Zestaw jest zamknięty pod operacją. Zbiory otwarte i zamknięte Rodzaje zbiorów na linii rzeczywistej

Język angielski: Wikipedia zwiększa bezpieczeństwo witryny. Używasz starej przeglądarki internetowej, która w przyszłości nie będzie mogła połączyć się z Wikipedią. Zaktualizuj swoje urządzenie lub skontaktuj się z administratorem IT.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 ， 这 在 将来 无法 连接 维基百科。 更新 的 的 或 或 您 的 的 管理员。 提供 更 长 ， 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Cześć

Hiszpański: Wikipedia jest haciendo el sitio mas seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay unaaktualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

francuski: Wikipedia va bientôt zwiększa witrynę bezpieczeństwa. Korzystaj z aktualnej nawigacji internetowej, aby uzyskać więcej informacji na temat łącznika z Wikipedii w języku angielskim. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations suplementaires plus systems et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます。 ご 利用 の は バージョン が 古く 、 今後 、 接続 でき なく なく なる 可能 性 が ます デバイス を する 、 、 管理 管理 者 ご ください。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Niemiecki: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Włoski: Wikipedia prezentuje najbardziej aktualne miejsce. Korzystaj z przeglądarki internetowej, która nie jest w stanie połączyć się z Wikipedią w przyszłości. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Najnowsza aktualizacja jest dostępna najbardziej szczegółowo i technika w języku angielskim.

madziarski: Biztonságosabb lesz w Wikipedii. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdadnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Szwecja: Wikipedia jest najważniejsza. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Usuwamy obsługę niezabezpieczonych wersji protokołu TLS, w szczególności TLSv1.0 i TLSv1.1, na których opiera się Twoja przeglądarka, aby łączyć się z naszymi witrynami. Jest to zwykle spowodowane nieaktualnymi przeglądarkami lub starszymi smartfonami z Androidem. Może to być również ingerencja ze strony firmowego lub osobistego oprogramowania „Web Security”, które w rzeczywistości obniża poziom bezpieczeństwa połączenia.

Aby uzyskać dostęp do naszych witryn, musisz zaktualizować przeglądarkę internetową lub w inny sposób rozwiązać ten problem. Ta wiadomość pozostanie do 1 stycznia 2020 r. Po tej dacie Twoja przeglądarka nie będzie mogła nawiązać połączenia z naszymi serwerami.

Zestawy otwarte i zamknięte

Załącznik 1 . Zestawy otwarte i zamknięte

Pęczek M na linii prostej nazywa się otwarty, jeśli każdy z jego punktów jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym przedziałem. Zamknięte nazywamy zbiorem zawierającym wszystkie jego punkty graniczne (tj. takim, że każdy przedział zawierający ten punkt przecina się ze zbiorem co najmniej o jeden punkt więcej). Na przykład segment jest zbiorem domkniętym, ale nie jest otwarty, a przedział, przeciwnie, jest zbiorem otwartym, ale nie jest domknięty. Są zestawy, które nie są ani otwarte, ani zamknięte (na przykład pół-interwał). Istnieją dwa zestawy, które są jednocześnie zamknięte i otwarte - to jest puste i wszystko Z(udowodnij, że nie ma innych). Łatwo to zauważyć, jeśli M otwórz, a następnie [` M] (lub Z \ M- dodatek do zestawu M zanim Z) zamknięte. Rzeczywiście, jeśli [` M] nie jest zamknięty, to nie zawiera niektórych swoich punktów granicznych m. Ale wtedy m O M, a każdy przedział zawiera m, przecina się ze zbiorem [` M], tj. ma punkt, który nie leży w M, co zaprzecza faktowi, że M- otwarty. Podobnie, również bezpośrednio z definicji, dowodzi się, że jeśli M zamknięte, a następnie [` M] otwarte (sprawdź!).

Udowodnimy teraz następujące ważne twierdzenie.

Twierdzenie. Dowolny otwarty zestaw M można przedstawić jako sumę przedziałów z wymiernymi końcami (to znaczy z końcami w punktach wymiernych).

Dowód . Rozważ związek U wszystkie przedziały o końcach wymiernych, które są podzbiorami naszego zbioru. Udowodnijmy, że to połączenie pokrywa się z całym zestawem. Rzeczywiście, jeśli m- punkt od M, to jest interwał ( m 1 , m 2) M M, zawierający m(wynika to z faktu, że M- otwarty). Możliwe jest znalezienie punktu wymiernego na dowolnym przedziale. Pozwól ( m 1 , m) - Ten m 3 , w dniu ( m, m 2) jest m 4 . Następnie punkt m objęte unią U, czyli przedział ( m 3 , m 4). W ten sposób udowodniliśmy, że każdy punkt m od M objęte unią U. Co więcej, jak wynika z konstrukcji U, brak punktu nie zawartego w M, nie przykryte U. Znaczy, U oraz M dopasować.

Ważną konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że każdy otwarty zbiór jest policzalnyłączenie interwałów.

