materiał teoretyczny. §6 Pochodne cząstkowe funkcji zespolonych wielu zmiennych Rozwiązanie pochodnych cząstkowych zespolonych

1°. Przypadek jednej zmiennej niezależnej. Jeśli z=f(x,y) jest różniczkowalną funkcją argumentów x i y, które z kolei są różniczkowalnymi funkcjami zmiennej niezależnej t: , to pochodna funkcji zespolonej można obliczyć według wzoru

Przykład. Znajdź czy , gdzie .

Decyzja. Zgodnie ze wzorem (1) mamy:

Przykład. Znajdź pochodną cząstkową i pochodną całkowitą, jeśli .

Decyzja. .

Na podstawie wzoru (2) otrzymujemy .

2°. Przypadek kilku zmiennych niezależnych.

Zostawiać z=f(x;y ) - funkcja dwóch zmiennych X oraz tak, z których każdy jest funkcją zmiennej niezależnej t : x =x (t ), y =y (t). W tym przypadku funkcja z=f(x (t);y (t)) jest złożoną funkcją jednej zmiennej niezależnej t; zmienne x i y są zmiennymi pośrednimi.

Twierdzenie. Jeśli z == f(x; y) - różniczkowalny w punkcie M(x; y)D funkcja i x =x (t) oraz w =y (t) - różniczkowalne funkcje zmiennej niezależnej t, to pochodna funkcji zespolonej z(t) == f(x (t);y (t)) obliczone według wzoru

Szczególny przypadek:z = f(x; y), gdzie y = y(x), tych. z= f(x;y (x)) - złożona funkcja jednej zmiennej niezależnej X. Ten przypadek sprowadza się do poprzedniego, a rola zmiennej t gra X. Zgodnie ze wzorem (3) mamy:

.

Ostatnia formuła nazywa się wzory na pochodną całkowitą.

Przypadek ogólny:z = f(x;y ), gdzie x =x (u ;v ),y=y (u ;v). Wtedy z = f(x (u ;v);y (u ;v))- złożona funkcja zmiennych niezależnych oraz oraz v. Jego częściowe pochodne i można je znaleźć za pomocą wzoru (3) w następujący sposób. Ustalenie w, zastępujemy w nim odpowiednie pochodne cząstkowe

Czyli pochodna funkcji złożonej (z) względem każdej zmiennej niezależnej (oraz oraz v) jest równa sumie iloczynów pochodnych cząstkowych tej funkcji (z) względem jej zmiennych pośrednich (x i y) do ich pochodnych w odniesieniu do odpowiedniej zmiennej niezależnej (u i v).

We wszystkich rozważanych przypadkach formuła

(własność niezmienności różniczki zupełnej).

Przykład. Znajdź i jeśli z = f(x ,y ), gdzie x =uv , .

Decyzja. Stosując wzory (4) i (5) otrzymujemy:

Przykład. Pokaż, że funkcja spełnia równanie .

Decyzja. Funkcja zależy od x i y poprzez argument pośredni, więc

Zastępując pochodne cząstkowe po lewej stronie równania, otrzymujemy:

Oznacza to, że funkcja z spełnia podane równanie.

Pochodna w danym kierunku i gradiencie funkcji

1°. Pochodna funkcji w określonym kierunku. pochodna funkcje z= f(x,y) w tym kierunku nazywa , gdzie i są wartościami funkcji w punktach i . Jeżeli funkcja z jest różniczkowalna, to formuła

gdzie są kąty między kierunkiem ja i odpowiednie osie współrzędnych. Pochodna w danym kierunku charakteryzuje tempo zmian funkcji w tym kierunku.

Przykład. Znajdź pochodną funkcji z \u003d 2x 2 - Zu 2 w punkcie P (1; 0) w kierunku, który tworzy kąt 120 ° z osią OX.

Decyzja. Znajdźmy pochodne cząstkowe tej funkcji i ich wartości w punkcie P .

Przykład. Znajdź czy , gdzie .

Decyzja. Zgodnie ze wzorem (1) mamy:

Przykład. Znajdź pochodną cząstkową i pochodną całkowitą, jeśli .

Decyzja. .

Na podstawie wzoru (2) otrzymujemy .

2°. Przypadek kilku zmiennych niezależnych.

Zostawiać z = f(x;y) - funkcja dwóch zmiennych X oraz tak, z których każdy jest funkcją

zmienna niezależna t: x = x(t), y = y(t). W tym przypadku funkcja z=f(x(t);y(t)) jest

złożona funkcja jednej zmiennej niezależnej t; zmienne x i y są zmiennymi pośrednimi.

Twierdzenie. Jeśli z == f(x; y) - różniczkowalny w punkcie M(x; y) D funkcjonować

oraz x = x(t) oraz w =y(t) - różniczkowalne funkcje zmiennej niezależnej t,

to pochodna funkcji zespolonej z(t) == f(x(t);y(t)) obliczone według wzoru

(3)

Przypadek szczególny: z = f(x; y), gdzie y = y(x), tych. z= f(x;y(x)) - złożona funkcja

zmienna niezależna X. Ten przypadek sprowadza się do poprzedniego, a rola zmiennej

t gra X. Zgodnie ze wzorem (3) mamy:

.

Ostatnia formuła nazywa się wzory na pochodną całkowitą.

Przypadek ogólny: z = f(x;y), gdzie x = x(u;v), y=y(u;v). Wtedy z = f(x(u;v);y(u;v)) - złożony

funkcja zmiennych niezależnych oraz oraz v. Można znaleźć jego częściowe pochodne

stosując wzór (3) w następujący sposób. Ustalenie w, wymienić w nim

odpowiednie pochodne cząstkowe

Czyli pochodna funkcji złożonej (z) względem każdej zmiennej niezależnej (oraz oraz v)

jest równa sumie iloczynów pochodnych cząstkowych tej funkcji (z) względem jej związku pośredniego

zmienne (x i y) do ich pochodnych w odniesieniu do odpowiedniej zmiennej niezależnej (u i v).

We wszystkich rozważanych przypadkach formuła

(własność niezmienności różniczki zupełnej).

Przykład. Znajdź i jeśli z= f(x,y), gdzie x=uv, .

§ 5. Pochodne cząstkowe funkcji zespolonych. różniczki funkcji złożonych

1. Pochodne cząstkowe funkcji zespolonej.

Niech będzie funkcją dwóch zmiennych, których argumenty oraz , są same w sobie funkcjami dwóch lub więcej zmiennych. Na przykład niech
,
.

Następnie Wola złożona funkcja niezależne zmienne oraz , zmienne i będą za to zmienne pośrednie. W tym przypadku, jak znaleźć pochodne cząstkowe funkcji względem oraz ?

Można oczywiście wyrazić bezpośrednio w terminach i :

i poszukaj pochodnych cząstkowych otrzymanej funkcji. Ale wyrażenie może być bardzo skomplikowane i znalezienie pochodnych cząstkowych , wymagałoby wtedy dużego wysiłku.

Jeśli funkcje
,
,
są rozróżnialne, a następnie znajdź i można to zrobić bez uciekania się do bezpośredniego wyrażenia poprzez i . W takim przypadku formuły będą ważne

(5.1)

Rzeczywiście podajemy argument przyrost
, – konst. Następnie funkcje
oraz otrzyma przyrosty

a funkcja zostanie zwiększona

gdzie , są nieskończenie małe w
,
. Podziel wszystkie wyrazy ostatniej równości przez . Otrzymujemy:

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne z założenia, są one ciągłe. Dlatego jeśli
, następnie i . Przechodząc więc ostatnią równość do granicy przy, otrzymujemy:

(ponieważ , są nieskończenie małe dla , ).

Podobnie udowodniono drugą równość w (5.1).

PRZYKŁAD. Zostawiać
, gdzie
,
. Następnie jest złożona funkcja zmiennych niezależnych i . Aby znaleźć jego pochodne cząstkowe, używamy wzoru (5.1). Mamy

Zastępując w (5.1), otrzymujemy

,

Formuły (5.1) naturalnie uogólniają na przypadek funkcji większej liczby argumentów niezależnych i pośrednich. Mianowicie, jeśli

………………………

i wszystkie rozważane funkcje są różniczkowalne, to dla dowolnych
jest równość

Możliwe jest również, że argumenty funkcji są funkcjami tylko jednej zmiennej, tj.

,
.

Wtedy będzie złożona funkcja tylko jednej zmiennej i można postawić pytanie o znalezienie pochodnej . Jeśli funkcje
,
są różniczkowe, to można je znaleźć za pomocą wzoru
(5.2)

PRZYKŁAD. Zostawiać
, gdzie
,
. Oto złożona funkcja jednej zmiennej niezależnej. Korzystając ze wzoru (5.2) otrzymujemy

.

I wreszcie przypadek jest możliwy, gdy rolę zmiennej niezależnej pełni , tj. ,

gdzie
.

Ze wzoru (5.2) otrzymujemy

(5.3)

(jak
). Pochodna , we wzorze (5.3) po prawej stronie jest pochodna cząstkowa funkcji względem . Jest obliczany ze stałą wartością . Pochodna po lewej stronie wzoru (5.3) nazywa się całkowita pochodna funkcji . Przy jej obliczaniu bierze się pod uwagę, że zależy ona na dwa sposoby: bezpośrednio i poprzez drugi argument .

PRZYKŁAD. Znajdź i dla funkcji
, gdzie
.

Mamy
.

Aby znaleźć, użyjemy wzoru (5.3). Otrzymać

.

Na zakończenie tego podrozdziału zauważamy, że formuły (5.2) i (5.3) można łatwo uogólnić na przypadek funkcji z dużą liczbą argumentów pośrednich.

2. Różniczka funkcji zespolonej.

Przypomnij sobie, jeśli

jest różniczkowalną funkcją dwóch niezależnych zmiennych, to z definicji

, (5.4)

lub w innej formie
. (5.5)

Zaletą formuły (5.5) jest to, że pozostaje ona prawdziwa nawet wtedy, gdy jest funkcją złożoną.

Rzeczywiście niech , gdzie , . Załóżmy, że funkcje , , są różniczkowalne. Wtedy funkcja zespolona również będzie różniczkowalna i jej różniczka całkowita według wzoru (5.5) będzie równa

.

Stosując wzór (5.1) do obliczenia pochodnych cząstkowych funkcji zespolonej otrzymujemy

Ponieważ różniczki całkowite funkcji i są w nawiasach, w końcu mamy

Widzieliśmy więc, że zarówno w przypadku, gdy i są zmiennymi niezależnymi, jak i w przypadku, gdy i są zmiennymi zależnymi, różniczkę funkcji można zapisać w postaci (5.5). W związku z tym ta forma zapisywania różniczki całkowitej nazywa się niezmienny . Forma zapisania różniczki zaproponowana w (5.4) nie będzie niezmienna, może być używana tylko wtedy, gdy i są zmiennymi niezależnymi. Forma zapisania różniczki również nie będzie niezmienna -ty rząd. Przypomnijmy, że pokazaliśmy wcześniej, że różnica kolejności funkcje dwóch zmiennych można znaleźć za pomocą wzoru

. (4.12)

Ale jeśli i nie są zmiennymi niezależnymi, to wzór (4.12) na
przestaje być prawdą.

Jest oczywiste, że wszystkie argumenty przeprowadzone w tym podrozdziale dla funkcji dwóch zmiennych mogą być powtórzone w przypadku funkcji z większą liczbą argumentów. Dlatego dla funkcji różniczka może być również zapisana w dwóch postaciach:

gdzie druga notacja będzie niezmienna, tj. uczciwe, nawet jeśli
nie są zmiennymi niezależnymi, ale argumentami pośrednimi.

§ 6. Różnicowanie funkcji uwikłanych

Mówiąc o metodach definiowania funkcji jednej i kilku zmiennych, zauważyliśmy, że analityczna definicja funkcji może być jawna lub dorozumiana. W pierwszym przypadku wartość funkcji znajduje się na podstawie znanych wartości argumentów; w drugim wartość funkcji i jej argumenty są powiązane jakimś równaniem. Nie określiliśmy jednak, kiedy równania

oraz

zdefiniować niejawnie zdefiniowane funkcje i odpowiednio. Wygodne warunki wystarczające do istnienia funkcji niejawnej zmienne (
) są zawarte w poniższym twierdzeniu.

TWIERDZENIE6.1 . (istnienie funkcji niejawnej) Niech funkcja
i jego pochodne cząstkowe
są określone i ciągłe w pewnym sąsiedztwie punktu. Jeśli
oraz
, to jest takie sąsiedztwo punkt, w którym równanie

definiuje funkcję ciągłą i

1) Rozważ równanie
. Warunki twierdzenia są spełnione np. w dowolnym sąsiedztwie punktu
. Dlatego w jakiejś okolicy punktu
równanie to definiuje się jako niejawną funkcję dwóch zmiennych i . Wyraźne wyrażenie dla tej funkcji jest łatwe do uzyskania, rozwiązując równanie dla :

2) Rozważ równanie
. Definiuje dwie funkcje dwóch zmiennych i . Rzeczywiście, warunki twierdzenia są spełnione, na przykład w dowolnym sąsiedztwie punktu

, w którym dane równanie definiuje funkcję ciągłą, która przyjmuje wartość w punkcie
.

Z drugiej strony warunki twierdzenia są spełnione w dowolnym sąsiedztwie punktu
. Dlatego w pewnym sąsiedztwie punktu równanie definiuje funkcję ciągłą, która przyjmuje wartość w punkcie
.

Ponieważ funkcja nie może przyjmować dwóch wartości w jednym punkcie, oznacza to, że mówimy tutaj o dwóch różnych funkcjach.
i odpowiednio. Znajdźmy ich wyraźne wyrażenia. Aby to zrobić, rozwiązujemy pierwotne równanie względem . Otrzymać

3) Rozważ równanie
. Oczywiście warunki twierdzenia są spełnione w dowolnym sąsiedztwie punktu
. Dlatego jest takie sąsiedztwo punktu
, w którym równanie definiuje jako niejawną funkcję zmiennej . Nie jest możliwe uzyskanie wyraźnego wyrażenia dla tej funkcji, ponieważ równania nie można rozwiązać względem .

4) Równanie
nie definiuje żadnej funkcji niejawnej, ponieważ nie ma takich par liczb rzeczywistych, które ją spełniają.

Funkcjonować
, podane przez równanie
, zgodnie z Twierdzeniem 6.1, ma ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich argumentów w sąsiedztwie punktu. Dowiedzmy się, jak je znaleźć bez wyraźnej specyfikacji funkcji.

Niech funkcja
spełnia warunki Twierdzenia 6.1. Następnie równanie
funkcja ciągła
. Rozważ złożoną funkcję
, gdzie . Funkcja jest złożoną funkcją jednej zmiennej, a jeśli
, następnie

(6.1)

Z drugiej strony, zgodnie ze wzorem (5.3), aby obliczyć pochodną całkowitą
(6.2)

Z (6.1) i (6.2) otrzymujemy, że jeśli , to

(6.3)

Komentarz. Dzielić przez jest to możliwe, ponieważ zgodnie z twierdzeniem 6.1
w dowolnym miejscu w okolicy.

PRZYKŁAD. Znajdź pochodną funkcji uwikłanej podanej przez równanie i oblicz jej wartość w
.

,
.

Podstawiając pochodne cząstkowe do wzoru (6.3), otrzymujemy

.

Dalej, zastępując pierwotne równanie, znajdujemy dwie wartości:
oraz
.

Dlatego w sąsiedztwie punktu równanie definiuje dwie funkcje:
oraz
, gdzie
,
. Ich pochodne przy będą równe

oraz
.

Teraz niech równanie
definiuje w jakimś sąsiedztwie punktu
funkcja . Znajdźmy . Przypomnijmy, że w rzeczywistości jest to zwykła pochodna funkcji rozpatrywanej jako funkcja zmiennej o stałej wartości . Dlatego możemy zastosować formułę (6.3), aby ją znaleźć, uznając ją za funkcję, - argument, - stałą. Otrzymać

. (6.4)

Podobnie, biorąc pod uwagę funkcję, - argument, - stałą, zgodnie ze wzorem (6.3) znajdujemy

. (6.5)

PRZYKŁAD. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji podanej równaniem
.

,
,
.

Korzystając ze wzorów (6.4) i (6.5) otrzymujemy

,
.

Na koniec rozważmy ogólny przypadek, w którym równanie

definiuje funkcję zmiennych w pewnym sąsiedztwie punktu. Powtarzając rozumowanie przeprowadzone dla niejawnie danej funkcji dwóch zmiennych, otrzymujemy

,
, …,
.

§ 7. Pochodna kierunkowa

1. Pochodna kierunkowa.

Niech funkcja dwóch zmiennych będzie zdefiniowana w jakiejś dziedzinie
samolot
, jest punktem obszaru , jest wektorem w dowolnym kierunku. Chodźmy od punktu
do punktu w kierunku wektora . Funkcja zostanie następnie zwiększona

Dzielimy przyrost funkcji
o długość odsuniętego segmentu
. Otrzymany stosunek
daje średnią szybkość zmian funkcji na wykresie
. Wtedy granica tej relacji przy
(jeśli istnieje i jest skończona) będzie szybkością zmiany funkcji w punkcie
w kierunku wektora . Nazywa się pochodna funkcji w punkcie w kierunku wektora i oznacza
lub
.

Oprócz wartości szybkości zmian funkcji pozwala również określić charakter zmiany funkcji w punkcie w kierunku wektora (rosnąco lub malejąco):

Twierdzenia te są udowadniane w taki sam sposób, jak podobne twierdzenia dla funkcji jednej zmiennej.

Zauważ, że pochodne cząstkowe funkcji są szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej. Mianowicie,
jest pochodną funkcji względem kierunku wektora (kierunek osi
), jest pochodną funkcji względem kierunku wektora (kierunek osi
).

Załóżmy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie . Następnie

gdzie jest nieskończenie mały w
.

) wielokrotnie już spotkaliśmy się z pochodnymi cząstkowymi funkcji złożonych jak i trudniejszymi przykładami. Więc co jeszcze możesz powiedzieć? …I wszystko jest jak w życiu – nie ma takiej złożoności, która nie mogłaby być skomplikowana =) Ale matematyka jest po to, aby dopasować różnorodność naszego świata do ścisłych ram. A czasami można to zrobić jednym zdaniem:

Ogólnie funkcja złożona ma postać , gdzie, przynajmniej jeden liter to funkcjonować, który może zależeć od arbitralny liczba zmiennych.

Najmniejsza i najprostsza wersja to dobrze znana złożona funkcja jednej zmiennej, którego pochodna nauczyliśmy się znajdować w ostatnim semestrze. Posiadasz również umiejętności rozróżniania funkcji (spójrz na te same funkcje ) .

Tak więc teraz będziemy zainteresowani właśnie przypadkiem . Ze względu na dużą różnorodność złożonych funkcji, ogólne wzory ich pochodnych są bardzo kłopotliwe i słabo przyswajalne. W związku z tym ograniczę się do konkretnych przykładów, z których można zrozumieć ogólną zasadę znajdowania tych pochodnych:

Przykład 1

Biorąc pod uwagę złożoną funkcję , gdzie . Wymagany:
1) znajdź jej pochodną i zapisz różniczkę całkowitą pierwszego rzędu;
2) obliczyć wartość instrumentu pochodnego w godz.

Decyzja: Najpierw zajmijmy się samą funkcją. Oferujemy funkcję w zależności od i , która z kolei są funkcje jedna zmienna:

Po drugie, zwróćmy szczególną uwagę na samo zadanie – musimy znaleźć pochodna, to znaczy w ogóle nie mówimy o pochodnych cząstkowych, do których jesteśmy przyzwyczajeni! Ponieważ funkcja faktycznie zależy tylko od jednej zmiennej, to słowo „pochodna” oznacza całkowita pochodna. Jak to znaleźć?

Pierwsze, co przychodzi na myśl, to bezpośrednia substytucja i dalsze różnicowanie. Zastąpić w funkcję:
, po czym nie ma problemów z pożądaną pochodną:

I odpowiednio całkowita różnica:

To rozwiązanie jest matematycznie poprawne, ale mały niuans polega na tym, że gdy problem jest sformułowany w sposób, w jaki jest sformułowany, nikt nie oczekuje od ciebie takiego barbarzyństwa =) Ale poważnie, naprawdę możesz tu znaleźć wadę. Wyobraź sobie, że funkcja opisuje lot trzmiela, a zagnieżdżone funkcje zmieniają się w zależności od temperatury. Wykonywanie bezpośredniej substytucji , dostajemy tylko prywatna informacja, który charakteryzuje lot, powiedzmy, tylko w czasie upałów. Co więcej, jeśli osobie, która nie jest obeznana z trzmielami, przedstawi się gotowy wynik, a nawet powie, jaka to funkcja, to nie dowie się niczego o podstawowym prawie lotu!

I tak całkiem niespodziewanie nasz brzęczący brat pomógł uświadomić sobie znaczenie i wagę uniwersalnej formuły:

Przyzwyczaj się do „dwupiętrowej” notacji instrumentów pochodnych - w rozważanym zadaniu to właśnie one są w użyciu. Jednocześnie powinno być bardzo schludny w zapisie: derywaty ze znakiem bezpośrednim „de” są całkowite pochodne, a pochodne z zaokrąglonymi znakami to pochodne cząstkowe. Zacznijmy od tego ostatniego:

Cóż, ogólnie rzecz biorąc, „ogony” są elementarne:

Znalezione pochodne podstawiamy do naszego wzoru:

Kiedy funkcja jest początkowo proponowana w zawiły sposób, będzie ona logiczna (i wyjaśnione powyżej!) pozostaw wyniki bez zmian:

Jednocześnie w „wymyślnych” odpowiedziach lepiej powstrzymać się od nawet minimalnych uproszczeń. (tu na przykład błaga o usunięcie 3 minusów)- a ty masz mniej pracy do wykonania, a twój futrzany przyjaciel chętnie przyjrzy się temu zadaniu.

Jednak wstępna kontrola nie będzie zbyteczna. Zastąpić w znalezioną pochodną i przeprowadzić uproszczenia:


(w ostatnim kroku użyliśmy formuły trygonometryczne , )

W rezultacie uzyskano ten sam wynik, co przy „barbarzyńskiej” metodzie rozwiązania.

Obliczmy pochodną w punkcie . Po pierwsze, wygodnie jest poznać wartości „tranzytu” (wartości funkcji ) :

Teraz sporządzamy ostateczne obliczenia, które w tym przypadku można wykonać na różne sposoby. Stosuję ciekawą technikę, w której 3 i 4 „piętra” są uproszczone nie według zwykłe zasady i są przeliczane jako iloraz dwóch liczb:

I oczywiście grzechem jest nie sprawdzać za pomocą bardziej zwartej notacji :

Odpowiedź:

Zdarza się, że zadanie jest proponowane w formie „półogólnej”:

"Znajdź pochodną funkcji , gdzie »

Oznacza to, że funkcja „główna” nie jest podana, ale jej „wstawki” są dość specyficzne. Odpowiedź powinna być udzielona w tym samym stylu:

Ponadto warunek może być lekko zaszyfrowany:

„Znajdź pochodną funkcji »

W takim przypadku potrzebujesz na własną rękę oznaczają funkcje zagnieżdżone odpowiednimi literami, na przykład przez i użyj tej samej formuły:

Przy okazji, o oznaczeniach literowych. Wielokrotnie namawiałem, aby nie „trzymać się liter” jako koła ratunkowego, a teraz jest to szczególnie prawdziwe! Analizując różne źródła na ten temat, generalnie odniosłem wrażenie, że autorzy „zeszli z drogi” i zaczęli bezwzględnie rzucać uczniów w burzliwą otchłań matematyki =) Więc wybacz :))

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji , jeśli

Inne oznaczenia nie powinny wprowadzać w błąd! Za każdym razem, gdy natkniesz się na takie zadanie, musisz odpowiedzieć na dwa proste pytania:

1) Od czego zależy funkcja „główna”? W tym przypadku funkcja „z” zależy od dwóch funkcji („y” i „ve”).

2) Od jakich zmiennych zależą funkcje zagnieżdżone? W tym przypadku obie „wkładki” zależą tylko od „x”.

Dlatego nie powinieneś mieć trudności z dostosowaniem formuły do ​​tego zadania!

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Dodatkowe przykłady pierwszego rodzaju można znaleźć w książka problemów Riabuszka (IDZ 10.1), no to zmierzamy do funkcja trzech zmiennych :

Przykład 3

Biorąc pod uwagę funkcję gdzie .
Oblicz pochodną w punkcie

Wzór na pochodną funkcji złożonej, jak wielu się domyśla, ma pokrewną postać:

Zdecyduj, czy zgadłeś =)

Na wszelki wypadek podam ogólny wzór funkcji:
, chociaż w praktyce raczej nie zobaczysz niczego dłuższego niż przykład 3.

Ponadto czasami konieczne jest rozróżnienie wersji „skróconej” – z reguły też funkcją formy. Pozostawiam to pytanie do samodzielnego przestudiowania - wymyśl kilka prostych przykładów, pomyśl, eksperymentuj i wyprowadź skrócone formuły dla pochodnych.

Jeśli jest coś, czego nie rozumiesz, poświęć trochę czasu na ponowne przeczytanie i zrozumienie pierwszej części lekcji, ponieważ teraz zadanie stanie się trudniejsze:

Przykład 4

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji zespolonej , gdzie

Decyzja: ta funkcja ma postać , a po bezpośrednim podstawieniu otrzymujemy zwykłą funkcję dwóch zmiennych:

Ale taki strach nie jest czymś, co nie jest akceptowane, ale nawet nie chce się różnicować =) Dlatego użyjemy gotowych formuł. Abyś mógł szybko złapać wzór, zrobię kilka notatek:

Przyjrzyj się uważnie zdjęciu od góry do dołu i od lewej do prawej ....

Najpierw znajdźmy pochodne cząstkowe funkcji „głównej”:

Teraz znajdujemy pochodne „X” „wstawek”:

i napisz końcową pochodną „X”:

Podobnie z „grą”:

oraz

Możesz zastosować inny styl - od razu znajdź wszystkie "ogony" a następnie napisz oba pochodne.

Odpowiedź:

O zastępstwie jakoś w ogóle nie myślę =) =), ale wyniki można trochę przeczesać. Ale znowu, dlaczego? - tylko utrudnij nauczycielowi sprawdzenie.

Jeśli to konieczne, to całkowita różnica tutaj jest napisane według zwykłej formuły, a nawiasem mówiąc, właśnie na tym etapie odpowiednie stają się lekkie kosmetyki:


To jest… Trumna na kółkach.

Ze względu na popularność rozważanej odmiany funkcji złożonej, kilka zadań do samodzielnego rozwiązania. Prostszy przykład w formie "półogólnej" - dla zrozumienia samej formuły ;-):

Przykład 5

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji , gdzie

I trudniejsze - z połączeniem technik różnicowania:

Przykład 6

Znajdź pełną różniczkę funkcji , gdzie

Nie, w ogóle nie staram się "zsyłać cię na dno" - wszystkie przykłady pochodzą z prawdziwej pracy, a "na pełnym morzu" możesz natknąć się na dowolne litery. W każdym razie musisz przeanalizować funkcję (po udzieleniu odpowiedzi na 2 pytania - patrz wyżej), przedstaw go w formie ogólnej i ostrożnie modyfikuj wzory pochodnych cząstkowych. Możesz być teraz trochę zdezorientowany, ale zrozumiesz samą zasadę ich projektowania! Bo prawdziwa praca dopiero się zaczyna :)

Przykład 7

Znajdź pochodne cząstkowe i skomponuj różniczkę zupełną funkcji zespolonej
, gdzie

Decyzja: funkcja "main" ma postać i nadal zależy od dwóch zmiennych - "x" i "y". Jednak w porównaniu z przykładem 4 dodano jeszcze jedną funkcję zagnieżdżoną, w związku z czym wzory na pochodne cząstkowe również zostały wydłużone. Tak jak w tym przykładzie, dla lepszej wizji wzoru, wyróżnię różne kolory „głównych” pochodnych cząstkowych:

I znowu - uważnie przestudiuj zapis od góry do dołu i od lewej do prawej.

Ponieważ problem jest sformułowany w formie „półogólnej”, cała nasza praca ogranicza się zasadniczo do znalezienia pochodnych cząstkowych funkcji zagnieżdżonych:

Pierwsza równiarka zrobi:

I nawet pełny dyferencjał okazał się całkiem niezły:

Celowo nie oferowałem Ci żadnej konkretnej funkcji - aby niepotrzebne stosy nie przeszkadzały w dobrym zrozumieniu pojęcia problemu.

Odpowiedź:

Dość często można znaleźć „różne” inwestycje, na przykład:

Tutaj funkcja „main”, choć ma postać , nadal zależy zarówno od „x”, jak i „y”. Dlatego działają te same formuły - tylko niektóre pochodne cząstkowe będą równe zeru. Co więcej, dotyczy to również funkcji takich jak , w którym każda „wstawka” zależy od jednej zmiennej.

Podobna sytuacja ma miejsce w dwóch końcowych przykładach lekcji:

Przykład 8

Znajdź całkowitą różniczkę funkcji złożonej w punkcie

Decyzja: warunek jest sformułowany w sposób „budżetowy”, a funkcje zagnieżdżone musimy sami wyznaczyć. Myślę, że to dobry wybór:

W „wstawkach” znajdują się ( UWAGA!) TRZY litery to stare dobre „x-y-z”, co oznacza, że ​​funkcja „główna” w rzeczywistości zależy od trzech zmiennych. Można go formalnie przepisać jako , a pochodne cząstkowe w tym przypadku określa się następującymi wzorami:

Skanujemy, zagłębiamy się, łapiemy....

W naszym zadaniu: