La tarea... En la tabla se da el número de aciertos de pares de valores de variables aleatorias X e Y en los intervalos correspondientes. Con base en estos datos, encuentre el coeficiente de correlación muestral y las ecuaciones muestrales de las líneas rectas de regresión Y en X y X en Y.
Solución

Ejemplo... La distribución de probabilidad de una variable aleatoria bidimensional (X, Y) se da en la tabla. Encuentre las leyes de distribución de las cantidades constituyentes X, Y y el coeficiente de correlación p (X, Y).
Descarga la solución

La tarea... Bidimensional cantidad discreta(X, Y) viene dado por la ley de distribución. Encuentre las leyes de distribución de los componentes X e Y, la covarianza y el coeficiente de correlación.

La bidimensional se denomina variable aleatoria ( X, Y), cuyos posibles valores son pares de números ( x, y). Los constituyentes X y Y considerado de forma simultánea el sistema dos variables aleatorias.

Una cantidad bidimensional se puede interpretar geométricamente como un punto aleatorio METRO(NS; Y) en la superficie xOy o como un vector aleatorio OM.

Discreto se llama una cantidad bidimensional, cuyos componentes son discretos.

Continuo se llama una cantidad bidimensional cuyos componentes son continuos.

Ley de distribución probabilidades de una variable aleatoria bidimensional es la correspondencia entre los valores posibles y sus probabilidades.

La ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional discreta se puede especificar: a) en forma de tabla con una entrada doble, que contiene los valores posibles y sus probabilidades; b) analíticamente, por ejemplo, en forma de función de distribución.

Función de distribución de probabilidades de una variable aleatoria bidimensional se llama función F (x, y) determinando para cada par de números (x, y) la probabilidad de que X tomará un valor menor que x, y al mismo tiempo Y tomará un valor menor y:

F (x, y) = P (X< x, Y < y).

Geométricamente, esta igualdad se puede interpretar de la siguiente manera: F (x, y) existe la posibilidad de que un punto aleatorio ( X, Y) cae en un cuadrante infinito con vértice ( x, y) ubicado a la izquierda y debajo de este pico.

A veces se utiliza el término "función acumulativa" en lugar del término "función de distribución".

La función de distribución tiene las siguientes propiedades:

Propiedad 1. Los valores de la función de distribución satisfacen la doble desigualdad

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Propiedad 2. La función de distribución es una función no decreciente para cada argumento:

F (x 2, y) ≥ F (x 1, y), si x 2> x 1,

F (x, y 2) ≥ F (x, y 1) si y 2> y 1.

Propiedad 3. Hay relaciones límite:

1) F (–∞, y) = 0,

3) F (–∞, –∞) = 0,

2) F (x, –∞) = 0,

4) F (∞, ∞) = 1.

Propiedad 4... pero) Cuando Y=∞ la función de distribución del sistema se convierte en la función de distribución del componente X:

F (x, ∞) = F 1 (x).

B) Para x = ∞ la función de distribución del sistema se convierte en la función de distribución del componente Y:

F (∞, y) = F 2 (y).

Usando la función de distribución, puede encontrar la probabilidad de golpear un punto aleatorio en un rectángulo x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Densidad de la distribución de probabilidad conjunta (densidad de probabilidad bidimensional) una variable aleatoria bidimensional continua se denomina segunda derivada mixta de la función de distribución:

A veces se utiliza el término "función diferencial del sistema" en lugar del término "densidad de probabilidad bidimensional".

La densidad de distribución conjunta se puede considerar como el límite de la razón de la probabilidad de que un punto aleatorio caiga en un rectángulo con lados D X y D y al área de este rectángulo cuando ambos lados tienden a cero; geométricamente, se puede interpretar como una superficie que se llama superficie de distribucion.

Conociendo la densidad de distribución, puede encontrar la función de distribución mediante la fórmula

La probabilidad de golpear un punto aleatorio (X, Y) en el dominio D está determinada por la igualdad

Una densidad de probabilidad bidimensional tiene las siguientes propiedades:

Propiedad 1. La densidad de probabilidad bidimensional no es negativa:

f (x, y) ≥ 0.

Propiedad 2. Integral doble incorrecta con límites infinitos de densidad de probabilidad bidimensional es igual a uno :

En particular, si todos los valores posibles (X, Y) pertenecen a un dominio finito D, entonces

226. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria bidimensional discreta se da:

Encuentre las leyes de distribución de los componentes.

