Характеристики на биномиалното разпределение. Биномиално разпределение
Разбира се, когато се изчислява кумулативната функция на разпределение, трябва да се използва споменатата връзка между биномиалното и бета разпределението. Този метод със сигурност е по -добър от директното сумиране, когато n> 10.
В класическите учебници по статистика, за да се получат стойностите на биномиалното разпределение, често се препоръчва използването на формули, основани на пределни теореми (като формулата на Moivre-Laplace). трябва да бъде отбелязано че от чисто изчислителна гледна точкастойността на тези теореми е близка до нула, особено сега, когато на почти всяка маса има мощен компютър. Основният недостатък на тези приближения е тяхната напълно недостатъчна точност за стойностите на n, които са типични за повечето приложения. Не по -малък недостатък е липсата на ясни препоръки относно приложимостта на едно или друго приближение (в стандартните текстове са дадени само асимптотични формулировки, те не са придружени от оценки на точността и следователно са малко полезни). Бих казал, че и двете формули са валидни само за n< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
Тук не разглеждам проблема с намирането на квантили: за дискретни разпределения той е тривиален, а при тези проблеми, при които възникват такива разпределения, той обикновено не е релевантен. Ако все още са необходими квантили, препоръчвам преформулиране на проблема по такъв начин, че да работи с p-стойности (наблюдавани стойности). Ето пример: когато прилагате някои алгоритми за изброяване, на всяка стъпка трябва да проверявате статистическа хипотезаза биномиална случайна променлива. Според класическия подход на всяка стъпка е необходимо да се изчислява статистиката на критерия и да се сравнява неговата стойност с границата на критичното множество. Тъй като обаче алгоритъмът е изчерпателен, е необходимо всеки път да се определя отново границата на критичния набор (в края на краищата размерът на извадката се променя от стъпка на стъпка), което непродуктивно увеличава времето, прекарано. Модерен подходпрепоръчва да се изчисли наблюдаваната значимост и да се сравни с нивото на доверие, като се спести при търсене на квантили.
Следователно кодовете по -долу не изчисляват обратната функция; вместо това се дава функцията rev_binomialDF, която изчислява вероятността p за успех в отделен тест за даден брой n тестове, броя m успехи в тях и стойността y на вероятността да постигнете тези m успехи. Това използва гореспоменатата връзка между биномиални и бета разпределения.
Всъщност тази функция ви позволява да получите границите на доверителните интервали. Да предположим, че наистина имаме m успехи в n биномиални опити. Както е известно, лявата граница на двустранния доверителен интервал за параметъра p с доверителното ниво е 0, ако m = 0, и for е решение на уравнението 
... По същия начин дясната граница е равна на 1, ако m = n, и for е решение на уравнението 
... От това следва, че за да намерим лявата граница, трябва да решим уравнението 
, и за търсене на правилното - уравнението 
... Те се решават във функциите binom_leftCI и binom_rightCI, които връщат съответно горната и долната граница на двустранния доверителен интервал.
Искам да отбележа, че ако не е необходима абсолютно невероятна точност, тогава за достатъчно голям n можете да използвате следното приближение [B.L. ван дер Ваерден, Математическа статистика. М: ИЛ, 1960, гл. 2, сек. 7]: 
, където g е квантилът на нормалното разпределение. Стойността на това приближение е, че има много прости приближения, които ви позволяват да изчислявате квантилите на нормалното разпределение (вижте текста за изчисляване на нормалното разпределение и съответния раздел на този наръчник). В моята практика (главно за n> 100) това приближение даде около 3-4 знака, което като правило е напълно достатъчно.
Изчисленията, използващи следните кодове, изискват файлове betaDF.h, betaDF.cpp (вижте раздела за бета разпространение), както и logGamma.h, logGamma.cpp (вижте Приложение А). Можете също да видите пример за използване на функциите.
