La expectativa matemática de una variable aleatoria x. La media de la población es

Como ya se sabe, la ley de distribución caracteriza completamente a la variable aleatoria. Sin embargo, la ley de distribución a menudo se desconoce y uno tiene que limitarse a menos información. A veces, es incluso más rentable utilizar números que describen una variable aleatoria en total; tales números se llaman características numéricas de una variable aleatoria.

La expectativa matemática es una de las características numéricas importantes.

La expectativa matemática es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta Llame a la suma de los productos de todos sus valores posibles por sus probabilidades.

Si una variable aleatoria se caracteriza por una serie de distribución finita:

NS	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	p 1	p 2	p 3	…	p p

entonces la expectativa M (X) determinado por la fórmula:

La expectativa matemática de una variable aleatoria continua está determinada por la igualdad:

donde es la densidad de probabilidad de la variable aleatoria NS.

Ejemplo 4.7. Encuentre la expectativa matemática de la cantidad de puntos lanzados al lanzar un dado.

Solución:

Valor aleatorio NS toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. Compongamos la ley de su distribución:

NS
R

Entonces la expectativa matemática es:

Propiedades de la expectativa matemática:

1. La expectativa matemática de una constante es igual a la más constante:

M (C) = C.

2. El factor constante se puede sacar más allá del signo de la expectativa matemática:

M (CX) = CM (X).

3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:

M (XY) = M (X) M (Y).

Ejemplo 4.8... Variables aleatorias independientes X y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:

NS					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria XY.

Solución.

Encontremos las expectativas matemáticas de cada una de estas cantidades:

Variables aleatorias X y Y independiente, por lo tanto, la expectativa matemática deseada:

M (XY) = M (X) M (Y) =

Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias independientes entre sí es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Consecuencia. La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.

Ejemplo 4.9. Realiza 3 tiros con una probabilidad de dar en el blanco igual a p 1 = 0,4; p 2= 0,3 y p 3= 0,6. Encuentre el valor esperado del número total de aciertos.

Solución.

El número de aciertos en el primer disparo es una variable aleatoria. X 1, que puede tomar solo dos valores: 1 (acierto) con probabilidad p 1= 0.4 y 0 (falla) con probabilidad q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

La expectativa matemática del número de aciertos en el primer disparo es igual a la probabilidad de aciertos:

Del mismo modo, encontramos las expectativas matemáticas del número de aciertos en el segundo y tercer disparo:

M (X 2)= 0,3 y M (X 3) = 0,6.

El número total de aciertos también es una variable aleatoria que consta de la suma de aciertos en cada uno de los tres disparos:

X = X 1 + X 2 + X 3.

La expectativa matemática deseada NS encontramos por el teorema de lo matemático, la expectativa de la suma.

Características numéricas básicas de variables aleatorias discretas y continuas: expectativa matemática, varianza y desviación estándar. Sus propiedades y ejemplos.

La ley de distribución (función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas, basta con conocer con exactitud algunas de las características numéricas de la cantidad investigada (por ejemplo, su valor medio y la posible desviación del mismo) para responder a la pregunta planteada. Considere las principales características numéricas de las variables aleatorias discretas.

Definición 7.1.Expectativa matemática una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus posibles valores por las probabilidades correspondientes:

METRO(NS) = NS 1 R 1 + NS 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Si el número de valores posibles de una variable aleatoria es infinito, entonces si la serie resultante converge absolutamente.

Observación 1. La expectativa matemática a veces se llama peso promedio, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria en un número grande experimentos.

Observación 2. De la definición de la expectativa matemática se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria y no más que el mayor.

Observación 3. La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es sin coincidencia(constante. En lo que sigue, veremos que lo mismo ocurre con las variables aleatorias continuas.

Ejemplo 1. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria NS- el número de piezas estándar entre tres seleccionadas de un lote de 10 piezas, de las cuales 2 están defectuosas. Compongamos una serie de distribución para NS... Del planteamiento del problema se deduce que NS puede tomar los valores 1, 2, 3. Entonces

Ejemplo 2. Determinar la expectativa matemática de una variable aleatoria NS- el número de lanzamientos de monedas antes de la primera aparición del escudo de armas. Este valor puede tomar un número infinito de valores (el conjunto de valores posibles es un conjunto números naturales). Su serie de distribución es la siguiente:

NS			…	NS	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)NS	…

+ (en el cálculo, la fórmula para la suma de infinitamente decrecientes progresión geométrica: , donde ).

Propiedades de la expectativa matemática.

1) La expectativa matemática de una constante es igual a la más constante:

METRO(CON) = CON.(7.2)

Prueba. Considerando CON como una variable aleatoria discreta que toma solo un valor CON con probabilidad R= 1, entonces METRO(CON) = CON?1 = CON.

2) El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática:

METRO(SH) = CM(NS). (7.3)

Prueba. Si una variable aleatoria NS dado por una serie de distribución

Luego METRO(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = CON(NS 1 R 1 + NS 2 R 2 + … + x p p p) = CM(NS).

Definición 7.2. Dos variables aleatorias se llaman independiente, si la ley de distribución de uno de ellos no depende de los valores que tomó el otro. De lo contrario, las variables aleatorias dependiente.

Definición 7.3. Llamemos producto de variables aleatorias independientes NS y Y variable aleatoria XY, cuyos valores posibles son iguales a los productos de todos los valores posibles NS para todos los valores posibles Y, y las probabilidades correspondientes son iguales a los productos de las probabilidades de los factores.

3) La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:

METRO(XY) = METRO(X)METRO(Y). (7.4)

Prueba. Para simplificar los cálculos, nos limitamos al caso en que NS y Y tomar solo dos valores posibles:

Como consecuencia, METRO(XY) = X 1 y 1 ?pag 1 gramo 1 + X 2 y 1 ?pag 2 gramo 1 + X 1 y 2 ?pag 1 gramo 2 + X 2 y 2 ?pag 2 gramo 2 = y 1 gramo 1 (X 1 pag 1 + X 2 pag 2) + + y 2 gramo 2 (X 1 pag 1 + X 2 pag 2) = (y 1 gramo 1 + y 2 gramo 2) (X 1 pag 1 + X 2 pag 2) = METRO(X)?METRO(Y).

Observación 1. De manera similar, esta propiedad se puede demostrar para un mayor número de posibles valores de los factores.

Observación 2. La propiedad 3 es válida para el producto de cualquier número de variables aleatorias independientes, que se demuestra mediante el método de inducción matemática.

Definición 7.4. Definimos suma de variables aleatorias NS y Y como una variable aleatoria X + Y, cuyos valores posibles son iguales a las sumas de cada valor posible NS con todos los valores posibles Y; las probabilidades de tales sumas son iguales a los productos de las probabilidades de los términos (para las variables aleatorias dependientes, los productos de la probabilidad de un término y la probabilidad condicional del segundo).

4) La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias (dependientes o independientes) es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:

METRO (X + Y) = METRO (X) + METRO (Y). (7.5)

Prueba.

Considere nuevamente las variables aleatorias dadas por la serie de distribución dada en la prueba de la propiedad 3. Luego, los valores posibles X + Y son NS 1 + a 1 , NS 1 + a 2 , NS 2 + a 1 , NS 2 + a 2. Denotemos sus probabilidades, respectivamente, como R 11 , R 12 , R 21 y R 22. Encontrar METRO(NS+Y) = (X 1 + y 1)pag 11 + (X 1 + y 2)pag 12 + (X 2 + y 1)pag 21 + (X 2 + y 2)pag 22 =

= X 1 (pag 11 + pag 12) + X 2 (pag 21 + pag 22) + y 1 (pag 11 + pag 21) + y 2 (pag 12 + pag 22).

Demostremos que R 11 + R 22 = R uno . De hecho, el evento que X + Y tomará valores NS 1 + a 1 o NS 1 + a 2 y cuya probabilidad es R 11 + R 22 coincide con el hecho de que NS = NS 1 (su probabilidad es R uno). Asimismo, se demuestra que pag 21 + pag 22 = R 2 , pag 11 + pag 21 = gramo 1 , pag 12 + pag 22 = gramo 2. Medio,

METRO(X + Y) = X 1 pag 1 + X 2 pag 2 + y 1 gramo 1 + y 2 gramo 2 = METRO (X) + METRO (Y).

Comentario... La propiedad 4 implica que la suma de cualquier número de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.

Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de la suma de la cantidad de puntos lanzados al lanzar cinco dados.

Encontremos la expectativa matemática del número de puntos que se pierden al lanzar un dado:

METRO(NS 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) El mismo número es igual a la expectativa matemática del número de puntos arrojados en cualquier dado. Por lo tanto, por Propiedad 4 METRO(NS)=

Dispersión.

Para tener una idea del comportamiento de una variable aleatoria, no basta con conocer solo su expectativa matemática. Considere dos variables aleatorias: NS y Y dado por la serie de distribución de la forma

NS
R	0,1	0,8	0,1

Y
pag	0,5	0,5

Encontrar METRO(NS) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, METRO(Y) = 0? 0,5 + 100? 0,5 = 50. Como puede ver, las expectativas matemáticas de ambas cantidades son iguales, pero si para HM(NS) describe bien el comportamiento de una variable aleatoria, siendo su valor posible más probable (además, los otros valores no son muy diferentes de 50), entonces los valores Y significativamente lejos de METRO(Y). Por lo tanto, junto con la expectativa matemática, es deseable saber cuánto se desvían de ella los valores de la variable aleatoria. La varianza se utiliza para caracterizar este indicador.

Definición 7.5.Dispersión (dispersión) una variable aleatoria se llama la expectativa matemática del cuadrado de su desviación de su expectativa matemática:

D(X) = METRO (X - M(X)) ². (7,6)

Encuentra la varianza de la variable aleatoria NS(el número de piezas estándar entre las seleccionadas) en el ejemplo 1 de esta conferencia. Calculemos los valores de la desviación al cuadrado de cada valor posible de la expectativa matemática:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Como consecuencia,

Observación 1. Al determinar la varianza, no es la desviación de la media en sí lo que se evalúa, sino su cuadrado. Esto se hace para que las desviaciones de diferentes signos no se compensen entre sí.

Observación 2. De la definición de varianza se deduce que esta cantidad solo toma valores no negativos.

Observación 3. Existe una fórmula más conveniente para calcular la varianza, cuya validez se demuestra en el siguiente teorema:

Teorema 7.1.D(X) = METRO(X²) - METRO²( X). (7.7)

Prueba.

Usando que METRO(NS) es una constante, y las propiedades de la expectativa matemática, transformamos la fórmula (7.6) a la forma:

D(X) = METRO(X - M(X))² = METRO(X² - 2 X? M(X) + METRO²( X)) = METRO(X²) - 2 METRO(X)?METRO(X) + METRO²( X) =

= METRO(X²) - 2 METRO²( X) + METRO²( X) = METRO(X²) - METRO²( X), según sea necesario.

Ejemplo. Calculamos las varianzas de variables aleatorias NS y Y discutido al principio de esta sección. METRO(NS) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

METRO(Y) = (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Entonces, la varianza de la segunda variable aleatoria es varios miles de veces mayor que la varianza de la primera. Por lo tanto, incluso sin conocer las leyes de distribución de estas cantidades, podemos afirmar a partir de los valores de dispersión conocidos que NS se desvía poco de su expectativa matemática, mientras que para Y esta desviación es bastante significativa.

Propiedades de dispersión.

1) Dispersión de constante CON es cero:

D (C) = 0. (7.8)

Prueba. D(C) = METRO((CM(C))²) = METRO((C - C)²) = METRO(0) = 0.

2) El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Prueba. D(CX) = METRO((CX - M(CX))²) = METRO((CX - CM(X))²) = METRO(C²( X - M(X))²) =

= C² D(X).

3) La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Prueba. D(X + Y) = METRO(X² + 2 XY + Y²) - ( METRO(X) + METRO(Y))² = METRO(X²) + 2 METRO(X)METRO(Y) +

+ METRO(Y²) - METRO²( X) - 2METRO(X)METRO(Y) - METRO²( Y) = (METRO(X²) - METRO²( X)) + (METRO(Y²) - METRO²( Y)) = D(X) + D(Y).

Corolario 1. La varianza de la suma de varias variables aleatorias independientes entre sí es igual a la suma de sus varianzas.

Corolario 2. La varianza de la suma de una constante y una variable aleatoria es igual a la varianza de la variable aleatoria.

4) La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas:

D(X - Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Prueba. D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1) ² D(Y) = D(X) + D(X).

La varianza da la media del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria de la media; para estimar la desviación en sí, se usa una cantidad llamada desviación estándar.

Definición 7.6.Desviación cuadrática mediaσ de una variable aleatoria NS llamada raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo. En el ejemplo anterior, las desviaciones estándar NS y Y iguales respectivamente

Las cantidades.

Características numéricas básicas del azar

La ley de distribución de densidad caracteriza una variable aleatoria. Pero a menudo es desconocido y hay que limitarse a menos información. A veces, es incluso más rentable usar números que describen una variable aleatoria en total. Tales números se llaman características numéricas variable aleatoria. Consideremos los principales.

Definición:La expectativa matemática M (X) de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos los valores posibles de esta cantidad por sus probabilidades:

Si una variable aleatoria discreta NS toma un conjunto contable de valores posibles, luego

Además, la expectativa matemática existe si la serie dada es absolutamente convergente.

De la definición se desprende que M (X) una variable aleatoria discreta es un valor no aleatorio (constante).

Ejemplo: Permitir NS- el número de ocurrencias del evento PERO en una prueba, P (A) = p... Se requiere encontrar la expectativa matemática NS.

Solución: Compongamos una ley de distribución tabular NS:

X	0	1
PAG	1 - p	pag

Encontremos la expectativa matemática:

Por lo tanto, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en un ensayo es igual a la probabilidad de este evento.

Origen del término valor esperado asociado al período inicial del surgimiento de la teoría de la probabilidad (siglos XVI-XVII), cuando el ámbito de su aplicación se limitaba al juego. El jugador estaba interesado en el valor promedio de la recompensa esperada, es decir, expectativa matemática de una recompensa.

Considerar significado probabilístico de la expectativa.

Deja que se produzca norte pruebas en las que la variable aleatoria NS aceptado m 1 por el valor x 1, m 2 por el valor x 2, y así sucesivamente, y finalmente aceptó m k por el valor x k, es más m 1 + m 2 +… + + m k = n.

Luego, la suma de todos los valores tomados como una variable aleatoria NS, es igual a x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k.

La media aritmética de todos los valores tomados por una variable aleatoria. NS, es igual a:

ya que es la frecuencia relativa del valor para cualquier valor i = 1,…, k.

Como se sabe, si el número de ensayos norte es lo suficientemente grande, entonces la frecuencia relativa es aproximadamente igual a la probabilidad de que ocurra el evento, por lo tanto,

Por lo tanto, .