228. La función de distribución de una variable aleatoria bidimensional se da

Encuentre la probabilidad de golpear un punto aleatorio ( X, Y X = 0, X= p / 4, y= p / 6, y= p / 3.

229. Encuentre la probabilidad de golpear un punto aleatorio ( X, Y) en un rectángulo delimitado por líneas rectas X = 1, X = 2, y = 3, y= 5 si se conoce la función de distribución

230. La función de distribución de una variable aleatoria bidimensional se da

Encuentre la densidad de probabilidad bidimensional del sistema.

231. En un círculo x 2 + y 2 ≤ R 2 densidad de probabilidad bidimensional; fuera del circulo f (x, y) = 0. Encuentre: a) la constante C; b) la probabilidad de acertar en un punto aleatorio ( X, Y) en un círculo de radio r= 1 centrado en el origen si R = 2.

232. En el primer cuadrante, se da la función de distribución de un sistema de dos variables aleatorias F (x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y... Encuentre: a) densidad de probabilidad bidimensional del sistema; b) la probabilidad de acertar en un punto aleatorio ( X, Y) en un triángulo con vértices A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Leyes condicionales de distribución de probabilidades de componentes.
variable aleatoria bidimensional discreta

Deje que los componentes X y Y son discretos y tienen los siguientes valores posibles, respectivamente: x 1, x 2, ..., x n; y 1, y 2, ..., y m.

La distribución condicional del componente X a Y = y j(j retiene el mismo valor para todos los valores posibles de X) se llama el conjunto de probabilidades condicionales

p (x 1 | y j), p (x 2 | y j),…, p (x n | y j).

La distribución condicional Y se define de manera similar.

Las probabilidades condicionales de los componentes X e Y se calculan, respectivamente, mediante las fórmulas

Para controlar los cálculos, es recomendable asegurarse de que la suma de las probabilidades de la distribución condicional sea igual a uno.

233. Una variable aleatoria bidimensional discreta ( X, Y):

Encuentre: a) la ley de distribución condicional X siempre que Y= 10; b) ley de distribución condicional Y siempre que X=6.

8.3. Encontrar densidades y leyes de distribución condicional
componentes de una variable aleatoria bidimensional continua

La densidad de distribución de uno de los componentes es integral impropia con límites infinitos en la densidad de la distribución conjunta del sistema, y ​​la variable de integración corresponde a otro componente:

Se asume aquí que los posibles valores de cada uno de los componentes pertenecen al eje numérico completo; si los valores posibles pertenecen a un intervalo finito, entonces los números finitos correspondientes se toman como límites de integración.

La densidad de distribución condicional del componente X a un valor dado Y = y es la relación entre la densidad de distribución conjunta del sistema y la densidad de distribución del componente Y:

La densidad de distribución condicional del componente se determina de manera similar Y:

Si las densidades de distribución condicional de variables aleatorias X y Y son iguales a sus densidades incondicionales, entonces dichos valores son independientes.

Uniforme es la distribución de una variable aleatoria continua bidimensional ( X, Y), si se encuentra en la región a la que pertenecen todos los valores posibles ( x, y), la densidad de la distribución de probabilidad conjunta permanece constante.

235. Se da la densidad de la distribución conjunta de una variable aleatoria bidimensional continua (X, Y)

Encuentre: a) la densidad de distribución de los componentes; b) densidad de distribución condicional del constituyente.

236. La densidad de la distribución conjunta de una variable aleatoria bidimensional continua ( X, Y)

Encuentre: a) factor constante C; b) la densidad de distribución de los componentes; c) densidades de distribución condicional de los componentes.

237. Variable aleatoria bidimensional continua ( X, Y) se distribuye uniformemente dentro de un rectángulo con un centro de simetría en el origen y lados 2a y 2b paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre: a) densidad de probabilidad bidimensional del sistema; b) la densidad de distribución de los componentes.

238. Variable aleatoria bidimensional continua ( X, Y) distribuido uniformemente en el interior triángulo rectángulo con picos O(0; 0), PERO(0; 8), EN(8; 0). Encuentre: a) densidad de probabilidad bidimensional del sistema; b) densidad y densidad de distribución condicional de los componentes.

8.4. Características numéricas de un sistema continuo
dos variables aleatorias

Conociendo las densidades de distribución de los componentes X e Y de una variable aleatoria bidimensional continua (X, Y), se pueden encontrar sus expectativas y varianzas matemáticas:

A veces es más conveniente utilizar fórmulas que contengan una densidad de probabilidad bidimensional ( integrales dobles se toman sobre el rango de valores posibles del sistema):

Inicial, momento n k, s orden k + s sistemas X, Y) es la expectativa matemática del producto X k Y s:

n k, s = M.

En particular,

n 1.0 = M (X), n 0.1 = M (Y).

Momento central m k, s orden k + s sistemas X, Y) se llama la expectativa matemática del producto de las desviaciones, respectivamente k th y s-th grados:

m k, s = M (k ∙ s).

En particular,

m 1.0 = M = 0, m 0.1 = M = 0;

m 2,0 = M 2 = D (X), m 0,2 = M 2 = D (Y);

Momento de correlación m xy sistemas X, Y) se llama el momento central m 1,1 orden 1 + 1:

m xу = M (∙).

Coeficiente de correlación las cantidades X e Y se denominan la relación entre el momento de correlación y el producto de las desviaciones estándar de estas cantidades:

r xy = metro xy / (s x s y).

El coeficiente de correlación es una cantidad adimensional y | r xy| ≤ 1. El coeficiente de correlación se utiliza para evaluar la estanqueidad comunicación lineal Entre X y Y: cuanto más se acerca a uno el valor absoluto del coeficiente de correlación, más fuerte es la relación; cuanto más cerca de cero esté el valor absoluto del coeficiente de correlación, más débil será la relación.

Correlacionado se llaman dos variables aleatorias si su momento de correlación es distinto de cero.

No correlacionado se llaman dos variables aleatorias si su momento de correlación es igual a cero.

Las dos cantidades correlacionadas también son dependientes; si dos cantidades son dependientes, entonces pueden estar correlacionadas o no correlacionadas. La independencia de las dos cantidades implica su falta de correlación, pero de la falta de correlación es todavía imposible concluir que estas cantidades son independientes (para cantidades distribuidas normalmente, su independencia se deriva de la falta de correlación de estas cantidades).

Para cantidades continuas X e Y, el momento de correlación se puede encontrar mediante las fórmulas:

239. La densidad de la distribución conjunta de una variable aleatoria bidimensional continua (X, Y) se da:

Encuentre: a) expectativas matemáticas; b) las varianzas de los componentes X e Y.

240. Se da la densidad de la distribución conjunta de una variable aleatoria bidimensional continua (X, Y):

Encuentre las expectativas matemáticas y las variaciones de los componentes.

241. La densidad de la distribución conjunta de una variable aleatoria bidimensional continua ( X, Y): f (x, y) = 2 cosx acogedor al cuadrado 0 ≤ X≤p / 4, 0 ≤ y≤p / 4; fuera de la plaza f (x, y)= 0. Encuentre las expectativas matemáticas de los componentes.

242. Demuestre que si la densidad de probabilidad bidimensional de un sistema de variables aleatorias ( X, Y) se puede representar como un producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X y el otro es solo de y, luego las cantidades X y Y independiente.

243. Demuestre que si X y Y linealmente relacionado Y = hacha + B, entonces el valor absoluto del coeficiente de correlación es igual a uno.

Solución... Por definición del coeficiente de correlación,

r xy = metro xy / (s x s y).

m xу = M (∙). (*)

Encuentra el valor esperado Y:

M (Y) = M = aM (X) + b. (**)

Sustituyendo (**) en (*), después de transformaciones elementales obtenemos

m xу = aM 2 = aD (X) = como 2 x.

Teniendo en cuenta que

Y - M (Y) = (aX + b) - (aM (X) + b) = a,

encuentra la varianza Y:

D (Y) = M 2 = una 2 M 2 = una 2 s 2 x.

De aquí s y = | a | s x... Por tanto, el coeficiente de correlación

Si a> 0, entonces r xy= 1; Si a < 0, то r xy = –1.

Entonces, | r xy| = 1, según sea necesario.

Definición. Si se dan dos variables aleatorias en el mismo espacio de eventos elementales NS y Y, entonces dicen que se da variable aleatoria bidimensional (X, Y) .

Ejemplo. La máquina perfora baldosas de acero. La longitud está controlada NS y ancho Y. - SV bidimensional.

SV NS y Y tienen sus propias funciones de distribución y otras características.

Definición. La función de distribución de una variable aleatoria bidimensional (X, Y) se llama a la función.

Definición. La ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional discreta (X, Y) llamado la mesa

Para SW discreto bidimensional.

Propiedades:

2) si, entonces ; si entonces ;

4) - función de distribución NS;

- función de distribución Y.

Probabilidad de que los valores de SV bidimensionales caigan en un rectángulo:

Definición. Variable aleatoria bidimensional (X, Y) llamada continuo si su función de distribución es continua y tiene en todas partes (excepto, quizás, un número finito de curvas) una derivada parcial continua mixta de segundo orden .

Definición. La densidad de la distribución de probabilidad conjunta de un SW continuo bidimensional se llama a la función.

Entonces obviamente .

Ejemplo 1. El RV bidimensional continuo viene dado por la función de distribución

Entonces la densidad de distribución tiene la forma

Ejemplo 2. El RV bidimensional continuo viene dado por la densidad de distribución

Encontremos su función de distribución:

Propiedades:

3) para cualquier área.

Conozca la densidad de la distribución conjunta. Entonces, la densidad de distribución de cada uno de los componentes del SW bidimensional se encuentra de la siguiente manera:

Ejemplo 2 (continuación).

Algunos autores denominan las densidades de distribución del componente SW bidimensional marginal distribuciones de probabilidad .

Leyes de distribución condicional de los componentes de un sistema de SW discreto.

Probabilidad condicional, donde.

Ley de distribución condicional del componente NS a :

Del mismo modo para, donde.

Compongamos una ley de distribución condicional NS a Y = 2.

Entonces la ley de distribución condicional

Definición. La densidad de distribución condicional del componente X a un valor dado Y = y llamada.

Similar:.

Definición. Condicional matemático esperando un discreto SV Y at se llama, donde - ver arriba.

Como consecuencia, .

Para continuo SV Y .

Obviamente es una función del argumento NS... Esta característica se llama la función de regresión Y en X .

Similar, función de regresión X sobre Y : .

Teorema 5. (Sobre la función de distribución de RV independientes)

SV NS y Y

Consecuencia. CB continuo NS y Y son independientes si y solo si.

En el ejemplo 1 para. Por lo tanto, SV NS y Y independiente.

Características numéricas de los componentes de una variable aleatoria bidimensional

Para CB discretos:

Para CB continuo :.

La varianza y la desviación estándar para todos los SW están determinadas por las mismas fórmulas que conocemos:

Definición. El punto se llama centro de dispersión SV bidimensional.

Definición. Covarianza (momento de correlación) SV se llama

Para CB discretos :.

Para CB continuo :.

Fórmula para calcular :.

Para SV independientes.

El inconveniente de la característica es su dimensión (el cuadrado de la unidad de medida de los componentes). El siguiente valor está libre de este inconveniente.

Definición. Coeficiente de correlación SV NS y Y llamada

Para SV independientes.

Para cualquier par de CB ... Se sabe que si y solo si, cuando, donde.

Definición. SV NS y Y son llamados no correlacionado , Si .

Relación entre correlación y dependencia de SV:

- si SV NS y Y correlacionado, es decir , entonces son dependientes; Lo contrario no es verdad;

- si SV NS y Y independiente, entonces ; Lo contrario no es verdad.

Observación 1. Si SV NS y Y distribuido de acuerdo con la ley normal y entonces son independientes.

Observación 2. Valor práctico como medida de dependencia se justifica sólo cuando la distribución conjunta de un par es normal o aproximadamente normal. Para SV arbitrario NS y Y puede llegar a una conclusión errónea, es decir tal vez incluso cuando NS y Y están conectados por estricta dependencia funcional.

Observación 3. EN estadística matemática La correlación se denomina dependencia probabilística (estadística) entre cantidades, que, en términos generales, no es de naturaleza estrictamente funcional. La dependencia de correlación surge cuando una de las cantidades depende no sólo del segundo dado, sino también de varios factores aleatorios, o cuando entre las condiciones de las que depende una u otra cantidad, existen condiciones comunes a ambas.

Ejemplo 4. Para SV NS y Y del ejemplo 3 encontrar .

Solución.

Ejemplo 5. Se da la densidad de la distribución conjunta del SW bidimensional.

Definición 2.7. es un par de números aleatorios (X, Y), o un punto en el plano de coordenadas (figura 2.11).

Arroz. 2.11.

Una variable aleatoria bidimensional es un caso especial de una variable aleatoria multidimensional o un vector aleatorio.

Definición 2.8. Vector aleatorio - Esta función aleatoria?, (/) con un conjunto finito de posibles valores de argumento t, cuyo valor por cualquier valor t es una variable aleatoria.

Una variable aleatoria bidimensional se llama continua si sus coordenadas son continuas y discreta si sus coordenadas son discretas.

Establecer la ley de distribución de variables aleatorias bidimensionales significa establecer una correspondencia entre sus posibles valores y la probabilidad de estos valores. Según los métodos de configuración, las variables aleatorias se dividen en continuas y discretas, aunque existen formas generales estableciendo la ley de distribución para cualquier RV.

Variable aleatoria bidimensional discreta

Una variable aleatoria bidimensional discreta se especifica mediante una tabla de distribución (Tabla 2.1).

Cuadro 2.1

Tabla de asignación (asignación conjunta) SV ( X, Y)

Los elementos de la tabla están definidos por la fórmula

Propiedades de los elementos de la tabla de distribución:

La distribución a lo largo de cada coordenada se llama unidimensional o marginal:

R 1> = P (X =.d,) - distribución marginal de SV X;

p ^ 2) = P (y = y,)- distribución marginal de SV U.

Distribución conjunta de SV X e Y dado por el conjunto de probabilidades [р ()), i = 1,..., n, j = 1,..., T(tabla de distribución) y distribución marginal.

Similarmente para SV U p- 2)= X p, r

Tarea 2.14. Dado:

Variable aleatoria bidimensional continua

/ (NS, y) dxdy es un elemento de probabilidad para una variable aleatoria bidimensional (X, Y): la probabilidad de que una variable aleatoria (X, Y) caiga en un rectángulo con lados cbc, dy a dx, dy -* 0:

f (x, y) - densidad de distribución variable aleatoria bidimensional (X, Y). La tarea / (x, y) damos información completa sobre la distribución de una variable aleatoria bidimensional.

Las distribuciones marginales se especifican como sigue: a lo largo de X - por la densidad de distribución de RV X /, (x); en Y- densidad de distribución de SV U f> (y).

Establecer la ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional mediante una función de distribución

Una forma universal de definir la ley de distribución para una variable aleatoria bidimensional discreta o continua es la función de distribución F (x, y).

Definición 2.9. Función de distribución F (x, y)- la probabilidad de ocurrencia conjunta de eventos (Xy), es decir F (x 0, y n) = = P (X y), arrojada al plano de coordenadas, entra en un cuadrante infinito con vértice en el punto M (x 0, y y)(en el área sombreada de la figura 2.12).

Arroz. 2.12. Una ilustración de la función de distribución F ( x, y)

Propiedades de la función F (x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F (-oo,-oo) = F (x,-oo) = F (-oo, y) = 0; F ( oo, oo) = 1;
• 3) F (x, y)- no decreciente para cada argumento;
• 4) F (x, y) - continuo a la izquierda y desde abajo;
• 5) consistencia de distribuciones:

F (x, X: F (x, oo) = F, (x); F (y, oo) - distribución marginal sobre Y F ( oo y) = F 2 (y). Conexión / (x, y) con F (x, y):

Relación entre densidad articular y densidad marginal. Dana f (x, y). Obtenemos las densidades de distribución marginal f (x), f 2 (y) ".

El caso de coordenadas independientes de una variable aleatoria bidimensional

Definición 2.10. SV X y Yindependiente(ns) si cualquier evento asociado con cada uno de estos SV es independiente. De la definición de ns SV se sigue:

• 1 ) Pij = p X) pf
• 2 ) F (x, y) = F l (x) F 2 (y).

Resulta que para los SW independientes X y Y completado y

3 ) f (x, y) = J (x) f, (y).

Demostremos eso para vehículos recreativos independientes X y Y 2) 3). Prueba, a) Deje 2) mantener, es decir

al mismo tiempo F (x, y) = f J f (u, v) dudv, de donde se sigue 3);

b) ahora deja 3) aguanta, luego

esos. cierto 2).

Consideremos las tareas.

Tarea 2.15. La distribución viene dada por la siguiente tabla:

Construimos distribuciones marginales:

Obtenemos P (X = 3, Y = 4) = 0,17 * P (X = 3) P (Y = 4) = 0,1485 => => CB X y dependiente.

Función de distribución:

Tarea 2.16. La distribución viene dada por la siguiente tabla:

Obtenemos P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => CB X y Y Nueva Zelanda.

Tarea 2.17. Dana / (x, y) = 1 / I exp | -0,5 (d "+ 2xy + 5d / 2)]. Encontrar Oh) y / Ay) -

Solución

(cuente usted mismo).

Sea una variable aleatoria bidimensional $ (X, Y) $.

Definición 1

La ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional $ (X, Y) $ es el conjunto de posibles pares de números $ (x_i, \ y_j) $ (donde $ x_i \ epsilon X, \ y_j \ epsilon Y $) y sus probabilidades $ p_ (ij) $ ...

Muy a menudo, la ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional se escribe en forma de tabla (Tabla 1).

Figura 1. Ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional.

Recordemos ahora el teorema de la suma de las probabilidades de eventos independientes.

Teorema 1

La probabilidad de la suma de un número finito de eventos independientes $ (\ A) _1 $, $ (\ A) _2 $, ..., $ \ (\ A) _n $ se calcula mediante la fórmula:

Con esta fórmula, puede obtener las leyes de distribución para cada componente de una variable aleatoria bidimensional, es decir:

De aquí se deducirá que la suma de todas las probabilidades del sistema bidimensional tiene la siguiente forma:

Consideremos en detalle (paso a paso) el problema asociado con el concepto de ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional.

Ejemplo 1

La ley de distribución de una variable aleatoria bidimensional viene dada por la siguiente tabla:

Figura 2.

Encuentre las leyes de distribución para las variables aleatorias $ X, \ Y $, $ X + Y $ y verifique en cada caso la igualdad de la suma total de probabilidades a uno.

1. En primer lugar, encontremos la distribución de la variable aleatoria $ X $. La variable aleatoria $ X $ puede tomar los valores $ x_1 = 2, $ $ x_2 = 3 $, $ x_3 = 5 $. Para encontrar la distribución, usaremos el teorema 1.

En primer lugar, encontremos la suma de probabilidades $ x_1 $ de la siguiente manera:

Figura 3.

De manera similar, encontramos $ P \ left (x_2 \ right) $ y $ P \ left (x_3 \ right) $:

\ \

Figura 4.

1. Hallemos ahora la distribución de la variable aleatoria $ Y $. La variable aleatoria $ Y $ puede tomar los valores $ x_1 = 1, $ $ x_2 = 3 $, $ x_3 = 4 $. Para encontrar la distribución, usaremos el teorema 1.

En primer lugar, encontremos la suma de probabilidades $ y_1 $ de la siguiente manera:

Figura 5.

De manera similar, encontramos $ P \ left (y_2 \ right) $ y $ P \ left (y_3 \ right) $:

\ \

Por tanto, la ley de distribución de la cantidad $ X $ tiene la siguiente forma:

Figura 6.

Comprobemos la igualdad de la suma total de probabilidades:

1. Queda por encontrar la ley de distribución para la variable aleatoria $ X + Y $.

Por conveniencia, denotémoslo por $ Z $: $ Z = X + Y $.

Primero, encontramos qué valores puede tomar un valor dado. Para hacer esto, agregaremos los valores de $ X $ y $ Y $ en pares. Obtenemos los siguientes valores: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Ahora, descartando los valores coincidentes, obtenemos que la variable aleatoria $ X + Y $ puede tomar los valores $ z_1 = 3, \ z_2 = 4, \ z_3 = 5, \ z_4 = 6, \ z_5 = 7, \ z_6 = 8, \ z_7 = 9. \ $

Encontremos para empezar $ P (z_1) $. Dado que el valor de $ z_1 $ es uno, se encuentra de la siguiente manera:

Figura 7.

Todas las probabilidades, excepto $ P (z_4) $, se encuentran de manera similar:

Busquemos ahora $ P (z_4) $ de la siguiente manera:

Figura 8.

Por tanto, la ley de distribución de la cantidad $ Z $ tiene la siguiente forma:

Figura 9.

Comprobemos la igualdad de la suma total de probabilidades: