Caracol de proporción áurea. Números de Fibonacci: datos matemáticos divertidos

Los números de Fibonacci son elementos de una secuencia numérica.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, en el que cada número subsiguiente es igual a la suma de los dos números anteriores. El nombre proviene del matemático medieval Leonardo de Pisa (o Fibonacci), que vivió y trabajó como comerciante y matemático en la ciudad italiana de Pisa. Es uno de los científicos europeos más famosos de su época. Entre sus mayores logros se encuentra la introducción de números arábigos, en sustitución de los romanos. Fn = Fn-1 + Fn-2

La serie matemática asintóticamente (es decir, acercándose cada vez más lentamente) tiende a una relación constante. Sin embargo, esta actitud es irracional; tiene una secuencia infinita e impredecible de valores decimales alineados después. Nunca se puede expresar con precisión. Si cada número que forma parte de la serie se divide por el valor anterior (por ejemplo, 13- ^ 8 o 21 -IS), el resultado de la acción se expresará en una proporción que fluctúa alrededor del número irracional 1.61803398875, un poco más. o un poco menos que las relaciones vecinas de la serie. La proporción nunca, ad infinitum, será precisa hasta el último dígito (incluso con las computadoras más poderosas jamás creadas). En aras de la brevedad, usaremos 1.618 como el índice de Fibonacci y pediremos a los lectores que no se olviden de esta inexactitud.

Los números de Fibonacci también son importantes durante el análisis del algoritmo euclidiano para determinar el máximo común divisor de dos números. Los números de Fibonacci ocurren en la fórmula de la diagonal por el triángulo de Pascal (coeficientes binomiales).

Los números de Fibonacci resultaron estar asociados con la "proporción áurea".

La proporción áurea se conocía incluso en el antiguo Egipto y Babilonia, en India y China. ¿Qué es la "proporción áurea"? La respuesta aún se desconoce. Los números de Fibonacci son realmente relevantes para la teoría de la práctica en nuestro tiempo. El aumento de importancia tuvo lugar en el siglo XX y continúa hasta nuestros días. El uso de los números de Fibonacci en economía e informática atrajo a muchas personas a su estudio.

La metodología de mi investigación consistió en estudiar literatura especializada y generalizar la información recibida, así como realizar mi propia investigación e identificar las propiedades de los números y el alcance de su uso.

Durante investigación científica definió el concepto mismo de números de Fibonacci, sus propiedades. También descubrí patrones interesantes en la vida silvestre, directamente en la estructura de las semillas de girasol.

En un girasol, las semillas están dispuestas en espirales y el número de espirales que van en la otra dirección es diferente: son números de Fibonacci consecutivos.

Hay 34 y 55 en este girasol.

Lo mismo se observa en los frutos de la piña, donde hay espirales de 8 y 14. Las hojas de maíz están asociadas con la propiedad única de los números de Fibonacci.

Las fracciones de la forma a / b, correspondientes a la disposición helicoidal de las hojas de las patas del tallo de la planta, son a menudo proporciones de números de Fibonacci sucesivos. Para el avellano, esta proporción es 2/3, para el roble - 3/5, para el álamo 5/8, para el sauce 8/13, etc.

Teniendo en cuenta la disposición de las hojas en el tallo de las plantas, se puede ver que entre cada par de hojas (A y C), la tercera se ubica en el lugar de la sección dorada (B).

Otra propiedad interesante del número de Fibonacci es que el producto y el cociente de dos números de Fibonacci diferentes que no sean uno nunca es un número de Fibonacci.

Como resultado de la investigación, llegué a las siguientes conclusiones: los números de Fibonacci son únicos progresión aritmética, que apareció en el siglo XIII d.C. Esta progresión no pierde su relevancia, que fue confirmada en el curso de mi investigación. Los números de Fibonacci no son los mismos en programación y pronósticos económicos, en pintura, arquitectura y música. Las pinturas de artistas tan famosos como Leonardo da Vinci, Miguel Ángel, Rafael y Botticelli esconden la magia de la proporción áurea. Incluso yo. Yo. Shishkin usó la proporción áurea en su pintura "Pine Grove".

Es difícil de creer, pero la proporción áurea también se encuentra en las obras musicales de grandes compositores como Mozart, Beethoven, Chopin, etc.

Los números de Fibonacci también se encuentran en arquitectura. Por ejemplo, la proporción áurea se utilizó en la construcción del Partenón y la Catedral de Notre Dame.

Descubrí que los números de Fibonacci también se usan en nuestra área. Por ejemplo, plataformas de casas, frontones.

¿Has oído alguna vez que se llama a las matemáticas "la reina de todas las ciencias"? ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? Mientras las matemáticas sigan siendo para ti un conjunto de tareas aburridas en un libro de texto, difícilmente podrás sentir la belleza, versatilidad e incluso el humor de esta ciencia.

Pero hay temas en matemáticas que ayudan a hacer observaciones curiosas de cosas y fenómenos que nos son comunes. E incluso intentar traspasar el velo de los secretos de la creación de nuestro Universo. Hay patrones curiosos en el mundo que se pueden describir usando matemáticas.

Introduciendo los números de Fibonacci

Números de Fibonacci se denominan elementos de una secuencia numérica. En él, cada número siguiente de una fila se obtiene sumando los dos números anteriores.

Ejemplo de secuencia: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Puedes escribirlo así:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Puede iniciar una serie de números de Fibonacci con valores negativos. norte... En este caso, la secuencia en este caso es de dos caras (es decir, cubre negativo y números positivos) y tiende al infinito en ambas direcciones.

