System Lorenza. Atraktor Lorentza

Chaotyczne, dziwne atraktory odpowiadają nieprzewidywalnym zachowaniom układów, które nie mają dynamiki ściśle okresowej, jest to matematyczny obraz deterministycznych procesów nieokresowych. Dziwne atraktory mają strukturę i mogą mieć bardzo złożone i nietypowe konfiguracje w przestrzeni trójwymiarowej.

Ryż. jeden.

i portrety fazowe (dolny rząd) dla trzech różnych systemów

(Gleick, 2001)

Chociaż w pracach niektórych matematyków ustalono już możliwość istnienia dziwnych atraktorów, po raz pierwszy w pracy nad komputerowe modelowanie termokonwekcji i turbulencji w atmosferze przez amerykańskiego meteorologa E. Lorentza (E. Lorentz, 1963). Stan końcowy systemu Lorentza jest niezwykle wrażliwy na stan początkowy. Sam termin „dziwny atraktor” pojawił się później, w pracach D. Ruelle i F. Takensa (D. Ruelle, F. Takens, 1971: patrz Ruelle, 2001) na temat natury turbulencji w płynie; Autorzy zauważyli, że wymiar dziwnego atraktora różni się od zwykłego, czyli topologicznego.Później B. Mandelbrot zidentyfikował dziwne atraktory, których trajektorie podczas sekwencyjnych obliczeń komputerowych są nieskończenie rozwarstwione, podzielone za pomocą fraktali.

Ryż. 2. (Trajektorie chaotyczne w układzie Lorentza). Lorenz Atraktor (Kronover, 2000)

Lorenz (1963) odkrył, że nawet prosty układ trzech nieliniowych równań różniczkowych może prowadzić do chaotycznych trajektorii.-druga harmoniczna:

gdzie s, r i b są liczbami dodatnimi, parametrami układu. Zazwyczaj badania systemu Lorenza są przeprowadzane przy s =10, r =28 i b =8/3 (wartości parametrów).

Tak więc układy, których zachowanie jest określane przez reguły niezawierające losowości, wykazują nieprzewidywalność w czasie ze względu na wzrost, amplifikację, amplifikację małych niepewności, fluktuacje. Wizualnym obrazem systemu o rosnącej niepewności jest tzw. bilard autorstwa Ya.G. Synaj: odpowiednio duża sekwencja zderzeń kulek nieuchronnie prowadzi do wzrostu małych odchyleń od obliczonych trajektorii (ze względu na nieidealnie kulistą powierzchnię rzeczywistych kulek, nieidealnie jednolitą powierzchnię płótna) i nieprzewidywalność układu zachowanie.

W takich systemach „losowość jest tworzona w taki sam sposób, w jaki miesza się ciasto lub tasuje się talię kart” (Crutchfield i in., 1987). Tak zwana „transformacja piekarza” z kolejnym rozciąganiem i składaniem, składaniem bez końca jest jednym z modeli powstawania przejścia od porządku do chaosu; w tym przypadku liczba przekształceń może służyć jako miara chaosu. Istnieje atraktor Aizawa, który jest szczególnym przypadkiem atraktora Lorenza.

gdzie a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Każda poprzednia współrzędna jest wprowadzana do równań, wynikowa wartość pomnożona przez wartości czasu.

Przykłady innych dziwnych atraktorów

Atraktor WangSun

Tutaj a, b, d, e?R, c> 0 i f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Atraktor Rösslera

Gdzie a,b,c= dodatnie stałe. Przy wartościach parametrów a=b=0,2 i

abstrakcyjny

Według dyscypliny: Matematyka

„ Atraktor Lorentza“

Atraktor Lorentza

rozwiązanie systemu wr =0,3

rozwiązanie systemu wr =1,8

rozwiązanie systemu wr =3,7

rozwiązanie systemu wr =10

rozwiązanie systemu wr =16

rozwiązanie systemu wr =24,06

rozwiązanie systemu wr =28 — w rzeczywistości jest to atraktor Lorentza

rozwiązanie systemu wr =100 - widoczny jest tryb samo-oscylacji w układzie

Atraktor Lorentza (z angielskiego.przyciągać - przyciągać) jest zbiorem niezmiennym w trójwymiarowej gładkości, która ma pewną złożoną strukturę topologiczną i jest asymptotycznie stabilna, to i wszystkie trajektorie z jakiegoś sąsiedztwa mają tendencję do w (stąd nazwa).

Atraktor Lorentza został znaleziony w eksperymentach numerycznych badających zachowanie trajektorii układu nieliniowego:

o następujących wartościach parametrów: σ=10,r =28, b =8/3. System ten został po raz pierwszy wprowadzony jako pierwszy nietrywialny dla problemu wody morskiej w warstwie płaskiej, co umotywowało wybór wartości σ,r orazb , ale pojawia się również w innych fizycznych pytaniach i modelach:

konwekcja w zamkniętej pętli;

obrót koła wodnego;

model jednomodowy;

rozpraszająca z nieliniowością inercyjną.

Początkowy hydrodynamiczny układ równań:

gdzie - prędkość przepływu, - temperatura cieczy, - temperatura górnej granicy (na dolnej, ), - gęstość, - nacisk, - grawitacja, - odpowiednio i kinematyczne.

W zagadnieniu konwekcji model powstaje, gdy prędkość przepływu i temperatura zostają rozłożone na dwuwymiarowe i ich kolejne „cięcia” aż do harmonicznej 1-sekundowej. Ponadto podany kompletny układ równań jest zapisany w . Przycinanie rzędów jest do pewnego stopnia uzasadnione, ponieważ Soltsman w swojej pracy wykazał brak jakichkolwiek interesujących cech w zachowaniu większości harmonicznych.

Możliwość zastosowania i zgodność z rzeczywistością

Wyznaczmy fizyczne znaczenie zmiennych i parametrów w układzie równań w odniesieniu do wymienionych problemów.

Konwekcja w płaskiej warstwie. Tutajx odpowiedzialny za prędkość obrotową szybów wodnych,tak orazz - do rozkładu temperatury w poziomie i w pionie,r - znormalizowane , σ - (stosunek współczynnika kinematycznego do współczynnika ),b zawiera informacje o geometrii komórki konwekcyjnej.

Konwekcja w zamkniętej pętli. Tutajx - prędkość przepływu,tak - odchylenie temperatury od średniej w punkcie 90 ° od dolnego punktu pętli,z - to samo, ale na samym dole. Ciepło dostarczane jest w najniższym punkcie.

Obrót koła wodnego. Rozważa się problem koła, na obrzeżu którego zamocowane są kosze z otworami w dnie. Wierzchołek kołasymetrycznie ciągły strumień wody przepływa wokół osi obrotu. Zadanie jest równoważne z poprzednim, odwróconym „do góry nogami”, z zastąpieniem temperatury gęstością rozkładu masy wody w koszach wzdłuż obrzeża.

laser jednomodowy. Tutajx - amplituda fal w laserze,tak - , z - inwersja populacji,b a σ to stosunki współczynników inwersji i pola do współczynnika relaksacji polaryzacji,r - intensywność.

Warto zaznaczyć, że w odniesieniu do problemu konwekcji model Lorentza jest bardzo przybliżonym przybliżeniem, bardzo dalekim od rzeczywistości. Mniej lub bardziej odpowiednia korespondencja istnieje w obszarze regularnych reżimów, w których stabilne rozwiązania jakościowo odzwierciedlają obserwowany eksperymentalnie obraz równomiernie obracających się rolek konwekcyjnych (). Chaotyczny reżim tkwiący w modelu nie opisuje konwekcji turbulentnej ze względu na znaczne przycięcie oryginalnego szeregu trygonometrycznego.

Na uwagę zasługuje znacznie wyższa dokładność modelu z pewnymi jego modyfikacjami, która jest wykorzystywana w szczególności do opisu konwekcji w warstwie poddanej drganiom w kierunku pionowym lub zmiennym efektom termicznym. Takie zmiany warunków zewnętrznych prowadzą do modulacji współczynników w równaniach. W tym przypadku składowe Fouriera wysokiej częstotliwości temperatury i prędkości są znacznie stłumione, poprawiając zgodność między modelem Lorentza a rzeczywistym układem.

Na uwagę zasługuje szczęście Lorenza w doborze wartości parametru , ponieważ system dochodzi tylko do wartości większych niż 24,74, to dla mniejszych wartości zachowanie jest zupełnie inne.

Zachowanie rozwiązania systemowego

Rozważmy zmiany w zachowaniu rozwiązania układu Lorentza dla różnych wartości parametru r. Ilustracje do artykułu przedstawiają wyniki symulacji numerycznej dla punktów o współrzędnych początkowych (10,10,10) i (-10,-10,10). Modelowanie przeprowadzono za pomocą poniższego programu, napisanego w języku, kreślącego według wynikowych tabel - ze względu na słabe możliwości graficzne Fortrana przy użyciu przeglądarki Compaq Array Viewer.

r <1 - początkiem współrzędnych jest atraktor, nie ma innych stabilnych punktów.

1< r <13,927 - trajektorie zbliżają się spiralnie (odpowiada to obecności drgań tłumionych) do dwóch punktów, których położenie określają wzory:

Punkty te określają stany reżimu konwekcji stacjonarnej, kiedy w warstwie powstaje struktura obracających się walców fluidalnych.

r ≈13,927 - jeśli trajektoria opuści początek, to po całkowitym obrocie wokół jednego z punktów stabilnych powróci z powrotem do punktu wyjścia - pojawiają się dwie homokliniczne pętle. pojęcietrajektoria homokliniczna oznacza, że wychodzi i dochodzi do tej samej pozycji równowagi.

r >13,927 - W zależności od kierunku trajektoria dochodzi do jednego z dwóch stabilnych punktów. Homokliniczne pętle regenerują się w niestabilne cykle graniczne, powstaje też rodzina kompleksowo ułożonych trajektorii, która nie jest atraktorem, lecz przeciwnie, odpycha trajektorie od siebie. Czasami przez analogię ta struktura nazywana jest „dziwnym odstraszaczem” (eng.odpychać - odpychać).

r ≈24,06 - trajektorie nie prowadzą już do stabilnych punktów, ale asymptotycznie zbliżają się do niestabilnych cykli granicznych - pojawia się rzeczywisty atraktor Lorentza. Jednak oba stabilne punkty są zachowane do wartościr ≈24,74.

Przy dużych wartościach parametru trajektoria ulega poważnym zmianom. Shilnikov i Kaplan pokazali, że za bardzo dużer układ przechodzi w tryb samooscylacji, a jeśli parametr zostanie zmniejszony, przejście do chaosu będzie obserwowane przez sekwencję podwojeń okresów oscylacji.

Znaczenie modelu

Model Lorentza jest prawdziwym fizycznym przykładem z chaotycznym zachowaniem, w przeciwieństwie do różnych sztucznie skonstruowanych mapowań ( itp.).

Programy symulujące zachowanie systemu Lorenz

Borland C

#włączać

nieważne główne ()

podwójne x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;

podwójne dt = 0,0001;

int a = 5, b = 15, c = 1;

int gd=WYKRYJ, gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

robić(

X1 = x + a*(-x+y)*dt;

Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

X=x1; y=y1; z = z1;

Putpixel((int)(19,3*(y - x*0.292893) + 320),

(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);

) podczas (!kbhit());

closegraph();

Matematyka

dane = tabela[

Z[(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),

Lista gniazd &,

(3.051522, 1.582542, 15.62388), N

(j, 0, 5)];

[e-mail chroniony][(Barwa], Punkt[#1]) &, dane]

Borland Pascal

Program Lorenza;

Wykorzystuje CRT, wykres;

Stała

dt = 0,0001;

a = 5;

b = 15;

c = 1;

Var

gd, gm: liczba całkowita;

x1, y1, z1, x, y, z: Rzeczywiste;

Rozpocząć

gd:=Wykryj;

InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");

x:= 3,051522;

y:= 1,582542;

z:= 15,62388;

Gdy nie naciśnięto klawisza, nie zaczynaj

x1:= x + a*(-x+y)*dt;

y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;

x:= x1;

y:= y1;

z:= z1;

PutPixel(Okrągły(19,3*(y - x*0,292893) + 320),

Okrągły (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);

koniec;

Zamknij wykres;

Kluczem przeczytać;

koniec.

FORTRAN

program LorenzSystem

rzeczywisty, parametr::sigma=10

rzeczywista, parametr::r=28

rzeczywisty, parametr::b = 2.666666

rzeczywisty, parametr::dt=0,01

liczba całkowita, parametr::n=1000

rzeczywiste x,y,z

otwórz (1, plik = "wynik. txt", formularz = "sformatowany", status = "zamień", akcja = "zapis")

x=10.;y=10.;z=10.

doi=1,n,1

x1=x+sigma*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

napisz(1,*)x,y,z

koniec

drukuj *,"Gotowe"

zamknij(1)

koniec programu LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

WYMIAR x, y, z, dt, x1, y1, z1 JAKO POJEDYNCZY

DIM a, b, c JAKO INTEGER

x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001

a=5: b=15: c=1

EKRAN 12

PRINT "Naciśnij Esc, aby wyjść"

PODCZAS INKEY$<>CHR$(27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x=x1

y = y1

z = z1

PSET ((19,3 * (y - x * 0,292893) + 300), (-11 * (z + x * 0,292893) + 360)), 9

WEND

KONIEC

JavaScript oraz HTML5

var cnv = document.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext("2d");

zmienna x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;

vardt = 0,0001;

zm a = 5, b = 15, c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("wysokość"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("szerokość"));

id zmiennej = cx.createImageData(w,h);

varrd = Math.round;

zmienna idx = 0;

i=1000000; podczas gdy ja--) (

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y=y1; z = z1;

idx=4*(rd(19,3*(y - x*0,292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0,292893) + 392)*w);

id.dane = 255;

cx.putImageData(id, 0, 0);

IDL

PRO Lorenz

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.

DLA i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0.0001

działka,19,3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.

KONIEC

Literatura

Kuzniecow S.P. , Wykład 3. System Lorentza; Wykład 4. Dynamika układu Lorentza. // - M.: Fizmatlit, 2001.

Saltzman B . Konwekcja swobodna o skończonej amplitudzie jako zagadnienie wartości początkowej. // Czasopismo nauki o atmosferze, nr 7, 1962 - s. 329-341.

Lorenz E . Deterministyczny ruch nieokresowy // Dziwne atraktory. - M., 1981. - S. 88-116.

Zwykle tak mówią chaos jest wyższą formą porządku, ale bardziej słuszne jest rozpatrywanie chaosu jako innej formy porządku - nieuchronnie w każdym dynamicznym systemie za porządkiem w jego zwykłym znaczeniu następuje chaos, a porządek następuje po chaosie. Jeśli zdefiniujemy chaos jako nieporządek, to w takim nieporządku z pewnością będziemy mogli zobaczyć własną, szczególną formę porządku. Na przykład, dym z papierosów z początku unosi się w formie uporządkowanej kolumny pod wpływem środowiska zewnętrznego, przybiera coraz dziwniejsze kontury, a jej ruchy stają się chaotyczne. Innym przykładem losowości w przyrodzie jest liść z dowolnego drzewa. Można argumentować, że znajdziesz wiele podobnych liści, takich jak dąb, ale ani jednej pary identycznych liter. Różnicę określa temperatura, wiatr, wilgotność i wiele innych czynników zewnętrznych poza przyczynami czysto wewnętrznymi (np. różnica genetyczna).

Teoria chaosu

Ruch od porządku do chaosu i odwrotnie jest najwyraźniej esencją Wszechświata, którego nie badaliśmy, przyczyniając się do jego manifestacji. Nawet w ludzkim mózgu istnieją jednocześnie uporządkowane i chaotyczne zasady. Pierwsza odpowiada lewej półkuli mózgu, a druga prawej. Lewa półkula odpowiada za świadome zachowanie człowieka, za rozwój liniowych reguł i strategii w ludzkim zachowaniu, gdzie „jeśli… to…” jest jasno określone. Na prawej półkuli panuje nieliniowość i chaos. Intuicja jest jednym z przejawów prawej półkuli mózgu. Teoria chaosu bada porządek chaotycznego systemu, który wygląda na losowy, nieuporządkowany. Jednocześnie teoria chaosu pomaga zbudować model takiego systemu, bez stawiania sobie zadania dokładnego przewidywania zachowania się systemu chaotycznego w przyszłości.