Conclusión:La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es aproximadamente igual (cuanto más precisa, mayor es el número de pruebas), la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria.

Consideremos las principales propiedades de la expectativa matemática.

Propiedad 1:La expectativa matemática de un valor constante es igual al valor más constante:

M (C) = C.

Prueba: Constante CON puede considerarse que tiene un significado posible CON y lo acepta con probabilidad p = 1. Como consecuencia, M (C) = C 1 = C.

Definimos el producto de una constante C por una variable aleatoria discreta X como una variable aleatoria discreta SH, cuyos posibles valores son iguales a los productos de la constante CON sobre posibles valores NS SH son iguales a las probabilidades de los valores posibles correspondientes NS:

SH	C	C	…	C
NS			…
R			…

Propiedad 2:El factor constante se puede sacar más allá del signo de la expectativa matemática:

M (CX) = CM (X).

Prueba: Deje que la variable aleatoria X dada por la ley de distribución de probabilidad:

X			…
PAG			…

Escribamos la ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria CX:

CX	C	C	…	C
PAG			…

M (CX) = C +C =C + ) = C M (X).

Definición:Dos variables aleatorias se denominan independientes si la ley de distribución de una de ellas no depende de los posibles valores que haya tomado la otra. De lo contrario, las variables aleatorias son dependientes.

Definición:Varias variables aleatorias se denominan mutuamente independientes si las leyes de distribución de cualquier número de ellas no dependen de los posibles valores que hayan asumido los demás valores.

Definimos producto de variables aleatorias discretas independientes X e Y como una variable aleatoria discreta XY, cuyos valores posibles son iguales a los productos de cada valor posible X por cada valor posible Y... Probabilidades de valores posibles XY son iguales a los productos de las probabilidades de los posibles valores de los factores.

Dejemos que se den las distribuciones de variables aleatorias X y Y:

X			…
PAG			…

Y			…
GRAMO			…

Entonces la distribución de la variable aleatoria XY parece:

XY			…
PAG			…

Algunas obras pueden ser iguales. En este caso, la probabilidad del posible valor del producto es igual a la suma de las probabilidades correspondientes. Por ejemplo, si =, entonces la probabilidad del valor es

Propiedad 3:La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:

M (XY) = M (X) MI).

Prueba: Deje que las variables aleatorias independientes X y Y están establecidos por sus propias leyes de distribución de probabilidad:

X
PAG

Y
GRAMO

Para simplificar los cálculos, nos limitaremos a una pequeña cantidad de valores posibles. En el caso general, la prueba es similar.

Compongamos la ley de distribución de una variable aleatoria XY:

XY
PAG

M (XY) =

M (X) MI).

Corolario:La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias independientes entre sí es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Prueba: Demostremos para tres variables aleatorias mutuamente independientes X,Y,Z... Variables aleatorias XY y Z son independientes, entonces obtenemos:

M (XYZ) = M (XY Z) = M (XY) M (Z) = M (X) MI) M (Z).

Para un número arbitrario de variables aleatorias independientes entre sí, la demostración se lleva a cabo mediante el método de inducción matemática.

Ejemplo: Variables aleatorias independientes X y Y

X	5	2
PAG	0,6	0,1	0,3

Y	7	9
GRAMO	0,8	0,2

Se requiere encontrar M (XY).

Solución: Dado que las variables aleatorias X y Y independiente, entonces M (XY) = M (X) M (Y) = (5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

Definimos la suma de variables aleatorias discretas X e Y como una variable aleatoria discreta X + Y, cuyos valores posibles son iguales a las sumas de cada valor posible X con todos los valores posibles Y... Probabilidades de valores posibles X + Y para variables aleatorias independientes X y Y son iguales a los productos de las probabilidades de los términos y, para las variables aleatorias dependientes, a los productos de la probabilidad de un término por la probabilidad condicional del segundo.

Si = y las probabilidades de estos valores son respectivamente iguales, entonces la probabilidad (la misma que) es.

Propiedad 4:La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias (dependientes o independientes) es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Prueba: Dejemos que dos variables aleatorias X y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:

X
PAG

Y
GRAMO

Para simplificar la derivación, nos restringiremos a dos valores posibles de cada una de las cantidades. En el caso general, la prueba es similar.

Compongamos todos los valores posibles de una variable aleatoria X + Y(suponga, por simplicidad, que estos valores son diferentes; si no, entonces la prueba es similar):

X + Y
PAG

Encontremos la expectativa matemática de este valor.

METRO(X + Y) = + + + +

Demostremos que + =.

Evento X = ( su probabilidad P (X = ) implica el evento de que la variable aleatoria X + Y tomará el valor o (la probabilidad de este evento, según el teorema de la adición, es) y viceversa. Entonces =.

Las igualdades = = =

Sustituyendo los lados derechos de estas igualdades en la fórmula resultante para la expectativa matemática, obtenemos:

M (X + Y) = + ) = M (X) + M (Y).

Corolario:La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.

Prueba: Demostremos para tres variables aleatorias X,Y,Z... Encuentre la expectativa matemática de variables aleatorias X + Y y Z:

M (X + Y + Z) = M ((X + Y Z) = M (X + Y) M (Z) = M (X) + M (Y) + M (Z)

Para un número arbitrario de variables aleatorias, la demostración se realiza mediante el método de inducción matemática.

Ejemplo: Calcula el valor promedio de la suma de la cantidad de puntos que pueden caer al lanzar dos dados.

Solución: Permitir X- el número de puntos que pueden caer en el primer dado, Y- En el segundo. Obviamente, las variables aleatorias X y Y tienen las mismas distribuciones. Escribamos los datos de distribución X y Y en una mesa:

X	1	2	3	4	5	6
Y	1	2	3	4	5	6
PAG	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M (X) = M (Y) (1+2+3+4+5+6) = =

M (X + Y) = 7.

Entonces, el valor promedio de la suma de la cantidad de puntos que pueden caer al lanzar dos dados es 7 .

Teorema:La expectativa matemática M (X) del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de ocurrencia del evento en cada ensayo: M (X) = np.

Prueba: Permitir X- el número de ocurrencias del evento A en norte pruebas independientes. Obviamente, el número total X apariciones en eventos A en estos ensayos es la suma del número de ocurrencias del evento en ensayos individuales. Entonces, si el número de ocurrencias del evento en el primer ensayo, en el segundo, y así sucesivamente, finalmente, es el número de ocurrencias del evento en norte a prueba, entonces el número total de ocurrencias del evento se calcula mediante la fórmula:

Por propiedad 4 de la expectativa matemática tenemos:

M (X) = M ( ) +… + M ( ).

Dado que la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en un ensayo es igual a la probabilidad de un evento, entonces

M ( ) = M ( ) =… = M ( ) = p.

Como consecuencia, M (X) = np.

Ejemplo: La probabilidad de acertar en el objetivo al disparar con un arma es p = 0,6... Encuentre el número promedio de aciertos, si se producen 10 disparos.

Solución: El impacto con cada disparo no depende de los resultados de otros disparos, por lo tanto, los eventos en consideración son independientes y, por lo tanto, la expectativa matemática deseada es:

M (X) = np = 10 0,6 = 6.

Entonces, el número promedio de aciertos es 6.

Ahora consideremos la expectativa matemática de una variable aleatoria continua.

Definición:La expectativa matemática de una variable aleatoria continua X, cuyos posibles valores pertenecen al segmento,una integral definida se llama:

donde f (x) es la densidad de distribución de probabilidad.

Si los posibles valores de una variable aleatoria continua X pertenecen a todo el eje Ox, entonces

Se supone que este integral impropia converge absolutamente, es decir la integral Si no se cumpliera este requisito, entonces el valor de la integral dependería de la tasa de convergencia (por separado) del límite inferior a -∞, y del límite superior - a + ∞.

Se puede probar que todas las propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta se conservan para una variable aleatoria continua... La demostración se basa en las propiedades de integrales definidas e impropias.

Obviamente, la expectativa M (X) mayor que el valor más pequeño y menor que el valor más grande posible de la variable aleatoria X... Esos. en el eje numérico, los posibles valores de la variable aleatoria se ubican a la izquierda y a la derecha de su expectativa matemática. En este sentido, la expectativa matemática M (X) caracteriza la ubicación de la distribución y, por lo tanto, a menudo se denomina centro de distribucion.

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la más constante M (C) = C .
2. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática: M (CX) = CM (X)
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M (XY) = M (X) M (Y).
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos: M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Teorema. La expectativa matemática M (x) del número de ocurrencias de eventos A en n pruebas independientes es igual al producto de estas pruebas por la probabilidad de ocurrencia de eventos en cada prueba: M (x) = np.

Permitir NS es una variable aleatoria y M (X) Es su expectativa matemática. Considere como una nueva variable aleatoria la diferencia X - M (X).

La desviación es la diferencia entre una variable aleatoria y su expectativa matemática.

La desviación tiene la siguiente ley de distribución:

Solución: Encuentre la expectativa matemática:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Escribamos la ley de distribución del cuadrado de la desviación:

Solución: Encuentre la expectativa matemática M (x): M (x) = 2 0.1 + 3 0.6 + 5 0.3 = 3.5

Escribamos la ley de distribución de la variable aleatoria X 2

X 2
PAG	0.1	0.6	0.3

Encuentra el valor esperado M (x 2): M (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

La varianza deseada D (x) = M (x 2) - 2 = 13,3- (3,5) 2 = 1,05

Propiedades de dispersión:

1. Dispersión de una constante CON es cero: D (C) = 0
2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. D (Cx) = C 2 D (x)
3. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estos valores. D (X 1 + X 2 + ... + X norte) = D (X 1) + D (X 2) + ... + D (X norte)
4. La varianza de la distribución binomial es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de que ocurra y no ocurra un evento en un ensayo. D (X) = npq

Para estimar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio, además de la varianza, también se utilizan algunas otras características. Estos incluyen la desviación estándar.

La desviación estándar de una variable aleatoria NS llamada raíz cuadrada de la varianza:

σ (X) = √D (X) (4)

Ejemplo. La variable aleatoria X viene dada por la ley de distribución

X
PAG	0.1	0.4	0.5

Encuentre la desviación estándar σ (x)

Solución: Encuentre la expectativa matemática de X: M (x) = 2 0.1 + 3 0.4 + 10 0.5 = 6.4
Encuentre la expectativa matemática de X 2: M (x 2) = 2 2 0.1 + 3 2 0.4 + 10 2 0.5 = 54
Encuentre la varianza: D (x) = M (x 2) = M (x 2) - 2 = 54-6.4 2 = 13.04
La desviación estándar requerida σ (X) = √D (X) = √13.04≈3.61

Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias independientes entre sí es raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estos valores:

Ejemplo. En un estante de 6 libros, hay 3 libros de matemáticas y 3 de física. Se eligen tres libros al azar. Encuentre la ley de distribución del número de libros de matemáticas entre los libros seleccionados. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria.

D (X) = M (X 2) - M (X) 2 = 2.7 - 1.5 2 = 0.45

La expectativa matemática es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

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La expectativa matemática es, la definición

Uno de conceptos esenciales en estadística matemática y teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades de una variable aleatoria. Generalmente expresado como peso promedio de todos los parámetros posibles de la variable aleatoria. Es ampliamente utilizado en análisis técnico, investigación. serie de números, el estudio de procesos continuos y continuos. Es importante para evaluar riesgos, predecir indicadores de precios cuando se negocia en mercados financieros y se utiliza en el desarrollo de estrategias y métodos de tácticas de juego en la teoría del juego.

La expectativa matemática es valor medio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.

La expectativa matemática es una medida del valor medio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. La expectativa matemática de una variable aleatoria X denotado M (x).

La expectativa matemática es

La expectativa matemática es en la teoría de la probabilidad, el promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar esta variable aleatoria.

La expectativa matemática es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.

La expectativa matemática es el beneficio medio de una solución u otra, siempre que dicha solución pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia.

La expectativa matemática es en la teoría del juego, la cantidad de ganancias que un jugador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje de los jugadores, esto a veces se denomina "ventaja del jugador" (si es positivo para el jugador) o "ventaja del casino" (si es negativo para el jugador).

La expectativa matemática es el porcentaje de ganancia sobre ganancias multiplicado por la ganancia promedio, menos la probabilidad de pérdida multiplicada por la pérdida promedio.

La expectativa matemática de una variable aleatoria en teoría matemática

Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es la expectativa matemática. Introduzcamos el concepto de sistema de variables aleatorias. Considere una colección de variables aleatorias que son los resultados del mismo experimento aleatorio. Si - uno de los valores posibles del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se llama ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento a partir de. En particular, la ley conjunta de distribución de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, está dada por probabilidades.

El término "expectativa matemática" fue introducido por Pierre Simon, el marqués de Laplace (1795) y se originó a partir del concepto de "valor esperado de una recompensa", que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en las obras de Blaise Pascal. y Christian Huygens. Sin embargo, Pafnutii Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX) dio la primera comprensión teórica completa y evaluación de este concepto.

La ley de distribución de valores numéricos aleatorios (función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas de las características numéricas de la cantidad investigada (por ejemplo, su valor medio y la posible desviación del mismo) para dar respuesta a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus valores posibles por las probabilidades correspondientes. A veces, la expectativa matemática se llama promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria para una gran cantidad de experimentos. De la definición de la expectativa matemática se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria y no más que el mayor. La expectativa matemática de una variable aleatoria es un valor no aleatorio (constante).

La expectativa tiene un simple significado físico: si coloca una unidad de masa en una línea recta, colocando algo de masa en algunos puntos (por distribución discreta), o "untándolo" con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua), entonces el punto correspondiente a la expectativa matemática será la coordenada del "centro de gravedad" de la línea recta.

El valor promedio de una variable aleatoria es un cierto número, que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados. Cuando decimos: “el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es de 100 horas” o “el punto medio del impacto se desplaza con relación al objetivo 2 m hacia la derecha”, indicamos una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir "Caracterización del puesto".

De las características de la posición en la teoría de la probabilidad, el papel más importante lo juega la expectativa matemática de una variable aleatoria, que a veces se denomina simplemente el valor medio de una variable aleatoria.

Considere una variable aleatoria NS con posibles valores x1, x2, ..., xn con probabilidades p1, p2, ..., pn... Necesitamos caracterizar por algún número la posición de los valores de una variable aleatoria en el eje de abscisas, teniendo en cuenta el hecho de que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para ello, es natural utilizar el llamado "promedio ponderado" de los valores xi, y cada valor de xi durante la promediación debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Así, calcularemos la media de la variable aleatoria X que denotaremos M | X |:

Este promedio ponderado se denomina expectativa matemática de una variable aleatoria. Por lo tanto, hemos introducido en consideración uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. La expectativa matemática de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.

NS asociado a una peculiar relación con la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria con un gran número de experimentos. Esta dependencia es del mismo tipo que la dependencia entre frecuencia y probabilidad, a saber: con un gran número de experimentos, la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria se aproxima (converge en probabilidad) a su expectativa matemática. De la presencia de una relación entre frecuencia y probabilidad, se puede deducir como consecuencia la presencia de una relación similar entre la media aritmética y la expectativa matemática. De hecho, considere la variable aleatoria NS caracterizado por una serie de distribución:

Deja que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor X adquiere un cierto significado. Suponga el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, generalmente significando xi apareció mi veces. Calculamos la media aritmética de los valores observados de X, que, en contraste con la expectativa matemática M | X | nosotros designaremos M * | X |:

Con un aumento en el número de experimentos. norte frecuencia Pi se acercará (convergerá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. En consecuencia, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria M | X | con un aumento en el número de experimentos, se acercará (convergerá en probabilidad) a su expectativa matemática. La conexión anterior entre la media aritmética y la expectativa matemática es el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.

Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que ciertos promedios son estables para una gran cantidad de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética a partir de una serie de observaciones de la misma cantidad. Con un pequeño número de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi aleatorio" y, estabilizándose, se acerca a un valor constante: la expectativa matemática.

La propiedad de estabilidad de los promedios con un gran número de experimentos es fácil de verificar experimentalmente. Por ejemplo, al pesar un cuerpo en un laboratorio con una balanza precisa, obtenemos un nuevo valor cada vez como resultado del pesaje; para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y usamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil ver que con un aumento adicional en el número de experimentos (pesajes), la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento, y con un número suficientemente grande de experimentos, prácticamente deja de cambiar.

Cabe señalar que la característica más importante de la posición de una variable aleatoria, la expectativa matemática, no existe para todas las variables aleatorias. Es posible componer ejemplos de tales variables aleatorias para las cuales la expectativa matemática no existe, ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, para la práctica, estos casos no son de gran interés. Por lo general, las variables aleatorias con las que tratamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa matemática.

Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria, la expectativa matemática, a veces se utilizan en la práctica otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de una variable aleatoria.

La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable", estrictamente hablando, se aplica sólo a cantidades discontinuas; por valor continuo la moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda de las variables aleatorias continuas y discontinuas, respectivamente.

Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, la distribución se denomina "polimodal".

A veces hay distribuciones que tienen en el medio no un máximo, sino un mínimo. Estas distribuciones se denominan "antimodales".

En el caso general, la moda y la expectativa matemática de una variable aleatoria no coinciden. En el caso particular, cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene una moda) y hay una expectativa matemática, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.

A menudo se utiliza otra característica de la posición: la denominada mediana de una variable aleatoria. Esta característica se usa generalmente solo para variables aleatorias continuas, aunque formalmente se puede determinar para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área delimitada por la curva de distribución se divide a la mitad.

En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con la expectativa matemática y la moda.

La expectativa matemática es un valor promedio de una variable aleatoria, una característica numérica de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. De la forma más general, la expectativa matemática de una variable aleatoria X (w) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:

La expectativa matemática se puede calcular como la integral de Lebesgue de NS por distribución de probabilidad px magnitudes X:

De forma natural, puede definir el concepto de variable aleatoria con una expectativa matemática infinita. Ejemplo típico los tiempos de retorno en algunos paseos al azar sirven.

Usando la expectativa matemática, se determinan muchas características numéricas y funcionales de la distribución (como la expectativa matemática de las funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, una función generadora, una función característica, momentos de cualquier orden, en particular, varianza , covarianza.

La expectativa matemática es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un cierto parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático - las coordenadas del centro de gravedad de la distribución de masa - en mecánica. La expectativa matemática se diferencia de otras características de ubicación, con la ayuda de las cuales la distribución se describe en términos generales, medianas, modos, por el mayor valor que tiene y la característica de dispersión correspondiente, la dispersión, en los teoremas límite de la teoría de la probabilidad. Con la mayor completitud, el significado de la expectativa matemática se revela mediante la ley de los grandes números (la desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos al lanzar un dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). En la práctica, para tal valor, a menudo surge la pregunta: ¿qué valor toma "en promedio" con un gran número de pruebas? ¿Cuál será nuestro ingreso (o pérdida) promedio de cada una de las operaciones de riesgo?

Digamos que hay una especie de lotería. Queremos saber si es rentable o no participar en él (o incluso participar repetidamente, de forma regular). Digamos que cada cuarto boleto ganador, el premio es de 300 rublos y el precio de cualquier boleto es de 100 rublos. Con una participación infinitamente grande, esto es lo que sucede. En tres cuartas partes de los casos, perderemos, cada tres pérdidas costará 300 rublos. En cada cuarto caso, ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones perdemos en promedio 100 rublos, por una, en promedio 25 rublos. En total, la tasa promedio de nuestra ruina será de 25 rublos por boleto.

Tiramos los dados. Si no es trampa (no hay cambio en el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Dado que cada opción es igualmente probable, tomamos una estúpida media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de estar indignado porque ningún lanzamiento específico dará 3.5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene borde con tal número!

Ahora resumamos nuestros ejemplos:

Veamos la imagen que se acaba de mostrar. A la izquierda hay una tabla de distribución de una variable aleatoria. El valor X puede tomar uno de n valores posibles (mostrado en la línea superior). No puede haber otros valores. Cada valor posible a continuación está etiquetado con su probabilidad. A la derecha está la fórmula, donde M (X) se denomina expectativa matemática. El significado de este valor es que con un gran número de pruebas (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa matemática.

Volvamos al mismo cubo de juego. La expectativa matemática de la cantidad de puntos al lanzar es 3.5 (calcule usted mismo usando la fórmula, si no cree). Digamos que lo arrojaste un par de veces. Bajaron 4 y 6. En promedio, resultó 5, es decir, lejos de 3,5. Lo tiraron una vez más, bajaron 3, es decir, en promedio (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... De alguna manera lejos de la expectativa matemática. Ahora haz este loco experimento: ¡rueda el cubo 1000 veces! Y si el promedio no es exactamente 3.5, estará cerca de eso.

Calculemos la expectativa matemática para la lotería descrita anteriormente. La placa se verá así:

Entonces la expectativa matemática será, como establecimos anteriormente.:

Otra cosa es que sería difícil usar el mismo “en los dedos”, sin fórmula, si hubiera más opciones. Bueno, digamos que habría 75% de boletos perdidos, 20% de boletos ganadores y 5% de boletos ganadores adicionales.

Ahora algunas propiedades de la expectativa matemática.

Demostrar esto es simple:

Se permite sacar un factor constante del signo de la expectativa matemática, es decir:

Este es un caso especial de la propiedad de linealidad de la expectativa matemática.

Otra consecuencia de la linealidad de la expectativa matemática:

es decir, la expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias.

Sean X, Y variables aleatorias independientes, luego:

Esto también es fácil de probar) XY en sí misma es una variable aleatoria, mientras que si los valores iniciales pudieran tomar norte y metro valores respectivamente, entonces XY puede tomar valores nm. La probabilidad de cada uno de los valores se calcula en base al hecho de que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:

La expectativa matemática de una variable aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas tienen características tales como densidad de distribución (densidad de probabilidad). De hecho, caracteriza la situación en la que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia, algunos con menos frecuencia. Por ejemplo, considere el siguiente gráfico:

Aquí X es una variable aleatoria en sí misma, f (x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, en experimentos, el valor X a menudo será un número cercano a cero. Posibilidades de superar 3 o ser menos -3 más bien puramente teórico.

Por ejemplo, suponga que hay una distribución uniforme:

Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos, si obtenemos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada segmento |0; 1| , entonces la media aritmética debe ser de aproximadamente 0,5.

Las propiedades de la expectativa matemática - linealidad, etc., aplicables a variables aleatorias discretas, también son aplicables aquí.

Relación entre la expectativa matemática y otros indicadores estadísticos

En el análisis estadístico, junto con la expectativa matemática, existe un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad de los procesos. Los indicadores de variación a menudo no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad de los datos, que es una estadística valiosa.

El grado de variabilidad o estabilidad de los procesos en la ciencia estadística se puede medir utilizando varios indicadores.

El indicador más importante que caracteriza la variabilidad de una variable aleatoria es Dispersión, que está estrecha y directamente relacionado con la expectativa matemática. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos de análisis estadístico (prueba de hipótesis, análisis de relaciones de causa y efecto, etc.). Al igual que la media lineal, la varianza también refleja la medida de la dispersión de los datos alrededor de la media.

Es útil traducir el lenguaje de los signos al lenguaje de las palabras. Resulta que la varianza es el cuadrado medio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el promedio, luego se toma la diferencia entre cada original y el promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores en la población. La diferencia entre el valor individual y la media refleja la medida de la desviación. Está al cuadrado para que todas las desviaciones se conviertan exclusivamente números positivos y evitar la destrucción mutua de las desviaciones positivas y negativas cuando se resumen. Luego, con los cuadrados de las desviaciones, simplemente calculamos la media aritmética. Desviaciones cuadradas medias. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se considera el promedio. La solución a la palabra mágica "varianza" se encuentra en solo tres palabras.

Sin embargo, en su forma pura, como la media aritmética o el índice, no se utiliza la varianza. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de medida de los datos originales.

Midamos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos diez veces la velocidad del viento y queremos encontrar el valor promedio. ¿Cómo se relaciona la media con la función de distribución?

O tiraremos dado un gran número de una vez. El número de puntos que caerán en el dado con cada tirada es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural del 1 al 6. La media aritmética de los puntos eliminados, calculada para todas las tiradas de dados, también es un valor aleatorio. , pero para grandes norte tiende a un número muy específico: la expectativa matemática Mx... En este caso, Mx = 3,5.

¿Cómo surgió este valor? Dejar entrar norte juicios n1 una vez cayó 1 punto, n2 veces - 2 puntos y así sucesivamente. Luego, el número de resultados en los que cayó un punto:

Lo mismo ocurre con los resultados cuando se lanzan 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.

Supongamos ahora que conocemos la ley de distribución de una variable aleatoria x, es decir, sabemos que una variable aleatoria x puede tomar valores x1, x2, ..., xk con probabilidades p1, p2, ..., pk.

La expectativa matemática Mx de una variable aleatoria x es:

La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el salario promedio, es más razonable usar el concepto de la mediana, es decir, un valor tal que el número de personas que reciben menos que el salario mediano y más es el mismo.

La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1 / 2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1 / 2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no se determina de forma única para todas las distribuciones.

Desviación estándar o estándar en estadística, se llama al grado en que los datos de observación o conjuntos se desvían del valor PROMEDIO. Está designado por las letras s o s. Una pequeña desviación estándar indica que los datos están agrupados alrededor de la media, mientras que una gran desviación estándar indica que los datos iniciales están lejos de ella. La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de una cantidad llamada varianza. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían de la media. La desviación de la raíz cuadrada media de una variable aleatoria se llama raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo. En condiciones de prueba al disparar a un objetivo, calcule la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria:

Variación- variabilidad, variabilidad del valor del rasgo en las unidades de la población. Seleccionado valores numéricos los rasgos encontrados en la población estudiada se denominan opciones de valor. La insuficiencia del valor promedio para una característica completa de la población hace necesario complementar los valores promedio con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la variabilidad (variación) del rasgo en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:

Variación de deslizamiento(R) es la diferencia entre los valores máximo y mínimo del rasgo en la población estudiada. Este indicador da más Idea general sobre la variabilidad del rasgo en estudio, ya que muestra la diferencia solo entre los valores límite de las opciones. La dependencia de los valores extremos del rasgo le da al rango de variación un carácter aleatorio e inestable.

Desviación lineal media es la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada con respecto a su valor medio:

Valor esperado en la teoría del juego

La expectativa matemática es la cantidad promedio de dinero que un jugador puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy importante para el jugador, porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de situaciones de juego. La expectativa también es una herramienta óptima para analizar diseños de cartas básicos y situaciones de juego.

Digamos que está jugando una moneda con un amigo, apostando $ 1 por igual cada vez, independientemente de lo que surja. Cruz - ganas, cara - pierdes. Las probabilidades de que salga cruz son uno a uno, y usted apuesta de $ 1 a $ 1. Por lo tanto, su expectativa matemática es cero, porque matemáticamente hablando, no puedes saber si liderarás o perderás después de dos lanzamientos o después de 200.

Tu ganancia por hora es cero. Una ganancia por hora es la cantidad de dinero que espera ganar en una hora. Puede lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganará ni perderá, porque sus posibilidades no son ni positivas ni negativas. Desde el punto de vista de un jugador serio, este sistema de apuestas no está mal. Pero esto es simplemente una pérdida de tiempo.

Pero suponga que alguien quiere apostar $ 2 contra su $ 1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tiene una expectativa positiva de 50 centavos de cada apuesta. ¿Por qué 50 centavos? En promedio, ganas una apuesta y pierdes la segunda. Apueste el primer dólar y pierda $ 1, apueste el segundo y gane $ 2. Apuesta $ 1 dos veces y tiene $ 1 por delante. Así que cada una de sus apuestas de un dólar le dio 50 centavos.

Si la moneda cae 500 veces en una hora, sus ganancias por hora ya serán de $ 250, porque en promedio, perdió $ 1 250 veces y ganó $ 2 250 veces. $ 500 menos $ 250 equivalen a $ 250, que son las ganancias totales. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad que ganó en promedio en una apuesta, es de 50 centavos. Ganó $ 250 haciendo una apuesta en dólares 500 veces, lo que equivale a 50 centavos de la apuesta.

El valor esperado no tiene nada que ver con el resultado a corto plazo. Su oponente, que decidió apostar $ 2 en su contra, podría ganarle en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero usted, con una ventaja de apuesta de 2: 1, en igualdad de condiciones, bajo cualquier circunstancia, gana 50 centavos de cada Apuesta de $ 1. No importa si gana o pierde una apuesta o varias apuestas, pero solo si tiene suficiente dinero en efectivo para compensar tranquilamente los costos. Si continúa apostando lo mismo, entonces por un largo período Con el tiempo, sus ganancias alcanzarán la suma de sus expectativas en lanzamientos individuales.

Cada vez que haces una apuesta con el mejor resultado (una apuesta que puede resultar rentable a largo plazo), cuando las probabilidades están a tu favor, definitivamente ganarás algo, y no importa si pierdes. o no en esta mano. Por el contrario, si realiza una apuesta con el peor resultado (una apuesta que no es rentable a largo plazo), cuando las probabilidades no están a su favor, está perdiendo algo independientemente de si gana o pierde en la mano dada.

Haces una apuesta con el mejor resultado si tu expectativa es positiva, y es positiva si las probabilidades están de tu lado. Al realizar una apuesta con el peor resultado, tiene una expectativa negativa, lo que sucede cuando las probabilidades están en su contra. Los jugadores serios solo apuestan con el mejor resultado; en el peor de los casos, se retiran. ¿Qué significan las probabilidades a tu favor? Puede terminar ganando más de lo que aportan las probabilidades reales. Las probabilidades reales de que salga cruz son de 1 a 1, pero usted obtiene 2 a 1 debido a la proporción de las apuestas. En este caso, las probabilidades están a su favor. Definitivamente obtendrá el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.

Aquí hay más ejemplo complejo expectativa matemática. Su amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $ 5 contra su $ 1 a que usted no determinará el número oculto. ¿Debería aceptar tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?

En promedio, se equivocará cuatro veces. Con base en esto, las probabilidades en contra de que adivine el número son de 4 a 1. Lo más probable es que pierda un dólar en un intento. Sin embargo, ganas 5 a 1, si puedes perder 4 a 1. Así que las probabilidades están a tu favor, puedes aceptar la apuesta y esperar un mejor resultado. Si realiza esta apuesta cinco veces, en promedio perderá cuatro veces $ 1 y ganará $ 5 una vez. En base a esto, para los cinco intentos, ganará $ 1 con un valor esperado positivo de 20 centavos por apuesta.

Un jugador que va a ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, atrapa las probabilidades. Por el contrario, arruina las probabilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. Un jugador que hace una apuesta puede tener una expectativa positiva o negativa, que depende de si atrapa o arruina las probabilidades.

Si apuesta $ 50 para ganar $ 10 con una probabilidad de ganar de 4 a 1, obtendrá una expectativa negativa de $ 2, porque en promedio, gana cuatro veces $ 10 y pierde $ 50 una vez, lo que muestra que la pérdida de una apuesta es de $ 10. Pero si apuesta $ 30 para ganar $ 10, con las mismas posibilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tiene una expectativa positiva de $ 2, porque vuelve a ganar cuatro veces por $ 10 y pierde $ 30 una vez para obtener una ganancia de $ 10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda buena.

La expectativa es el centro de cualquier situación del juego... Cuando una casa de apuestas anima a los fanáticos del fútbol a apostar $ 11 para ganar $ 10, tienen una expectativa positiva de 50 centavos por cada $ 10. Si el casino paga el mismo dinero de la línea de pase en los dados, entonces la expectativa positiva del casino es de aproximadamente $ 1,40 por cada $ 100, porque Este juego está estructurado de manera que todo el que apuesta en esta línea pierde un 50,7% de media y gana el 49,3% del tiempo total. Sin lugar a dudas, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que brinda ganancias colosales a los propietarios de casinos de todo el mundo. Como señaló el propietario del casino Vegas World, Bob Stupak, “una milésima de probabilidad negativa porcentual en una distancia lo suficientemente larga arruinará el hombre mas rico en el mundo".

Expectativa matemática al jugar al póquer

El juego de póquer es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo en términos de uso de la teoría y las propiedades de la expectativa matemática.

El valor esperado en el póquer es el beneficio promedio de una solución particular, siempre que dicha solución pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia. Un juego de póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con expectativas positivas.

El significado matemático de la expectativa matemática cuando se juega al póquer es que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar una decisión (no sabemos qué cartas están en las manos de nuestro oponente, qué cartas aparecerán en las rondas de apuestas posteriores). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de los grandes números, que establece que con una muestra suficientemente grande, el valor promedio de una variable aleatoria tenderá a su expectativa matemática.

Entre las fórmulas particulares para calcular la expectativa matemática, la siguiente es la más aplicable en el póquer:

Al jugar al póquer, el valor esperado se puede calcular tanto para las apuestas como para las llamadas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold equity; en el segundo, las propias probabilidades del pozo. Al evaluar la expectativa matemática de un movimiento, debe recordarse que un pliegue siempre tiene una expectativa cero. Por lo tanto, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier movimiento negativo.

La expectativa le dice lo que puede esperar (ganancias o pérdidas) por cada dólar que arriesga. Los casinos ganan dinero porque la expectativa matemática de todos los juegos que se practican en ellos está a favor del casino. Con una serie de juegos suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero, ya que la "probabilidad" está a favor del casino. Sin embargo, los jugadores de casino profesionales limitan sus juegos a períodos cortos de tiempo, lo que aumenta las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si su expectativa es positiva, puede ganar más dinero haciendo muchas operaciones en un corto período de tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia sobre la ganancia multiplicada por la ganancia promedio menos su probabilidad de pérdida multiplicada por la pérdida promedio.

El póquer también se puede ver en términos de expectativa matemática. Puede suponer que un determinado movimiento es rentable, pero en algunos casos puede resultar lejos de ser el mejor, porque otro movimiento es más rentable. Digamos que acierta un full en un póquer de cinco cartas. Tu oponente apuesta. Sabes que si subes tu oferta, él responderá. Por lo tanto, levantar parece la mejor táctica. Pero si subes la apuesta, los dos jugadores restantes definitivamente se retirarán. Pero si llama, estará completamente seguro de que otros dos jugadores después de usted harán lo mismo. Cuando subes la apuesta, obtienes una unidad, pero simplemente igualando - dos. Por lo tanto, igualar le da una expectativa matemática positiva más alta y es la mejor táctica.

El valor esperado también puede dar una idea de qué tácticas son menos rentables en el póquer y cuáles son más. Por ejemplo, cuando juega una mano determinada, cree que sus pérdidas promediarán 75 centavos, incluidos los antes, entonces esta mano debe jugarse porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de $ 1.

Otra razón importante para comprender la esencia de la expectativa matemática es que te da una sensación de paz tanto si ganaste una apuesta como si no: si hiciste una buena apuesta o te retiraste a tiempo, sabrás que has ganado o ahorrado una cierta cantidad. de dinero, que el jugador más débil no pudo salvar. Es mucho más difícil retirarse si está molesto porque su oponente ha hecho una mano más fuerte en el intercambio. Con todo esto, el dinero que ahorraste sin jugar, en lugar de apostar, se suma a tus ganancias por noche o por mes.

Solo recuerda que si cambiaste de manos, tu oponente te igualaría y, como verás en el artículo "El teorema fundamental del póquer", esta es solo una de tus ventajas. Deberías estar feliz cuando esto suceda. Incluso puedes aprender a disfrutar de una mano perdedora, porque sabes que otros jugadores en tu lugar habrían perdido mucho más.

Como se indica en el ejemplo del juego de monedas al principio, la relación de beneficio por hora está relacionada con el valor esperado y este concepto especialmente importante para los jugadores profesionales. Cuando vaya a jugar al póquer, debe estimar mentalmente cuánto puede ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos, necesitará confiar en su intuición y experiencia, pero también puede usar algunas matemáticas. Por ejemplo, si estás jugando a draw lowball y ves que tres jugadores apuestan $ 10 y luego intercambian dos cartas, lo cual es una táctica muy mala, podrías pensar que cada vez que apuestan $ 10, pierden alrededor de $ 2. Cada uno de ellos lo hace ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden alrededor de $ 48 por hora. Usted es uno de los cuatro jugadores restantes, que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro jugadores (y usted entre ellos) tienen que dividir $ 48, y cada ganancia será de $ 12 por hora. Su tarifa por hora en este caso es simplemente su parte del dinero perdido por tres malos jugadores en una hora.

Durante un largo período de tiempo, la recompensa total del jugador es la suma de sus expectativas matemáticas en manos individuales. Cuanto más juegue con expectativa positiva, más ganará, y viceversa, cuantas más manos juegue con expectativa negativa, más perderá. Como consecuencia, debe elegir un juego que pueda maximizar sus expectativas positivas o negar las negativas para que pueda maximizar sus ganancias por hora.

Expectativa positiva en estrategia de juego

Si sabe cómo contar cartas, puede tener una ventaja sobre el casino si no lo ven y lo echan. Los casinos aman a los jugadores borrachos y no soportan los contadores de cartas. Advantage te permitirá ganar más veces de las que pierdes. Buen gobierno El capital social que utiliza cálculos de expectativas puede ayudarlo a sacar más provecho de su ventaja y reducir las pérdidas. Sin una ventaja, es mejor donar dinero a organizaciones benéficas. Al negociar en bolsa, la ventaja viene dada por el sistema de juego, que genera más ganancias que pérdidas, diferencias de precio y comisiones. Ninguna cantidad de administración de dinero salvará un mal sistema de juego.

Una expectativa positiva se define por un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, mayor será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, la expectativa matemática también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo del valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la expectativa es el punto de equilibrio. Solo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva, un sistema de juego razonable. Jugar por intuición conduce al desastre.

Expectativa y comercio de intercambio

La expectativa matemática es un indicador estadístico bastante demandado y popular en la implementación del comercio de divisas en los mercados financieros. En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito de una operación. No es difícil adivinar que cuanto mayor sea el valor dado, más razones para considerar exitosa la operación estudiada. Por supuesto, el análisis del trabajo de un comerciante no se puede realizar solo con la ayuda de este parámetro. Sin embargo, el valor calculado, en combinación con otros métodos para evaluar la calidad del trabajo, puede mejorar significativamente la precisión del análisis.

La expectativa matemática a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Como excepciones, se pueden citar estrategias que utilizan la “exclusión” de operaciones no rentables. Un comerciante puede tener suerte durante algún tiempo y, por lo tanto, en su trabajo, es posible que no haya pérdidas en absoluto. En este caso, no será posible navegar solo por expectativa, pues no se tomarán en cuenta los riesgos utilizados en la obra.

Al operar en el mercado, la expectativa se usa con mayor frecuencia al predecir la rentabilidad de una estrategia comercial o al predecir los ingresos de un comerciante en función de los datos estadísticos de sus operaciones anteriores.

En términos de administración de dinero, es muy importante entender que cuando se realizan operaciones con expectativas negativas, no existe un esquema de administración de dinero que definitivamente pueda generar grandes ganancias. Si continúa jugando en la bolsa de valores en estas condiciones, no importa cómo administre su dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande fuera al principio.

Este axioma no solo es cierto para juegos o intercambios con expectativas negativas, también es cierto para juegos con probabilidades iguales. Por lo tanto, el único caso en el que tiene la posibilidad de beneficiarse a largo plazo es cuando hace negocios con un valor esperado positivo.

La diferencia entre la expectativa negativa y la expectativa positiva es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; lo que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar los problemas de administración del dinero, debe encontrar un juego con expectativas positivas.

Si no tienes un juego así, ninguna cantidad de administración de dinero en el mundo te salvará. Por otro lado, si tiene una expectativa positiva, puede, mediante una buena administración del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán poca expectativa positiva sea! En otras palabras, no importa qué tan rentable sea un sistema de negociación por contrato único. Si tiene un sistema que gana $ 10 por contrato en una sola operación (después de deducir las comisiones y el deslizamiento), puede usar técnicas de administración de dinero para hacerlo más rentable que un sistema que muestra una ganancia promedio de $ 1000 por operación (después de la deducción). de comisiones y deslizamientos).

Lo que importa no es cuán rentable fue el sistema, sino cuán seguro se puede decir que el sistema mostrará al menos una ganancia mínima en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que puede hacer un comerciante es asegurarse de que el sistema muestre una expectativa matemática positiva en el futuro.

Para tener una expectativa matemática positiva en el futuro, es muy importante no restringir los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no solo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que hace, cada pequeño cambio que realiza en el sistema, reduce el número de grados de libertad. Idealmente, desea construir un sistema bastante primitivo y simple que genere consistentemente pequeñas ganancias en casi cualquier mercado. Nuevamente, es importante que comprenda que no importa qué tan rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. El dinero que gane en el comercio se obtendrá a través de gestión eficaz dinero.

Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda una expectativa matemática positiva para que se pueda utilizar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos un beneficio mínimo) en solo uno o unos pocos mercados, o tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, lo más probable es que no funcionen en tiempo real durante el tiempo suficiente. El problema con la mayoría de los comerciantes expertos en tecnología es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a optimizar las diversas reglas y valores de parámetros del sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de gastar energía y tiempo en la computadora aumentando las ganancias del sistema comercial, concentre su energía en aumentar el nivel de confiabilidad para obtener la ganancia mínima.

Sabiendo que la administración del dinero es solo un juego numérico que requiere el uso de expectativas positivas, un comerciante puede dejar de buscar el "santo grial" del comercio de acciones. En cambio, puede comenzar a probar su método de negociación, descubrir qué tan lógico es este método, si ofrece expectativas positivas. Los métodos correctos de administración del dinero aplicados a cualquier método comercial, incluso mediocre, harán el resto del trabajo por sí mismos.

Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, es necesario resolver las tres tareas más importantes :. Asegúrese de que el número de acuerdos exitosos supere los inevitables errores y errores de cálculo; Configure su sistema de operaciones para que la oportunidad de ganar dinero sea lo más frecuente posible; Para lograr la estabilidad del resultado positivo de sus operaciones.

Y aquí nosotros, los traders que trabajan, podemos ser ayudados por la expectativa matemática. Este término en la teoría de la probabilidad es uno de los clave. Con su ayuda, puede dar una estimación promedio de un cierto valor aleatorio. La expectativa matemática de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad si imaginamos todas las probabilidades posibles como puntos con masas diferentes.

Cuando se aplica a una estrategia comercial, para evaluar su efectividad, la expectativa matemática de ganancias (o pérdidas) se usa con mayor frecuencia. Este parámetro se define como la suma de los productos de los niveles dados de pérdidas y ganancias y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada supone que el 37% de todas las operaciones generarán ganancias y el resto, el 63%, no será rentable. Al mismo tiempo, el ingreso promedio de un acuerdo exitoso será de $ 7 y la pérdida promedio será de $ 1,4. Calculemos la expectativa matemática de operar usando el siguiente sistema:

¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio recibiremos $ 1.708 por cada operación cerrada. Dado que la estimación de la eficiencia obtenida es mayor que cero, tal sistema puede utilizarse para un trabajo real. Si, como resultado del cálculo, la expectativa matemática resulta ser negativa, entonces esto ya habla de una pérdida promedio y tal operación conducirá a la ruina.

La cantidad de beneficio por operación también se puede expresar como un valor relativo en forma de%. Por ejemplo:

- porcentaje de ingresos por 1 transacción - 5%;

- porcentaje de operaciones comerciales exitosas - 62%;

- porcentaje de pérdida por 1 operación - 3%;

- porcentaje de transacciones fallidas - 38%;

Es decir, el comercio promedio generará un 1,96%.

Es posible desarrollar un sistema que, a pesar de la prevalencia de operaciones no rentables, dará un resultado positivo, ya que su MO> 0.

Sin embargo, esperar solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema da muy pocas señales comerciales. En este caso, su rentabilidad será comparable al interés bancario. Deje que cada transacción dé un promedio de solo $ 0.50, pero ¿qué pasa si el sistema asume 1000 transacciones por año? Esta será una cantidad muy importante en un período de tiempo relativamente corto. Lógicamente se sigue de esto que otro contraste Un buen sistema de negociación puede considerarse como un período corto de mantenimiento de posiciones.