahip bir derece de alabilirsiniz, bunun için kesri basitçe "çevirmek" yeterlidir:

\ [(\ sol (\ frak (3) (10) \ sağ)) ^ (2)) = ((\ sol (\ frac (10) (3) \ sağ)) ^ (- 2)) \]

Son olarak denklemimiz şu şekli alacaktır:

\ [\ başla (hizala) & ((\ sol (\ frak (10) (3) \ sağ)) ^ (3x-3)) = ((\ sol (\ frak (10) (3) \ sağ)) ^ (- 2)); \\ & 3x-3 = -2; \\ & 3x = 1; \\ & x = \ parça (1) (3). \\\ bitiş (hizalama) \]

Bütün çözüm bu. Ana fikri, farklı gerekçelerle bile, bu gerekçeleri bir ve aynı hale getirmeye çalışmamızdır. Bunda, derecelerle çalışmak için denklemlerin ve kuralların temel dönüşümleri bize yardımcı olur.

Ama hangi kurallar ve ne zaman kullanılır? Bir denklemde her iki tarafı bir şeye bölmeniz ve diğerinde üstel fonksiyonun tabanını dışlamanız gerektiğini nasıl anlayabilirim?

Bu sorunun cevabı tecrübe ile gelecektir. İlk önce basit denklemler üzerinde elinizi deneyin ve ardından sorunları yavaş yavaş karmaşıklaştırın - ve çok yakında becerileriniz aynı sınavdan veya herhangi bir bağımsız / test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Ve bu zor görevde size yardımcı olması için bir dizi denklem indirmenizi öneririm. bağımsız karar... Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi test edebilirsiniz.

Genel olarak, size başarılı bir eğitim diliyorum. Ve bir sonraki derste görüşmek üzere - orada yukarıda açıklanan yöntemlerin artık yeterli olmadığı gerçekten karmaşık üstel denklemleri analiz edeceğiz. Ve basit bir egzersiz de yeterli olmayacak. :)