Jak obliczyć drugą pochodną funkcji w programie Excel. Różnicowanie numeryczne w Excelu
Różnicowanie graficzne rozpoczyna się od wykreślenia wykresu funkcji dla danych wartości. W badaniu eksperymentalnym taki wykres uzyskuje się za pomocą urządzeń samorejestrujących. Następnie styczne są rysowane do krzywej w ustalonych pozycjach, a wartości pochodnej są obliczane w odniesieniu do stycznej kąta utworzonego przez styczną do osi odciętej.
Na ryc. 5.8, a pokazano krzywą uzyskaną eksperymentalnie na instalacji (rys. 5.6). Wyznaczenie przyspieszenia kątowego (pożądanej funkcji) odbywa się poprzez graficzne zróżnicowanie według stosunku:
(5.19)
Tangens nachylenia stycznej do krzywej w pewnym punkcie i są reprezentowane jako stosunek odcinków , gdzie W celu- wybrany segment integracji (rys. 5.8, b)
Po podstawieniu tej relacji do relacji (5.19) otrzymujemy
gdzie jest rzędną wykresu roszczenia przyspieszenia kątowego;
Skala żądanego wykresu; Jednostki SI: = mm; \u003d mm / (rad z -2).
Wykres funkcji budowany jest według znalezionych wartości rzędnych dla kilku pozycji. Punkty na krzywej łączymy ręcznie delikatną linią, a następnie zakreślamy wzorem.
Graficzne zróżnicowanie rozważaną metodą stycznych ma stosunkowo małą dokładność. Większą dokładność uzyskuje się dzięki graficznemu zróżnicowaniu metodą cięciwową (rys. 5.8, w oraz G).
 |
Na danej krzywej zaznaczonych jest kilka punktów 1 ", 2 ", 3" , które są połączone akordami, tj. zastąpić daną krzywą linią przerywaną. Przyjmuje się następujące założenie: kąt pochylenia stycznych w punktach znajdujących się w środku każdego odcinka łuku jest równy kątowi pochylenia odpowiedniego cięciwy. Założenie to wprowadza pewien błąd, ale dotyczy tylko tego punktu. Błędy te nie są sumowane, co zapewnia akceptowalną dokładność metody.
Pozostałe konstrukcje są podobne do opisanych wcześniej dla różnicowania graficznego metodą stycznych. Wybierz segment (mm); wiązki przewodzące nachylone pod kątem 
do przecięcia z osią y w punktach 1
", 2
", 3
„… , które są przenoszone na rzędne narysowane w środku każdego z przedziałów. Wynikowe punkty 1
*, 2
*, 3
* są punktami pożądanej funkcji 
.
Skale wzdłuż osi współrzędnych z tą metodą konstrukcji są powiązane tą samą relacją (5.21), która została wyprowadzona dla przypadku graficznego zróżnicowania metodą stycznych.
Różnicowanie funkcji f(x), podany (lub obliczony) jako tablica liczb, jest wykonywany metodą różniczkowania numerycznego za pomocą komputera.
Im mniejszy krok w tablicy liczb, tym dokładniej można obliczyć wartość pochodnej funkcji w tym przedziale
Wiele problemów inżynierskich wymaga często obliczania pochodnych. Gdy istnieje wzór opisujący proces, nie ma trudności: bierzemy wzór i obliczamy pochodną, tak jak uczyliśmy w szkole, znajdujemy wartości pochodnej w różnych punktach i to wszystko. Być może trudność polega tylko na tym, aby pamiętać, jak obliczać pochodne. Ale co, jeśli mamy tylko kilkaset lub tysiące wierszy danych i nie ma formuły? W większości przypadków tak właśnie dzieje się w praktyce. Oferuję dwa sposoby.
Po pierwsze, aproksymujemy nasz zbiór punktów za pomocą standardowej funkcji Excela, czyli wybieramy funkcję, która najlepiej pasuje do naszych punktów (w Excelu jest to funkcja liniowa, logarytmiczna, wykładnicza, wielomianowa i potęgowa). Drugi sposób to różniczkowanie numeryczne, do którego potrzebna będzie nam jedynie umiejętność wprowadzania formuł.
Przypomnij sobie ogólnie, czym jest pochodna:
Pochodna funkcji f(x) w punkcie x jest granicą stosunku przyrostu Δf funkcji w punkcie x do przyrostu Δx argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera:
Wykorzystajmy więc tę wiedzę: po prostu weźmiemy bardzo małe wartości przyrostu argumentu do obliczenia pochodnej, tj. x.
Aby znaleźć przybliżoną wartość pochodnej w potrzebnych nam punktach (a nasze punkty są różnymi wartościami stopnia odkształcenia ε), można wykonać następujące czynności. Przyjrzyjmy się jeszcze raz definicji pochodnej i zobaczmy, że używając małych przyrostów argumentu Δε (czyli małych przyrostów stopnia odkształcenia, które są rejestrowane podczas testowania), możemy zastąpić wartość pochodnej rzeczywistej w punkcie x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) do stosunku Δy / Δx \u003d (f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx.
Oznacza to, że dzieje się tak:
f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx (1)
Aby obliczyć tę pochodną w każdym punkcie, wykonujemy obliczenia z wykorzystaniem dwóch sąsiadujących ze sobą punktów: pierwszego o współrzędnej ε 0 wzdłuż osi poziomej, a drugiego o współrzędnej x 0 + Δx, tj. jeden - pochodna, w której obliczamy i ta, która jest bardziej poprawna. Obliczona w ten sposób pochodna nazywa się pochodna różnicowa w prawo (do przodu) z krokiemΔ x.
