Sayı kümeleri testi. Kümeleri tanımlama yöntemleri

"Setler" konusunda test edin

TALİMATLAR:

seçenek 1

1. Hangi kümenin A = (10, 20, 30, 40, 50, 60) kümesinin alt kümesi olduğunu belirleyin

a) (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70) b) (10) c) (10, 35)

2. A = (1, 2, 3, 4, 5), B = (3, 4, 5, 6, 7) olup olmadığını hangi küme belirler?

a) (1, 4, 5) b) (1, 2, 3, 4, 5) c) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

A = (1, 3, 5, 7, 9), B = (1, 2, 3, 4) ise

a) (1, 3, 5, 7) b) (1, 2, 3, 4, 5, 7, 9) c) (1, 3)

4. Üçgenler seti, çok yönlü üçgenler, ikizkenar üçgenler ve eşkenar üçgenler... Üçgenler kümesi sınıflara ayrıldı mı?

a) evet b) hayır

5. A ve B () kümelerinin birleşimini gösteren şekil hangisidir?

"Setler" konusunda test edin

Doğru cevap seçimi ile test edin.

TALİMATLAR: Doğru cevabı olan harfi seçin ve cevap kağıdına girin.

seçenek 2

1. Kümelerden hangisinin alt küme olduğunu belirleyin

A = (5, 15, 25, 35, 45, 55)

a) (55) b) (5, 25, 50) c) (25, 55, 75)

2. A = (2, 4, 6, 8, 10), B = (8, 10, 12, 14) olup olmadığını hangi küme belirler?

a) (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) b) (8, 10, 12, 14) c) (8, 10)

3. Kümelerden hangisi
eğer A = (2, 4, 6, 8, 10), B = (2, 4, 8, 9)

a) (2, 4, 6, 8, 10) b) (2, 4, 8, 9) c) (2, 4, 8)

4. Tüm açılar kümesi, düz, geniş ve dar alt kümelerine bölündü. Açılar kümesi sınıflara ayrıldı mı?

a) evet b) hayır

5. Hangi şekil A ve B kümelerinin kesişimini gösterir (
)?

Federal Eğitim Ajansı

Çuvaşça Devlet Üniversitesi onlara. İÇİNDE. Ulyanov

Alatır şubesi

Yönetim ve Ekonomi Fakültesi

Yüksek Matematik Bölümü ve Bilişim Teknolojileri

ders çalışması

disipline göre: Matematiksel mantık

Küme teorisinin unsurları

Bir öğrenci tarafından yapılır

1 kurs

gruplar - AFT 61-06

süpervizör

Prof. AV Merlin

Tanıtım

küme teorisi – kümelerin genel özelliklerini inceleyen bir matematik dalı. Küme teorisi, çoğu matematik disiplininin merkezinde yer alır; matematiğin konusunun kendisinin anlaşılması üzerinde derin bir etkisi vardı.

ikinciye kadar XIX'in yarısı yüzyılda "küme" kavramı matematiksel olarak kabul edilmedi (raftaki birçok kitap, birçok insan erdemi vb. - bunların hepsi tamamen günlük konuşma ifadeleridir). Alman matematikçi Georg Cantor (Şekil 1), herhangi bir matematiksel nesnenin bir veya başka bir "küme" olması gerektiği çerçevesinde matematiğin standartlaştırılması için programını geliştirdiğinde durum değişti.

Örneğin, Cantor'a göre bir doğal sayı, "doğal dizi" olarak adlandırılan başka bir kümenin tek bir öğesinden oluşan bir küme olarak düşünülmelidir - bu da, kendisi de sözde Peano aksiyomlarını karşılayan bir kümedir. . nerede Genel kavram Cantor, matematiğin merkezi olarak kabul ettiği "küme", "bir küme, tek olarak düşünülebilecek çoktur" vb. gibi çok az tanımlayıcı tanımlar vermiştir. programını "set teorisi" olarak adlandırma (bu terim çok daha sonra ortaya çıktı) ve öğretim kümeler hakkında ( Mengenlehre).

Cantor'un programı, zamanının önde gelen birçok matematikçisinin güçlü protestolarına yol açtı. Leopold Kronecker, yalnızca doğal sayıların ve onlara doğrudan indirgeyenlerin matematiksel nesneler olarak kabul edilebileceğine inanan ona karşı uzlaşmaz tutumuyla özellikle ayırt edildi ("Tanrı doğal sayıları yarattı ve diğer her şey insanın eseridir" ifadesi bilinmektedir. eller"). Bununla birlikte, diğer bazı matematikçiler - özellikle Gottlob Frege ve David Hilbert - Cantor'u tüm matematiği küme teorik dile çevirme niyetinde desteklediler.

Bununla birlikte, kısa süre sonra, Cantor'un kümelerle çalışırken (onun tarafından “matematiğin özü özgürlüğündedir” ilkesinde ifade edilen) sınırsız keyfiliğe yönelik tutumunun başlangıçta kusurlu olduğu anlaşıldı. Yani, bir dizi teorik küme antinomisi keşfedildi: küme teorik temsiller kullanıldığında, bazı ifadelerin olumsuzluklarıyla birlikte kanıtlanabileceği ortaya çıktı (ve sonra, klasik önerme mantığının kurallarına göre, kesinlikle herhangi bir ifade olabilir). "kanıtlanmış"!). Çatışmalar, Cantor'un programının tamamen başarısız olduğunu gösteriyordu.

Yine de Cantor, küme teorisinin kurucusu olarak kabul edilir ve modern matematiğe büyük katkılarda bulunur. "Küme" kavramının şu özelliğine sahiptir: Küme, bir kümenin öğeleri olarak adlandırılan belirli, farklı nesnelerin tek bir bütün halinde birleşimidir.

Bölüm 1. Setler

1.1 Elemanlar ve kümeler

Bir kümenin ve bir kümenin bir elemanının kavramları, örneğin bir nokta ve bir çizgi gibi, açıkça tanımlanmayan kavramlara atıfta bulunur. "Koleksiyon", "aile", "sistem", "set" vb. - "set" kelimesinin eş anlamlıları. Bunun nedeni, matematikteki bazı kavramların ilk olması gerektiği, oluşturan "tuğlalar" olarak hizmet etmesidir. genel teori... Söz konusu nesnelerin doğasından bahsetmeden, yalnızca bu ilk kavramların nasıl ilişkili olduğunu belirleriz. İnsan düşüncesi, dünyanın ayrı "nesnelerden" ibaret olarak temsil edildiği şekilde tasarlanmıştır. Dünyanın çözülmez tek bir bütün olduğu ve içindeki nesnelerin seçilmesinin, rasyonel analiz için uygun bir dünya resmi oluşturmamıza izin veren keyfi bir düşünce eyleminden başka bir şey olmadığı filozoflar için uzun zamandır açıktı. Ancak, her ne olursa olsun, nesnelerin ve bunların kümelerinin seçimi, düşüncemizi düzenlemenin doğal (hatta tek olası) yoludur, bu nedenle, kesin bilgiyi tanımlamanın ana aracının - matematiğin - altında olması şaşırtıcı değildir.

şunu söyleyebiliriz bir çok - herhangi bir belirli nesneler topluluğudur. Kümeyi oluşturan nesnelere denir. elementler. Bir kümenin öğeleri birbirinden farklı ve ayırt edilebilirdir. Küme örnekleri şunlar olabilir: gezegenimizdeki birçok insan, hayvan, bitki ve ayrıca birçok N doğal sayılar 1, 2, 3, ..., P kümesi asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, ... Z tamsayıları kümesi: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., gerçek sayıların R kümesi, vb. Eleman içermeyen kümeye boş küme denir. Notasyon: Æ Boş bir küme, herhangi bir kümenin alt kümesidir. Boş bir kümenin kardinalitesi sıfırdır. Boş küme kavramı ("sıfır" kavramı gibi) kümeler üzerindeki herhangi bir işlemin sonucunun da bir küme olması ihtiyacından doğar.

Genellikle, somut akıl yürütmede, tüm kümelerin öğeleri, evrensel küme (veya evren) olarak adlandırılan, yeterince geniş bir U kümesinden alınır.

x nesnesi M kümesinin bir elemanıysa, x'in M'ye ait olduğu söylenir. Notasyon: xÎM. Aksi takdirde, x'in M'ye ait olmadığını söylerler. Notasyon: xÏM. Bir kümenin elemanlarının kendilerinin de küme olabileceğini unutmayın. Örneğin, birçok öğrenci grubu, sırayla öğrencilerden oluşan öğelerden (gruplar) oluşur.

A ve B olmak üzere iki küme verilsin (Şekil 1.1.1), o zaman:

alt küme – küme teorisinde parça kavramı. C kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin bir elemanı ise, C kümesi B kümesinin bir alt kümesidir (Şekil 1.1.1, CÌB ile gösterilir). tüm tam sayıların kümesi. C, B'nin bir alt kümesiyse, B'ye C'nin üst kümesi denir.

Genellikle kümeler Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir ve kümelerin öğeleri Küçük harfler.

İlk bakışta sezgisel olarak net görünen küme, eleman ve aidiyet kavramları yakından incelendiğinde bu netliği kaybeder. İlk olarak, öğelerin ayırt edilebilirliği sorunludur. Örneğin, bu sayfada görünen "e" ve "a" sembolleri, kümenin bir öğesidir. A yoksa iki farklı unsur mu? İkinci olarak, belirli bir elemanın belirli bir kümeye ait olup olmadığını (ilave çaba sarf etmeden) gösterebilmek sorunludur. Örneğin, 86958476921537485067857467 sayısı asal mıdır?

Kümeler, nesneler gibi, diğer kümelerin öğeleri olabilir. Elemanları küme olan kümelere genellikle denir. sınıf veya aile.

Küme aileleri, kümeleri eleman olarak içermeyen kümelerden ayırt etmek için genellikle Latin alfabesinin büyük "el yazısı" harfleriyle gösterilir.

1.2 Kümeleri tanımlama yöntemleri

Sayıların mantıksızlığı bizi sonsuz kümelerle çalışma ihtiyacının önüne geçirdi. Ama aslında, her zaman sonsuzlukla uğraşmanız gerekir, örneğin, herhangi bir geometrik şekil - birçok nokta: bir segment, bir daire, bir yamuk, bir koni ... - tüm bu rakamlar sonsuz sayıda nokta içerir. Buna dayanarak, onlarla çalışmanın rahatlığı için kümeleri tanımlamak gerekli hale gelir. Bir kümeyi tanımlamak için hangi elemanların ona ait olduğunu belirtmeniz gerekir. Bu çeşitli şekillerde yapılabilir. Kümeleri belirtmenin (tanımlamanın) en yaygın iki biçimini belirtiyoruz

Öğelerin numaralandırılması, yani kümenin genellikle küme parantezleri içine alınmış tüm öğelerinin bir göstergesidir. Ò, Â,, À, w - öğeleri M kümesine aitse, M = (Ò, Â, Á, À, w) yazarız;

Karakteristik bir özellik, bir kümenin öğeleri arasında, belirli bir özelliğe sahip (bu kümeyi karakterize eden) öğeler bir ifade aracılığıyla ayırt edilir. P(x), x sayısının bir özelliği olsun. Daha sonra (x | P (x)) notasyonu, P (x) özelliğine sahip tüm bu tür sayıların kümesi anlamına gelir. Örneğin, (x | x2 - 3x + 2 = 0) kümesi, x2 - 3x + 2 = 0 denkleminin bir kökleri kümesidir, yani bu küme iki öğeden oluşur: 2 ve 1; (x | 3 12 ve x<3} = Æ;

Ancak, kümeleri bir veya başka şekilde belirtirken sorunlar ortaya çıkabilir. Örneğin, A kümesinin standart sembollerdeki Rusça "table", "world" kelimelerinden ve "$" sembolünden oluşmasına izin verin, yani A = (tablo, dünya, $). Aynı karakterlerden oluşan ancak İngilizce olan A ^ kümesi farklı olacaktır A ^ = (tablo, barış, $). Bu nedenle, numaralandırmada kesin olmanız gerekir (yani, numaralandırmaya göre kümeleri belirtme). Ve herhangi bir ders kitabı veya kitapla ilgili bir örnek daha. Bir kitabın birçok nüshası vardır, belirli bir kitabı kastediyorsak (örneğin, belirli bir kişiye ait), matbaadan çıkan tüm nüshaları kastediyorsak (örneğin, 100 tiraj) bir seçenek elde ederiz. bin kitap) - başka bir seçenek, yalnızca şu ana kadar hayatta kalanları göz önünde bulundurursanız - üçüncü seçenek. Bu nedenle, kümeleri numaralandırma yoluyla belirtirken kesin olmak gerekir.

Ancak, öğelerin karakteristik özelliklerini kullanarak bir küme belirleme yöntemi, bazı tehlikelerle doludur, çünkü "yanlış" belirtilen özellikler bir çelişkiye yol açabilir. İşte en tipik küme teorik paradokslarından biri - Russell'ın paradoksu. Kendilerini bir eleman olarak içermeyen tüm kümelerin kümesini düşünün:

Y kümesi varsa, şu soruyu cevaplayabilmemiz gerekir: YÎY? YÎY olsun, o zaman Y kümesini tanımlayan özellik yerine getirilmelidir, yani YÏY. YÏY olsun, o zaman Y'yi tanımlayan özellik tatmin edildiğinden, YÎY olduğu gerçeğine geliyoruz ve bu varsayımla çelişiyor. Ortadan kaldırılamaz bir mantıksal çelişki ortaya çıkıyor. İşte bu paradokstan kaçınmanın üç yolu.

1. Görünüm tarafından kullanılan karakteristik yüklemleri sınırlayın

P (x) = xÎA & Q(x),

burada A bilinen, bilerek var olan bir kümedir (evren). Genellikle (xÎA | Q (x)) notasyonu kullanılır. Y için evren belirtilmemiştir ve bu nedenle Y bir küme değildir;

2. Tip teorisi. Nesneler 0 tipindedir, kümeler 1 tipinde, küme kümeleri tip 2'de vb. Y'nin tipi yoktur ve bir küme değildir;

3. Karakteristik özellik P (x) hesaplanabilir bir fonksiyon (algoritma) şeklinde verilir. XÎX özelliğinin değerini hesaplama yöntemi belirtilmemiştir ve bu nedenle Y bir küme değildir.

Listelenen yöntemlerin sonuncusu, sözde yapılandırmacılık - matematikte yönergeler, bu çerçevede, yalnızca bu tür nesnelerin dikkate alındığı, bunların üretimi için prosedürlerin (algoritmaların) bilindiği. Yapıcı matematikte, klasik matematiğin olası paradokslarla dolu bazı kavramları ve yöntemleri dikkate alınmaz.

1.3 Bir kümedeki eleman sayısı

Kardinalite, sonsuz olanlar da dahil olmak üzere tüm kümeler için anlamlı olan nicelik (bir kümedeki öğelerin sayısı) kavramının genelleştirilmesidir.

Büyük vardır, daha küçük sonsuz kümeler vardır, bunların arasında sayılabilir küme en küçüğüdür.

Küme teorisinde sayılabilir bir küme, elemanları doğal sayılarla numaralandırılabilen sonsuz bir kümedir. Daha resmi olarak: ayarla x tüm doğal sayıların kümesini ifade eden bir bijeksiyon varsa sayılabilir. Başka bir deyişle, sayılabilir bir küme, doğal sayılar kümesine eşit bir kümedir.

Sayılabilir bir küme "en küçük" sonsuz kümedir, yani herhangi bir sonsuz kümede sayılabilir bir alt küme vardır.

Özellikler:

1. Sayılabilir bir kümenin herhangi bir alt kümesi sonlu veya sayılabilirdir;

2. Sonlu veya sayılabilir sayıda sayılabilir kümenin birleşimi sayılabilir;

3. Sonlu sayıda sayılabilir kümenin doğrudan çarpımı sayılabilir;

4. Sayılabilir bir kümenin tüm sonlu alt kümelerinin kümesi sayılabilir;

5. Sayılabilir bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesi süreklidir ve özellikle sayılabilir değildir.

Sayılamaz bir küme, sayılabilir olmayan sonsuz bir kümedir. Bu nedenle, herhangi bir küme sonlu, sayılabilir veya sayılamaz. Rasyonel sayılar kümesi ve cebirsel sayılar kümesi sayılabilir, ancak gerçek sayılar kümesi süreklidir ve bu nedenle sayılamaz. Aralarında bir çekişme varsa, iki kümenin eşit derecede güçlü olduğu söylenir. Kümeler arasında bir önermenin varlığı bir denklik ilişkisidir ve bir kümenin kardinalitesi karşılık gelen denklik sınıfıdır.

Özellikler

· İki sonlu küme, ancak ve ancak aynı sayıda elemandan oluşuyorsa eşittir. Onlar. sonlu bir küme için, kardinalite kavramı, genel nicelik kavramıyla örtüşür.

Sonsuz kümeler için, bir kümenin kardinalitesi, örneğin kendi alt kümesinin kardinalitesi ile çakışabilir.

Z (tamsayılar kümesi) = (-3, -2, -1,0,1,2,3 ...);

N (doğal sayılar kümesi) = (1,2,3,4,5,6,7 ...);

0.1, -1.2, -2.3, -3 ... doğal sayılar kadar tam sayı

1,2, 3,4, 5, 6, 7…

· Cantor teoremi, verilen herhangi biri için daha güçlü bir kümenin varlığını garanti eder: A kümesinin tüm alt kümelerinin kümesi, A'dan daha güçlüdür veya | 2A | > | bir |.

Cantor karesini kullanarak, aşağıdaki yararlı ifadeyi de kanıtlayabiliriz: Sonsuz bir A kümesinin Kartezyen çarpımı, kendisi ile A'ya eşittir.

Cantor'dan sonra, bir kümenin kardinalitesi kardinal sayı olarak adlandırılır ve böyle bir A kümesinin kardinalitesi | bir | (Kantor'un kendisi notasyonu kullandı). Bazen bir atama vardır.

Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi ("alef-sıfır") sembolü ile gösterilir. Bir kümeye, kardinalitesi varsa sonsuz denir, bu nedenle sayılabilir kümeler sonsuz kümelerin "en küçüğüdür". Aşağıdaki kardinal sayılar artan sırada gösterilmiştir.

Tüm reel sayılar kümesine eşit olan kümelere sürekliliğin kardinalitesine sahip olduğu söylenir ve bu tür kümelerin kardinalitesi c (sürekli) sembolü ile gösterilir. Süreklilik hipotezi bunu belirtir.

Kardinaliteler için, sonlu kümelerde olduğu gibi, kavramlar vardır: eşitlik, daha çok, daha az. Onlar. herhangi bir A ve B kümesi için üçünden yalnızca biri mümkündür:

1. | bir | = | B | veya A ve B eşittir;

2. | bir | > | B | veya A, B'den daha güçlüdür, yani A, B'ye eşit bir alt küme içerir, ancak A ve B eşit değildir;

3. | bir |< | B | или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

A ve B'nin güçte eşit olmadığı ve ikisinin de eşit paya sahip olmadığı bir durum imkansızdır. Bu, Zermelo teoreminden kaynaklanmaktadır. Aksi takdirde, bu kıyaslanamaz kapasitelerin varlığı anlamına gelir (ki bu, prensipte, eğer seçim aksiyomu kabul edilmezse mümkündür).

| bir | > | B | ve | bir |< | B |, невозможна по теореме Кантора - Бернштейна.

İki küme, elemanları çiftlere ayrılabiliyorsa, bu kümelerin hiçbir elemanı bu çiftlerin dışında kalmayacak şekilde eşdeğer olarak adlandırılır.

Düzenli pozitif kesirler kümesi, doğal sayılar kadar eleman içerir.

Bölüm 2. Kümelerde İşlemler

Kümeler üzerinde ve diğer birçok matematiksel nesne üzerinde çeşitli işlemler gerçekleştirilebilir. İşlemler sonucunda orijinal kümelerden yeni kümeler elde edilir.

2.1 Kümelerin Karşılaştırılması

set elemanı aksiyomatik ilişkisi

A kümesi, A kümesinin her öğesi B kümesinin bir öğesiyse, bir B kümesinde bulunur (B kümesi bir A kümesini içerir):

Eğer u ise, A'ya B'nin uygun bir alt kümesi denir. Şuna dikkat edin. A-manastırı.

Birbirlerinin alt kümeleri ise iki kümenin eşit olduğu söylenir:

Karşılaştırma Teoremi... Herhangi bir A ve B kümesi için, aşağıdaki olasılıklardan yalnızca biri vardır: |A | = |B |, |A |<|B|, |A|>|B |.

2.2 Temel küme işlemleri

Aşağıdakiler temel küme işlemleridir:

· Birlik:

kavşak:

Fark:

Simetrik fark:

· ek:

Tümleyen işlemi, belirli bir evreni (A'yı içeren bir U kümesi) ima eder:

Bu işlemlerin anlamını daha iyi anlamak için, işlemlerin sonuçlarını gösteren Euler - Venn diyagramları kullanılır. geometrik şekiller nokta kümeleri olarak.

İki AÈB kümesinin birleşimi (Şekil 2.2.1), her elemanı A ve B kümelerinden en az birine ait olan üçüncü kümedir.

A∩B kümelerinin kesişimi (Şekil 2.2.2), verilen tüm kümelere aynı anda ait olan tüm öğelerden oluşan bir kümedir.

A \ B = A - B kümelerinin farkı (Şekil 2.2.3), her elemanı A kümesine ait olan ancak B kümesine ait olmayan bir kümedir.

Simetrik fark ADB (şekil 2.2.4)

A kümesinin tümleyeni, A kümesine dahil olmayan tüm elemanların kümesi olarak adlandırılır (Şekil 3.2.5).

2.3 Kümelerdeki işlemlerin özellikleri

Evrenin verilmesine izin ver sen . O zaman tüm A, B, CÌ için sen aşağıdaki özellikler karşılanır (Tablo 2.3.1):

Kümelerdeki işlemlerin özellikleri

Birleştirmek için (È)	(Ç) geçmek
iktidarsızlık
A È A = A	Bir Ç A = A
değişebilirlik
A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
çağrışım
A È (BÈC) = (A È B) ÈC	A Ç (BÇC) = (A Ç B) ÇC
dağıtımcılık
A È (BÇC) = (A È B) Ç (A È C)	A Ç (BÈC) = (A Ç B) È (A Ç C)
absorpsiyon
(A Ç B) ÈA = A	(A È B) ÇA = A
Sıfır özellik
A ÈÆ = A	Bir ÇÆ = Æ
Birim özellikleri
A È U = U	Bir Ç U = U
involüsyon
= bir
De Morgan'ın yasaları

Eklenti özellikleri

Fark İfadesi

Simetrik fark için ifade

Listelenen özelliklerin geçerliliği çeşitli şekillerde doğrulanabilir. Örneğin, eşitliğin sol ve sağ tarafları için Euler diyagramları çizin ve bunların çakıştığından emin olun veya her bir eşitlik için biçimsel akıl yürütme yapın. Örneğin, ilk eşitliği ele alalım: A È A = A. keyfi bir eleman alalım NS, eşitliğin sol tarafına ait olan, NS Î A È A... Birleşim işleminin È tanımına göre, NS Î A È NS Î A.Neyse NS Î A . Eşitliğin sol tarafındaki kümeden rastgele bir eleman alarak sağ taraftaki kümeye ait olduğunu bulduk. Bu nedenle, kümelerin dahil edilmesinin tanımıyla şunu elde ederiz: A È A Ì A.şimdi izin ver NS Î A . O zaman açıkça doğru NS Î A È NS Î A . Dolayısıyla, birleşim işleminin tanımı gereği, NS Î A È A... Böylece, A Ì A È A... Bu nedenle, kümelerin eşitliği tanımına göre, A È A = bir... Kalan eşitlikler için benzer bir akıl yürütmeyi yürütmek kolaydır.

Euler-Venn diyagramları üzerinde birleşim işlemi için dağılabilirlik özelliğini ispatlayalım (Şekil 2.3.1):

A È (BÇC) = (A È B) Ç (A È C)

Bölüm 3. Aksiyomatik küme teorisi

3.1 Saf küme teorisi

Yirminci yüzyılın başlarında, Bertrand Russell, saf küme teorisini incelerken bir paradoksa geldi (o zamandan beri Russell paradoksu olarak bilinir). Böylece, matematiğin standardizasyonu için saf küme teorisinin ve ilgili Cantor programının başarısızlığı gösterildi. Yani, bir dizi teorik küme antinomisi keşfedildi: küme teorik temsiller kullanıldığında, bazı ifadelerin olumsuzluklarıyla birlikte kanıtlanabileceği ortaya çıktı (ve sonra, klasik önerme mantığının kurallarına göre, kesinlikle herhangi bir ifade olabilir). "kanıtlanmış"!). Çatışmalar, Cantor'un programının tamamen başarısız olduğunu gösteriyordu.

Russell'ın çatışkısının keşfinden sonra, bazı matematikçiler (örneğin, L.E. Ya. Brouwer ve okulu) küme-teorik temsillerin kullanımını tamamen bırakmaya karar verdiler. Matematikçilerin D. Hilbert tarafından yönetilen başka bir bölümü, küme-teorik temsillerin, kendilerine çatışkıların ortaya çıkmasından en az sorumlu görünen kısmını, açıkça güvenilir sonlu matematiğe dayanarak kanıtlamak için bir dizi girişimde bulundular. Bu amaçla küme teorisinin çeşitli aksiyomizasyonları geliştirilmiştir.

Aksiyomatik yaklaşımın bir özelliği, bazı ideal dünyalarda kümelerin fiili varlığına ilişkin Cantor'un programının altında yatan kavramın reddidir. Aksiyomatik teoriler çerçevesinde, kümeler yalnızca biçimsel bir şekilde "var" olur ve "özellikleri" büyük ölçüde aksiyomatik seçimine bağlı olabilir. Bu gerçek, matematiği herhangi bir içerikten yoksun bir semboller oyunu olarak kabul etmeyen (Hilbert'in ısrar ettiği gibi) matematikçilerin eleştirilerinin hedefi olmuştur. Özellikle, NN Luzin, "sürekliliğin gücü, sadece onu bir noktalar kümesi olarak düşünmek bile olsa, tek bir tür gerçekliktir" diye yazmıştır; hipotez bir aksiyom veya onun reddi olarak kabul edilir.

Şu anda, en yaygın aksiyomatik küme teorisi, seçim aksiyomu ile ZFC - Zermelo - Fraenkel teorisidir. Bu teorinin tutarlılığı (ve daha da fazlası - onun için bir modelin varlığı) sorunu çözülmeden kalmaktadır.

3.2 Küme teorisinin aksiyomları

Şimdi, modern matematikte genel olarak kabul edilen tüm akıl yürütme yöntemlerinin belirtilebileceği ve bilinen küme teorik paradokslarının hiçbirinin geçmediği çerçevede ZFC küme teorisi aksiyomları sistemini formüle etmek için tüm araçlara sahibiz. Bu sistem her şeyi inşa etmenizi sağlar matematiksel nesneler boş kümeye göre Aksiyomlar sistemini temsil ediyoruz, Zermelo - Fraenkel (ZF).

1. Boş bir kümenin varlığı aksiyomu: Boş bir küme Æ vardır;

2. Bir çiftin varlığı aksiyomu: Eğer a ve b kümeleri varsa, o zaman bir (a, b) kümesi de vardır;

3. Toplam aksiyomu: Bir X kümesi varsa, o zaman ÈX = kümesi vardır (bazı bÎX için a | aÎb);

4. Sonsuzluk aksiyomu: Bir w = (0, 1,…, n,…) kümesi vardır, burada 0 = Æ, n + 1 = nÈ (n);

5. Tüm alt kümelerin aksiyomu: Bir A kümesi varsa, o zaman bir küme vardır:

P (A) = (B | BÍA);

6. Aksiyomu değiştirin: Eğer P (x, y) kümelerde bir koşul ise x , NSöyle ki herhangi bir x kümesi için en fazla bir küme vardır NS tatmin edici P (x, y), sonra herhangi bir küme için a bazı c Î a için bir (b | P (c, b) kümesi vardır);

7. Genişleme aksiyomu:

Aynı elemanlara sahip iki küme eşittir, herhangi bir küme elemanları tarafından belirlenir:

8. Düzenlilik aksiyomu:

Boş olmayan herhangi bir x kümesinin bir a Î x elemanı vardır ve bunun için

Düzenlilik aksiyomundan, her kümenin, Æ ile başlayan tüm alt kümelerin kümesini oluşturma "düzenli sürecin" bir adımında elde edildiği ve sonsuzluk aksiyomuna göre boş kümeden doğal sayıların oluşturulmasına benzer şekilde elde edildiği sonucu çıkar. Bu, herhangi bir kümenin herhangi bir öğesinin boş bir kümeden oluşturulmuş bir küme olduğu anlamına gelir.

ZF aksiyomatiklerinin küme-teorik işlemleri tanımlamaya nasıl izin verdiğini gösterelim.

1. A'dan B'ye giden kümelerden yola çıkarak AÈ B kümesini tanımlayalım. Bir çiftin varlığı aksiyomuyla (A, B) kümesi oluşturulur. Toplam aksiyomunu kullanarak, tanımı gereği AÈB kümesiyle çakışan È (A, B) kümesini elde ederiz.

2. A ve B kümelerinin A Ç B kesişimi, aşağıdaki P (x, y) özelliği kullanılarak değişiklik aksiyomu tarafından belirlenir: x = y ve x Î A. (b | P (c, b) kümesine sahibiz. ) ve c Î B) = (b | c = b ve c Î A ve c ÎB) = (c | c Î A ve c ÎB).

3. 5 ve 6 aksiyomlarının herhangi bir A kümesi için A2 = ((a, b) | a, bÎ A) kümesinin varlığını ima ettiğini gösterelim. (a, b) = ((a), (a, b) ), ardından A2 ÍP (P (A)). P (x, y) özelliği, x = ((a), (a, b)) ve y = x olacak şekilde a, b A olduğu anlamına gelsin. O zaman A2 kümesi (b | P (c, b), cÎ P (P (A)))'ye eşittir ve Aksiyom 6'ya göre var olur.

ZFC aksiyom sistemi, bir yandan en az "bariz" ve diğer yandan en anlamlı olan aşağıdaki iki eşdeğer aksiyomdan birinin eklenmesiyle ZF'den oluşturulur:

1. Seçim aksiyomu.

Herhangi bir boş olmayan A kümesi için, tüm XÍ A, X¹Æ için j (X) ÎX | olacak şekilde bir j: P (A) \ (Æ) ®A eşleştirmesi vardır.

2. Tam sipariş ilkesi. Herhangi bir boş olmayan A kümesi için, (A, £) iyi sıralı bir küme olan A üzerinde bir £ ikili ilişkisi vardır.

ZFC sisteminde, tam tümevarım ilkesinin bir genellemesi olan sonsuz-ötesi tümevarım ilkesi geçerlidir: (A, £) iyi sıralı bir küme ise, P (x) bir özellik ise, o zaman P özelliğinin geçerliliği (x) tüm x Î A öğelerinde, herhangi bir z А için P özelliğinin y öğeleri üzerinde karşılanabilirliği, burada y< z, влечет выполнимость P(z):

Bölüm 4. Bilgisayardaki kümelerin temsili

Programlama ile ilgili olarak "sunu" terimi ("uygulama" terimini de kullanırlar) aşağıdaki anlama gelir. Bir nesnenin temsilini ayarlamak (bu durumda, bir küme), kullanılan programlama sistemi açısından, temsil edilen nesne hakkında bilgi depolamak için kullanılan veri yapısını ve doğal işlemleri uygulayan seçili veri yapıları üzerindeki algoritmaları tanımlamak anlamına gelir. bu nesnede. Bu yazıda, kullanılan programlama sisteminde diziler, yapılar (veya kayıtlar) ve işaretçiler gibi ortak veri yapılarının mevcut olduğu varsayılmaktadır. Bu nedenle, kümelerle ilgili olarak, bir gösterimin tanımı, bir kümedeki öğelerin üyeliği hakkında bilgi depolamak için bir yöntemin tanımını ve birleşme, kesişim ve diğer tanıtılan işlemleri hesaplamak için algoritmaların bir tanımını ifade eder.

Kural olarak, bir ve aynı nesnenin birçok farklı şekilde temsil edilebileceği ve tüm olası durumlar için en iyi yöntemi belirtmenin imkansız olduğu vurgulanmalıdır. Bazı durumlarda, bir görünümü, bazılarında diğerini kullanmak faydalıdır. Sunum seçimi bir dizi faktöre bağlıdır: temsil edilen nesnenin özellikleri, kompozisyon ve işlemlerin göreceli kullanım sıklığı. Özel görev ve benzerleri Belirli bir durum için en uygun temsili seçme yeteneği, pratik programlama sanatının temelidir. İyi bir programcı, sunum yapmanın birçok farklı yolunu bilmesi ve en uygun olanı ustaca seçmesi bakımından farklıdır.

4.1 Belirli bir evrenin alt kümeleri üzerinde işlemlerin uygulanması sen

evrene izin ver sen- sonlu ve içindeki eleman sayısı bilgisayarın kapasitesini aşıyor: | sen | < n. Элементы универсума нумеруются: sen = (u1 ... un). Evrenin A altkümesi sen bir kod (makine kelimesi veya bit ölçeği) C ile temsil edilir, burada

1 ise u1 ОА

0 ise ОА

C [i] nerede i. sıra C kodu;

A ve B kümelerinin kesişim kodu, A kümesinin kodunun ve B kümesinin kodunun bit düzeyinde mantıksal ürünüdür. A ve B kümelerini birleştirme kodu, A kümesinin kodunun bit düzeyinde mantıksal toplamıdır. ve B kümesinin kodu. Çoğu bilgisayarda, bu işlemler için ilgili makine talimatları vardır. Böylece küçük kümelerdeki işlemler çok verimli bir şekilde gerçekleştirilir. Evrenin kardinalitesi bir makine sözcüğünün boyutunu aşıyorsa, ancak çok büyük değilse, kümeleri temsil etmek için bit ölçeği dizileri kullanılır. Bu durumda, kümelerdeki işlemler, dizi öğeleri üzerinde döngüler kullanılarak gerçekleştirilir.

4.2 Evrenin tüm alt kümelerinin üretilmesi

Birçok numaralandırma algoritmasında, belirli bir kümenin tüm alt kümelerini sırayla ele almak gerekir. Çoğu bilgisayarda, tam sayılar ikili sayı sistemindeki kodlarla temsil edilir ve 2k - 1 sayısı k tane içeren bir kodla temsil edilir. Böylece, 0 sayısı boş Æ kümesinin temsilidir, 1 sayısı ilk elemanın alt kümesinin temsilidir, vb. Aşağıdaki önemsiz algoritma, bir n elemanlı kümenin tüm alt kümelerini listeler.

Bir n elemanlı kümenin tüm alt kümelerini oluşturmak için algoritma:

Giriş: n³ 0, kümenin kardinalitesidir;

Çıktı: alt kümelerin kod dizisi i;

i için 0 ila 2n - 1;

teslim olmak ben ;

son için ;

Algoritma 2n farklı tamsayı, dolayısıyla 2n farklı kod verir. Sayı arttıkça, onu temsil etmek için gereken bit sayısı artar. (Oluşturulan) 2n - 1 sayısının en büyüğü, tam olarak n basamakta temsil edilmesini gerektirir. Böylece, tüm alt kümeler tam olarak bir kez oluşturulur. Bu algoritmanın dezavantajı, alt kümelerin oluşturulma sırasının bunların kompozisyonuyla hiçbir ilgisi olmamasıdır. Örneğin, 0111 kodlu alt kümenin ardından 1000 kodlu alt küme listelenecektir.

4.3 Sıralı listelerle kümelerin temsili

Evren çok büyükse (veya sonsuzsa) ve evrenin dikkate alınan alt kümeleri çok büyük değilse, o zaman bit ölçeklerini kullanan temsil, bellek tasarrufu açısından verimli değildir. Bu durumda, kümeler iki alanlı bir kayıtla temsil edilir: bilgi ve sonraki öğeye işaretçi. Tüm liste, ilk öğeye bir işaretçi ile temsil edilir.

element = kayıt ;

ben : bilgi ; (bilgi alanı);

n : n(bir sonraki öğeye işaretçi);

son kayıt ;

Bu gösterimle, Î işleminin karmaşıklığı O (n) olacaktır ve Ì, Ç, È işlemlerinin karmaşıklığı O (n × m) olacaktır; burada n ve m, kümelere katılan kümelerin kardinaliteleridir. operasyon.

Listelerdeki öğeler, örneğin i alanının değerinin artan düzeninde sıralanırsa, tüm işlemlerin karmaşıklığı O (n) olacaktır. Sıralı listeler şeklinde temsil edilen kümeler üzerindeki işlemlerin verimli bir şekilde uygulanması, çok temel bir temele dayanmaktadır. genel algoritma birleştirme algoritması olarak bilinir. Birleştirme tipi algoritma, sıralı listelerle temsil edilen paralel olarak iki kümeye bakar ve her adımda, mevcut öğenin daha küçük olduğu kümede ilerleme gerçekleşir.

Çözüm

Ders projesi "Küme teorisinin unsurları" temasıyla yürütülmektedir. Aşağıdaki sorunları giderir:

Kümeler: elemanlar ve kümeler, küme belirleme yöntemleri, kümedeki eleman sayısı;

Kümeler üzerinde işlemler: kümelerin karşılaştırılması, kümeler üzerinde temel işlemler, kümeler üzerinde işlemlerin özellikleri;

Aksiyomatik küme teorisi: saf küme teorisi, küme teorisinin aksiyomları;

Bir bilgisayarda kümelerin temsili: Belirli bir evrenin alt kümeleri üzerinde işlemlerin uygulanması sen , Evrenin tüm alt kümelerinin üretilmesi, Kümelerin sıralı listelerle temsil edilmesi;

Bulunan bilgilere dayanarak (ders kitapları, İnternet), küme teorisi hakkında en eksiksiz ve doğru bir şekilde fikir veren ana noktaları belirledim. Çalışma yapılırken küme örneklerinin yanı sıra kullanıldığında çelişkiye yol açan örnekler de verilmiştir. farklı yol onların ödevleri. Kümelerdeki işlemlerin özelliklerini araştırırken, Euler-Venn diyagramlarını kullanarak özelliklerden birini (dağılım) kanıtladım. Ve bence son bölümde, kümeler ve bunların bir bilgisayarda gösterimi arasındaki bağlantıya dikkat çekmek gerekiyordu, bu özellikle bir matematikçi-programcının uzmanlığı için bence önemlidir.

İş bittikten sonra yapabilirsin sonraki çıktı:

"Kümeler" ve "kümelerin öğeleri" kavramları matematiksel mantığın temel söz varlığını oluşturur. Daha sonraki yapılar için gerekli olan temeli oluşturan bu kavramlardır.

kullanılmış literatür listesi

1. Programcılar için ayrık matematik / FA Novikov. - SPb.: Peter, 2002 .-- 304 s.

2. Zholkov S.Yu. Beşeri Bilimler için Matematik ve Bilişim: Ders Kitabı. - E.: Gardariki, 2002 .-- 531 s.

3. Sudoplatov S.V., Ovchinnikova E.V. Elementler ayrık Matematik: Ders kitabı. - M.: INFRA-M, Novosibirsk: NSTU yayınevi, 2002 .-- 280 s. - (Dizi " Yüksek öğretim»)

4. Shipachev V.S. Yüksek Matematik... Ders kitabı. Üniversiteler için. - 4. baskı, Silindi. - M .: Yüksek Lisans... 1998 .-- 479 s.

5. Wikipedia'dan malzeme - özgür ansiklopedi. Georg Cantor (http://www.peoples.ru/science/mathematics/kantor/)

Test: Küme Teorisinin Temelleri Eleman içermeyen bir küme.

Cevap:

boş küme

Sonlu sayıda eleman içeren bir küme.

Cevap:

Sınırlı set

Ne sonlu ne de boş olan bir küme.

Cevap:

sonsuz set

Rusya'da birçok nehir.

boş

Mars'ta çok sayıda insan yaşıyor.

son

Bir daire üzerinde bir dizi nokta.

sonsuz

doğal sayılar kümesi

tamsayılar kümesi

rasyonel sayılar kümesi

gerçek sayılar kümesi

değişebilirlik

AIB = BIA

çağrışım

AИ (B∩C) = (AИB) ∩ (AИC)

dağıtımcılık

(AИB) ИC = AИ (BIS)

Kümeleri belirleme yöntemleri:

kümenin tüm elemanlarının numaralandırılması

Euler çevrelerini kullanarak

kümenin elemanlarının karakteristik özelliklerinin belirtilmesi

kümenin ilk ve son öğelerini belirterek

setin tamamlayıcısı

Evrensel set

eşit

alt küme

A kümesi, D kümesinin bir alt kümesidir.

D kümesi, A kümesinin bir alt kümesidir.

A kümesi ve D kümesi eşittir

A kümesi - D kümesinin derecesi

(0;1)

(3;1)

(2;0)

(1;0)

fakültenin birçok öğrencisi evde kişisel bilgisayarla

boş küme

A ve B kümeleri eşittir

M = (- 1; 1) kümesi bir aralık olsun ve N = [- 1; 0] kümesi sayısal eksenin bir parçası olsun, o zaman sayısal aralık olarak K = M З N kümesi eşit olacaktır. ile ...

K = [- 1, 1]

K = (- 1.0]

K = (- 1.0)

K = (- 1, 1]

		(-1;0)
		(1;1)
		(0;1)
		(-1;1)

simetrik fark

eşit

Doğru ifadeleri seçin:

Sonsuz sayılamayan kümeler, sonsuz sayılamayan kümelerden daha az güçlüdür.

Sonsuz sayılabilir kümeler, sonsuz sayılabilir kümelerden daha güçlüdür.

Sonsuz sayılabilir kümeler, sürekliliğin kardinalitesine ulaşmış kümelerdir.

Herhangi bir sonlu küme, herhangi bir sonsuz sayılabilir kümeden daha az güçlü olacaktır.

A ve B kümeleri aynı elemanlardan oluşur

A ve B kümeleri eşittir

A kümesi, B kümesini içerir

A kümesi, B kümesinin bir alt kümesidir

A = B, A∩C = ise basitleştirin∅ :

(((AИB) ∩ (C∩C)) \ (B∩A) ∩B)) ∆A =…

boş küme

A = B, A∩C = ise basitleştirin∅ :

((D \ (A∩B)) ∩ ((CIC) ∩B) =…

boş küme

A = B, A∩C = ise basitleştirin∅ :

(C∩B) ∆ ((AИB) VE (C∩A)) =…

boş küme

X = (1.5); Y = (1,2,4); Z = (2.5)

Kümeyi bulun: XИ (Y∩Z)

{1,2,4,5}

{1,2,5}

{1,4,5}

{1,2,4}

Aşağıdaki kümeler verilsin:

X = (1,2,3,4,5); X = (1.5); Y = (1,2,4); Z = (2.5)

Kümeyi bulun: (XИY) ∩ (XИZ)

{1,2,4,5}

{1,5}

{1,2,5}

{2,5}

A = (5, 7, 9) VE (5,12, 15)

Adımları izleyin ve elde edilen kümenin kardinalitesini belirleyin:

B = {5, 7, 9, 12} Z{5,12, 15}

Adımları izleyin ve elde edilen kümenin kardinalitesini belirleyin:

A = (5, 7, 9) З{5, 57, 59}

Adımları izleyin ve elde edilen kümenin kardinalitesini belirleyin:

B = {5, 7, 9} VE{5, 57, 59}

Adımları izleyin ve elde edilen kümenin kardinalitesini belirleyin:

{1, 2, 3}\ {2, 3}

Adımları izleyin ve elde edilen kümenin kardinalitesini belirleyin:

{1, 2, 3}\ {4, 5}

x ≤ 3

x  (1, 2, 3)

1 < x < 5

x  (2, 3, 4)

3 < x ≤ 6

x  (4, 5, 6)

2 ≤ x ≤ 4

1 ≤ x< 4

Tüm problemleri kaç öğrenci tamamlamıştır?

40 öğrenci adaylar için Matematik Olimpiyatı'na katıldı, cebirde bir, geometride bir ve trigonometride bir problem çözmeleri istendi. Cebirde 20 kişi sorunu çözdü, geometride - 18 kişi, trigonometride - 18 kişi.

7 kişi cebir ve geometriye, 9 kişi cebir ve trigonometriye karar verdi. Hiçbir sorun 3 kişi tarafından çözülmedi.

Kaç öğrenci sadece iki problem çözmüştür?

7 kişi cebir ve geometriye, 9 kişi cebir ve trigonometriye karar verdi. Hiçbir sorun 3 kişi tarafından çözülmedi.

Kaç öğrenci sadece bir problemi çözmüştür?

Matematikte birinci veya ikinci test kağıtları, birinci veya üçüncü - 31 öğrenci, ikinci veya üçüncü - 32 öğrenci olmak üzere 33 öğrenci tarafından başarıyla yazılmıştır. En az iki test 20 öğrenci tarafından tamamlandı.

Sadece bir tanesini başarıyla çözen kaç öğrenci vardır? Ölçek?

Sınıfta 35 öğrenci var. Her biri toplu taşıma türlerinden en az birini kullanır: metro, otobüs ve troleybüs. Her üç ulaşım türü de 6 öğrenci, metro ve otobüs - 15 öğrenci, metro ve troleybüs - 13 öğrenci, troleybüs ve otobüs - 9 öğrenci tarafından kullanılmaktadır.

Kaç öğrenci sadece bir ulaşım modunu kullanıyor?

Cevap:

A = (1,2,3,8) ve B = (a, b, c) olsun