Resuelve el examen de la tarea 15 de desigualdad. El trabajo de Manov "desigualdades logarítmicas en el examen"
DESIGUALDADES LOGARITMICAS EN EL USO
Sechin Mikhail Alexandrovich
Pequeña Academia de Ciencias de jóvenes estudiantes de la República de Kazajstán "Buscador"
MBOU "Escuela secundaria n ° 1 de Sovetskaya", grado 11, ciudad. Distrito de Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU "Escuela soviética №1"
Distrito soviético
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de solución desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes logaritmo.
Tema de estudio:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Contenido
Introducción ……………………………………………………………………… .4
Capítulo 1. Antecedentes ………………………………………………… ... 5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos …………… 7
2.2. Método de racionalización ………………………………………………… 15
2.3. Sustitución no estándar ……………… ........................................ .. ..... 22
2.4. Misiones de trampas ………………………………………………… 27
Conclusión ………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el 11 ° grado y planeo ingresar a una universidad, donde sujeto de perfil es matemática. Por lo tanto, trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesitas resolver una desigualdad no estándar o un sistema de desigualdades, generalmente asociado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la falta de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen, que se ofrecen en C3. Métodos que se aprenden en currículum escolar sobre este tema, no proporcionan una base para resolver las tareas C3. La profesora de matemáticas me invitó a trabajar con las tareas de C3 por mi cuenta, bajo su guía. Además, me interesaba la pregunta: ¿ocurren los logaritmos en nuestra vida?
Con esto en mente, se eligió el tema:
"Desigualdades logarítmicas en el examen"
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo.
Tema de estudio:
1) Encontrar Información necesaria sobre métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas.
2) Encuentre más información sobre logaritmos.
3) Aprende a resolver Tareas específicas C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
La importancia práctica radica en la expansión del aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para realizar círculos, actividades extracurriculares matemáticas.
El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”.
Capítulo 1. Antecedentes
Durante el siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. La mejora de los instrumentos, el estudio de los movimientos planetarios y otros trabajos requirieron cálculos colosales, a veces muchos años. La astronomía estaba en peligro real de ahogarse en cálculos no cumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para diferentes significados por ciento. La principal dificultad fue la multiplicación, la división. números de varios dígitos, especialmente valores trigonométricos.
El descubrimiento de los logaritmos se basó en las conocidas propiedades de las progresiones a finales del siglo XVI. Sobre la comunicación entre miembros progresión geométrica q, q2, q3, ... y progresión aritmética sus indicadores 1, 2, 3, ... dice en el "Salmo" de Arquímedes. Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a indicadores negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la elevación a una potencia y la extracción de una raíz se corresponden exponencialmente en aritmética - en el mismo orden - suma, resta, multiplicación y división.
Esta fue la idea detrás del logaritmo como exponente.
Han pasado varias etapas en la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos.
Nivel 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Burghi (1552-1632). Ambos querían dar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron esta tarea de diferentes maneras. Napier expresó cinemáticamente la función logarítmica y así entró en NUEVA Área teoría de la función. Burghi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no se parece a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Surgió de una combinación de palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significa "número de relaciones". Inicialmente, Napier usó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", en contraposición a numeri naturalts - "números naturales".
En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresch College de Londres, Napier propuso tomar cero para el logaritmo de uno y 100 para el logaritmo de diez, o, que se reduce a la lo mismo, simplemente 1. Así aparecieron los logaritmos decimales y se imprimieron las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667) complementó las tablas de Briggs. Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que nadie, publicaron sus tablas más tarde que otros, en 1620. Los letreros de troncos y troncos fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659, seguido por N. Mercator en 1668, y el profesor de Londres John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 bajo el título "Nuevos logaritmos".
En ruso, las primeras tablas logarítmicas se publicaron en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas se cometieron errores en el cálculo. Las primeras tablas libres de errores se publicaron en 1857 en Berlín, procesadas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos se asocia con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo del infinitesimal. El establecimiento de una conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural se remonta a esa época. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.
El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en la composición
"Logaritmología" (1668) da una serie que da la expansión de ln (x + 1) en
poderes de x:
Esta expresión corresponde exactamente a la línea de su pensamiento, aunque él, por supuesto, no usó los signos d, ..., sino símbolos más engorrosos. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica de cálculo de los logaritmos cambió: se empezaron a determinar mediante series infinitas. En sus conferencias "Matemáticas elementales desde el punto de vista más elevado", leídas en 1907-1908, F. Klein sugirió usar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.
Etapa 3
Definición de una función logarítmica en función de la inversa
exponencial, logaritmo como indicador del grado de una base dada
no fue formulado de inmediato. Composición de Leonard Euler (1707-1783)
Una introducción al análisis del infinitesimal (1748) sirvió como un
desarrollo de la teoría de la función logarítmica. Por lo tanto,
Han pasado 134 años desde que se introdujeron por primera vez los logaritmos
(contando desde 1614) antes de que los matemáticos llegaran a la definición
el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos.
Transiciones equivalentes
si a> 1
si 0 <
а <
1
Método de intervalo generalizado
Este método es el más versátil para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El esquema de la solución se ve así:
1. Reducir la desigualdad a la forma donde se encuentra la función en el lado izquierdo 
, y a la derecha 0.
2. Encuentra el dominio de la función .
3. Encuentra los ceros de la función. , es decir, para resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).
4. Dibuja el dominio y los ceros de la función en la recta numérica.
5. Determina los signos de la función. a los intervalos obtenidos.
6. Seleccione los intervalos en los que la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta.
Ejemplo 1.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado
dónde
Para estos valores, todas las expresiones bajo el signo de los logaritmos son positivas.
Respuesta:
Ejemplo 2.
Solución:
1er camino . ODZ se define por la desigualdad X> 3. Tomando el logaritmo para tal X base 10, obtenemos
La última desigualdad podría resolverse aplicando las reglas de descomposición, es decir comparando los factores a cero. Sin embargo, en este caso, es fácil determinar los intervalos de constancia de la función
por lo tanto, se puede aplicar el método de espaciado.
Función F(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ es continuo en X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, definimos los intervalos de constancia de la función F(X):
Respuesta:
2do camino . Apliquemos las ideas del método de intervalos directamente a la desigualdad original.
Para hacer esto, recuerde que las expresiones a B - a c y ( a - 1)(B- 1) tener un letrero. Entonces nuestra desigualdad para X> 3 es equivalente a la desigualdad
o
La última desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos.
Respuesta:
Ejemplo 3.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado
Respuesta:
Ejemplo 4.
Solución:
Desde 2 X 2 - 3X+ 3> 0 para todo real X, luego
Para resolver la segunda desigualdad, usamos el método de intervalos
En la primera desigualdad, hacemos el reemplazo
luego llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y que satisfacen la desigualdad -0.5< y < 1.
Donde, desde
obtenemos la desigualdad
que se lleva a cabo con aquellos X para los cuales 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora, teniendo en cuenta la solución de la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos
Respuesta:
Ejemplo 5.
Solución:
La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas
o
Apliquemos el método de intervalos o
Respuesta:
Ejemplo 6.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema
Permitir
luego y > 0,
y la primera desigualdad
el sistema toma la forma
o expandiendo
trinomio cuadrado por factores,
Aplicando el método de intervalos a la última desigualdad,
vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Por tanto, la desigualdad original es equivalente al sistema:
Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas
2.2. Método de racionalización.
Anteriormente, el método de racionalizar la desigualdad no se resolvía, no se conocía. Esto es "nuevo y moderno método efectivo soluciones de desigualdades exponenciales y logarítmicas "(cita del libro de S. I. Kolesnikova)
E incluso si el maestro lo conocía, había aprensión, pero ¿sabe él? experto en exámenes, ¿por qué no lo dan en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿Dónde lo conseguiste? Siéntate - 2."
El método ahora se promueve ampliamente. Y para los expertos hay pautas relacionados con este método, y en "Las ediciones más completas opciones estándar... "La solución C3 utiliza este método.
¡MÉTODO MARAVILLOSO!
"Mesa mágica"
En otras fuentes
si a> 1 y b> 1, luego log a b> 0 y (a -1) (b -1)> 0;
si a> 1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registre a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1) (b -1)> 0. El razonamiento anterior es simple, pero simplifica notablemente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4.
log x (x 2-3)<0
Solución:
Ejemplo 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 + x) Solución: Ejemplo 6.
Para resolver esta desigualdad, en lugar del denominador, escribiremos (x-1-1) (x-1), y en lugar del numerador, escribiremos el producto (x-1) (x-3-9 + x ). Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Hagamos la sustitución y = 3 x -1; entonces esta desigualdad toma la forma Log 4 log 0,25 Porque log 0,25 Hacemos el cambio t = log 4 y y obtenemos la desigualdad t 2 -2t + ≥0, cuya solución son los intervalos - Por lo tanto, para encontrar los valores de y, tenemos un conjunto de dos desigualdades más simples Por lo tanto, la desigualdad original es equivalente a la colección de dos desigualdades exponenciales, La solución a la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema La solución a la segunda desigualdad, que determina la DHS, será el conjunto de aquellos X,
para cual X > 0.
Para resolver la primera desigualdad, hacemos la sustitución Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones de la última desigualdad se encuentra mediante el método intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, obtenemos o Muchos de esos X que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( X> 0), por lo tanto, es una solución al sistema y de ahí la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1.
Solución. Las desigualdades de ODZ son todas x que satisfacen la condición 0 Ejemplo 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Respuesta... (0; 0,5) U.
Respuesta :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, luego reescribe la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución a este conjunto son los intervalos 0<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, los agregados 
... Por lo tanto, la desigualdad original se cumple para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Por tanto, toda x del intervalo 0
Conclusión
No fue fácil encontrar métodos especiales para resolver problemas C3 a partir de la gran abundancia de diferentes fuentes educativas. En el curso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización , sustitución no estándar , tareas con trampas en la ODZ. Estos métodos están ausentes en el plan de estudios de la escuela.
Utilizando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades propuestas en el examen en la parte C, a saber, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección "Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones", que se convirtió en un proyecto producto de mi trabajo. Se confirmó la hipótesis que planteé al inicio del proyecto: las tareas del C3 se pueden resolver eficazmente, conociendo estos métodos.
Además, encontré datos interesantes sobre logaritmos. Fue interesante para mí hacerlo. Mis productos de diseño serán útiles tanto para estudiantes como para profesores.
Conclusiones:
Por lo tanto, se ha logrado el objetivo establecido del proyecto, se ha resuelto el problema. Y obtuve la experiencia más completa y versátil en actividades de proyectos en todas las etapas del trabajo. En el curso del trabajo en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia, la actividad.
Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Me he convertido en: experiencia escolar significativa, la capacidad de extraer información de diversas fuentes, verificar su confiabilidad, clasificarla por importancia.
Además del conocimiento directo de la asignatura en matemáticas, amplió sus habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirió nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, estableció contactos con compañeros de clase y aprendió a cooperar con adultos. En el transcurso de las actividades del proyecto, se desarrollaron habilidades y destrezas educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas típicas C3).
2. Malkova A. G. Preparación para el examen de matemáticas.
3. Samarova SS Solución de desigualdades logarítmicas.
4. Matemáticas. Colección de trabajos de formación editada por A.L. Semyonova e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Secciones: Matemáticas
A menudo, al resolver desigualdades logarítmicas, hay problemas con una base variable del logaritmo. Entonces, una desigualdad de la forma
es una desigualdad escolar estándar. Como regla general, para resolverlo, se aplica una transición a un conjunto equivalente de sistemas:
La desventaja de este método es la necesidad de resolver siete desigualdades, sin contar dos sistemas y un conjunto. Ya con determinadas funciones cuadráticas, resolver un conjunto puede llevar mucho tiempo.
Se puede proponer una forma alternativa, menos laboriosa, de resolver esta desigualdad estándar. Para ello, tenemos en cuenta el siguiente teorema.
Teorema 1. Sea una función creciente continua en el conjunto X. Entonces, en este conjunto, el signo del incremento de la función coincidirá con el signo del incremento del argumento, es decir, , dónde 
.
Nota: si una función decreciente continua en el conjunto X, entonces.
Volvamos a la desigualdad. Vayamos al logaritmo decimal (puedes ir a cualquiera con una base constante mayor que uno).
Ahora puedes usar el teorema, anotando en el numerador el incremento de las funciones 
y en el denominador. Entonces es verdad
Como resultado, el número de cálculos que conducen a la respuesta se reduce aproximadamente a la mitad, lo que no solo ahorra tiempo, sino que también le permite potencialmente cometer menos errores aritméticos y de "descuido".
Ejemplo 1.
Comparando con (1) encontramos 
, 
, .
Pasando a (2) tendremos:
Ejemplo 2.
Comparando con (1) encontramos ,,.
Pasando a (2) tendremos:
Ejemplo 3.
Dado que el lado izquierdo de la desigualdad es una función creciente para y 
, entonces se establece la respuesta.
El conjunto de ejemplos en los que se puede aplicar el teorema 1 se puede ampliar fácilmente si se tiene en cuenta el teorema 2.
Deja en el set X funciones ,,, y en este conjunto los signos y coinciden, es decir, entonces será justo.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Con el enfoque estándar, el ejemplo se resuelve de acuerdo con el esquema: el producto es menor que cero, cuando los factores son de signos opuestos. Aquellos. Se considera el conjunto de dos sistemas de desigualdades, en el que, como se indicó al principio, cada desigualdad se divide en siete más.
Si tenemos en cuenta el Teorema 2, entonces cada uno de los factores, teniendo en cuenta (2), puede ser reemplazado por otra función que tenga el mismo signo en este ejemplo O.D.Z.
El método de sustituir el incremento de una función por un incremento del argumento, teniendo en cuenta el Teorema 2, resulta muy conveniente a la hora de resolver los problemas típicos C3 del examen.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
... Denotemos. Obtenemos
... Tenga en cuenta que el reemplazo implica :. Volviendo a la ecuación, obtenemos
.
Ejemplo 8.
En los teoremas que usamos, no hay restricción sobre las clases de funciones. En este artículo, por ejemplo, se han aplicado los teoremas para resolver desigualdades logarítmicas. Los siguientes ejemplos demostrarán la promesa del método para resolver otros tipos de desigualdades.
El artículo está dedicado al análisis de 15 tareas del perfil USE en matemáticas para 2017. En esta tarea, se ofrece a los estudiantes para resolver desigualdades, la mayoría de las veces logarítmicas. Aunque puede ser indicativo. Este artículo proporciona un análisis de ejemplos de desigualdades logarítmicas, incluidas las que contienen una variable en la base del logaritmo. Todos los ejemplos se toman del banco abierto de tareas USE en matemáticas (perfil), por lo que es probable que tales desigualdades se encuentren en el examen como tarea 15. Ideal para aquellos que quieran aprender a resolver la tarea 15 de la segunda parte de USE el perfil en un corto período de tiempo en matemáticas para obtener más puntos en el examen.
Análisis de 15 tareas del examen de perfil en matemáticas
| Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad: |
En las tareas del 15 USE en matemáticas (perfil), a menudo se encuentran desigualdades logarítmicas. La resolución de desigualdades logarítmicas comienza con la definición del rango de valores aceptables. En este caso, no hay una variable en la base de ambos logaritmos, solo está el número 11, lo que simplifica enormemente la tarea. Por tanto, la única limitación que tenemos aquí es que ambas expresiones bajo el signo del logaritmo son positivas:
Título = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com">!}
La primera desigualdad en el sistema es la desigualdad al cuadrado. Para solucionarlo, no estaría de más factorizar el lado izquierdo. Creo que sabes que cualquier trinomio cuadrado de la forma 
factorizado de la siguiente manera:
donde y son las raíces de la ecuación. En este caso, el coeficiente es 1 (este es el coeficiente numérico delante de). El coeficiente también es 1, y el coeficiente es una intersección, es -20. Las raíces de un trinomio se determinan más fácilmente mediante el teorema de Vieta. La ecuación que hemos dado, por lo que la suma de las raíces será igual al coeficiente con el signo opuesto, es decir, -1, y el producto de estas raíces será igual al coeficiente, es decir, -20. Es fácil adivinar que las raíces serán -5 y 4.
Ahora se puede factorizar el lado izquierdo de la desigualdad: title = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X en los puntos -5 y 4. Por tanto, la solución deseada para la desigualdad es un intervalo. Para quienes no entiendan lo que está escrito aquí, pueden ver los detalles en el video, a partir de este momento. Allí también encontrarás una explicación detallada de cómo se resuelve la segunda desigualdad del sistema. Se está resolviendo. Además, la respuesta es exactamente la misma que para la primera desigualdad del sistema. Es decir, el conjunto escrito arriba es el rango de valores admisibles de desigualdad.
Entonces, teniendo en cuenta la factorización, la desigualdad original toma la forma:
Usando la fórmula, introducimos 11 a la potencia de la expresión bajo el signo del primer logaritmo, y movemos el segundo logaritmo al lado izquierdo de la desigualdad, mientras cambiamos su signo al opuesto:
Después de la reducción obtenemos:
La última desigualdad, debido al aumento de la función, es equivalente a la desigualdad 
, cuya solución es el intervalo 
... Queda por cruzarlo con el rango de valores permisibles de desigualdad, y esta será la respuesta a toda la tarea.
Entonces, la respuesta deseada a la tarea es:
Descubrimos esta tarea, ahora pasamos al siguiente ejemplo de la tarea 15 USE en matemáticas (perfil).
| Ejemplo 2. Resuelve la desigualdad:
|
Comenzamos la solución determinando el rango de valores admisibles de esta desigualdad. En la base de cada logaritmo debe haber un número positivo que no sea igual a 1. Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo deben ser positivas. No debe haber cero en el denominador de la fracción. La última condición es equivalente a eso, ya que solo en caso contrario ambos logaritmos en el denominador desaparecen. Todas estas condiciones determinan el rango de valores admisibles de esta desigualdad, que se define por el siguiente sistema de desigualdades:
Título = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com">!}
En el rango de valores válidos, podemos usar las fórmulas de transformación de los logaritmos para simplificar el lado izquierdo de la desigualdad. Usando la fórmula 
deshacerse del denominador:
Ahora solo tenemos logaritmos base. Esto ya es más conveniente. A continuación, usamos la fórmula, así como la fórmula, para llevar la expresión digna de gloria a la siguiente forma:
En los cálculos, usamos lo que está en el rango de valores aceptables. Usando el reemplazo, llegamos a la expresión:
Usamos un reemplazo más :. Como resultado, llegamos al siguiente resultado:
Entonces, regresamos gradualmente a las variables originales. Primero a la variable:
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