BinomialDF.h файл
| #ifndef __BINOMIAL_H__ #включва "betaDF.h" двоен биномиаленDF (двойни опити, двойни успехи, двоен p); / * * Нека има "опити" на независими наблюдения * с вероятност "р" за успех във всяко. * Изчислете вероятността B (успехи | опити, p), че броят * успехи е между 0 и "успехи" (включително). * / double rev_binomialDF (двойни опити, двойни успехи, двоен y); / * * Нека е известна вероятността y за настъпване на поне m успеха * в тестовите тестове на схемата на Бернули. Функцията намира вероятността p * за успех в един тест. * * Изчисленията използват следното съотношение * * 1 - p = rev_Beta (проби -успехи | успехи + 1, y). * / двоен binom_leftCI (двойни опити, двойни успехи, двойно ниво); / * Да предположим, че има "изпитания" на независими наблюдения * с вероятност "p" на успех във всеки * и броят на успехите е равен на "успехи". * Изчислете лявата граница на двустранния доверителен интервал * с ниво на значимост на ниво. * / двоен binom_rightCI (двоен n, двоен успех, двойно ниво); / * Нека има "опити" на независими наблюдения * с вероятност "p" на успех във всеки * и броят на успехите е равен на "успехи". * Изчислете дясната граница на двустранния доверителен интервал * с ниво на значимост на ниво. * / #endif / * Приключва #ifndef __BINOMIAL_H__ * / |
BinomialDF.cpp файл
| / *********************************************** ** ******** / /*Биномиално разпределение* / / ******************************* *** ************************* / #include |
Теорията на вероятността невидимо присъства в нашия живот. Ние не обръщаме внимание на това, но всяко събитие в живота ни има тази или онази вероятност. Като се има предвид огромният брой сценарии за развитие на събитията, става необходимо да определим най -вероятните и най -малко вероятните. Най -удобно е да се анализират графично такива вероятностни данни. Разпределението може да ни помогне в това. Биномиалът е един от най -лесните и точни.
Преди да преминем директно към математиката и теорията на вероятностите, нека разберем кой пръв е измислил този тип разпределение и каква е историята на развитието на математическия апарат за тази концепция.
История
Концепцията за вероятност е известна от древни времена. Древните математици обаче не придават особено значение на това и успяват да поставят само основите на теория, която по -късно се превръща в теория на вероятността. Те създадоха някои комбинаторни методи, които значително помогнаха на тези, които по -късно създадоха и развиха самата теория.
През втората половина на XVII век започва формирането на основните понятия и методи на теорията на вероятностите. Въведени са дефиниции на случайни величини, методи за изчисляване на вероятността от прости и някои сложни независими и зависими събития. Такъв интерес към случайни променливи и вероятности беше продиктуван от хазарта: всеки човек искаше да знае какви са шансовете му да спечели играта.
Следващият етап беше прилагането на методи за математически анализ в теорията на вероятностите. Известни математици като Лаплас, Гаус, Поасон и Бернули се заеха с тази задача. Именно те напреднаха в тази област на математиката ново ниво... Джеймс Бернули открива биномиалния закон за разпределение. Между другото, както ще разберем по -късно, въз основа на това откритие бяха направени още няколко, които направиха възможно създаването на закона за нормалното разпределение и много други.
Сега, преди да започнем да описваме биномиалното разпределение, ще освежим малко паметта си концепциите за теорията на вероятностите, които вероятно вече са били забравени от училище.
Основи на теорията на вероятностите
Ще разгледаме такива системи, в резултат на които са възможни само два резултата: „успех“ и „не успех“. Това е лесно да се разбере с пример: ние хвърляме монета, като предполагаме, че тя излиза на опашка. Вероятностите за всяко от възможните събития (опашки - „успех“, глави - „неуспех“) са равни на 50 процента, ако монетата е перфектно балансирана и няма други фактори, които могат да повлияят на експеримента.
Това беше най -простото събитие. Но има и сложни системи, в които се извършват последователни действия и вероятностите за резултатите от тези действия ще се различават. Например, помислете за такава система: в кутия, чието съдържание не можем да видим, има шест абсолютно еднакви топки, три двойки синьо, червено и бели цветя... Трябва да вземем няколко топки на случаен принцип. Съответно, като първо извадим една от белите топки, ще намалим няколко пъти вероятността да получим и бяла топка след това. Това се случва, защото броят на обектите в системата се променя.
В следващия раздел ще разгледаме по -сложни математически понятия, които ни доближават много до значението на думите " нормална дистрибуция"," биномиално разпределение "и други подобни.
Елементи на математическата статистика
В статистиката, която е една от областите на приложение на теорията на вероятностите, има много примери, когато данните за анализ не се дават изрично. Тоест не числено, а под формата на разделение по характеристики, например по пол. За да се приложи математическият апарат към такива данни и да се направят някои изводи от получените резултати, е необходимо първоначалните данни да бъдат преведени в числов формат. Като правило, за да се постигне това, на положителния резултат се присвоява стойност 1, а на отрицателния - 0. Така получаваме статистически данни, които могат да бъдат анализирани с помощта на математически методи.
