Współczesne problemy nauki i edukacji. Fale podłużne i poprzeczne Drgania podłużne
DEFINICJA
Fala podłużna- jest to fala, podczas której propagacji następuje przemieszczenie cząstek ośrodka w kierunku propagacji fali (ryc. 1, a).
Przyczyną pojawienia się fali podłużnej jest kompresja/wydłużenie, czyli odporność ośrodka na zmianę jego objętości. W cieczach lub gazach takiej deformacji towarzyszy rozrzedzenie lub zagęszczenie cząstek medium. Fale podłużne mogą rozchodzić się w dowolnych ośrodkach - stałych, ciekłych i gazowych.
Przykładami fal podłużnych są fale w elastycznym pręcie lub fale dźwiękowe w gazach.
Fale poprzeczne
DEFINICJA
fala poprzeczna- jest to fala, w trakcie której rozchodzenie się cząstek ośrodka następuje w kierunku prostopadłym do rozchodzenia się fali (rys. 1b).
Przyczyną fali poprzecznej jest odkształcenie ścinające jednej warstwy ośrodka względem drugiej. Kiedy fala poprzeczna rozchodzi się w ośrodku, tworzą się grzbiety i doliny. Ciecze i gazy, w przeciwieństwie do ciał stałych, nie mają elastyczności na ścinanie warstwy, tj. nie opieraj się zmianie kształtu. Dlatego fale poprzeczne mogą rozchodzić się tylko w ciałach stałych.
Przykładami fal poprzecznych są fale przemieszczające się wzdłuż rozciągniętej liny lub sznurka.
Fale na powierzchni cieczy nie są ani podłużne, ani poprzeczne. Jeśli rzucisz pływak na powierzchnię wody, zobaczysz, że porusza się on kołysząc się na falach, po okręgu. Tak więc fala na powierzchni cieczy ma składową zarówno poprzeczną, jak i podłużną. Na powierzchni cieczy mogą również wystąpić fale specjalnego rodzaju – tzw fale powierzchniowe. Powstają w wyniku działania i siły napięcia powierzchniowego.
Przykłady rozwiązywania problemów
PRZYKŁAD 1
| Ćwiczenie | Określ kierunek propagacji fali poprzecznej, jeśli pływak w pewnym momencie ma kierunek prędkości wskazany na rysunku. |
| Decyzja | Zróbmy rysunek. Narysujmy powierzchnię fali w pobliżu pływaka po pewnym odstępie czasu, zważywszy, że w tym czasie pływak opadł, ponieważ był skierowany w dół w chwili czasu. Kontynuując linię w prawo i w lewo, pokazujemy położenie fali w czasie . Porównując położenie fali w początkowym momencie czasu (linia ciągła) i w chwili czasu (linia przerywana), dochodzimy do wniosku, że fala rozchodzi się w lewo. |
Pod prętem mamy na myśli walec П=0х[О, /], gdy I"śr. Tutaj D- obszar na płaszczyźnie współrzędnych Ox 2 x 3 (rys. 62). Materiał pręta jest jednorodny i izotropowy, a oś Ox przechodzi przez środek ciężkości przekroju D. Pole sił zewnętrznych ciała f(r, I)\u003d / (X |, /) e, gdzie e, jest wektorem jednostkowym osi Wół. Niech siły powierzchni zewnętrznej na powierzchni bocznej cylindra będą równe zeru, tj. Ra= 0 wł. dd X
Następnie z (4.8) wynika z 1=0 równość
Własne formularze X k(j) wygodnie jest normalizować za pomocą normy przestrzeni /^(), do której należy funkcja v(s, ja), ponieważ w każdym momencie istnieje i jest ograniczony przez funkcjonał energii kinetycznej
gdzie S- obszar regionu D. Mamy
X*(s) = Jj- sin^-l w przestrzeni prędkości R 0 = ji)(s, /): vs,t)e
W rezultacie otrzymujemy bazę ortonormalną |l r *(^)| ,
gdzie b do „-Symbol Kroneckera: Funkcje X k *(s), k= 1,2, są normalnymi formami drgań naturalnych, a u*, k= 1, 2, ..., - częstotliwości drgań własnych układu o nieskończonej liczbie stopni swobody.
Podsumowując, zauważamy, że funkcja u(s, /) należy do przestrzeni konfiguracyjnej systemu H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) \u003d 0), gdzie U ^ "OO, /]) jest przestrzenią funkcji Sobolewa zsumowaną z kwadratami pierwszych pochodnych na odcinku . Przestrzeń R, jest dziedziną definicji funkcjonału energii potencjalnej odkształceń sprężystych
i zawiera uogólnione rozwiązania rozważanego problemu.
Fale podłużne
Definicja 1
Fala, w której występują oscylacje w kierunku jej propagacji. Przykładem fali podłużnej jest fala dźwiękowa.
Rysunek 1. Fala podłużna
Mechaniczne fale podłużne są również nazywane falami kompresyjnymi lub kompresyjnymi, ponieważ powodują kompresję podczas przemieszczania się przez ośrodek. Poprzeczne fale mechaniczne są również nazywane „falami T” lub „falami poprzecznymi”.
Fale podłużne obejmują fale akustyczne (prędkość rozchodzenia się cząstek w ośrodku elastycznym) oraz sejsmiczne fale P (powstałe w wyniku trzęsień ziemi i eksplozji). W falach podłużnych przemieszczenie ośrodka jest równoległe do kierunku propagacji fali.
fale dźwiękowe
W przypadku podłużnych harmonicznych fal dźwiękowych częstotliwość i długość fali można opisać wzorem:
$y_0-$ amplituda oscylacji;\textit()
$\omega -$ częstotliwość kątowa fali;
Prędkość fali $c-$.
Zwykła częstotliwość $\left((\rm f)\right)$ fali jest dana przez
Szybkość rozchodzenia się dźwięku zależy od rodzaju, temperatury i składu ośrodka, przez który się rozchodzi.
W ośrodku sprężystym fala harmoniczna wzdłużna rozchodzi się w kierunku dodatnim wzdłuż osi.
Fale poprzeczne
Definicja 2
fala poprzeczna- fala, w której kierunek drgań cząsteczek ośrodka jest prostopadły do kierunku propagacji. Przykładem fal poprzecznych jest fala elektromagnetyczna.
Rysunek 2. Fale podłużne i poprzeczne
Fale w stawie i fale na sznurku łatwo sobie wyobrazić jako fale poprzeczne.
Rysunek 3. Fale świetlne są przykładem fali poprzecznej.
Fale poprzeczne to fale oscylujące prostopadle do kierunku propagacji. Istnieją dwa niezależne kierunki, w których mogą wystąpić ruchy fal.
Definicja 3
Fale poprzeczne 2D wykazują zjawisko zwane polaryzacja.
Fale elektromagnetyczne zachowują się w ten sam sposób, choć trochę trudniej to zobaczyć. Fale elektromagnetyczne to również dwuwymiarowe fale poprzeczne.