Un ejemplo de tal secuencia: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

La fórmula en este caso se ve así:

F norte = F norte + 1 - F norte + 2 o de lo contrario puedes hacer esto: F -n = (-1) n + 1 Fn.

Los antiguos matemáticos indios conocían lo que ahora conocemos como "números de Fibonacci" mucho antes de que se utilizaran en Europa. Y con este nombre, en general, una anécdota histórica continua. Para empezar, el propio Fibonacci nunca se llamó Fibonacci durante su vida; este nombre se aplicó a Leonardo de Pisa solo varios siglos después de su muerte. Pero hablemos de todo en orden.

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci

Hijo de un comerciante que se convirtió en matemático y más tarde recibió el reconocimiento de los descendientes como el primer gran matemático de Europa durante la Edad Media. Sobre todo gracias a los números de Fibonacci (que entonces, recordamos, aún no se llamaban así). Que describió a principios del siglo XIII en su obra "Liber abaci" ("Libro del ábaco", 1202).

Viajando con su padre a Oriente, Leonardo estudió matemáticas con profesores árabes (y en ese momento estaban en este negocio, y en muchas otras ciencias, uno de los mejores especialistas). Obras de matemáticos de la Antigüedad y India antigua leyó en traducciones árabes.

Después de comprender a fondo todo lo que leyó y conectar su propia mente inquisitiva, Fibonacci escribió varios tratados científicos sobre matemáticas, incluido el ya mencionado "Libro del Ábaco". Además de ella, creó:

• Practica geometriae (Práctica de la geometría, 1220);
• "Flos" ("Flor", 1225 - un estudio sobre ecuaciones cúbicas);
• "Liber quadratorum" ("Libro de cuadrados", 1225 - problemas sobre ecuaciones cuadráticas indefinidas).

Era un gran fanático de los torneos matemáticos, por lo que en sus tratados prestó mucha atención al análisis de varios problemas matemáticos.

Hay muy poca información biográfica sobre la vida de Leonardo. En cuanto al nombre de Fibonacci, con el que entró en la historia de las matemáticas, no se le quedó hasta el siglo XIX.

Fibonacci y sus tareas

Después de Fibonacci, quedaron una gran cantidad de problemas que fueron muy populares entre los matemáticos en los siglos siguientes. Consideraremos el problema de los conejos, en cuya solución se utilizan los números de Fibonacci.

Los conejos no solo son pieles valiosas

Fibonacci estableció las siguientes condiciones: hay un par de conejos recién nacidos (macho y hembra) de una raza tan interesante que regularmente (a partir del segundo mes) producen descendencia, siempre un nuevo par de conejos. Además, como puedes adivinar, hombres y mujeres.

Estos conejos condicionales se colocan en un espacio cerrado y se reproducen con entusiasmo. También se estipula que ningún conejo muere de alguna misteriosa enfermedad del conejo.

Necesitamos calcular cuántos conejos tendremos en un año.

• Al comienzo de 1 mes tenemos 1 par de conejos. Al final del mes, se aparean.
• El segundo mes, ya tenemos 2 pares de conejos (un par - padres + 1 par - su descendencia).
• Tercer mes: la primera pareja da a luz a una nueva pareja, la segunda pareja se aparea. Total: 3 parejas de conejos.
• Cuarto mes: La primera pareja da a luz a una nueva pareja, la segunda pareja no pierde tiempo y también da a luz a una nueva pareja, la tercera pareja solo se está apareando por ahora. Total: 5 parejas de conejos.

El número de conejos en norte-mo mes = número de parejas de conejos del mes anterior + número de parejas de recién nacidos (hay el mismo número de parejas de conejos 2 meses antes del presente). Y todo esto se describe mediante la fórmula que ya hemos dado anteriormente: F norte = F norte-1 + F norte-2.

Por lo tanto, obtenemos una (explicación recurrente sobre recursividad- a continuación) una secuencia numérica. En el que cada número siguiente es igual a la suma de los dos anteriores:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Puede continuar la secuencia durante mucho tiempo: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>... Pero dado que hemos establecido un plazo específico, un año, estamos interesados ​​en el resultado obtenido en el 12º "movimiento". Esos. 13 ° miembro de la secuencia: 377.

La respuesta está en el problema: se obtendrán 377 conejos si se cumplen todas las condiciones establecidas.

Una de las propiedades de la secuencia numérica de Fibonacci es muy interesante. Si toma dos pares consecutivos de una fila y divide el número mayor por el menor, el resultado se acercará gradualmente proporción áurea(puede leer más sobre esto más adelante en el artículo).

En el lenguaje de las matemáticas, "Límite de relación a n + 1 a un igual a la proporción áurea ".

Más problemas en teoría de números

1. Encuentra un número que se pueda dividir entre 7. Además, si lo divides entre 2, 3, 4, 5, 6, el resto es uno.
2. Encuentra un número cuadrado. Se sabe de él que si le sumas 5 o le restas 5, obtienes un número cuadrado nuevamente.

Le sugerimos que busque respuestas a estos problemas usted mismo. Puede dejarnos sus opciones en los comentarios de este artículo. Y luego te diremos si tus cálculos fueron correctos.

Una explicación de la recursividad

Recursividad- definición, descripción, imagen de un objeto o proceso, que contiene el objeto o proceso en sí. Es decir, en esencia, un objeto o proceso es parte de sí mismo.

La recursividad se utiliza mucho en matemáticas e informática, e incluso en arte y cultura popular.

Los números de Fibonacci se determinan mediante una relación de recurrencia. Por el numero n> 2 n- El número es (n - 1) + (n - 2).

Explicación de la proporción áurea

Proporción áurea- división de un todo (por ejemplo, un segmento) en partes que están relacionadas por siguiente principio: la mayor parte se refiere a la menor de la misma forma que el valor total (por ejemplo, la suma de dos segmentos) a la mayor parte.

La primera mención de la proporción áurea se puede encontrar en Euclides en su tratado "Comienzos" (alrededor del 300 aC). En el contexto de la construcción de un rectángulo regular.

El término familiar para nosotros en 1835 fue introducido en circulación por el matemático alemán Martin Ohm.

Si describimos la proporción áurea aproximadamente, es una división proporcional en dos partes desiguales: aproximadamente 62% y 38%. Numéricamente, la proporción áurea es el número 1,6180339887 .

La proporción áurea encuentra uso práctico en Bellas Artes(pinturas de Leonardo da Vinci y otros pintores del Renacimiento), arquitectura, cine ("El acorazado Potemkin" de S. Ezenstein) y otras áreas. Durante mucho tiempo se creyó que la proporción áurea es la proporción más estética. Esta opinión es popular hoy. Aunque, según los resultados de la investigación, la mayoría de las personas visualmente no perciben tal proporción como la opción más exitosa y la consideran demasiado alargada (desproporcionada).

• Longitud del segmento de = 1, pero = 0,618, B = 0,382.
• Actitud de a pero = 1, 618.
• Actitud de a B = 2,618

Ahora volvamos a los números de Fibonacci. Tomemos dos términos consecutivos de su secuencia. Divida el número más grande por el número más pequeño para obtener aproximadamente 1,618. Y ahora usamos el mismo número más grande y el siguiente miembro de la serie (es decir, un número aún mayor): su relación es temprana de 0,618.

Aquí hay un ejemplo: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 y 233/377 = 0,618

Por cierto, si intentas hacer el mismo experimento con números desde el principio de la secuencia (por ejemplo, 2, 3, 5), nada funcionará. Casi. La regla de la proporción áurea casi no se sigue al comienzo de la secuencia. Pero funciona muy bien a medida que avanza por la fila y aumenta los números.

Y para calcular toda la serie de números de Fibonacci, basta con conocer tres miembros de la secuencia que se suceden uno tras otro. ¡Puedes verlo por ti mismo!

Rectángulo dorado y espiral de Fibonacci

Otro curioso paralelo entre los números de Fibonacci y la proporción áurea nos permite dibujar el llamado "rectángulo áureo": sus lados están correlacionados en la proporción de 1.618 a 1. Pero ya sabemos cuál es el número 1.618, ¿no?

Por ejemplo, tome dos miembros consecutivos de la serie de Fibonacci, 8 y 13, y construya un rectángulo con los siguientes parámetros: ancho = 8, largo = 13.

Y luego dividimos el rectángulo grande en otros más pequeños. Requisito previo: las longitudes de los lados de los rectángulos deben corresponder a los números de Fibonacci. Esos. la longitud del lado del rectángulo más grande debe ser igual a la suma de los lados de los dos rectángulos más pequeños.

La forma en que se hace en esta figura (por conveniencia, las figuras están firmadas en letras latinas).

Por cierto, puedes construir rectángulos en orden inverso. Esos. iniciar la construcción con cuadrados con el lado 1. Para lo cual, guiado por el principio antes mencionado, se completan las figuras con lados, números iguales Fibonacci. En teoría, esto puede continuar indefinidamente; después de todo, la serie de Fibonacci es formalmente infinita.

Si conectamos las esquinas de los rectángulos obtenidos en la figura con una línea suave, obtenemos una espiral logarítmica. Más bien, su caso especial es la espiral de Fibonacci. Se caracteriza, en particular, por el hecho de que no tiene fronteras y no cambia de forma.

Una espiral similar se encuentra a menudo en la naturaleza. Las conchas de almejas son uno de los ejemplos más llamativos. Además, algunas galaxias que se pueden ver desde la Tierra tienen forma de espiral. Si presta atención a los pronósticos meteorológicos en la televisión, es posible que haya notado que los ciclones tienen una forma de espiral similar cuando se filman desde satélites.

Es curioso que la hélice de ADN también obedezca a la regla de la sección áurea: el patrón correspondiente se puede ver en los intervalos de sus curvas.

Tales "coincidencias" asombrosas no pueden sino excitar las mentes y dar lugar a conversaciones sobre un determinado algoritmo unificado, al que obedecen todos los fenómenos de la vida del Universo. ¿Entiendes ahora por qué este artículo se llama así? Y que puertas mundos asombrosos¿Qué te pueden revelar las matemáticas?

Números de Fibonacci en la naturaleza

La conexión entre los números de Fibonacci y la proporción áurea sugiere algunos patrones interesantes. Tan curioso que es tentador intentar encontrar secuencias similares a los números de Fibonacci en la naturaleza e incluso durante eventos históricos... Y la naturaleza realmente da lugar a tales suposiciones. Pero, ¿se puede explicar y describir todo en nuestra vida utilizando las matemáticas?

Ejemplos de vida silvestre que se pueden describir usando la secuencia de Fibonacci:

• el orden de la disposición de las hojas (y ramas) en las plantas: las distancias entre ellas están correlacionadas con los números de Fibonacci (filotaxis);

• la disposición de las semillas de girasol (las semillas están dispuestas en dos filas de espirales, retorcidas en diferentes direcciones: una fila en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario);

• arreglo de escamas de piñas;
• Pétalos de flor;
• células de piña;
• la relación de las longitudes de las falanges de los dedos en una mano humana (aproximadamente), etc.

Problemas combinatorios

Los números de Fibonacci se utilizan ampliamente para resolver problemas combinatorios.

Combinatoria Es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de una selección de un determinado número de elementos de un conjunto designado, enumeración, etc.

Veamos ejemplos de problemas combinatorios diseñados para el nivel de la escuela secundaria (fuente: http://www.problems.ru/).

Tarea número 1:

Lesha sube las escaleras de 10 escalones. A la vez, salta uno o dos pasos. ¿De cuántas formas puede Lesha subir las escaleras?

El número de formas en que Lesha puede subir las escaleras desde norte pasos, denotar y N. De ahí se sigue que un 1 = 1, un 2= 2 (después de todo, Lesha salta uno o dos pasos).

También se estipula que Lesha salta por las escaleras desde n> 2 pasos. Supongamos que dio dos pasos la primera vez. Entonces, de acuerdo con la condición del problema, necesita saltar sobre otro n - 2 pasos. Luego, el número de formas de completar el ascenso se describe como una n - 2... Y si asumimos que por primera vez Lesha solo saltó un escalón, entonces describimos el número de formas de terminar la escalada como un n - 1.

De ahí obtenemos la siguiente igualdad: una norte = una norte - 1 + una norte - 2(parece familiar, ¿no?).

Una vez que sepamos un 1 y un 2 y recuerde que por la condición del problema hay 10 pasos, calculamos en orden todos un: un 3 = 3, a 4 = 5, un 5 = 8, un 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.

Respuesta: 89 formas.

Tarea número 2:

Se requiere encontrar el número de palabras de 10 letras de largo, que consisten solo en las letras "a" y "b" y no deben contener dos letras "b" seguidas.

Denotemos por un número de palabras de longitud norte letras que constan solo de las letras "a" y "b" y no contienen dos letras "b" seguidas. Medio, un 1= 2, un 2= 3.

En secuencia un 1, un 2, <…>, un expresaremos cada término siguiente a través de los anteriores. Por lo tanto, el número de palabras de longitud norte letras que, además, no contengan una letra doble "b" y comiencen con la letra "a", esto es un n - 1... Y si la palabra es larga norte letras comienza con la letra "b", es lógico que la siguiente letra de una palabra así sea "a" (después de todo, no puede haber dos "b" según el enunciado del problema). Por lo tanto, el número de palabras de longitud norte letras en este caso las denotamos como una n - 2... Tanto en el primer como en el segundo caso, cualquier palabra (con una longitud de n - 1 y n - 2 letras, respectivamente) sin doble "b".

Pudimos corroborar por qué una norte = una norte - 1 + una norte - 2.

Calculemos ahora un 3= un 2+ un 1= 3 + 2 = 5, a 4= un 3+ un 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8= 144. Y obtenemos la conocida secuencia de Fibonacci.

Respuesta: 144.

Tarea número 3:

Imagina que hay una cinta dividida en celdas. Va hacia la derecha y dura infinitamente. Coloque un saltamontes en el primer cuadrado de la cinta. Cualquiera que sea la celda de la cinta en la que se encuentre, solo puede moverse hacia la derecha: una celda o dos. ¿De cuántas formas puede un saltamontes saltar desde el principio de la cinta hasta norte la celda?

Denotemos el número de formas de mover el saltamontes a lo largo del cinturón para norte la celda como un... En este caso un 1 = un 2= 1. También en n + 1-th jaula, el saltamontes puede obtener de norte-th celda, o saltando sobre ella. De aquí a n + 1 = un n - 1 + un... De donde un = F n - 1.

Respuesta: F n - 1.

Puedes crear problemas similares tú mismo e intentar resolverlos en lecciones de matemáticas con tus compañeros de clase.

Números de Fibonacci en la cultura popular

Por supuesto, esto fenómeno inusual como los números de Fibonacci, no puede dejar de llamar la atención. Todavía hay algo atractivo e incluso misterioso en este patrón estrictamente verificado. No es sorprendente que la secuencia de Fibonacci de alguna manera se "iluminara" en muchas obras de la cultura de masas moderna de varios géneros.

Te contamos algunos de ellos. Y tratas de buscarte a ti mismo de nuevo. Si lo encuentra, compártalo con nosotros en los comentarios, ¡nosotros también tenemos curiosidad!

• Los números de Fibonacci se mencionan en el bestseller de Dan Brown El Código Da Vinci: la secuencia de Fibonacci sirve como código con el que los personajes principales del libro abren la caja fuerte.
• En la película estadounidense de 2009 Mr. Nobody, en uno de los episodios, la dirección de la casa es parte de la secuencia de Fibonacci - 12358. Además, en otro episodio el personaje principal debe llamar al número de teléfono, que es esencialmente el mismo, pero ligeramente distorsionado (dígito adicional después del número 5) secuencia: 123-581-1321.
• En la serie de 2012 "Comunicación", el personaje principal, un niño con autismo, es capaz de distinguir patrones en los eventos que ocurren en el mundo. Incluso mediante números de Fibonacci. Y gestionar estos eventos también mediante números.
• Desarrolladores de java-game para teléfonos móviles Doom RPG colocado en uno de los niveles puerta secreta... El código que lo abre es la secuencia de Fibonacci.
• En 2012, el grupo de rock ruso "Spleen" lanzó un álbum conceptual "Optical Illusion". La octava pista se llama "Fibonacci". En los versos del líder del grupo, Alexander Vasiliev, se juega la secuencia de números de Fibonacci. Cada uno de los nueve miembros consecutivos tiene el número correspondiente de líneas (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 El tren partió

1 Una articulación hizo clic

1 Una manga se estremeció

2 Todo, consigue las cosas

Todo, consigue las cosas

3 Pidiendo agua hirviendo

El tren va al rio

El tren va en la taiga<…>.

