İkisi farklı derecelerde.

Alfa gerçek sayı anlamına gelir. Yukarıdaki ifadelerdeki eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklerseniz hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Sonsuz kümeyi örnek alarak doğal sayılar, daha sonra dikkate alınan örnekler aşağıdaki gibi sunulabilir:

Matematikçiler, doğruluklarının görsel bir kanıtı için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere teflerle dans eden şamanlar olarak bakıyorum. Esasen, hepsi ya bazı odaların dolu olmadığı ve yeni misafirlerin taşındığı ya da ziyaretçilerin bir kısmının misafirlere yer açmak için (çok insanca) koridora atıldığı gerçeğine bağlı. Bu tür kararlar hakkındaki görüşümü Sarışın hakkında harika bir hikaye şeklinde sundum. Mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçinin yerini değiştirmek sonsuz zaman alır. Bir misafir için ilk odayı boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri yüzyılın sonuna kadar odasından diğerine koridor boyunca her zaman yürüyecektir. Tabii ki, zaman faktörü aptalca göz ardı edilebilir, ancak zaten "yasa aptallar için yazılmaz" kategorisinden olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teorilere uyacak şekilde ayarlamak ya da tam tersi.

"Sonsuz otel" nedir? Sonsuz bir otel, her zaman herhangi bir sayıda otele sahip olan bir oteldir. boş yerler, kaç numara meşgul olursa olsun. Sonsuz ziyaretçi koridorundaki tüm odalar doluysa misafir odalarıyla birlikte bir başka sonsuz koridor daha vardır. Sonsuz sayıda bu tür koridorlar olacak. Üstelik "sonsuz otel" sonsuz sayıda Tanrı tarafından yaratılmış sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende sonsuz sayıda binada sonsuz sayıda kata sahiptir. Ancak matematikçiler kendilerini sıradan gündelik problemlerden uzak tutamazlar: Tanrı-Allah-Buda her zaman birdir, otel birdir, koridor sadece birdir. İşte matematikçiler ve otel odalarının seri numaralarını manipüle etmeye çalışıyorlar ve bizi "malzemeleri içeri sokmanın" mümkün olduğuna ikna ediyorlar.

Akıl yürütmemin mantığını size sonsuz bir doğal sayılar kümesi örneğinde göstereceğim. İlk olarak, çok basit bir soruyu cevaplamanız gerekiyor: Kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa daha çok mu? Bu sorunun doğru bir cevabı yok, çünkü sayıları kendimiz icat ettik, Doğada sayı yoktur. Evet, Doğa sayma konusunda mükemmeldir, ancak bunun için bize aşina olmayan diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın düşündüğü gibi, size başka bir zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimize göre, kaç tane doğal sayı kümesi olduğuna kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bir bilim insanına yakışır şekilde her iki seçeneği de göz önünde bulundurun.

Seçenek bir. Rafta sakince duran tek bir doğal sayılar kümesi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak hiçbir yer yok. Zaten elimizde olduğu için bu sete bir tane ekleyemiyoruz. Ve eğer gerçekten istiyorsan? Sorun değil. Daha önce almış olduğumuz setten bir tane alıp rafa geri koyabiliyoruz. Bundan sonra raftan bir ünite alıp kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak, yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde ederiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:

Cebirsel notasyon sistemindeki ve küme teorisinde benimsenen notasyon sistemindeki eylemleri, kümenin öğelerinin ayrıntılı bir numaralandırmasıyla yazdım. Alt simge, bir ve tek doğal sayılar kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Görünen o ki, doğal sayılar kümesi ancak ondan çıkarılıp aynı birimi toplarsa değişmeden kalacaktır.

İkinci Seçenek. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Vurgularım - FARKLI, pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen. Bu setlerden birini alıyoruz. Sonra başka bir doğal sayı kümesinden bir tane alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesi ekleyebiliriz. İşte aldığımız şey:

"Bir" ve "iki" alt simgeleri, bu öğelerin farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet, sonsuz kümeye bir tane eklerseniz sonuç da sonsuz bir küme olur ama orijinal küme ile aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklersek, sonuç ilk iki kümenin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz küme olur.

Bir cetvelde olduğu gibi, saymak için de pek çok doğal sayı kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu zaten orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacak.

Mantığımı kabul edebilir veya etmeyebilirsiniz - bu sizin kendi işiniz. Ancak matematiksel problemlerle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçiler tarafından çiğnenmiş yanlış akıl yürütme yolunu takip edip etmediğinizi düşünün. Sonuçta, matematik yapmak, her şeyden önce, içimizde istikrarlı bir düşünce klişesi oluşturur ve ancak o zaman bize zihinsel yetenekler ekler (veya tam tersine, bizi özgür düşünceden mahrum eder).

4 Ağustos 2019 Pazar

Hakkında bir makaleye dipnot yazıyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:

Okuduk: "... zengin teorik temel Babil'in matematiği bütünsel bir karaktere sahip değildi ve ortak bir sistem ve kanıt temelinden yoksun bir dizi farklı tekniğe indirgendi. "

Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmamız zor mu? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek, kişisel olarak aşağıdakileri aldım:

Modern matematiğin zengin teorik temeli bütünsel değildir ve ortak bir sistem ve kanıt temelinden yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenir.

Sözlerimi doğrulamak için fazla ileri gitmeyeceğim - matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve sözleşmelerinden farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Modern matematiğin en bariz hatalarına bir dizi yayın ayırmak istiyorum. Yakında görüşürüz.

Cumartesi, 3 Ağustos 2019

Bir kümeyi alt kümelere nasıl bölersiniz? Bunu yapmak için, seçilen kümenin bazı öğeleri için mevcut olan yeni bir ölçü birimi girmek gerekir. Bir örneğe bakalım.

bize çok olsun A dört kişiden oluşuyor. Bu küme "insanlar" temelinde oluşturulmuştur. Bu kümenin elemanlarını harfle gösterelim. a, basamaklı bir alt simge, bu kümedeki her kişinin sıra numarasını gösterecektir. Yeni bir "seks" ölçü birimi tanıtalım ve onu harfle gösterelim. B... Cinsel özellikler tüm insanlarda doğuştan olduğundan, kümenin her bir öğesini çarparız. A cinsiyete göre B... Artık "insan" kalabalığımızın "cinsiyet özelliklerine sahip bir insan" kalabalığı haline geldiğini unutmayın. Bundan sonra cinsiyet özelliklerini eril olarak ayırabiliriz. bm ve kadınlar en iyi kadın cinsel özellikler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Bu cinsiyet özelliklerinden birini seçiyoruz, hangisinin erkek veya kadın olduğu önemli değil. Bir kişide varsa bir ile çarparız, böyle bir işaret yoksa sıfırla çarparız. Sonra normal okul matematiğini uygularız. Ne olduğunu görün.

