Zasadą możliwych przemieszczeń jest mechanika teoretyczna od podstaw. Obliczanie reakcji podpory zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń

Jak wiadomo z kursu mechaniki teoretycznej, stan równowagi obiektu może mieć sformułowanie na siłę lub energię. Pierwsza opcja to warunek równości do zera wektora głównego i głównego momentu wszystkich sił i reakcji działających na ciało. Drugie podejście (wariacyjne), zwane zasadą możliwych przemieszczeń, okazało się bardzo przydatne w rozwiązywaniu szeregu problemów mechaniki konstrukcji.

Dla układu ciał absolutnie sztywnych zasada możliwych przemieszczeń jest sformułowana w następujący sposób: jeśli układ ciał absolutnie sztywnych jest w równowadze, to suma pracy wszystkich sił zewnętrznych na każde możliwe nieskończenie małe przemieszczenie jest równa zeru. Wywoływany jest ruch możliwy (lub wirtualny), który nie narusza połączeń kinematycznych i ciągłości ciał. Dla systemu na ryc. 3.1, możliwy jest tylko obrót pręta względem podpory. Podczas skręcania o dowolny mały kąt siły i działają Zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń, jeśli układ jest w równowadze, to musi być . Podstawiając tutaj relacje geometryczne otrzymujemy warunek równowagi w postaci siły

Zasada możliwych przemieszczeń ciał sprężystych jest sformułowana w następujący sposób: jeżeli układ ciał sprężystych jest w równowadze, to suma pracy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych na każde możliwe nieskończenie małe przemieszczenie jest równa zeru. Zasada ta opiera się na koncepcji całkowitej energii sprężystego odkształconego układu P. Jeżeli konstrukcja jest obciążona statycznie, to energia ta jest równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne U i wewnętrzne W przy przejściu układu ze stanu odkształconego do początkowego:

Dzięki temu przekształceniu siły zewnętrzne nie zmieniają swojej wartości i wykonują pracę ujemną U= -F . W tym przypadku siły wewnętrzne zmniejszają się do zera i wykonują pracę dodatnią, ponieważ są to siły adhezji cząstek materiału i są skierowane w kierunku przeciwnym do obciążenia zewnętrznego:

gdzie - energia potencjalna właściwa odkształcenia sprężystego; V to objętość ciała. Dla układu liniowego , gdzie . Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a-Dirichleta stan równowagi stabilnej odpowiada minimum całkowitej energii potencjalnej układu sprężystego, tj.

Ostatnia równość w pełni odpowiada sformułowaniu zasady możliwych przemieszczeń. Przyrosty energii dU i dW można obliczyć na dowolnych możliwych przemieszczeniach (odchyleniach) układu sprężystego od stanu równowagi. Aby obliczyć konstrukcje spełniające wymagania liniowości, nieskończenie małe możliwe przemieszczenie d można zastąpić bardzo małym przemieszczeniem końcowym , którym może być dowolny stan zdeformowany konstrukcji wytworzony przez dowolnie wybrany układ sił. Mając to na uwadze, wynikowy warunek równowagi należy zapisać jako

Praca sił zewnętrznych

Rozważ metodę obliczania pracy sił zewnętrznych na rzeczywiste i możliwe przemieszczenie. Układ prętów jest obciążony siłami i (ryc. 3.2, a), które działają jednocześnie iw dowolnym momencie stosunek pozostaje stały. Jeśli weźmiemy pod uwagę siłę uogólnioną, to według wartości w dowolnym momencie można obliczyć wszystkie inne obciążenia (w tym przypadku ). Linia przerywana pokazuje rzeczywiste przemieszczenie sprężyste wynikające z tych sił. Oznaczmy ten stan indeksem 1. Oznaczmy przemieszczenie punktów przyłożenia sił iw kierunku tych sił w stanie 1 i .

W procesie obciążania układu liniowego siłami i siły wzrastają oraz przemieszczenia i wzrastają proporcjonalnie do nich (rys. 3.2, c). Rzeczywista praca sił i przemieszczeń przez nie wytwarzanych jest równa sumie pól powierzchni wykresów, tj. . Pisząc to wyrażenie jako otrzymujemy iloczyn siły uogólnionej i uogólnionego przemieszczenia . W tym formularzu możesz przesłać

praca sił pod dowolnym obciążeniem, jeśli wszystkie obciążenia zmieniają się synchronicznie, tj. stosunek ich wartości pozostaje stały.

Następnie rozważ pracę sił zewnętrznych na możliwe przemieszczenie. Jako możliwe przemieszczenie przyjmiemy na przykład stan odkształcony układu wynikający z przyłożenia siły w określonym punkcie (ryc. 3.2, b). Stan ten, odpowiadający dodatkowemu przemieszczeniu punktów przyłożenia sił oraz odległości i , będzie oznaczony przez 2. Siły i , bez zmiany ich wartości, wykonaj wirtualną pracę nad przemieszczeniami i (rys. 3.2, c):

Jak widać, w notacji przemieszczeń pierwszy indeks pokazuje stan, w którym określone są punkty i kierunki tych przemieszczeń. Drugi wskaźnik pokazuje stan, w jakim działają siły powodujące ten ruch.

Praca siły jednostkowej F 2 na rzeczywiste przemieszczenie

Jeżeli uznamy stan 1 za możliwe przemieszczenie dla siły F 2, to jego wirtualna praca na przemieszczenie

Praca sił wewnętrznych

Znajdźmy pracę sił wewnętrznych stanu 1, tj. od sił i , na wirtualne przemieszczenia stanu 2, tj. wynikające z przyłożenia obciążenia F 2 . Aby to zrobić, wybierz element pręta o długości dx (ryc. 3.2 i 3.3, a). Ponieważ rozważany układ jest płaski, w przekrojach elementu działają tylko dwie siły S i Q z oraz moment zginający Mu. Siły te są zewnętrzne. Siły wewnętrzne to siły kohezyjne, które zapewniają wytrzymałość materiału. Są one równe wartościom zewnętrznym, ale są skierowane w kierunku przeciwnym do odkształcenia, dlatego ich praca pod obciążeniem jest ujemna (ryc. 3.3, b-d, zaznaczono na szaro). Obliczmy kolejno pracę wykonaną przez każdy czynnik siły.

Praca sił wzdłużnych na przemieszczenie, która jest tworzona przez siły S 2 powstałe w wyniku przyłożenia obciążenia F 2 (rys. 3.2, b, 3.3, b),

Wydłużenie pręta o długości dx znajdujemy za pomocą znanego wzoru

gdzie A jest polem przekroju pręta. Zastępując to wyrażenie poprzednią formułą, znajdujemy

Podobnie definiujemy pracę, jaką wykonuje moment zginający na przesunięciu kątowym wywołanym przez moment (rys. 3.3, c):

Znajdujemy kąt obrotu jako

gdzie J jest momentem bezwładności przekroju pręta względem osi y. Po podstawieniu otrzymujemy

Znajdźmy pracę siły poprzecznej na przemieszczenie (ryc. 3.3, d). Naprężenia styczne i przesunięcia od siły ścinającej Q z nie rozkładają się liniowo na przekroju pręta (w przeciwieństwie do naprężeń normalnych i wydłużeń w poprzednich przypadkach obciążenia). Dlatego, aby określić pracę ścinającą, należy wziąć pod uwagę pracę wykonaną przez naprężenia ścinające w warstwach pręta.

Naprężenia styczne od siły Q z, które działają w warstwie leżącej w odległości z od osi neutralnej (ryc. 3.3, e), są obliczane według wzoru Zhuravsky'ego

gdzie Su jest momentem statycznym części pola przekroju leżącego nad tą warstwą, mierzonym względem osi y; b jest szerokością przekroju na poziomie rozważanej warstwy. Naprężenia te powodują ścinanie warstwy o kąt, który zgodnie z prawem Hooke'a jest zdefiniowany jako - moduł sprężystości poprzecznej. W rezultacie koniec warstwy zostaje przesunięty o

Całkowitą pracę naprężeń ścinających pierwszego stanu działających na koniec tej warstwy na przemieszczenia drugiego stanu oblicza się całkując iloczyn po powierzchni przekroju

Po podstawieniu tutaj wyrażeń na i otrzymujemy

Wyciągamy spod wartości całkowitych, które nie zależą od z, mnożymy i dzielimy to wyrażenie przez A, otrzymujemy

Tutaj wprowadza się bezwymiarowy współczynnik,

w zależności tylko od konfiguracji i proporcji wymiarów sekcji. Dla prostokąta \u003d 1,2, dla belek dwuteowych i przekrojów skrzynkowych (A c - powierzchnia przekroju ściany lub w przekroju skrzynkowym - dwie ściany).

Ponieważ praca każdego z rozpatrywanych składowych obciążenia (S, Q, M) na przemieszczenia spowodowane innymi składowymi jest równa zeru, to sumaryczna praca wszystkich sił wewnętrznych dla rozpatrywanego elementu pręta o długości dx

(3.3)

Całkowitą pracę sił wewnętrznych stanu 1 na przemieszczenia stanu 2 dla płaskiego układu prętowego uzyskuje się przez całkowanie otrzymanego wyrażenia po odcinkach długości 1 Z, w których wykresy są funkcjami całkowalnymi, i zsumowanie po wszystkich odcinkach:

W przekroju elementu przestrzennego układu prętowego działa sześć sił wewnętrznych (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), dlatego dla niego będzie wyglądać wyrażenie na całkowitą pracę sił wewnętrznych ,

Tutaj M x - moment obrotowy w pręcie; J T jest momentem bezwładności pręta przy swobodnym skręcaniu (geometryczna sztywność skrętna). W całce pomija się indeksy „i”.

We wzorach (3.3) i (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 oznaczają analityczne wyrażenia wykresów sił wewnętrznych od działania sił F (i F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - opisy wykresów sił wewnętrznych od siły F 2 .

Twierdzenia o układach elastycznych

Ze struktury wzorów (3.3) i (3.4) wynika, że ​​są one „symetryczne” względem stanów 1 i 2, czyli praca sił wewnętrznych stanu 1 na przemieszczenia stanu 2 jest równa pracy sił wewnętrznych stanu 1 siły stanu 2 na przemieszczenia stanu 1 Ale zgodnie z (3.2)

Dlatego, jeśli praca sił wewnętrznych jest równa, to praca sił zewnętrznych jest równa - to stwierdzenie nazywa się twierdzeniem o pracy wzajemności (tw. Betty'ego, 1872).

Dla układu prętowego obciążonego siłą F 1 (ryc. 3.4, a) przyjmujemy jako możliwe przemieszczenie stan odkształcony, który wystąpił, gdy był obciążony siłą F 2 (ryc. 3.4, b). Dla tego systemu, zgodnie z twierdzeniem Bettiego 1- Jeśli umieścimy , to otrzymamy

(3.5)

Wzór ten wyraża twierdzenie Maxwella (1864) o wzajemności przemieszczeń: przemieszczenie punktu przyłożenia pierwszej siły jednostkowej w jej kierunku, spowodowane działaniem drugiej siły jednostkowej, jest równe przemieszczeniu punktu przyłożenia drugiego oddziału w jego kierunku, wywołanego działaniem pierwszego oddziału. Twierdzenie to można również zastosować do systemu na ryc. 3.2. Jeśli ustawimy = 1 N (rozdział 3.1.2), to otrzymamy równość przemieszczeń uogólnionych .

Rozważ układ statycznie niewyznaczalny z podporami, którym można nadać wymagane przemieszczenie, przyjęte jako możliwe (rys. 3.4, c, d). W pierwszym stanie przesuwamy podporę 1 do aw drugim - ustawiamy obrót osadzenia o kąt - W tym przypadku reakcje zajdą w pierwszym stanie i , a w drugim - i . Zgodnie z twierdzeniem o wzajemności pracy piszemy Jeśli ustawimy (tu wymiar = m, a wartość jest bezwymiarowa), to otrzymujemy

Ta równość jest liczbowa, ponieważ wymiar reakcji = H, a = N-m. Tak więc reakcja R12 w wiązaniu stałym 1, która zachodzi, gdy wiązanie 2 zostanie przesunięte o jeden, jest liczbowo równa reakcji zachodzącej w wiązaniu 2 z jednostkowym przemieszczeniem wiązania 1. To twierdzenie nazywa się twierdzeniem o wzajemności reakcji.

Twierdzenia przedstawione w tej sekcji służą do obliczeń analitycznych układów statycznie niewyznaczalnych.

Definicja przemieszczeń

Ogólna formuła przemieszczenia

Do obliczenia przemieszczeń zachodzących w układzie prętowym pod działaniem danego obciążenia (stan 1) konieczne jest utworzenie stanu pomocniczego układu, w którym działa jedna siła jednostkowa wykonująca pracę na zadanym przemieszczeniu (stan 2) . Oznacza to, że przy wyznaczaniu przemieszczenia liniowego konieczne jest określenie siły jednostkowej F 2 = 1 N przyłożonej w tym samym punkcie i w tym samym kierunku, w którym ma być wyznaczane przemieszczenie. Jeżeli wymagane jest określenie kąta obrotu dowolnej sekcji, wówczas w tej sekcji stosuje się pojedynczy moment F 2 = 1 N m. Następnie zestawiane jest równanie energii (3.2), w którym stan 2 jest przyjmowany jako główny, a zdeformowany

stan 1 jest traktowany jako wirtualny ruch. Z tego równania obliczane jest pożądane przemieszczenie.

Znajdźmy przemieszczenie poziome punktu B dla układu z ryc. 3,5,a. Aby pożądane przemieszczenie D 21 mieściło się w równaniu prac (3.2), jako stan główny przyjmujemy przemieszczenie układu pod działaniem siły jednostkowej F 2 - 1 N (stan 2, ryc. 3.5, b). Rozważymy rzeczywisty stan odkształcenia konstrukcji jako możliwe przemieszczenie (ryc. 3.5, a).

Praca sił zewnętrznych stanu 2 na przemieszczenia stanu 1 znajduje się zgodnie z (3.2),

w związku z tym pożądane przemieszczenie

Ponieważ (rozdział 3.1.4) pracę sił wewnętrznych stanu 2 na przemieszczenia stanu 1 oblicza się według wzoru (3.3) lub (3.4). Zastępując w (3.7) wyrażenie (3.3) dla pracy sił wewnętrznych płaskiego układu prętowego, otrzymujemy

Dla dalszego wykorzystania tego wyrażenia wskazane jest wprowadzenie pojęcia pojedynczych wykresów współczynników siły wewnętrznej, tj. z czego pierwsze dwa są bezwymiarowe, a wymiar . Rezultatem będzie

Całki te należy zastąpić wyrażeniami na wykresy rozkładu odpowiednich sił wewnętrznych od działającego obciążenia oraz i od siły F 2 = 1. Otrzymane wyrażenie nazywa się wzorem Mohra (1881).

Przy obliczaniu przestrzennych układów prętowych należy zastosować wzór (3.4) do obliczenia całkowitej pracy sił wewnętrznych, wtedy się okaże

Jest dość oczywiste, że wyrażenia na wykresy sił wewnętrznych S, Q y , Q z , M x, M y, M g oraz wartości charakterystyk geometrycznych przekrojów A, J t, Jy, J, dla odpowiednie n-te sekcje są podstawiane do całek. Aby skrócić zapis w zapisie tych wielkości, pomija się indeks „i”.

3.2.2. Szczególne przypadki wyznaczania przemieszczeń

Wzór (3.8) jest używany w ogólnym przypadku płaskiego systemu prętowego, ale w niektórych przypadkach można go znacznie uprościć. Rozważ szczególne przypadki jego realizacji.

1. Jeżeli można pominąć deformacje od sił podłużnych, co jest typowe dla układów belek, to wzór (3.8) zapiszemy jako

2. Jeżeli układ płaski składa się tylko z giętych belek cienkościennych o stosunku l/h>5 dla konsol lub l/h>10 dla przęseł (I i h to długość belki i wysokość przekroju), to z reguły , energia odkształcenia zginającego znacznie przewyższa energię odkształcenia od sił wzdłużnych i poprzecznych, więc można je pominąć w obliczeniach przemieszczeń. Wtedy formuła (3.8) przyjmuje postać

3. Dla kratownic, których pręty pod obciążeniem węzłowym podlegają głównie siłom podłużnym, możemy przyjąć M = 0 i Q = 0. Następnie przemieszczenie węzła oblicza się ze wzoru

Całkowanie odbywa się na całej długości każdego pręta, a sumowanie odbywa się na wszystkich prętach. Mając na uwadze, że siła S u w i-tym pręcie oraz pole przekroju poprzecznego nie zmieniają się na jego długości, możemy uprościć to wyrażenie:

Przy całej pozornej prostocie tego wzoru obliczenie analityczne przemieszczeń w kratownicach jest bardzo pracochłonne, ponieważ wymaga określenia sił we wszystkich prętach kratownicy z działającego obciążenia () oraz z siły jednostkowej () przyłożonej w punkcie, którego przemieszczenie wymaga być znalezionym.

3.2.3. Metodologia i przykłady wyznaczania przemieszczeń

Rozważ obliczenie całki Mohra metodą A.N. Vereshchagin (1925). Całka Mohra ma postać (3.8), gdzie jako D 1 , D 2 mogą występować wykresy momentów zginających, sił podłużnych lub poprzecznych. Co najmniej jeden z diagramów () w całce jest liniowy lub odcinkowo liniowy, ponieważ jest zbudowany z pojedynczego obciążenia. Dlatego dla

rozwiązanie całki, można zastosować następującą sztuczkę. Załóżmy, że w rozpatrywanym odcinku długości I pierwszy wykres D 1 ma dowolny kształt, a drugi liniowy: (rys. 3.6). Podstawiając to do całki Mohra, znajdujemy

Pierwsza z całek jest liczbowo równa powierzchni podwykresu (zacieniowana na ryc. 3.6), a druga to moment statyczny tego obszaru względem osi. Moment statyczny można zapisać jako , gdzie jest współrzędną położenia środka ciężkości obszaru (punkt A). W związku z tym, co zostało powiedziane, otrzymujemy

(3.13)

Reguła Vereshchagin jest sformułowana w następujący sposób: jeśli co najmniej jeden z wykresów jest liniowy na wykresie, wówczas całkę Mohra oblicza się jako iloczyn pola powierzchni arbitralnie

działka na rzędnej działki liniowej, położonej poniżej środka ciężkości tego terenu. Jeśli oba wykresy znajdują się po tej samej stronie osi, to iloczyn jest dodatni, jeśli z różnych stron, to jest ujemny. Tę metodę można zastosować do obliczenia dowolnych całek w wyrażeniach (3.8) i (3.9).

Podczas obliczania struktur w środowisku Mathcad nie ma potrzeby używania reguły Vereshchagin, ponieważ całkę można obliczyć przez całkowanie liczbowe.

Przykład 3.1(ryc. 3.7, a). Belka jest obciążona dwiema symetrycznie rozmieszczonymi siłami. Znajdź przemieszczenia punktów przyłożenia sił.

1. Zbudujmy wykres momentów zginających M 1 od sił F 1 . Reakcje wsparcia Maksymalny moment zginający pod wpływem siły

2. Ponieważ układ jest symetryczny, ugięcia pod wpływem sił będą takie same. Jako stan pomocniczy przyjmujemy obciążenie belki dwiema siłami jednostkowymi F 2 = 1 N, przyłożonymi w tych samych punktach co siły F 1

(ryc. 3.7, b). Wykres momentów zginających dla tego obciążenia jest podobny do poprzedniego, a maksymalny moment zginający M 2max = 0,5 (L-b).

3. Obciążenie układu dwiema siłami drugiego stanu charakteryzuje uogólniona siła F 2 i uogólnione przemieszczenie , które tworzą pracę sił zewnętrznych na przemieszczenie stanu 1, równą . Obliczmy przemieszczenie ze wzoru (3.11). Mnożąc diagramy przez sekcje zgodnie z regułą Vereshchagin, znajdujemy

Po podstawieniu wartości dostajemy

Przykład 3.2. Znajdź poziome przemieszczenie ruchomego wspornika ramy w kształcie litery U obciążonej siłą F x (ryc. 3.8, a).

1. Zbudujmy wykres momentów zginających od siły F 1 Reakcje podporowe . Maksymalny moment zginający pod wpływem siły F 1

2. Jako stan pomocniczy przyjmujemy obciążenie belki jednostkową siłą poziomą F 2 przyłożoną w punkcie B (ryc. 3.8, b). Budujemy wykres momentów zginających dla tego przypadku obciążenia. Reakcje podporowe A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Maksymalny moment zginający.

3. Obliczamy przemieszczenie według wzoru (3.11). Na przekrojach pionowych iloczyn wynosi zero. Na przekroju poziomym działka M 1 nie jest liniowa, ale działka jest liniowa. Mnożąc diagramy metodą Vereshchagin otrzymujemy

Iloczyn jest ujemny, ponieważ wykresy leżą po przeciwnych stronach. Uzyskana ujemna wartość przemieszczenia wskazuje, że jej rzeczywisty kierunek jest przeciwny do kierunku siły jednostkowej.

Przykład 3.3(rys. 3.9). Znajdź kąt obrotu sekcji belki dwupodporowej pod działaniem siły i znajdź położenie siły, przy której ten kąt będzie maksymalny.

1. Zbudujmy wykres momentów zginających M 1 od siły F 1. W tym celu znajdziemy reakcję podporową A 1. Z równania równowagi dla układu jako całości znaleźć Maksymalny moment zginający pod wpływem siły Fj

2. Jako stan pomocniczy przyjmujemy obciążenie belki pojedynczym momentem F 2 \u003d 1 Nm w sekcji, której obrót należy określić (ryc. 3.9, b). Budujemy wykres momentów zginających dla tego przypadku obciążenia. Reakcje podporowe A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momenty zginające

Oba momenty są ujemne, ponieważ są skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Schematy są zbudowane na rozciągniętym włóknie.

3. Obliczamy kąt obrotu według wzoru (3.11) wykonując mnożenie na dwóch odcinkach,

Oznaczając , możesz uzyskać to wyrażenie w wygodniejszej formie:

Wykres zależności kąta obrotu od położenia siły F 1 pokazano na ryc. 3,9,c. Rozróżniając to wyrażenie, od warunku znajdujemy położenie siły, przy której kąt nachylenia belki pod nią będzie największy w wartości bezwzględnej. Stanie się to przy wartościach równych 0,21 i 0,79.

Przejdźmy do rozważenia innej zasady mechaniki, która ustanawia ogólny warunek równowagi układu mechanicznego. Przez równowagę (patrz § 1) rozumiemy stan układu, w którym wszystkie jego punkty pod działaniem przyłożonych sił znajdują się w spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia (rozważamy tak zwaną równowagę „absolutną”). Jednocześnie będziemy uważać całą komunikację nałożoną na system za stacjonarną i nie będziemy tego szczegółowo określać za każdym razem w przyszłości.

Wprowadźmy pojęcie pracy możliwej jako pracy elementarnej, jaką siła działająca na punkt materialny mogłaby wykonać przy przemieszczeniu zbiegającym się z możliwym przemieszczeniem tego punktu. Możliwą pracę siły czynnej oznaczymy symbolem , a możliwą pracę reakcji wiązania N symbolem

Podajmy teraz ogólną definicję pojęcia wiązań idealnych, której już używaliśmy (patrz § 123): wiązania nazywamy idealnymi, jeśli suma prac elementarnych ich reakcji na ewentualne przemieszczenie układu jest równa zeru , tj.

Podany w § 123 i wyrażony równością (52) warunek idealności wiązań, gdy są one jednocześnie nieruchome, odpowiada definicji (98), ponieważ w przypadku wiązań stacjonarnych każde przesunięcie rzeczywiste pokrywa się z jednym z możliwych . Dlatego przykładami idealnych połączeń będą wszystkie przykłady podane w § 123.

Aby określić konieczny warunek równowagi, dowodzimy, że jeśli układ mechaniczny z idealnymi ograniczeniami jest w równowadze przez działanie przyłożonych sił, to dla każdego możliwego przemieszczenia układu równość

gdzie jest kątem między siłą a możliwym przemieszczeniem.

Wyznaczmy wypadkowe wszystkich (zarówno zewnętrznych, jak i wewnętrznych) sił czynnych i reakcji wiązań działających w pewnym punkcie układu, odpowiednio, poprzez . Następnie, ponieważ każdy z punktów układu jest w równowadze, a co za tym idzie, suma pracy tych sił dla dowolnego ruchu punktu będzie również równa zeru, tj. . Kompilując takie równości dla wszystkich punktów układu i dodając je termin po term, otrzymujemy

Ale ponieważ połączenia są idealne, reprezentują możliwe przemieszczenia punktów układu, to druga suma zgodnie z warunkiem (98) będzie równa zeru. Wtedy pierwsza suma jest również równa zeru, tj. obowiązuje równość (99). W ten sposób udowodniliśmy, że równość (99) wyraża warunek konieczny dla równowagi systemu.

Pokażmy, że i ten warunek jest wystarczający, tj. że jeśli siły czynne spełniające równanie (99) przyłożone zostaną do punktów układu mechanicznego w spoczynku, to układ pozostanie w spoczynku. Załóżmy odwrotnie, że układ zacznie się poruszać i niektóre z jego punktów dokonują rzeczywistych przemieszczeń. Wtedy siły zadziałają na te przemieszczenia i zgodnie z twierdzeniem o zmianie energii kinetycznej będzie to:

gdzie, oczywiście, ponieważ system był początkowo w spoczynku; stąd i . Jednak w przypadku połączeń stacjonarnych rzeczywiste przemieszczenia pokrywają się z niektórymi możliwymi przemieszczeniami, a przemieszczenia te muszą również mieć coś, co jest sprzeczne z warunkiem (99). Zatem, gdy przyłożone siły spełniają warunek (99), układ nie może opuścić stanu spoczynku, a warunek ten jest wystarczającym warunkiem równowagi.

Następująca zasada możliwych przemieszczeń wynika z udowodnionego: dla równowagi układu mechanicznego z idealnymi ograniczeniami konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu była równa do zera. Matematycznie sformułowany warunek równowagi wyraża się równością (99), która jest również nazywana równaniem możliwych miejsc pracy. Równość tę można również przedstawić w formie analitycznej (patrz § 87):

Zasada możliwych przemieszczeń ustanawia ogólny warunek równowagi układu mechanicznego, który nie wymaga uwzględniania równowagi poszczególnych części (ciał) tego układu i pozwala, przy idealnych wiązaniach, wykluczyć z rozważania wszystkie nieznane dotąd reakcje wiązania.

Konieczne i wystarczające jest, aby suma pracy wszystkich sił czynnych przyłożonych do układu przy każdym możliwym przemieszczeniu układu była równa zeru.

Liczba równań, które można skompilować dla układu mechanicznego, opartego na zasadzie możliwych przemieszczeń, jest równa liczbie stopni swobody tego właśnie układu mechanicznego.

Literatura

• Targ S. M. Krótki kurs mechaniki teoretycznej. Proc. dla uczelni technicznych - wyd. 10, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyższe. szkoła, 1986.- 416 s., chor.
• Kurs główny mechaniki teoretycznej (część pierwsza) N. N. Bukhgolts, Wydawnictwo "Nauka", Redakcja Główna literatury fizycznej i matematycznej, Moskwa, 1972, 468 stron.

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz, jaka jest „Zasada możliwych ruchów” w innych słownikach:

zasada możliwych ruchów

Jedna z wariacyjnych zasad mechaniki, która ustala ogólny warunek równowagi mechanicznej systemy. Według V. p. p. dla równowagi mechanicznej. układy z idealnymi ograniczeniami (patrz POŁĄCZENIA MECHANICZNE) jest konieczne i wystarczające, aby suma prac dAi… … Encyklopedia fizyczna

Wielki słownik encyklopedyczny

ZASADA MOŻLIWYCH RUCHÓW, dla równowagi układu mechanicznego konieczne i wystarczające jest, aby suma pracy wszystkich sił działających na układ dla każdego możliwego przemieszczenia układu była równa zeru. Zasada możliwego przesunięcia ma zastosowanie, gdy… … słownik encyklopedyczny

Jedna z wariacyjnych zasad mechaniki (patrz Zasady wariacyjne mechaniki), która ustanawia ogólny warunek równowagi układu mechanicznego. Według V. p. p., dla równowagi układu mechanicznego z idealnymi połączeniami (patrz Połączenia ... ... Wielka radziecka encyklopedia

Zasada prędkości wirtualnych, różniczkowa zasada wariacyjna mechaniki klasycznej, która wyraża najbardziej ogólne warunki równowagi układów mechanicznych ograniczonych połączeniami idealnymi. Według V. p. p. mechan. układ jest w równowadze... Encyklopedia matematyczna

Dla równowagi układu mechanicznego konieczne i wystarczające jest, aby suma pracy wszystkich sił działających na układ dla każdego możliwego przemieszczenia układu była równa zeru. Zasada możliwych przemieszczeń jest stosowana w badaniu warunków równowagi ... ... słownik encyklopedyczny

Do wagi mechanicznej układu konieczne i wystarczające jest, aby suma pracy wszystkich sił działających na układ dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu była równa zeru. V. p. p. służy do badania warunków równowagi dla złożonego mechan. systemy… … Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

zasada przemieszczeń wirtualnych- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. zasada wirtualnego przemieszczenia vok. Prinzip der cnotyllen Verschiebungen, n rus. zasada przemieszczeń wirtualnych, m; zasada możliwych ruchów, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Jedna z wariacyjnych zasad mechaniki, według Romów, dla danej klasy ruchów mechanicznych w porównaniu ze sobą. system jest ważny dla którego fizycznego. wartość, zwana akcja, ma najmniejszą (dokładniej stacjonarną) ... ... Encyklopedia fizyczna

Książki

• Mechanika teoretyczna. W 4 tomach. Tom 3: Dynamika. Mechanika analityczna. Teksty wykładów. Sęp Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej, Bogomaz Irina Władimirowna. Podręcznik zawiera dwie części ujednoliconego kursu mechaniki teoretycznej: dynamikę i mechanikę analityczną. W pierwszej części szczegółowo omówiono pierwszy i drugi problem dynamiki, także ...

Zasada możliwych ruchów: dla równowagi układu mechanicznego z idealnymi połączeniami konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego dla dowolnego możliwego przemieszczenia była równa zeru. lub w rzutach: .

Zasada możliwych przemieszczeń podaje w ogólnej postaci warunki równowagi dla dowolnego układu mechanicznego, podaje ogólną metodę rozwiązywania problemów statyki.

Jeżeli układ ma kilka stopni swobody, to równanie zasady możliwych przemieszczeń składa się dla każdego z niezależnych przemieszczeń osobno, tj. będzie tyle równań, ile system ma stopni swobody.

Zasada możliwych przemieszczeń jest wygodna, ponieważ przy rozważaniu układu z idealnymi połączeniami nie są brane pod uwagę ich reakcje i konieczne jest działanie tylko z siłami czynnymi.

Zasada możliwych ruchów jest sformułowana w następujący sposób:

Do matki. układ, poddany idealnym ograniczeniom, był w spoczynku, konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wykonywanych przez siły czynne na możliwych przemieszczeniach punktów układu była dodatnia

Ogólne równanie dynamiki- gdy układ porusza się z idealnymi połączeniami w dowolnym momencie, suma prac elementarnych wszystkich przyłożonych sił czynnych i wszystkich sił bezwładności na jakikolwiek możliwy ruch układu będzie równa zeru. Równanie wykorzystuje zasadę możliwych przemieszczeń oraz zasadę d'Alemberta i pozwala zestawiać różniczkowe równania ruchu dla dowolnego układu mechanicznego. Podaje ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.

Sekwencja kompilacji:

a) na każde ciało przykładane są określone siły działające na niego, a także siły i momenty par sił bezwładności są przyłożone warunkowo;

b) informować system o możliwych ruchach;

c) ułożyć równania zasady możliwych przemieszczeń, biorąc pod uwagę, że układ jest w równowadze.

Należy zauważyć, że ogólne równanie dynamiki można zastosować również do układów z wiązaniami nieidealnymi, tylko w tym przypadku reakcje wiązań nieidealnych, takie jak np. siła tarcia czy moment tarcia tocznego, muszą być sklasyfikowane jako siły czynne.

Pracę nad możliwym przemieszczeniem zarówno sił czynnych, jak i bezwładności poszukuje się w taki sam sposób, jak pracę elementarną nad rzeczywistym przemieszczeniem:

Możliwa praca siły: .

Możliwa praca chwili (pary sił): .

Uogólnione współrzędne układu mechanicznego są wzajemnie niezależnymi parametrami q 1 , q 2 , …, q S o dowolnym wymiarze, które jednoznacznie określają położenie układu w dowolnym momencie.

Liczba współrzędnych uogólnionych to S - liczba stopni swobody układu mechanicznego. Położenie każdego v punktu układu, czyli jego wektor promienia, w ogólnym przypadku, można zawsze wyrazić w funkcji współrzędnych uogólnionych:

Ogólne równanie dynamiki we współrzędnych uogólnionych wygląda jak układ równań S w następujący sposób:

……..………. ;

………..……. ;

tutaj jest uogólniona siła odpowiadająca uogólnionej współrzędnej :

a jest uogólnioną siłą bezwładności odpowiadającą uogólnionej współrzędnej :

Liczbę niezależnych możliwych przemieszczeń układu nazywamy liczbą stopni swobody tego układu. Na przykład. kula na płaszczyźnie może poruszać się w dowolnym kierunku, ale każdy możliwy ruch można uzyskać jako sumę geometryczną dwóch ruchów wzdłuż dwóch wzajemnie prostopadłych osi. Dowolna bryła sztywna ma 6 stopni swobody.

Siły uogólnione. Dla każdej współrzędnej uogólnionej można obliczyć odpowiednią siłę uogólnioną Q k.

Obliczenia dokonuje się zgodnie z tą zasadą.

Aby określić siłę uogólnioną Q k odpowiadający uogólnionej współrzędnej q k, należy nadać tej współrzędnej przyrost (zwiększyć współrzędną o tę wartość), pozostawiając wszystkie inne współrzędne bez zmian, obliczyć sumę pracy wszystkich sił przyłożonych do układu na odpowiednie przemieszczenia punktów i podzielić ją przez przyrost współrzędnej:

gdzie jest przemieszczenie i-ten punkt systemu, uzyskany przez zmianę k-ta współrzędna uogólniona.

Siła uogólniona jest określana za pomocą pracy elementarnej. Dlatego siłę tę można obliczyć inaczej:

A ponieważ istnieje przyrost wektora promienia ze względu na przyrost współrzędnych przy niezmienionych pozostałych współrzędnych i czasie t, stosunek można zdefiniować jako pochodną cząstkową . Następnie

gdzie współrzędne punktów są funkcjami współrzędnych uogólnionych (5).

Jeżeli układ jest zachowawczy, to znaczy ruch zachodzi pod działaniem potencjalnych sił pola, których rzuty są , gdzie , a współrzędne punktów są funkcjami współrzędnych uogólnionych, to

Uogólniona siła systemu zachowawczego jest cząstkową pochodną energii potencjalnej względem odpowiedniej współrzędnej uogólnionej ze znakiem minus.

Oczywiście przy obliczaniu tej uogólnionej siły energię potencjalną należy zdefiniować jako funkcję uogólnionych współrzędnych

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Uwagi.

Pierwszy. Przy obliczaniu uogólnionych sił reakcji nie uwzględnia się wiązań idealnych.

Druga. Wymiar siły uogólnionej zależy od wymiaru współrzędnej uogólnionej.

Równania Lagrange'a II rodzaju są wyprowadzone z ogólnego równania dynamiki we współrzędnych uogólnionych. Liczba równań odpowiada liczbie stopni swobody:

Aby skomponować równanie Lagrange'a drugiego rodzaju, wybierane są uogólnione współrzędne i znajdowane są uogólnione prędkości . Wyznaczana jest energia kinetyczna układu, która jest funkcją prędkości uogólnionych , aw niektórych przypadkach współrzędne uogólnione. Wykonywane są operacje różniczkowania energii kinetycznej przewidziane przez lewe strony równań Lagrange'a, a otrzymane wyrażenia przyrównane są do sił uogólnionych, dla których oprócz wzorów (26) często stosuje się: rozwiązywanie problemów:

W liczniku po prawej stronie wzoru - suma pracy elementarnej wszystkich sił czynnych na możliwe przemieszczenie układu, odpowiadająca wariacji i-tej współrzędnej uogólnionej - . Przy takim możliwym przemieszczeniu wszystkie inne współrzędne uogólnione nie ulegają zmianie. Otrzymane równania są równaniami różniczkowymi ruchu układu mechanicznego z S stopnie swobody.

Elementy mechaniki analitycznej

W swoich próbach poznania otaczającego świata natura ludzka dąży do zredukowania systemu wiedzy w danym obszarze do jak najmniejszej liczby pozycji wyjściowych. Dotyczy to przede wszystkim dziedzin naukowych. W mechanice pragnienie to doprowadziło do stworzenia podstawowych zasad, z których wynikają podstawowe równania różniczkowe ruchu dla różnych układów mechanicznych. Ta część samouczka ma na celu zapoznanie czytelnika z niektórymi z tych zasad.

Badanie elementów mechaniki analitycznej rozpocznijmy od uwzględnienia problemu klasyfikacji połączeń występujących nie tylko w statyce, ale także w dynamice.

Klasyfikacja relacji

Połączenie – wszelkiego rodzaju ograniczenia nałożone na pozycje i prędkości punktów układu mechanicznego,.

Związki są klasyfikowane:

Zmieniając się w czasie:

- połączenia niestacjonarne, tych. zmieniające się w czasie. Podpora poruszająca się w przestrzeni jest przykładem połączenia niestacjonarnego.

- stała komunikacja, tych. nie zmienia się w czasie.Łącza stacjonarne obejmują wszystkie łącza omówione w sekcji „Statyka”.

Według rodzaju nałożonych ograniczeń kinematycznych:

- połączenia geometryczne nałożyć ograniczenia na pozycje punktów w systemie;

- kinematyczny, lub połączenia różnicowe nałożyć ograniczenia na prędkość punktów w systemie. Jeśli to możliwe, zredukuj jeden rodzaj relacji do drugiego:

- integrowalny, lub holonomiczny(jedyny) połączenie, jeśli połączenie kinematyczne (różnicowe) można przedstawić jako geometryczne. W takich połączeniach zależności między prędkościami można sprowadzić do zależności między współrzędnymi. Walec toczący się bez poślizgu jest przykładem całkowalnego połączenia różnicowego: prędkość osi siłownika jest powiązana z jego prędkością kątową według znanego wzoru , lub , a po całkowaniu sprowadza się do geometrycznej zależności między przemieszczeniem osi i kąt obrotu cylindra w postaci

- nieintegrowalny, lub połączenie nieholonomiczne– jeśli połączenie kinematyczne (różnicowe) nie może być reprezentowane jako geometryczne. Przykładem jest toczenie się piłki bez poślizgu podczas jej ruchu nieprostoliniowego.

Jeśli to możliwe, „zwolnij” z komunikacji:

- trzymając więzy, w ramach których nałożone przez nich ograniczenia są zawsze zachowane, na przykład wahadło zawieszone na sztywnym pręcie;

- nieutrzymujące więzi - ograniczenia mogą zostać naruszone dla określonego typu ruchu systemu, na przykład wahadło zawieszone na zmiętej nici.

Wprowadźmy kilka definicji.

· Możliwy(lub wirtualny) poruszający(oznaczony) jest elementarny (nieskończenie mały) i nie narusza ograniczeń nałożonych na system.

Przykład: punkt znajdujący się na powierzchni, w miarę możliwości, ma zbiór elementarnych przemieszczeń w dowolnym kierunku wzdłuż powierzchni odniesienia, nie odrywając się od niej. Ruch punktu, prowadzący do jego oderwania od powierzchni, powoduje zerwanie połączenia i zgodnie z definicją nie jest możliwym ruchem.

W przypadku układów stacjonarnych zwykłe rzeczywiste (rzeczywiste) przemieszczenie elementarne jest zawarte w zbiorze możliwych przemieszczeń.

· Liczba stopni swobody układu mechanicznego – jest liczbą jego niezależnych możliwych przemieszczeń.

Tak więc, kiedy punkt porusza się na płaszczyźnie, każdy możliwy jego ruch jest wyrażany w postaci dwóch ortogonalnych (a więc niezależnych) składowych.

W przypadku układu mechanicznego z ograniczeniami geometrycznymi liczba niezależnych współrzędnych określających położenie układu pokrywa się z liczbą jego stopni swobody.

Zatem punkt na płaszczyźnie ma dwa stopnie swobody. Swobodny punkt materialny — trzy stopnie swobody. Swobodny korpus ma sześć (zwroty pod kątem Eulera są dodawane) itp.

· Możliwa praca – jest pracą elementarną siły na możliwe przemieszczenie.

Zasada możliwych ruchów

Jeśli układ jest w równowadze, to dla dowolnego z jego punktów zachodzi równość, gdzie są wypadkami sił czynnych i sił reakcji działających na punkt. Wtedy suma pracy tych sił dla dowolnego przemieszczenia jest również równa zeru . Podsumowując wszystkie punkty otrzymujemy: . Drugi wyraz dla idealnych wiązań jest równy zero, skąd formułujemy zasada możliwych ruchów :

.

(3.82)

W warunkach równowagi układu mechanicznego z połączeniami idealnymi suma prac elementarnych wszystkich działających na niego sił czynnych dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu jest równa zeru.

Wartość zasady możliwych przemieszczeń tkwi w sformułowaniu warunków równowagi dla układu mechanicznego (3.81), w którym nie występują nieznane reakcje więzów.

PYTANIA DO SPRAWDZENIA SAMODZIELNEGO

1. Jaki ruch punktu nazywamy możliwym?

2. Co nazywa się możliwą pracą siły?

3. Sformułuj i zapisz zasadę możliwych ruchów.

zasada d'Alemberta

Przepiszmy równanie dynamiki do punkt układu mechanicznego (3.27), przenosząc lewą stronę na prawą. Weźmy pod uwagę ilość

Siły w równaniu (3.83) tworzą zrównoważony układ sił.

Rozszerzając ten wniosek na wszystkie punkty układu mechanicznego, dochodzimy do sformułowania zasada d'Alemberta, nazwany na cześć francuskiego matematyka i mechanika Jeana Lerona D'Alemberta (1717-1783), ryc. 3.13:

Rys.3.13

Jeżeli wszystkie siły bezwładności dodamy do wszystkich sił działających w danym układzie mechanicznym, to otrzymany układ sił zostanie zrównoważony i można do niego zastosować wszystkie równania statyczne.

W rzeczywistości oznacza to, że z układu dynamicznego poprzez dodanie sił bezwładności (siły D'Alemberta) przechodzi się do układu pseudostatycznego (prawie statycznego).

Stosując zasadę d'Alemberta można uzyskać oszacowanie główny wektor sił bezwładności oraz główny moment bezwładności wokół środka jak:

Reakcje dynamiczne działające na osi wirującego ciała

Rozważmy ciało sztywne obracające się jednostajnie z prędkością kątową ω wokół osi zamocowanej w łożyskach A i B (rys. 3.14). Połączmy z ciałem obracające się z nim osie Axyz, zaletą takich osi jest to, że względem nich współrzędne środka masy i momenty bezwładności ciała będą wartościami stałymi. Niech dane siły działają na ciało. Oznaczmy rzuty wektora głównego wszystkich tych sił na oś Axyz przez ( itp.) i ich główne momenty wokół tych samych osi - poprzez ( itp.); tymczasem, ponieważ ω = const, to = 0.

Rys.3.14

Aby określić odpowiedzi dynamiczne X A, Y A, Z A, X B , Y Błożyska, tj. do wszystkich zadanych sił działających na ciało oraz do reakcji wiązań siły bezwładności wszystkich cząstek ciała, sprowadzając je do środka A. Następnie siły bezwładności będzie reprezentowana przez jedną siłę równą i zastosowane w punkcie A , oraz parę sił o momencie równym . Projekcje tego momentu na osi do oraz w będzie: , ; tu ponownie , jak ω = const.

Teraz układanie równań (3.86) zgodnie z zasadą d’Alemberta w rzutach na oś Axyz i ustawianie AB =b, dostajemy

.

(3.87)

Ostatnie równanie jest spełniony identycznie, ponieważ .

Główny wektor sił bezwładności , gdzie t - masa ciała (3,85). Na ω =stały środek masy C ma tylko przyspieszenie normalne , gdzie jest odległość punktu C od osi obrotu. Dlatego kierunek wektora pokrywają się z kierunkiem OS . Projekcje komputerowe na osiach współrzędnych i biorąc pod uwagę, że , gdzie - współrzędne środka masy, znajdujemy:

Aby określić i , rozważ jakąś cząstkę ciała o masie m k , oddalone od osi na odległość h k . Dla niej w ω =const siła bezwładności ma również tylko składową odśrodkową , których rzuty, a także wektory R", są równe.