Функція щільності нормально розподіленої випадкової величини. Нормальний розподіл і його параметри

У багатьох задачах, пов'язаних з нормально розподіленими випадковими величинами, доводиться визначати ймовірність попадання випадкової величини , Підпорядкованої нормальному закону з параметрами, на ділянку від до. Для обчислення цієї ймовірності скористаємося загальною формулою

де - функція розподілу величини.

Знайдемо функцію розподілу випадкової величини, розподіленої за нормальним законом з параметрами. Щільність розподілу величини дорівнює:

Звідси знаходимо функцію розподілу

. (6.3.3)

Зробимо в інтегралі (6.3.3) заміну змінної

і наведемо його до виду:

(6.3.4)

Інтеграл (6.3.4) не виражає через елементарні функції, Але його можна обчислити через спеціальну функцію, яка має певний інтеграл від виразу або (так званий інтеграл ймовірностей), для якого складені таблиці. Існує багато різновидів таких функцій, наприклад:

;

і т.д. Який з цих функцій користуватися - питання смаку. Ми виберемо в якості такої функції

. (6.3.5)

Неважко бачити, що ця функція є не що інше, як функцію розподілу для нормально розподіленої випадкової величини з параметрами.

Домовимося називати функцію нормальною функцією розподілу. У додатку (табл. 1) наведені таблиці значень функції.

Висловимо функцію розподілу (6.3.3) величини з параметрами і через нормальну функцію розподілу. очевидно,

Тепер знайдемо ймовірність попадання випадкової величини на ділянку від до. Відповідно до формули (6.3.1)

Таким чином, ми висловили ймовірність попадання на ділянку випадкової величини, розподіленої за нормальним законом з будь-якими параметрами, через стандартну функцію розподілу, відповідну найпростішого нормальному закону з параметрами 0,1. Зауважимо, що аргументи функції в формулі (6.3.7) мають дуже простий сенс: є відстань від правого кінця ділянки до центру розсіювання, виражене в середніх квадратичних відхиленнях; - таке ж відстань для лівого кінця ділянки, причому це відстань вважається позитивним, якщо кінець розташований праворуч від центру розсіювання, і негативним, якщо зліва.

Як і будь-яка функція розподілу, функція має властивості:

3. - неубутна функція.

Крім того, з симетричності нормального розподілу з параметрами щодо початку координат слід, що

Користуючись цією властивістю, власне кажучи, можна було б обмежити таблиці функції тільки позитивними значеннями аргументу, але, щоб уникнути зайвої операції (віднімання з одиниці), в таблиці 1 додатка наводяться значення як для позитивних, так і для негативних аргументів.

На практиці часто зустрічається завдання обчислення ймовірності потрапляння нормально розподіленої випадкової величини на ділянку, симетричний щодо центру розсіювання. Розглянемо таку ділянку довжини (рис. 6.3.1). Обчислимо ймовірність попадання на цю ділянку за формулою (6.3.7):

З огляду на властивість (6.3.8) функції і надаючи лівій частині формули (6.3.9) більш компактний вид, отримаємо формулу для ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої за нормальним законом на ділянку, симетричний щодо центру розсіювання:

. (6.3.10)

Вирішимо наступне завдання. Відкладемо від центру розсіювання послідовні відрізки довжиною (рис. 6.3.2) і обчислимо ймовірність попадання випадкової величини в кожен з них. Так як крива нормального закону симетрична, досить відкласти такі відрізки тільки в одну сторону.

За формулою (6.3.7) знаходимо:

(6.3.11)

Як видно з цих даних, ймовірності попадання на кожен з наступних відрізків (п'ятий, шостий і т.д.) з точністю до 0,001 дорівнюють нулю.

Округляючи ймовірності попадання в відрізки до 0,01 (до 1%), отримаємо три числа, які легко запам'ятати:

0,34; 0,14; 0,02.

Сума цих трьох значень дорівнює 0,5. Це означає, що для нормально розподіленої випадкової величини все розсіювання (з точністю до часток відсотка) укладається на ділянці.

Це дозволяє, знаючи середньоквадратичне відхилення і математичне сподівання випадкової величини, орієнтовно з певними інтервалами її практично можливих значень. Такий спосіб оцінки діапазону можливих значень випадкової величини відомий в математичній статистиці під назвою «правило трьох сигма». З правила трьох сигма випливає також орієнтовний спосіб визначення середнього квадратичного відхилення випадкової величини: беруть максимальне практично можливе відхилення від середнього і ділять його на три. Зрозуміло, цей грубий прийом може бути рекомендований, тільки якщо немає інших, більш точних способів визначення.

Приклад 1. Випадкова величина, розподілена за нормальним законом, є помилку вимірювання деякої відстані. При вимірі допускається систематична помилка в бік завищення на 1,2 (м); середньоквадратичне відхилення помилки виміру дорівнює 0,8 (м). Знайти ймовірність того, що відхилення виміряного значення від істинного не перевищить за абсолютною величиною 1,6 (м).

Рішення. Помилка вимірювання є випадкова величина, підпорядкована нормальному закону з параметрами і. Потрібно знайти ймовірність попадання цієї величини на ділянку від до. За формулою (6.3.7) маємо:

Користуючись таблицями функції (додаток, табл. 1), знайдемо:

; ,

Приклад 2. Знайти ту ж ймовірність, що і в попередньому прикладі, але за умови, що систематичної помилки немає.

Рішення. За формулою (6.3.10), вважаючи, знайдемо:

Приклад 3. За метою, що має вигляд смуги (автострада), ширина якої дорівнює 20 м, ведеться стрілянина в напрямку, перпендикулярному автостраді. Прицілювання ведеться по середній лінії автостради. Середнє квадратичне відхилення в напрямку стрільби одно м. Є систематична помилка в напрямку стрільби: недоліт 3 м. Знайти ймовірність попадання в автостраду при одному пострілі.

У теорії ймовірностей розглядається досить велика кількість різноманітних законів розподілу. Для вирішення завдань, пов'язаних з побудовою контрольних карт, представляють інтерес лише деякі з них. Найважливішим із них є нормальний закон розподілу, Який застосовується для побудови контрольних карт, використовуваних при контролі за кількісною ознакою, Тобто коли ми маємо справу з безперервною випадковою величиною. Нормальний закон розподілу займає серед інших законів розподілу особливе становище. Це пояснюється тим, що, по-перше, найбільш часто зустрічається на практиці, і, по-друге, він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при досить часто зустрічаються типових умовах. Що стосується другого обставини, то в теорії ймовірностей доведено, що сума досить великого числа незалежних (або слабо залежних) випадкових величин, підпорядкованих яким завгодно законам розподілу (при дотриманні деяких вельми нежорстких обмежень), наближено підпорядковується нормальному закону, і це виконується тим точніше, чим більша кількість випадкових величин підсумовується. Більшість зустрічаються на практиці випадкових величин, таких, наприклад, як помилки вимірювань, можуть бути представлені як сума вельми більшого числа порівняно малих доданків - елементарних помилок, кожна з яких викликана дією окремої причини, незалежної від інших. Нормальний закон проявляється в тих випадках, коли випадкова змінна Х є результатом дії великої кількості різних факторів. Кожен фактор окремо на величину Х впливає незначно, і не можна вказати, який саме впливає в більшою мірою, Ніж інші.

Нормальний розподіл(розподіл Лапласа-Гаусса) - розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х таке, що щільність розподілу ймовірностей при - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

ехр (3)

Тобто, нормальний розподіл характеризується двома параметрами m і s, де m - математичне очікування; s- стандартне відхилення нормального розподілу.

величина s 2 - це дисперсія нормального розподілу.

Математичне сподівання m характеризує положення центра розподілу, а стандартне відхилення s (СКП) є характеристикою розсіювання (рис. 3).

f (x) f (x)

Малюнок 3 - Функції щільності нормального розподілу з:

а) різними математичними очікуваннями m; б) різними СКО s.

Таким чином, значенням μ визначається положенням кривої розподілу на осі абсцис. розмірність μ - та ж, що і розмірність випадкової величини X. З ростом математичного очікування mобе функції зсувається паралельно вправо. З спадної дисперсією s 2 щільність все більше концентрується навколо m, в той час як функція розподілу стає все більш крутий.

Значним σ визначається форма кривої розподілу. Оскільки площа під кривою розподілу повинна завжди залишатися що дорівнює одиниці, То при збільшенні σ крива розподілу стає більш плоскою. На рис. 3.1 показані три криві при різних σ: σ1 \u003d 0,5; σ2 \u003d 1,0; σ3 \u003d 2,0.

Малюнок 3.1 - Функції щільності нормального розподілу зрізними СКО s.

Функція розподілу (інтегральна функція) має вигляд (рис. 4):

(4)

Малюнок 4 - Інтегральна (а) і диференціальна (б) функції нормального розподілу

Особливо важливо те лінійне перетворення нормально розподіленої випадкової змінної Х, Після якого виходить випадкова змінна Z з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1. Таке перетворення називається нормуванням:

Його можна провести для кожної випадкової змінної. Нормування дозволяє всі можливі варіанти нормального розподілу звести до одного випадку: m \u003d 0, s \u003d 1.

Нормальний розподіл з m \u003d 0, s \u003d 1 називається нормованим нормальним розподілом (стандартизованим).

Стандартний нормальний розподіл (Стандартний розподіл Лапласа-Гаусса або нормоване нормальний розподіл) - це розподіл ймовірностей стандартизованої нормальної випадкової величини Z, Щільність розподілу якої дорівнює:

при - ¥<z< + ¥

значення функції Ф (z) визначається за формулою:

(7)

значення функції Ф (z) і щільності ф (z) нормованого нормального розподілу розраховані і зведені в таблиці (табульовані). Таблиця складена тільки для позитивних значень zтому:

Ф (–z) \u003d 1–Ф (z) (8)

За допомогою цих таблиць можна визначити не тільки значення функції і щільності нормованого нормального розподілу для заданого z, Але і значення функції загального нормального розподілу, так як:

; (9)

. 10)

У багатьох задачах, пов'язаних з нормально розподіленими випадковими величинами, доводиться визначати ймовірність попадання випадкової величини Х, Підпорядкованої нормальному закону з параметрами m і s, на певну ділянку. Таким ділянкою може бути, наприклад, поле допуску на параметр від верхнього значення U до нижнього L.

Ймовірність влучення в інтервал від х 1 до х 2 можна визначити за формулою:

Таким чином, ймовірність попадання випадкової величини (значення параметра) Х в поле допуску визначається формулою

Можна знайти ймовірність того, що випадкова змінна Х виявиться в межах μ ks . Отримані значення для k \u003d 1,2 і 3 наступні (також дивимося рис. 5):

Таким чином, якщо будь-яке значення з'являється за межами трехсігмового ділянки, в якому знаходяться 99,73% всіх можливих значень, а ймовірність появи такої події дуже мала (1: 270), слід вважати, що розглядається значення виявилося занадто маленьким або занадто великим не через випадкового варіювання, а через істотну перешкоди в самому процесі, здатної викликати зміни в характері розподілу.

Ділянка, що лежить всередині трехсігмових кордонів, називають також областю статистичного допуску відповідної машини або процесу.

файл прикладу

Розглянемо Нормальний розподіл. За допомогою функції MS EXCEL НОРМ.РАСП () побудуємо графіки функції розподілу і щільності ймовірності. Згенеруємо масив випадкових чисел, розподілених за нормальним законом, зробимо оцінку параметрів розподілу, середнього значення і стандартного відхилення .

Нормальний розподіл (Також називається розподілом Гаусса) є найважливішим як в теорії, так в додатках системи контролю якості. важливість значення нормального розподілу (Англ. Normal distribution) в багатьох областях науки випливає з теорії ймовірностей.

визначення : Випадкова величина x розподілена по нормальному закону , Якщо вона має:

Нормальний розподіл залежить від двох параметрів: μ (Мю) - є, і σ ( сигма) - є (середньоквадратичним відхиленням). Параметр μ визначає положення центра щільності ймовірності нормального розподілу , А σ - розкид щодо центру (середнього).

Примітка : Про вплив параметрів μ і σ на форму розподілу викладено в статті про, а в файлі прикладу на аркуші Вплив параметрів можна за допомогою поспостерігати за зміною форми кривої.

Нормальний розподіл в MS EXCEL

В MS EXCEL, починаючи з версії 2010, для нормального розподілу є функція НОРМ.РАСП (), англійська назва - NORM.DIST (), яка дозволяє обчислити щільність ймовірності (Див. Формулу вище) і інтегральну функцію розподілу (Ймовірність, що випадкова величина X, розподілена по нормальному закону , Прийме значення менше або рівне x). Обчислення в останньому випадку виробляються за такою формулою:

Вищевказане розподіл має позначення N (μ; σ). Так само часто використовують позначення через N (Μ; σ 2).

Примітка : До MS EXCEL 2010 у EXCEL була тільки функція НОРМРАСП (), яка також дозволяє обчислити функцію розподілу і щільність ймовірності. НОРМРАСП () залишена в MS EXCEL 2010 року для сумісності.

Стандартний нормальний розподіл

Стандартним нормальним розподілом називається нормальний розподіл з μ \u003d 0 і σ \u003d 1. Вищевказане розподіл має позначення N (0;1).

Примітка : У літературі для випадкової величини, розподіленої по стандартному нормальним законом, закріплено спеціальне позначення z.

Будь-яке нормальний розподіл можна перетворити в стандартне через заміну змінної z =( x -μ)/σ . Цей процес перетворення називається стандартизацією .

Примітка : У MS EXCEL є функція НОРМАЛИЗАЦИЯ (), яка виконує вищевказане перетворення. Хоча в MS EXCEL це перетворення називається чомусь нормалізацією . Формули \u003d (x-μ) / σ і \u003d НОРМАЛИЗАЦИЯ (х; μ; σ) повернуть однаковий результат.

В MS EXCEL 2010 року для є спеціальна функція НОРМ.СТ.РАСП () і її застарілий варіант НОРМСТРАСП (), що виконує аналогічні обчислення.

Продемонструємо, як в MS EXCEL здійснюється процес стандартизації нормального розподілу N (1,5; 2).

Для цього обчислимо ймовірність, що випадкова величина, розподілена по нормальному закону N (1,5; 2) , Менше або дорівнює 2,5. Формула виглядає так: \u003d НОРМ.РАСП (2,5; 1,5; 2; ІСТИНА) \u003d 0,691462. Зробивши заміну змінної z =(2,5-1,5)/2=0,5 , Запишемо формулу для обчислення Стандартного нормального розподілу: \u003d НОРМ.СТ.РАСП (0,5; ІСТИНА) =0,691462.

Природно, обидві формули дають однакові результати (див. файл прикладу лист Приклад).

Зверніть увагу, що стандартизація відноситься тільки до (аргумент інтегральна дорівнює ІСТИНА), а не до щільності ймовірності .

Примітка : У літературі для функції, що обчислює ймовірності випадкової величини, розподіленої по стандартному нормальним законом, закріплено спеціальне позначення Ф (z). В MS EXCEL ця функція обчислюється за формулою \u003d НОРМ.СТ.РАСП (z; ІСТИНА) . Обчислення проводяться за формулою

В силу парності функції розподілу f (x), а саме f (x) \u003d f (х), функція стандартного нормального розподілу має властивість Ф (-x) \u003d 1-Ф (x).

Зворотні функції

функція НОРМ.СТ.РАСП (x; ІСТИНА) обчислює ймовірність P, що випадкова величина Х прийме значення менше або рівне х. Але часто потрібно провести зворотне обчислення: знаючи ймовірність P, потрібно обчислити значення х. Обчислення значення х називається стандартного нормального розподілу .

В MS EXCEL для обчислення квантилів використовують функцію НОРМ.СТ.ОБР () і НОРМ.ОБР ().

графіки функцій

У файлі приклад наведено графіки щільності розподілу ймовірності та інтегральної функції розподілу .

Як відомо, близько 68% значень, вибраних з сукупності, що має нормальний розподіл , Знаходяться в межах 1 стандартного відхилення (σ) від μ (середнього або математичного очікування); близько 95% - в межах 2-х σ, а в межах 3-х σ знаходяться вже 99% значень. Переконатися в цьому для стандартного нормального розподілу можна записавши формулу:

= НОРМ.СТ.РАСП (1; ІСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП (-1; ІСТИНА)

яка поверне значення 68,2689% - саме такий відсоток значень знаходяться в межах +/- 1 стандартного відхилення від середнього (Див. лист Графік у файлі прикладу).

В силу парності функції щільності стандартного нормального розподілу: f ( x)= f (-Х) , функція стандартного нормального розподілу має властивість F (-x) \u003d 1-F (x). Тому, вищевказану формулу можна спростити:

= 2 * НОРМ.СТ.РАСП (1; ІСТИНА) -1

для довільної функції нормального розподілу N (μ; σ) аналогічні обчислення потрібно проводити за формулою:

2 * НОРМ.РАСП (μ + 1 * σ; μ; σ; ІСТИНА) -1

Вищевказані розрахунки ймовірності потрібні для.

Примітка : Для зручності написання формул в файлі прикладу створені для параметрів розподілу: μ і σ.

Генерація випадкових чисел

Згенеруємо 3 масиву по 100 чисел з різними μ і σ. Для цього у вікні генерація випадкових чисел встановимо такі значення для кожної пари параметрів:

Примітка : Якщо встановити опцію Випадкове розсіювання ( Random Seed), То можна вибрати певний випадковий набір згенерованих чисел. Наприклад, встановивши цю опцію рівною 25, можна згенерувати на різних комп'ютерах одні й ті ж набори випадкових чисел (якщо, звичайно, інші параметри розподілу збігаються). Значення опції може приймати цілі значення від 1 до 32 767. Назва опції Випадкове розсіювання може заплутати. Краще було б її перевести як Номер набору з випадковими числами .

В результаті матимемо 3 стовпці чисел, на підставі яких можна, оцінити параметри розподілу, з якого була зроблена вибірка: μ і σ . Оцінку для μ можна зробити з використанням функції СРЗНАЧ (), а для σ - з використанням функції СТАНДОТКЛОН.В (), см..

Примітка : Для генерування масиву чисел, розподілених по нормальному закону , Можна використовувати формулу \u003d НОРМ.ОБР (СЛЧИС (); μ; σ) . Функція СЛЧИС () генерує від 0 до 1, що як раз відповідає діапазону зміни ймовірності (див. файл прикладу лист Генерація).

завдання

Задача1 . Компанія виготовляє нейлонові нитки із середньою міцністю 41 МПа і стандартним відхиленням 2 МПа. Споживач хоче придбати нитки з міцністю не менше 36 МПа. Розрахуйте ймовірність, що партії нитки, виготовлені компанією для споживача, будуть відповідати вимогам або перевищувати їх. рішення1 : = 1-НОРМ.РАСП (36; 41; 2; ІСТИНА)

Задача2 . Підприємство виготовляє труби, середній зовнішній діаметр яких дорівнює 20,20 мм, а стандартне відхилення дорівнює 0,25 мм. Відповідно до технічних умов, труби вважаються придатними, якщо діаметр знаходиться в межах 20,00 +/- 0,40 мм. Яка частка виготовлених труб відповідає ТУ? Рішення2 : = НОРМ.РАСП (20,00 + 0,40; 20,20; 0,25; ІСТИНА) - НОРМ.РАСП (20,00-0,40; 20,20; 0,25) На малюнку нижче, виділена область значень діаметрів, яка задовольняє вимогам специфікації.

Рішення наведено в файлі прикладу лист Завдання .

Задача3 . Підприємство виготовляє труби, середній зовнішній діаметр яких дорівнює 20,20 мм, а стандартне відхилення дорівнює 0,25 мм. Зовнішній діаметр не повинен перевищувати певне значення (передбачається, що нижня межа не важлива). Яку верхню межу в технічних умовах необхідно встановити, щоб їй відповідало 97,5% всіх виготовлених виробів? Решеніе3 : = НОРМ.ОБР (0,975; 20,20; 0,25) \u003d 20,6899 або \u003d НОРМ.СТ.ОБР (0,975) * 0,25 + 20,2 (Проведена «дестандартізація», див. Вище)

завдання 4 . знаходження параметрів нормального розподілу за значеннями 2-х (або). Припустимо, відомо, що випадкова величина має нормальний розподіл, але не відомі його параметри, а тільки 2-я процентиля (Наприклад, 0,5- процентиль , Тобто медіана і 0,95-я процентиль). Оскільки відома, то ми знаємо, тобто μ. Щоб знайти потрібно використовувати. Рішення наведено в файлі прикладу лист Завдання .

Примітка : До MS EXCEL 2010 у EXCEL були функції НОРМОБР () і НОРМСТОБР (), які еквівалентні НОРМ.ОБР () і НОРМ.СТ.ОБР (). НОРМОБР () і НОРМСТОБР () залишені в MS EXCEL 2010 і вище тільки для сумісності.

Лінійні комбінації нормально розподілених випадкових величин

Відомо, що лінійна комбінація нормально розподілених випадкових величин x ( i) з параметрами μ ( i) і σ ( i) також розподілена нормально. Наприклад, якщо випадкова величина Y \u003d x (1) + x (2), то Y матиме розподіл з параметрами μ (1) + μ (2) і Корінь (σ (1) ^ 2 + σ (2) ^ 2). Переконаємося в цьому за допомогою MS EXCEL.

Визначення. нормальнимназивається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, яке описується щільністю ймовірності

Нормальний закон розподілу також називається законом Гаусса.

Нормальний закон розподілу займає центральне місце в теорії ймовірностей. Це обумовлено тим, що цей закон проявляється у всіх випадках, коли випадкова величина є результатом дії великої кількості різних факторів. До нормальним законом наближаються всі інші закони розподілу.

Можна легко показати, що параметри і, що входять до щільність розподілу є відповідно математичним очікуванням і середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х.

Знайдемо функцію розподілу F (x).

Графік щільності нормального розподілу називається нормальної кривоїабо кривої Гаусса.

Нормальна крива має такі властивості:

1) Функція визначена на всій числовій осі.

2) При всіх х функція розподілу приймає тільки позитивні значення.

3) Вісь ОХ є горизонтальною асимптотой графіка щільності ймовірності, тому що при необмеженому зростанні по абсолютній величині аргументу х, Значення функції прагне до нуля.

4) Знайдемо екстремум функції.

Оскільки при y '\u003e 0 при x< m і y '< 0 при x\u003e m , То в точці х \u003d т функція має максимум, рівний.

5) Функція є симетричною відносно прямої х \u003d а, Тому що різницю

(х - а) Входить в функцію щільності розподілу в квадраті.

6) Для знаходження точок перегину графіка знайдемо другу похідну функції щільності.

при x \u003d m + S і x \u003d m - s друга похідна дорівнює нулю, а при переході через ці точки змінює знак, тобто в цих точках функція має перегин.

У цих точках значення функції дорівнює.

Побудуємо графік функції щільності розподілу.

Побудовано графіки при т \u003d 0 і трьох можливих значеннях середнього квадратичного відхилення s \u003d 1, s \u003d 2 і s \u003d 7. Як видно, при збільшенні значення середнього квадратичного відхилення графік стає більш пологим, а максимальне значення зменшується ..

якщо а \u003e 0, то графік зміститься в позитивному напрямку, якщо а < 0 – в отрицательном.

при а \u003d 0 і s \u003d 1 крива називається нормованої. Рівняння нормованої кривої:

Для стислості кажуть, що СВ Х підкоряється закону N (m, s), тобто Х ~ N (m, s). Параметри m і s збігаються з основними характеристиками розподілу: m \u003d m X, s \u003d s Х \u003d. Якщо СВ Х ~ N (0, 1), то вона називається стандартизованої нормальною величиною. ФР стандартизованої нормальною величиною називається функцією Лапласа і позначається як Ф (x). З її допомогою можна обчислювати інтервальні ймовірності для нормального розподілу N (m, s):

P (x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

При вирішенні завдань на нормальний розподіл часто потрібно використовувати табличні значення функції Лапласа. Оскільки для функції Лапласа справедливо співвідношення Ф (х) = 1 - Ф (х), То досить мати табличні значення функції Ф (х) тільки для позитивних значень аргументу.

Для ймовірності попадання на симетричний щодо математичного очікування інтервал справедлива формула: P (| X - m X |< e) = 2×Ф (e / s) - 1.

Центральні моменти нормального розподілу задовольняють рекурентного співвідношення: m n +2 \u003d (n + 1) s 2 m n, n \u003d 1, 2, .... Звідси випливає, що всі центральні моменти непарного порядку дорівнюють нулю (так як m 1 \u003d 0).

Знайдемо ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в заданий інтервал.

позначимо

Оскільки інтеграл не виражає через елементарні функції, то вводиться в розгляд функція

,

яка називається функцією Лапласаабо інтегралом ймовірностей.

Значення цієї функції при різних значеннях х пораховані і наводяться в спеціальних таблицях.

Нижче показаний графік функції Лапласа.

Функція Лапласа має такі властивості:

2) Ф (- х) \u003d - Ф ( х);

Функцію Лапласа також називають функцією помилок і позначають erf x.

ще використовується нормованафункція Лапласа, яка пов'язана з функцією Лапласа співвідношенням:

Нижче показаний графік нормованої функції Лапласа.

При розгляді нормального закону розподілу виділяється важливий окремий випадок, відомий як правило трьох сигм.

Запишемо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного очікування менше заданої величини D:

Якщо прийняти D \u003d 3s, то отримуємо з використанням таблиць значень функції Лапласа:

Тобто ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу ніж утроенное середнє квадратичне відхилення, практично дорівнює нулю.

Це правило називається правилом трьох сигм.

Чи не практиці вважається, що якщо для будь - якої випадкової величини виконується правило трьох сигм, то ця випадкова величина має нормальний розподіл.

Приклад. Поїзд складається з 100 вагонів. Маса кожного вагона - випадкова величина, розподілена за нормальним законом з математичним очікування а \u003d 65 т і середнім квадратичним відхиленням s \u003d 0,9 т. Локомотив може везти складу масою більше 6600 т, в іншому випадку необхідно причіплювати другий локомотив. Знайти ймовірність того, що другий локомотив не буде потрібно.

Другий локомотив не буде потрібно, якщо відхилення маси складу від очікуваного (100 × 65 \u003d 6500) не перевищує 6600 - 6500 \u003d 100 т.

Оскільки маса кожного вагона має нормальний розподіл, то і маса всього складу теж буде розподілена нормально.

отримуємо:

Приклад. Нормально розподілена випадкова величина Х задана своїми параметрами - а \u003d 2 -математичне очікування і s \u003d 1 - середнє відхилення. Потрібно написати щільність ймовірності і побудувати її графік, знайти ймовірність того, Х прийме значення з інтервалу (1; 3), знайти ймовірність того, що Х відхилиться (по модулю) від математичного очікування не більше ніж на 2.

Щільність розподілу має вигляд:

Побудуємо графік:

Знайдемо ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (1; 3).

Знайдемо ймовірність відхилення випадкової величини від математичного очікування на величину, не більшу ніж 2.

Той же результат може бути отриманий з використанням нормованої функції Лапласа.

Лекція 8 Закон великих чисел(Розділ 2)

план лекції

Центральна гранична теорема (загальне формулювання і приватна формулювання для незалежних однаково розподілених випадкових величин).

Нерівність Чебишева.

Закон великих чисел у формі Чебишева.

Поняття частоти події.

Статистичне розуміння ймовірності.

Закон великих чисел у формі Бернуллі.

Вивчення статистичних закономірностей дозволило встановити, що при деяких умовах сумарне поведінку великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірним (інакше кажучи, випадкові відхилення від деякого середнього поведінки взаємно погашаються). Зокрема, якщо вплив на суму окремих складових є рівномірно малим, закон розподілу суми наближається до нормального. Математичне формулювання цього твердження дається в групі теорем, званої законом великих чисел.

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - загальний принцип, в силу якого спільна дія випадкових факторів призводить при деяких досить загальних умовах до результату, майже не залежному від випадку. Першим прикладом дії цього принципу може служити зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа випробувань (часто використовується на практиці, наприклад, при використанні частоти народження будь-якого якості респондента у вибірці як вибіркової оцінки відповідної ймовірності).

сутність закону великих чисел полягає в тому, що при великому числі незалежних дослідів частота появи якоїсь події близька до його ймовірності.

Центральна гранична теорема (ЦПТ) (в формулюванні Ляпунова А.М. для однаково розподілених СВ). Якщо попарно незалежні СВ X 1, X 2, ..., X n, ... мають однаковий закон розподілу з кінцевими числовими характеристиками M \u003d m і D \u003d s 2, то при n ® ¥ закон розподілу СВ необмежено наближається до нормального закону N (n × m,).

Слідство. Якщо в умові теореми СВ , То при n ® ¥ закон розподілу СВ Y необмежено наближається до нормального закону N (m, s /).

Теорема Муавра-Лапласа.Нехай СВ К - число "успіхів" в n випробуваннях за схемою Бернуллі. Тоді при n ® ¥ і фіксованому значенні ймовірності "успіху" в одному випробуванні p закон розподілу СВ K необмежено наближається до нормального закону N (n × p,).

Слідство. Якщо в умові теореми замість СВ К розглянути СВ К / n - частоту "успіхів" в n випробуваннях за схемою Бернуллі, то її закон розподілу при n ® ¥ і фіксованому значенні p необмежено наближається до нормального закону N (p,).

Зауваження. Нехай СВ К - число "успіхів" в n випробуваннях за схемою Бернуллі. Законом розподілу такої СВ є біномінальної закон. Тоді при n ® ¥ біномінальної закон має два граничних розподілу:

n розподіл Пуассона (При n ® ¥ і l \u003d n × p \u003d const);

n розподіл Гаусса N (n × p,) (при n ® ¥ і p \u003d const).

Приклад. Імовірність "успіху" в одному випробуванні всього лише p \u003d 0,8. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю не менше 0,9 можна очікувати, що спостережувана частота "успіху" в випробуваннях за схемою Бернуллі відхилиться від імовірності p не більше ніж на e \u003d 0,01?

Рішення. Для порівняння вирішимо завдання двома способами.

в порівнянні з іншими видами розподілів. головною особливістю цього розподілу є те, що до цього закону прагнуть всі інші закони розподілів при нескінченному повторенні кількості випробувань. Як виходить це розподіл?

Уявімо собі, що, взявши ручної динамометр, Ви розташувалися в самому людному місці Вашого міста. І кожному, хто проходить повз, Ви пропонуєте виміряти свою силу, стиснувши динамометр правою чи лівою рукою. Показання динамометра Ви акуратно за-підписується. Через деякий час, при досить великій кількості випробувань, Ви нанесли на вісь абсцис показання динамометра, а на вісь ординат - кількість людей, кото-які "вичавили" це розповідь. Отримані точки з'єднали плавною лінією. В результаті виходить крива, зображена на рис.9.8. Вид цієї кривої не буде особливо змінюватися при збільшенні часу досвіду. Більш того, у якійсь точці нові значення будуть тільки уточнювати криву, не змінюючи її форми.

Мал. 9.8.

Тепер перемістимося з нашим динамометром в атлетичний зал і повторимо експеримент. Тепер максимум кривої зміститься вправо, лівий кінець буде кілька затягнуть, в той час як правий кінець її буде більш крутий (рис.9.9).

Мал. 9.9.

Зауважимо, що максимальна частота для другого розподілу (точка В) буде нижче, ніж максимальна частота першого розподілу (точка А). Це можна пояснити тим, що загальна кількість людей, які відвідують атлетичний зал, буде менше, ніж кількість людей, яке пройшли біля експериментатора в першому випадку (в центрі міста в досить людному місці). Максимум змістився вправо, так як атлетичні зали відвідують фізично більш сильні люди в порівнянні із загальним фоном.

І, нарешті, відвідаємо школи, дитячі сади і будинки пристарілих з тією ж метою: виявити силу рук відвідувачів цих місць. І знову крива розподілу матиме схожу форму, але тепер, очевидно, більш крутим буде її лівий кінець, а правий більш затягнуть. І як у другому випадку, максимум (точка С) буде нижче точки А (рис.9.10).

Мал. 9.10.

Це чудова властивість нормального розподілу - зберігати форму кривої щільності розподілу ймовірностей (рис. 8 - 10) було помічено і описано в 1733 році Муавром, а потім досліджено Гауссом.

В наукових дослідженнях, В техніці, в масових явищах чи експериментах, коли мова йде про багаторазово повторюваних випадкових величинах при незмінних умовах досвіду, кажуть, що результати випробувань відчувають випадкове розсіювання, що підкоряється закону нормальної кривої розподілу

(21)

Де - це найбільш часто зустрічається подія. Як правило, в формулу (21) замість параметра ставлять. Причому, чим довжин-неї експериментальний ряд, тим менше параметр буде відрізнятися від математичного очікування. Площа під кривою (рис.9.11) при-приймаються дорівнює одиниці. Площа, що відповідає будь-якому інтервалу осі абсцис, чисельно дорівнює ймовірності попадання випадкового результату в даний інтервал.

Мал. 9.11.

Функція нормального розподілу має вигляд

(22)

Зауважимо, що нормальна крива (рис.9.11) симетрична відносно прямої і асимптотично наближається до осі ОХ при.

Обчислимо математичне сподівання для нормального закону

(23)

Властивості нормального розподілу

Розглянемо основні властивості цього найважливішого розподілу.

властивість 1. Функція щільності нормального розподілу (21) визначення на всій осі абсцис.

властивість 2. Функція щільності нормального розподілу (21) більше нуля для будь-якого з області визначення ().

властивість 3. При нескінченному збільшенні (зменшенні) функція розподілу (21) прагне до нуля .

властивість 4. При функція розподілу, задана (21), має найбільше значення , рівне

(24)

властивість 5. Графік функції (рис.9.11) симетричний відносно прямої.

властивість 6. Графік функції (рис.9.11) має по дві точки перегину симетричні відносно прямої:

(25)

властивість 7. Всі непарні центральні моменти дорівнюють нулю. Зауважимо, що використовуючи властивість 7, визначають асиметрію функції за формулою. Якщо, то роблять висновок, що досліджуване розподіл симетрично відносно прямої. Якщо, то кажуть, що ряд зміщений вправо (більш полога права гілка графіка або затягнута). Якщо, тоді вважають, що ряд зміщений вліво (більш полога ліва гілка графіка ріс.9.12).

Мал. 9.12.

властивість 8. Ексцес розподілу дорівнює 3. Часто на практиці обчислюють і по близькості цієї величини до нуля визначають ступінь "стиснення" або "розмитості" графіка (ріс.9.13). А так як пов'язаний з, то, в кінцевому підсумку характеризує ступінь розсіювання частоти даних. А так як визначає