Możemy zrobić odwrotnie, biorąc pozostałe dwa sąsiednie punkty: x 0 - Δx i x 0, czyli ten, który nas interesuje i ten po lewej stronie. Otrzymujemy wzór do obliczania pochodna różnicy w lewo (tył) z krokiem -Δ x.
f'(x 0) ≈(f (x 0) - f (x 0 - Δx)) / Δx (2)
Poprzednie formuły były „w lewo” i „w prawo”, a jest jeszcze inna formuła, która pozwala obliczyć pochodna różnicy centralnej z krokiem 2 Δx, a które najczęściej używane do różniczkowania liczbowego:
f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0 - Δx)) / 2Δx (3)
Aby sprawdzić wzór, rozważ prosty przykład ze znaną funkcją y=x 3 . Zbudujemy tabelę w Excelu z dwiema kolumnami: x i y, a następnie zbudujemy wykres z dostępnych punktów.
Pochodną funkcji y=x 3 jest y=3x 2 , której wykres, tj. parabolę, którą musimy uzyskać za pomocą naszych formuł.
Spróbujmy obliczyć wartości pochodnej różnicy centralnej w punktach x. Dla tego. W komórce drugiego rzędu naszej tabeli wypełniamy naszą formułę (3), tj. następująca formuła w Excelu:
Teraz budujemy wykres wykorzystując już istniejące wartości x oraz uzyskane wartości pochodnej różnicy centralnej:
A oto nasza mała czerwona parabola! Więc formuła działa!
Cóż, teraz możemy przejść do konkretnego problemu inżynierskiego, który został omówiony na początku artykułu - do znalezienia zmiany dσ/dε wraz ze wzrostem odkształcenia. Pierwsza pochodna krzywej „naprężenie-odkształcenie” σ=f (ε) w literaturze zagranicznej nazywana jest „szybkością utwardzania” (szybkość utwardzania odkształcenia), a u nas „współczynnikiem utwardzania”. Tak więc w wyniku testów mamy tablicę danych, która składa się z dwóch kolumn: jednej z wartościami odkształcenia ε i drugiej z wartościami naprężeń σ w MPa. Weźmy odkształcenie na zimno stali 1035 lub naszego 40G (patrz tabela analogów stali) w temperaturze 20°C.
| C | Mn | P | S | Si | N |
| 0.36 | 0.69 | 0.025 | 0.032 | 0.27 | 0.004 |
Oto nasza krzywa we współrzędnych "naprężenie rzeczywiste - odkształcenie rzeczywiste" σ-ε:
Postępujemy tak samo jak w poprzednim przykładzie i otrzymujemy następującą krzywą:
Jest to zmiana szybkości twardnienia w trakcie odkształcania. Co z tym zrobić to osobne pytanie.
Oprócz formatowania elementów pola komórki, wierszy i kolumn często przydatne jest korzystanie z wielu arkuszy programu Excel. Aby uporządkować i wyszukać informacje w księdze, wygodnie jest nadać tytułom arkuszy nazwy własne, odzwierciedlające ich treść semantyczną. Na przykład „dane początkowe”, „wyniki obliczeń”, „wykresy” itp. Wygodnie jest to zrobić za pomocą menu kontekstowe. Naciśnij prawy przycisk myszy na karcie arkusza, Zmień nazwę arkusza i kliknij
Aby dodać jeden lub więcej nowych arkuszy, wybierz Arkusz z menu Wstaw. Aby wstawić kilka arkuszy naraz, wybierz zakładki dla wymaganej liczby arkuszy, przytrzymując
Przydatną operacją przy przesuwaniu arkuszy jest chwycenie zakładki arkusza lewym przyciskiem myszy i przeniesienie jej w wybrane miejsce. Jeśli w tym samym czasie naciśniesz
Zadanie 7 . Zmień format całej komórki B2 na: czcionka - Arial 11; lokalizacja - pośrodku, wzdłuż dolnej krawędzi; jedno słowo w wierszu; format liczb – „0.00”; granica komórki - podwójna linia
2.3. Wbudowane funkcje
Excel zawiera ponad 150 wbudowanych funkcji upraszczających obliczenia i przetwarzanie danych. Przykład zawartości komórki z funkcją: =B2+SIN(C7) , gdzie B2 i C7 to adresy komórek zawierających liczby, a SIN() to nazwa funkcji. Najczęściej używane funkcje Excela:
SQRT(25) = 5 – Oblicza pierwiastek kwadratowy z (25) RADIANÓW(30) = 0.5 – Konwertuje 30 stopni na radiany INT(8,7) = 8 – Zaokrągla w dół do najbliższej liczby całkowitej MOD(-3;2) = 1 - pozostawia resztę z dzielenia liczby (-3) przez
dzielnik(2). Wynik ma znak dzielnika. JEŻELI(E4>0,2;”dodatkowy”;”błąd”)- jeśli liczba w komórce E4 jest mniejsza niż 0,2,
wtedy Excel zwraca "dodatkowe" (prawda), w przeciwnym razie - "błąd" (fałsz).
W formule funkcje można zagnieżdżać w sobie, ale nie więcej niż 8 razy.
Podczas korzystania z funkcji najważniejsze jest zdefiniowanie samej funkcji i jej argumentu. Jako argument z reguły wskazany jest adres komórki, w której zapisywane są informacje.
Możesz zdefiniować funkcję, wpisując tekst (ikony, liczby itp.) w żądanej komórce lub użyj Kreator funkcji. Tutaj dla wygody wyszukiwania wszystkie funkcje zostały podzielone na kategorie: matematyczne, statystyczne, logiczne i inne. W każdej kategorii są sortowane alfabetycznie.
Kreator funkcji wywoływane przez polecenie menu Wstaw, funkcja
lub naciskając ikonę (f x ). W pierwszym oknie, które się pojawi Kreatora funkcji (rys. 4), definiujemy Kategorię i nazwę konkretnej funkcji, klikamy
Ryż. 4. Widok okna Kreatora funkcji
Ryż. 5. Okno do ustawiania argumentów wybranej funkcji
Zadanie 8. Znajdź średnią wartość szeregu liczb: 2,5; 2,9; 1,8; 3.4; 6,1;
1,0; 4,4.
Decyzja . W komórkach wpisujemy liczby, na przykład C2:C8. Wybierz komórkę C9, w której wpisujemy funkcję = ŚREDNIA (C2: C8), naciśnij
Zadanie 9. Korzystając z warunkowej funkcji logicznej JEŻELI, utwórz wzór na zmianę nazwy liczb nieparzystych na „jesień”, liczby parzyste - „wiosna”.
Decyzja . Wybieramy kolumnę do wprowadzenia danych początkowych - liczby parzyste (nieparzyste), na przykład A . W komórce B3 wpisz formułę =JEŻELI(MOD(A3;2)=0;"waga","oś"). Kopiując komórkę B3 wzdłuż kolumny B, otrzymujemy wyniki analizy liczb zapisanych w kolumnie A. Wyniki rozwiązania problemu przedstawiono na ryc. 6.
Ryż. 6. Rozwiązanie problemu nr 9
Zadanie 10. Oblicz wartość funkcji y = x3 + sinx - 4ex dla x = 1,58.
Decyzja . Umieśćmy dane w komórkach A2 - x, B2 -y. Rozwiązanie problemu pokazano na rys. 7 w postaci liczbowej po lewej stronie i w postaci wzoru po prawej stronie. Przy rozwiązywaniu tego problemu należy zwrócić uwagę na wywołanie funkcji SIN i wykładnika w celu wprowadzenia argumentu (patrz rys. 8).
Rys.7. Rozwiązanie problemu nr 10
Rys.8. Okna do wpisania argumentu funkcji SIN i EXP
Zadanie 11 . Zrób matematyczny model problemu w Excelu, aby obliczyć funkcję y= 1/ ((x- 3) (x+ 4)), dla wartości x= 3 i y= -4, wyświetl „nieokreślony”, numeryczny wartości funkcji - w pozostałych przypadkach.
Zadanie 12 . Zrób matematyczny model problemu w Excelu: 12.1. do obliczeń z pierwiastkami
a) √x3y2z/√xz; b) (z z) 2 ; c) 3 x2 3 √ x ; d) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1
12.2. do obliczeń geometrycznych a) wyznacz kąty trójkąta prostokątnego, jeśli x jest nogą, y jest przeciwprostokątną;
b) wyznaczyć odległość między dwoma punktami w kartezjańskim układzie współrzędnych XYZ ze wzoru
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) wyznaczyć odległość od punktu (x 0 ,y 0 ) do prostej a x + b y + c = 0 ze wzoru
d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )
d) wyznaczyć pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków za pomocą wzoru
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Rozwiązywanie problemów za pomocą formuł i funkcji
W rzeczywistości istnieje wiele zadań, które można z powodzeniem rozwiązać za pomocą formuł i funkcji Excela. Rozważ zadania, które w praktyce najczęściej rozwiązuje się za pomocą arkuszy kalkulacyjnych: równania liniowe i ich układy, obliczanie wartości liczbowych pochodnych i całek oznaczonych.
Pochodną funkcji y = f(x) jest stosunek jej przyrostu ∆y do odpowiedniego przyrostu ∆x argumentu, gdy
∆x→ 0
y = f (x + x) − f (x)
Problem .13 . Znajdź pochodną funkcji y = 2x 3 + x 2 w punkcie x=3 .
Decyzja. Pochodna obliczona metodą analityczną wynosi 60 . Pochodną obliczymy w Excelu ze wzoru (1). Aby to zrobić, wykonaj następującą sekwencję czynności:
· Narysujmy zapis kolumn: Х – argumenty funkcji, Y – wartości funkcji, Y ` – pochodna funkcji (rys. 9).
· Tabelujemy funkcję w sąsiedztwie punktu x \u003d 3 małym krokiem, na przykład 0,001, wyniki wprowadza się w kolumnie X.
Ryż. 9. Tabela obliczania pochodnej funkcji
· W komórce B2 wprowadź wzór do obliczenia funkcji =2*A2^3+A2^2 .
· Skopiuj formułę do wiersza 7 otrzymujemy wartości funkcji na tabulatorach argumentu.
· W komórce C2 wprowadź wzór obliczania pochodnej =(B3-B2)/ (A3-A2) .
· Skopiuj formułę do wiersza 6 , otrzymujemy wartości pochodnych na tabulatorach argumentu.
Dla wartości x = 3 pochodna funkcji jest równa wartości 60,019, która jest zbliżona do wartości obliczonej analitycznie.
metoda trapezowa. W metodzie trapezowej obszar integracji dzieli się na segmenty z pewnym krokiem, a obszar pod wykresem funkcji na każdym segmencie jest uważany za równy obszarowi trapezu. Formuła obliczeniowa przybiera następującą postać
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 ja = 0 |
|
gdzie h= (b-a)/N jest krokiem podziału; N to liczba punktów podziału.
Aby poprawić dokładność, liczba punktów podziału jest podwojona, całka jest obliczana ponownie. Podział pierwotnego przedziału jest zatrzymywany po osiągnięciu wymaganej dokładności:
integralną, wykonaj następujące czynności:
– wybierz N= 5, w komórce F2 obliczyć h-krok przegrody (rys. 10);
Ryż. 10. Obliczanie całki oznaczonej
· W pierwszej kolumnie I zapisujemy numer przedziału i;
· W komórce B2 wpisz formułę =3*(2+F2*A2)^2, aby obliczyć pierwszy człon formuły (2);
· W komórce C2 wpisz formułę =3*(2+F2*(A2+1))^2, aby obliczyć drugi termin;
· „Rozciągnij” komórki z włączonymi formułami 4 rzędy w dół kolumny;
Piszemy formułę w komórce C7 i obliczamy sumę warunków,
W komórce C8 zapisujemy wzór i obliczamy SN pożądaną wartość całki oznaczonej 19,02 (wartość SN uzyskana analitycznie
19).
Zadanie. 15. Oblicz całkę oznaczoną:
1. Y = ∫ 2 x d x |
2. Y = ∫ 2 x3 dx |
−1 |
|
2 pi |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
Y = |
Y = |
||||||||||||||
3x − 2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||
Y = ∫ cos |
Y = |
||||||||||||||
x 2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Rozwiązywanie równań liniowych
Równania liniowe w Excelu można rozwiązać za pomocą funkcji Wybór parametrów. Przy wyborze parametru wartość komórki (parametru) wpływającej zmienia się, aż formuła zależna od tej komórki zwróci określoną wartość.
Rozważ procedurę wyszukiwania parametru na prostym przykładzie rozwiązania równania liniowego z jedną niewiadomą.
Zadanie 16 . Rozwiąż równanie 10 x - 10 / x = 15 .
Decyzja. Dla żądanej wartości parametru - x wybierz komórkę A3. Wprowadźmy do tej komórki dowolną liczbę, która leży w obszarze definicji funkcji (w naszym przykładzie ta liczba nie może być równa zero). Niech będzie 3 . Ta wartość będzie używana jako wartość początkowa. W komórce, na przykład B3, zgodnie z powyższym równaniem wprowadź formułę =10*A3-10/A3. W wyniku serii obliczeń z wykorzystaniem tego wzoru zostanie wybrana pożądana wartość parametru. Teraz w menu Narzędzia, wybierając polecenie Wybór parametrów, uruchom funkcję wyszukiwania parametrów (rys. 11, a). Wprowadźmy parametry wyszukiwania:
· W terenie Ustaw w komórce wprowadźmy bezwzględne odwołanie do komórki $B$3 zawierającej formułę.
· W polu Wartość wprowadź żądany wynik 15 .
· W terenie Zmiana wartości komórki wprowadź link do komórki A3 zawierającej wybraną wartość i kliknij
Pod koniec funkcji Wybór parametrów na ekranie pojawi się okno Wynik wyboru parametrów W jakim będą wyświetlane wyniki wyszukiwania. Znaleziony parametr 2.000025 pojawi się w komórce A3, która została dla niego zarezerwowana.
Zwróć uwagę, że w naszym przykładzie równanie ma dwa rozwiązania, a parametr jest wybrany tylko jeden. Dzieje się tak, ponieważ parametr jest zmieniany tylko do momentu zwrócenia wymaganej wartości. Pierwszy znaleziony w ten sposób argument jest zwracany do nas jako wynik wyszukiwania. Jeśli jak
W naszym przykładzie podaj wartość początkową -3, wtedy zostanie znalezione drugie rozwiązanie równania: -0.5.
Rys.11. Rozwiązanie równania: a - dane wejściowe, b - wynik rozwiązania
Zadanie 17. Rozwiąż równania |
||||
5x/ 9- 8= 747x/ 12 |
(2x+ 2)/ 0,5= 6x |
|||
0,5 (2x- 1)+x/3= 1/6 |
7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1 |
|||
Układ liniowy |
równania |
można rozwiązać za pomocą różnych |
||
sposoby: podstawienie, dodawanie i odejmowanie równań, korzystanie z macierzy. Rozważ metodę rozwiązywania kanonicznego układu równań liniowych (3) za pomocą macierzy.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 y + b2 =0
Wiadomo, że układ równań liniowych w reprezentacji macierzowej zapisany jest jako:
gdzie A to macierz współczynników, X to wektor - kolumna niewiadomych,
B jest wektorem kolumnowym wolnych członków. Rozwiązanie takiego systemu
jest napisane w formie
X=A-1B,
gdzie A -1 jest macierzą odwrotną względem A . Wynika to z faktu, że przy rozwiązywaniu równań macierzowych dla X macierz jednostkowa E powinna pozostać. Mnożąc od lewej obie strony równania AX = B przez A -1, otrzymujemy rozwiązanie liniowego układu równań.
Zadanie 18. Rozwiąż układ równań liniowych
Decyzja. Dla danego układu równań liniowych wartości odpowiedniej macierzy i wektora kolumnowego mają postać:
Aby rozwiązać problem, wykonaj następujące czynności:
· A2:B3 i zapisz w nim elementy macierzy A.
· Wybierz blok komórek, na przykład C2:C3 i zapisz do niej elementy macierzy B.
· Wybierz blok komórek, na przykład D2:D3 umieścić wynik rozwiązania układu równań.
W komórce D2 wprowadź formułę = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).
Biblioteka Excel w sekcji funkcji matematycznych zawiera funkcje do wykonywania operacji na macierzach. W szczególności są to funkcje:
Parametrami tych funkcji mogą być odwołania do tablic zawierających wartości macierzy lub nazwy i wyrażenia zakresów.
Na przykład MOBR (A1: B2) lub MOBR (macierz_1).
Poinformuj program Excel, że operacja jest wykonywana na tablicach, naciskając kombinację klawiszy
4. Rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych
Wiele problemów prognozowania, projektowania i produkcji sprowadza się do szerokiej klasy problemów optymalizacyjnych. Takimi zadaniami są na przykład: maksymalizacja produkcji towarów z ograniczeniami dotyczącymi surowców do produkcji tych towarów; personel w celu osiągnięcia najlepszych wyników przy najniższych kosztach; minimalizacja kosztów transportu towarów; osiągnięcie określonej jakości stopu; określenie wymiarów określonego pojemnika, biorąc pod uwagę koszt materiału, aby osiągnąć maksymalną objętość; różny
problemy obejmujące zmienne losowe oraz inne problemy związane z optymalną alokacją zasobów i optymalnym projektowaniem.
Tego rodzaju problemy można rozwiązać w programie EXCEL za pomocą narzędzia Solver, które znajduje się w menu Narzędzia. Sformułowanie takich problemów może być układem równań z kilkoma niewiadomymi i zbiorem ograniczeń rozwiązań. Dlatego rozwiązanie problemu należy rozpocząć od zbudowania odpowiedniego modelu. Przyjrzyjmy się tym poleceniom na przykładzie.
Zadanie 20. Załóżmy, że decydujemy się na wyprodukowanie dwóch typów soczewek A i B. Soczewka typu A składa się z 3 elementów soczewki, typ B - z 4. W ciągu tygodnia można wyprodukować nie więcej niż 1800 soczewek. Montaż soczewki typu A zajmuje 15 minut, soczewki typu B 30 minut. Tydzień pracy dla 4 pracowników to 160 godzin. Ile soczewek A i B trzeba wykonać, aby uzyskać maksymalny zysk, jeśli soczewka typu A kosztuje 3500 rubli, a typu B - 4800 rubli.
Decyzja. Aby rozwiązać ten problem, należy skompilować i wypełnić tabelę zgodnie z ryc. 12:
· Zmień nazwę komórki B2 w x , liczba soczewek widokowych A.
· Zmieńmy legalnie nazwę komórki B3 na y .
funkcja docelowa Zysk = 3500*x+4800*y wpisz w komórce B5. · Koszty kompletacji wynoszą =3*x+4*y wprowadź w komórce B7.
· Koszty czasu wynoszą =0,25*x+0,5*y wprowadź w komórce B8.
Nazwać |
|||
kompletny zestaw |
|||
Koszt w czasie |
|||
Rys.12. Wypełnianie tabeli danymi początkowymi
· Wybierz komórkę B5 i wybierz menu Dane, a następnie aktywuj polecenie Wyszukaj rozwiązanie. Wypełnijmy komórki tego okna zgodnie z Rys.13.
· Naciskać<Выполнить >; jeśli wszystko zostanie zrobione poprawnie, rozwiązanie będzie takie, jak podano poniżej.
Przykład 3: Za pomocą autofiltra wybierz uczniów uczących się w grupie nr 5433 o nazwisku zaczynającym się na literę C.
Sekwencjonowanie
1. Skopiuj bazę danych (rys. 30) do arkusza 3.
2. Nazwisko.
3. Wybierz pozycję z listyFiltry tekstu → Filtr niestandardowy. W wyświetlonym oknie Autofiltr niestandardowy wybierz kryterium wyboru zaczyna się od , w polu obok wpisz żądaną literę (sprawdź, czy układ jest w języku rosyjskim). Wciśnij OK.
4. Otwórz listę rozwijaną w kolumnie numer grupy.
5. Wybierz żądany numer.
Filtrowanie rekordów w bazie danych z zaawansowanym filtrem
Zaawansowany filtr umożliwia wyszukiwanie wierszy przy użyciu bardziej złożonych kryteriów niż niestandardowe autofiltry. Filtr zaawansowany wykorzystuje przedział kryteriów do filtrowania danych.
W przypadku korzystania z filtru zaawansowanego nazwy kolumn, w których określone są warunki, są kopiowane poniżej tabeli źródłowej. Kryteria wyboru wprowadza się pod nazwami kolumn. Po zastosowaniu filtru na ekranie mogą być wyświetlane tylko te wiersze, które spełniają określone kryteria, a przefiltrowane dane można skopiować do innego arkusza lub do innego obszaru tego samego arkusza.
Przykład 4: Wybierz wszystkich uczniów z grupy nr 5433, których GPA jest większe lub równe 4,5.
Sekwencjonowanie
1. Skopiuj bazę danych (rys. 30) do arkusza 4.
2. Kopiuj nazwy kolumn Numer grupy i średni wynik
do obszaru pod oryginalną tabelą. Wprowadź wymagane kryteria wyboru pod nazwami kolumn (rys. 32)
Ryż. 32. Okno Excela z zaawansowanym filtrem
2. Na karcie Dane na pasku narzędzi Sortuj
i filtruj wybierz Zaawansowane. Pojawi się okno dialogowe (Rysunek 33), w którym określone są zakresy danych.
Ryż. 33. Zaawansowane okno filtrów
W polu wprowadzania oryginalny zakres określa interwał zawierający źródłową bazę danych. W naszym przypadku wybrany jest zakres komórek od A1 do I9.
W polu wprowadzania Zakres warunków zaznaczony jest przedział komórek w arkuszu, który zawiera wymagane kryteria (C12:D13).
W polu wejściowym Umieść wynik w zakresie wskazuje przedział, w którym kopiowane są wiersze spełniające kryteria
teorie. W naszym przypadku komórka jest wskazana pod obszarem kryteriów, na przykład A16. To pole jest dostępne tylko wtedy, gdy zaznaczony jest przycisk radiowy. Skopiuj wynik do innej lokalizacji.
Pole wyboru Tylko unikalne rekordy jest przeznaczony do wyświetlania tylko niepowtarzających się wierszy.
Wynikową tabelę spełniającą kryteria filtrowania przedstawiono na ryc. 34.
Ryż. 34. Okno Excela z filtrowaniem wyników
1. Stwórz własną bazę danych, w której liczba rekordów musi wynosić co najmniej 15, a liczba kolumn co najmniej 6. Np. baza danych Lista klientów (rys. 35).
2. Zastosuj trzy autofiltry do bazy danych (na osobnych arkuszach). Liczba kryteriów musi wynosić co najmniej dwa.
3. Zastosuj trzy zaawansowane filtry do rekordów bazy danych, z których każdy zawiera co najmniej dwa kryteria. Umieść wszystkie zaawansowane filtry na jednym arkuszu pod oryginalną tabelą.
Ryż. 35. Okno Excela z bazą danych Lista klientów
LABORATORIUM # 5
Różniczkowanie numeryczne i prosta analiza funkcji
Cel pracy: Zbadaj funkcję do ekstremum, naucz się wyznaczać punkt krytyczny.
Z toku matematyki wiadomo, że wzór na pochodną w ogólności wygląda tak:
f "(x)= lim |
||
∆x0 |
||
gdzie Δx jest przyrostem argumentu; x to liczba zmierzająca do zera. Za pomocą pochodnej można wyznaczyć punkty krytyczne funkcji - minima, maksima lub odmiany. Jeżeli wartość pochodnej funkcji przy pewnej wartości x jest równa zeru, to przy tej wartości x funkcja ma punkt krytyczny.
Przykład 1: Funkcja f x = x 2 + 2x 3 jest zdefiniowana w przedziale x 5;5. Zbadaj zachowanie funkcji f(x) .
Sekwencjonowanie
1. Niech Δx = 0,00001. W komórce A1 wpisz: šDx=Ÿ (rys. 36). Wybierz literę D, kliknij prawym przyciskiem myszy wybraną literę, wybierz Formatuj komórki. Na karcie Czcionka wybierz czcionkę Symbol. Litera D stanie się grecką literą ѓў. Wyrównanie w komórce można wykonać w prawo. W komórce B1 wprowadź wartość 0,00001.
2. W komórkach od A2 do F2 ułóż nagłówek tabeli, jak pokazano na ryc. 36.
3. Kolumna A , zaczynając od trzeciego wiersza, będzie zawierać wartości x. W komórkach od A3 do A13 wprowadź wartości od -5 do 5.
4. W komórce B3 wpisz formułę =A3^2+2*A3-3 i rozwiń ją do końcowej wartości x (do 13. wiersza).
5. Aby wyznaczyć pochodną funkcji i obliczyć jej wartości w zadanym przedziale, konieczne jest wykonanie pośredniego
dokładne obliczenia. W komórce C3 wprowadź formułę sumy argumentu x i jego przyrostu Δx. Formuła to: =A3+$B$1 . Rozciągnij jego wartość do końcowej wartości argumentu x .
Ryż. 36. Okno Excela z badaniem zachowania funkcji
6. W komórce D3 wpisz formułę =C3^2+2*C3-3 , która oblicza wartość funkcji f z argumentu x Δx . Rozciągnij wynikową wartość do wartości końcowej argumentu.
7. W komórce E3 wpisz formułę pochodną (1), biorąc pod uwagę, że wartości f x są w B3, a wartości f x + Δx są w D3.
Formuła będzie wyglądać następująco: =(D3-B3)/$B$1 .
8. Określ zachowanie funkcji na zadanym przedziale (wzrosty, spadki lub punkt krytyczny). Aby to zrobić, musisz napisać formułę w komórce F3, aby określić zachowanie funkcji. Formuła zawiera trzy warunki:
f" (x)< 0 |
- funkcja maleje; |
||
f" (x) > 0 |
- funkcja wzrasta; |
||
f”(x)=0 |
– jest punkt krytyczny* . |
9. Skonstruuj wykresy dla wartości f x i f”(x). Z wykresu (rys. 37) wynika, że jeśli wartość pochodnej funkcji wynosi zero, to funkcja ma w tym miejscu punkt krytyczny.
* Ze względu na zbyt duży błąd obliczeniowy, wartość f”(x) może nie być równa 0. Jednak nadal konieczne jest opisanie tej sytuacji.
Ryż. 37. Schemat badania zachowania funkcji
Zadania do samodzielnej pracy
Funkcja f(x) jest zdefiniowana w przedziale x . Zbadaj zachowanie funkcji f(x) . Buduj wykresy.
2x2 |
X [ 4 ; 4 ] |
||||||||
X [ 5 ; 5 ] |
|||||||||
2x+2 |
|||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ; 4 ] |
|||||||
f(x)= x |
X [ 2 ; 3 ] |
||||||||
x 2 + 7 |
|||||||||
LABORATORIUM #6
Konstrukcja stycznej do wykresu funkcji
Cel pracy: Opanowanie obliczania wartości równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0.
Równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie
Przykład 1: Funkcja y = x 2 + 2x 3 jest zdefiniowana w przedziale x [ 5; 5 ] . Skonstruuj styczną do wykresu tej funkcji w punkcie x 0 = 1.
Sekwencjonowanie:
1. Zróżnicować tę funkcję numerycznie (patrz praca laboratoryjna nr 5). Tabelę danych początkowych przedstawiono na ryc. 38.
Ryż. 38. Tabela danych początkowych
2. Ustal położenie w tabeli x , x 0 , f (x 0 ) i f "(x 0 ). Oczywiście x będą wartościami od
kolumna A, zaczynając od trzeciego rzędu (ryc. 38). Jeśli x 0 = 1, komórka A9 będzie działać jako x 0 . W związku z tym wartość funkcji f w punkcie x 0 znajduje się w komórce B9, a wartość f" (x 0 )
- w komórce E9.
3. W kolumnie F oblicza się równanie stycznej do wykresu funkcji f(x). Przy obliczaniu równania (1) konieczne jest, aby wartości x 0, f (x 0) i f "(x 0) nie ulegały zmianie. Dlatego pisemnie
Aby zaadresować komórki A9, B9 i E9, należy użyć odwołań bezwzględnych do tych komórek. Komórki są ustalane za pomocą znaku š$Ÿ. Komórki będą wyglądać następująco: $A$9 , $B$9 i $E$9 .
Ryż. 39. Wykres funkcji f(x) i stycznej do wykresu w punkcie x=1
Zadania do samodzielnej pracy
Funkcja f(x) jest zdefiniowana w przedziale x . Oblicz równanie styczne. Skonstruuj styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.
2x2 |
X [ 4 ; 4 ] , x0 = 1 |
|||||||||
X [ 5 ; 5 ] , x0 |
||||||||||
2x+2 |
||||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ; 4 ] , x0 = 0 |
||||||||
f(x)= x |
X [ 2 ; 3 ], x0 |
|||||||||
x 2 + 7 |
||||||||||
1. Vedeneeva, EA Excel 2007 Funkcje i formuły Biblioteka użytkownika / EA Vedeneeva. - Petersburg: Piotr, 2008. - 384 s.
2. Sviridova, M. Yu Arkusze kalkulacyjne Excel / M. Yu Sviridova. - M.: Akademia, 2008. - 144 s.
3. Serogodsky, V. V. Wykresy, obliczenia i analiza danych
w Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozłow, A. Yu Druzhinin. - M.: Nauka i technika, 2009. - 336 s.
Jak Excel może pomóc w obliczeniu pochodnej funkcji? Jeśli funkcja jest podana przez równanie, to po zróżnicowaniu analitycznym i uzyskaniu wzoru Excel pomoże ci szybko obliczyć wartości pochodnej dla dowolnych wartości argumentów interesujących użytkownika.
Jeżeli funkcję tę uzyskuje się na podstawie praktycznych pomiarów i podaje w wartościach tabelarycznych, to Excel może w tym przypadku stanowić bardziej znaczącą pomoc przy wykonywaniu różniczkowania numerycznego, a następnie przetwarzaniu i analizie wyników.
W praktyce problem obliczania pochodnej metodą różniczkowania numerycznego może pojawić się również w mechanice (przy wyznaczaniu prędkości i przyspieszenia obiektu z dostępnych pomiarów drogi i czasu) oraz w ciepłownictwie (przy obliczaniu wymiany ciepła przez czas). Może to być również konieczne np. przy wierceniu studni w celu analizy gęstości warstwy gruntu przepuszczanej przez wiertnicę, przy rozwiązywaniu szeregu problemów balistycznych itp.
Podobna sytuacja ma miejsce w „odwrotnym” zagadnieniu obliczania belek kompleksowo obciążonych, gdy istnieje potrzeba znalezienia wartości działających obciążeń od ugięć.
W drugiej części artykułu, na przykładzie „na żywo”, rozważymy obliczenie pochodnej przybliżonym wzorem na różniczkowanie liczbowe za pomocą wyrażeń w różnicach skończonych i zrozumiemy pytanie - Czy to możliwe za pomocą przybliżeń pochodnych różnicami skończonymi określić obciążenia działające w przekrojach od ugięć belki?
Teoria minimum.
Pochodna określa tempo zmian funkcji opisującej proces w czasie lub przestrzeni.
Granica stosunku zmiany w punkcie funkcji do zmiany zmiennej, gdy zmiana zmiennej zmierza do zera, nazywana jest pochodną funkcji ciągłej.
y ' (x) \u003d lim (Δy / Δx) w ∆x→0
Geometryczne znaczenie pochodnej funkcji w punkcie to styczna nachylenia do osi x stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.
tg (α)=Δy /Δx
Jeżeli funkcja jest dyskretna (tabelaryczna), to przybliżoną wartość jej pochodnej w punkcie wyznacza się przy użyciu różnic skończonych.
y' (x ) i ≈(Δy /Δx )i=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )
Różnice skończone są nazywane, ponieważ mają określoną, mierzalną, skończoną wartość, w przeciwieństwie do wielkości dążących do zera lub nieskończoności.
Poniższa tabela przedstawia szereg wzorów, które będą przydatne przy numerycznym różnicowaniu funkcji tabelowych.
Formuły różnic centralnych zwykle dają dokładniejsze wyniki, ale często nie można ich zastosować na krawędziach zakresów wartości. W takich przypadkach przydatne są przybliżenia przez lewe i prawe różnice skończone.
Obliczanie pochodnej drugiego rzędu na przykładzie obliczania momentów w przekrojach belek ze znanych ugięć.
Dany:
Na belce o długości 8 metrów z zawiasowymi wspornikami wzdłuż krawędzi, wykonanej z dwóch par stalowych (St3) belek dwuteowych 30M, 7 ciągów jest podpartych co 1 metr. Do środkowej części belki przymocowana jest platforma z wyposażeniem. Przypuszczalnie siła z powłoki, przekazywana przez dźwigary na belkę, jest taka sama we wszystkich punktach i równa F1. Podwieszana platforma ma wagę 2*F2 i jest przymocowany do belki w dwóch punktach.
Zakłada się, że belka przed przyłożeniem obciążeń była absolutnie prosta, a po obciążeniu znajduje się w strefie odkształceń sprężystych.
Poniższy rysunek przedstawia schemat obliczeniowy problemu oraz ogólny widok diagramów.
Poniższy zrzut ekranu przedstawia oryginalne dane.
Szacunkowe dane początkowe:
3. Masa bieżąca dwuteownika 30M:
γ =50,2 kg/m
Sekcja belki składa się z dwóch belek dwuteowych:
n=2
Ciężar właściwy belki:
q \u003d γ * n * g \u003d 50,2 * 2 * 9,81 / 1000 \u003d 0,985 N / mm
5. Moment bezwładności dwuteownika o przekroju 30M:
I x1 =95 000 000 mm 4
Moment bezwładności przekroju zespolonego belki:
I x \u003d I x 1 * n \u003d 95 000 000 * 2 \u003d 190 000 000 mm 4
10. Ponieważ belka jest obciążona symetrycznie wokół środka, reakcje obu podpór są takie same i równe każdej połowie całkowitego obciążenia:
R \u003d (q * z max + 8 * F 1 + 2 * F 2) / 2 \u003d (0,985 * 8000 + 8 * 9000 + 2 * 50000) / 2 \u003d 85 440 N
Obliczenie uwzględnia ciężar własny belki!
Zadanie:
Znajdź wartości momentu zginającego Mxi w przekrojach belek analitycznie za pomocą wzorów na nośność materiałów oraz metodą numerycznego zróżnicowania obliczonej linii ugięcia. Porównaj i przeanalizuj uzyskane wyniki.
Decyzja:
Pierwszą rzeczą, którą zrobimy, jest obliczenie sił ścinających w programie Excel. Q y, momenty zginające Mx, kąty obrotu U x osie belki i ugięcia Vx według klasycznych wzorów wytrzymałości materiałów we wszystkich przekrojach ze stopniem h. (Chociaż w zasadzie nie będziemy potrzebować wartości sił i kątów w dalszej części.)
Wyniki obliczeń znajdują się w komórkach I5-L54. Poniższy zrzut ekranu przedstawia połowę tabeli, ponieważ wartości w drugiej części są lustrzane lub zbliżone do pokazanych wartości.
Wzory użyte w obliczeniach można przeglądać.
Znamy więc dokładne wartości momentów i ugięć.
Z teorii wiemy, że:
Kąt obrotu jest pierwszą pochodną ugięcia U=V'.
Moment jest drugą pochodną ugięcia M=V''.
Siła jest trzecią pochodną ugięcia Q=V'''.
Załóżmy, że słup dokładnych ugięć nie jest uzyskiwany z obliczeń analitycznych, ale z pomiarów na rzeczywistej belce i nie mamy już żadnych innych danych. Drugą pochodną dokładnych wartości ugięć obliczamy za pomocą wzoru (6) z tabeli z poprzedniej części artykułu, a wartości momentów wyszukujemy metodą różniczkowania liczbowego.
M xi \u003d V y '' ≈ ((V i +1 -2 * V i + V i -1 ) / h 2) * E * I x
Wynik obliczeń widzimy w komórkach M5-M54.
Dokładne wartości momentów obliczone za pomocą wzorów analitycznych wytrzymałości materiału, z uwzględnieniem ciężaru samej belki, różnią się nieznacznie od tych znalezionych przez przybliżone wzory do obliczania pochodnych. Momenty są wyznaczane bardzo dokładnie, sądząc po błędach względnych obliczonych jako procent w komórkach N5-N54.
ε \u003d (M x -V y ’’) / M x * 100%
Zadanie rozwiązane. Przeprowadziliśmy obliczenie drugiej pochodnej za pomocą przybliżonego wzoru z wykorzystaniem centralnych różnic skończonych i uzyskaliśmy doskonały wynik.
Porozumiewawczy dokładny wartości ugięć można znaleźć poprzez zróżnicowanie numeryczne z dużą dokładnością w momentach działających w przekrojach i określić stopień obciążenia belki!
Jednakże...
Niestety nie należy tak myśleć w praktyce łatwe do zdobycia niezbędne bardzo precyzyjne pomiary ugięć kompleksowo obciążonych belek!
Faktem jest, że pomiary ugięcia należy wykonywać z dokładnością ~1 µm i starać się minimalizować krok pomiarowy h, „skierowanie na zero”, chociaż może to nie pomóc w uniknięciu błędów.
Często zmniejszenie kroku pomiarowego ze znacznymi błędami w pomiarach ugięcia może prowadzić do absurdalnych wyników. Trzeba być bardzo ostrożnym w różnicowaniu numerycznym, aby uniknąć krytycznych błędów.
Dziś istnieją urządzenia - interferometry laserowe, które zapewniają wysoką prędkość, stabilność i dokładność pomiaru do 1 mikrona, programowo odfiltrowują szum i wiele innych rzeczy, które można zaprogramować, ale ich cena to ponad 300 000 USD ...
Zobaczmy, co się stanie, jeśli po prostu zaokrąglimy dokładne wartości ugięcia z naszego przykładu do dwóch miejsc po przecinku - czyli do setnych części milimetra i ponownie obliczymy momenty w odcinkach stosując ten sam wzór do obliczenia pochodnej.
Jeśli wcześniej maksymalny błąd nie przekraczał 0,7%, teraz (w sekcji i=4) przekracza 23%, choć w najbardziej niebezpiecznym odcinku pozostaje akceptowalny ( ε 21=1,813%).
Oprócz rozważanej numerycznej metody obliczania pochodnych z wykorzystaniem różnic skończonych, możliwe jest (i często konieczne) zastosowanie innej metody – pomiarów wielomianem potęgowym i analityczne znalezienie pochodnych, a następnie porównanie uzyskanych wyników na różne sposoby. Należy jednak rozumieć, że różnicowanie aproksymującego wielomianu potęgowego jest również ostatecznie metodą przybliżoną, która zasadniczo zależy od stopnia dokładności aproksymacji.
Dane początkowe - wyniki pomiarów - w większości przypadków przed zastosowaniem w obliczeniach należy przetworzyć usuwając wartości spoza szeregu logicznego.
Obliczenie pochodnej metodami numerycznymi należy zawsze wykonywać bardzo ostrożnie!
Drodzy Czytelnicy, prosimy o umieszczanie recenzji i komentarzy do artykułu w specjalnym bloku pod artykułem.
Aby otrzymywać informacje o ukazaniu się nowych artykułów na blogu, subskrybuj ogłoszenia w oknie znajdującym się u góry strony lub bezpośrednio po artykule.
zapytać CO DO dzieło autora pobierz plik z przykładem PO SUBSKRYPCJI do ogłoszeń artykułów.
Ładowanie...