Геом прогресія формули. Геометрична прогресія
Геометрична прогресія, поряд з арифметичної, є важливим числовим рядом, Який вивчається в шкільному курсі алгебри в 9 класі. У цій статті розглянемо знаменник геометричній прогресії, і то, як його значення впливає на її властивості.
Визначення прогресії геометричної
Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Прогресією геометричній називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення його першого елемента на постійне число, що носить назву знаменника.
Наприклад, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - це прогресія геометрична, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12, і так далі.
Члени даної послідовності прийнято позначати символом ai, де i - це ціле число, яке вказує на номер елемента в ряду.
Наведене вище визначення прогресії можна записати на мові математики наступним чином: an \u003d bn-1 * a1, де b - знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n \u003d 1, то b1-1 \u003d 1, і ми отримуємо a1 \u003d a1. Якщо n \u003d 2, тоді an \u003d b * a1, і ми знову приходимо до визначення розглянутого ряду чисел. Аналогічні міркування можна продовжити для великих значень n.
Знаменник прогресії геометричної
Число b повністю визначає, який характер буде носити весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивний, негативний, а також мати значення більше одиниці або менше. Всі перераховані варіанти призводять до різних послідовностей:
- b\u003e 1. Має місце зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, ... Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність буде зростати тільки по модулю, але спадати з урахуванням знака чисел.
- b \u003d 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.
Формула для суми
Перед тим як перейти до розгляду конкретних завдань з використанням знаменника розглянутого виду прогресії, слід привести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Отримати цей вислів можна самостійно, якщо розглянути рекурсивную послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що в наведеній формулі досить знати тільки перший елемент і знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.
Нескінченно спадна послідовність
Вище було дано пояснення, що вона собою являє. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числовому ряду. Так як будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні в великі ступеня прямує до нуля, тобто b∞ \u003d\u003e 0, якщо -1
Оскільки різниця (1 - b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми спадної нескінченно прогресії геометричної S∞ однозначно визначається знаком її першого елемента a1.
Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати отримані знання на конкретних числах.
Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії і суми
Дана прогресія геометрична, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому дорівнюватимуть її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?
Умова завдання складено досить просто і передбачає безпосереднє використання вищезгаданих формул. Отже, для обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an \u003d bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 \u003d b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Аналогічним чином поступаємо для 10-го члена: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.
Скористаємося відомою формулою для суми і визначимо цю величину для 7-ми перших елементів ряду. Маємо: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.
Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії
Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4, де n - ціле число. Необхідно визначити суму з 5-го по 10-й елемент цього ряду включно.
Поставлена \u200b\u200bпроблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна 2-ма різними методами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.
Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти від однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Відзначимо, що в останньому виразі підсумовувалися тільки 4 доданків, оскільки 5-е вже входить в суму, яку потрібно обчислити за умовою задачі. Нарешті, беремо різницю: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.
Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і вважати, можна отримати формулу для суми між членами m і n розглянутого ряду. Вступаємо абсолютно так само, як в методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа і обчислювати кінцевий результат: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.
Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?
Нехай a1 \u003d 2, знайдіть знаменник прогресії геометричної, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це регресний ряд чисел.
За умовою завдання неважко здогадатися, якою формулою слід користуватися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадної. Маємо: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Звідки висловлюємо знаменник: b \u003d 1 - a1 / S∞. Залишилося підставити відомі значення і отримати необхідне число: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 або -0,333 (3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як видно, | -1 / 3 |
Завдання № 4. Відновлення ряду чисел
Нехай дано 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 і 10-й дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивостям прогресії геометричної.
Щоб вирішити задачу, необхідно для початку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 \u003d b4 * a1 і a10 \u003d b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п'ятого ступеня від відносини відомих з умови задачі членів, b \u003d 1,148698. Отримане число підставляємо в один з виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.
Таким чином, ми знайшли, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 \u003d an, де b \u003d 1,148698.
Де застосовуються прогресії геометричні?
Якби не існувало застосування цього числового ряду на практиці, то його вивчення зводилося б до чисто теоретичному інтересу. Але таке застосування існує.
Нижче перераховані 3 найзнаменитіших прикладу:
- Парадокс Зенона, в якому спритний Ахіллес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття спадної нескінченно послідовності чисел.
- Якщо на кожну клітину шахівниці класти зерна пшениці так, що на 1-ю клітину покласти 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615 зерен!
- У грі "Вежа Ханоя", щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n - 1 операцій, тобто їх число зростає в геометричній прогресії від кількості використовуваних дисків n.
Вулиця Кіевян, 16 0016 Вірменія, Єреван +374 11 233 255
Геометрична прогресія - це новий вид числової послідовності, з яким нам належить познайомитися. Для успішного знайомства не завадить хоча б знати і розуміти,. Тоді і з геометричною прогресією проблем не буде.)
Що таке геометрична прогресія? Поняття геометричній прогресії.
Починаємо екскурсію, як зазвичай, з елементарщину. Пишу незакінчену послідовність чисел:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Чи зможете вловити закономірність і сказати, які числа підуть далі? Ясен перець, далі підуть числа 100000, 1000000 і так далі. Навіть без особливого розумового напруження все ясно, правда ж?)
Гаразд. Ще приклад. Пишу ось таку послідовність:
1, 2, 4, 8, 16, …
Чи зможете сказати, які числа підуть далі, слідом за числом 16 і назвати восьмий член послідовності? Якщо ви зрозуміли, що це буде число 128, то дуже добре. Значить, півсправи в розумінні сенсу і ключових моментів геометричній прогресії вже зроблено. Можна рости далі.)
А тепер знову переходимо від відчуттів до суворої математики.
Ключові моменти геометричній прогресії.
Ключовий момент №1
Геометрична прогресія - це послідовність чисел. Як і прогресія. Нічого хитрого. Тільки влаштована ця послідовність по іншому.Звідси, природно, й іншу назву носить, так ...
Ключовий момент №2
З другим ключовим моментом хитрішого буде. Давайте повернемося трохи назад і згадаємо ключове властивість арифметичної прогресії. Ось воно: кожен член відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.
А чи можна схоже ключове властивість сформулювати для геометричної прогресії? Подумайте трохи ... Придивіться до наведених прикладів. Здогадалися? Так! У геометричній прогресії (будь-який!) Кожен її член відрізняється від попереднього в один і той же число раз.Завжди!
У першому прикладі це число - десятка. Який член послідовності не візьми, він більше попереднього в десять разів.
У другому прикладі це - двійка: кожен член більше попереднього в два рази.
Саме цим ключовим моментом геометрична прогресія і відрізняється від арифметичної. В арифметичній прогресії кожен наступний член виходить додатком однієї і тієї ж величини до попереднього члену. А тут - множенням попереднього члена на одну і ту ж величину. Ось і вся різниця.)
Ключовий момент №3
Цей ключовий момент повністю ідентичний такому для арифметичної прогресії. А саме: кожен член геометричної прогресії стоїть на своєму місці.Все точь-в-точь як і в арифметичній прогресії і коментарі, я думаю, зайві. Є перший член, є сто перший і т.д. Переставимо місцями хоча б два члена - закономірність (а разом з нею і геометрична прогресія) зникнуть. Чи залишиться просто послідовність чисел без будь-якої логіки.
От і все. Ось і весь сенс геометричній прогресії.
Терміни і позначення.
А ось тепер, розібравшись зі здоровим глуздом і ключовими моментами геометричній прогресії, можна і до теорії переходити. А інакше яка ж теорія без розуміння сенсу, правда?
Як позначати геометричну прогресію?
Як записується геометрична прогресія в загалом вигляді? Ніяких проблем! Кожен член прогресії також записується у вигляді букви. Тільки для арифметичної прогресії, зазвичай, використовується буква "А", Для геометричної - буква "B". номер члена, Як зазвичай, вказується індексом справа внизу. Самі члени прогресії просто перераховуємо через кому або крапку з комою.
Ось так:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Коротко таку прогресію записують ось так: (b n) .
Або ось так, для кінцевих прогресій:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, ..., b 29, b 30.
Або, в короткій записи:
(b n), n=30 .
Ось, власне, і все позначення. Все те ж саме, тільки буква інша, так.) А тепер переходимо безпосередньо до визначення.
Визначення геометричної прогресії.
Геометрична прогресія - це числова послідовність, Перший член якої відмінний від нуля, а кожний наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме нульове число.
Ось і все визначення. Більшість слів і фраз вам зрозумілі і добре знайомі. Якщо, звичайно, розумієте сенс геометричній прогресії "на пальцях" і взагалі. Але є і кілька нових фраз, на які я хотів би звернути особливу увагу.
По-перше, слова: "Перший член якої відмінний від нуля".
Це обмеження на перший член введено не випадково. Як ви думаєте, що станеться, якщо перший член b 1 виявиться рівним нулю? Чому буде дорівнює другий член, якщо кожен член більше попереднього в один і той же число раз? Припустимо, в три рази? Подивимося ... Множимо перший член (тобто 0) на 3 і отримуємо ... нуль! А третій член? Теж нуль! І четвертий член - теж нуль! І так далі…
Отримуємо просто мішок бубликів послідовність нулів:
0, 0, 0, 0, …
Звичайно, така послідовність має право на життя, але ніякого практичного інтересу вона не представляє. Все і так зрозуміло. Будь її член - нуль. Сума будь-якої кількості членів - теж нуль ... Що з нею цікавого можна робити? Нічого ...
Наступні ключові слова: "Помноженому на одне й те саме нульове число".
Це саме число теж носить свою спеціальну назву - знаменник геометричної прогресії. Починаємо знайомство.)
Знаменник геометричній прогресії.
Все простіше простого.
Знаменник геометричній прогресії - це нульове число (або величина), що показує,у скільки разів кожен член прогресії більше попереднього.
Знову ж, за аналогією з арифметичною прогресією, ключовим словом, на яке слід звернути увагу в цьому визначенні, є слово "Більше". Воно означає, що кожен член геометричної прогресії виходить множеннямна цей самий знаменник попереднього члена.
Пояснюю.
Для розрахунку, скажімо, другого члена, треба взяти перший член і помножити його на знаменник. Для розрахунку десятого члена, треба взяти дев'ятий член і помножити його на знаменник.
Сам знаменник геометричній прогресії може при цьому бути яким завгодно. Абсолютно будь-яким! Цілим, дробовим, позитивним, негативним, ірраціональним - всяким. Крім нуля. Про це і говорить нам слово "нульове" у визначенні. Навіщо це слово тут потрібно - про це далі.
Знаменник геометричної прогресії позначається, найчастіше, буквою q.
Як знайти це саме q ? Не питання! Треба взяти будь-який член прогресії і поділити на попередній член. Розподіл - це дріб. Звідси і назва - "знаменник прогресії". Знаменник, він зазвичай в дроби сидить, так ...) Хоча, за логікою, величину q слід було б називати приватним геометричній прогресії, за аналогією з різницею для арифметичній прогресії. Але домовилися називати знаменником. І ми теж не будемо винаходити велосипед.)
Визначимо, наприклад, величину q для такої геометричної прогресії:
2, 6, 18, 54, …
Все елементарно. беремо будь-який число послідовності. Яке хочемо, таке і беремо. Крім самого першого. Наприклад, 18. І ділимо на попереднє число. Тобто, на 6.
отримуємо:
q = 18/6 = 3
От і все. Це вірний відповідь. Для даної геометричній прогресії знаменник дорівнює трьом.
Знайдемо тепер знаменник q для іншої геометричної прогресії. Наприклад, ось такий:
1, -2, 4, -8, 16, …
Все теж саме. Які б знаки не були у самих членів, все одно беремо будь-який число послідовності (наприклад, 16) і ділимо на попереднє число (Тобто -8).
отримаємо:
d = 16/(-8) = -2
І всі справи.) Цього разу знаменник прогресії виявився негативним. Мінус два. Буває.)
Візьмемо тепер ось таку прогресію:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
І знову, незалежно від виду чисел, що стоять в послідовності (хоч цілі, хоч дробові, хоч негативні, хоч ірраціональні), беремо будь-яке число (наприклад, 1/9) і ділимо на попереднє число (1/3). За правилами дій з дробами, природно.
отримаємо:
І все.) Тут знаменник виявився дробовим: q = 1/3.
А ось така "прогресія" як вам?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно, тут q = 1 . Формально це теж геометрична прогресія, тільки з однаковими членами.) Але такі прогресії для вивчення і практичного застосування не цікаві. Так само, як і прогресії із суцільними нулями. Тому ми їх розглядати і не будемо.
Як ви бачите, знаменник прогресії може бути яким завгодно - цілим, дробовим, позитивним, негативним - всяким! Не може бути тільки нулем. Чи не здогадалися, чому?
Ну, давайте на якомусь конкретному прикладі подивимося, що буде, якщо взяти в якості знаменника q нулик.) Нехай у нас, припустимо, буде b 1 = 2 , а q = 0 . Чому тоді буде дорівнює другий член?
вважаємо:
b 2 = b 1 · q \u003d 2 · 0 \u003d 0
А третій член?
b 3 = b 2 · q \u003d 0 · 0 \u003d 0
Види і поведінку геометричних прогресій.
З все було більш-менш ясно: якщо різниця прогресії d позитивна, то прогресія зростає. Якщо ж різниця негативна, то прогресія убуває. Всього два варіанти. Третього не дано.)
А ось з поведінкою геометричній прогресії все буде вже набагато цікавіше і різноманітніше!)
Як тільки себе тут члени ні ведуть: і зростають, і зменшуються, і необмежено наближаються до нуля, і навіть змінюють знаки, поперемінно кидаючись то в "плюс", то в "мінус"! І в усьому цьому різноманітті треба вміти добре розбиратися, так ...
Розбираємося?) Починаємо з самого простого випадку.
Знаменник позитивний ( q >0)
При позитивному знаменнику, по-перше, члени геометричної прогресії можуть йти в плюс нескінченність (Тобто необмежено зростати) і можуть йти в мінус нескінченність(Тобто необмежено зменшуватися). До такої поведінки прогресій ми вже звикли.
наприклад:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Тут все просто. Кожен член прогресії виходить більше попереднього. Причому кожен член виходить множенням попереднього члена на позитивне число +2 (тобто q = 2 ). Поведінка такої прогресії очевидно: всі члени прогресії необмежено ростуть, йдучи в космос. В плюс нескінченність ...
А тепер ось така прогресія:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Тут теж кожен член прогресії виходить множенням попереднього члена на позитивне число +2. А ось поведінка такої прогресії вже прямо протилежне: кожен член прогресії виходить менше попереднього, І все її члени необмежено зменшуються, йдучи в мінус нескінченність.
А тепер давайте подумаємо: що спільного у цих двох прогресій? Правильно, знаменник! І там і там q = +2 . Додатне число.Двійка. А от поведінка цих двох прогресій - принципово різний! Чи не здогадалися, чому? Так! Вся справа в першому члені!Саме він, як то кажуть, і замовляє музику.) Дивіться самі.
У першому випадку перший член прогресії позитивний (+1) і, отже, всі наступні члени, одержувані множенням на позитивнийзнаменник q = +2 , Також будуть позитивними.
А от у другому випадку перший член негативний (-1). Тому і всі наступні члени прогресії, одержувані множенням на позитивне q = +2 , Також будуть виходити негативними. Бо "мінус" на "плюс" завжди дає "мінус", так.)
Як ви бачите, на відміну від арифметичної прогресії, геометрична прогресія може вести себе зовсім по-різному не тільки в залежності від знаменникаq, Але ще і в залежності від першого члена, Так.)
Запам'ятовуємо: поведінка геометричній прогресії однозначно визначається її першим членом b 1 і знаменникомq .
А тепер починаємо розбір менш звичних, але зате набагато більш цікавих випадків!
Візьмемо, наприклад, ось таку послідовність:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Ця послідовність - теж геометрична прогресія! Кожен член цієї прогресії теж виходить множенням попереднього члена, на одне і те ж число. Тільки число це - дробове: q = +1/2 . або +0,5 . Причому (важливо!) Число, менше одиниці:q = 1/2<1.
Чим цікава ця геометрична прогресія? Куди прагнуть її члени? Давайте подивимося:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Що цікавого тут можна помітити? По-перше, відразу кидається в очі спадання членів прогресії: кожен її член менше попереднього рівно у 2 рази. Або, відповідно до визначення геометричній прогресії, кожен член більшепопереднього в 1/2 рази, Тому що знаменник прогресії q = 1/2 . А від множення на додатне число, Менше одиниці, результат зазвичай зменшується, так ...
що ще можна помітити в поведінці цієї прогресії? Зменшуються чи її члени необмежено, Йдучи в мінус нескінченність? Ні! Вони зменшуються по-особливому. Спочатку досить швидко зменшуються, а потім все повільніше і повільніше. Причому весь час залишаючись позитивними. Нехай і дуже-дуже маленькими. А до чого ж вони самі при цьому прагнуть? Чи не здогадалися? Так! До нулю вони прагнуть!) Причому, зверніть увагу, самого нуля члени нашої прогресії ніколи не досягають!Лише нескінченно близько до нього наближаються. Це дуже важливо.)
Схожа ситуація буде і в такий прогресії:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
тут b 1 = -1 , а q = 1/2 . Все те ж саме, тільки до нуля тепер члени будуть наближатися вже з іншого боку, знизу. Весь час залишаючись негативними.)
Така геометрична прогресія, члени якої необмежено наближаються до нуля (Неважливо, з позитивною або з негативного боку), в математиці носить особливу назву - нескінченно спадна геометрична прогресія. Прогресія ця настільки цікава і незвичайна, що про неї навіть буде окремий урок .)
Отже, ми розглянули всі можливі позитивні знаменники - і великі одинички і менші одиниці. Саму одиничку в якості знаменника ми не розглядаємо з причин, викладених вище (згадайте приклад з послідовністю трійок ...)
Підсумуємо:
позитивний і більше одиниці (q\u003e 1), то члени прогресії:
a) Необмежено зростають (якщоb 1 >0);
б) необмежено зменшується (якщоb 1 <0).
Якщо знаменник геометричної прогресії позитивний і менше одиниці (0< q<1), то члены прогрессии:
а) нескінченно близько наближаються до нуля зверху (якщоb 1 >0);
б) нескінченно близько наближаються до нуля знизу (якщоb 1 <0).
Залишилося тепер розглянути випадок негативного знаменника.
Знаменник негативний ( q <0)
За прикладом далеко ходити не будемо. Чого, власне, лахміття бабусю ?!) Нехай, наприклад, перший член прогресії буде b 1 = 1 , А знаменник візьмемо q \u003d -2.
Отримаємо ось таку послідовність:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
І так далі.) Кожен член прогресії виходить множенням попереднього члена на від'ємне число -2. При цьому всі члени, які стоять на непарних місцях (перший, третій, п'ятий і т.д.) будуть позитивними, А на парних місцях (другий, четвертий і т.д.) - негативними. Знаки строго чергуються. Плюс-мінус-плюс-мінус ... Така геометрична прогресія так і називається - зростаючої Знакозмінні.
Куди ж прагнуть її члени? А нікуди.) Так, за абсолютною величиною (тобто по модулю) члени нашої прогресії необмежено зростають (звідси і назва "зростаюча"). Але при цьому кожен член прогресії по черзі кидає то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "мінус". Коливається наша прогресія ... Причому розмах коливань з кожним кроком стрімко зростає, так.) Стало бути, прагнення членів прогресії кудись конкретно тут немає.Ні до плюс нескінченності, ні до мінус нескінченності, ні до нуля - нікуди.
Розглянемо тепер якийсь дрібний знаменник між нулем і мінус одиницею.
Наприклад, нехай буде b 1 = 1 , а q \u003d -1/2.
Тоді отримаємо прогресію:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
І знову маємо чергування знаків! Але, на відміну від попереднього прикладу, тут вже простежується чітка тенденція наближення членів до нуля.) Тільки в цей раз наші члени наближаються до нуля не строго зверху чи знизу, а знову вагаючись. По черзі приймаючи то позитивні, то негативні значення. Але при цьому їх модулі стають все ближче і ближче до заповітного нулики.)
Така геометрична прогресія називається нескінченно спадної Знакозмінні.
Чим цікаві ці два приклади? А тим, що в обох випадках має місце чергування знаків! Така фішка характерна тільки для прогресій з негативним знаменником, так.) Стало бути, якщо в якомусь завданні ви побачите геометричну прогресію зі Знакозмінні членами, то вже твердо будете знати, що її знаменник на 100% негативний і не помилитеся в знаку.)
До речі, в разі негативного знаменника знак першого члена абсолютно не впливає на поведінку самої прогресії. З яким би знаком перший член прогресії не був, в будь-якому випадку буде спостерігатися знакочередованіе членів. Все питання лише в тому, на яких місцях (Парні або непарні) стоятимуть члени з конкретними знаками.
запам'ятовуємо:
Якщо знаменник геометричної прогресії негативний , То знаки членів прогресії завжди чергуються.
При цьому самі члени:
а) необмежено зростаютьпо модулю, якщоq<-1;
б) нескінченно наближаються до нуля, якщо -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
От і все. Всі типові випадки розібрані.)
В процесі розбору самих різних прикладів геометричних прогресій, я періодично вживав слова: "Прагне до нуля", "Прагне до плюс нескінченності", "Прагне до мінус нескінченності"... Нічого страшного.) Ці мовні звороти (і конкретні приклади) - всього лише початкову знайомство з поведінкою найрізноманітніших числових послідовностей. На прикладі геометричній прогресії.
Навіщо нам взагалі потрібно знати поведінку прогресії? Яка різниця, куди вона там прагне? До нулю чи, до плюс нескінченності, до мінус нескінченності ... Нам-то що від цього?
Справа все в тому, що вже в ВУЗі, в курсі вищої математики, вам знадобиться вміння працювати з різними числовими послідовностями (з будь-якими, а не тільки прогресіями!) І вміння представляти, як саме себе веде та чи інша послідовність - зростає вона необмежено, убуває чи, чи прагне до конкретного числа (причому не обов'язково до нуля) або навіть взагалі ні до чого не прагне ... Цій темі в курсі матаналізу присвячений цілий розділ - теорія меж. А трохи конкретніше - поняття межі числової послідовності.Дуже цікава тема! Має сенс вступити до інституту і розібратися.)
Деякі приклади з цього розділу (послідовності, з межею) і зокрема, нескінченно спадна геометрична прогресія починають освоюватися ще в школі. Звикаємо.)
Більш того, вміння добре дослідити поведінку послідовностей надалі здорово зіграє на руку і дуже стане в нагоді в дослідженні функцій. Найрізноманітніших. А ось вміння грамотно працювати з функціями (обчислювати похідні, досліджувати їх по повній програмі, будувати їх графіки) вже різко підвищує ваш математичний рівень! Сумніваєтеся? Не треба. Ще згадайте мої слова.)
Подивимося на геометричну прогресію в житті?
У навколишньому нас життя з геометричною прогресією ми стикаємося дуже і дуже часто. Навіть самі того не підозрюючи.)
Наприклад, різні мікроорганізми, які оточують нас всюди у величезних кількостях і яких ми навіть не бачимо без мікроскопа, розмножуються саме в геометричній прогресії.
Скажімо, одна бактерія розмножується діленням навпіл, даючи потомство в 2 бактерії. У свою чергу, кожна з них, розмножуючись, теж ділиться навпіл, даючи загальне потомство в 4 бактерії. Наступне покоління дасть уже 8 бактерій, потім 16 бактерій, 32, 64 і так далі. З кожним наступним поколінням число бактерій подвоюється. Типовий приклад геометричній прогресії.)
Також в геометричній прогресії розмножуються і деякі комахи - попелиця, мухи. І кролики іноді, до речі, теж.)
Інший приклад геометричній прогресії, вже ближче до повсякденного життя, - це так звані складні відсотки. Таке цікаве явище часто зустрічається в банківських вкладах і називається капіталізацією відсотків. Що це таке?
Самі ви поки що ще, звичайно, юні. В школе учитесь, в банки не звертаєтеся. А ось батьки ваші - люди вже дорослі і самостійні. На роботу ходять, гроші на хліб насущний заробляють, а частина грошей кладуть в банк, роблячи заощадження.)
Скажімо, ваш тато хоче накопичити певну грошову суму на сімейний відпочинок в Туреччині і поклав в банк 50000 рублів під 10% річних терміном на три роки з щорічної капіталізацією відсотків. Причому протягом усього цього терміну робити зі внеском нічого не можна. Не можна ні поповнювати вклад, ні знімати гроші з рахунку. Який прибуток він отримає через ці три роки?
Ну, по-перше, треба розібратися, що ж таке 10% річних. Це означає що через рік до первісної суми вкладу банком будуть нараховані 10%. Від чого? Звичайно ж, від первісної суми вкладу.
Вважаємо розмір рахунку через рік. Якщо початкова сума вкладу становила 50000 рублів (тобто 100%), то через рік на рахунку буде скільки відсотків? Правильно, 110%! Від 50000 рублів.
Ось і вважаємо 110% від 50000 рублів:
50000 · 1,1 \u003d 55000 рублів.
Сподіваюся, ви розумієте, що знайти 110% від величини означає помножити цю величину на число 1,1? Якщо не розумієте, чому це саме так, згадуйте п'ятий і шостий класи. А саме - зв'язок відсотків з дробом і частинами.)
Таким чином, надбавка за перший рік складе 5000 рублів.
А скільки грошей буде на рахунку через два роки? 60000 рублів? На жаль (а вірніше, на щастя), все не так просто. Весь фокус капіталізації відсотків полягає в тому, що при кожному новому нарахуванні відсотків, ці самі відсотки будуть вважатися вже від нової суми!Від тієї, яка вже лежить на рахунку в даний момент.А нараховані за попередній термін відсотки додаються до початкової суми вкладу і, таким чином, самі беруть участь в нарахуванні нових відсотків! Тобто, вони стають повноправною частиною загального рахунку. або загального капіталу.Звідси і назва - капіталізація відсотків.
Це в економіці. А в математиці такі відсотки називаються складними відсотками.або відсотками від відсотків.) Їх фішка полягає в тому, що при послідовному обчисленні відсотки кожен раз вважаються від нової величини.А чи не від первісної ...
Стало бути, для підрахунку суми через два роки, Нам треба порахувати 110% від тієї суми, яка буде на рахунку через рік. Тобто, вже від 55000 рублів.
Вважаємо 110% від 55000 рублів:
55000 · 1,1 \u003d 60500 рублів.
Значить, процентна надбавка за другий рік складе вже 5500 рублів, а за два роки - 10500 рублів.
Тепер уже можна здогадатися, що через три роки сума на рахунку становитиме 110% від 60500 рублів. Тобто знову 110% від попередньої (торішньої)суми.
Ось і вважаємо:
60500 · 1,1 \u003d 66550 рублів.
А тепер вибудовуємо наші грошові суми за роками в послідовність:
50000;
55000 \u003d 50000 · 1,1;
60500 \u003d 55000 · 1,1 \u003d (50000 · 1,1) · 1,1;
66550 \u003d 60500 · 1,1 \u003d ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1
Ну і як? Чим не геометрична прогресія? перший член b 1 = 50000 , А знаменник q = 1,1 . Кожен член більше попереднього строго в 1,1 рази. Все в суворій відповідності з визначенням.)
І скільки ж додаткових процентних бонусів "накапає" вашому татові, поки його 50000 рублів три роки лежали на банківському рахунку?
вважаємо:
66550 - 50000 \u003d 16550 рублів
Не густо, звичайно. Але це якщо початкова сума вкладу - маленька. А якщо побільше? Скажімо, не 50, а 200 тисяч рублів? Тоді надбавка за три роки складе вже 66200 рублів (якщо порахувати). Що вже дуже непогано.) А якщо вклад ще більше? Ото ж бо й воно ...
Висновок: чим вище початковий внесок, тим вигідніше стає капіталізація відсотків. Саме тому вклади з капіталізацією відсотків надаються банками на тривалі терміни. Скажімо, на п'ять років.
Також в геометричній прогресії люблять поширюватися всякі нехороші хвороби типу грипу, кору і навіть більш страшних захворювань (тієї ж атипової пневмонії на початку 2000-х або чуми в Середньовіччі). Звідси й такі масштаби епідемій, так ...) А все через те, що геометрична прогресія з цілим позитивним знаменником (q>1) - штука, зростаюча дуже швидко! Згадайте розмноження бактерій: з однієї бактерії виходять дві, з двох - чотири, з чотирьох - вісім і так далі ... З поширенням всякої зарази все те ж саме.)
Найпростіші задачі по геометричній прогресії.
Почнемо, як завжди, з нескладною завдання. Чисто на розуміння сенсу.
1. Відомо, що другий член геометричної прогресії дорівнює 6, а знаменник дорівнює -0,5. Знайдіть перший, третій і четвертий її члени.
Отже, нам дана нескінченна геометрична прогресія, а відомий другий член цієї прогресії:
b 2 \u003d 6
Крім того, нам ще відомий знаменник прогресії:
q \u003d -0,5
А знайти потрібно перший, третійі четвертийчлени цієї прогресії.
Ось і діємо. Записуємо послідовність за умовою завдання. Прямо в загальному вигляді, де другий член - шістка:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
А тепер приступаємо до пошуків. Починаємо, як завжди, з самого простого. Можна порахувати, наприклад, третій член b 3? Можна, можливо! Ми ж з вами вже знаємо (прямо за змістом геометричній прогресії), що третій член (B 3) більше другого (b 2 ) в "Q" раз!
Так і пишемо:
b 3 \u003db 2 · q
Підставляємо в цей вислів шістку замість b 2і -0,5 замість q і вважаємо. І мінус теж не ігноруємо, зрозуміло ...
b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3
Ось так. Третій член виявився з мінусом. Не дивно: наш знаменник q - негативний. А плюс помножити на мінус, буде, Певна річ, мінус.)
Вважаємо тепер наступний, четвертий член прогресії:
b 4 \u003db 3 · q
b 4 \u003d 3 · (-0,5) \u003d 1,5
Четвертий член - знову з плюсом. П'ятий член буде знову з мінусом, шостий - з плюсом і так далі. Знаки - чергуються!
Так, третій і четвертий члени знайшли. Вийшла ось така послідовність:
b 1; 6; -3; 1,5; ...
Залишилося тепер знайти перший член b 1 за відомим другого. Для цього крокуємо вже в іншу сторону, вліво. Це означає, що в даному випадку другий член прогресії нам треба не помножити на знаменник, а поділити.
Ділимо і отримуємо:
Ось і все.) Відповідь до завданню буде такою:
-12; 6; -3; 1,5; …
Як ви бачите, принцип вирішення той же самий, що і в. знаємо будь-який член і знаменник геометричній прогресії - можемо знайти і будь-який інший її член. Який хочемо, такий і відшукаємо.) З тією лише різницею, що додавання / віднімання замінюється на множення / ділення.
Запам'ятовуємо: якщо нам відомий хоча б один член і знаменник геометричної прогресії, то ми завжди можемо знайти будь-який інший член цієї прогресії.
Наступна задача, за традицією, з реального варіанту ОГЕ:
2.
...; 150; х; 6; 1,2; ...
Ну і як? Цього разу ні першого члена немає, ні знаменника q, Задана просто послідовність чисел ... Щось знайоме вже, правда? Так! Схожа завдання вже розбиралася в по арифметичній прогресії!
Ось і не лякаємося. Все теж саме. Включаємо голову і згадуємо елементарний сенс геометричній прогресії. Дивимося уважно на нашу послідовність і міркуємо, які параметри геометричної прогресії з трьох головних (перший член, знаменник, номер члена) в ній заховані.
Номери членів? Номерів членів нету, так ... Але зате є чотири послідовних числа. Що означає це слово, пояснювати на даному етапі сенсу не бачу.) Чи є в цій послідовності два сусідніх відомих числа?Є! Це 6 і 1,2. Значить, ми можемо знайти знаменник прогресії.Ось і беремо число 1,2 і ділимо на попереднє число. На шістку.
отримуємо:
отримаємо:
x \u003d 150 · 0,2 \u003d 30
відповідь: x = 30 .
Як ви бачите, все досить просто. Основна складність полягає лише в обчисленнях. Особливо тяжко буває в разі негативних і дрібних знаменників. Так що ті, у кого проблеми, повторіть арифметику! Як працювати з дробом, як працювати з негативними числами і так далі ... Інакше тут будете гальмувати нещадно.
А тепер трохи видозмінимо завдання. Зараз цікаво стане! Приберемо в ній останнє число 1,2. Ось таке завдання тепер вирішимо:
3. Виписано кілька послідовних членів геометричної прогресії:
...; 150; х; 6; ...
Знайдіть член прогресії, позначений буквою х.
Все те ж саме, тільки двох сусідніх відомих членів прогресії у нас тепер не стало. В цьому і полягає основна проблема. Тому, що величину q через два сусідніх члена ми так просто визначити вже не зможемо. Є у нас шанс впоратися з завданням? Звісно!
Розпишемо невідомий член " x"Прямо за змістом геометричній прогресії! У загальному вигляді.
Так Так! Прямо з невідомим знаменником!
З одного боку, для ікси ми можемо записати ось таке співвідношення:
x \u003d 150 ·q
З іншого боку, цей же самий ікс ми маємо повне право розписати і через наступного член, через шістку! Поділивши шістку на знаменник.
Ось так:
x = 6/ q
Очевидно, тепер можна прирівняти обидва цих співвідношення. Раз вже ми висловлюємо одну й ту саму величину (ікс), але двома різними способами.
Отримаємо рівняння:
Помноживши все на q, Спрощуючи, скорочуючи, отримаємо рівняння:
q 2 \u003d 1/25
Вирішуємо і отримуємо:
q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0,2
От чорт! Знаменник-то подвійний вийшов! +0,2 і -0,2. І який з них вибрати? Глухий кут?
Спокій! Так, завдання дійсно має два рішення!Нічого страшного в цьому немає. Буває.) Ви ж не дивуєтеся, коли, наприклад, отримуєте два кореня, вирішуючи звичайне? Ось і тут та сама історія.)
для q \u003d +0,2 ми отримаємо:
X \u003d 150 · 0,2 \u003d 30
А для q = -0,2 буде:
X \u003d 150 · (-0,2) \u003d -30
Отримуємо подвійний відповідь: x = 30; x = -30.
Що означає цей цікавий факт? А то, що існує дві прогресії, Що задовольняють умові завдання!
Ось такі:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Обидві - підходять.) Як ви думаєте, через що у нас відбулося роздвоєння відповідей? Якраз через ліквідацію конкретного члена прогресії (1,2), що йде після шістки. А знаючи тільки попередній (n-1) -й і подальший (n + 1) -й члени геометричної прогресії, ми вже нічого не можемо однозначно сказати про n-й член, що стоїть між ними. Можливі два варіанти - з плюсом і з мінусом.
Але не біда. Як правило, в завданнях на геометричну прогресію є додаткова інформація, що дає однозначну відповідь. Скажімо, слова: "Знакозмінні прогресія"або "Прогресія з позитивним знаменником" і так далі ... Саме ці слова і повинні служити зачіпкою, який знак, плюс або мінус, слід вибрати при оформленні остаточної відповіді. Якщо ж такої інформації немає, то тоді - так, завдання буде мати два рішення.)
А тепер вирішуємо самостійно.
4. Визначте, чи буде число 20 членом геометричній прогресії:
4 ; 6; 9; …
5. Задана Знакозмінні геометрична прогресія:
…; 5; x ; 45; …
Знайдіть член прогресії, позначений буквою x .
6. Знайдіть четвертий позитивний член геометричної прогресії:
625; -250; 100; …
7. Другий член геометричної прогресії дорівнює -360, а п'ятий її член дорівнює 23,04. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Відповіді (в безладді): -15; 900; немає; 2,56.
Вітаю, якщо все вийшло!
Щось не стикується? Десь відповідь подвійний вийшов? Читаємо уважно умову завдання!
Остання задача не виходить? Там нічого складного.) Працюємо прямо за змістом геометричній прогресії. Ну і картинку можна намалювати. Це допомагає.)
Як ви бачите, все елементарно. Якщо прогресія - коротенька. А якщо довга? Або номер потрібного члена дуже великий? Хотілося б, за аналогією з арифметичною прогресією, як-то отримати зручну формулу, що дозволяє легко знаходити будь-який член будь-якої геометричної прогресії по його номеру. Чи не помножити багато-багато раз на q. І така формула є!) Подробиці - в наступному уроці.
Формула n-го члена геометричної прогресії - штука дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання на формулу n-го члена зустрічаються всякі - від зовсім примітивних до цілком собі серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо і ті і інші. Ну що, знайомимося?)
Отже, для початку власне сама формулаn
Ось вона:
b n = b 1 · q n -1
Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше і компактніше, ніж аналогічна формула для. Зміст формули теж простий, як валянок.
Ця формула дозволяє знаходити будь-член геометричної прогресії ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n".
Як ви бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n - можемо порахувати і член, що стоїть під цим номером. Який хочемо. Чи не множачи послідовно на "q" багато-багато разів. Ось і весь сенс.)
Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі вхідні в формулу величини вам вже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.
Отже, поїхали:
b 1 – перший член геометричної прогресії;
q – ;
n - номер члена;
b n – енний (n-й) член геометричної прогресії.
Ця формулка пов'язує чотири основних параметри будь-якої геометричної прогресії - b n, b 1 , q і n. І навколо цих чотирьох ключових фігур і крутяться все-все завдання по прогресії.
"А як вона виводиться?" - чую цікаве питання ... Елементарно! Дивіться!
чому дорівнює другий член прогресії? Не питання! Прямо по пишемо:
b 2 \u003d b 1 · q
А третій член? Теж не проблема! Другий член помножается ще раз наq.
Ось так:
B 3 \u003d b 2 · q
Згадаймо тепер, що другий член, в свою чергу, у нас дорівнює b 1 · q і підставимо цей вираз в наше рівність:
B 3 \u003d b 2 · q \u003d (b 1 · q) · q \u003d b 1 · q · q \u003d b 1 · q 2
отримуємо:
B 3 \u003d B 1 · q 2
А тепер прочитаємо нашу запис по-російськи: третій член дорівнює першому члену, помноженому на q у другий ступеня. Відчуваєте? Поки немає? Добре, ще один крок.
Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! множимо попередній (Тобто третій член) на q:
B 4 \u003d b 3 · q \u003d (b 1 · q 2) · q \u003d b 1 · q 2 · q \u003d b 1 · q 3
Разом:
B 4 \u003d B 1 · q 3
І знову переводимо на російську мову: четвертий член дорівнює першому члену, помноженому на q в третьої ступеня.
І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на одиницю менше, ніж номер шуканого членаn.
Стало бути, наша формула буде, без варіантів:
b n \u003db 1 · q n -1
Ось і всі справи.)
Ну що, повирішуємо завдання, напевно?)
Рішення задач на формулуn-го члена геометричної прогресії.
Почнемо, як завжди, з прямого застосування формули. Ось типова задачка:
У геометричній прогресії відомо, що b 1 \u003d 512 і q \u003d -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.
Звичайно, це завдання можна взагалі без жодних формул вирішити. Прямо за змістом геометричній прогресії. Але ж нам з формулою n-го члена розім'ятися потрібно, правда? Ось і розминаємося.
Наші дані для застосування формули наступні.
Відомий перший член. Це 512.
b 1 = 512.
Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.
Залишається тільки зрозуміти, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо в загальну формулу десятку замість n.
І акуратно вважаємо арифметику:
Відповідь: -1
Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії у нас -1/2, тобто негативне число. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.)
Тут все просто. А ось схожа завдання, але трохи складніше в плані обчислень.
У геометричній прогресії відомо, що:
b 1 = 3
Знайдіть тринадцятий член прогресії.
Все те ж саме, тільки в цей раз знаменник прогресії - ірраціональний. Корінь з двох. Ну і нічого страшного. Формула - штука універсальна, з будь-якими числами справляється.
Працюємо прямо по формулі:
Формула, звичайно, спрацювала як треба, але ... ось тут деякі і зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь в дванадцяту ступінь?
Як-як ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не відміняється! Як звести? Так властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь в ступінь з дробовим показникомі - за формулою зведення ступеня в ступінь.
Ось так:
Відповідь: 192
І всі справи.)
В чому полягає основна складність при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основні труднощі - це робота зі ступенями! А саме - зведення в ступінь негативних чисел, дробів, коренів і тому подібних конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, настійне прохання повторити ступеня і їх властивості! Інакше і в цій темі будете гальмувати, так ...)
А тепер повирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формули, Якщо дано всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий до жаху - пишемо формулуn-го члена в загальному вигляді!Прямо в зошиті поруч з умовою. А потім з умови міркуємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо з формули шукану величину. Усе!
Наприклад, така безневинна завдання.
П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Нічого складного. Працюємо прямо по заклинання.
Пишемо формулу n-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Що нам дано? По-перше, даний знаменник прогресії: q = 3.
Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .
Усе? Ні! Ще нам дано номер n! Це - п'ятірка: n \u003d 5.
Сподіваюся, ви вже розумієте, що в запису b 5 = 567 приховані відразу два параметра - це сам п'ятий член (567) і його номер (5). В аналогічному уроці по я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)
Ось тепер підставляємо наші дані в формулу:
567 = b 1 · 3 5-1
Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо простеньке лінійне рівняння:
81 b 1 = 567
Вирішуємо і отримуємо:
b 1 = 7
Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем ніяких. А ось при пошуку знаменника q і номера n можуть зустрічатися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.)
Наприклад, таке завдання:
П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
Цього разу нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. Ось і приступаємо.
пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Наші вихідні дані будуть наступними:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Бракує значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо в формулу все що нам відомо.
отримуємо:
162 \u003d 2 ·q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Простеньке рівняння четвертого ступеня. А ось зараз - акуратно! На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягають корінь (четвертого ступеня) і отримують відповідь q=3 .
Ось так:
q 4 \u003d 81
q = 3
Але взагалі-то, це недороблений відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!
Все через те, що статечне рівняння x n = a завжди має два протилежних кореня при парномуn . З плюсом і з мінусом:
Обидва підходять.
Наприклад, вирішуючи (тобто другий ступеня)
x 2 \u003d 9
Ви ж чомусь не дивуєтеся появи двох коренів x \u003d ± 3? Ось і тут те ж саме. І з будь-якою іншою парної ступенем (четвертої, шостої, десятої і т.д.) буде так само. Подробиці - в темі про
Тому правильне рішення буде таким:
q 4 = 81
q \u003d ± 3
Добре, зі знаками розібралися. Який же з них правильний - плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі в пошуках додаткової інформації.Її, звичайно, може і не бути, але в цьому завданню така інформація є.У нас в умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.
Тому відповідь очевидна:
q = 3
Тут-то все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання була б ось такий:
П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
В чому різниця? Так! В умови нічого не сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мала б два рішення!
q = 3 і q = -3
Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, Які підходять під умову задачі. І для кожної - свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся і випишіть перші п'ять членів кожної з них.)
А тепер потренуємося номер члена знаходити. Це завдання найскладніша, так. Але зате і більш творча.)
Дана геометрична прогресія:
3; 6; 12; 24; …
Під яким номером в цій прогресії варто число 768?
Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
А тепер, як зазвичай, підставляємо в неї відомі нам дані. Гм ... не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше ?!
Де-не-де ... А очі нам навіщо? Віями плескати? Цього разу прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовності. Перший член бачимо? Бачимо! Це - трійка (b 1 \u003d 3). А знаменник? Поки не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти,.
Ось і вважаємо. Прямо за змістом геометричній прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і ділимо на попередній.
Хоча б ось так:
q = 24/12 = 2
Що ще нам відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, рівний 768. Під якимось номером n:
b n = 768
Номер його нам невідомий, але наше завдання як раз і полягає в тому, щоб його відшукати.) Ось і шукаємо. Всі необхідні дані для підстановки в формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)
Ось і підставляємо:
768 \u003d 3 · 2 n -1
Робимо елементарні - ділимо обидві частини на трійку і переписуємо рівняння в звичному вигляді: невідоме зліва, відоме - справа.
отримуємо:
2 n -1 = 256
Ось таке цікаве рівняння. Треба знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі-то, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (в даному випадку це - номер n) Коштує в показнику ступеня.
На етапі знайомства з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показникові рівняння вирішувати не вчать, та ... Це тема старших класів. Але страшного нічого немає. Навіть якщо ви не в курсі, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, Керуючись простою логікою і здоровим глуздом.
Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки не знаємо, що це конкретно за ступінь, але це і не страшно. Але зате ми твердо знаємо, що ця ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, в якої ж міри двійка дає нам 256. Згадали? Так! В восьмий ступеня!
256 = 2 8
Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, в куб, в четверту ступінь, п'яту і так далі. Підбір, фактично, але на даному рівні - цілком прокотить.
Так чи інакше, ми отримаємо:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Отже, 768 - це дев'ятий член нашої прогресії. Все, задача вирішена.)
Відповідь: 9
Що? Нудно? Набридла елементарщину? Згоден. І мені теж. Крокуємо на наступний рівень.)
Більш складні завдання.
А тепер вирішуємо завдання покруче. Не те щоб зовсім вже сверхкрутимі, але над якими належить трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.
Наприклад, така.
Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий її член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.
Це класика жанру. Відомі якісь два різних члена прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени НЕ сусідні. Що і бентежить спочатку, так ...
Як і в, для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб - універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно і з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.)
Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Все точь-в-точь як з арифметичною прогресією. Тільки в цей раз працюємо з інший загальною формулою. Ось і все.) Але суть та ж сама: беремо і по черзі підставляємо в формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена - свої.
Для четвертого члена записуємо:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Є. Одне рівняння готове.
Для сьомого члена пишемо:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .
Збираємо з них систему:
Незважаючи на її грізний вигляд, сістемка зовсім проста. Найбільш очевидний спосіб вирішення - звичайна підстановка. висловлюємо b 1 з верхнього рівняння і підставляємо в нижню:
Трохи повозившись з нижнім рівнянням (скоротивши ступеня і поділивши на -24), отримаємо:
q 3 = -8
До цього ж рівняння, між іншим, можна прийти і більш простим шляхом! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже-дуже красивий, потужний і корисний спосіб вирішення подібних систем. Таких систем, в рівняннях яких сидять тільки твори.Хоча б в одному. називається метод почленного діленняодного рівняння на інше.
Отже, перед нами система:
В обох рівняннях зліва - твір, добуток, А праворуч - просто число. Це дуже хороший знак.) Давайте візьмемо і ... поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що значить, поділимо одне рівняння на інше? Дуже просто. беремо ліву частину одного рівняння (нижнього) і ділимо її на ліву частину іншого рівняння (верхнього). З правого частиною аналогічно: праву частину одного рівняння ділимо на праву частину іншого.
Весь процес розподілу виглядає так:
Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:
q 3 = -8
Чим хороший цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може благополучно скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важливо наявність тільки множення хоча б в одному з рівнянь системи. Нема множення - годі й скорочувати, так ...
А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальні способи вирішення систем) навіть заслуговує окремого уроку. Обов'язково його розберу детальніше. Коли-небудь ...
Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити вийшло рівняння:
q 3 = -8
Ніяких проблем: витягаємо корінь (кубічний) і - готово!
Прошу зауважити, що тут при добуванні ставити плюс / мінус не потрібно. Непарної (третьої) ступеня у нас корінь. І відповідь - теж один, так.)
Отже, знаменник прогресії знайдений. Мінус два. Відмінно! Процес йде.)
Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:
Відмінно! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася можливість знайти будь-який член прогресії. У тому числі і другий.)
Для другого члена все зовсім просто:
b 2 = b 1 · q \u003d 3 · (-2) \u003d -6
Відповідь: -6
Отже, алгебраїчний спосіб вирішення завдання ми з вами розклали по поличках. Складно? Не дуже, згоден. Довго і нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний спосіб.Старий добрий і знайомий нам по.)
Малюємо завдання!
Так! Саме так. Знову зображуємо нашу прогресію на числової осі. Не обов'язково по лінієчці, не обов'язково витримувати рівні інтервали між членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія - геометрична!), А просто схематично малюємо нашу послідовність.
У мене вийшло ось так:
А тепер дивимося на картинку і міркуємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертий і сьомий члени? Вірно, три!
Стало бути, маємо повне право записати:
-24 ·q 3 = 192
Звідси тепер легко шукається q:
q 3 = -8
q = -2
Ось і відмінно, знаменник у нас вже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другим і четвертим членами? Два! Стало бути, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити в квадрат.
Ось і пишемо:
b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2
Підставляємо наш знайдений знаменник в вираз для b 2, вважаємо і отримуємо:
Відповідь: -6
Як бачимо, все набагато простіше і швидше, ніж через систему. Більш того, тут нам взагалі навіть не знадобилося вважати перший член! Зовсім.)
Ось такий простий і наочний спосіб-лайт. Але є у нього і серйозний недолік. Здогадалися? Так! Він годиться тільки для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між важливими нас членами не дуже великі. А ось у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так ... Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему.) А системи - штука універсальна. З будь-якими числами справляються.
Ще одна епічність завдання:
Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого, а третій член на 30 більше другого. Знайдіть знаменник прогресії.
Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову задачі в чисту алгебру.
1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Другий член: b 2 \u003d b 1 · q
Третій член: b 3 \u003d b 1 · q 2
2) Записуємо зв'язок між членами з умови задачі.
Читаємо умова: "Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого". Стоп, це цінно!
Так і пишемо:
b 2 = b 1 +10
І цю фразу переводимо в чисту математику:
b 3 = b 2 +30
Отримали два рівняння. Об'єднуємо їх в систему:
Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставами-ка замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Дарма, чи що, ми їх розписували?
отримаємо:
А ось така система - вже не подарунок, так ... Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на рішення складних нелінійних систем в математиці немає і бути не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам у голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а не зводиться чи одне з рівнянь системи до красивого виду, що дозволяє, наприклад, легко висловити одну з змінних через іншу?
Ось і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше другого. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щось висловити через щось? Раз вже ми хочемо знайти знаменник q, То найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.
Ось і спробуємо виконати цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі:
b 1 q \u003d b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) \u003d 10
Усе! Ось ми і висловили непотрібну нам змінну (b 1) через потрібну (Q). Так, не найпростіше вираження отримали. Дріб якусь ... Але і система у нас пристойного рівня, так.)
Типове. Що робити - знаємо.
пишемо ОДЗ (Обов'язково!) :
q ≠ 1
Множимо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все зліва:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Вирішуємо вийшло і отримуємо два кореня:
q 1 = 1
q 2 = 3
Відповідь одна: q = 3 .
Відповідь: 3
Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди один? Читаємо уважно умову задачі і за допомогою формули n-го члена переводимо всю корисну інформацію в чисту алгебру.
А саме:
1) Розписуємо окремо кожен даний в завданні член за формулоюn-го члена.
2) З умови задачі переводимо зв'язок між членами в математичну форму. Складаємо рівняння або систему рівнянь.
3) Вирішуємо отримане рівняння або систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.
4) У разі неоднозначного відповіді читаємо уважно умову задачі в пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо такі є).
А тепер перерахуємо основні проблеми, найбільш часто призводять до помилок в процесі вирішення завдань на геометричну прогресію.
1. Елементарна арифметика. Дії з дробами і негативними числами.
2. Якщо хоча б з одним з цих трьох пунктів проблеми, то неминуче будете помилятися і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те про що згадано вище. І по ссилочку - сходіть. Іноді допомагає.)
Видозмінені і рекурентні формули.
А тепер розглянемо парочку типових екзаменаційних завдань з менш звичної подачею умови. Так-так, ви вгадали! це видозмінені і рекурентні формули n-го члена. З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в по арифметичній прогресії. Тут все аналогічно. Суть та ж.
Наприклад, така задачка з ОГЕ:
Геометрична прогресія задана формулою b n \u003d 3 · 2 n . Знайдіть суму першого і четвертого її членів.
Цього разу прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді якоїсь формули. Ну і що? Ця формула - теж формулаn-го члена! Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як в загальному вигляді, через букви, так і для конкретної прогресії. З конкретними першим членом і знаменником.
У нашому випадку нам, насправді, задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:
b 1 = 6
q = 2
Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена в загальному вигляді і підставимо в неї b 1 і q. отримаємо:
b n = b 1 · q n -1
b n \u003d 6 · 2 n -1
Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники і властивості ступенів, і отримуємо:
b n \u003d 6 · 2 n -1 \u003d 3 · 2 · 2 n -1 \u003d 3 · 2 n -1+1 \u003d 3 · 2 n
Як бачите, все чесно. Але наша з вами мета - не продемонструвати висновок конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета - вирішити задачу по тій формулі, що дана нам в умови. Відчуваєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.
Вважаємо перший член. підставляємо n=1 в загальну формулу:
b 1 = 3 · 2 +1 \u003d 3 · 2 \u003d 6
Ось так. До речі, не полінуюся і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n \u003d 3 · 2 n, Відразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це - груба помилка, так ...)
Продовжуємо. підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:
b 4 = 3 • 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48
Ну і нарешті, вважаємо необхідну суму:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Відповідь: 54
Ще завдання.
Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Знайдіть четвертий член прогресії.
Тут прогресія задана рекуррентной формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою - теж знаємо.
Ось і діємо. По кроках.
1) Вважаємо два послідовних члена прогресії.
Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член, легко можна порахувати по рекуррентной формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.)
Ось і вважаємо другий член за відомим першому:
b 2 = 3 b 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21
2) Вважаємо знаменник прогресії
Теж ніяких проблем. Прямо, ділимо другий член на перший.
отримуємо:
q = -21/(-7) = 3
3) Пишемо формулуn-го члена в звичному вигляді і вважаємо потрібний член.
Отже, перший член знаємо, знаменник - теж. Ось і пишемо:
b n \u003d -7 · 3 n -1
b 4 \u003d -7 • 3 3 = -7 · 27 \u003d -189
Відповідь: -189
Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичній прогресії. Важливо лише розуміти загальну суть і сенс цих формул. Ну і сенс геометричній прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.
Ну що, повирішуємо самостійно?)
Зовсім елементарні завдання, для розминки:
1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 \u003d 243, а q \u003d -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.
2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.
3. Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Знайдіть п'ятий член прогресії.
Трохи складніше:
4. Дана геометрична прогресія:
b 1 =2048; q =-0,5
Чому дорівнює шостій негативний її член?
Що, здається суперскладних? Зовсім ні. Врятує логіка і розуміння сенсу геометричній прогресії. Ну і формула n-го члена, само собою.
5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.
6. Сума першого і другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого і третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.
Відповіді (в безладді): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Ось майже і все. Залишилося лише навчитися нам вважати суму n перших членів геометричної прогресії да відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресію і її суму. Дуже цікаву і незвичайну штуку, між іншим! Про це - в наступних уроках.)
Математика - це те, за допомогою чоголюди керують природою і собою.
Радянський математик, академік А.Н. Колмогоров
Геометрична прогресія.
Поряд із завданнями на арифметичні прогресії також поширеними на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям геометричної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно знати властивості геометричної прогресії і мати гарні навички їх використання.
Ця стаття присвячена викладенню основних властивостей геометричної прогресії. Тут також наводяться приклади розв'язання типових задач, запозичених із завдань вступних випробувань з математики.
Попередньо відзначимо основні властивості геометричної прогресії і нагадаємо найбільш важливі формули і затвердження, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. Числова послідовність називається геометричною прогресією, якщо кожне її число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Число називається знаменником геометричної прогресії.
Для геометричній прогресіїсправедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена геометричній прогресії, а формула (2) являє собою основну властивість геометричної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім геометричним своїх сусідніх членів і.
Відзначимо, що саме через це властивості розглянута прогресія називається «геометричній».
Наведені вище формули (1) і (2) узагальнюються наступним чином:
, (3)
Для обчислення суми перших членів геометричної прогресії застосовується формула
Якщо позначити, то
де. Так як, то формула (6) є узагальненням формули (5).
У тому випадку, коли і, геометрична прогресія є нескінченно спадної. Для обчислення сумивсіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії використовується формула
. (7)
наприклад, за допомогою формули (7) можна показати, що
де. Дані рівності отримані з формули (7) за умови, що, (перша рівність) і, (друга рівність).
Теорема. Якщо то
Доведення. Якщо то ,
Теорема доведена.
Перейдемо до розгляду прикладів вирішення завдань на тему «Геометрична прогресія».
Приклад 1. Дано:, і. Знайти.
Рішення. Якщо застосувати формулу (5), то
Відповідь:.
Приклад 2.Нехай і. Знайти.
Рішення. Так як і, то скористаємося формулами (5), (6) і отримаємо систему рівнянь
Якщо друге рівняння системи (9) розділити на перше, То чи. Звідси випливає і . Розглянемо два випадки.
1. Якщо, то з першого рівняння системи (9) маємо.
2. Якщо, то.
Приклад 3.Нехай, і. Знайти.
Рішення. З формули (2) випливає, що або. Так як, то чи.
За умовою . Однак, тому. Оскільки і, то тут маємо систему рівнянь
Якщо друге рівняння системи розділити на перше, то чи.
Так як, то рівняння має єдиний підходящий корінь. В такому випадку з першого рівняння системи випливає.
Беручи до уваги формулу (7), отримуємо.
Відповідь:.
Приклад 4.Дано: і. Знайти.
Рішення. Так як, то.
Оскільки, то чи
Відповідно до формули (2) маємо. У зв'язку з цим з рівності (10) отримуємо або.
Однак за умовою, тому.
Приклад 5. Відомо що . Знайти.
Рішення. Згідно з теоремою маємо дві рівності
Так як, то чи. Оскільки, то.
Відповідь:.
Приклад 6. Дано: і. Знайти.
Рішення. Беручи до уваги формулу (5), отримуємо
Так як, то. Оскільки, і, то.
Приклад 7. Нехай і. Знайти.
Рішення. Відповідно до формули (1) можна записати
Отже, маємо або. Відомо, що і, тому і.
Відповідь:.
Приклад 8. Знайти знаменник нескінченної спадної геометричної прогресії, якщо
і.
Рішення. З формули (7) слід і . Звідси і з умови задачі отримуємо систему рівнянь
Якщо перше рівняння системи звести в квадрат, а потім отримане рівняння розділити на друге рівняння, То отримаємо
Або.
Відповідь:.
Приклад 9. Знайти всі значення, при яких послідовність,, є геометричною прогресією.
Рішення. Нехай, і. Відповідно до формули (2), яка задає основне властивість геометричної прогресії, можна записати або.
Звідси отримуємо квадратне рівняння, корінням якого є і.
Виконаємо перевірку: якщо, То, і; якщо, то, і.
У першому випадку маємо і, а в другому - і.
Відповідь:,.
Приклад 10.Розв'язати рівняння
, (11)
де і .
Рішення. Ліва частина рівняння (11) являє собою суму нескінченної спадної геометричної прогресії, в якій і, за умови: і.
З формули (7) слід, що . У зв'язку з цим рівняння (11) приймає вигляд або . відповідним коренем квадратного рівняння є
Відповідь:.
Приклад 11.П оследовательность позитивних чисел утворює арифметичну прогресію, а - геометричну прогресію, причому тут . Знайти.
Рішення.Так як арифметична послідовність, то (Основна властивість арифметичної прогресії). оскільки, То чи. Звідси випливає , що геометрична прогресія має вигляд. Відповідно до формули (2), Далі запишемо, що.
Так як і, то . У такому випадку вираз набуває вигляду або. За умовою , тому з рівняння отримуємо єдине рішення даної задачі, Тобто .
Відповідь:.
Приклад 12.обчислити суму
. (12)
Рішення. Помножимо на 5 обидві частини рівності (12) і отримаємо
Якщо з отриманого виразу відняти (12), то
або.
Для обчислення підставимо в формулу (7) значення, і отримаємо. Так як, то.
Відповідь:.
Наведені тут приклади розв'язання задач будуть корисні абітурієнтам при підготовці до вступних випробувань. Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з геометричною прогресією, можна використовувати навчальні посібники зі списку рекомендованої літератури.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики в задачах і вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М .: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишилися питання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Арифметична і геометрична прогресії
теоретичні відомості
теоретичні відомості
Арифметична прогресія |
Геометрична прогресія |
|
визначення |
арифметичною прогресією a n називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом d (d - різниця прогресій) |
геометричною прогресією b n називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й теж число q (q - знаменник прогресії) |
рекурентна формула |
Для будь-якого натурального n |
Для будь-якого натурального n |
Формула n-ого члена |
a n \u003d a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| характеристичне властивість |  |
|
| Сума n-перше членів |  |
 |
Приклади завдань з коментарями
Завдання 1
В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2
За формулою n-ого члена:
a 22 = a 1 + D (22 - 1) \u003d a 1 + 21 d
За умовою:
a 1 \u003d -6, значить a 22 \u003d -6 + 21 d.
Необхідно знайти різницю прогресій:
d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
відповідь: a 22 = -48.
завдання 2
Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6; ....
1-й спосіб (з допомогою формули n-членів)
За формулою n-ого члена геометричної прогресії:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Так як b 1 = -3,
2-й спосіб (з допомогою рекурентної формули)
Так як знаменник прогресії дорівнює -2 (q \u003d -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
відповідь: b 5 = -48.
завдання 3
В арифметичній прогресії ( a n) a 74 = 34; a 76 \u003d 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.
Для арифметичної прогресії характеристичне властивість має вигляд 
.
З цього слід:
.
Підставами дані в формулу:
Відповідь: 95.
завдання 4
В арифметичній прогресії ( a n) a n \u003d 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.
Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:
.
Яку з них в даному випадку зручніше застосовувати?
За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n \u003d 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16 без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.
Відповідь: 368.
завдання 5
В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6; a 2 \u003d -8. Знайдіть двадцять другого член прогресії.
За формулою n-ого члена:
a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d.
За умовою, якщо a 1 \u003d -6, то a 22 \u003d -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:
d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
відповідь: a 22 = -48.
завдання 6
Записані кілька послідовних членів геометричної прогресії:
Знайдіть член прогресії, позначений буквою x.
При вирішенні скористаємося формулою n-го члена b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 для геометричних прогресій. Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який з даних членів прогресії і розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти і поділити на. Отримаємо, що q \u003d 3. Замість n в формулу підставимо 3, так як необхідно знайти третій член, заданої геометричної прогресії.
Підставивши знайдені значення в формулу, отримаємо:
.
Відповідь:.
завдання 7
З арифметичних прогресій, заданих формулою n-го члена, виберіть ту, для якої виконується умова a 27 > 9:
Так як задана умова має виконуватися для 27-го члена прогресії, підставимо 27 замість n в кожну з чотирьох прогресій. В 4-й прогресії отримаємо:
.
Відповідь: 4.
завдання 8
В арифметичній прогресії a 1 \u003d 3, d \u003d -1,5. Вкажіть найбільше значення n, для якого виконується нерівність a n > -6.
Завантаження ...