Ustaw zamknięcia. Zestawy zamknięte i otwarte

Wykażmy teraz pewne szczególne własności zbiorów zamkniętych i otwartych.

Twierdzenie 1. Suma skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Iloczynem skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiór otwarty,

Rozważ sumę skończonej lub przeliczalnej liczby otwartych zbiorów:

Jeżeli , to P należy do co najmniej jednego ze zbiorów Niech Ponieważ jest zbiorem otwartym, to pewne sąsiedztwo zbioru P również należy do tego samego otoczenia P również należy do sumy g, z czego wynika, że ​​g jest zbiorem otwartym. Zastanów się teraz nad produktem końcowym

i niech P należy do g. Udowodnijmy, jak wyżej, że pewne sąsiedztwo P należy do g. Ponieważ P należy do g, to P należy do wszystkich . Ponieważ są zbiorami otwartymi, to dla każdego istnieje pewne sąsiedztwo punktu należącego do . Jeżeli przyjmie się liczbę równą najmniejszej z liczby, która jest skończona, to sąsiedztwo punktu P będzie należeć do wszystkich, a w konsekwencji do g. Zauważ, że nie można twierdzić, że iloczyn policzalnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Twierdzenie 2. Zbiór CF jest otwarty, a zbiór CO jest zamknięty.

Udowodnijmy pierwsze twierdzenie. Niech P należy do CF. Należy wykazać, że niektóre sąsiedztwo P należy do CF. Wynika to z faktu, że gdyby w dowolnym sąsiedztwie P znajdowały się punkty F, to punkt P, który nie należy do warunku, byłby punktem granicznym dla F i ze względu na swoje zamknięcie musiałby należeć, co prowadzi do sprzeczność.

Twierdzenie 3. Iloczynem skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiór domknięty. Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Udowodnijmy na przykład, że zbiór

Zamknięte. Przechodząc do dodatkowych zestawów możemy pisać

Według twierdzenia zbiory otwarte, a według Twierdzenia 1 zbiór jest również otwarty, a zatem zbiór komplementarny g jest domknięty. Zauważ, że suma policzalnej liczby zbiorów domkniętych może być także zbiorem niezamkniętym.

Twierdzenie 4. Zbiór jest zbiorem otwartym i domkniętym.

Łatwo sprawdzić następujące równości:

Z nich, na mocy poprzednich twierdzeń, wynika Twierdzenie 4.

Powiemy, że zbiór g jest objęty systemem M pewnych zbiorów, jeśli każdy punkt g jest zawarty w przynajmniej jednym ze zbiorów systemu M.

Twierdzenie 5 (borel). Jeśli domknięty zbiór ograniczony F jest objęty nieskończonym systemem zbiorów otwartych O, to z tego nieskończonego systemu można wydobyć skończoną liczbę zbiorów otwartych, które również pokrywają F.

Udowadniamy to twierdzenie odwrotnie. Załóżmy, że żadna skończona liczba zbiorów otwartych z układu a nie obejmuje i sprowadźmy to do sprzeczności. Ponieważ F jest zbiorem ograniczonym, to wszystkie punkty F należą do pewnego skończonego dwuwymiarowego przedziału . Podzielmy ten zamknięty przedział na cztery równe części, dzieląc przedziały na pół. Każdy z uzyskanych czterech interwałów zostanie zamknięty. Te punkty F, które leżą na jednym z tych czterech przedziałów domkniętych, będą, na mocy Twierdzenia 2, reprezentować zbiór domknięty i przynajmniej jeden z tych zbiorów domkniętych nie może być objęty skończoną liczbą zbiorów otwartych z systemu a. Bierzemy jeden z powyższych czterech zamkniętych przedziałów, w których zachodzi ta okoliczność. Ponownie dzielimy ten przedział na cztery równe części i argumentujemy w taki sam sposób, jak powyżej. W ten sposób otrzymujemy układ przedziałów zagnieżdżonych, z których każdy następny jest czwartą częścią poprzedniego i zachodzi następująca okoliczność: zbiór punktów F należących do dowolnego k nie może być objęty skończoną liczbą zbiorów otwartych z systemu Przy nieskończonym wzroście k luki kurczą się w nieskończoność do pewnego punktu P, który należy do wszystkich luk. Ponieważ dla dowolnego k zawierają one niepoliczalny zbiór punktów, punkt P jest punktem granicznym i dlatego należy do F, ponieważ F jest zbiorem domkniętym. W ten sposób punkt P jest objęty jakimś zbiorem otwartym należącym do układu a. Pewne sąsiedztwo punktu P również będzie należeć do zbioru otwartego O. Dla dostatecznie dużych wartości k, przedziały D będą leżeć wewnątrz powyższego sąsiedztwa punktu P. Tym samym zostaną one całkowicie pokryte tylko jednym zbiór otwarty O systemu a, a to przeczy faktowi, że punkty należące do dowolnego k nie mogą być objęte skończoną liczbą zbiorów otwartych należących do a. W ten sposób twierdzenie jest udowodnione.

Twierdzenie 6. Zbiór otwarty można przedstawić jako sumę policzalnej liczby półotwartych przerw w parach bez punktów wspólnych.

Przypomnijmy, że szczelina półotwarta w płaszczyźnie jest szczeliną skończoną określoną przez nierówności formy .

Nałóżmy na płaszczyznę siatkę kwadratów o bokach równoległych do osi i długości boku równej jeden. Zbiór tych kwadratów jest zbiorem policzalnym. Wybieramy z tych kwadratów te kwadraty, których wszystkie punkty należą do danego otwartego zbioru O. Liczba takich kwadratów może być skończona lub policzalna, albo może wcale nie być takich kwadratów. Każdy z pozostałych kwadratów siatki dzielimy na cztery identyczne kwadraty i z nowo otrzymanych kwadratów ponownie wybieramy te, których wszystkie punkty należą do O. Ponownie dzielimy każdy z pozostałych kwadratów na cztery równe części i wybieramy te kwadraty, których wszystkie punkty należą do O itd. Pokażmy, że dowolny punkt P zbioru O wpadnie do jednego z wybranych kwadratów, z których wszystkie należą do O. Istotnie, niech d będzie dodatnią odległością od P do granicy O. Kiedy dojdziemy do kwadratów, których przekątna jest mniejsza niż , możemy oczywiście stwierdzić, że punkt P już wpadł do kwadratu, którego wszystkie objętości należą do O. Jeśli wybrane kwadraty są uważane za półotwarte, to nie będą miały pary punkty wspólne i twierdzenie jest udowodnione. Liczba wybranych kwadratów będzie z konieczności policzalna, ponieważ skończona suma półotwartych przerw oczywiście nie jest zbiorem otwartym. Oznaczając przez DL te półotwarte kwadraty, które otrzymaliśmy w wyniku powyższej konstrukcji, możemy napisać

Język angielski: Wikipedia zwiększa bezpieczeństwo witryny. Używasz starej przeglądarki internetowej, która w przyszłości nie będzie mogła połączyć się z Wikipedią. Zaktualizuj swoje urządzenie lub skontaktuj się z administratorem IT.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 ， 这 在 将来 无法 连接 维基百科。 更新 的 的 或 或 您 的 的 管理员。 提供 更 长 ， 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Cześć

Hiszpański: Wikipedia jest haciendo el sitio mas seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay unaaktualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

francuski: Wikipedia va bientôt zwiększa witrynę bezpieczeństwa. Korzystaj z aktualnej nawigacji internetowej, aby uzyskać więcej informacji na temat łącznika z Wikipedii w języku angielskim. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations suplementaires plus systems et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます。 ご 利用 の は バージョン が 古く 、 今後 、 接続 でき なく なく なる 可能 性 が ます デバイス を する 、 、 管理 管理 者 ご ください。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Niemiecki: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Włoski: Wikipedia prezentuje najbardziej aktualne miejsce. Korzystaj z przeglądarki internetowej, która nie jest w stanie połączyć się z Wikipedią w przyszłości. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Najnowsza aktualizacja jest dostępna najbardziej szczegółowo i technika w języku angielskim.

madziarski: Biztonságosabb lesz w Wikipedii. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdadnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Szwecja: Wikipedia jest najważniejsza. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Usuwamy obsługę niezabezpieczonych wersji protokołu TLS, w szczególności TLSv1.0 i TLSv1.1, na których opiera się Twoja przeglądarka, aby łączyć się z naszymi witrynami. Jest to zwykle spowodowane nieaktualnymi przeglądarkami lub starszymi smartfonami z Androidem. Może to być również ingerencja ze strony firmowego lub osobistego oprogramowania „Web Security”, które w rzeczywistości obniża poziom bezpieczeństwa połączenia.

Aby uzyskać dostęp do naszych witryn, musisz zaktualizować przeglądarkę internetową lub w inny sposób rozwiązać ten problem. Ta wiadomość pozostanie do 1 stycznia 2020 r. Po tej dacie Twoja przeglądarka nie będzie mogła nawiązać połączenia z naszymi serwerami.

Zbiór policzalny to nieskończony zbiór elementów, które mogą być ponumerowane liczbami naturalnymi lub jest to zbiór równoważny zbiorowi liczb naturalnych.

Czasami zbiory przeliczalne nazywane są zbiorami, które są równoważne z dowolnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to znaczy wszystkie zbiory skończone są również uważane za przeliczalne.

Zbiór policzalny to „najmniejszy” nieskończony zbiór, to znaczy każdy nieskończony zbiór ma podzbiór policzalny.

Nieruchomości:

1. Każdy podzbiór zbioru policzalnego jest co najwyżej policzalny.

2. Suma skończonej lub policzalnej liczby zbiorów policzalnych jest policzalna.

3. Policzalny jest iloczyn bezpośredni skończonej liczby zbiorów policzalnych.

4. Zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.

5. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest ciągły, aw szczególności niepoliczalny.

Przykłady zbiorów policzalnych:

Liczby pierwsze Liczby naturalne, Liczby całkowite, Liczby wymierne, Liczby algebraiczne, Pierścień okresów, Liczby obliczalne, Liczby arytmetyczne.

Teoria liczb rzeczywistych.

(Real = real - przypomnienie dla nas.)

Zbiór R zawiera liczby wymierne i niewymierne.

Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, nazywane są irracjonalnymi.

Twierdzenie: Nie ma liczby wymiernej, której kwadrat jest równy liczbie 2

Liczby wymierne: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Liczby niewymierne: pierwiastek z 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Zbiór R liczb rzeczywistych ma następujące własności:

1. Jest uporządkowany: dla dowolnych dwóch różnych numerów a i b ma miejsce jedna z dwóch relacji a lub a>b