Przykład 1
Wykazać, że równanie płaskiej fali nietłumionej $(\rm y=Acos)\left(\omega t-\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+(\varphi )_0$ dla fali pokazanej na rysunku , można zapisać jako $(\rm y=Asin)\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x$. Sprawdź to, podstawiając wartości współrzędnych $\ \ x$, które są równe $\frac(\lambda)(4)$; $\frac(\lambda)(2)$; $\frac(0.75)(\lambda)$.
Rysunek 4
Równanie $y\left(x\right)$ dla fali płaskiej nietłumionej nie zależy od $t$, co oznacza, że czas $t$ może być wybrany arbitralnie. Wybieramy czas $t$ taki, że
\[\omega t=\frac(3)(2)\pi -(\varphi )_0\] \
Podstaw tę wartość do równania:
\ \[=Acos\left(2\pi -\frac(\pi )(2)-\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x\right)=Acos\left(2\ pi -\left(\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+\frac(\pi )(2)\right)\right)=\] \[=Acos\left(\left (\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+\frac(\pi )(2)\right)=Asin\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x\] \ \ \[(\mathbf x)(\mathbf =)\frac((\mathbf 3))((\mathbf 4))(\mathbf \lambda )(\mathbf =)(\mathbf 18),(\mathbf 75)(\mathbf \ cm,\ \ \ )(\mathbf y)(\mathbf =\ )(\mathbf 0),(\mathbf 2)(\cdot)(\mathbf sin)\frac((\mathbf 3 ))((\mathbf 2))(\mathbf \pi )(\mathbf =-)(\mathbf 0),(\mathbf 2)\]
Odpowiedź: $Asin\lewo(\frac(2\pi )(\lambda )\prawo)x$
Swobodne oscylacje układów o parametrach rozłożonych
Główną cechą procesu swobodnych oscylacji układów o nieskończonej liczbie stopni swobody jest nieskończoność liczby drgań własnych i postaci drgań. Wiąże się to również z cechami o charakterze matematycznym: zamiast równań różniczkowych zwyczajnych opisujących oscylacje układów o skończonej liczbie stopni swobody, mamy tu do czynienia z równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Oprócz warunków początkowych, które określają początkowe przemieszczenia i prędkości, konieczne jest uwzględnienie warunków brzegowych charakteryzujących mocowanie układu.
6.1. Drgania wzdłużne prętów
Analizując drgania wzdłużne pręta prostoliniowego (ryc. 67, a) założymy, że przekroje pozostają płaskie, a cząstki pręta nie wykonują ruchów poprzecznych, ale poruszają się tylko w kierunku wzdłużnym.
Zostawiać ty - przemieszczenie wzdłużne aktualnego odcinka pręta podczas drgań; to przemieszczenie zależy od położenia odcinka (współrzędne x) i od czasu t. Więc istnieje funkcja dwóch zmiennych; jego definicja jest głównym zadaniem. Ruch nieskończenie bliskiej sekcji jest równy, dlatego bezwzględne wydłużenie nieskończenie małego elementu wynosi (ryc. 67, b), a jego wydłużenie względne wynosi .
W związku z tym siła podłużna w przekroju o współrzędnej X można zapisać w formie
,(173)
gdzie jest sztywność na rozciąganie (ściskanie) pręta. Siła N jest również funkcją dwóch argumentów - współrzędnych X i czas t.
Rozważ element pręta znajdujący się między dwiema nieskończenie bliskimi sekcjami (ryc. 67, c). Siła N jest przyłożona do lewej strony elementu, a siła do prawej strony. Jeśli jest oznaczony przez gęstość materiału pręta, to masa rozważanego elementu wynosi . Dlatego równanie ruchu w rzucie na oś X
,
Biorąc pod uwagę(173) i zakładając A= const , otrzymujemy
Zgodnie z metodą Fouriera poszukujemy konkretnego rozwiązania równania różniczkowego (175) w postaci
,(177)
tych. Załóżmy, że przeprowadzka ty można przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji, z których jedna zależy tylko od argumentu X, a pozostałe tylko z argumentu t . Wówczas zamiast definiowania funkcji dwóch zmiennych u (x , t ) konieczne jest zdefiniowanie dwóch funkcji X(x ) i T(t ), z których każda zależy tylko od jednej zmiennej.
Podstawiając (177) do (174), otrzymujemy
gdzie liczby pierwsze oznaczają operację różniczkowania względem x i kropki włączone t. Przepiszmy to równanie w ten sposób:
Tutaj lewa strona zależy tylko od x, a prawa strona zależy tylko od t. Za identyczne spełnienie tej równości (dla każdego) x oraz t ) konieczne jest, aby każda z jego części była równa stałej, którą oznaczamy przez:
; .(178)
Wynikają z tego dwa równania:
;
.(179)
Pierwsze równanie ma rozwiązanie:
,(180)
wskazując na charakter oscylacyjny, a od (180) jasno wynika, że nieznana wielkość ma znaczenie częstotliwości oscylacji swobodnych.
Drugie z równań (179) ma rozwiązanie:
,(181)
określenie formy drgań.
Równanie częstotliwości, które określa wartość , jest kompilowane przy użyciu warunków brzegowych. To równanie jest zawsze transcendentalne i ma nieskończoną liczbę pierwiastków. Tak więc liczba częstotliwości drgań własnych jest nieskończona, a każda wartość częstotliwości odpowiada jej własnej funkcji Tn(t ), określonej zależnością (180) oraz jej funkcji Xn(x ), określonej zależnością (181). Rozwiązanie (177) jest tylko częściowe i nie daje pełnego opisu ruchu. Kompletne rozwiązanie uzyskuje się poprzez nałożenie wszystkich poszczególnych rozwiązań:
.
Funkcje X n (x ) są nazywane własne funkcje zadania i opisują własne tryby oscylacji. Nie zależą od warunków początkowych i spełniają warunek ortogonalności, który dla A=const ma postać
, jeśli .
Rozważmy kilka wariantów warunków brzegowych.
Naprawiono koniec pręta(ryc. 68, a). W końcowym odcinku przemieszczenie u musi być równe zeru; stąd wynika, że w tej sekcji
X=0(182)
Wolny koniec pręta(rys. 68b). W końcowej części siła wzdłużna
(183)
musi być identycznie równy zero, co jest możliwe, jeśli X"=0 w sekcji końcowej.
sprężyście naprawione koniec pręta(ryc. 68, c).
Podczas ruchu ty pręta końcowego następuje sprężysta reakcja podpory 
, gdzie C około - sztywność podparcia. Uwzględniając (183) dla siły podłużnej, otrzymujemy warunek brzegowy
jeśli podpora znajduje się na lewym końcu pręta (ryc. 68, c), i
jeśli podpora znajduje się na prawym końcu pręta (ryc. 68, d).
Skoncentrowana masa na końcu pręta.
Siła bezwładności wytworzona przez masę:
.
Ponieważ zgodnie z pierwszym z równań (179), , to siłę bezwładności można zapisać jako . Otrzymujemy warunek brzegowy
,
jeśli masa znajduje się na lewym końcu (rys. 68, e), i
, (184)
jeśli masa jest podłączona do prawego końca (ryc. 68, f).
Określmy częstotliwości własne pręta wspornika (ryc. 68, a ").
Według (182) i (183) warunki brzegowe
X=0 przy x=0;
X"=0 kiedy x= .
Podstawiając te warunki jeden po drugim do rozwiązania (181), otrzymujemy
Warunek C0 prowadzi do równania częstotliwości:
Korzenie tego równania
(n=1,2,…)
wyznaczyć naturalne częstotliwości:
(n=1,2,…).(185)
Pierwsza (najniższa) częstotliwość przy n=1:
.
Druga częstotliwość (gdy n=2):
Wyznaczmy częstotliwości drgań własnych pręta z masą na końcu (ryc. 68, f).
Zgodnie z (182) i (184) mamy
X=0 przy x=0;
w x=.
Podstawiając te warunki do rozwiązania (181), otrzymujemy:
D=0; 
.
W konsekwencji równanie częstości, uwzględniające (176), ma postać
.
Tutaj prawa strona to stosunek masy pręta do masy obciążenia końcowego.
Aby rozwiązać powstałe równanie transcendentalne, konieczne jest zastosowanie jakiejś przybliżonej metody.
Dla i wartości najważniejszego najniższego pierwiastka wyniosą odpowiednio 0,32 i 0,65.
Przy małym przełożeniu decydujący wpływ ma obciążenie, a dobre wyniki uzyskuje się przy przybliżonym rozwiązaniu
.
Dla prętów o zmiennym przekroju tj. w Аconst , z (173) i (174) równanie ruchu otrzymujemy w postaci
.
To równanie różniczkowe nie może być rozwiązane w formie zamkniętej. Dlatego w takich przypadkach trzeba sięgnąć do przybliżonych metod wyznaczania częstotliwości drgań własnych.
6.2. Drgania skrętne wałów
Drgania skrętne wału o masie rozłożonej w sposób ciągły (rys. 69, a) opisane są równaniami, które całkowicie pokrywają się strukturą z podanymi wyżej równaniami drgań podłużnych prętów.
Moment M w przekroju z odciętą X jest związany z kątem obrotu przez zależność różniczkową podobną do (173):
gdzie Jp jest biegunowym momentem bezwładności przekroju.
W odcinku na odległość dx, moment obrotowy wynosi (ryc. 69, b):
Oznaczając poprzez (gdzie jest gęstość materiału wału) natężenie momentu bezwładności masy wału względem jego osi (tj. moment bezwładności jednostki długości), równanie ruchu elementarnego odcinka wałek można zapisać w następujący sposób:
,
lub jak (174):
.
Zastępując wyrażenie (186) tutaj, z Jp=const otrzymujemy, podobnie jak (175):
, (187)
Ogólne rozwiązanie równania (187) oraz równania (175) ma postać
,
(188)
Częstotliwości własne i funkcje własne są określane przez określone warunki brzegowe.
W głównych przypadkach mocowania końców, podobnie jak w przypadku drgań wzdłużnych, otrzymujemy
a) koniec stały (=0): X=0;
b) wolny koniec (M=0): X"=0;
w) elastycznie mocowany lewy koniec: СoХ=GJpX "(współczynnik sztywności);
G) elastycznie mocowany prawy koniec: -CoX=GJpX ";
e) dysk na lewym końcu: 
(Jo to moment bezwładności dysku względem osi pręta);
f) dysk na prawym końcu: 
.
Jeżeli wał jest zamocowany na lewym końcu (x=0), a prawy koniec (x= ) jest wolny, to X=0 przy x=0 i X"=0 przy x= ; podobnie określa się częstotliwości drgań własnych (185 ):
(n=1,2,…).
Jeśli lewy koniec jest stały, a na prawym końcu znajduje się krążek, otrzymujemy równanie transcendentalne:
.
Jeśli oba końce wału są nieruchome, warunki brzegowe będą miały postać X=0 przy x=0 i x= . W tym przypadku z (188) otrzymujemy
tych.
(n=1,2,…),
stąd znajdujemy naturalne częstotliwości:
Jeśli lewy koniec wału jest wolny, a na prawym końcu znajduje się dysk, to X"=0 przy x=0; Jo X=GJpX" przy x=.
Używając (188), znajdujemy
C=0; 
,
lub transcendentalne równanie częstotliwości:
.
6.3 Drgania zginające belek
6.3.1 Podstawowe równanie
Z przebiegu nośności materiałów znane są zależności różnicowe dla zginania belek:
gdzie EJ - sztywność zginania; y \u003d y (x, t) - ugięcie; M=M(x, t) - moment zginający; q to intensywność rozłożonego obciążenia.
Łącząc (189) i (190) otrzymujemy
.(191)
W zagadnieniu drgań swobodnych obciążeniem szkieletu sprężystego są rozłożone siły bezwładności:
gdzie m jest natężeniem masy belki (masa na jednostkę długości), a równanie (191) staje się
.
W szczególnym przypadku stałego przekroju, gdy EJ = const , m = const , mamy:
.(192)
Aby rozwiązać równanie (192), zakładamy, jak wyżej,
tak=X( x )× T( t ).(193)
Podstawiając (193) do (192), otrzymujemy równanie:
.
Aby ta równość była identyczna, konieczne jest, aby każda z części równości była stała. Oznaczając tę stałą przez , otrzymujemy dwa równania:
.(195)
Pierwsze równanie wskazuje, że ruch oscyluje z częstotliwością.
Drugie równanie określa kształt oscylacji. Rozwiązanie równania (195) zawiera cztery stałe i ma postać
Wygodnie jest skorzystać z wariantu pisania ogólnego rozwiązania zaproponowanego przez A.N. Kryłowa:
(198)
to funkcje A.N. Kryłowa.
Zwróćmy uwagę, że S=1, T=U=V=0 przy x=0. Funkcje S, T, U, V są ze sobą połączone w następujący sposób:
Dlatego wyrażenia pochodne (197) zapisuje się w postaci
(200)
W problemach rozważanej klasy liczba częstotliwości własnych jest nieskończenie duża; każdy z nich ma swoją własną funkcję czasu T n i swoją własną funkcję podstawową X n . Ogólne rozwiązanie otrzymujemy nakładając częściowe rozwiązania postaci (193)
.(201)
Aby wyznaczyć częstotliwości drgań własnych i wzory, konieczne jest uwzględnienie warunków brzegowych.
6.3.2. Warunki graniczne
Dla każdego końca pręta można określić dwa warunki brzegowe .
Wolny koniec pręta(ryc. 70, a). Siła poprzeczna Q=EJX"""T i moment zginający M=EJX""T są równe zeru. W związku z tym warunki brzegowe mają postać
X""=0; X"""=0 .(202)
Zawiasowy koniec pręta(rys. 70b). Ugięcie y=XT i moment zginający M=EJX""T są równe zeru. Dlatego warunki brzegowe to:
X=0 ; X""=0 .(203)
ściśnięty koniec(ryc. 70, c). Ugięcie y=XT i kąt obrotu są równe zeru. Warunki graniczne:
X=0; X"=0 . (204)
Na końcu pręta znajduje się masa punktowa(ryc. 70d). Jego siła bezwładności 
można zapisać za pomocą równania (194) w następujący sposób: ; musi być równa sile poprzecznej Q=EJX"""T , więc warunki brzegowe przyjmują postać
; X""=0 .(205)
W pierwszym warunku znak plus jest akceptowany w przypadku, gdy waga punktowa jest podłączona do lewego końca pręta, a znak minus, gdy jest podłączony do prawego końca pręta. Drugi warunek wynika z braku momentu zginającego.
Elastycznie podparty koniec pręta(ryc. 70, e). Tutaj moment zginający jest równy zeru, a siła poprzeczna Q=EJX"""T jest równa reakcji podpory 
(Współczynnik sztywności podpory).
Warunki graniczne:
X""=0 ; (206)
(znak minus jest przyjmowany, gdy podpora elastyczna jest po lewej stronie, a znak plus, gdy jest po prawej).
6.3.3. Równanie częstotliwości i postacie własne
Rozbudowany zapis warunków brzegowych prowadzi do jednorodnych równań dla stałych C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Aby te stałe nie były równe zeru, wyznacznik złożony ze współczynników układu musi być równy zero; prowadzi to do równania częstotliwości. Podczas tych operacji odkrywane są zależności między C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , tj. wyznaczane są tryby własne oscylacji (do stałego współczynnika).
Prześledźmy kompilację równań częstotliwościowych na przykładach.
Dla belki z końcami przegubowymi zgodnie z (203) mamy następujące warunki brzegowe: X=0; X""=0, gdy x=0 i x= . Za pomocą (197)-(200) otrzymujemy z dwóch pierwszych warunków: C 1 =C 3 =0. Pozostałe dwa warunki można zapisać jako
Aby C 2 i C 4 nie były równe zeru, wyznacznik musi być równy zero:
.
Zatem równanie częstotliwości ma postać
.
Podstawiając wyrażenia T i U, otrzymujemy
Ponieważ , to końcowe równanie częstotliwościowe jest zapisane w następujący sposób:
. (207)
Korzenie tego równania to:
,(n=1,2,3,...).
Biorąc pod uwagę (196), otrzymujemy
.(208)
Przejdźmy do definiowania własnych form. Z zapisanych powyżej równań jednorodnych wynika następująca zależność między stałymi C 2 i C 4:
.
W konsekwencji (197) przyjmuje postać:
Według (207) mamy
,(209)
gdzie jest nową stałą, której wartość pozostaje nieokreślona, dopóki nie zostaną uwzględnione warunki początkowe.
6.3.4. Definicja ruchu według warunków początkowych
Jeżeli konieczne jest wyznaczenie ruchu po początkowym zaburzeniu, konieczne jest określenie zarówno przemieszczeń początkowych, jak i prędkości początkowych dla wszystkich punktów belki:
(210)
i użyj własności ortogonalności kształtów własnych:
.
Ogólne rozwiązanie (201) piszemy w następujący sposób:
.(211)
Szybkość zależy od wyrażenia
.(212)
Podstawiając w prawej części równania (211) i (212) , a w lewej - założone znane przemieszczenia początkowe i prędkości, otrzymujemy
.
Mnożąc te wyrażenia przez i całkując na całej długości, mamy
(213)
Nieskończone sumy po prawej stronie zniknęły z powodu własności ortogonalności. Z (213) wynikają wzory na stałe i
(214)
Teraz te wyniki należy podstawić do roztworu (211).
Ponownie podkreślamy, że wybór skali odpowiednich kształtów nie jest konieczny. Jeśli np. w wyrażeniu własnej postaci (209) przyjmiemy wartość, która jest razy większa, to (214) da wyniki, które są razy mniejsze; po podstawieniu do roztworu (211) różnice te wzajemnie się znoszą. Niemniej jednak często stosuje się znormalizowane funkcje własne, dobierając ich skalę tak, aby mianowniki wyrażeń (214) były równe jeden, co upraszcza wyrażenia oraz .
6.3.5. Wpływ stałej siły podłużnej
Rozważmy przypadek, w którym na belkę oscylacyjną działa siła podłużna N, której wartość nie zmienia się podczas procesu oscylacji. W tym przypadku równanie zginania statycznego staje się bardziej skomplikowane i przyjmuje postać (przy założeniu, że siła ściskająca jest dodatnia)
.
Zakładając i zakładając, że sztywność jest stała, otrzymujemy równanie drgań swobodnych
.(215)
Nadal przyjmujemy konkretne rozwiązanie w formie
Następnie równanie (215) dzieli się na dwa równania:
Pierwsze równanie wyraża oscylacyjny charakter rozwiązania, drugie określa kształt oscylacji, a także pozwala znaleźć częstotliwości. Przepiszmy to tak:
(216)
gdzie K określa wzór (196), a
Rozwiązanie równania (216) ma postać
Rozważ przypadek, gdy oba końce pręta mają wsporniki na zawiasach. Warunki na lewym końcu 
dawać . Spełniając te same warunki na prawym końcu otrzymujemy
Przyrównując do zera wyznacznik złożony ze współczynników o wartościach i , dochodzimy do równania
Pierwiastki tego równania częstotliwości to:
Dlatego częstotliwość drgań własnych wyznaczana jest z równania
.
Stąd, biorąc pod uwagę (217), stwierdzamy:
.(219)
Po rozciągnięciu częstotliwość wzrasta, po skompresowaniu maleje. Kiedy siła ściskająca N zbliża się do wartości krytycznej, korzeń dąży do zera.
6.3.6. Wpływ sił łańcuchowych
Wcześniej uważano, że siła wzdłużna jest podana i niezależna od przemieszczeń układu. W niektórych problemach praktycznych siła podłużna, która towarzyszy procesowi drgań poprzecznych, powstaje w wyniku zginania belki i ma charakter reakcji podpory. Rozważmy na przykład belkę na dwóch wspornikach zamocowanych na zawiasach. Podczas zginania zachodzą poziome reakcje podpór, powodując rozciąganie belki; odpowiednia siła pozioma nazywa się siła łańcucha. Jeśli belka wprawia w drgania poprzeczne, siła łańcucha będzie się zmieniać z czasem.
Jeżeli w chwili t ugięcia belki są określone funkcją , to wydłużenie osi można znaleźć ze wzoru
.
Odpowiednią siłę łańcucha można znaleźć za pomocą prawa Hooke'a
.
Zastępujemy ten wynik w (215) zamiast siły podłużnej N (biorąc pod uwagę znak)
.(220)
Wynikowy nieliniowy całkowo-różnicowy równanie jest uproszczone przez podstawienie
,(221)
gdzie jest bezwymiarową funkcją czasu, której maksymalna wartość może być ustawiona na dowolną liczbę, na przykład jeden; amplituda oscylacji.
Podstawiając (221) do (220), otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne
,(222)
których współczynniki mają następujące wartości:
;.
Równanie różniczkowe (222) jest nieliniowe, dlatego częstotliwość drgań swobodnych zależy od ich amplitudy.
Dokładne rozwiązanie częstotliwości drgań poprzecznych ma postać
gdzie jest częstotliwość oscylacji poprzecznych, obliczona bez uwzględnienia sił łańcucha; współczynnik korygujący zależny od stosunku amplitudy drgań do promienia bezwładności przekroju; wartość podana jest w literaturze przedmiotu.
Gdy amplituda i promień bezwładności przekroju są porównywalne, korekcja częstotliwości staje się znacząca. Jeżeli np. amplituda drgań pręta o przekroju kołowym jest równa jego średnicy, to , a częstotliwość jest prawie dwukrotnie większa niż w przypadku swobodnego przemieszczenia podpór.
Przypadek odpowiada zerowej wartości promienia bezwładności, gdy sztywność zginania belki jest znikomo mała - struna. W tym przypadku wzór na daje niepewność. Ujawniając tę niepewność otrzymujemy wzór na częstotliwość drgań struny
.
Wzór ten odnosi się do przypadku, gdy w pozycji równowagi napięcie wynosi zero. Problem drgań struny często stawiany jest przy innych założeniach: zakłada się, że przemieszczenia są małe, a siła rozciągająca jest podana i pozostaje niezmienna podczas drgań.
W tym przypadku wzór na częstotliwość ma postać
gdzie N jest stałą siłą rozciągającą.
6.4. Wpływ tarcia lepkiego
Wcześniej zakładano, że materiał prętów jest idealnie elastyczny i nie występuje tarcie. Rozważ efekt tarcia wewnętrznego, zakładając, że jest lepki; wtedy związek między naprężeniami i odkształceniami jest opisany przez zależności
;
.(223)
Niech pręt o parametrach rozłożonych wykonuje swobodne drgania podłużne. W takim przypadku siła podłużna zostanie zapisana w postaci
Z równania ruchu elementu prętowego otrzymano zależność (174)
Podstawiając (224) tutaj, dochodzimy do głównego równania różniczkowego
,(225)
różni się od (175) drugim wyrazem, wyrażającym wpływ sił tarcia lepkiego.
Zgodnie z metodą Fouriera poszukujemy rozwiązania równania (225) w postaci
,(226)
gdzie funkcja to tylko współrzędne x, a funkcja to tylko czas t.
W tym przypadku każdy element szeregu musi spełniać warunki brzegowe problemu, a cała suma musi również spełniać warunki początkowe. Podstawianie(226) do(225) i wymaganie spełnienia równości dla dowolnej liczby r, dostajemy
,(227)
gdzie liczby pierwsze oznaczają zróżnicowanie względem współrzędnej x, a punkty to zróżnicowanie względem czasu t.
Dzielenie (227) przez iloczyn 
, dochodzimy do równości
,(228)
lewa strona, która może zależeć tylko od współrzędnej x, a właściwy - dopiero od czasu t. Dla identycznego spełnienia równości (228) konieczne jest, aby obie części były równe tej samej stałej, którą oznaczamy przez .
Z tego wykonaj równania
(229)
.(230)
Równanie (229) nie zależy od współczynnika lepkości K iw szczególności pozostaje takie samo w przypadku układu doskonale sprężystego, gdy . Dlatego liczby całkowicie pokrywają się z tymi znalezionymi wcześniej; jednak, jak zostanie pokazane poniżej, wartość ta podaje tylko przybliżoną wartość częstotliwości drgań własnych. Zauważ, że formy własne są całkowicie niezależne od lepkich właściwości pręta, tj. formy oscylacji swobodnych tłumionych pokrywają się z formami oscylacji swobodnych nietłumionych.
Przejdźmy teraz do równania (230), które opisuje proces oscylacji tłumionych; jak wygląda jego rozwiązanie
.(233)
Wyrażenie (232) określa szybkość tłumienia, a (233) określa częstotliwość drgań.
Zatem całkowite rozwiązanie równania problemu
.(234)
Stała i zawsze można ją znaleźć przy danych warunkach początkowych. Niech początkowe przemieszczenia i początkowe prędkości wszystkich przekrojów prętów będą podane w następujący sposób:
;
,(235)
gdzie i są znanymi funkcjami.
Następnie dla , zgodnie z (211) i (212), mamy
mnożąc obie części tych równości przez i całkując na całej długości pręta, otrzymujemy
(236)
Zgodnie z warunkiem ortogonalności form własnych, wszystkie inne wyrazy zawarte po prawej stronie tych równości znikają. Teraz łatwo jest znaleźć z równości (236) dla dowolnej liczby r .
Rozważając (232) i (234) zauważamy, że im większa liczba postaci drgań, tym szybsze jej tłumienie. Ponadto terminy w (234) opisują tłumione oscylacje, jeśli istnieje liczba rzeczywista. Z (233) widać, że ma to miejsce tylko dla kilku początkowych wartości r, o ile nierówność
Dla wystarczająco dużych wartości r nierówność (237) zostaje naruszona, a ilość staje się urojona. W tym przypadku odpowiednie warunki rozwiązania ogólnego (234) nie będą już opisywać drgań tłumionych, ale będą reprezentować aperiodyczny ruch tłumiony. Innymi słowy, wahania, w zwykłym znaczeniu tego słowa, są wyrażane tylko przez pewną skończoną część sumy (234).
Wszystkie te jakościowe wnioski dotyczą nie tylko przypadku drgań podłużnych, ale także przypadków drgań skrętnych i zginających.
6.5. Drgania prętów o zmiennym przekroju
W przypadkach, gdy rozłożona masa i przekrój pręta są zmienne na jego długości, zamiast równania drgań wzdłużnych (175) należy postępować z równania
.(238)
Równanie drgań skrętnych (187) należy zastąpić równaniem
,(239)
oraz równanie oscylacji poprzecznych (192) - przez równanie
.(240)
Równania (238)-(240) za pomocą podstawień tego samego typu ;; można sprowadzić do równań różniczkowych zwyczajnych dla funkcji
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (drukuj) doi: http://dx.doi UDC 517.956,3
PROBLEM DRGAŃ WZDŁUŻNYCH SPRĘŻYSTYCZNIE MOCOWANEGO PRĘTA OBCIĄŻONEGO
A. B. Beilin
Państwowy Uniwersytet Techniczny w Samarze, Rosja, 443100, Samara, ul. Mołodogwardejskaja, 244.
adnotacja
Uwzględniono jednowymiarowe drgania podłużne grubego krótkiego pręta zamocowanego na końcach za pomocą skoncentrowanych mas i sprężyn. Jako model matematyczny wykorzystano zagadnienie początkowe-brzegowe z dynamicznymi warunkami brzegowymi dla równania hiperbolicznego czwartego rzędu. Wybór tego konkretnego modelu wynika z konieczności uwzględnienia skutków deformacji pręta w kierunku poprzecznym, których zaniedbanie, jak wykazał Rayleigh, prowadzi do błędu, co potwierdza współczesny nie- lokalna koncepcja badania drgań ciał stałych. Wykazano istnienie układu funkcji własnych badanego problemu ortogonalnych z obciążeniem i uzyskano ich reprezentację. Ustalone właściwości funkcji własnych umożliwiły zastosowanie metody separacji zmiennych i udowodnienie istnienia unikalnego rozwiązania problemu.
Słowa kluczowe: dynamiczne warunki brzegowe, drgania wzdłużne, ortogonalność obciążeń, model Rayleigha.
Wstęp. W każdym pracującym układzie mechanicznym zachodzą procesy oscylacyjne, które mogą być generowane z różnych przyczyn. Procesy oscylacyjne mogą być konsekwencją cech konstrukcyjnych systemu lub redystrybucji obciążeń między różnymi elementami regularnie działającej konstrukcji.
Obecność źródeł procesów oscylacyjnych w mechanizmie może utrudniać diagnozę jego stanu, a nawet prowadzić do naruszenia jego trybu pracy, aw niektórych przypadkach do zniszczenia. Różne problemy związane z naruszeniem dokładności i wydajności układów mechanicznych w wyniku drgań niektórych ich elementów są często rozwiązywane eksperymentalnie w praktyce.
Jednocześnie procesy oscylacyjne mogą być bardzo przydatne np. do obróbki materiałów, montażu i demontażu połączeń. Wibracje ultradźwiękowe pozwalają nie tylko zintensyfikować procesy skrawania (wiercenie, frezowanie, szlifowanie itp.) materiałów o dużej twardości (stale wolframowe, tytanowo-węglikowe itp.),
© 2016 Państwowy Uniwersytet Techniczny w Samarze. Próbka cytowania
Beilin, A.B., Problem drgań podłużnych pręta obciążonego sprężyście, Vestn. Ja. stan technika Uniwersytet Ser. Fizyka-Matematyka. Nauki, 2016. V. 20, nr 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. O autorze
Alexander Borisovich Beilin (doktor); [e-mail chroniony]), profesor nadzwyczajny, wydz. zautomatyzowane systemy maszyn i narzędzi.
ale w niektórych przypadkach stają się jedyną możliwą metodą przetwarzania kruchych materiałów (german, krzem, szkło itp.). Element urządzenia (falowód), który przenosi drgania ultradźwiękowe ze źródła (wibratora) na narzędzie, nazywany jest koncentratorem i może mieć inny kształt: cylindryczny, stożkowy, schodkowy, wykładniczy itp. . Jego celem jest przekazanie do instrumentu fluktuacji wymaganej amplitudy.
Zatem konsekwencje występowania procesów oscylacyjnych mogą być różne, a także przyczyny, które je powodują, dlatego naturalnie pojawia się potrzeba teoretycznego badania procesów oscylacji. Matematyczny model propagacji fali w stosunkowo długich i cienkich prętach litych, oparty na równaniu falowym drugiego rzędu, został dobrze zbadany i od dawna stał się klasykiem. Jednak, jak pokazał Rayleigh, model ten nie do końca jest spójny z badaniem drgań grubego krótkiego pręta, podczas gdy wiele szczegółów rzeczywistych mechanizmów można interpretować jako krótkie i grube pręty. W takim przypadku należy również wziąć pod uwagę odkształcenia pręta w kierunku poprzecznym. Matematyczny model drgań podłużnych grubego krótkiego pręta, który uwzględnia skutki ruchu poprzecznego pręta, nazywa się prętem Rayleigha i opiera się na równaniu hiperbolicznym czwartego rzędu
^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1)
których współczynniki mają znaczenie fizyczne:
g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),
gdzie A(x) to pole przekroju poprzecznego, p(x) to gęstość masy pręta, E(x) to moduł Younga, V(x) to współczynnik Poissona, 1P(x) to biegunowy moment bezwładności , u(x, b) - przemieszczenia wzdłużne do określenia.
Idee Rayleigha znalazły swoje potwierdzenie i rozwinięcie we współczesnych pracach poświęconych procesom drgań, a także teorii plastyczności. Artykuł przeglądowy uzasadnia mankamenty klasycznych modeli opisujących stan i zachowanie ciał stałych pod obciążeniem, w których a priori ciało uważane jest za idealne continuum. Współczesny poziom rozwoju nauk przyrodniczych wymaga budowy nowych modeli, które adekwatnie opisują badane procesy, a wypracowane w ostatnich dziesięcioleciach metody matematyczne dają taką możliwość. Na tej ścieżce w ostatnim ćwierćwieczu ubiegłego wieku zaproponowano nowe podejście do badania wielu procesów fizycznych, w tym wspomnianych powyżej, oparte na koncepcji nielokalności (zob. artykuł i wykaz w nim odniesień). Jedna ze zidentyfikowanych przez autorów klas modeli nielokalnych nosi nazwę „słabo nielokalne”. Modele matematyczne należące do tej klasy mogą być zaimplementowane poprzez wprowadzenie do równania opisującego pewien proces pochodnych wyższego rzędu, które pozwalają na uwzględnienie w pewnym przybliżeniu wzajemnego oddziaływania elementów wewnętrznych przedmiotu badań. Tak więc model Rayleigha jest aktualny w naszych czasach.
1. Stwierdzenie problemu. Niech końce pręta x = 0, x = I zostaną przymocowane do nieruchomej podstawy za pomocą skupionych mas N1, M2 i sprężyn o sztywności K1 i K2. Założymy, że pręt jest ciałem obrotowym wokół osi 0x, a początkowy moment czasu znajduje się w stanie równowagi. Następnie dochodzimy do następującego problemu z wartością graniczną.
Zadanie. Znajdź w obszarze Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) i warunki brzegowe
a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu (1, r) + K2u (1, r) + M2uu (1, r) = 0. ()
Artykuł omawia niektóre szczególne przypadki problemu (1)-(2) i podaje przykłady, w których współczynniki równania mają postać jawną i M\ = M2 = 0. Artykuł dowodzi jednoznacznej słabej rozwiązywalności problemu w ogólnym walizka.
Warunki (2) określa sposób mocowania pręta: jego końce są przymocowane do stałych podstaw za pomocą urządzeń o masach M1, M2 i sprężynach o sztywności odpowiednio K1, K2. Obecność mas i naddatek na przemieszczenia poprzeczne prowadzi do warunków postaci (2) zawierającej pochodne czasowe. Warunki brzegowe, które zawierają pochodne czasowe, nazywane są dynamicznymi. Mogą powstawać w różnych sytuacjach, z których najprostsze opisane są w podręczniku, a znacznie bardziej złożone w monografii.
2. Badanie naturalnych drgań pręta. Rozważ jednorodne równanie odpowiadające równaniu (1). Ponieważ współczynniki zależą tylko od x, możemy oddzielić zmienne, przedstawiając u(x, z) = X(x)T(z). Otrzymujemy dwa równania:
m""(r) + \2m(r) = 0,
((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)
Równaniu (3) towarzyszą warunki brzegowe
(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,
(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)
W ten sposób doszliśmy do problemu Sturma-Liouville'a, który różni się od klasycznego tym, że parametr widmowy Λ jest zawarty we współczynniku najwyższej pochodnej równania, a także w warunkach brzegowych. Ta okoliczność nie pozwala na odwołanie się do wyników znanych z literatury, dlatego naszym bezpośrednim celem jest zbadanie problemu (3), (4). Aby pomyślnie wdrożyć metodę separacji zmiennych, potrzebujemy informacji o istnieniu i lokalizacji wartości własnych, o jakościowych
własności funkcji własnych: czy mają one własność ortogonalności?
Pokażmy, że A2 > 0. Załóżmy, że tak nie jest. Niech X(x) będzie funkcją własną problemu (3), (4) odpowiadającą wartości A = 0. Mnożymy (3) przez X(x) i całkujemy wynikową równość w przedziale (0,1). Całkowanie przez części i zastosowanie warunków brzegowych (4), po elementarnych przekształceniach otrzymujemy
1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+
N\X 2(0) + M2X 2(1)
I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo
Zauważmy, że z fizycznego znaczenia funkcji a(x), b(x), g(x) są dodatnie, Kr, Mr są nieujemne. Ale z uzyskanej równości wynika, że X „(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, a zatem X (x) \u003d 0, co jest sprzeczne z przyjętym założeniem. założenie, że zero jest wartością własną problemu (3), (4) jest fałszywe.
Przedstawienie rozwiązania równania (3) zależy od znaku wyrażenia a(x) - - A2b(x). Pokażmy, że a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Ustalamy dowolnie x e (0, 1) i znajdujemy wartości w tym punkcie funkcji a(x), b(x), q(x). Równanie (3) zapisujemy w postaci
X ”(x) + VX (x) \u003d 0, (5)
gdzie zaznaczyliśmy
w wybranym punkcie stałym, a warunki (4) można zapisać w postaci
X „(0) - aX (0) \u003d 0, X” (1) + bX (I) \u003d 0, (6)
gdzie a, b są łatwe do obliczenia.
Jak wiadomo, klasyczny problem Sturma-Liouville'a (5), (6) ma policzalny zbiór funkcji własnych dla V > 0, skąd, z powodu arbitralności x, następuje pożądana nierówność.
Funkcje własne zagadnienia (3), (4) mają własność ortogonalności z obciążeniem wyrażoną zależnością
I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о
M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7)
które można uzyskać w standardowy sposób (patrz np. ), którego realizacja w przypadku rozważanego problemu wiąże się z elementarnymi, ale żmudnymi obliczeniami. Przedstawmy pokrótce jego wyprowadzenie, pomijając argument funkcji Xr(x), aby uniknąć nieporęczności.
Niech λm, λn będą różnymi wartościami własnymi, λm, λn będą odpowiadającymi im funkcjami własnymi problemu (3), (4). Następnie
((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.
Mnożymy pierwsze z tych równań przez Xn, a drugie przez Xm i odejmujemy drugie od pierwszego. Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy równość
(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) „- LP (bXtX” p) „- (aX „tXp)” + Rt (bXtXp)”,
które całkujemy w przedziale (0,1). W rezultacie biorąc pod uwagę (4) i redukując o (Лт - Лп), otrzymujemy zależność (7).
Udowodnione stwierdzenia dotyczące własności wartości własnych i funkcji własnych problemu Sturma-Liouville'a (3), (4) pozwalają nam zastosować metodę separacji zmiennych w celu znalezienia rozwiązania problemu.
3. Rozwiązywanie problemu. Oznaczać
C(CT) = (u: ue C(St) P C2(St), uixx e C^m)).
Twierdzenie 1. Niech a, b e C1 , e C. Wtedy istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie u e C(m) problemu (1), (2).
Dowód. Załóżmy, że istnieją dwa różne rozwiązania problemu (1), (2), u1(x, z) i u2(x, z). Wówczas, ze względu na liniowość problemu, ich różnica u = u1 - u2 jest rozwiązaniem jednorodnego problemu odpowiadającego (1), (2). Pokażmy, że jego rozwiązanie jest banalne. Zauważmy z góry, że z fizycznego znaczenia współczynników równania i warunków brzegowych funkcje a, b, q są wszędzie dodatnie w Qm, podczas gdy M^, K^ są nieujemne.
Mnożąc równość (1) przez u i całkując po dziedzinie Qt, gdzie t e i arbitralnie, po prostych przekształceniach, otrzymujemy
/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o
K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0,
stąd, na mocy arbitralności m, natychmiast następuje stwierdzenie twierdzenia.
Wykażmy istnienie rozwiązania dla przypadku stałych współczynników.
Twierdzenie 2. Niech<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>„(\) = 0, ma pochodną ciągłą odcinkowo ciągłą trzeciego rzędu w (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0 i ma pochodną ciągłą odcinkowo ciągłą drugiego rzędu w ( 0,1), f e C(C^m), to rozwiązanie problemu (1), (2) istnieje i można je otrzymać jako sumę szeregu funkcji własnych.
Dowód. Jak zwykle poszukamy rozwiązania problemu w postaci sumy
gdzie pierwszym wyrazem jest rozwiązanie sformułowanego problemu dla równania jednorodnego odpowiadającego (1), drugim jest rozwiązanie równania (1), które spełnia zerowe warunki początkowe i brzegowe. Wykorzystajmy wyniki badań przeprowadzonych w poprzednim akapicie i zapiszmy ogólne rozwiązanie równania (3):
X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.
\¡ a - A2b \¡ a - A2b
Stosując warunki brzegowe (4), otrzymujemy układ równań dla Cj!
(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,
(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+
Przyrównując jego wyznacznik do zera, otrzymujemy równanie widmowe ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (osiem) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Sprawdźmy, czy to transcendentalne równanie ma rozwiązanie. Aby to zrobić, rozważ funkcje znajdujące się w jego lewej i prawej części i zbadaj ich zachowanie. Nie ograniczając zbytnio ogólności, ustalamy Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, co nieco uprości niezbędne obliczenia. Równanie (8) przyjmuje postać x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" i napisz równanie widmowe w nowej notacji! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - am) 2/j.aql Analiza funkcji lewej i prawej części ostatniego równania pozwala stwierdzić, że istnieje przeliczalny zbiór jego pierwiastków, a zatem przeliczalny zbiór funkcji własnych problemu Sturma-Liouville'a (3), (4) , który, biorąc pod uwagę otrzymaną z systemu relację względem c¿, można zapisać v / l l I q K - x2pm. ja jestem Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx. Va - A2b AnVa - ftb^q Va - A2b Teraz zajmiemy się znalezieniem rozwiązania, które spełni również warunki początkowe. Możemy teraz łatwo znaleźć rozwiązanie problemu dla równania jednorodnego w postaci szeregu u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x), których współczynniki można znaleźć z danych początkowych za pomocą własności ortogonalności funkcji Xn(x), których normę można uzyskać z zależności (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo Proces znajdowania funkcji v(x,t) również jest w zasadzie standardowy, ale nadal zauważamy, że szukając rozwiązania w postaci tradycyjnej v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), otrzymujemy dwa równania. Rzeczywiście, biorąc pod uwagę postać funkcji własnych, określmy strukturę szeregu, w którym szukamy rozwiązania: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (dziewięć) v JXnVa - xnb^q V a - xn" Aby spełnić zerowe warunki początkowe y(x, 0) = y^x, 0) = 0, wymagamy, aby x, d) w szereg Fouriera w odniesieniu do funkcji własnych Xn(x), znajdujemy współczynniki ¡n( b) i dn(b). Podstawiając (9) do równania (1), zapisanego względem y(x, b), po serii przekształceń otrzymujemy równania na znalezienie Yn(b) i Shn(b): uc® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Biorąc pod uwagę warunki początkowe Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0, dochodzimy do problemów Cauchy'ego dla każdej z funkcji Yn(b) i Shn( b), którego unikalną rozwiązywalność gwarantują warunki twierdzenia. Własności danych wyjściowych sformułowanych w twierdzeniu nie pozostawiają wątpliwości co do zbieżności wszystkich szeregów, które powstały w toku naszych badań, a tym samym istnienia rozwiązania problemu. Wniosek. Wykazano istnienie układu funkcji własnych badanego problemu ortogonalnych z obciążeniem i uzyskano ich reprezentację. Ustalone właściwości funkcji własnych umożliwiły udowodnienie istnienia unikalnego rozwiązania problemu. Należy zauważyć, że wyniki uzyskane w artykule mogą być wykorzystane zarówno do dalszych badań teoretycznych problemów z dynamicznymi warunkami brzegowymi, jak i do celów praktycznych, a mianowicie do obliczania drgań podłużnych szerokiej gamy obiektów technicznych. Aleksander Borysowicz Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 BIBLIOGRAFIA 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultradźwiękowa obróbka mechaniczna i montaż. Samara: Wydawnictwo książek Samara, 1995. 191 s. 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ultradźwiękowe przetwarzanie wymiarowe materiałów. Barnauł: Uniwersytet Techniczny Ałtaj im. I.I. Polzunowa, 1997. 120 s. 3. Kuumabe D. Cięcie wibracyjne. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 s. 4. A. N. Tichonow i A. A. Samarskii, Równania fizyki matematycznej. M.: Nauka, 2004. 798 s. 5. Strett J. V. Teoria dźwięku. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s. 6. Rao J. S. Zaawansowana teoria drgań: drgania nieliniowe i struktury jednowymiarowe. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu Teoria drgań swobodnych i wymuszonych pręta litego oparta na modelu Rayleigha // DAN, 2007. V. 417, nr 1. s. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulas of Plasty and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. vol. 128, no. 11.pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. A. B. Beilin i L. S. Pulkina, „Problem drgań wzdłużnych pręta z dynamicznymi warunkami brzegowymi”, Vestn. SamGU. Naturalna nauka Ser., 2014. Nr 3 (114). s. 9-19. 10. M. O. Korpusov, Pękanie w nieklasycznych równaniach falowych. M.: URSS, 2010. 237 s. Otrzymano 10.10.2016 r.; w wersji ostatecznej - 18.V.2016; przyjęty do publikacji - 27.V.2016. Kamizelka Samar. idź S. Techn. Unta. Ser. Fiz.-mat. nauki ścisłe 2016, tom. 20, nie. 2, s. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (drukuj) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 PROBLEM Z DRGAŃ WZDŁUŻNYCH PRĘTA Z ELASTYCZNYM MOCOWANIEM Państwowy Uniwersytet Techniczny w Samarze, 244, ul. Molodogvardeyskaya, Samara, 443100, Federacja Rosyjska. W tym artykule badamy drgania wzdłużne w grubym krótkim pręcie zamocowanym za pomocą sił punktowych i sprężyn. Dla modelu matematycznego rozważamy problem wartości brzegowej z dynamicznymi warunkami brzegowymi dla równania różniczkowego cząstkowego czwartego rzędu. Wybór tego modelu uzależniony jest od konieczności uwzględnienia wyniku odkształcenia poprzecznego. Rayleigh wykazał, że zaniedbanie odkształcenia poprzecznego prowadzi do błędu. Potwierdza to współczesna nielokalna teoria drgań. Udowadniamy istnienie funkcji własnych ortogonalnych z obciążeniem i wyprowadzamy ich reprezentację. Ustalone własności funkcji własnych umożliwiają zastosowanie metody separacji zmiennych i znalezienie unikalnego rozwiązania problemu. Słowa kluczowe: dynamiczne warunki brzegowe, drgania podłużne, obciążona ortogonalność, model Rayleigha. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul „trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (w języku rosyjskim) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul „trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 s. (w języku rosyjskim) 3. Kuumabe J. Cięcie wibracyjne. Tokio, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (w języku japońskim). 4. Tichonow A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskwa, Nauka, 2004, 798 s. (Po angielsku) 5. Strutt J. W. Teoria dźwięku, t. 1. Londyn, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s. 6. Rao J. S. Zaawansowana teoria drgań: drgania nieliniowe i struktury jednowymiarowe. Nowy Jork, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s. Beylin AB Problem drgań wzdłużnych pręta z mocowaniem elastycznym, Vestn. Samar. idź S. Technologia. Uniw., Ser. Fiz.-Mat. Nauka, 2016, tom. 20, nie. 2, s. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (w języku angielskim) Dane autora: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail chroniony]), profesor nadzwyczajny, wydz. Automatyki Obrabiarek i Systemów Narzędziowych. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoria drgań swobodnych i wymuszonych pręta sztywnego oparta na modelu Rayleigha, Dokl. Phys., 2007, vol.52, no. 11, s. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nielokalne integralne formuły plastyczności i uszkodzeń: przegląd postępów, J. Eng. Mech., 2002, t. 128, no. 11, s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Promlem o drganiach podłużnych pręta z dynamicznymi warunkami brzegowymi, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, nr. 3(114), s. 919 (w języku rosyjskim). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklasicheskikh volnovykh uravneniakh. Moskwa, URSS, 2010, 237 s. (Po angielsku) Otrzymano 10.10.2016 r.; otrzymany w formie poprawionej 18.V.2016;
Ładowanie...