PRACA PISEMNA

„Pełne badanie funkcji i wykreślenie go”.

WPROWADZENIE

Badanie własności funkcji i kreślenie jej wykresu to jedno z najwspanialszych zastosowań pochodnej. Ten sposób badania funkcji był wielokrotnie poddawany wnikliwej analizie. Głównym powodem jest to, że w zastosowaniach matematyki trzeba było mieć do czynienia z coraz bardziej złożonymi funkcjami, które pojawiają się podczas badania nowych zjawisk. Pojawiały się wyjątki od reguł opracowanych przez matematykę, pojawiały się przypadki, gdy tworzone reguły w ogóle nie były odpowiednie, pojawiały się funkcje, które w żadnym momencie nie miały pochodnej.

Celem studiowania przebiegu algebry i rozpoczęcia analizy w klasach 10-11 jest systematyczne badanie funkcji, ujawnienie zastosowanej wartości ogólnych metod matematyki związanych z badaniem funkcji.

Opracowanie reprezentacji funkcjonalnych w toku studiowania algebry i rozpoczęcie analizy na poziomie maturalnym pomaga uczniom liceum uzyskać wizualną reprezentację ciągłości i nieciągłości funkcji, poznać ciągłość dowolnej funkcji elementarnej w obszarze ​​jego zastosowania, nauczą się budować swoje wykresy i uogólniają informacje o podstawowych funkcjach elementarnych oraz realizują ich rolę w badaniu zjawisk rzeczywistości, w praktyce człowieka.

Funkcja rosnąco i malejąco

Rozwiązanie różnych problemów z dziedziny matematyki, fizyki i techniki prowadzi do ustalenia zależności funkcjonalnej między zmiennymi zaangażowanymi w to zjawisko.

Jeżeli taką zależność funkcjonalną można wyrazić analitycznie, to znaczy w postaci jednej lub kilku formuł, to możliwe staje się jej zbadanie za pomocą analizy matematycznej.

Odnosi się to do możliwości wyjaśnienia zachowania funkcji, gdy dana zmienna się zmienia (gdzie funkcja rośnie, gdzie maleje, gdzie osiąga maksimum itp.).

Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji opiera się na bardzo prostym związku, jaki istnieje między zachowaniem funkcji a właściwościami jej pochodnej, przede wszystkim jej pierwszej i drugiej pochodnej.

Zastanów się, jak znaleźć przedziały wzrostu lub spadku funkcji, czyli przedziały jej monotoniczności. Na podstawie definicji funkcji monotonicznie malejącej i rosnącej możemy sformułować twierdzenia, które pozwalają powiązać wartość pierwszej pochodnej danej funkcji z naturą jej monotoniczności.

Twierdzenie 1.1. Jeśli funkcja tak = f ( x ) , różniczkowalna na przedziale( a , b ) , wzrasta monotonicznie na tym przedziale, potem w dowolnym punkcie
( x ) >0; jeśli monotonicznie maleje, to w dowolnym punkcie przedziału ( x )<0.

Dowód. Niech funkcjatak = f ( x ) wzrasta monotonicznie o( a , b ) , Oznacza to, że dla każdego wystarczająco małego > 0, zachodzi następująca nierówność:

f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Rys. 1.1).

Ryż. 1,1

Zastanów się nad limitem

.

Jeśli > 0, to > 0 jeśli< 0, то

< 0.

W obu przypadkach wyrażenie pod znakiem granicy jest dodatnie, co oznacza, że ​​granica jest dodatnia, czyli ( x )>0 , co miało zostać udowodnione. Podobnie jest udowodniona druga część twierdzenia, związana z jednostajnym spadkiem funkcji.

Twierdzenie 1.2. Jeśli funkcja tak = f ( x ) , ciągła na interwale[ a , b ] i różniczkowalna we wszystkich swoich punktach wewnętrznych, a ponadto ( x ) >0 dla kazdego x ϵ ( a , b ) , to funkcja ta jest monotonicznie wzrastająca o( a , b ) ; jeśli

( x ) <0 dla kazdego xϵ ( a , b ), wtedy funkcja ta maleje monotonicznie o( a , b ) .

Dowód. Weźmy ϵ ( a , b ) oraz ϵ ( a , b ) , oraz< . Według twierdzenia Lagrange'a

( c ) = .

Ale ( c )>0 i > 0, więc ( > 0, tj.

(. Otrzymany wynik wskazuje na monotonny wzrost funkcji, co miało zostać udowodnione. Podobnie jest udowodniona druga część twierdzenia.

Ekstrema funkcji

W badaniu zachowania funkcji szczególną rolę odgrywają punkty oddzielające od siebie przedziały monotonicznego wzrostu od przedziałów jego monotonicznego spadku.

Definicja 2.1. Kropka nazywa się maksymalnym punktem funkcji

tak = f ( x ) , jeśli w ogóle, arbitralnie małe , ( < 0 , а точка nazywa się punktem minimalnym, jeśli ( > 0.

Punkty minimum i maksimum mają wspólną nazwę punktów ekstremum. Odcinkowo funkcja monotoniczna ma skończoną liczbę takich punktów na skończonym przedziale (rys. 2.1).

Ryż. 2,1

Twierdzenie 2.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeśli różniczkowalna w przedziale( a , b ) funkcja ma w punkcie z tego przedziału jest maksimum, to jego pochodna w tym punkcie jest równa zeru. To samo można powiedzieć o punkcie minimalnym .

Dowód tego twierdzenia wynika z twierdzenia Rolle'a, w którym wykazano, że w punktach minimum lub maksimum = 0, a styczna narysowana do wykresu funkcji w tych punktach jest równoległa do osiWÓŁ .

Z twierdzenia 2.1 wynika, że ​​jeśli funkcjatak = f ( x ) ma pochodną we wszystkich punktach, to może osiągnąć ekstremum w tych punktach, w których = 0.

Warunek ten nie jest jednak wystarczający, ponieważ istnieją funkcje, dla których określony warunek jest spełniony, ale nie ma ekstremum. Na przykład funkcjatak= w punkcie x = 0 pochodna jest równa zeru, ale w tym momencie nie ma ekstremum. Ponadto ekstremum może znajdować się w tych punktach, w których pochodna nie istnieje. Na przykład funkcjatak = | x | w tym momencie jest minimumx = 0 , chociaż w tym momencie pochodna nie istnieje.

Definicja 2.2. Punkty, w których zanika lub łamie się pochodna funkcji, nazywamy punktami krytycznymi danej funkcji..

Dlatego Twierdzenie 2.1 nie wystarcza do określenia punktów ekstremalnych.

Twierdzenie 2.2 (warunek wystarczający do istnienia ekstremum). Niech funkcja tak = f ( x ) ciągły na interwale( a , b ) , który zawiera jego punkt krytyczny , i jest różniczkowalny we wszystkich punktach tego przedziału, z możliwym wyjątkiem samego punktu . Następnie, jeśli ten punkt przechodzi od lewej do prawej, znak pochodnej zmienia się z plus na minus, to jest to punkt maksymalny i odwrotnie, od minus do plus, punkt minimum.

Dowód. Jeśli pochodna funkcji zmienia swój znak po przejściu punktu od lewej do prawej od plusa do minusa, to funkcja przechodzi od rosnącej do malejącej, czyli dochodzi do punktu jego maksimum i na odwrót.

Z powyższego wynika schemat badania funkcji ekstremum:

1) znaleźć zakres funkcji;

2) obliczyć pochodną;

3) znaleźć punkty krytyczne;

4) zmieniając znak pierwszej pochodnej określa się ich charakter.

Problemu badania funkcji dla ekstremum nie należy mylić z problemem wyznaczania wartości minimalnych i maksymalnych funkcji na odcinku. W drugim przypadku konieczne jest znalezienie nie tylko skrajnych punktów na odcinku, ale także porównanie ich z wartością funkcji na jego końcach.

Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji

Inną cechą wykresu funkcji, którą można określić za pomocą pochodnej, jest jego wypukłość lub wklęsłość.

Definicja 3.1. Funkcjonować tak = f ( x ) nazywa się wypukłą na przedziale( a , b ) , jeśli jego wykres znajduje się poniżej dowolnej stycznej narysowanej do niego na danym przedziale i odwrotnie, nazywa się wklęsłym, jeśli jego wykres znajduje się powyżej dowolnej stycznej narysowanej do niego na danym przedziale.

Udowodnijmy twierdzenie, które pozwala wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.

Twierdzenie 3.1. Jeśli we wszystkich punktach przedziału( a , b ) druga pochodna funkcji ( x ) jest ciągła i ujemna, to funkcjatak = f ( x ) wypukła i odwrotnie, jeśli druga pochodna jest ciągła i dodatnia, to funkcja jest wklęsła.

Przeprowadzamy dowód dla przedziału wypukłości funkcji. Weź dowolny punktϵ ( a , b ) i narysuj w tym miejscu styczną do wykresu funkcjitak = f ( x ) (rys. 3.1).

Twierdzenie zostanie udowodnione, jeśli zostanie wykazane, że wszystkie punkty krzywej na przedziale( a , b ) leżą pod tą styczną. Innymi słowy, konieczne jest udowodnienie, że dla tych samych wartościx rzędne krzywejtak = f ( x ) mniej niż rzędne stycznej do niej przyciągniętej w tym punkcie .

Ryż. 3.1

Dla jednoznaczności oznaczamy równanie krzywej: = f ( x ) i równanie stycznej do niego w punkcie :

- f ( ) = ( )( x - )

lub

= f ( ) + ( )( x - ) .

Skomponuj różnicę oraz :

- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).

Zastosuj do różnicyf ( x ) – f ( ) Twierdzenie Lagrange'a o średniej:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

gdzie ϵ ( , x ).

Zastosujmy teraz twierdzenie Lagrange'a do wyrażenia w nawiasach kwadratowych:

- = ( )( - )( x - ) , gdzie ϵ ( , ).

Jak widać na rysunku,x > , następnie x - > 0 oraz - > 0 . Ponadto, zgodnie z hipotezą twierdzenia, ( )<0.

Mnożąc te trzy czynniki, otrzymujemy to , co miało zostać udowodnione.

Definicja 3.2. Punkt oddzielający przedział wypukłości od przedziału wklęsłości nazywany jest punktem przegięcia..

Z definicji 3.1 wynika, że ​​w danym punkcie styczna przecina krzywą, czyli z jednej strony krzywa znajduje się poniżej stycznej, az drugiej powyżej.

Twierdzenie 3.2. Jeśli w punkcie druga pochodna funkcji

tak = f ( x ) jest równy zero lub nie istnieje, a przy przejściu przez punkt znak drugiej pochodnej zmienia się na przeciwny, to ten punkt jest punktem przegięcia.

Dowód tego twierdzenia wynika z faktu, że znaki ( x ) po przeciwnych stronach punktu różne. Oznacza to, że funkcja jest wypukła z jednej strony punktu, a wklęsła z drugiej. W tym przypadku, zgodnie z definicją 3.2, punkt jest punktem przegięcia.

Badanie funkcji wypukłości i wklęsłości odbywa się według tego samego schematu, co badanie ekstremum.

4. Asymptoty funkcji

W poprzednich akapitach rozważono metody badania zachowania funkcji za pomocą pochodnej. Jednak wśród pytań dotyczących pełnego badania funkcji są takie, które nie są związane z pochodną.

Na przykład trzeba wiedzieć, jak zachowuje się funkcja, gdy punkt jej wykresu jest nieskończenie oddalony od początku. Taki problem może powstać w dwóch przypadkach: kiedy argument funkcji zmierza do nieskończoności oraz kiedy sama funkcja zmierza do nieskończoności przy załamaniu drugiego rodzaju w punkcie końcowym. W obu tych przypadkach może zaistnieć sytuacja, gdy funkcja dąży do pewnej linii prostej, zwanej jej asymptotą.

Definicja . Asymptota wykresu funkcjitak = f ( x ) nazywana jest linia prosta, która ma tę właściwość, że odległość od wykresu do tej prostej dąży do zera z nieograniczonym odsunięciem punktu wykresu od początku.

Istnieją dwa rodzaje asymptot: pionowa i ukośna.

Asymptoty pionowe to linie prostex = , które mają tę właściwość, że wykres funkcji w ich sąsiedztwie zmierza do nieskończoności, czyli warunek jest spełniony: .

Oczywiste jest, że tutaj spełniony jest warunek wskazanej definicji: odległość od wykresu krzywej do linii prostejx = dąży do zera, podczas gdy sama krzywa zmierza do nieskończoności. Tak więc w punktach nieciągłości drugiego rodzaju funkcje mają pionowe asymptoty, na przykładtak= w punkcie x = 0 . Dlatego określenie asymptot pionowych funkcji zbiega się ze znalezieniem punktów nieciągłości drugiego rodzaju.

Asymptoty ukośne opisane są ogólnym równaniem prostej w płaszczyźnie, tj.tak = kx + b . Stąd, w przeciwieństwie do asymptot pionowych, tutaj konieczne jest wyznaczenie liczbk oraz b .

Więc niech krzywa = f ( x ) ma asymptotę ukośną, czyli kiedyx punkty krzywej są jak najbliżej linii = kx + b (rys. 4.1). Zostawiać M ( x , tak ) jest punktem na krzywej. Jego odległość od asymptoty będzie scharakteryzowana przez długość prostopadłej| MN | .

Jak zbadać funkcję i wykreślić jej wykres?

Wydaje mi się, że zaczynam rozumieć uduchowione oblicze przywódcy światowego proletariatu, autora dzieł zebranych w 55 tomach…. Długa podróż rozpoczęła się od elementarnych informacji o funkcje i wykresy, a teraz praca nad żmudnym tematem kończy się naturalnym rezultatem - artykułem o pełnym badaniu funkcji. Długo oczekiwane zadanie sformułowano w następujący sposób:

Zbadaj funkcję metodami rachunku różniczkowego i na podstawie wyników badań zbuduj jej wykres

Lub w skrócie: zbadaj funkcję i wykreśl ją.

Dlaczego eksplorować? W prostych przypadkach nie będzie nam trudno poradzić sobie z funkcjami elementarnymi, narysuj wykres uzyskany za pomocą elementarne przekształcenia geometryczne itp. Jednak właściwości i reprezentacje graficzne bardziej złożonych funkcji są dalekie od oczywistych, dlatego potrzebne jest całe studium.

Główne etapy rozwiązania zostały podsumowane w materiale referencyjnym Schemat badania funkcji, to jest przewodnik po sekcjach. Manekiny potrzebują wyjaśnienia tematu krok po kroku, niektórzy czytelnicy nie wiedzą od czego zacząć i jak zorganizować naukę, a zaawansowani studenci mogą być zainteresowani tylko kilkoma punktami. Ale kimkolwiek jesteś, drogi gościu, proponowane podsumowanie ze wskazówkami do różnych lekcji ukierunkuje cię i skieruje w kierunku zainteresowania w możliwie najkrótszym czasie. Roboty ronią łzę =) Instrukcja została sporządzona w formie pliku pdf i zajęła należne jej miejsce na stronie Wzory matematyczne i tabele.

Rozbijałem badanie funkcji na 5-6 punktów:

6) Dodatkowe punkty i wykres na podstawie wyników badania.

Jeśli chodzi o końcową akcję, myślę, że wszyscy wszystko rozumieją - będzie bardzo rozczarowujące, jeśli w ciągu kilku sekund zostanie przekreślone i zadanie zostanie zwrócone do powtórki. PRAWIDŁOWY I DOKŁADNY RYSUNEK to główny rezultat rozwiązania! Jest bardzo prawdopodobne, że „ukryje” przeoczenia analityczne, a błędny i/lub niechlujny harmonogram spowoduje problemy nawet przy perfekcyjnie przeprowadzonym badaniu.

Należy zauważyć, że w innych źródłach liczba pozycji badawczych, kolejność ich realizacji oraz styl projektowania mogą znacznie odbiegać od zaproponowanego przeze mnie schematu, ale w większości przypadków jest to w zupełności wystarczające. Najprostsza wersja problemu składa się tylko z 2-3 kroków i jest sformułowana mniej więcej tak: „zbadaj funkcję za pomocą pochodnej i wykresu” lub „zbadaj funkcję za pomocą pierwszej i drugiej pochodnej, wykres”.

Oczywiście, jeśli inny algorytm jest szczegółowo analizowany w twoim podręczniku szkoleniowym lub twój nauczyciel ściśle wymaga, abyś przestrzegał jego wykładów, będziesz musiał wprowadzić pewne poprawki do rozwiązania. Nie trudniejsze niż zastąpienie widelca łyżką do piły łańcuchowej.

Sprawdźmy funkcję dla parzystych / nieparzystych:

Po nim następuje szablon rezygnacji z subskrypcji:
, więc ta funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Ponieważ funkcja jest ciągła na , nie ma pionowych asymptot.

Nie ma też ukośnych asymptot.

Notatka : Przypominam, że im wyżej kolejność wzrostu niż , więc ostateczny limit to dokładnie „ plus nieskończoność."

Zobaczmy, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności:

Innymi słowy, jeśli pójdziemy w prawo, to wykres idzie nieskończenie wysoko, jeśli pójdziemy w lewo, nieskończenie nisko. Tak, w ramach jednego wpisu są też dwa limity. Jeśli masz trudności z rozszyfrowaniem znaków, odwiedź lekcję na temat nieskończenie małe funkcje.

Więc funkcja nieograniczony z góry oraz nieograniczony od dołu. Biorąc pod uwagę, że nie mamy punktów przerwania, staje się jasne i zakres funkcji: to także dowolna liczba rzeczywista.

PRZYDATNA TECHNIKA

Każdy krok zadania przynosi nowe informacje o wykresie funkcji, więc w trakcie rozwiązania wygodnie jest zastosować swego rodzaju LAYOUT. Narysujmy na szkicu kartezjański układ współrzędnych. Co wiadomo na pewno? Po pierwsze, wykres nie ma asymptot, dlatego nie ma potrzeby rysowania linii prostych. Po drugie, wiemy, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności. Zgodnie z analizą wyprowadzamy pierwsze przybliżenie:

Zauważ, że w efekcie ciągłość funkcja na i fakt, że wykres musi przeciąć oś przynajmniej raz. A może jest kilka punktów przecięcia?

3) Zera funkcji i przedziały stałego znaku.

Najpierw znajdź punkt przecięcia wykresu z osią y. To proste. Wartość funkcji należy obliczyć, gdy:

Pół nad poziomem morza.

Aby znaleźć punkty przecięcia z osią (zera funkcji), trzeba rozwiązać równanie, a tu czeka nas niemiła niespodzianka:

Na końcu czai się wolny członek, co znacznie komplikuje zadanie.

Takie równanie ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, a najczęściej ten pierwiastek jest irracjonalny. W najgorszej bajce czekają na nas trzy małe świnki. Równanie można rozwiązać za pomocą tzw Formuły Cardano, ale uszkodzenia papieru są porównywalne z prawie całym badaniem. W związku z tym mądrzej jest spróbować ustnie lub w wersji roboczej spróbować przynajmniej jednego całyźródło. Sprawdźmy, czy te liczby to:
- nie pasuje;
- jest!

Tu jest szczęście. W razie niepowodzenia można też przetestować i, a jeśli te liczby nie pasują, to obawiam się, że jest bardzo mało szans na opłacalne rozwiązanie równania. Wtedy lepiej całkowicie pominąć punkt badań - może coś stanie się jaśniejsze na ostatnim etapie, gdy przebiją się dodatkowe punkty. A jeśli korzeń (korzenie) są wyraźnie „złe”, lepiej jest skromnie przemilczeć odstępy stałości znaków i dokładniej uzupełnić rysunek.

Mamy jednak piękny pierwiastek, więc wielomian dzielimy bez reszty:

Algorytm dzielenia wielomianu przez wielomian został szczegółowo omówiony w pierwszym przykładzie lekcji. Złożone ograniczenia.

W rezultacie lewa strona oryginalnego równania rozwija się w produkt:

A teraz trochę o zdrowym stylu życia. Oczywiście rozumiem, że równania kwadratowe trzeba rozwiązywać codziennie, ale dzisiaj zrobimy wyjątek: równanie ma dwa prawdziwe korzenie.

Na osi liczbowej wykreślamy znalezione wartości oraz metoda interwałowa zdefiniuj znaki funkcji:


og Tak więc na interwałach znajduje się wykres
poniżej osi x i w odstępach - powyżej tej osi.

Uzyskane ustalenia pozwalają nam dopracować nasz układ, a drugie przybliżenie wykresu wygląda tak:

Należy pamiętać, że funkcja musi mieć przynajmniej jedno maksimum w przedziale i przynajmniej jedno minimum w przedziale. Ale nie wiemy, ile razy, gdzie i kiedy plan się „zakręci”. Nawiasem mówiąc, funkcja może mieć nieskończenie wiele skrajności.

4) Zwiększanie, zmniejszanie i ekstrema funkcji.

Znajdźmy punkty krytyczne:

To równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Umieśćmy je na osi liczbowej i wyznaczmy znaki pochodnej:


Dlatego funkcja wzrasta o i zmniejsza się o .
W momencie, gdy funkcja osiąga maksimum: .
W momencie, gdy funkcja osiąga swoje minimum: .

Ustalone fakty wprowadzają nasz szablon w dość sztywne ramy:

Nie trzeba dodawać, że rachunek różniczkowy to potężna rzecz. Zajmijmy się wreszcie kształtem wykresu:

5) Wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia.

Znajdź punkty krytyczne drugiej pochodnej:

Zdefiniujmy znaki:


Wykres funkcji jest wypukły i wklęsły na . Obliczmy rzędną punktu przegięcia: .

Prawie wszystko zostało wyjaśnione.

6) Pozostaje znaleźć dodatkowe punkty, które pomogą dokładniej zbudować wykres i przeprowadzić autotest. W tym przypadku jest ich niewiele, ale nie zaniedbamy:

Wykonajmy rysunek:

Punkt przegięcia zaznaczono na zielono, dodatkowe punkty oznaczono krzyżykami. Wykres funkcji sześciennej jest symetryczny względem punktu przegięcia, który zawsze znajduje się dokładnie pośrodku między maksimum a minimum.

W trakcie zadania podałem trzy hipotetyczne rysunki pośrednie. W praktyce wystarczy narysować układ współrzędnych, zaznaczyć znalezione punkty, a po każdym punkcie badania w myślach wymyślić, jak może wyglądać wykres funkcji. Uczniom z dobrym przygotowaniem nie będzie trudno przeprowadzić taką analizę wyłącznie w myślach bez angażowania szkicu.

Dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Poznaj funkcję i zbuduj wykres.

Tutaj wszystko jest szybsze i przyjemniejsze, przybliżony przykład zakończenia lekcji na koniec.

Wiele tajemnic ujawnia badanie ułamkowych funkcji wymiernych:

Przykład 3

Wykorzystując metody rachunku różniczkowego zbadaj funkcję i na podstawie wyników badań skonstruuj jej wykres.

Decyzja: pierwszy etap badań nie różni się niczym szczególnym, z wyjątkiem dziury w obszarze definicji:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu , domena: .

, więc ta funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Oczywiście funkcja nie jest okresowa.

Wykres funkcji składa się z dwóch ciągłych gałęzi znajdujących się w lewej i prawej półpłaszczyźnie - to chyba najważniejszy wniosek z pierwszego akapitu.

2) Asymptoty, zachowanie funkcji w nieskończoności.

a) Za pomocą granic jednostronnych badamy zachowanie funkcji w pobliżu podejrzanego punktu, gdzie pionowa asymptota musi wyraźnie być:

Rzeczywiście, funkcje trwają nieskończona luka w punkcie
a linia prosta (oś) to pionowa asymptota grafika .

b) Sprawdź, czy istnieją ukośne asymptoty:

Tak, linia jest asymptota ukośna grafika, jeśli .

Nie ma sensu analizować granic, ponieważ już wiadomo, że funkcja w uścisku z jej ukośną asymptotą nieograniczony z góry oraz nieograniczony od dołu.

Drugi punkt badania przyniósł wiele ważnych informacji o funkcji. Zróbmy wstępny szkic:

Wniosek nr 1 dotyczy przedziałów stałości znaku. W „minus nieskończoności” wykres funkcji jest jednoznacznie umieszczony poniżej osi x, a w „plus nieskończoności” znajduje się powyżej tej osi. Dodatkowo granice jednostronne powiedziały nam, że zarówno po lewej, jak i po prawej stronie punktu funkcja jest również większa od zera. Należy pamiętać, że w lewej półpłaszczyźnie wykres musi przynajmniej raz przeciąć oś x. W prawej półpłaszczyźnie nie może być zer funkcji.

Wniosek nr 2 jest taki, że funkcja wzrasta na i na lewo od punktu (przechodzi „od dołu do góry”). Na prawo od tego punktu funkcja zmniejsza się (przechodzi „od góry do dołu”). Prawa gałąź wykresu z pewnością musi mieć przynajmniej jedno minimum. Po lewej stronie skrajności nie są gwarantowane.

Wniosek nr 3 daje wiarygodną informację o wklęsłości wykresu w sąsiedztwie punktu. Nie możemy jeszcze nic powiedzieć o wypukłości/wklęsłości w nieskończoności, ponieważ linię można dociskać do jej asymptoty zarówno od góry, jak i od dołu. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje analityczny sposób, aby to rozgryźć już teraz, ale kształt wykresu „za nic” stanie się wyraźniejszy na późniejszym etapie.

Dlaczego tyle słów? Kontrolować kolejne punkty badawcze i unikać błędów! Dalsze obliczenia nie powinny być sprzeczne z wyciągniętymi wnioskami.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, przedziały stałego znaku funkcji.

Wykres funkcji nie przecina osi.

Metodą interwałową określamy znaki:

, jeśli ;
, jeśli .

Wyniki paragrafu są w pełni zgodne z wnioskiem nr 1. Po każdym kroku spójrz na szkic, odnieś się w myślach do studium i zakończ rysowanie wykresu funkcji.

W tym przykładzie licznik jest dzielony wyraz po wyrazie przez mianownik, co jest bardzo korzystne dla zróżnicowania:

Właściwie zostało to już zrobione podczas znajdowania asymptot.

- punkt krytyczny.

Zdefiniujmy znaki:

wzrasta o i zmniejsza się do

W momencie, gdy funkcja osiąga swoje minimum: .

Nie było również rozbieżności z wnioskiem nr 2 i najprawdopodobniej jesteśmy na dobrej drodze.

Oznacza to, że wykres funkcji jest wklęsły na całej dziedzinie definicji.

Świetnie - i nie musisz niczego rysować.

Nie ma punktów przegięcia.

Wklęsłość jest zgodna z wnioskiem nr 3, ponadto wskazuje, że w nieskończoności (zarówno tam, jak i tam) wykres funkcji znajduje się wyższy jego ukośna asymptota.

6) Będziemy sumiennie przypinać zadanie dodatkowymi punktami. Tutaj musimy ciężko pracować, bo z badania znamy tylko dwa punkty.

I obraz, który prawdopodobnie wielu przedstawiało od dawna:

W trakcie zadania należy zadbać o to, aby nie było sprzeczności między etapami badania, ale czasami sytuacja jest pilna, a nawet rozpaczliwie ślepa. Tutaj analityka „nie zbiega się” – i tyle. W tym przypadku polecam technikę awaryjną: znajdujemy jak najwięcej punktów należących do wykresu (ile wystarczy cierpliwości) i zaznaczamy je na płaszczyźnie współrzędnych. Graficzna analiza znalezionych wartości w większości przypadków powie Ci, gdzie jest prawda, a gdzie kłamstwo. Ponadto wykres można wstępnie zbudować za pomocą jakiegoś programu, na przykład w tym samym Excelu (oczywiście, że wymaga to umiejętności).

Przykład 4

Wykorzystując metody rachunku różniczkowego zbadaj funkcję i zbuduj jej wykres.

To jest przykład zrób to sam. W nim samokontrola jest wzmocniona przez równomierność funkcji - wykres jest symetryczny względem osi, a jeśli coś w twoim badaniu temu zaprzecza, poszukaj błędu.

Funkcję parzystą lub nieparzystą można badać tylko dla , a następnie można zastosować symetrię wykresu. To rozwiązanie optymalne, ale wygląda moim zdaniem bardzo nietypowo. Osobiście rozpatruję całą oś liczbową, ale dodatkowe punkty znajduję tylko po prawej stronie:

Przykład 5

Przeprowadź pełne badanie funkcji i wykreśl jej wykres.

Decyzja: rzucili się mocno:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej linii rzeczywistej: .

Oznacza to, że ta funkcja jest nieparzysta, jej wykres jest symetryczny względem początku.

Oczywiście funkcja nie jest okresowa.

2) Asymptoty, zachowanie funkcji w nieskończoności.

Ponieważ funkcja jest ciągła na , nie ma pionowych asymptot

Dla funkcji zawierającej wykładnik, zwykle oddzielny badanie „plus” i „minus nieskończoności”, jednak nasze życie ułatwia właśnie symetria wykresu – albo po lewej i po prawej stronie jest asymptota, albo jej nie ma. Dlatego obie nieskończone limity można ustawić pod jednym wpisem. W trakcie rozwiązania używamy Rządy L'Hopitala:

Linia prosta (oś) to pozioma asymptota wykresu w punkcie .

Zwróć uwagę na to, jak sprytnie uniknąłem pełnego algorytmu znajdowania asymptoty ukośnej: granica jest całkiem legalna i wyjaśnia zachowanie funkcji w nieskończoności, a asymptota pozioma została znaleziona „jakby w tym samym czasie”.

Z ciągłości i istnienia asymptoty poziomej wynika, że ​​funkcja ograniczone z góry oraz ograniczone od dołu.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, przedziały stałości.

Tutaj również skracamy rozwiązanie:
Wykres przechodzi przez początek.

Nie ma innych punktów przecięcia z osiami współrzędnych. Co więcej, przedziały stałości są oczywiste, a osi nie da się narysować: , co oznacza, że ​​znak funkcji zależy tylko od „x”:
, jeśli ;
, jeśli .

4) Zwiększanie, zmniejszanie, ekstrema funkcji.


są punktami krytycznymi.

Punkty są symetryczne względem zera, tak jak powinno być.

Zdefiniujmy znaki pochodnej:


Funkcja wzrasta na interwałach i maleje na interwałach

W momencie, gdy funkcja osiąga maksimum: .

Ze względu na nieruchomość (nietypowość funkcji) minimum można pominąć:

Ponieważ funkcja maleje na przedziale , to oczywiście wykres znajduje się w „minus nieskończoności” pod z jego asymptotą. Na przedziale funkcja również maleje, ale tutaj jest odwrotnie – po przejściu przez punkt maksymalny, linia zbliża się do osi od góry.

Z powyższego wynika również, że wykres funkcji jest wypukły przy „minus nieskończoności” i wklęsły przy „plus nieskończoności”.

Po tym punkcie opracowania wytyczono również obszar wartości funkcji:

Jeśli nie rozumiesz jakichś punktów, jeszcze raz zachęcam do narysowania osi współrzędnych w zeszycie i ołówkiem w dłoniach, aby ponownie przeanalizować każdy wniosek z zadania.

5) Wypukłość, wklęsłość, przegięcia grafu.

są punktami krytycznymi.

Symetria punktów jest zachowana i najprawdopodobniej się nie mylimy.

Zdefiniujmy znaki:


Wykres funkcji jest wypukły na i wklęsły na .

Potwierdzono wypukłość/wklęsłość w skrajnych odstępach.

We wszystkich punktach krytycznych na wykresie występują przegięcia. Znajdźmy rzędne punktów przegięcia, ponownie zmniejszając liczbę obliczeń, korzystając z nieparzystości funkcji: