Rozwiązywanie pochodnej dla manekinów: definicja, jak znaleźć, przykłady rozwiązań. Pochodne podstawowych funkcji elementarnych Pochodne funkcji elementarnych dowodu

Oto tabela podsumowująca dla wygody i przejrzystości podczas studiowania tematu.

Przeanalizujmy, w jaki sposób uzyskano wzory ze wskazanej tabeli, czyli innymi słowy udowodnimy wyprowadzenie wzorów na pochodne dla każdego typu funkcji.

Pochodna stałej

Aby wyprowadzić ten wzór, za podstawę przyjmujemy definicję pochodnej funkcji w punkcie. Używamy x 0 = x, gdzie x przyjmuje wartość dowolnej liczby rzeczywistej, czyli innymi słowy x jest dowolną liczbą z dziedziny funkcji f (x) = C . Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu jako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Zwróć uwagę, że wyrażenie 0 ∆ x znajduje się pod znakiem limitu. Nie jest to niepewność „zera podzielonego przez zero”, ponieważ licznik zawiera nie nieskończenie małą wartość, ale zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem pochodna funkcji stałej f(x) = C jest równa zeru w całej dziedzinie definicji.

Przykład 1

Dane stałe funkcje:

f1(x)=3, f2(x)=a,a∈R,f3(x)=4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Decyzja

Opiszmy podane warunki. W pierwszej funkcji widzimy pochodną liczby naturalnej 3 . W poniższym przykładzie musisz wziąć pochodną a, gdzie a- dowolna liczba rzeczywista. Trzeci przykład daje nam pochodną liczby niewymiernej 4 . 13 7 22 , czwarta - pochodna zera (zero jest liczbą całkowitą). Wreszcie w piątym przypadku mamy pochodną ułamka wymiernego - 8 7 .

Odpowiedź: pochodne podanych funkcji są zerowe dla dowolnej rzeczywistej x(na całym obszarze definicji)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4. 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Pochodna funkcji potęgowej

Przechodzimy do funkcji potęgowej i wzoru na jej pochodną, ​​która ma postać: (x p) " = p x p - 1, gdzie wykładnik p jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dowód 2

Oto dowód wzoru, gdy wykładnik jest liczbą naturalną: p = 1 , 2 , 3 , …

Ponownie opieramy się na definicji pochodnej. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, używamy wzoru dwumianowego Newtona:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Zatem:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 +... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Udowodniliśmy więc wzór na pochodną funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Dowód 3

Aby dać dowód w przypadku, gdy p- dowolna liczba rzeczywista inna niż zero, używamy pochodnej logarytmicznej (tu powinniśmy zrozumieć różnicę od pochodnej funkcji logarytmicznej). Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, pożądane jest zbadanie pochodnej funkcji logarytmicznej i dodatkowo zajęcie się pochodną funkcji niejawnie danej i pochodną funkcji zespolonej.

Rozważ dwa przypadki: kiedy x pozytywne i kiedy x są negatywne.

Więc x > 0 . Wtedy: x p > 0 . Bierzemy logarytm równości y \u003d x p do podstawy e i stosujemy właściwość logarytmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Na tym etapie uzyskano niejawnie zdefiniowaną funkcję. Zdefiniujmy jego pochodną:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Teraz rozważymy przypadek, w którym x- liczba ujemna.

Jeśli wskaźnik p jest liczbą parzystą, to funkcja potęgowa jest również zdefiniowana dla x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Następnie xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jeśli p jest liczbą nieparzystą, to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Ostatnie przejście jest możliwe, ponieważ jeśli p jest liczbą nieparzystą, więc p - 1 liczba parzysta lub zero (dla p = 1), a zatem dla ujemnej x równość (-x) p-1 = x p-1 jest prawdziwa.

Udowodniliśmy więc wzór na pochodną funkcji potęgowej dla dowolnego p rzeczywistego.

Przykład 2

Podane funkcje:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Określ ich pochodne.

Decyzja

Część podanych funkcji przekształcamy w postać tabelaryczną y = x p , na podstawie właściwości stopnia, a następnie korzystamy ze wzoru:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Pochodna funkcji wykładniczej

Wyprowadzamy wzór na pochodną na podstawie definicji:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Mamy niepewność. Aby ją rozwinąć, piszemy nową zmienną z = a ∆ x - 1 (z → 0 jako ∆ x → 0). W tym przypadku a ∆ x = z + 1 ⇒ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Dla ostatniego przejścia stosuje się wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu.

Wykonajmy podstawienie w pierwotnym limicie:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Przypomnij sobie drugą cudowną granicę, a następnie otrzymamy wzór na pochodną funkcji wykładniczej:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Przykład 3

Funkcje wykładnicze podano:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Musimy znaleźć ich pochodne.

Decyzja

Używamy wzoru na pochodną funkcji wykładniczej i własności logarytmu:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Pochodna funkcji logarytmicznej

Przedstawiamy dowód wzoru na pochodną funkcji logarytmicznej dla dowolnego x w dziedzinie definicji i wszelkich poprawnych wartości podstawy a logarytmu. Na podstawie definicji pochodnej otrzymujemy:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Z określonego łańcucha równości widać, że przekształcenia zostały zbudowane na podstawie własności logarytmów. Równość lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e jest prawdziwa zgodnie z drugą godną uwagi granicą.

Przykład 4

Podano funkcje logarytmiczne:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Konieczne jest obliczenie ich pochodnych.

Decyzja

Zastosujmy wyprowadzoną formułę:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3); f 2 „(x) \u003d (ln x)” \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Zatem pochodną logarytmu naturalnego jest jeden dzielony przez x.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Używamy kilku wzorów trygonometrycznych i pierwszej wspaniałej granicy, aby wyprowadzić wzór na pochodną funkcji trygonometrycznej.

Zgodnie z definicją pochodnej funkcji sinus otrzymujemy:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Wzór na różnicę sinusów pozwoli nam wykonać następujące czynności:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Na koniec używamy pierwszego wspaniałego limitu:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Czyli pochodna funkcji grzech x Wola bo x.

W ten sam sposób udowodnimy również wzór na pochodną cosinusa:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Tych. pochodna funkcji cos x będzie – grzech x.

Wzory na pochodne tangensa i cotangensa wyprowadzamy na podstawie reguł różniczkowania:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - grzech 2 x + cos 2 x grzech 2 x = - 1 grzech 2 x

Pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Sekcja dotycząca pochodnych funkcji odwrotnych zawiera wyczerpujące informacje na temat dowodu wzorów na pochodne funkcji arcus sinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens, więc nie będziemy tutaj duplikować materiału.

Pochodne funkcji hiperbolicznych

Możemy wyprowadzić wzory na pochodne sinusa hiperbolicznego, cosinusa, tangensa i cotangensa korzystając z reguły różniczkowania oraz wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Formuły 3 i 5 sprawdzą się.

PODSTAWOWE ZASADY RÓŻNICOWANIA

Korzystając z ogólnej metody znajdowania pochodnej przy użyciu granicy, można uzyskać najprostsze wzory na różniczkowanie. Zostawiać u=u(x),v=v(x) są dwiema różniczkowymi funkcjami zmiennej x.

Formuły 1 i 2 sprawdzą się.

Dowód formuły 3.

Zostawiać y = u(x) + v(x). Dla wartości argumentu x+Δ x mamy tak(x+Δ x)=ty(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ tak=tak(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ ty +Δ v.

Stąd,

Dowód formuły 4.

Zostawiać y=u(x) v(x). Następnie tak(x+Δ x)=ty(x+Δ x)· v(x+Δ x), Dlatego

Δ tak=ty(x+Δ x)· v(x+Δ x) – ty(x)· v(x).

Zauważ, że ponieważ każda z funkcji ty oraz v różniczkowalny w punkcie x, to są one w tym momencie ciągłe, a zatem ty(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), dla Δ x→0.

Dlatego możemy pisać

Na podstawie tej własności można otrzymać regułę różniczkowania iloczynu dowolnej liczby funkcji.

Niech na przykład y=u v w. Następnie,

tak " = ty "·( v w) + ty·( v w) „= ty "· v w + ty·( v„ w + v w ") = ty "· v w + ty· v„ w + ty jesteś w ".

Dowód formuły 5.

Zostawiać . Następnie

W dowodzie wykorzystaliśmy fakt, że v(x+Δ x)→v(x) w x→0.

Przykłady.

TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Zostawiać y = f(u), a ty= ty(x). Otrzymujemy funkcję tak, w zależności od argumentu x: y = f(u(x)). Ostatnia funkcja nazywana jest funkcją funkcji lub złożona funkcja.

Zakres funkcji y = f(u(x)) to albo cały zakres funkcji ty=ty(x) lub ta jego część, w której określane są wartości ty, nie poza zakresem funkcji tak= f(u).

Operację „funkcja z funkcji” można wykonać nie raz, ale dowolną ilość razy.

Ustalmy regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

Twierdzenie. Jeśli funkcja ty= ty(x) ma w pewnym momencie x0 pochodna i przyjmuje wartość w tym punkcie ty 0 = ty(x0) i funkcja y=f(u) ma w punkcie ty 0 pochodna tak„u= f "(ty 0), to złożona funkcja y = f(u(x)) w określonym punkcie x0 ma również pochodną, ​​która jest równa tak„x= f "(ty 0)· ty "(x0), gdzie zamiast ty wyrażenie musi być podstawione ty= ty(x).

Zatem pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego ty do pochodnej argumentu pośredniego względem x.

Dowód. Dla stałej wartości X 0 będziemy mieli ty 0 =ty(x 0), w 0 =f(u 0 ). Dla nowej wartości argumentu x0+Δ x:

Δ ty= ty(x0 + Δ x) – ty(x 0), Δ tak=f(ty 0+Δ ty) – f(ty 0).

Ponieważ ty– różniczkowalny w punkcie x0, następnie ty jest w tym momencie ciągła. Dlatego dla Δ x→0 Δ ty→0. Podobnie dla Δ ty→0 Δ tak→0.

Według warunku . Z tej zależności, korzystając z definicji granicy, otrzymujemy (dla Δ ty→0)

gdzie α→0 w Δ ty→0, a w konsekwencji dla Δ x→0.

Zapiszmy to równanie jako:

Δ tak=tak„u ∆ ty+α·Δ ty.

Wynikowa równość obowiązuje również dla Δ ty=0 dla dowolnego α, ponieważ zmienia się w tożsamość 0=0. O ty=0 przyjmiemy α=0. Podziel wszystkie wyrazy powstałej równości przez Δ x

.

Według warunku . Dlatego przejście do granicy w Δ x→0, otrzymujemy tak„x= tak" u j " x . Twierdzenie zostało udowodnione.

Tak więc, aby odróżnić złożoną funkcję y = f(u(x)), musisz wziąć pochodną funkcji „zewnętrznej” f traktując swój argument po prostu jako zmienną i mnożąc przez pochodną funkcji „wewnętrznej” względem zmiennej niezależnej.

Jeśli funkcja y=f(x) można przedstawić jako y=f(u), u=u(v), v=v(x), następnie znalezienie pochodnej y " x odbywa się przez kolejne zastosowanie poprzedniego twierdzenia.

Zgodnie ze sprawdzoną zasadą mamy tak„x= tak"u · ty" x . Zastosowanie tego samego twierdzenia do ty" x otrzymujemy , czyli

tak„x= tak" x ty"v · v„x= f"ty( ty)· ty"v( v)· v"x( x).

Przykłady.

KONCEPCJA FUNKCJI ODWROTNEJ

Zacznijmy od przykładu. Rozważ funkcję y=x3. Rozważymy równość tak= x 3 jako równanie dla x. To jest równanie dla każdej wartości w definiuje pojedynczą wartość x: . Geometrycznie oznacza to, że każda linia równoległa do osi Wół przecina wykres funkcji y=x3 tylko w jednym punkcie. Dlatego możemy rozważyć x jako funkcja tak. Funkcja nazywa się odwrotnością funkcji y=x3.

Przed przejściem do przypadku ogólnego wprowadzamy definicje.

Funkcjonować y = f(x) nazywa wzrastający w pewnym przedziale, jeśli większa wartość argumentu x z tego segmentu odpowiada większa wartość funkcji, tj. jeśli x 2 >x 1 , to f(x 2 ) > f(x 1 ).

Podobnie funkcja nazywa się zanikający, jeśli mniejsza wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, tj. jeśli X 2 < X 1 , to f(x 2 ) > f(х 1 ).

Tak więc, biorąc pod uwagę rosnącą lub malejącą funkcję y=f(x), określony w pewnym przedziale [ a; b]. Dla jednoznaczności rozważymy funkcję rosnącą (dla funkcji malejącej wszystko jest podobne).

Rozważ dwie różne wartości X 1 i X 2. Zostawiać tak 1 =f(x 1 ), tak 2 =f(x 2 ). Z definicji funkcji rosnącej wynika, że ​​jeśli x 1 <x 2 , to w 1 <w 2. Dlatego dwie różne wartości X 1 i X 2 odpowiadają dwóm różnym wartościom funkcji w 1 i w 2. Prawdą jest również odwrotność, tj. jeśli w 1 <w 2 , to z definicji funkcji rosnącej wynika, że x 1 <x 2. Tych. ponownie do dwóch różnych wartości w 1 i w 2 odpowiada dwóm różnym wartościom x 1 i x 2. Tak więc między wartościami x i odpowiadające im wartości tak nawiązywana jest korespondencja jeden do jednego, tj. równanie y=f(x) dla wszystkich tak(wzięte z zakresu funkcji y=f(x)) definiuje pojedynczą wartość x i możemy tak powiedzieć x mieć jakąś funkcję argumentu tak: x= g(y).

Ta funkcja nazywa się odwrócić dla funkcji y=f(x). Oczywiście funkcja y=f(x) jest odwrotnością funkcji x=g(y).

Zauważ, że funkcja odwrotna x=g(y) znajduje się rozwiązując równanie y=f(x) stosunkowo X.

Przykład. Niech funkcja tak= e x . Ta funkcja wzrasta przy –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x=ln tak. Dziedzina funkcji odwrotnej 0< tak < + ∞.

Zróbmy kilka uwag.

Uwaga 1. Jeśli funkcja rosnąca (lub malejąca) y=f(x) ciągły w przedziale [ a; b], oraz f(a)=c, f(b)=d, to funkcja odwrotna jest zdefiniowana i ciągła na odcinku [ c; d].

Uwaga 2. Jeśli funkcja y=f(x) nie rośnie ani nie maleje na pewnym przedziale, to może mieć kilka funkcji odwrotnych.

Przykład. Funkcjonować y=x2 zdefiniowany w –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funkcja maleje i jest odwrotna .

Uwaga 3. Jeśli funkcje y=f(x) oraz x=g(y) są wzajemnie odwrotne, to wyrażają tę samą zależność między zmiennymi x oraz tak. Dlatego wykres jest tą samą krzywą. Ale jeśli ponownie oznaczymy argument funkcji odwrotnej przez x, a funkcja przez tak i budujemy je w tym samym układzie współrzędnych, otrzymujemy dwa różne wykresy. Łatwo zauważyć, że wykresy będą symetryczne względem dwusiecznej kąta pierwszej współrzędnej.

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Udowodnijmy twierdzenie, które pozwala nam znaleźć pochodną funkcji y=f(x) znając pochodną funkcji odwrotnej.

Twierdzenie. Jeśli dla funkcji y=f(x) istnieje funkcja odwrotna x=g(y), które w pewnym momencie w 0 ma pochodną g "(v0) inny niż zero, a następnie w odpowiednim punkcie x0=g(x0) funkcja y=f(x) ma pochodną f "(x0) równe , tj. poprawna formuła.

Dowód. Ponieważ x=g(y) różniczkowalny w punkcie r 0, następnie x=g(y) jest w tym momencie ciągła, więc funkcja y=f(x) ciągły w punkcie x0=g(r 0). Dlatego dla Δ x→0 Δ tak→0.

Pokażmy to .

Niech będzie. Następnie przez właściwość limit . Przejdźmy w tej równości do granicy przy Δ tak→0. Następnie Δ x→0 i α(Δx)→0, tj. .

Stąd,

,

co było do okazania

Formuła ta może być zapisana jako .

Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładach.

Podajemy bez dowodu wzór na pochodne podstawowych funkcji elementarnych:

1. Funkcja potęgowa: (x n)` =nx n -1 .

2. Funkcja wykładnicza: (a x)` = a x lna (w szczególności (e x)` = e x).

3. Funkcja logarytmiczna: (w szczególności (lnx)` = 1/x).

4. Funkcje trygonometryczne:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Odwrotne funkcje trygonometryczne:

Można wykazać, że w celu zróżnicowania funkcji wykładniczej konieczne jest dwukrotne zastosowanie wzoru na pochodną funkcji zespolonej, to znaczy zróżnicowanie jej zarówno jako zespolonej funkcji wykładniczej, jak i zespolonej funkcji wykładniczej oraz dodanie wyniki: (f (x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* „(x)”.

Pochodne wyższych rzędów

Ponieważ pochodna funkcji sama w sobie jest funkcją, może również mieć pochodną. Pojęcie pochodnej, o którym była mowa powyżej, odnosi się do pochodnej pierwszego rzędu.

pochodnan-tego rzędu nazywana jest pochodną pochodnej (n-1)-tego rzędu. Na przykład f``(x) = (f`(x))` - pochodna drugiego rzędu (lub druga pochodna), f```(x) = (f``(x))` - pochodna trzeciego rzędu ( lub trzecia pochodna) itp. Czasami rzymskie cyfry arabskie w nawiasach są używane do wskazania wyższych pochodnych, na przykład f (5) (x) lub f (V) (x) dla pochodnej piątego rzędu.

Fizyczne znaczenie pochodnych wyższych rzędów definiuje się w taki sam sposób, jak dla pierwszej pochodnej: każda z nich reprezentuje tempo zmiany pochodnej poprzedniego rzędu. Na przykład druga pochodna to tempo zmian pierwszej, tj. prędkość prędkość. Dla ruchu prostoliniowego oznacza to przyspieszenie punktu na raz.

Elastyczność funkcji

Elastyczność funkcji E x (y) jest granicą stosunku względnego przyrostu funkcji y do względnego przyrostu argumentu x, przy czym ten ostatni dąży do zera:
.

Elastyczność funkcji pokazuje w przybliżeniu, o ile procent zmieni się funkcja y \u003d f (x), gdy zmienna niezależna x zmieni się o 1%.

W sensie ekonomicznym różnica między tym wskaźnikiem a pochodną polega na tym, że pochodna ma jednostki miary, a zatem jej wartość zależy od jednostek, w których mierzone są zmienne. Na przykład, jeśli zależność wielkości produkcji od czasu jest wyrażona odpowiednio w tonach i miesiącach, to pochodna wykaże marginalny wzrost wolumenu w tonach na miesiąc; jeśli jednak wskaźniki te mierzy się np. w kilogramach i dniach, to zarówno sama funkcja, jak i jej pochodna będą różne. Elastyczność jest zasadniczo wartością bezwymiarową (mierzoną w procentach lub ułamkach), a zatem nie zależy od skali wskaźników.

Podstawowe twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych i ich zastosowaniach

Twierdzenie Fermata. Jeżeli funkcja różniczkowalna na przedziale osiąga swoją maksymalną lub minimalną wartość w wewnętrznym punkcie tego przedziału, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru.

Bez dowodu.

Geometryczne znaczenie twierdzenia Fermata polega na tym, że w punkcie największej lub najmniejszej wartości osiągniętej w przerwie styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi odciętej (rysunek 3.3).

Twierdzenie Rolle'a. Niech funkcja y \u003d f (x) spełnia następujące warunki:

2) różniczkowalna na przedziale (a, b);

3) przyjmuje równe wartości na końcach segmentu, tj. f(a)=f(b).

Wtedy jest co najmniej jeden punkt wewnątrz odcinka, w którym pochodna funkcji jest równa zero.

Bez dowodu.

Geometryczne znaczenie twierdzenia Rolle'a polega na tym, że istnieje co najmniej jeden punkt, w którym styczna do wykresu funkcji będzie równoległa do osi odciętej (na przykład na rysunku 3.4 są dwa takie punkty).

Jeśli f(a) =f(b) = 0, to twierdzenie Rolle'a można sformułować inaczej: między dwoma kolejnymi zerami funkcji różniczkowalnej jest co najmniej jedno zero pochodnej.

Twierdzenie Rolle'a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Lagrange'a.

Twierdzenie Lagrange'a. Niech funkcja y \u003d f (x) spełnia następujące warunki:

1) jest ciągła na odcinku [a, b];

2) jest różniczkowalna na przedziale (a, b).

Wtedy wewnątrz odcinka jest co najmniej jeden taki punkt c, w którym pochodna jest równa ilorazowi przyrostu funkcji podzielonemu przez przyrost argumentu na tym odcinku:
.

Bez dowodu.

Aby zrozumieć fizyczne znaczenie twierdzenia Lagrange'a, zauważamy, że
to nic innego jak średnie tempo zmian funkcji na całym przedziale [a, b]. Twierdzenie zatem mówi, że wewnątrz segmentu istnieje co najmniej jeden punkt, w którym „chwilowa” szybkość zmian funkcji jest równa średniej szybkości jej zmian w całym segmencie.

Geometryczne znaczenie twierdzenia Lagrange'a ilustruje rysunek 3.5. Zauważ, że wyrażenie
jest nachyleniem linii, na której leży cięciwa AB. Twierdzenie to mówi, że na wykresie funkcji jest przynajmniej jeden punkt, w którym styczna do niego będzie równoległa do tego cięciwy (czyli nachylenie stycznej – pochodnej – będzie takie samo).

Wniosek: jeśli pochodna funkcji jest równa zero na pewnym przedziale, to funkcja jest identycznie stała na tym przedziale.

Właściwie weźmy interwał na tym interwale. Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a, w tym przedziale znajduje się punkt c, dla którego
. Stąd f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = const.

Rządy L'Hopitala. Granica stosunku dwóch nieskończenie małych lub nieskończenie dużych funkcji jest równa granicy stosunku ich pochodnych (skończonej lub nieskończonej), jeśli ta ostatnia istnieje we wskazanym sensie.

Innymi słowy, jeśli istnieje niepewność formy
, następnie
.

Bez dowodu.

Stosowanie zasady L'Hospital w celu znalezienia granic zostanie omówione w praktycznych ćwiczeniach.

Warunek wystarczający do wzrostu (spadku) funkcji. Jeżeli pochodna funkcji różniczkowalnej jest dodatnia (ujemna) w pewnym przedziale, to funkcja rośnie (maleje) na tym przedziale.

Dowód. Rozważmy dwie wartości x 1 i x 2 z podanego przedziału (niech x 2 > x 1). Według twierdzenia Lagranda na [x 1 , x 2 ] znajduje się punkt c, w którym
. Stąd f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Wtedy dla f`(c) > 0, lewa strona nierówności jest dodatnia, tj. f(x 2) > f(x 1), a funkcja rośnie. w f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Twierdzenie zostało udowodnione.

Interpretacja geometryczna warunku monotoniczności funkcji: jeśli styczne do krzywej w pewnym przedziale są skierowane pod kątem ostrym do osi odciętej, wówczas funkcja wzrasta, a jeśli pod kątami rozwartymi, zmniejsza się (patrz rysunek 3.6) .

Uwaga: warunek konieczny monotoniczności jest słabszy. Jeżeli funkcja rośnie (maleje) na pewnym przedziale, to pochodna jest nieujemna (niedodatnia) na tym przedziale (tzn. w niektórych punktach pochodna funkcji monotonicznej może być równa zeru).

Wyprowadzając pierwszą formułę tabeli, zaczniemy od definicji pochodnej funkcji w punkcie. Chodźmy gdzie x- dowolna liczba rzeczywista, czyli x– dowolna liczba z obszaru definicji funkcji . Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu przy :

Należy zauważyć, że pod znakiem granicy otrzymujemy wyrażenie, które nie jest niepewnością zera dzieloną przez zero, gdyż w liczniku nie ma wartości nieskończenie małej, ale właśnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem, pochodna funkcji stałejjest równy zero w całej dziedzinie definicji.

Pochodna funkcji potęgowej.

Wzór na pochodną funkcji potęgowej ma postać , gdzie wykładnik p jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Najpierw udowodnijmy wzór na wykładnik naturalny, czyli na p = 1, 2, 3, ...

Użyjemy definicji pochodnej. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, zwracamy się do wzoru dwumianowego Newtona:

Stąd,

Dowodzi to wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla wykładnika naturalnego.

Pochodna funkcji wykładniczej.

Wzór na pochodną wyprowadzamy na podstawie definicji:

Doszedł do niepewności. Aby ją rozwinąć, wprowadzamy nową zmienną , a dla . Następnie . W ostatnim przejściu zastosowaliśmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu.

Wykonajmy podstawienie w pierwotnym limicie:

Jeśli przypomnimy sobie drugą godną uwagi granicę, dojdziemy do wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

Pochodna funkcji logarytmicznej.

Udowodnijmy wzór na pochodną funkcji logarytmicznej dla wszystkich x z zakresu i wszystkich ważnych wartości podstawowych a logarytm. Z definicji pochodnej mamy:

Jak zauważyłeś, w dowodzie transformacje zostały wykonane przy użyciu własności logarytmu. Równość obowiązuje ze względu na drugą godną uwagi granicę.

Pochodne funkcji trygonometrycznych.

Aby wyprowadzić wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych, będziemy musieli przywołać kilka wzorów trygonometrycznych, a także pierwszą godną uwagi granicę.

Z definicji pochodnej funkcji sinus mamy .

Posługujemy się wzorem na różnicę sinusów:

Pozostaje przejść do pierwszego niezwykłego limitu:

Czyli pochodna funkcji grzech x jest bo x.

Wzór na pochodną cosinus jest udowodniony dokładnie w ten sam sposób.

Dlatego pochodna funkcji bo x jest –grzech x.

Wyprowadzenie wzorów na tablicę pochodnych dla tangensa i cotangensa zostanie przeprowadzone przy użyciu sprawdzonych reguł różniczkowania (pochodna ułamka).

Pochodne funkcji hiperbolicznych.

Reguły różniczkowania i wzór na pochodną funkcji wykładniczej z tablicy pochodnych pozwalają wyprowadzić wzory na pochodne sinusa hiperbolicznego, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Pochodna funkcji odwrotnej.

Aby nie było zamieszania w prezentacji, oznaczmy w dolnym indeksie argument funkcji, za pomocą której dokonuje się różniczkowanie, czyli jest to pochodna funkcji f(x) na x.

Teraz formułujemy reguła znajdowania pochodnej funkcji odwrotnej.

Niech funkcje y = f(x) oraz x = g(y) wzajemnie odwrotne, zdefiniowane na przedziałach i odpowiednio. Jeśli w punkcie istnieje skończona niezerowa pochodna funkcji f(x), to w punkcie istnieje skończona pochodna funkcji odwrotnej g(y), oraz . W innym wpisie .

Ta zasada może zostać przeformułowana dla każdego x z przedziału , to otrzymujemy .

Sprawdźmy poprawność tych formuł.

Znajdźmy funkcję odwrotną dla logarytmu naturalnego (tutaj tak jest funkcją i x- argument). Rozwiązywanie tego równania dla x, otrzymujemy (tutaj x jest funkcją i tak jej argument). Tj, i wzajemnie odwrotne funkcje.

Z tabeli instrumentów pochodnych widzimy, że oraz .

Upewnijmy się, że wzory do znajdowania pochodnych funkcji odwrotnej prowadzą nas do tych samych wyników:

Jak widać, otrzymaliśmy te same wyniki, co w tabeli instrumentów pochodnych.

Teraz mamy wiedzę, aby udowodnić wzory na pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Zacznijmy od pochodnej arcus sinus.

. Następnie ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej otrzymujemy

Pozostaje przeprowadzić transformację.

Ponieważ zakresem arcus sinus jest interwał , następnie (patrz rozdział o podstawowych funkcjach elementarnych, ich właściwościach i wykresach). Dlatego nie rozważamy.

Stąd, . Dziedziną definicji pochodnej arcus sinus jest przedział (-1; 1) .

W przypadku arccosinusa wszystko odbywa się dokładnie w ten sam sposób:

Znajdź pochodną arcus tangens.

Dla funkcji odwrotnej jest .

Wyrażamy arcus tangens przez arcus cosinus, aby uprościć wynikowe wyrażenie.

Zostawiać arctanx = z, następnie

Stąd,

Podobnie znajduje się pochodna odwrotnej tangensa:

Obliczenie pochodnej często znajduje się w przypisaniach USE. Ta strona zawiera listę formuł do wyszukiwania instrumentów pochodnych.

Zasady różnicowania

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Pochodna funkcji zespolonej. Jeśli y=F(u) i u=u(x), to funkcja y=f(x)=F(u(x)) nazywana jest złożoną funkcją x. Jest równe y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Pochodna funkcji niejawnej. Funkcja y=f(x) nazywana jest funkcją niejawną wyrażoną w relacji F(x,y)=0, jeśli F(x,f(x))≡0.
6. Pochodna funkcji odwrotnej. Jeśli g(f(x))=x, to funkcja g(x) nazywana jest funkcją odwrotną dla funkcji y=f(x).
7. Pochodna funkcji danej parametrycznie. Niech x i y będą podane jako funkcje zmiennej t: x=x(t), y=y(t). Mówi się, że y=y(x) jest funkcją zdefiniowaną parametrycznie na przedziale x∈ (a;b), jeśli na tym przedziale równanie x=x(t) można wyrazić jako t=t(x) i funkcję y=y(t(x))=y(x).
8. Pochodna funkcji wykładniczej. Można go znaleźć, sprowadzając logarytm do podstawy logarytmu naturalnego.