Çarpma, indirgeme ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt kümemiz oldu: erkeklerin alt kümesi Bm ve kadınların bir alt kümesi bw... Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken aynı şeyi düşünürler. Ama bizi ayrıntılara adamıyorlar, bitmiş bir sonuç veriyorlar - "birçok insan bir erkek alt kümesinden ve bir kadın alt kümesinden oluşuyor." Doğal olarak yukarıdaki dönüşümlerde matematiğin ne kadar doğru uygulandığını merak edebilirsiniz. Sizi temin ederim ki, aslında, dönüşümler doğru yapıldı, aritmetiğin matematiksel temelini, Boole cebrini ve matematiğin diğer dallarını bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka bir zaman sana anlatırım.

Süper kümelere gelince, bu iki kümenin öğeleri için mevcut olan ölçü birimini seçerek iki kümeyi tek bir üst kümede birleştirebilirsiniz.

Gördüğünüz gibi, ölçü birimleri ve yaygın matematik, küme teorisini geçmişte bırakıyor. Küme teorisinin doğru olmadığının bir göstergesi, matematikçilerin küme teorisi için kendi dili ve kendi atamaları. Bir zamanlar şamanların yaptığını matematikçiler yaptı. Sadece şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" uygulayacaklarını bilirler. Bize bu "bilgiyi" öğretiyorlar.

Son olarak, size matematikçilerin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.

7 Ocak 2019 Pazartesi

MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. Kulağa şöyle geliyor:

Diyelim ki Aşil bir kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve ondan bin adım geride. Akhilleus'un bu mesafeyi kat etmesi için gereken süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünecek ve bu böyle devam edecek. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil asla kaplumbağaya yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok olarak geldi. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim dünyası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, konunun çalışmasına yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruya genel kabul görmüş bir çözüm haline gelmedi ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.

Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında büyüklükten geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulamayı ima eder. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini kullanmak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi bir tuzağa düşürür. Düşünmenin ataletiyle, karşılıklı zaman için sabit zaman ölçü birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısından, Aşil'in kaplumbağa ile aynı hizada olduğu anda tamamen durana kadar zaman genişlemesi gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.

Alıştığımız mantığı ters çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil sonsuz hızla kaplumbağayı yakalayacaktır" demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınabilirsiniz? Sabit zaman birimlerinde kalın ve geriye gitmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşacağı süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünecektir. Bir sonraki zaman aralığında, birincisine eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ancak bu, soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının aşılamazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benzer. Hala bu sorunu incelemek, yeniden düşünmek ve çözmek zorundayız. Ve çözüm sonsuz sayıda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.

Bir başka ilginç aporia Zeno, uçan bir oku anlatıyor:

Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu çıkmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - zamanın her anında, uçan bir okun uzayda farklı noktalarda durduğunu ve aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada başka bir noktaya dikkat edilmelidir. Yoldaki bir arabanın tek bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Arabanın hareketi gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan zaman içinde farklı noktalarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak onlardan olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak onlardan hareket gerçeğini belirleyemezsiniz (elbette, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) . Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğudur, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Size zaten, hangi şamanların gerçekliği "" ayırmaya çalıştıklarını söyledim. Nasıl yapıyorlar? Bir kümenin oluşumu gerçekte nasıl gerçekleşir?

Bir kümenin tanımına yakından bakalım: "bir küme çeşitli unsurlar, bir bütün olarak düşünülebilir. "Şimdi iki ifade arasındaki farkı hissedin:" bir bütün olarak düşünülebilir "ve" bir bütün olarak düşünülebilir. "tek bütün"). Aynı zamanda, "bütün"ü "tek bir bütün" içinde birleştirmeyi sağlayan faktör dikkatle izlenir, aksi takdirde şamanlar başarılı olamaz. bize hangi seti göstermek istediklerini önceden bilirler.

İşlemi bir örnekle göstereyim. "Sivilcede kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütün"ümüz. Aynı zamanda görüyoruz ki bu işler yaylı ama yay yok. Bundan sonra "bütün" in bir parçasını seçiyoruz ve "yaylı" bir set oluşturuyoruz. Şamanlar kendi küme teorilerini gerçeğe bağlayarak kendilerini bu şekilde beslerler.

Şimdi biraz kirli numara yapalım. "Yaylı bir sivilcede katı" alın ve kırmızı öğeleri seçerek bu "bütünleri" renge göre birleştirin. Bir sürü "kırmızı" aldık. Şimdi doldurulması gereken bir soru: "yaylı" ve "kırmızı" sonuçtaki kümeler aynı küme mi yoksa iki farklı küme mi? Cevabı sadece şamanlar bilir. Daha doğrusu, kendileri hiçbir şey bilmiyorlar, ama dedikleri gibi, öyle olsun.

Bu basit örnek, gerçekliğe gelince küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu göstermektedir. Sır nedir? Bir "yay ile bir tümseğe kırmızı katı" seti oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü birimine göre gerçekleşti: renk (kırmızı), güç (düz), pürüzlülük (sivilcede), süsler (yay ile). Yalnızca bir dizi ölçüm birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamayı mümkün kılar.... Göründüğü şey bu.

Farklı indekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini ifade eder. Ölçü birimleri, ön aşamada "bütün"ün tahsis edildiği parantez içinde vurgulanmıştır. Parantezlerin içinden kümeyi oluşturan ölçü birimi alınır. Son satır, nihai sonucu gösterir - kümenin öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimleri kullanırsak, sonuç eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansı değil. Şamanlar "sezgisel olarak" aynı sonuca ulaşabilirler, "açıklıkla" tartışarak, çünkü ölçü birimleri onların "bilimsel" cephaneliklerine dahil değildir.

Birimleri bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek için kullanmak çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.

Cumartesi, 30 Haziran 2018

Matematikçiler bir kavramı başka kavramlara indirgeyemiyorlarsa, matematikten hiçbir şey anlamazlar. Cevap veriyorum: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Cevap çok basit: sayılar ve birimler.

Bugün, almadığımız her şey bir kümeye aittir (matematikçilerin bize temin ettiği gibi). Bu arada, aynada alnında ait olduğun takımların bir listesini gördün mü? Ve ben böyle bir liste görmedim. Daha fazlasını söyleyeceğim - gerçekte tek bir şeyin bu şeyin ait olduğu kümelerin listesini içeren bir etiketi yoktur. Çokluk, şamanların tüm icatlarıdır. Nasıl yapıyorlar? Tarihte biraz daha derine bakalım ve şamanik matematikçiler onları kümelerine ayırmadan önce bir kümenin öğelerinin neye benzediğini görelim.

Uzun zaman önce, hiç kimsenin matematiği duymadığı ve yalnızca ağaçların ve Satürn'ün halkaları olduğu zamanlarda, fiziksel alanlarda devasa vahşi küme elementleri sürüleri dolaşıyordu (sonuçta şamanlar henüz matematiksel alanları icat etmemişlerdi). Böyle bir şeye benziyorlardı.

Evet, şaşırmayın, matematik açısından, kümelerin tüm öğeleri en çok benzerdir. deniz kestaneleri- bir noktadan, iğneler gibi, ölçü birimleri her yöne yapışır. Herhangi bir ölçü biriminin geometrik olarak keyfi uzunlukta bir segment ve bir sayı olarak bir nokta olarak temsil edilebileceğini hatırlatırım. Geometrik olarak, herhangi bir değer, bir noktadan farklı yönlerde çıkıntı yapan bir grup segment olarak temsil edilebilir. Bu nokta sıfır noktasıdır. Bu geometrik sanat parçasını çizmeyeceğim (ilham yok), ama kolayca hayal edebilirsiniz.

Hangi ölçü birimleri kümenin bir elemanını oluşturur? Bu öğeyi farklı bakış açılarından tanımlayan herkes. Bunlar, atalarımız tarafından kullanılan ve herkesin uzun zamandır unuttuğu eski ölçü birimleridir. Bunlar, şu anda kullandığımız modern ölçü birimleridir. Bunlar aynı zamanda torunlarımızın icat edeceği ve gerçekliği tanımlamak için kullanacakları bilinmeyen ölçü birimleridir.

Geometriyi bulduk - kümenin elemanlarının önerilen modelinin net bir geometrik temsili var. Peki ya fizik? Ölçü birimleri matematik ve fizik arasındaki doğrudan bağlantıdır. Şamanlar, ölçü birimlerini matematiksel teorilerin tam teşekküllü bir öğesi olarak kabul etmiyorlarsa, bu onların sorunudur. Şahsen, gerçek matematik bilimini ölçü birimleri olmadan hayal edemiyorum. Bu yüzden küme teorisi hakkındaki hikayemin en başında Taş Devri olarak bahsettim.

Ama en ilginç şeye geçelim - kümelerin elemanlarının cebirine. Cebirsel olarak, bir kümenin herhangi bir elemanı, farklı niceliklerin bir çarpımıdır (çarpma sonucu).

Küme teorisinin ortaya çıkmasından önce bir küme elemanını doğal ortamında incelediğimizden, küme teorisinin kurallarını kasten kullanmadım. Parantez içindeki her harf çifti, harfle belirtilen sayıdan oluşan ayrı bir değeri belirtir " n"ve harfle gösterilen ölçü birimleri" a". Harflerin yanındaki indeksler, sayıların ve ölçü birimlerinin farklı olduğunu gösterir. Kümenin bir elemanı sonsuz sayıda nicelikten oluşabilir (biz ve torunlarımız yeterli hayal gücüne sahip olduğumuz sürece). Her parantez geometrik olarak tasvir edilmiştir. ayrı bir segment olarak Deniz kestanesi örneğinde bir braket bir iğnedir.

Şamanlar farklı elementlerden nasıl kümeler oluşturur? Aslında, birimlere veya sayılara göre. Matematikten hiçbir şey anlamadan, farklı deniz kestanelerini alırlar ve üzerinde bir takım oluşturdukları o tek iğneyi aramak için dikkatlice incelerler. Böyle bir iğne varsa bu eleman kümeye aittir, böyle bir iğne yoksa bu kümeden olmayan bir elemandır. Şamanlar bize düşünce süreçleri ve tek bir bütün hakkında masallar anlatırlar.

Tahmin edebileceğiniz gibi, aynı eleman çok farklı kümelere ait olabilir. Ayrıca size kümelerin, alt kümelerin ve diğer şamanik saçmalıkların nasıl oluşturulduğunu göstereceğim. Gördüğünüz gibi, "bir kümede iki özdeş eleman olamaz", ancak bir kümede aynı elemanlar varsa, böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Böyle bir saçmalık mantığı, akıl sahibi varlıklar tarafından asla anlaşılmayacaktır. Bu, "tamamen" kelimesinden zeka yoksunu konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz ederek sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü yapan mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, beceriksiz mühendis yarattığı molozun altında öldü. Köprü yüke dayanabilseydi, yetenekli bir mühendis başka köprüler inşa ederdi.

Matematikçiler "chur, ben evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansın, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. uygulanabilir matematiksel teori matematikçilerin kendilerine ayarlar.

Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturmuş maaş veriyoruz. İşte bize parası için bir matematikçi geliyor. Tüm tutarı ona sayarız ve masamıza aynı değerdeki faturaları koyduğumuz farklı yığınlara koyarız. Sonra her yığından bir fatura alıp matematikçiye “matematiksel maaş setini” veriyoruz. Sadece aynı elemanları olmayan bir kümenin aynı elemanlara sahip bir kümeye eşit olmadığını ispatladığı zaman kalan faturaları alacağının matematiğini açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: "Başkalarına uygulayabilirsiniz, bana uygulayamazsınız!" Ayrıca, aynı değere sahip senetler üzerinde farklı banknot numaralarının bulunduğundan emin olmaya başlayacağız, bu da bunların aynı unsurlar olarak kabul edilemeyeceği anlamına gelir. Tamam, maaşı madeni para olarak sayalım - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi fiziği çılgınca hatırlamaya başlayacaktır: farklı madeni paraların farklı miktarlarda kirleri vardır, her madeni paradaki atomların kristal yapısı ve düzeni benzersizdir ...

Ve şimdi en fazlasına sahibim faiz sor: ötesinde çoklu kümenin öğelerinin kümenin öğelerine dönüştüğü ve bunun tersinin olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim buraya yakın hiçbir yerde yalan söylemedi.

Buraya bak. Aynı sahaya sahip futbol stadyumları seçiyoruz. Alanların alanı aynıdır, yani bir multisetimiz var. Ama aynı statların isimlerini düşünürsek çok şey alırız çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı eleman kümesi aynı anda hem küme hem de çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller kolundan bir koz ası çıkarır ve bize ya kümeden ya da çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların onu gerçeğe bağlayarak küme teorisiyle nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri diğer kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? "Tek bir bütün olarak düşünülemez" ya da "bir bütün olarak düşünülemez" olmadan size göstereceğim.

1'den 10'a kadar sayıların derece tablosu. Çevrimiçi derece hesaplayıcı. Yüksek kaliteli interaktif tablo ve dereceli tablo görüntüleri.

Derece hesaplayıcı

Sayı

Derece

\ başlangıç ​​(hizalama) \ bitiş (hizalama)

Bu hesap makinesi ile herhangi bir doğal sayının gücünü çevrimiçi olarak hesaplayabilirsiniz. Sayıyı, dereceyi girin ve "hesapla" düğmesini tıklayın.

1'den 10'a kadar not tablosu

1'den 10'a kadar not tablosu

teori

Derecesi Bir sayının kendi başına çoklu çarpma işlemi için kısaltılmış bir gösterimdir. Bu durumda sayının kendisi denir - temel derece, ve çarpma işlemlerinin sayısı üs.

bir n = bir × bir ... × bir

giriş okunur: "A" için "n" kuvveti.

"A" derecenin temelidir

"N" - üs

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Bu ifade şu şekilde okunur: 4 üzeri 6'nın kuvveti veya dört sayısının altıncı kuvveti veya dört sayısı altıncı kuvvete yükseltilir.

Derece tablosunu indirin

• Daha geniş görüntü için resmin üzeirne tıklayın.
• Resmi bilgisayarınıza kaydetmek için "indir" işaretine tıklayın. görüntü ile olacak yüksek çözünürlük ve kaliteli.

Numarayı ve dereceyi girin, ardından = tuşuna basın.

Derece tablosu

Derece özellikleri - 2 kısım

Cebirde kompakt bir biçimde temel dereceler tablosu (resim, basmak için uygun), sayının üstünde, derecenin yanında.

İlki 1'e eşit ve sonraki her biri iki kat daha büyük olan bir sayı dizisini ele alalım: 1, 2, 4, 8, 16, ... Üsler kullanılarak eşdeğer biçimde yazılabilir: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... Oldukça beklendiği gibi denir: iki kuvvet dizisi.İçinde olağanüstü bir şey yok gibi görünüyor - bir dizi olarak tutarlılık, diğerlerinden daha iyi ve daha kötü değil. Bununla birlikte, çok dikkat çekici özelliklere sahiptir.

Kuşkusuz, birçok okuyucu, cetvelden bir buğday tanesi için satranç tahtasının ilk karesi için ödül olarak, ikinci - iki, üçüncü - dört ve böylece, tüm bu süre boyunca tahıl sayısını iki katına çıkarın. Toplam sayılarının olduğu açıktır.

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Ancak bu miktar inanılmaz derecede büyük olduğundan ve dünyadaki yıllık tahıl hasadını birçok kez aştığından, bilgenin cetveli yapışkan bir cetvel gibi yırttığı ortaya çıktı.

Ancak şimdi kendimize başka bir soru soralım: değer nasıl hesaplanır? S? Bir hesap makinesinin (veya dahası, bir bilgisayarın) sahipleri, öngörülebilir bir gelecekte çarpma işlemlerini gerçekleştirebilir ve ardından ortaya çıkan 64 sayıyı ekleyerek yanıtı alabilir: 18 446 744 073 709 551 615. Ve hesaplamaların miktarı önemli olduğundan, hata olasılığı çok yüksektir.

Bu dizide kimin daha kurnaz olduğunu görebilir geometrik ilerleme... Bu kavrama aşina olmayanlar (veya geometrik bir ilerlemenin toplamı için standart formülü unutmuş olanlar) aşağıdaki akıl yürütmeyi kullanabilirler. Eşitliğin (1) her iki tarafını da 2 ile çarpalım. İkinin kuvvetini ikiye katlamak üssünü 1 artırdığına göre, şunu elde ederiz.

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Şimdi (1)'i (2)'den çıkarıyoruz. Sol tarafta, tabii ki, 2 olsun S – S = S... Sağ tarafta, 2 1'den 2 63'e kadar neredeyse tüm güçlerin büyük bir karşılıklı imhası olacak ve sadece 2 64 - 2 0 = 2 64 - 1 kalacak.

S = 2 64 – 1.

Eh, ifade gözle görülür şekilde daha basit hale geldi ve şimdi, bir güce yükseltmenize izin veren bir hesap makinesine sahip olduğunuzda, bu değerin değerini en ufak bir sorun olmadan bulabilirsiniz.

Ve hesap makinesi yoksa - ne yapmalı? Sütun 64 ikiliyi çarpar mı? Başka ne eksikti! Ana faktörün zaman olduğu deneyimli bir mühendis veya uygulamalı matematikçi, hızlı bir şekilde tahmin etmek cevap, yani kabul edilebilir bir doğrulukla yaklaşık olarak bulun. Kural olarak, günlük yaşamda (ve çoğu Doğa Bilimleri) %2-3'lük bir hata oldukça kabul edilebilir ve %1'i geçmiyorsa, bu harika! Böyle bir hatayla tahıllarımızı hiç hesap makinesi kullanmadan ve sadece birkaç dakika içinde hesaplamanın mümkün olduğu ortaya çıktı. Nasıl? Şimdi göreceksin.

Bu yüzden 64 ikilinin çarpımını mümkün olduğunca doğru bulmamız gerekiyor (önemsizliğinden dolayı birimi bir kerede atacağız). Onları 4'erli ayrı bir gruba ve 10'arlı 6 gruba ayıralım. Ayrı bir gruptaki ikililerin çarpımı 2 4 = 16'ya eşittir. Diğer grupların her birinde 10 ikilinin çarpımı 2 10 = 1024'e eşittir (kim şüphe etsin!). Ama 1024 yaklaşık 1000'dir, yani. 10 3. Bu yüzden S her biri 10 3'e eşit olan 16'ya 6 sayının çarpımına yakın olmalıdır, yani. S ≈ 16 10 18 (18 = 3 6 için). Doğru, buradaki hata hala çok büyük: sonuçta, 6 kez, 1024'ü 1000 ile değiştirirken, 1.024 faktörü ile yanıldık ve toplamda, görülmesi kolay olduğu gibi 1.024 faktörü ile yanıldık 6 zamanlar. Şimdi, 1.024'ü altı kez kendisiyle ayrıca çarpalım mı? Hayır, yapacağız! numarası olduğu bilinmektedir. NS, çoğu zaman 1'den küçüktür, aşağıdaki yaklaşık formül yüksek doğrulukla geçerlidir: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Bu nedenle 1.024 6 = (1 + 0.24) 6 ≈ 1 + 0.24 6 = 1.144. Bu nedenle, bulduğumuz 16 · 10 18 sayısını 1.144 sayısı ile çarpmak gerekiyor, bu da 18 304 000 000 000 000 ile sonuçlanıyor ve bu, doğru cevaptan %1'den daha az farklılık gösteriyor. İstediğimiz buydu!

Bu durumda, çok şanslıydık: iki kuvvetten biri (yani onuncu), on kuvvetten birine (yani üçüncü) çok yakın çıktı. Bu, 64'üncü değil, ikinin herhangi bir gücünün değerini hızlı bir şekilde tahmin etmemizi sağlar. Diğer sayıların güçleri arasında bu nadirdir. Örneğin, 5 10, 107'den 1.024 faktörü ile de farklıdır, ancak ... daha küçük bir yönde. Ancak, bu bir dut ile aynı alandır: 2 10 5 10 = 10 10 olduğuna göre, o zaman kaç kere 2 10 aşıyor 10 3, aynı sayıda 5 10 daha küçük 10 7'den fazla

Söz konusu dizinin bir başka ilginç özelliği de, herhangi bir doğal sayının aşağıdakilerden oluşturulabilmesidir. çeşitli benzersiz bir şekilde iki güç. Örneğin, elimizdeki mevcut yıl numarası için

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Bu olasılığı ve benzersizliği kanıtlamak, özel emek... İle başlayalım olasılıklar.İki doğal sayının çeşitli kuvvetlerinin toplamı şeklinde temsil etmemiz gerektiğini varsayalım. n... İlk önce toplam olarak yazıyoruz. n birimler. Bir 2 0 olduğundan, başlangıçta n bir miktar var aynısı iki güç. O zaman onları eşleştirmeye başlayalım. 2 0'a eşit iki sayının toplamı 2 1'dir, yani sonuç açıkçası daha az bir çift bulamadıysa, 2 1'e eşit terim sayısı ve muhtemelen bir sayı 2 0. Daha sonra, aynı 2 1 terimlerini çiftler halinde birleştirerek daha da az sayıda 2 2 elde ederiz (burada da iki 2 1'in eşleşmemiş bir gücünün görünümü mümkündür). Sonra yine eşit terimleri çiftler halinde birleştiririz, vb. Er ya da geç süreç sona erecek, çünkü her birleşmeden sonra iki eşit kuvvetin sayısı azalır. 1'e eşit olduğunda, bitmiştir. Elde edilen tüm eşleşmemiş iki gücü toplamaya devam ediyor - ve sunum hazır.

kanıtlara gelince benzersizlik temsil, "çelişki yoluyla" yöntemi burada çok uygundur. Aynı sayı olsun nşeklinde sunulmayı başardı. 2 tam olarak örtüşmeyen iki farklı kuvvet kümesi (yani, bir kümede yer alan, ancak başka bir kümede bulunmayan iki kuvvet vardır ve bunun tersi de geçerlidir). İlk olarak, her iki kümeden (varsa) ikisinin çakışan tüm güçlerini atın. Aynı sayının iki temsilini alırsınız (küçük veya eşit n) ikisinin çeşitli güçlerinin toplamı olarak ve herşey temsillerde derece farklı... Temsillerin her birinde, en iyisi derece. Yukarıdakiler sayesinde, iki temsil için bu dereceler farklı... Bu derecenin daha büyük olduğu temsil çağrılacak ilk, bir diğeri - ikinci... Öyleyse, ilk temsilde en büyük derece 2'dir. m, o zaman ikincisinde açıkça 2'yi geçmez m-1. Ama (ve bununla yukarıda, satranç tahtasındaki taneleri sayarken zaten karşılaşmıştık) beri, eşitlik doğrudur.

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

sonra 2 m kesinlikle daha fazla ikinin tüm güçlerinin toplamı 2'yi geçmez m-1. Bu nedenle, zaten birinci temsilde yer alan ikinin en büyük kuvveti, muhtemelen toplamdan daha büyüktür. tümünden ikinci temsilde yer alan ikisinin yetkileri. çelişki!

Aslında, sayılar yazma olasılığını az önce haklı çıkardık. ikili sayı sistemi. Bildiğiniz gibi sadece iki rakam kullanır - sıfır ve bir ve her doğal sayı ikili sistemde benzersiz bir şekilde yazılır (örneğin, yukarıda belirtilen 2012 - 11 111 011 100 olarak). Rakamları (ikili basamaklar) sıfırdan başlayarak sağdan sola doğru numaralandırırsak, birlerin bulunduğu basamakların sayıları sadece temsilde yer alan ikilerin üsleri olacaktır.

İkinin negatif olmayan tamsayı kuvvetlerinin aşağıdaki özelliği daha az bilinir. Bazılarına keyfi olarak eksi işareti atayalım, yani olumlu olanları olumsuz yapalım. Tek şart, sonuç olarak, hem olumlu hem de negatif sayılar ortaya çıktı sonsuz miktarÖrneğin, ikinin her beşinci kuvvetine bir eksi işareti atayabilir veya örneğin yalnızca 2 10, 2 100, 2 1000 vb. sayıları pozitif bırakabilirsiniz - istediğiniz kadar seçenek vardır.

Şaşırtıcı bir şekilde, ancak herhangi bir tüm sayı (ve dahası, tek şekilde) bizim "pozitif-negatif" dizimizdeki çeşitli terimlerin toplamı olarak gösterilebilir. Ve bunu kanıtlamak çok zor değil (örneğin, ikilerin üsleri üzerinde tümevarımla). ana fikir kanıt - hem pozitif hem de negatif terimlerin mutlak değerinde keyfi olarak büyük varlığı. Kanıtı kendiniz tamamlamaya çalışın.

İkili kuvvetler dizisinin üyelerinin son rakamlarını gözlemlemek ilginçtir. Sıradaki her bir sonraki sayı bir öncekinin iki katına çıkarılarak elde edildiğinden, her birinin son basamağı tamamen bir önceki sayının son basamağı tarafından belirlenir. Ve sınırlı sayıda farklı basamak olduğundan, ikinin kuvvetlerinin son basamaklarının sırası basitçe şöyledir: mecbur periyodik ol! Periyodun uzunluğu elbette 10'u geçmez (çünkü bu kaç sayı kullandığımızdır), ancak bu çok fazla tahmin edilen bir değerdir. Dizinin kendisini yazmadan değerlendirmeye çalışalım. Açıktır ki, 2'nin tüm kuvvetlerinin son haneleri 2 1 ile başlar, hatta... Ek olarak, aralarında sıfır olamaz - çünkü sıfırla biten bir sayı 5'e bölünebilir ve iki kuvvetten şüphelenilemez. Ve sıfır olmadan sadece dört çift rakam olduğundan, periyodun uzunluğu 4'ü geçmez.

Doğrulama öyle olduğunu gösteriyor ve periyodiklik neredeyse anında ortaya çıkıyor: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - teoriye tam olarak uygun!

İki güç dizisinin son rakam çiftinin periyodunun uzunluğu, daha az başarılı bir şekilde tahmin edilemez. 2'nin 2 ile başlayan tüm kuvvetleri 4'e tam bölünebildiğinden, son iki basamağından oluşan sayılar 4'e bölünür. tek basamaklı sayılar sıfırı sondan bir önceki basamak olarak kabul ediyoruz), ancak onlardan sıfırla biten beş sayıyı atmak gerekiyor: 00, 20, 40, 60 ve 80. Bu nedenle, nokta 25 - 5 = 20'den fazla sayı içeremez. Kontrol bunun böyle olduğunu gösteriyor, nokta 2 2 ile başlıyor ve sayı çiftlerini içeriyor: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72 , 44, 88, 76, 52 ve ardından tekrar 04, vb.

Benzer şekilde, ikincisinin periyodunun uzunluğunun da kanıtlanabilir. m iki kuvvet dizisinin rakamları 4 5'i geçmez m-1 (dahası - aslında, o eşittir 4 5 m-1, ancak bunu kanıtlamak çok daha zor).

Bu nedenle, iki gücün son rakamlarına oldukça katı kısıtlamalar getiriliyor. Ve nasıl olur ilk sayılar? Burada durum pratikte tam tersidir. Bunun için ortaya çıkıyor herhangi Bir sayı kümesinin (birincisi sıfır olmayan) bu sayı kümesiyle başlayan ikinin kuvveti vardır. Ve böyle iki güç sonsuz sayıda!Örneğin, 2012 ile başlayan sonsuz sayıda iki kuvvet vardır veya diyelim ki 3 333 333 333 333 333 333 333.

Ve eğer ikinin çeşitli güçlerinin yalnızca bir ilk basamağını düşünürsek - hangi değerleri alabilir? Herhangi birinin 1'den 9'a kadar olduğundan emin olmak kolaydır (elbette aralarında sıfır yoktur). Fakat hangileri daha yaygın ve hangileri daha az yaygındır? Her nasılsa, bir sayının diğerinden daha sık ortaya çıkmasının nedenlerini hemen göremez. Bununla birlikte, daha derin yansımalar, tam olarak aynı sayıların oluşmasını beklememek gerektiğini göstermektedir. Gerçekten de, eğer ikinin herhangi bir kuvvetinin ilk basamağı 5, 6, 7, 8 veya 9 ise, o zaman ikinin bir sonraki kuvvetinin ilk basamağı zorunlu olacaktır. birim! Bu nedenle, en azından birliğe doğru bir "önyargı" olmalıdır. Sonuç olarak, rakamların geri kalanının "eşit olarak temsil edilmesi" olası değildir.

Uygulama (yani, ikinin ilk birkaç on binlerce kuvveti için doğrudan bilgisayar hesaplaması) şüphelerimizi doğrulamaktadır. 4 ondalık basamağa yuvarlanmış iki basamaklı kuvvetlerin ilk basamaklarının göreli kesri:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Gördüğünüz gibi, sayıların artmasıyla bu değer azalır (ve bu nedenle aynı birimin dokuzdan iki katın ilk basamağı olma olasılığı yaklaşık 6,5 kat daha fazladır). Garip görünebilir, ancak hemen hemen her derece dizisi için ilk basamakların sayılarının oranı pratik olarak aynı olacaktır - sadece iki değil, örneğin üç, beş, sekiz ve genel olarak hemen hemen her tamsayı olmayanlar da dahil olmak üzere sayılar (tek istisna bazı "özel" sayılardır). Bunun nedenleri çok derin ve karmaşıktır ve bunları anlamak için logaritmaları bilmeniz gerekir. Onlara aşina olanlar için perdeyi açalım: ondalık gösterimi bir rakamla başlayan, iki kuvvetin nispi kesrinin ortaya çıktığı ortaya çıktı. F(için F= 1, 2, ..., 9) lg'dir ( F+ 1) - lg ( F), burada lg sözde ondalık logaritma, logaritmanın işaretinin altındaki sayıyı elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken üsse eşittir.

A. Kanel, yukarıda bahsedilen iki ile beşin kuvvetleri arasındaki bağlantıyı kullanarak ilginç bir fenomen keşfetti. İki kuvvetin ilk basamaklarının dizisinden birkaç basamak seçelim (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) sözleşme ve onları yaz Ters sipariş... Bu sayıların mutlaka buluşacağı ortaya çıkıyor ayrıca üst üste, bir yerden başlayarak, beşin kuvvetlerinin ilk hanelerinin sırasına göre.

İkisinin güçleri aynı zamanda iyi bilinenlerin üretimi için bir tür "jeneratör". mükemmel sayılar, kendisi hariç tüm bölenlerinin toplamına eşittir. Örneğin, 6 sayısının dört böleni vardır: 1, 2, 3 ve 6. 6 sayısına eşit olanı atın. Toplamları 1 + 2 + 3 = 6 olan üç bölen vardır. Bu nedenle, 6 mükemmel bir sayıdır.

Mükemmel bir sayı elde etmek için ikinin ardışık iki kuvvetini alın: 2 n–1 ve 2 n... En büyüğünü 1 azaltarak 2 elde ederiz. n- 1. Bu bir asal sayıysa, o zaman onu ikinin önceki kuvvetiyle çarparak mükemmel sayı 2'yi oluşturduğumuz ortaya çıktı. n –1 (2n- 1). örneğin, için NS= 3, 4 ve 8 başlangıç ​​sayılarını elde ederiz. 8 - 1 = 7 bir asal sayı olduğundan, 4 · 7 = 28 mükemmel bir sayıdır. Üstelik - bir zamanlar Leonard Euler, her şeyin hatta mükemmel sayılar tam olarak buna benzer. Tek mükemmel sayılar henüz keşfedilmedi (ve çok az insan onların varlığına inanıyor).

İki gücün sözde ile yakın bir ilişkisi vardır. Katalan numaralarına göre, dizisi 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429 ... şeklindedir ... Genellikle çeşitli kombinatoryal problemleri çözerken ortaya çıkarlar. Örneğin, bir dışbükey kaç farklı şekilde olabilir? n- ayrık köşegenleri olan üçgenlere mi giriyorsunuz? Aynı Euler, bu değerin eşit olduğunu buldu ( n- 1) Katalan numarası (onu belirtiyoruz Kn-1), ve o da öğrendi Kn = Kn-on dört n – 6)/n... Katalan sayıları dizisinin birçok ilginç özelliği vardır ve bunlardan biri (sadece bu makalenin konusuyla ilgili), tüm tek Katalan sayılarının sıra sayılarının ikinin kuvvetleri olmasıdır!

İkinin güçleri genellikle çeşitli problemlerde ve sadece koşullarda değil, aynı zamanda cevaplarda da bulunur. Örneğin, bir zamanlar popüler olan (ve hala unutulmamış) Hanoi kulesi... Bu, 19. yüzyılda Fransız matematikçi E. Lucas tarafından icat edilen bulmaca oyununun adıydı. Biri ile donatılmış üç çubuk içerir n her birinin ortasında bir delik bulunan diskler. Tüm disklerin çapları farklıdır ve aşağıdan yukarıya doğru azalan düzende düzenlenmiştir, yani en büyük disk en alttadır (şekle bakınız). Bir disk kulesi gibi çıktı.

Bu kuleyi, aşağıdaki kurallara uyarak başka bir çubuğa aktarmak gerekir: diskleri birer birer kesin olarak kaydırın (üst diski herhangi bir çubuktan çıkararak) ve her zaman sadece daha küçük diski daha büyük olanın üzerine koyun, ancak tersi değil. Soru şu: Bunun için gereken en küçük hamle sayısı nedir? (Hareketle, bir çubuktan bir diski çıkarıp diğerine takmayı kastediyoruz.) Cevap: 2'ye eşittir. n- 1, tümevarımla kolayca kanıtlanabilir.

izin ver n diskler, gerekli minimum hareket sayısı X n... Bulmak x n+1. Çalışma sürecinde, er ya da geç, tüm disklerin orijinal olarak yerleştirildiği çubuktan en büyük diski çıkarmanız gerekecektir. Bu disk sadece boş bir çubuğa takılabileceğinden (aksi takdirde yasak olan daha küçük diski "bastıracaktır"), sonra tüm üst kısımlar n diskler önce üçüncü çubuğa aktarılmalıdır. Bu en azından gerektirecek X n hareket eder. Ardından, en büyük diski boş bir çubuğa aktarıyoruz - işte başka bir hareket. Son olarak, yukarıdan daha küçük "sıkmak" için n diskler, yine en azından ihtiyacınız olacak X n hareket eder. Yani, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n+ 1.Öte yandan, yukarıda açıklanan eylemler, görevle tam olarak nasıl başa çıkabileceğinizi gösterir 2 X n+ 1 hamle. Bu nedenle nihayet X n +1 =2X n+ 1. Bir yineleme bağıntısı elde edildi, ancak onu "normal" bir forma getirmek için ayrıca şunu da bulmak gerekiyor. x 1. Pekala, armutları bombalamak kadar kolay: x 1 = 1 (daha az olamaz!). Bu verilere dayanarak bunu bulmak zor değil. X n = 2n– 1.

İşte başka bir ilginç meydan okuma:

Ardışık birkaç (en az iki) doğal sayının toplamı olarak gösterilemeyen tüm doğal sayıları bulun.

Önce en küçük sayıları kontrol edelim. Belirtilen formdaki 1 sayısının temsil edilemez olduğu açıktır. Ancak 1'den büyük olan tüm garipler elbette hayal edilebilir. Gerçekten de, 1'den büyük herhangi bir tek sayı 2 olarak yazılabilir. k + 1 (k- doğal), ardışık iki doğal sayının toplamı: 2 k + 1 = k + (k + 1).

Peki ya çift sayılar? 2 ve 4 sayılarının gerekli biçimde temsil edilemeyeceğini görmek kolaydır. Belki de tüm çift sayılar için durum böyledir? Ne yazık ki, bir sonraki çift sayı varsayımımızı çürütüyor: 6 = 1 + 2 + 3. Ama 8 sayısı yine karşı çıkıyor. Doğru, aşağıdaki sayılar tekrar saldırıya yol açar: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, ancak 16 yine hayal edilemez.

Eh, biriken bilgiler ön sonuçlar çıkarmamıza izin veriyor. Lütfen dikkat: belirtilen biçimde sunulamadı sadece ikisinin yetkileri... Bu diğer sayılar için geçerli mi? Anlaşıldı, evet! Gerçekten de, tüm doğal sayıların toplamını düşünün mönce n dahil. Hepsi koşula göre en az iki olduğundan, o zaman n > m... Bildiğiniz gibi ardışık terimlerin toplamı aritmetik ilerleme(ve biz onunla uğraşıyoruz!) sayılarına göre ilk ve son terimlerin yarı toplamının çarpımına eşittir. Yarım toplam ( n + m) / 2 ve sayıların sayısı n – m+ 1. Bu nedenle, toplam ( n + m)(n – m+ 1) / 2. Payın her biri iki faktör içerdiğine dikkat edin. kesinlikle daha fazla 1 ve pariteleri farklıdır. Tüm doğal sayıların toplamının mönce n dahil, 1'den büyük bir tek sayı ile bölünebilir ve bu nedenle iki katı olamaz. Şimdi, ikisinin güçlerini gerekli biçimde temsil etmenin neden mümkün olmadığı açıktır.

Bundan emin olmak için kalır iki kişilik değil hayal edebilirsin. Tek sayılara gelince, onları yukarıda zaten ele aldık. İkinin kuvveti olmayan herhangi bir çift sayıyı alın. İkinin bölünebildiği en büyük kuvveti 2 olsun a (a- doğal). O zaman sayı 2'ye bölünürse a, zaten ortaya çıkacak garip tanıdık biçimde yazacağımız 1'den büyük bir sayı - 2 olarak k+ 1 (k- ayrıca doğal). Yani, toplamda, ikinin kuvveti olmayan çift sayımız 2'ye eşittir. a (2k+ 1). Şimdi iki seçeneğe bakalım:

1. 2 a+1 > 2k+ 1. Toplamı 2 alın k+ 1 ardışık doğal sayı, ortalama 2'ye eşit olan a... o zaman görmek kolay en az 2'ye eşit olan bir - k, ve en büyüğü 2 a + k ve en küçüğü (ve dolayısıyla diğerleri) pozitiftir, yani gerçekten doğaldır. Eh, ve toplam, açıkçası, tam olarak 2 a(2k + 1).
2. 2 a+1 < 2k+ 1. Toplamı 2 alın a+1 ardışık doğal sayılar. burada belirtemezsiniz ortalama sayı, çünkü sayıların sayısı çifttir, ancak bir çift orta yapabileceğiniz sayılar: bırakın sayı olsunlar k ve k+ 1. Sonra en az tüm sayıların k+ 1 – 2a(ve ayrıca olumlu!) ve en büyüğü k+ 2a... Bunların toplamı da 2'ye eşittir. a(2k + 1).

Bu kadar. O halde cevap şudur: temsil edilemeyen sayılar ikinin üsleridir ve tek sayıdırlar.

Ve işte başka bir problem (ilk olarak V. Arbitrary tarafından önerildi, ancak biraz farklı bir formülasyonda):

Bahçe alanı, N kalaslardan oluşan sağlam bir çitle çevrilidir. Polly Teyze'nin emrine göre, Tom Sawyer çiti badanalıyor, ama kendi sistemine göre: her zaman saat yönünde hareket ederek, önce keyfi bir tahtayı beyazlatıyor, sonra bir tahtayı atlıyor ve bir sonrakini beyazlıyor, sonra iki tahtayı atlıyor ve bir sonrakini beyazlıyor, sonra üç tahtayı atlar ve bir sonrakini beyazlatır ve her seferinde bir tahta daha atlayarak devam eder (bazı tahtalar birkaç kez badanalanabilir - bu Tom'u rahatsız etmez).

Tom, böyle bir planla, er ya da geç tüm tahtaların badanalanacağına inanıyor ve Polly Teyze, Tom ne kadar çalışırsa çalışsın en az bir tahtanın ağartılmamış kalacağından emin. Tom hangi N'ye göre haklı ve Polly Teyze hangi N'ye göre haklı?

Tarif edilen badana sistemi oldukça kaotik görünüyor, bu yüzden ilk başta herkes için (veya hemen hemen herhangi) n her tahta bir gün kireç payını alacak, yani, çoğunlukla, Tom haklı. Ama ilk izlenim aldatıcıdır çünkü aslında Tom sadece anlamlarda haklıdır. n, ki iki kuvvettir. Başkaları için n sonsuza kadar ağartılmamış kalacak bir tahta var. Bu gerçeğin kanıtı oldukça zahmetlidir (prensipte zor olmasa da). Okuyucunun bunu kendisinin yapmasını öneririz.

Onlar budur - ikinin gücü. Armutları bombalamak kadar kolay görünüyor, ama kazdıkça ... Ve burada bu dizinin tüm şaşırtıcı ve gizemli özelliklerine dokunmadık, sadece göze çarpanlara değindik. Eh, okuyucuya bu alanda bağımsız olarak araştırmaya devam etme hakkı verilir. Hiç şüphesiz verimli olacaklar.

Sıfır numarası).
Ve daha önce belirtildiği gibi sadece ikili değil!
Ayrıntılara aç olanlar, V. Boltyansky'nin "İkinin gücü genellikle bir ile mi başlar?" başlıklı makalesini okuyabilir. ("Kuantum" No. 5, 1978) ve V. Arnold'un "İkinin kuvvetlerinin ilk basamaklarının istatistikleri ve dünyanın yeniden bölünmesi" ("Quant" No. 1, 1998) tarafından yazılan bir makale.
"Problem kitabı" Kuantum "(" Kuantum "No. 6, 1997) bölümünden M1599 sorununa bakın.
Şu anda, en büyüğü 2 30402456 (2 30402457 - 1) olan 43 mükemmel sayı bilinmektedir. 18'den fazla içerir milyon rakamlar.