Следващата стъпка в разбирането какво е биномиалното разпределение случайна величина, е дефиницията на дисперсията на случайна величина и математическото очакване. Ще поговорим за това в следващия раздел.
Очаквана стойност
Наистина разберете какво е това очакваната стойност, не е трудно. Помислете за система, в която има много различни събития с различните им вероятности. Стойността ще се нарича математическо очакване, равна на суматапродуктите на стойностите на тези събития (в математическата форма, за която говорихме в последния раздел) от вероятността те да се случат.
Математическото очакване на биномиалното разпределение се изчислява по същата схема: вземаме стойността на случайна величина, умножаваме я по вероятността за положителен резултат и след това сумираме получените данни за всички стойности. Много е удобно тези данни да се представят графично - по този начин разликата между математическите очаквания на различните стойности се възприема по -добре.
В следващия раздел ще ви разкажем малко за друга концепция - вариацията на случайна променлива. Той също е тясно свързан с такова понятие като биномиалното вероятностно разпределение и е негова характеристика.
Дисперсия на биномиално разпределение
Тази стойност е тясно свързана с предишната и също характеризира разпределението на статистическите данни. Това е средният квадрат на отклоненията на стойностите от техните математически очаквания. Тоест, дисперсията на случайна променлива е сумата от квадратите на разликите между стойността на случайната променлива и нейните математически очаквания, умножена по вероятността за това събитие.
Като цяло, това е всичко, което трябва да знаем за дисперсията, за да разберем какво е биномиално разпределение на вероятностите. Сега нека да преминем директно към нашата основна тема. А именно, какво се крие зад такава на пръв поглед доста сложна фраза „биномиален закон за разпределение“.
Биномиално разпределение
Нека за начало разберем защо това разпределение е биномиално. Произхожда от думата бином. Може би сте чували за бинома на Нютон - формула, която може да се използва за разширяване на сумата от всякакви две числа a и b до всяка неотрицателна степен на n.
Както вероятно вече се досещате, биномиалната формула на Нютон и формулата за биномиално разпределение са почти същите формули. С единственото изключение, което има вторият приложена стойностза конкретни величини, а първият е само общ математически инструмент, чието приложение на практика може да бъде различно.
Формули за разпределение
Функцията за биномиално разпределение може да бъде записана като сума от следните термини:
(n! / (n-k)! k!) * p k * q n-k
Тук n е броят на независимите случайни експерименти, p е броят на успешните резултати, q е броят на неуспешните резултати, k е броят на експеримента (може да приема стойности от 0 до n),! - обозначаването на факториал, такава функция на число, чиято стойност е равна на произведението на всички числа, които отиват към него (например за числото 4: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 ).
В допълнение, биномиалната функция за разпределение може да бъде записана като непълна бета функция. Това обаче вече е по -сложно определение, което се използва само при решаване на сложни статистически задачи.
Биномиалното разпределение, примери за които разгледахме по -горе, е едно от най -много прости видоверазпределения в теорията на вероятностите. Има и нормално разпределение, което е вид бином. Използва се най -често и се изчислява най -лесно. Има и разпределение на Бернули, разпределение на Пуасон, условно разпределение. Всички те графично характеризират областите на вероятност за определен процес при различни условия.
В следващия раздел ще разгледаме аспекти, свързани с прилагането на този математически апарат в Истински живот... На пръв поглед, разбира се, изглежда, че това е друго математическо нещо, което, както обикновено, не намира приложение в реалния живот и като цяло не е необходимо на никого, освен на самите математици. Това обаче не е така. В края на краищата всички видове разпределения и техните графични изображения са създадени изключително за практически цели, а не като каприз на учените.
Приложение
Най -важното приложение на разпределенията се намира в статистиката, защото има нужда от сложен анализмного данни. Както показва практиката, много набори от данни имат приблизително еднакво разпределение на стойностите: критичните области с много ниски и много високи стойности обикновено съдържат по -малко елементи от средните стойности.
Анализът на големи количества данни се изисква не само в статистиката. Той е незаменим, например, във физическата химия. В тази наука се използва за определяне на много величини, които са свързани със случайни вибрации и движения на атоми и молекули.
В следващия раздел ще видим колко е важно да се използват статистически понятия като бином разпределение на случайна величина в Ежедневиетоза теб и мен.
Защо ми трябва?
Много хора си задават този въпрос, когато става въпрос за математика. И между другото, математиката не без причина се нарича кралицата на науките. Той е в основата на физиката, химията, биологията, икономиката и във всяка от тези науки се използва и някакъв вид разпределение: дали е дискретно биномиално разпределение, или нормално, няма значение. И ако погледнем по -отблизо света около нас, ще видим, че математиката се прилага навсякъде: в ежедневието, на работа и дори човешките отношениямогат да бъдат представени под формата на статистически данни и анализирани (това, между другото, се извършва от тези, които работят в специални организации, които събират информация).
Сега нека поговорим малко за това какво да правим, ако трябва да знаете много повече по тази тема, отколкото това, което сме очертали в тази статия.
Информацията, която дадохме в тази статия, далеч не е пълна. Има много нюанси в това как може да се оформи разпределението. Биномиалното разпределение, както вече разбрахме, е един от основните типове, върху които цялото математическа статистикаи теория на вероятностите.
Ако се заинтересувате или във връзка с работата ви трябва да знаете много повече по тази тема, ще трябва да изучите специализираната литература. Трябва да започнете с университетски курс математически анализи отидете там в раздела на теорията на вероятностите. Знанията в областта на сериите също ще бъдат полезни, тъй като биномиалното вероятностно разпределение не е нищо повече от поредица от последователни термини.
Заключение
Преди да завършим статията, бихме искали да ви кажем още нещо интересно. Това засяга пряко темата на нашата статия и цялата математика като цяло.
Много хора казват, че математиката е безполезна наука и нищо, през което са преминали в училище, не им е било полезно. Но знанието никога не е излишно и ако нещо не ви е полезно в живота, това означава, че просто не го помните. Ако имате знания, те могат да ви помогнат, но ако нямат, не бива да очаквате помощ от тях.
И така, ние разгледахме концепцията за биномиално разпределение и всички дефиниции, свързани с него, и говорихме за това как се прилага в нашия живот с вас.
Помислете за прилагането на схемата на Бернули, т.е. се провеждат поредица от многократни независими тестове, във всяко от които даденото събитие А има еднаква вероятност, независимо от номера на теста. И за всяко изпитване има само два резултата:
1) събитие А - успех;
2) събитие - неуспех,
с постоянни вероятности
Нека да вземем под внимание дискретна случайна величина X - "броят на събитията на събитието A при NSтестове "и намерете закона за разпределение на тази случайна променлива. Количеството X може да приема стойности
Вероятност 
фактът, че случайната променлива X ще приеме стойността x kсе намира по формулата на Бернули
Извиква се законът за разпределение на дискретна случайна величина, определен чрез формулата на Бернули (1) биномиален закон за разпределение. Постоянен NS и R (q = 1-p)във формула (1) се наричат параметри на биномиалното разпределение.
Името "биномиално разпределение" се дължи на факта, че дясната част в равенство (1) е общият термин в разгръщането на бинома на Нютон, т.е.
(2)
И тъй като p + q = 1, тогава дясната част на равенството (2) е равна на 1
Означава, че
(4)
При равенство (3) първият член q nот дясната страна означава вероятността, че в NSизпитания събитие А няма да се появи дори веднъж, вторият срок 
вероятността събитие А да се появи веднъж, третият член е вероятността събитие А да се появи два пъти и накрая последният член p p p- вероятността събитието А да се появи точно NSведнъж.
Биномиалният закон за разпределение на дискретна случайна величина е представен под формата на таблица:
| NS | 0 | 1 | … | к | … | н |
| R | q n | … | 
|
… | p p p |
Основни числени характеристики на биномиалното разпределение:
1) математическо очакване 
(5)
2) вариация 
(6)
3) стандартно отклонение 
(7)
4) най -вероятният брой настъпвания на събитието k 0е числото, което за дадено NSсъответства на максималната биномиална вероятност
предвид NSи Rтова число се определя от неравенствата
(8)
ако номерът pr + pтогава не е цяло k 0е равно на целочислената част на това число, но ако pr + pе цяло число, тогава k 0има две значения
Биномиалният закон за разпределението на вероятностите се използва в теорията, теорията и практиката на стрелбата статистически контролкачество на продукта, в теорията на опашките, в теорията на надеждността и др. Този закон може да се прилага във всички случаи, когато има последователност от независими тестове.
Пример 1:Контролът на качеството е установил, че от всеки 100 устройства средно 90 броя са без дефекти. Направете биномиален закон на вероятностното разпределение на броя на качествените устройства от тези, закупени на случаен принцип 4.
Решение:Събитие А - появата на което се проверява - е „качествено устройство, придобито на случаен принцип“. По условието на задачата основните параметри на биномиалното разпределение са:
Случайната променлива X е броят на висококачествени устройства от 4 взети, което означава стойностите на X - Нека намерим вероятностите на стойностите на X съгласно формулата (1):
По този начин законът за разпределение на количеството X е броят на висококачествените устройства от 4 взети:
| NS | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| R | 0,0001 | 0,0036 | 0,0486 | 0,2916 | 0,6561 |
За да проверите правилността на конструирането на разпределението, проверете каква е сумата от вероятностите
Отговор:Закон за разпространението
| NS | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| R | 0,0001 | 0,0036 | 0,0486 | 0,2916 | 0,6561 |
Пример 2:Приложеният метод на лечение води до възстановяване в 95% от случаите. Използвани са пет пациенти този метод... Намерете най -вероятния брой възстановени, както и числените характеристики на произволна променлива X - броя на възстановените от 5 пациенти, използвали този метод.
Помислете за биномиалното разпределение, изчислете неговото математическо очакване, дисперсия, режим. Използвайки функцията MS EXCEL BINOM.DIST (), ние ще начертаем графиките на функцията за разпределение и плътността на вероятностите. Нека оценим параметъра на разпределение p, математическото очакване на разпределението и стандартното отклонение. Помислете и за разпределението на Бернули.
Определение... Нека да се проведе нопити, във всяко от които могат да възникнат само 2 събития: събитието „успех“ с вероятност стр или повреда с вероятност q = 1-p (т.нар Схема на Бернули,Бернулиизпитания).
Вероятността да получите точно х успех в тези н тестовете са равни на:
Брой успехи в извадката х е случайна променлива, която има Биномиално разпределение(англ. Двучленразпределение) стри н – са параметрите на това разпределение.
Припомнете си, че за приложението Схеми на Бернулии съответно Биномиално разпределение,трябва да бъдат изпълнени следните условия:
- всеки тест трябва да има точно два резултата, условно наречени "успех" и "неуспех".
- резултатът от всяко изпитване трябва да бъде независим от резултатите от предишни изпитвания (независимост от изпитването).
- вероятност за успех стр трябва да бъде постоянно за всички тестове.
Биномиално разпределение в MS EXCEL
В MS EXCEL, започвайки от версия 2010, за има функция BINOM.DIST (), английско име- BINOM.DIST (), който ви позволява да изчислите вероятността извадката да съдържа точно NS„Успех“ (т.е. функция на плътността на вероятностите p (x), вижте формулата по -горе) и кумулативна функция на разпределение(вероятността пробата да съдържа хили по -малко успехи, включително 0).
Преди MS EXCEL 2010 EXCEL имаше функцията BINOMDIST (), която също ви позволява да изчислявате разпределителна функцияи плътност на вероятностите p (x). BINOMDIST () е оставен в MS EXCEL 2010 за съвместимост.
Примерният файл показва графиките плътност на разпределението на вероятноститеи .
Биномиално разпределениеима обозначението Б (н ; стр) .
Забележка: За изграждане кумулативна функция на разпределениеидеална диаграма на типа График, за плътност на разпределение – Групирана хистограма... За повече информация относно изграждането на диаграми вижте статията Основни типове диаграми.
Забележка: За удобство при запис на формули в примерния файл се създават имена за параметри Биномиално разпределение: n и p.
Примерният файл показва различни вероятностни изчисления с помощта на функциите MS EXCEL:
Както можете да видите на снимката по -горе, се предполага, че:
- Безкрайната популация, от която е направена пробата, съдържа 10% (или 0,1) подходящи елементи (параметър стр, трета функция аргумент = BINOM.DIST ())
- За да се изчисли вероятността проба от 10 елемента (параметър н, вторият аргумент на функцията) ще има точно 5 подходящи елемента (първият аргумент), трябва да напишете формулата: = BINOM.DIST (5; 10; 0,1; FALSE)
- Последният, четвърти елемент е зададен = FALSE, т.е. се връща стойността на функцията плътност на разпределение .
Ако четвъртият аргумент е TRUE, BINOM.DIST () връща кумулативна функция на разпределениеили просто Функция за разпределение... В този случай можете да изчислите вероятността броят на добрите елементи в извадката да бъде от определен диапазон, например 2 или по -малко (включително 0).
За да направите това, трябва да напишете формулата: = BINOM.DIST (2; 10; 0,1; TRUE)
Забележка: За нецело число x ,. Например следните формули ще върнат същата стойност: = BINOM.DIST ( 2 ; десет; 0,1; ВЯРНО)= BINOM.DIST ( 2,9 ; десет; 0,1; ВЯРНО)
Забележка: В примерния файл плътност на вероятноститеи разпределителна функциясъщо се изчислява с помощта на дефиницията и функцията NUMBERCOMB ().
Показатели за разпределение
V пример файл на лист Примерима формули за изчисляване на някои показатели за разпределение:
- = n * p;
- (квадратно стандартно отклонение) = n * p * (1-p);
- = (n + 1) * p;
- = (1-2 * p) * ROOT (n * p * (1-p)).
Нека изведем формулата математически очакванияБиномиално разпределениеизползвайки Схема на Бернули .
По дефиниция случайна променлива X в Схема на Бернули(Случайна променлива на Bernoulli) има разпределителна функция :
Това разпределение се нарича Разпределение на Бернули .
Забележка : Разпределение на Бернули- специален случай Биномиално разпределениес параметър n = 1.
Нека генерираме 3 масива от 100 числа с различни вероятности за успех: 0,1; 0,5 и 0,9. За това в прозореца Генериране на случайни числазадайте следните параметри за всяка вероятност p:
Забележка: Ако зададете опцията Случайно разпръскване (Случайно семе), тогава можете да изберете определен произволен набор от генерирани числа. Например, като зададете тази опция = 25, можете да генерирате едни и същи набори от случайни числа на различни компютри (ако, разбира се, другите параметри на разпределение са еднакви). Стойността на опцията може да приема цели числа от 1 до 32 767. Име на опцията Случайно разпръскванеможе да бъде объркващо. По -добре би било да го преведете като Задайте номер със случайни числа .
В резултат на това ще имаме 3 колони от 100 числа, въз основа на които например можем да преценим вероятността за успех стрпо формулата: Брой успехи / 100(см. примерен файл файл GenerationBernoulli).
Забележка: За Разпределения на Бернулис p = 0,5 можете да използвате формулата = RANDBETWEEN (0; 1), която съвпада.
Генериране на случайни числа. Биномиално разпределение
Да предположим, че в извадката има 7 дефектни артикула. Това означава, че е "много вероятно" делът на дефектните продукти да се е променил. стр, което е характеристика на нашия производствен процес. Въпреки че тази ситуация е "много вероятна", съществува възможност (алфа риск, грешка тип 1, "фалшива аларма"), че все едно и също стростават непроменени, а увеличеният брой дефектни продукти се дължи на произволна извадка.
Както можете да видите на фигурата по -долу, 7 е броят на дефектните продукти, който е приемлив за процес с р = 0,21 при същата стойност Алфа... Това служи за илюстрация, че когато праговата стойност на дефектните елементи в пробата е надвишена, стр„Най -вероятно“ се е увеличило. Фразата „най -вероятно“ означава, че има само 10% шанс (100% -90%) отклонението на процента на дефектните продукти над прага да се дължи само на случайни причини.
По този начин превишаването на праговия брой на дефектните продукти в пробата може да послужи като сигнал, че процесът се е разстроил и е започнал да произвежда b Онай -голям процент дефектни продукти.
Забележка: Преди MS EXCEL 2010 в EXCEL имаше функция CRITBIN (), която е еквивалентна на BINOM.INV (). CRITBINOM () вляво в MS EXCEL 2010 и по -нови версии за съвместимост.
Връзка на биномиалното разпределение с други разпределения
Ако параметърът нБиномиално разпределениеклони към безкрайност и стрклони към 0, тогава в този случай Биномиално разпределениеможе да бъде приблизително. Условията могат да бъдат формулирани при сближаването Поасоново разпределениеработи добре:
- стр(по-малкото стри още н, колкото по -точно е приближението);
- стр >0,9 (като се има предвид това q =1- стр, изчисленията в този случай трябва да се извършат докрай q(а NSтрябва да бъде заменен с н - х). Следователно, по -малко qи още н, толкова по -точно е приближението).