• limerick (un poema corto de cierta forma, generalmente cinco líneas, con un cierto esquema de rima, de contenido cómico, en el que la primera y la última línea se repiten o se duplican parcialmente entre sí) de James Lyndon también usa una referencia a la secuencia de Fibonacci como motivo humorístico:

La comida densa de Fibonacci

Solo fue en beneficio de ellos, no de otra manera.

Las esposas pesaron, según el rumor,

Cada uno es como los dos anteriores.

Resumiendo

Esperamos haberle podido contar hoy mucha información interesante y útil. Por ejemplo, ahora puede buscar la espiral de Fibonacci en la naturaleza que lo rodea. De repente serás tú quien podrá desentrañar el "secreto de la vida, del universo y en general".

Utilice la fórmula de Fibonacci al resolver problemas combinatorios. Puede basarse en los ejemplos descritos en este artículo.

sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

Recientemente, mientras trabajaba en procesos individuales y grupales con personas, volví a pensar en combinar todos los procesos (kármico, mental, fisiológico, espiritual, transformacional, etc.) en uno.

Los amigos detrás del velo revelaron cada vez más la imagen de un Humano multidimensional y la interconexión de todo en todo.

Un impulso interior me impulsó a volver a los viejos estudios con números y una vez más mirar a través del libro de Drunvalo Melchizedek " Antiguo misterio la flor de la vida ".

En este momento, la película "El Código Da Vinci" se proyectó en los cines. No pretendo discutir la calidad, el valor y la verdad de esta película. Pero el momento con el código, cuando los números comenzaron a desplazarse rápidamente, se convirtió para mí en uno de los momentos clave de esta película.

La intuición me dijo que prestara atención a la secuencia numérica de Fibonacci y la Proporción áurea. Si busca en Internet para encontrar algo sobre Fibonacci, entonces caerá sobre usted una avalancha de información. Aprenderás que esta secuencia se ha conocido en todo momento. Está representado en la naturaleza y el espacio, en la tecnología y la ciencia, en la arquitectura y la pintura, en la música y las proporciones del cuerpo humano, en el ADN y el ARN. Muchos investigadores de esta secuencia han llegado a la conclusión de que los eventos clave en la vida de una persona, estado y civilización también están sujetos a la ley de la sección áurea.

Parece que al Humano se le ha dado una pista fundamental.

Entonces surge el pensamiento de que una persona puede aplicar conscientemente el principio de la Sección Áurea para restaurar la salud y corregir el destino, es decir, ordenar los procesos que tienen lugar en el propio universo, expandir la Conciencia, volver al Bienestar.

Recordemos juntos la secuencia de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Cada número subsiguiente se forma sumando los dos anteriores:

1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, etc.

Ahora propongo reducir cada número de la serie a un dígito: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Esto es lo que tenemos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

una secuencia de 24 números, que se repite a partir del día 25:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

¿Te parece extraño o natural que

• en un día - 24 horas,
• casas espaciales - 24,
• Hebras de ADN - 24,
• 24 ancianos del Dios-Estrella Sirio,
• secuencia repetida en la serie de Fibonacci - 24 dígitos.

Si la secuencia resultante se escribe de la siguiente manera,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

luego veremos que los números 1 y 13 de la secuencia, 2 y 14, 3 y 15, 4 y 16 ... 12 y 24 suman 9 ...

3 3 6 9 6 6 3 9

Al probar esta serie de números, obtuvimos:

• Principio de la infancia;
• El principio paterno;
• El Principio Materno;
• El principio de Unidad.

Matriz de sección dorada

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Aplicación práctica de la serie Fibonacci

Un amigo me expresó su intención de trabajar individualmente con él en el desarrollo de sus capacidades y habilidades.

De repente, al principio, Sai Baba entró en el proceso e invitó a seguirlo.

Empezamos a elevarnos dentro de la Mónada Divina de un amigo y, habiéndola dejado por el Cuerpo Causal, nos encontramos en otra realidad al nivel de la Casa Cósmica.

Aquellos que han estudiado los escritos de Mark y Elizabeth Claire Prophets conocen las enseñanzas sobre el Reloj Cósmico, que les fue dada por la Madre María.

Al nivel de la Casa Cósmica, Yuri vio un círculo con un centro interno con 12 flechas.

El Anciano, que se reunió con nosotros en este nivel, dijo que ante nosotros está el Reloj Divino y las 12 manecillas representan 12 (24) Manifestaciones de Aspectos Divinos ... (posiblemente los Creadores).

En cuanto al Reloj Cósmico, estaba ubicado debajo del Reloj Divino según el principio de una figura de energía de ocho.

- ¿De qué modo está el Reloj Divino en relación contigo?

- Las manecillas del Reloj están paradas, no hay movimiento.Ahora me vienen pensamientos de que hace muchos eones de años renuncié a la Conciencia Divina y elegí un camino diferente, el camino del Mago. Todos mis artefactos mágicos y amuletos, que yo y yo hemos acumulado durante muchas encarnaciones, en este nivel parecen sonajeros de bebé. En el plano sutil, representan la imagen de la ropa de energía mágica.

- Completado.Sin embargo, bendigo mi experiencia mágica.Vivir esta experiencia con sinceridad me impulsó a volver a la fuente original, a la integridad.Me ofrecen quitarme mis artefactos mágicos y quedarme en el centro del Reloj.

- ¿Qué hay que hacer para activar el Reloj Divino?

- Sai Baba apareció de nuevo y se ofrece a expresar la intención de unir el Cordón de Plata con el Reloj. También dice que tienes algún tipo de serie numérica. Él es la clave para la activación. La imagen del Hombre Leonard da Vinci aparece ante el ojo interior.

- 12 veces.

- Te pido que centres todo el proceso y dirijas la acción de la energía. serie de números para activar el Reloj Divino.

Leí en voz alta 12 veces

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

En el proceso de lectura, las manecillas del Reloj se apagaron.

La energía fue a lo largo del hilo plateado, que conectaba todos los niveles de Yurina Monad, así como las energías terrenal y celestial ...

Lo más inesperado en este proceso fue que aparecieron cuatro Esencias en el Reloj, que son algunas partes del Todo Único con Yura.

Durante la comunicación, quedó claro que una vez hubo una división del Alma Central, y cada parte eligió su propia área en el universo para la implementación.

Se tomó la decisión de integrarse, lo que sucedió en el centro de la Vigilia Divina.

El resultado de este proceso fue la creación del Cristal Común a este nivel.

Después de eso, recordé que Sai Baba habló una vez sobre cierto Plan, que involucra la combinación de los dos primeros Aspectos en uno, luego cuatro, y así sucesivamente, de acuerdo con el principio binario.

Por supuesto, esta serie de números no es una panacea. Esta es solo una herramienta que le permite realizar rápidamente el trabajo necesario con una persona, para alinearla verticalmente con niveles diferentes Ser.

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Por supuesto, está familiarizado con la idea de que las matemáticas son la más importante de todas las ciencias. Pero muchos pueden no estar de acuerdo con esto, tk. a veces parece que las matemáticas son solo problemas, ejemplos y cosas aburridas por el estilo. Sin embargo, las matemáticas pueden mostrarnos fácilmente cosas familiares desde un lado completamente desconocido. Además, incluso puede revelar los secretos del universo. ¿Cómo? Pasemos a los números de Fibonacci.

¿Qué son los números de Fibonacci?

Los números de Fibonacci son elementos de una secuencia numérica, donde cada uno subsiguiente es sumando los dos anteriores, por ejemplo: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ... Como una regla, esta secuencia se escribe mediante la fórmula: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Los números de Fibonacci pueden comenzar con valores negativos de "n", pero en este caso la secuencia será de dos caras: cubrirá tanto los valores positivos como los números negativos tendiendo al infinito en dos direcciones. Un ejemplo de tal secuencia sería: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, y la fórmula será: F n = F n + 1 - F n + 2 o F -n = (-1) n + 1 Fn.

El creador de los números de Fibonacci es uno de los primeros matemáticos de Europa en la Edad Media llamado Leonardo de Pisa, quien, de hecho, es conocido como Fibonacci - recibió este apodo muchos años después de su muerte.

Durante su vida, Leonardo Pisansky fue muy aficionado a los torneos matemáticos, razón por la cual en sus obras ("Liber abaci" / "Libro del ábaco", 1202; "Practica geometriae" / "Práctica de la geometría", 1220, "Flos" / "Flor", 1225 - investigación sobre ecuaciones cúbicas y "Liber quadratorum" / "Libro de cuadrados", 1225 - problemas de ecuaciones cuadráticas indefinidas) muy a menudo analizaba todo tipo de problemas matemáticos.

ACERCA DE camino de la vida se sabe muy poco sobre Fibonacci en sí. Pero se sabe con certeza que sus problemas gozaron de una inmensa popularidad en los círculos matemáticos en los siglos posteriores. Consideraremos uno de estos a continuación.

Problema de Fibonacci con conejos

Para lograr la tarea, el autor estableció las siguientes condiciones: hay un par de conejos recién nacidos (hembra y macho), que se distinguen por una característica interesante: a partir del segundo mes de vida producen una nueva pareja de conejos, también una hembra y una masculino. Los conejos se encuentran en un espacio reducido y se reproducen constantemente. Y ni un solo conejo muere.

Una tarea: determina el número de conejos en un año

Decisión:

Tenemos:

• Una pareja de conejos al comienzo del primer mes, que se aparean al final del mes.
• Dos parejas de conejos en el segundo mes (primera pareja y cría)
• Tres pares de conejos en el tercer mes (primer par, descendencia del primer par del mes pasado y nueva descendencia)
• Cinco parejas de conejos en el cuarto mes (primera pareja, primera y segunda crías de la primera pareja, tercera cría de la primera pareja y primera cría de la segunda pareja)

El número de conejos por mes "n" = el número de conejos del último mes + el número de nuevas parejas de conejos, es decir, la fórmula anterior: F n = F n-1 + F n-2. Esto da el recurrente secuencia numérica(hablaremos de recursividad más adelante), donde cada nuevo número corresponde a la suma de los dos números anteriores:

1 mes: 1 + 1 = 2

2 meses: 2 + 1 = 3

3er mes: 3 + 2 = 5

4to mes: 5 + 3 = 8

5 meses: 8 + 5 = 13

6 meses: 13 + 8 = 21

7 meses: 21 + 13 = 34

8 meses: 34 + 21 = 55

9 meses: 55 + 34 = 89

10 meses: 89 + 55 = 144

11 meses: 144 + 89 = 233

12 meses: 233+ 144 = 377

Y esta secuencia puede continuar indefinidamente, pero considerando que la tarea es averiguar el número de conejos después de un año, obtenemos 377 pares.

También es importante señalar aquí que una de las propiedades de los números de Fibonacci es que si comparas dos pares consecutivos y luego divides el mayor por el menor, el resultado se moverá hacia la proporción áurea, de la que también hablaremos a continuación.

Mientras tanto, le ofrecemos dos problemas más por números de Fibonacci:

• Determine el número cuadrado, sobre el cual solo se sabe que si le resta 5 o le suma 5, entonces saldrá un número cuadrado nuevamente.
• Determina el número que es divisible por 7, pero siempre que al dividirlo por 2, 3, 4, 5 o 6, el resto sea 1.

Tales tareas no solo serán una excelente manera de desarrollar su mente, sino también un pasatiempo entretenido. También puede averiguar cómo se resuelven estas tareas buscando información en Internet. No nos centraremos en ellos, sino que continuaremos con nuestra historia.

¿Qué son la recursividad y la proporción áurea?

Recursividad

La recursividad es una descripción, definición o imagen de un objeto o proceso, en el que existe un objeto o proceso determinado. En otras palabras, un objeto o proceso puede denominarse parte de sí mismo.

La recursividad se utiliza mucho no solo en matemáticas, sino también en informática, cultura popular y arte. Aplicado a los números de Fibonacci, podemos decir que si el número es "n> 2", entonces "n" = (n-1) + (n-2).

Proporción áurea

La proporción áurea es la división del todo en partes que se relacionan según el principio: más se refiere a menos, de la misma manera que valor total se refiere a la mayoría.

Euclides menciona por primera vez la Proporción Áurea (tratado "Principios" aprox. 300 aC), hablando de la construcción de un rectángulo regular. Sin embargo, el matemático alemán Martin Ohm introdujo un concepto más familiar.

La proporción áurea aproximada se puede representar como una división proporcional en dos partes diferentes, por ejemplo, 38% y 68%. La expresión numérica de la proporción áurea es aproximadamente 1,6180339887.

En la práctica, la proporción áurea se utiliza en arquitectura, bellas artes (ver obras), cine y otras áreas. Sin embargo, durante mucho tiempo, como ahora, la proporción áurea se consideró una proporción estética, aunque la mayoría de la gente la percibe como desproporcionada, alargada.

Puede intentar estimar la proporción áurea usted mismo utilizando las siguientes proporciones:

• Longitud del segmento a = 0,618
• Longitud del segmento b = 0.382
• Longitud del segmento c = 1
• Razón de cy a = 1.618
• Razón de cyb = 2.618

Ahora aplicamos la proporción áurea a los números de Fibonacci: tome dos miembros adyacentes de su secuencia y divida el mayor por el menor. Obtenemos alrededor de 1.618. Si tomamos el mismo número más grande y lo dividimos por el siguiente número más grande después de él, obtenemos aproximadamente 0.618. Pruébelo usted mismo: "juegue" con los números 21 y 34 u otros. Si llevamos a cabo este experimento con los primeros números de la secuencia de Fibonacci, ese resultado dejará de serlo, ya que la proporción áurea "no funciona" al principio de la secuencia. Por cierto, para determinar todos los números de Fibonacci, necesita conocer solo los primeros tres números consecutivos.

Y en conclusión, un poco más de alimento para la mente.

Rectángulo dorado y espiral de Fibonacci

El Rectángulo Áureo es otra relación entre la Proporción Áurea y los números de Fibonacci, ya que su relación de aspecto es 1.618 a 1 (¡recuerde el número 1.618!).

Aquí hay un ejemplo: tomamos dos números de la secuencia de Fibonacci, por ejemplo 8 y 13, y dibujamos un rectángulo con un ancho de 8 cm y una longitud de 13 cm. A continuación, dividimos el rectángulo principal en pequeños, pero sus la longitud y el ancho deben corresponder a los números de Fibonacci: la longitud de una cara del rectángulo grande debe ser igual a dos longitudes de la faceta del más pequeño.

Después de eso, conectamos las esquinas de todos los rectángulos que tenemos con una línea suave y obtenemos un caso especial de una espiral logarítmica: la espiral de Fibonacci. Sus principales propiedades son la ausencia de bordes y el cambio de formas. Esta espiral se puede encontrar a menudo en la naturaleza: los ejemplos más llamativos son las conchas de moluscos, ciclones en imágenes de satélite e incluso varias galaxias. Pero lo más interesante es que el ADN de los organismos vivos obedece a la misma regla, ¿porque recuerdas que tiene forma de espiral?

Estas y muchas otras coincidencias "aleatorias", aún hoy, excitan la conciencia de los científicos y sugieren que todo en el Universo está sujeto a un solo algoritmo, además, matemático. Y esta ciencia esconde en sí misma una gran cantidad de secretos y misterios completamente aburridos.

Números de Fibonacci: una secuencia numérica, donde cada miembro subsiguiente de la serie es igual a la suma los dos anteriores, es decir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 19581068021641812000, .. Estudios complejos y propiedades asombrosas Los números de Fibonacci fueron estudiados por una amplia variedad de científicos profesionales y aficionados a las matemáticas.

En 1997, el investigador Vladimir Mikhailov describió varias características extrañas de la serie, convencido de que la naturaleza (incluido el hombre) se desarrolla de acuerdo con las leyes que se establecen en esta secuencia numérica.

Una propiedad notable de la serie de números de Fibonacci es que a medida que aumentan los números de la serie, la proporción de dos miembros vecinos de esta serie se acerca asintóticamente a la proporción exacta de la Sección Áurea (1: 1.618), la base de la belleza y la armonía en el la naturaleza que nos rodea, incluso en las relaciones humanas.

Tenga en cuenta que el propio Fibonacci abrió su famosa serie, reflexionando sobre el problema del número de conejos que deberían nacer de una pareja en un año. Resultó que en cada mes posterior al segundo, el número de parejas de conejos sigue exactamente la serie digital que ahora lleva su nombre. Por tanto, no es casualidad que el hombre mismo esté ordenado según la serie de Fibonacci. Cada órgano está organizado según una dualidad interna o externa.

Los números de Fibonacci atrajeron a los matemáticos por su peculiaridad de aparecer en los lugares más inesperados. Se observa, por ejemplo, que las proporciones de los números de Fibonacci, tomadas una tras otra, corresponden al ángulo entre las hojas adyacentes en el tallo de la planta, más precisamente, dicen qué proporción de la rotación hace este ángulo: 1/2 - para olmo y tilo, 1/3 - para haya, 2/5 - para roble y manzana, 3/8 - para álamo y rosa, 5/13 - para sauce y almendro, etc. Encontrará los mismos números al contar semillas en las espirales de un girasol, en la cantidad de rayos reflejados por dos espejos, en la cantidad de opciones para las rutas de la abeja arrastrándose de una celda a otra, en muchas juegos de matematicas y trucos.

¿Cuál es la diferencia entre las espirales de proporción áurea y las espirales de Fibonacci? La espiral de proporción áurea es perfecta. Corresponde a la Fuente Primaria de armonía. Esta espiral no tiene principio ni fin. Es interminable. La espiral de Fibonacci tiene un comienzo, a partir del cual comienza a "girar". Esta es una propiedad muy importante. Permite a la naturaleza, después de otro ciclo cerrado, construir una nueva espiral desde cero.

Cabe decir que la espiral de Fibonacci puede ser doble. Hay numerosos ejemplos de estas dobles hélices que se encuentran por todas partes. Entonces, las espirales de girasoles siempre corresponden a la serie de Fibonacci. Incluso en una piña común, puedes ver esta doble espiral de Fibonacci. La primera espiral va en un sentido, el segundo en el otro. Si cuenta el número de escalas en una espiral que gira en una dirección y el número de escalas en otra espiral, puede ver que estos son siempre dos números consecutivos de la serie de Fibonacci. El número de estas espirales es 8 y 13. Hay pares de espirales en girasoles: 13 y 21, 21 y 34, 34 y 55, 55 y 89. ¡Y no hay desviaciones de estos pares! ..

En un humano, en el conjunto de cromosomas de una célula somática (hay 23 pares de ellos), la fuente de enfermedades hereditarias son 8, 13 y 21 pares de cromosomas ...

Pero, ¿por qué esta serie en particular juega un papel decisivo en Nature? El concepto de triplicidad, que determina las condiciones para su autoconservación, puede dar una respuesta exhaustiva a esta pregunta. Si el "equilibrio de intereses" de la tríada es violado por uno de sus "socios", las "opiniones" de los otros dos "socios" deben ajustarse. El concepto de triplicidad se manifiesta con especial claridad en la física, donde "casi" todas las partículas elementales se construyeron a partir de quarks. Si recordamos que las proporciones de las cargas fraccionarias de las partículas de quarks forman una serie, y estos son los primeros miembros de la serie de Fibonacci, que son necesarios para la formación de otras partículas elementales.

Es posible que la espiral de Fibonacci pueda jugar un papel decisivo en la formación del patrón de espacios jerárquicos limitados y cerrados. De hecho, imagine que en alguna etapa de la evolución, la espiral de Fibonacci ha alcanzado la perfección (se ha vuelto indistinguible de la espiral de la proporción áurea) y por esta razón la partícula debe transformarse en la siguiente "categoría".

Estos hechos confirman una vez más que la ley de la dualidad da resultados no solo cualitativos, sino también cuantitativos. Nos hacen pensar que el macrocosmos y el microcosmos que nos rodean evolucionan de acuerdo con las mismas leyes, las leyes de la jerarquía, y que estas leyes son las mismas para la materia viva y no viviente.

Todo esto indica que la serie de números de Fibonacci es una especie de ley cifrada de la naturaleza.

El código digital del desarrollo de la civilización se puede determinar utilizando varios métodos en numerología. Por ejemplo, convirtiendo números complejos en dígitos de un solo dígito (por ejemplo, 15 es 1 + 5 = 6, etc.). Realizando un procedimiento similar de suma con todos los números complejos de la serie de Fibonacci, Mikhailov obtuvo la siguiente serie de estos números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, luego todo se repite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. y se repite una y otra vez ... Esta serie también tiene las propiedades de la serie de Fibonacci, cada término infinitamente subsiguiente es igual a la suma de los anteriores. Por ejemplo, la suma de los términos 13 y 14 es 15, es decir, 8 y 8 = 16, 16 = 1 + 6 = 7. Resulta que esta serie es periódica, con un período de 24 miembros, después del cual se repite todo el orden de números. Habiendo recibido este período, Mikhailov presentó una suposición interesante: ¿no es un conjunto de 24 dígitos una especie de código digital para el desarrollo de la civilización?

PD Y recuerde, con solo cambiar su conciencia, ¡juntos estamos cambiando el mundo! © econet