Nigdzie gęste zbiory i zbiory miar~zero. Zestaw Cantora>

Załącznik 2 . Nigdzie gęste zbiory i zbiory miary zero. Zbiór Cantora

Pęczek A nazywa nigdzie ciasno, jeśli dla innych punktów a oraz b jest segment [ c, d] M [ a, b], nie przecinające się z A. Na przykład zbiór punktów w sekwencji a n = [ 1/(n)] nigdzie nie jest gęsty, ale zbiór liczb wymiernych nie jest.

Twierdzenie Baera. Segment nie może być reprezentowany jako przeliczalna suma zbiorów nigdzie gęstych.

Dowód . Załóżmy, że istnieje sekwencja A k nigdzie gęste zbiory takie, że i A i = [a, b]. Skonstruujmy następującą sekwencję segmentów. Zostawiać I 1 to jakiś segment zagnieżdżony w [ a, b] i nie przecinające się z A jeden . Z definicji zbiór nigdzie gęsty na interwale I 1 jest odcinek, który nie przecina się ze zbiorem A 2. Nazwijmy to I 2. Dalej na odcinku I 2 weź w podobny sposób segment I 3, nie przecinające się z A 3 itd. Sekwencja I k segmenty zagnieżdżone mają wspólny punkt (jest to jedna z podstawowych własności liczb rzeczywistych). Ten punkt z założenia nie leży w żadnym z zestawów A k, więc te zestawy nie obejmują całego segmentu [ a, b].

Nazwijmy zestaw M mając miarę zero, jeśli dla dowolnego dodatniego e istnieje ciąg I k przedziały o całkowitej długości mniejszej niż e, obejmujące M. Oczywiście każdy zbiór policzalny ma miarę zero. Jednak istnieją również niepoliczalne zbiory, które mają miarę zero. Zbudujmy jeden taki, bardzo dobrze znany, zwany Cantorem.

Zróbmy cięcie. Podzielmy to na trzy równe części. Wyrzuć środkowy segment (ryc. 11, a). Będą dwa odcinki o całkowitej długości [ 2/3]. Z każdym z nich wykonamy dokładnie tę samą operację (ryc. 11, b). Będą cztery odcinki o całkowitej długości [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Idąc dalej (ryc. 11, w–mi) do nieskończoności otrzymujemy zbiór, który ma miarę mniejszą niż dowolna miara dodatnia, tj. miara zero. Można ustalić zależność jeden do jednego między punktami tego zbioru a nieskończonymi ciągami zer i jedynek. Jeśli podczas pierwszego „wyrzucenia” nasz punkt wpadł w prawy segment, na początku ciągu wstawiamy 1, jeśli w lewym – 0 (rys. 11, a). Dalej po pierwszym „wyrzuceniu” otrzymujemy małą kopię dużego segmentu, z którym robimy to samo: jeśli nasz punkt po wyrzuceniu wpadł w prawy segment, stawiamy 1, jeśli w lewy – 0, itp. (sprawdź wzajemną wyjątkowość) , ryż. jedenaście, b, w. Ponieważ zbiór ciągów zer i jedynek ma moc kontinuum, zbiór Cantora ma również moc kontinuum. Co więcej, łatwo udowodnić, że nigdzie nie jest gęsty. Jednak nie jest prawdą, że ma ścisłą miarę zero (patrz definicja ścisłej miary). Idea dowodu tego faktu jest następująca: weź sekwencję a n, bardzo szybko dążąc do zera. W tym celu na przykład sekwencja a n = [ 1/(2 2 n)]. Następnie udowadniamy, że ta sekwencja nie może obejmować zbioru Cantora (zrób to!).

Załącznik 3 . Zadania

Operacje na zbiorach

Zestawy A oraz B nazywa równy jeśli każdy element zestawu A należy do zestawu B, i wzajemnie. Przeznaczenie: A = B.

Pęczek A nazywa podzbiór zestawy B jeśli każdy element zestawu A należy do zestawu B. Przeznaczenie: A M B.

1. Dla każdego z poniższych dwóch zestawów wskaż, czy jeden jest podzbiorem drugiego:

2. Udowodnij, że zestaw A wtedy i tylko wtedy jest podzbiorem zbioru B kiedy każdy element nie przynależy B, nie należy A.

3. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B oraz C

a) A M A; b) jeśli A M B oraz B M C, następnie A M C;

w) A = B, wtedy i tylko wtedy gdy A M B oraz B M A.

Zestaw nazywa się pusty jeśli nie zawiera żadnych elementów. Oznaczenie: Zh.

4. Ile elementów ma każdy z poniższych zestawów:

5. Ile podzbiorów ma zbiór trzech elementów?

6. Czy zestaw może mieć dokładnie a) 0; b*) 7; c) 16 podzbiorów?

Stowarzyszenie zestawy A oraz B x, Co x O A lub x O B. Przeznaczenie: A I B.

przejście zestawy A oraz B nazywa się zestawem składającym się z takich x, Co x O A oraz x O B. Przeznaczenie: A W B.

różnica zestawy A oraz B nazywa się zestawem składającym się z takich x, Co x O A oraz x P B. Przeznaczenie: A \ B.

7. Zestawy są podane A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Znajdź zestawy:

8. Zostawiać A jest zbiorem liczb parzystych, a B jest zbiorem liczb podzielnym przez 3. Znajdź A W B.

9. Udowodnij to dla dowolnych zestawów A, B, C

a) A I B = B I A, A W B = B W A;

b) A ORAZ ( B I C) = (A I B)ORAZ C, A Z ( B W C) = (A W B)Z C;

w) A Z ( B I C) = (A W B)ORAZ ( A W C), A ORAZ ( B W C) = (A I B)Z ( A I C);

G) A \ (B I C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B W C) = (A \ B)ORAZ ( A \ C).

10. Czy to prawda, że ​​dla każdego zestawu? A, B, C

Ustaw mapowania

Jeśli każdy element x zestawy X mapowane na dokładnie jeden element f(x) zestawy Y, to mówią, że dane wyświetlacz f od wielu X w tłum Y. W tym samym czasie, jeśli f(x) = tak, to element tak nazywa sposób element x po wyświetleniu f i element x nazywa prototyp element tak po wyświetleniu f. Przeznaczenie: f: X ® Y.

11. Narysuj wszystkie możliwe mapowania ze zbioru (7,8,9) do zbioru (0,1).

Zostawiać f: X ® Y, tak O Y, A M X, B M Y. Pełny podgląd elementu tak po wyświetleniu f nazywa się zestawem ( x O X | f(x) = tak). Przeznaczenie: f - 1 (tak). Obraz zestawu A M X po wyświetleniu f nazywa się zestawem ( f(x) | x O A). Przeznaczenie: f(A). Prototyp zestawu B M Y nazywa się zestawem ( x O X | f(x) O B). Przeznaczenie: f - 1 (B).

12. Wystawić f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18) podane przez obrazek, znajdź f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

13. Zostawiać f: X ® Y, A 1 , A 2 mln X, B 1 , B 2 mln Y. Czy to zawsze prawda?

a) f(X) = Y;

b) f - 1 (Y) = X;

w) f(A 1 i A 2) = f(A 1) I f(A 2);

G) f(A 1 Z A 2) = f(A 1)Z f(A 2);

mi) f - 1 (B 1 i B 2) = f - 1 (B 1) I f - 1 (B 2);

mi) f - 1 (B 1 Z B 2) = f - 1 (B 1)Z f - 1 (B 2);

g) jeśli f(A 1M f(A 2), to A 1M A 2 ;

h, jeżeli f - 1 (B 1M f - 1 (B 2), to B 1M B 2 ?

Kompozycja mapowania f: X ® Y oraz g: Y ® Z nazywa się mapowaniem, które odwzorowuje element x zestawy X element g(f(x)) zestawy Z. Przeznaczenie: g° f.

14. Udowodnij, że dla dowolnych mapowań f: X ® Y, g: Y ® Z oraz h: Z ® W wykonuje się następujące czynności: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Zostawiać f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – odwzorowania pokazane na rysunku:

Narysuj obrazki dla następujących wyświetlaczy:

a) g° f; b) h° g; w) f° h° g; G) g° h° f.

Wyświetlacz f: X ® Y nazywa bijektyw jeśli dla każdego tak O Y jest dokładnie jeden x O X takie, że f(x) = tak.

16. Zostawiać f: X ® Y, g: Y ® Z. Czy to prawda, że ​​jeśli f oraz g są bijektywne, więc g° f bijektywnie?

17. Zostawiać f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), to odwzorowania pokazane na rysunku:

18. Dla każdego z dwóch poniższych zestawów sprawdź, czy istnieje bijekcja od pierwszego do drugiego (załóżmy, że zero jest liczbą naturalną):

a) zbiór liczb naturalnych;

b) zbiór parzystych liczb naturalnych;

c) zbiór liczb naturalnych bez liczby 3.

przestrzeń metryczna nazwany zestawem X z danym metryczny r : X× X ® Z

1) " x,tak O X r( x,tak) ja 0 i r ( x,tak) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = tak (nienegatywność ); 2) " x,tak O X r( x,tak) = r ( tak,x) (symetria ); 3) " x,tak,z O X r( x,tak) + r ( tak,z) i r ( x,z) (nierówność trójkąta ). 19 19. X

a) X = Z, r ( x,tak) = | x - tak| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,tak 1),(x 2 ,tak 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (tak 1 - tak 2) 2 };

w) X = C[a,ba,b] Funkcje,

otwarty(odpowiednio, Zamknięte) kula promienia r w kosmosie X wyśrodkowany na punkcie x nazywa się zestawem U r (x) = {tak O x:r( x,tak) < r) (odpowiednio, B r (x) = {tak O X:r( x,tak) Ј r}).

punkt wewnętrzny zestawy U M X U

otwarty sąsiedztwo ten punkt.

punkt graniczny zestawy F M X F.

Zamknięte

20. Udowodnij to

21. Udowodnij to

b) ustaw związek A zamknięcie A

Wyświetlacz f: X ® Y nazywa ciągły

22.

23. Udowodnij to

F (x) = inf tak O F r( x,tak

F.

24. Zostawiać f: X ® Y– . Czy to prawda, że ​​jego odwrotność jest ciągła?

Ciągłe mapowanie jeden do jednego f: X ® Y homeomorfizm. spacje X, Yhomeomorficzny.

25.

26. Dla jakich par X, Y f: X ® Y, który nie skleja się punkty (tj. f(x) № f(tak) w x № tak inwestycje)?

27*. lokalny homeomorfizm(tj. każdy punkt x samolot i f(x) torusa, są sąsiedztwa U oraz V, Co f mapy homeomorficznie U na V).

Przestrzenie metryczne i odwzorowania ciągłe

przestrzeń metryczna nazwany zestawem X z danym metryczny r : X× X ® Z, spełniające następujące aksjomaty:

1) " x,tak O X r( x,tak) ja 0 i r ( x,tak) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = tak (nienegatywność ); 2) " x,tak O X r( x,tak) = r ( tak,x) (symetria ); 3) " x,tak,z O X r( x,tak) + r ( tak,z) i r ( x,z) (nierówność trójkąta ). 28. Udowodnij, że następujące pary ( X,r ) to przestrzenie metryczne:

a) X = Z, r ( x,tak) = | x - tak| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,tak 1),(x 2 ,tak 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (tak 1 - tak 2) 2 };

w) X = C[a,b] jest zbiorem ciągłych na [ a,b] Funkcje,

otwarty(odpowiednio, Zamknięte) kula promienia r w kosmosie X wyśrodkowany na punkcie x nazywa się zestawem U r (x) = {tak O x:r( x,tak) < r) (odpowiednio, B r (x) = {tak O X:r( x,tak) Ј r}).

punkt wewnętrzny zestawy U M X jest punktem zawartym w U wraz z kulką o niezerowym promieniu.

Zbiór, którego wszystkie punkty są wnętrzem, nazywa się otwarty. Otwarty zbiór zawierający dany punkt nazywa się sąsiedztwo ten punkt.

punkt graniczny zestawy F M X punkt nazywany jest takim, w każdym sąsiedztwie którego jest nieskończenie wiele punktów zbioru F.

Zbiór zawierający wszystkie swoje punkty graniczne nazywa się Zamknięte(porównaj tę definicję z definicją podaną w załączniku 1).

29. Udowodnij to

a) zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zamknięte;

b) zamknięta jest suma skończona i przeliczalne przecięcie zbiorów zamkniętych;

c) suma przeliczalna i skończone przecięcie zbiorów otwartych są otwarte.

30. Udowodnij to

a) zbiór punktów granicznych dowolnego zbioru jest zbiorem zamkniętym;

b) ustaw związek A oraz zbiór jego punktów granicznych ( zamknięcie A) jest zbiorem zamkniętym.

Wyświetlacz f: X ® Y nazywa ciągły jeśli przedobraz każdego otwartego zestawu jest otwarty.

31. Wykazać, że definicja ta jest zgodna z definicją ciągłości funkcji na linii.

32. Udowodnij to

a) odległość do zbioru r F (x) = inf tak O F r( x,tak) jest funkcją ciągłą;

b) zbiór zer funkcji punktu a) pokrywa się z domknięciem F.

33. Zostawiać f: X ® Y

Ciągłe mapowanie jeden do jednego f: X ® Y, którego odwrotność jest również ciągła, nazywa się homeomorfizm. spacje X, Y, dla których takie odwzorowanie istnieje, to homeomorficzny.

34. Dla każdej pary następujących zestawów określ, czy są one homeomorficzne:

35. Dla jakich par X, Y przestrzenie z poprzedniego zadania jest ciągła mapa f: X ® Y, który nie skleja się punkty (tj. f(x) № f(tak) w x № tak Takie wyświetlacze nazywają się inwestycje)?

36*. Pomyśl o ciągłym mapowaniu płaszczyzna-torus, które byłoby: lokalny homeomorfizm(tj. każdy punkt x samolot i f(x) torusa, są sąsiedztwa U oraz V, Co f mapy homeomorficznie U na V).

Kompletność. twierdzenie Baera

Zostawiać X jest przestrzenią metryczną. Podciąg x n jego elementy nazywają się fundamentalny, jeśli

37. Udowodnij, że ciąg zbieżny ma fundamentalne znaczenie. Czy odwrotność jest prawdziwa?

Przestrzeń metryczna nazywa się kompletny jeśli każda podstawowa sekwencja zbiega się w nim.

38. Czy to prawda, że ​​przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią kompletną jest kompletna?

39. Wykazać, że zamknięta podprzestrzeń przestrzeni kompletnej jest sama w sobie zupełna; zamknięta jest w nim zupełna podprzestrzeń dowolnej przestrzeni.

40. Udowodnij, że w pełnej przestrzeni metrycznej ciąg zagnieżdżonych kulek zamkniętych o promieniach dążących do zera ma wspólny element.

41. Czy w poprzednim zadaniu można usunąć warunek zupełności przestrzeni lub promieni kul dążących do zera?

Wyświetlacz f przestrzeń metryczna X samo w sobie nazywa się ściskający, jeśli

42. Udowodnij, że odwzorowanie skurczu jest ciągłe.

43. a) Udowodnij, że odwzorowanie skurczu całej przestrzeni metrycznej na samą siebie ma dokładnie jeden ustalony punkt.

b) Mapa Rosji w skali 1:20 000 000 umieszczona jest na mapie Rosji w skali 1:5 000 000. Wykazać, że istnieje punkt, którego obrazy na obu mapach pokrywają się.

44*. Czy istnieje niepełna przestrzeń metryczna, w której stwierdzenie problemu jest prawdziwe, co?

Podzbiór przestrzeni metrycznej nazywa się wszędzie gęste jeśli jego zamknięcie pokrywa się z całą przestrzenią; nigdzie ciasno– jeśli jego zamknięcie nie zawiera niepustych podzbiorów otwartych (porównaj tę definicję z definicją podaną w dodatku 2).

45. a) Niech a, b, a , b О Z oraz a < a < b < b. Wykazać, że zbiór funkcji ciągłych na [ a,b], które są monotoniczne na , nie są nigdzie gęste w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na [ a,b] o jednolitej metryce.

b) Niech a, b, c, e O Z oraz a < b, c> 0, e > 0. Wtedy zbiór funkcji ciągłych na [ a,b], taki, że

46. (Uogólnione twierdzenie Baire'a .) Udowodnij, że pełna przestrzeń metryczna nie może być reprezentowana jako suma policzalnej liczby zbiorów nigdzie gęstych.

47. Wykazać, że zbiór funkcji ciągłych, niemonotonicznych na dowolnym niepustym przedziale i nigdzie nieróżniczkowalnych określonych na przedziale jest wszędzie gęsty w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych o jednolitej metryce.

48*. Zostawiać f jest różniczkowalną funkcją na segmencie . Udowodnij, że jego pochodna jest ciągła na gęstym zbiorze punktów. Ta definicja Lebesgue mierzy zero. Jeśli policzalna liczba przedziałów zostanie zastąpiona przez skończoną, to otrzymamy definicję Jordańczyk mierzy zero.

Wykażmy teraz pewne szczególne własności zbiorów zamkniętych i otwartych.

Twierdzenie 1. Suma skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Iloczynem skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiór otwarty,

Rozważ sumę skończonej lub przeliczalnej liczby otwartych zbiorów:

Jeżeli , to P należy do co najmniej jednego ze zbiorów Niech Ponieważ jest zbiorem otwartym, to pewne sąsiedztwo zbioru P również należy do tego samego otoczenia P również należy do sumy g, z czego wynika, że ​​g jest zbiorem otwartym. Zastanów się teraz nad produktem końcowym

i niech P należy do g. Udowodnijmy, jak wyżej, że pewne sąsiedztwo P należy do g. Ponieważ P należy do g, to P należy do wszystkich . Ponieważ są zbiorami otwartymi, to dla każdego istnieje pewne sąsiedztwo punktu należącego do . Jeżeli przyjmie się liczbę równą najmniejszej z liczby, która jest skończona, to sąsiedztwo punktu P będzie należeć do wszystkich, a w konsekwencji do g. Zauważ, że nie można twierdzić, że iloczyn policzalnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Twierdzenie 2. Zbiór CF jest otwarty, a zbiór CO jest zamknięty.

Udowodnijmy pierwsze twierdzenie. Niech P należy do CF. Należy wykazać, że niektóre sąsiedztwo P należy do CF. Wynika to z faktu, że gdyby w dowolnym sąsiedztwie P znajdowały się punkty F, to punkt P, który nie należy do warunku, byłby punktem granicznym dla F i ze względu na swoje zamknięcie musiałby należeć, co prowadzi do sprzeczność.

Twierdzenie 3. Iloczynem skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiór domknięty. Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Udowodnijmy na przykład, że zbiór

Zamknięte. Przechodząc do dodatkowych zestawów możemy pisać

Według twierdzenia zbiory otwarte, a według Twierdzenia 1 zbiór jest również otwarty, a zatem zbiór komplementarny g jest domknięty. Zauważ, że suma policzalnej liczby zbiorów domkniętych może być także zbiorem niezamkniętym.

Twierdzenie 4. Zbiór jest zbiorem otwartym i domkniętym.

Łatwo sprawdzić następujące równości:

Z nich, na mocy poprzednich twierdzeń, wynika Twierdzenie 4.

Powiemy, że zbiór g jest objęty systemem M pewnych zbiorów, jeśli każdy punkt g jest zawarty w przynajmniej jednym ze zbiorów systemu M.

Twierdzenie 5 (borel). Jeśli domknięty zbiór ograniczony F jest objęty nieskończonym systemem zbiorów otwartych O, to z tego nieskończonego systemu można wydobyć skończoną liczbę zbiorów otwartych, które również pokrywają F.

Udowadniamy to twierdzenie odwrotnie. Załóżmy, że żadna skończona liczba zbiorów otwartych z układu a nie obejmuje i sprowadźmy to do sprzeczności. Ponieważ F jest zbiorem ograniczonym, to wszystkie punkty F należą do pewnego skończonego dwuwymiarowego przedziału . Podzielmy ten zamknięty przedział na cztery równe części, dzieląc przedziały na pół. Każdy z uzyskanych czterech interwałów zostanie zamknięty. Te punkty F, które leżą na jednym z tych czterech przedziałów domkniętych, będą, na mocy Twierdzenia 2, reprezentować zbiór domknięty i przynajmniej jeden z tych zbiorów domkniętych nie może być objęty skończoną liczbą zbiorów otwartych z systemu a. Bierzemy jeden z powyższych czterech zamkniętych przedziałów, w których zachodzi ta okoliczność. Ponownie dzielimy ten przedział na cztery równe części i argumentujemy w taki sam sposób, jak powyżej. W ten sposób otrzymujemy układ przedziałów zagnieżdżonych, z których każdy następny jest czwartą częścią poprzedniego i zachodzi następująca okoliczność: zbiór punktów F należących do dowolnego k nie może być objęty skończoną liczbą zbiorów otwartych z systemu Przy nieskończonym wzroście k luki kurczą się w nieskończoność do pewnego punktu P, który należy do wszystkich luk. Ponieważ dla dowolnego k zawierają one niepoliczalny zbiór punktów, punkt P jest punktem granicznym i dlatego należy do F, ponieważ F jest zbiorem domkniętym. W ten sposób punkt P jest objęty jakimś zbiorem otwartym należącym do układu a. Pewne sąsiedztwo punktu P również będzie należeć do zbioru otwartego O. Dla dostatecznie dużych wartości k, przedziały D będą leżeć wewnątrz powyższego sąsiedztwa punktu P. Tym samym zostaną one całkowicie pokryte tylko jednym zbiór otwarty O systemu a, a to przeczy faktowi, że punkty należące do dowolnego k nie mogą być objęte skończoną liczbą zbiorów otwartych należących do a. W ten sposób twierdzenie jest udowodnione.

Twierdzenie 6. Zbiór otwarty można przedstawić jako sumę policzalnej liczby półotwartych przerw w parach bez punktów wspólnych.

Przypomnijmy, że szczelina półotwarta w płaszczyźnie jest szczeliną skończoną określoną przez nierówności formy .

Nałóżmy na płaszczyznę siatkę kwadratów o bokach równoległych do osi i długości boku równej jeden. Zbiór tych kwadratów jest zbiorem policzalnym. Wybieramy z tych kwadratów te kwadraty, których wszystkie punkty należą do danego otwartego zbioru O. Liczba takich kwadratów może być skończona lub policzalna, albo może wcale nie być takich kwadratów. Każdy z pozostałych kwadratów siatki dzielimy na cztery identyczne kwadraty i z nowo otrzymanych kwadratów ponownie wybieramy te, których wszystkie punkty należą do O. Ponownie dzielimy każdy z pozostałych kwadratów na cztery równe części i wybieramy te kwadraty, których wszystkie punkty należą do O itd. Pokażmy, że dowolny punkt P zbioru O wpadnie do jednego z wybranych kwadratów, z których wszystkie należą do O. Istotnie, niech d będzie dodatnią odległością od P do granicy O. Kiedy dojdziemy do kwadratów, których przekątna jest mniejsza niż , możemy oczywiście stwierdzić, że punkt P już wpadł do kwadratu, którego wszystkie objętości należą do O. Jeśli wybrane kwadraty są uważane za półotwarte, to nie będą miały pary punkty wspólne i twierdzenie jest udowodnione. Liczba wybranych kwadratów będzie z konieczności policzalna, ponieważ skończona suma półotwartych przerw oczywiście nie jest zbiorem otwartym. Oznaczając przez DL te półotwarte kwadraty, które otrzymaliśmy w wyniku powyższej konstrukcji, możemy napisać

Niech dane będą dwa zbiory X i Y, pokrywające się lub nie.

Definicja. Zbiór uporządkowanych par elementów, z których pierwszy należy do X, a drugi do Y, nazywa się Iloczyn kartezjański zbiorów i jest oznaczony.

Przykład. Zostawiać
,
, następnie

.

Jeśli
,
, następnie
.

Przykład. Zostawiać
, gdzie R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. Następnie
jest zbiorem wszystkich kartezjańskich współrzędnych punktów na płaszczyźnie.

Przykład. Zostawiać
jest pewną rodziną zbiorów, to iloczyn kartezjański tych zbiorów jest zbiorem wszystkich uporządkowanych ciągów o długości n:

Jeśli następnie. Przedmioty z
są wektorami wierszowymi o długości n.

Struktury algebraiczne z jedną operacją binarną

1 Binarne operacje algebraiczne

Zostawiać
jest arbitralnym zbiorem skończonym lub nieskończonym.

Definicja. dwójkowy algebraiczny operacja ( wewnętrzne prawo składu) na
nazywa się arbitralnym, ale ustalonym odwzorowaniem kwadratu kartezjańskiego
w
, tj.

(1)

(2)

Tak więc każda zamówiona para

. Fakt, że
, jest napisane symbolicznie jako
.

Z reguły operacje binarne oznaczane są symbolami
itp. Jak poprzednio, operacja
oznacza „dodawanie”, a operacja „” oznacza „mnożenie”. Różnią się one formą zapisu i być może aksjomatami, co będzie jasne z kontekstu. Wyrażenie
zostanie nazwany produktem i
- suma elementów oraz .

Definicja. Pęczek
nazywana jest zamknięta w ramach operacji jeśli dla dowolnego .

Przykład. Rozważ zbiór nieujemnych liczb całkowitych
. Jako operacje binarne na
rozważymy zwykłe operacje dodawania
i mnożenia. Następnie zestawy
,
zostanie zamknięta w ramach tych operacji.

Komentarz. Jak wynika z definicji, przypisanie działania algebraicznego * on
, jest równoznaczne z domkością zbioru
dotyczące tej operacji. Jeśli okaże się, że zestaw
nie jest domknięta względem podanej operacji *, to w tym przypadku mówimy, że operacja * nie jest algebraiczna. Na przykład operacja odejmowania na zbiorze liczb naturalnych nie jest algebraiczna.

Zostawiać
oraz
dwa zestawy.

Definicja. Prawo zewnętrzne kompozycje na planie nazywa się mapowaniem

, (3)

tych. prawo, zgodnie z którym każdy element
i dowolny element
element jest przypisany
. Fakt, że
, oznaczony symbolem
lub
.

Przykład. Mnożenie macierzy
za liczbę
jest zewnętrznym prawem kompozycji na planie
. Mnożenie liczb w
można uznać zarówno za wewnętrzne prawo kompozycji, jak i za zewnętrzne.

dystrybucyjny w odniesieniu do wewnętrznego prawa składu * in
, jeśli

Zewnętrzne prawo kompozycji nazywa się dystrybucyjny ze względu na wewnętrzne prawo składania * w Y, jeśli

Przykład. Mnożenie macierzy
za liczbę
jest rozdzielczy zarówno względem dodawania macierzy, jak i względem dodawania liczb, ponieważ,.

1. Właściwości operacji binarnych

Binarne działanie algebraiczne  na zbiorze
nazywa:

Komentarz. Właściwości przemienności i asocjatywności są niezależne.

Przykład. Rozważmy zbiór liczb całkowitych . Operacja wł. zdefiniuj zgodnie z regułą
. Wybierzmy liczby
i wykonaj operację na tych numerach:

tych. Operacja  jest przemienna, ale nie asocjacyjna.

Przykład. Rozważ zestaw
są kwadratowymi macierzami wymiaru
z rzeczywistymi współczynnikami. Jako operacja binarna * on
Rozważmy operacje mnożenia macierzy. Zostawiać
, następnie
, ale
, tj. operacja mnożenia na zbiorze macierzy kwadratowych jest asocjacyjna, ale nie przemienna.

Definicja. Element
nazywa pojedynczy lub neutralny dotyczące danej operacji  wł.
, jeśli

Lemat. Jeśli jest elementem tożsamości zbioru
zamknięty w ramach operacji *, wtedy jest wyjątkowy.

Dowód . Zostawiać jest elementem tożsamości zbioru
, zamknięte w ramach operacji *. Załóżmy, że w
jest jeszcze jeden element
, następnie
, jak jest pojedynczym elementem i
, jak jest pojedynczym elementem. Stąd,
jest jedynym elementem tożsamościowym zbioru
.

Definicja. Element
nazywa odwrócić lub symetryczny do żywiołu
, jeśli

Przykład. Rozważmy zbiór liczb całkowitych z operacją dodawania
. Element
, to element symetryczny
będzie element
. Naprawdę,.

Jednym z głównych zadań teorii zbiorów punktów jest badanie właściwości różnych typów zbiorów punktów. Zapoznajmy się z tą teorią na dwóch przykładach i przestudiujmy własności tzw. zbiorów zamkniętych i otwartych.

Zestaw nazywa się Zamknięte jeśli zawiera wszystkie swoje punkty graniczne. Jeśli zestaw nie ma punktów granicznych, to jest również uważany za zamknięty. Oprócz punktów granicznych zbiór zamknięty może zawierać również punkty izolowane. Zestaw nazywa się otwarty jeśli każdy z jego punktów jest w nim wewnętrzny.

Przynieśmy przykłady zestawów zamkniętych i otwartych .

Każdy segment jest zbiorem domkniętym, a każdy przedział (a, b) jest zbiorem otwartym. Niewłaściwe półodstępy i Zamknięte, oraz niewłaściwe interwały i otwarty. Cała linia jest zarówno zestawem zamkniętym, jak i otwartym. Wygodnie jest myśleć o pustym zestawie jako jednocześnie zamkniętym i otwartym. Każdy skończony zbiór punktów na linii jest zamknięty, ponieważ nie ma punktów granicznych.

Zestaw składający się z punktów:

Zamknięte; ten zbiór ma pojedynczy punkt graniczny x=0, który należy do zbioru.

Głównym zadaniem jest sprawdzenie, jak działa dowolny zbiór zamknięty lub otwarty. W tym celu potrzebujemy szeregu faktów pomocniczych, które przyjmiemy bez dowodu.

• 1. Przecięcie dowolnej liczby zamkniętych zbiorów jest zamknięte.
• 2. Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
• 3. Jeżeli zbiór domknięty jest ograniczony od góry, to zawiera jego ograniczenie górne. Podobnie, jeśli zamknięty zbiór jest ograniczony poniżej, to zawiera jego dolną granicę.

Niech E będzie dowolnym zbiorem punktów na prostej. Dopełnieniem zbioru E nazywamy i oznaczamy przez CE zbiór wszystkich punktów na prostej, które nie należą do zbioru E. Jasne jest, że jeśli x jest punktem zewnętrznym dla E, to jest to punkt wewnętrzny dla zbioru E. ustaw CE i odwrotnie.

4. Jeżeli zbiór F jest domknięty, to jego uzupełnienie CF jest otwarte i odwrotnie.

Twierdzenie 4 pokazuje, że istnieje bardzo ścisły związek między zbiorami zamkniętymi i otwartymi: jeden jest dopełnieniem drugiego. Z tego powodu wystarczy przestudiować tylko jeden zbiór zamknięty lub jeden otwarty. Znajomość własności zbiorów jednego typu pozwala od razu poznać własności zbiorów innego typu. Na przykład, dowolny zbiór otwarty jest uzyskiwany przez usunięcie jakiegoś zbioru zamkniętego z linii.

Przechodzimy do badania właściwości zbiorów zamkniętych. Wprowadzamy jedną definicję. Niech F będzie zbiorem domkniętym. Przedział (a, b) o własności, że żaden z jego punktów nie należy do zbioru F, a punkty a i b należą do F, nazywamy sąsiednim przedziałem zbioru F.

Do sąsiednich przedziałów zaliczymy również przedziały niewłaściwe lub, jeśli punkt a lub punkt b należy do zbioru F, a same przedziały nie przecinają się z F. Pokażmy, że jeśli punkt x nie należy do zbioru domkniętego F, to należy do jednego z sąsiednich przedziałów.

Oznaczmy częścią zbioru F znajdującą się na prawo od punktu x. Ponieważ sam punkt x nie należy do zbioru F, można go przedstawić w postaci przecięcia:

Każdy ze zbiorów F i jest zamknięty. Dlatego według Propozycji 1 zbiór jest zamknięty. Jeżeli zbiór jest pusty, to cały półprzedział nie należy do zbioru F. Załóżmy teraz, że zbiór nie jest pusty. Ponieważ ten zbiór leży całkowicie w połowie przedziału, jest ograniczony od dołu. Oznacz przez b jego dolną granicę. Zgodnie z propozycją 3, co oznacza: Ponadto, ponieważ b jest do końca zbioru, to półprzedział (x, b) leżący na lewo od punktu b nie zawiera punktów zbioru, a zatem nie zawiera punktów zbioru F. , skonstruowaliśmy półprzedział (x, b), który nie zawiera punktów ze zbioru F i albo punkt b należy do zbioru F. Podobnie półprzedział (a, x) jest konstruowany, nie zawiera punktów zbioru F i albo, albo. Teraz jest jasne, że przedział (a, b) zawiera punkt x i jest sąsiednim przedziałem zbioru F. Łatwo zauważyć, że jeśli i są dwoma sąsiadującymi przedziałami zbioru F, to te przedziały albo pokrywają się, albo są nie przecinają się.

Z powyższego wynika, że ​​dowolny zbiór domknięty na prostej uzyskuje się przez usunięcie z prostej pewnej liczby przedziałów, mianowicie sąsiednich przedziałów zbioru F. Ponieważ każdy przedział zawiera przynajmniej jeden punkt wymierny, a wszystkie punkty wymierne na linie są zbiorem policzalnym, łatwo jest upewnić się, że liczba wszystkich sąsiednich przedziałów jest co najwyżej policzalna. Stąd otrzymujemy ostateczny wniosek. Każdy zamknięty zbiór na linii jest uzyskiwany przez usunięcie z linii co najwyżej policzalnego zbioru rozłącznych przedziałów.

Według Twierdzenia 4, to od razu sugeruje, że każdy otwarty zbiór na linii jest co najwyżej policzalną sumą rozłącznych przedziałów. Na mocy Propozycji 1 i 2 jasne jest również, że każdy zestaw ułożony jak wskazano powyżej jest rzeczywiście zamknięty (otwarty).

Jak widać na poniższym przykładzie, zbiory zamknięte mogą mieć bardzo złożoną strukturę.