Historia teorii chaosu

Pierwsze elementy teorii chaosu pojawiły się w XIX wieku, ale prawdziwy rozwój naukowy tej teorii nastąpił w drugiej połowie XX wieku, wraz z pracami Edwarda Lorenza(Edward Lorenz) z Massachusetts Institute of Technology i francusko-amerykański matematyk Benoit B. Mandelbrot (Benoit B. Mandelbrot). Edward Lorenz swego czasu (początek lat 60. XX w., praca opublikowana w 1963 r.) zastanawiał się, na czym polega trudność w prognozowaniu pogody. Według pracy Lorenza w świecie nauki zdominowały dwie opinie dotyczące możliwości dokładnego prognozowania pogody na nieskończenie długi okres. Pierwsze podejście sformułowany w 1776 r. przez francuskiego matematyka Pierre Simon Laplace. Laplace stwierdził, że „… jeśli wyobrazimy sobie umysł, który w danym momencie pojmował wszystkie powiązania między obiektami we wszechświecie, to byłby w stanie w każdej chwili ustalić odpowiednie pozycje, ruchy i ogólne skutki wszystkich tych obiektów w przeszłości lub w przyszłości”. To jego podejście było bardzo podobne do słynnych słów Archimedesa: „Daj mi punkt podparcia, a wywrócę cały świat do góry nogami”. Tak więc Laplace i jego zwolennicy powiedzieli, że aby dokładnie przewidzieć pogodę, wystarczy zebrać więcej informacji o wszystkich cząsteczkach we wszechświecie, ich położeniu, prędkości, masie, kierunku ruchu, przyspieszeniu itp. Laplace uważał, że im więcej dana osoba wie, tym dokładniejsze będą jego prognozy dotyczące przyszłości. Drugie podejście na możliwość prognozowania pogody najdobitniej sformułował inny francuski matematyk, Jules Henri Poincare. W 1903 r. powiedział: „Gdybyśmy dokładnie znali prawa natury i położenie wszechświata w początkowym momencie, moglibyśmy dokładnie przewidzieć położenie tego samego wszechświata w kolejnym momencie. Ale nawet gdyby prawa natury ujawniły nam wszystkie swoje tajemnice, to i tak moglibyśmy poznać początkową pozycję tylko w przybliżeniu. Gdyby to pozwoliło nam przewidzieć kolejne położenie z takim samym przybliżeniem, to by było wszystko, czego potrzebowaliśmy, i moglibyśmy powiedzieć, że zjawisko zostało przepowiedziane, że rządzi się prawami. Ale nie zawsze jest tak, że małe różnice w warunkach początkowych powodują bardzo duże różnice w końcowym zjawisku. Mały błąd w pierwszym spowoduje ogromny błąd w drugim. Przewidywanie staje się niemożliwe, a my mamy do czynienia ze zjawiskiem, które rozwija się przypadkowo”. W tych słowach Poincaré odnajdujemy postulat teorii chaosu o zależności od warunków początkowych. Późniejszy rozwój nauki, zwłaszcza mechaniki kwantowej, obalił determinizm Laplace'a. W 1927 niemiecki fizyk Werner Heisenberg odkryte i sformułowane zasada niepewności. Ta zasada wyjaśnia, dlaczego niektóre zjawiska losowe nie są posłuszne determinizmowi Laplace'a. Heisenberg zademonstrował zasadę nieoznaczoności na przykładzie rozpadu promieniotwórczego jądra. Tak więc dla bardzo małego rozmiaru jądra niemożliwe jest poznanie wszystkich procesów zachodzących w nim. Dlatego bez względu na to, ile informacji o jądrze zbierzemy, nie da się dokładnie przewidzieć, kiedy to jądro ulegnie rozpadowi.

Narzędzia teorii chaosu

Jakie narzędzia ma teoria chaosu? Przede wszystkim są to atraktory i fraktale. Atraktor (z ang. Przyciągać - przyciągać) - struktura geometryczna charakteryzująca zachowanie w przestrzeni fazowej pod koniec długiego czasu. Tj atraktor- do tego dąży system, do czego go przyciąga. Najprostszym rodzajem atraktora jest punkt. Taki atraktor jest typowy dla wahadła w obecności tarcia. Bez względu na początkową prędkość i pozycję takie wahadło zawsze się zatrzyma, tj. Dokładnie. Kolejnym rodzajem atraktora jest cykl graniczny, który ma postać zamkniętej linii zakrzywionej. Przykładem takiego atraktora jest wahadło, na które nie działa siła tarcia. Innym przykładem cyklu granicznego jest bicie serca. Częstotliwość dudnień może zmniejszać się i zwiększać, ale zawsze dąży do swojego atraktora, swojej zamkniętej krzywej. Trzecim rodzajem atraktora jest torus. Na rysunku 1 torus jest pokazany w prawym górnym rogu.

Rysunek 1 – Główne typy atraktorów Na górze pokazane są trzy przewidywalne, proste atraktory. Poniżej trzy chaotyczne atraktory. Pomimo złożoności zachowania atraktorów chaotycznych, czasami nazywanych dziwnymi atraktorami, znajomość przestrzeni fazowej pozwala na przedstawienie zachowania układu w formie geometrycznej i odpowiednio go przewidywanie. I choć przebywanie układu w określonym momencie w określonym punkcie przestrzeni fazowej jest prawie niemożliwe, to obszar, w którym znajduje się obiekt i jego skłonność do atraktora są przewidywalne.

Atraktor Lorenza

Pierwszym atraktorem chaotycznym był atraktor Lorenza.

Rysunek 2 - Chaotyczny atraktor Lorenza Atraktor Lorentza obliczone na podstawie tylko trzech stopni swobody - trzech równań różniczkowych zwyczajnych, trzech stałych i trzech warunków początkowych. Jednak pomimo swojej prostoty system Lorenza zachowuje się w sposób pseudolosowy (chaotyczny). Po przeprowadzeniu symulacji swojego systemu na komputerze Lorentz zidentyfikował przyczynę jego chaotycznego zachowania - różnicę w warunkach początkowych. Nawet mikroskopijne odchylenie dwóch systemów na samym początku procesu ewolucji doprowadziło do wykładniczego nagromadzenia błędów, a co za tym idzie, ich stochastycznej niezgodności. Jednocześnie każdy atraktor ma wymiary brzegowe, więc wykładnicza rozbieżność dwóch trajektorii różnych układów nie może trwać w nieskończoność. Prędzej czy później orbity ponownie się zbiegną i przejdą obok siebie, a nawet zbiegną, choć to ostatnie jest bardzo mało prawdopodobne. Nawiasem mówiąc, koincydencja trajektorii jest regułą zachowania prostych przewidywalnych atraktorów. zbieżność-rozbieżność(zwane również odpowiednio łączeniem i rozciąganiem) chaotycznego atraktora systematycznie usuwa początkowe informacje i zastępuje je nowymi. Podczas wznoszenia trajektorie zbliżają się do siebie i zaczyna pojawiać się efekt krótkowzroczności - wzrasta niepewność informacji na dużą skalę. Kiedy trajektorie się rozchodzą, przeciwnie, rozchodzą się, a efekt dalekowzroczności pojawia się, gdy wzrasta niepewność informacji małoskalowych. W wyniku ciągłej zbieżności-dywergencji chaotycznego atraktora, niepewność gwałtownie rośnie, co uniemożliwia nam dokładne przewidywanie w każdym momencie czasu. To, z czego nauka jest tak dumna – zdolność do ustalania powiązań między przyczynami a skutkami – jest niemożliwe w układach chaotycznych. W chaosie nie ma związku przyczynowego między przeszłością a przyszłością. Należy tutaj również zauważyć, że tempo zbieżności-dywergencji jest miarą chaosu, tj. liczbowy wyraz tego, jak chaotyczny jest system. Inną statystyczną miarą chaosu jest wymiar atraktora. Można zatem zauważyć, że główną właściwością atraktorów chaotycznych jest zbieżność-rozbieżność trajektorii różnych układów, które losowo stopniowo i nieskończenie się mieszają.

Izv. uczelnie "PND", w. 15, nr 1, 2007 UDC 517,9

ATRAKTOR LORENTZ W PRZEPŁYWIE ŚCINNYM

JESTEM. Muchamiedow

W ramach zaproponowanego wcześniej modelu chaotycznej dynamiki ośrodka ciągłego uzyskuje się realizację trójwymiarowego reżimu fluktuacji prędkości przepływu odpowiadającego atraktorowi typu Lorentza. Rozwiązaniem jest zespół struktur, które określają geometrię kolektora warstwowego sprowadzoną do przypadku trójwymiarowego, utworzonego przez pulsacje prędkości przepływu czynnika. Sama dynamika atraktora Lorentza przejawia się w postaci zależności czasowej wahań prędkości wzdłuż linii prądu średniego przepływu.

Jak wiadomo, jeden z klasycznych przykładów chaosu deterministycznego, atraktor Lorentza, odkryty w wyniku stosowanych badań hydrodynamicznych, nie został jeszcze dostatecznie odtworzony w formalizmie istniejącej mechaniki turbulentnej. W pracach autora wyrażono hipotezę, że w zasadzie nie można uzyskać klasycznego hydrodynamicznego rozwiązania tego problemu i zaproponowano uzasadnienie takiego wniosku. Opierał się on na zrozumieniu, że modele atraktorów dynamiki chaotycznej wpływają na mezoskopowy poziom ruchu ośrodka ciągłego i że ten poziom nie jest reprezentowany w klasycznych równaniach Naviera-Stokesa. Doprowadziło to do propozycji rozszerzenia opcji rozwiązania problemu atraktora Lorentza poprzez wyraźne włączenie dodatkowych mezostruktur do matematycznego formalizmu hydrodynamiki, które wyprowadzają aparat tej teorii poza ramy klasycznych operacji z równaniami Naviera-Stokesa.

Obecnie atraktorowe reżimy dynamiki ośrodków ciągłych konstruowane są w ramach modeli będących daleko posuniętymi abstrakcjami ruchu ośrodka ciągłego, prawie bez posługiwania się pojęciem mechanicznych oddziaływań cząstek ośrodka ze sobą . W niektórych przypadkach te abstrakcje odzwierciedlają właściwości ewolucyjnych operatorów typu działających w hierarchii zagnieżdżonych przestrzeni Hilberta. W innych przypadkach odzwierciedlają dynamikę systemów skończenie wymiarowych, które odtwarzają zmiany stanów środowiska, ale w tym przypadku każdy ze stanów jest w rzeczywistości reprezentowany przez tylko punkt odpowiedniej rozmaitości fazowej. Takie modelowanie nie odpowiada zastosowanemu celowi hydromechaniki, który wymaga odtworzenia wszystkich istotnych struktur bezpośrednio, czyli w przestrzeni zajmowanej przez ośrodek ciągły. Jeśli weźmiemy pod uwagę argumenty danych teoretycznych i eksperymentalnych na korzyść

istnienie takiej reprezentacji, to odtwarzanie atraktorów w kontekście dynamiki charakterystyk czasoprzestrzennych środowiska wydaje się pilną potrzebą.

W niniejszej pracy atraktor Lorentza jest skonstruowany w ramach zaproponowanej w modelu dynamiki turbulentnej. Zgodnie z tym modelem przestrzenie fazowe reżimów turbulentnych są stratyfikacjami dżetów o fluktuacjach wielkości hydrodynamicznych. Zakłada się, że geometria fluktuujących wiązek jest a priori arbitralna, określona przez modelowane cechy odpowiednich reżimów chaotycznych. Głównym przedmiotem modelowania jest struktura chaotyczna, będąca zespołem niestabilnych trajektorii ruchu punktów w ośrodku. Zakłada się, że każdemu ustalonemu turbulentnemu reżimowi odpowiada dobrze określona chaotyczna struktura. W trajektorii struktury chaotycznej utożsamiano je ze zbiorem krzywych całkowych niecałkowalnego (nieholonomicznego) rozkładu typu Pfaffa określonego na wiązce fluktuacji zmiennych dynamicznych.

Cechą charakterystyczną proponowanego modelu jest metoda Lagrange'a opisu ruchu ośrodka, która w ogólnym przypadku nie sprowadza się do opisu ruchu za pomocą zmiennych Eulera. Jednocześnie okazało się, że opis Lagrange'a jest znakomicie przystosowany do odzwierciedlenia dynamiki układów z dziwnymi atraktorami. Zamiast sztywnych ograniczeń paradygmatu Eulera, opis Lagrange'a narzuca znacznie łagodniejsze warunki, które służą do definiowania obiektów geometrycznych odpowiadających im rozkładów nieholonomicznych. Taka zmiana nacisku na modelowanie umożliwia odtworzenie różnych atraktorów w dynamice wiązek cząstek w ośrodkach ciągłych.

1. Ustawmy równania dynamiki pulsacji reżimu trójmodowego

(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)

gdzie xk i yz tworzą zbiory przestrzennych i dynamicznych współrzędnych stratyfikacji pulsacji, a obiekty mkk(x,yt)(xk i Ar(x,yt)M określają charakter oddziaływań międzymodowych reżimu. a samo równanie (1) można uznać za reguły tworzenia pochodnych współrzędnych dynamicznych względem współrzędnych przestrzennych i czasu, określonych przez rzeczywistą ewolucję turbulentną. Niezmiennym geometrycznym znaczeniem tych obiektów jest to, że w wiązce pulsacji wyznaczają odpowiednio obiekt połączenia wewnętrznego i pionowe pole wektorowe.

Załóżmy, że wprowadzone powyżej współrzędne dynamiczne mają znaczenie fluktuacji prędkości przepływu czynnika, czyli rzeczywista prędkość czynnika może być rozszerzona na pole prędkości przepływu średniego i fluktuacji zgodnie ze wzorem

u (x, y) = u0 (x) + y. (2)

Przyjmiemy równania bilansu masy i pędu w postaci standardowego równania ciągłości i równania Naviera-Stokesa

Chr + udi. (4)

Ten układ równań nie jest jeszcze kompletny, gdyż równanie (4) obejmuje ciśnienie, które jest zmienną termodynamiczną, której dynamika w ogólnym przypadku wykracza poza zakres kinematyki. Aby opisać fluktuacje ciśnienia, potrzebne są nowe współrzędne dynamiczne, które zwiększają liczbę stopni swobody wymaganych do opisania odpowiedniego reżimu ruchu turbulentnego. Wprowadzamy nową zmienną dynamiczną, która ma znaczenie wahań ciśnienia, czyli przyjmujemy

p(x,y)= po(x) + y4. (5)

Zatem początkowy zestaw wymaganych współrzędnych dynamicznych do przedstawienia ruchu ośrodka ciągłego jest czterowymiarowy.

Możliwość redukcji do układu trójwymiarowego o dynamice zbliżonej do dynamiki układu Lorentza polega na tym, że ciśnienie wchodzi do równania (4) w postaci gradientu. Wynika stąd, że redukcja do trójwymiarowej dynamiki wahań prędkości może być dokonana, jeśli gradient ciśnienia wchodzący do równania (4) zawiera tylko trzy pierwsze współrzędne dynamiczne. Aby to zrobić, wystarczy wymagać, aby w równaniach dynamiki dla czwartej współrzędnej

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

współczynniki form połączeń w4(x,yj)dxk zależały tylko od pierwszych trzech współrzędnych dynamicznych. Należy zauważyć, że reżim trójwymiarowy może okazać się niestabilny z punktu widzenia pełniejszego opisu, który uwzględnia wszystkie wzbudzone stopnie swobody. Ograniczymy się jednak do modelowania właśnie tej możliwej dynamiki a priori.

Rozważmy warunki nałożone przez równania bilansowe (3), (4) na wyrażenia dla nieznanych wielkości wk(x,yj)dxk i Ai(x,yj)dt zawarte w równaniu dynamicznym (1). W tym celu podstawiamy (2) i (5) do (3) i (4) oraz używamy równań (1) i (6). Aby uprościć otrzymane wyrażenia, zakładamy, że współrzędne przestrzenne xk są kartezjańskie. W takim przypadku nie można odróżnić indeksów górnych od indeksów dolnych, podnosząc je i obniżając w razie potrzeby do zapisania wyrażeń kowariantnych. Następnie otrzymujemy następujące równania dla współczynników równania (1)

dkuk - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (osiem)

gdzie wprowadza się notację Dj = dj - wk^y.

W tym celu konkretyzujemy sformułowanie problemu. Rozważymy reżim, którego pole średniej prędkości opisuje przepływ prostego ścinania

uk = Ax3à\. (dziewięć)

Ponadto przyjmujemy założenia dotyczące geometrii włóknistej przestrzeni pulsacyjnej. Przyjmiemy, że wiązka jest połączona jako funkcja liniowa we współrzędnych dynamicznych, czyli w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). W tym przypadku z równania (8) od razu wynika, że drugi obiekt uzyskuje strukturę wielomianową we współrzędnych dynamicznych. Mianowicie pionowe pole wektorowe staje się wielomianem drugiego rzędu we współrzędnych dynamicznych, tj.

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

Zatem nieznanymi funkcjami wyznaczającymi równanie dynamiki pulsacji rozpatrywanego reżimu trójmodowego są współczynniki waak(x), Ar0(x), Ark(x) i A3k(x), dla których mamy równania (3) i (4). Należy zauważyć, że równanie (4) zasadniczo sprowadza się do wyznaczenia współczynników pionowego pola wektorowego, podczas gdy wybór współczynników połączenia ogranicza tylko równanie ciągłości (3). Równanie to pozostawia znaczną dowolność w wyznaczaniu współczynników łączności, pozostawiając zakres modelowania przestrzennej struktury dynamiki fluktuacji zgodny z wybranym przepływem średnim.