В 0,110 Биномиално разпределениеможе да бъде приблизително.
На свой ред, Биномиално разпределениеможе да служи като добро приближение, когато размерът на популацията N Хипергеометрично разпределениемного по -голям от размера на извадката n (т.е. N >> n или n / N Повече подробности за връзката между горните разпределения могат да бъдат намерени в статията. Има и примери за сближаване и условията, когато е възможно и с каква точност е обяснена.
СЪВЕТ: Можете да прочетете за други дистрибуции на MS EXCEL в статията.
Глава 7.
Специфични закони на разпределение на случайни променливи
Видове закони за разпределение за дискретни случайни величини
Нека дискретна случайна променлива поеме стойностите NS 1 , NS 2 , …, x n,…. Вероятностите на тези стойности могат да бъдат изчислени с помощта на различни формули, например, като се използват основните теореми на теорията на вероятностите, формулата на Бернули или някои други формули. За някои от тези формули законът за разпределение има свое име.
Най -често срещаните закони на разпределение на дискретна случайна величина са биномиално, геометрично, хипергеометрично, разпределение на Пуасон.
Биномиален закон за разпределение
Нека се произвежда ннезависими изпитания, във всеки от които дадено събитие може или не може да се появи А... Вероятността това събитие да се случи във всеки отделен опит е постоянна, не зависи от номера на изпитването и е равна на R=R(А). Оттук и вероятността събитието да не се случи Авъв всеки тест също е постоянен и равен на q=1–R... Помислете за случайна променлива NSравен на броя на събитията А v нтестове. Очевидно стойностите на това количество са
NS 1 = 0 - събитие А v низпитанията не се появиха;
NS 2 = 1 - събитие А v низпитанията се появиха веднъж;
NS 3 = 2 - събитие А v низпитанията се появяват два пъти;
…………………………………………………………..
x n +1 = н- събитие А v нтестовете показаха всичко нведнъж.
Вероятностите на тези стойности могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Бернули (4.1):
където Да се=0, 1, 2, …,н .
Биномиален закон за разпределение NS, равно на числотоуспехи в нИзпитания на Бернули, с вероятност за успех R.
Така че, дискретна случайна величина има биномиално разпределение (или разпределено съгласно биномиален закон), ако възможните му стойности са 0, 1, 2, ..., н, а съответните вероятности се изчисляват по формула (7.1).
Биномиалното разпределение зависи от две параметри Rи н.
Разпределителната серия на случайна величина, разпределена съгласно биномиалния закон, има формата:
| NS | … | к | … | н | ||
| R |  | … | … |  |
Пример 7.1 ... Три независими изстрела се изстрелват в целта. Вероятността да ударите всеки изстрел е 0,4. Случайна стойност NS- броя на попаденията в целта. Конструирайте неговата серия за разпространение.
Решение. Възможни стойности на случайна променлива NSса NS 1 =0; NS 2 =1; NS 3 =2; NS 4 = 3. Намерете съответните вероятности, използвайки формулата на Бернули. Лесно е да се покаже, че прилагането на тази формула е напълно оправдано тук. Имайте предвид, че вероятността да не уцелите целта с един изстрел ще бъде равна на 1-0,4 = 0,6. Получаваме
Разпределителната серия е следната:
| NS | ||||
| R | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Лесно е да се провери дали сумата от всички вероятности е равна на 1. Самата случайна променлива NSразпределени съгласно биномиалния закон. ■
Нека намерим математическото очакване и дисперсията на случайна величина, разпределена според биномиалния закон.
При решаването на пример 6.5 беше показано, че математическото очакване на броя на събитията на събитие А v ннезависими тестове, ако има вероятност за възникване Авъв всеки тест е постоянен и равен на R, равно на н· R
В този пример е използвана биномиална случайна величина. Следователно решението на пример 6.5 всъщност е доказателство за следната теорема.
Теорема 7.1.Математическото очакване на дискретна случайна величина, разпределена съгласно биномиалния закон, е равно на произведението от броя на изпитанията и вероятността за "успех", т.е. М(NS)=н· Р.
Теорема 7.2.Дисперсията на дискретна случайна величина, разпределена съгласно биномиалния закон, е равна на произведението на броя на изпитанията от вероятността за "успех" и вероятността за "неуспех", т.е. д(NS)=nрq.
Асиметрията и куртозата на случайна величина, разпределена съгласно биномиалния закон, се определят от формулите
Тези формули могат да бъдат получени с помощта на концепцията за начални и централни моменти.
Биномиалният закон за разпределение е в основата на много реални ситуации... За големи стойности нбиномиалното разпределение може да бъде апроксимирано с помощта на други разпределения, по -специално с помощта на разпределението на Пуасон.
Поасоново разпределение
Нека има нИзпитвания на Бернули, с броя на опитите ндостатъчно голям. По -рано беше показано, че в този случай (ако, освен това, вероятността Rразработки Амного малък), за да се намери вероятността събитието Ада се появи TСлед като влезете в тестовете, можете да използвате формулата на Пуасон (4.9). Ако случайна променлива NSозначава броя на настъпилите събития А v нТестове на Бернули, вероятността това NSще поеме кможе да се изчисли по формулата
, (7.2)
където λ = np.
Поасоново разпределениее разпределението на дискретна случайна променлива NS, за които възможните стойности са неотрицателни цели числа и вероятностите r tтези стойности се намират по формула (7.2).
Количеството λ = npНаречен параметърПоасоново разпределение.
Случайна променлива, разпределена според закона на Пуасон, може да приеме безкраен набор от стойности. Тъй като за това разпределение вероятността Rнастъпването на събитие във всеки опит е малко, това разпределение понякога се нарича закон на редки събития.
Разпределителната серия на случайна величина, разпределена според закона на Пуасон, има формата
| NS | … | T | … | ||||
| R | … | … |
Лесно е да се провери, че сумата от вероятностите на втория ред е равна на 1. За това е необходимо да се помни, че функцията може да бъде разгърната в ред на Маклаурин, който се сближава за всеки NS... В този случай имаме
. (7.3)
Както бе отбелязано, законът на Поасон замества биномиалния закон в някои ограничаващи случаи. Пример за това е случайната променлива NS, чиито стойности са равни на броя на повредите за определен период от време при многократно използване на техническото устройство. Предполага се, че това е високо надеждно устройство, т.е. вероятността за неуспех в едно приложение е много малка.
В допълнение към такива ограничаващи случаи, на практика има случайни променливи, разпределени според закона на Пуасон, които не са свързани с биномиалното разпределение. Например, разпределението на Poisson често се използва при справяне с броя на събитията, които се появяват в определен период от време (броят на обажданията до телефонната централа на час, броят на автомобилите, пристигащи на автомивката през деня, броят спирания на машината седмично и др.). Всички тези събития трябва да образуват така наречения поток от събития, който е една от основните концепции на теорията на опашките. Параметър λ характеризира средната интензивност на потока от събития.
Пример 7.2 ... Факултетът има 500 студенти. Каква е вероятността 1 септември да има рожден ден за трима студенти в този отдел?
Решение ... Тъй като броят на учениците н= 500 е достатъчно голям и R- вероятността да се роди на първи септември е равна на някой от учениците, т.е. е достатъчно малък, тогава можем да приемем, че случайната променлива NS- броят на учениците, родени на 1 септември, се разпределя съгласно закона на Поасон с параметъра λ = np= = 1.36986. След това по формула (7.2) получаваме
Теорема 7.3.Нека случайната променлива NSразпределени според закона на Пуасон. Тогава неговите математически очаквания и вариации са равни помежду си и равни на стойността на параметъра λ , т.е. М(х) = д(х) = λ = np.
Доказателство.Чрез дефиницията на математическото очакване, използвайки формула (7.3) и серията разпределение на случайна величина, разпределена съгласно закона на Пуасон, получаваме
Преди да намерим дисперсията, нека първо открием математическите очаквания на квадрата на разглежданата случайна променлива. Получаваме
Следователно, по дефиницията на дисперсията, получаваме
Теоремата е доказана.
Прилагайки концепциите за начален и централен момент, може да се покаже, че за случайна величина, разпределена съгласно закона на Пуасон, коефициентите на асиметрия и куртоза се определят по формулите
Това е лесно да се разбере, тъй като семантичното съдържание на параметъра λ = npе положителна, тогава за случайна променлива, разпределена според закона на Пуасон, и асиметрията, и куртозата винаги са положителни.
Зареждане...