2. Rozważ możliwość uzyskania w tym zadaniu atraktora typu Lorentza. W tym celu w pierwszej kolejności omówimy rozszerzenie rzeczywistych wartości prędkości na prędkość średnią i wahania wokół średniej.

Zgodnie ze znaczeniem pulsacji, ich średnia czasowa powinna być równa zeru, tj.

(y)t - 0. (10)

Jednocześnie pulsacje definiuje się jako odchylenia rzeczywistych wartości prędkości od wartości średniej. Jeżeli założymy, że średni przepływ jest podany, to odnotowana okoliczność nie pozwala na wybór dowolnego układu równań o chaotycznej dynamice jako modelowego równania chaosu. Aby zmienne modelu układu równań były traktowane jako pulsacje rzeczywistych wielkości hydromechanicznych, muszą być spełnione warunki (10). Jeżeli (10) nie jest spełniony, oznacza to istnienie niewyjaśnionego dryfu w dynamice pulsacji. W związku z tym przyjęty układ modelowy okazuje się niespójny albo z uwzględnianymi czynnikami działającymi, albo ze strukturą dopuszczalnego przepływu średniego.

Co więcej, równanie (1) jest, w ogólnym przypadku, niecałkowicie całkowalnym układem typu Pfaffa. Zasadniczo ważna jest właściwość niecałkowalności tego równania, odpowiadająca właściwości charakterystycznej dla ruchu turbulentnego. Mianowicie w trakcie ruchu wszelkie makroskopowo małe turbulentne formacje, cząstki, ćmy, globule tracą swoją indywidualność. Cecha ta jest brana pod uwagę przez niecałkowalność równania (1). W istocie (1) opisuje zespół możliwych trajektorii ruchu punktów kontinuum utworzonego przez ośrodek ciągły. Trajektorie te są określone w wiązce wahań. Ich rzuty na przestrzeń zajmowaną przez ośrodek ciągły determinują dynamikę rozwoju fluktuacji wzdłuż odpowiednich krzywych przestrzennych. Zauważmy, że to ostatnie można wybrać dowolnie, określając możliwość uwzględnienia dynamiki fluktuacji wzdłuż dowolnej krzywej przestrzennej.

Rozważmy dla jasności dynamikę fluktuacji wzdłuż linii prądu średniego przepływu. Następnie mamy następujące równania dynamiczne:

xr = u0, (11)

y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)

Przed rozważeniem tego systemu przekształcamy go w zmienne bezwymiarowe. W tym celu w pierwotnym równaniu (4) zamiast współczynnika lepkości wprowadzamy

Numer Reynoldsa. Następnie usuń jawną zależność od tej liczby, zastępując

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

Pomijając podkreślenie nad zmiennymi, z (12) otrzymujemy

y \u003d DiO - i! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

Przeanalizujmy (13). Należy zauważyć, że zastosowany model zakłada rozwiniętą turbulencję, to znaczy liczbę Reynoldsa należy uznać za wystarczająco dużą. Wtedy, jeśli wielkości bezwymiarowe mają wartości rzędu jedności, to rzeczywiste wielkości wymiarowe zgodnie z (13) wskażą skalę przejawu dynamiki. W szczególności z (13) wynika, że skale przestrzenne okazują się małe. Zatem zastosowany model należy traktować przede wszystkim jako model turbulentnych procesów mieszania na mezoskopowym poziomie rozdzielczości ośrodka ciągłego.

Przejdźmy teraz do analizy (11) i (12). Łatwo zauważyć, że dla wybranego przepływu średniego równanie (11) ma proste całki. Odpowiednie równania strugi prądu średniego są liniami prostymi równoległymi do osi współrzędnych x1. Eliminując współrzędne przestrzenne, z (12) otrzymujemy w ogólnym przypadku układ nieautonomicznych równań różniczkowych. W tym przypadku, jeżeli współczynniki łączności i gradient ciśnienia nie zależą od współrzędnej x1, to układ (14) staje się autonomiczny, zawierając jako parametry pozostałe współrzędne przestrzenne x2 i x3. W tym przypadku otwiera się realna droga do bezpośredniego modelowania przestrzennie niejednorodnej dynamiki pulsacji quasi-stacjonarnej. Przykład takiej symulacji zostanie podany poniżej.

Na zakończenie tego paragrafu zauważamy, że pojawienie się nieholonomicznego rozkładu określonego przez układ Pfaffa (1), (6) jest konsekwencją założenia, że w stanie stałej silnej turbulencji klasa możliwych trajektorii ruchu cząstki pożywki są formacją stabilną. Warunkiem koniecznym tej nowej stabilności jest wymóg niestabilności trajektorii ruchu punktów, co z kolei implikuje duże wartości liczby Reynoldsa. Próba rozszerzenia podejścia do małych wartości liczby Re jest bezpodstawna.

3. Przejdźmy do konstrukcji przykładu, w którym fluktuacje prędkości wzdłuż trajektorii przepływu średniego opisuje system kanoniczny typu Lorentza. Dla uproszczenia przyjmiemy, że wszystkie współczynniki połączenia są stałe. W tym przypadku otrzymujemy dynamikę przestrzennie jednorodną wzdłuż linii prądu średniego, ale mimo to wzdłuż dowolnych linii nie jest przestrzennie jednorodna. Założenie to nazwiemy przybliżeniem quasi-jednorodnym.

Naszym zadaniem jest nadanie równaniu (14) postaci kanonicznego systemu Lorentza. Pierwszą widoczną przeszkodą jest niepewność identyfikacji współrzędnych dynamicznych i odpowiadających im zmiennych

z systemu kanonicznego. Zakładając, że różnego rodzaju mechanizmy oddziaływań międzymodowych pozwolą na symulację dowolnej z tych identyfikacji, wybierzemy następującą opcję. Niech struktura równania (14) ma postać:

y1 = a(-y1 + y2), (15)

y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)

gdzie termin regularny jest wyraźnie wyróżniony, co zgodnie z tym, co zostało powiedziane w sekcji 2, należy wykluczyć z wyrażenia na pulsacje.

x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (osiemnaście)

W tym celu zakładamy, że istnieją średnie czasowe dla zmiennych systemu (18). Na podstawie niezmienności tego systemu w odniesieniu do przekształceń

x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)

naturalne jest oczekiwanie, że średnie dla dwóch pierwszych zmiennych powinny wynosić zero. Następnie substytucja

x x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)

w (18) podaje układ równań (15) - (17).

W związku z tym zauważamy, że dla różnych wartości parametrów systemu Lorentza możliwe są rozwiązania zarówno z zerowymi, jak i niezerowymi wartościami średnimi dwóch pierwszych zmiennych. Mając to na uwadze, ograniczamy nasze dalsze rozważania do pierwszej z tych możliwości. Dodatkowo zwracamy uwagę, że podstawienie (20) może być również wykonane w przypadku, gdy wyraz w trzecim wyrażeniu (20) nie ma znaczenia średniej czasowej. W takim przypadku do późniejszej interpretacji może być wymagana nowa definicja procedury uśredniania. W ogólnym przypadku odpowiednia definicja będzie wymagała doprecyzowania skal czasowych rozważanych zjawisk. Oczywiste jest, że takie redefinicje będą wymagały bardziej szczegółowego rozważenia zarówno danych początkowych, jak i zmian parametrów systemu. Dobrze znany efekt interakcji atraktorów chaotycznych pokazuje, w jaki sposób mogą powstawać niejednoznaczności w wyznaczaniu średnich dla małych zmian parametrów ruchu.

Wróćmy do naszych rozważań. Porównując współczynniki układu (15) -(17) i (14) otrzymujemy

(DiO - u£dki0 - c/ro) =

(-3]u0 + - dkyu] + u^) =

V -U (r)) (-o

g - (g) -1 0 V 0 0 -y

Ponadto od (7) mamy

dk u0 = 0, 0.

Rozważ (21) i (24). Podstawiając wyrażenie (9) łatwo zauważyć, że (24) jest spełnione identycznie, a (21) sprowadza się tylko do wyznaczenia średniego gradientu ciśnienia. W tym przypadku gradient okazuje się prostopadły do średniej prędkości przepływu, co jest konsekwencją wybranej identyfikacji zmiennych systemu kanonicznego Lorentza oraz składowych fluktuacji prędkości.

Przejdźmy do równań (23) i (25). Z (23) otrzymujemy wyrażenia jednowartościowe dla składowych symetryzowanych indeksem dolnym obiektu połączenia. Część antysymetryczna jest wyznaczana z (25) z pewną arbitralnością. Ogólne rozwiązanie tych równań podaje następujące wyrażenie:

/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \

eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)

Przejdźmy do pozostałego równania (22). To równanie macierzowe jest układem 9 kwadratowych równań algebraicznych

b2 - c(p + /) +

ae - bp + Yur \u003d r - (r),

eb - a/ + o43 = 0,

ae - bp + b + 1021 = o,

C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,

Ec + ab + u43 = 0,

A/ + eb + a - A + u31 = 0,

Ec + ab + u42 = 0,

Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.

Niewiadomymi są w nim 6 współczynników łączności (26), 9 składowych tensora ciśnienia, 1 współczynnik określający wartość średniej prędkości oraz 3 parametry układu Lorentza. Wynika stąd, że rozwiązanie tego układu jest wyznaczane ze znaczną arbitralnością parametryczną. W rozważanym trójwymiarowym reżimie tensor gradientu ciśnienia ω > 4r jest dowolny, a dzięki jego konkretyzacji możliwe jest symulowanie pożądanej dynamiki dla dowolnego, ustalonego z góry, doboru współczynników łączności. W przypadku reżimów wielowymiarowych składowe tensora ciśnienia są zawarte w pełniejszym układzie równań uwzględniającym dynamikę wszystkich wzbudzonych stopni swobody. W takim przypadku tensor ciśnienia nie może być już dowolny. W związku z tym interesujące jest rozważenie różnych konkretnych opcji wyznaczania tensora ciśnienia, zakładając, że fizycznie uzasadnione założenia powinny znaleźć swoją reprezentację w bardziej kompletnych równaniach uwzględniających dynamikę wielowymiarową. Przyjmiemy, że tensor gradientu ciśnienia jest diagonalny ze składową zerową odpowiadającą współrzędnej y2. W tym przypadku (22) ma następujące dokładne rozwiązanie analityczne:

o!1 = 0,1 - a, o43 = 0,1 - y + 1, 0,1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)

K - a t Ka, K - a AK

a \u003d A, b \u003d a - K, c \u003d - -.1, p \u003d -, f \u003d - K, e \u003d - - -. (28)

Rozważ otrzymane rozwiązanie (27), (28). Wielkości A, r, a, y określające wielkość gradientu średniej prędkości prądu oraz trzy parametry układu modelu Lorentza pozostały w nim arbitralne. Wszystkie inne charakterystyki ruchu są wyrażone jako funkcje powyższego zestawu wielkości. Dzięki doborowi pewnych wartości tych wielkości możliwe jest zróżnicowanie dynamiki wahań i za pomocą wzorów (26), (27) znalezienie odpowiednich wartości składowych obiektu łączności. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że każdy obiekt determinuje charakter oddziaływań pulsacji, wówczas możliwe staje się różnicowanie samych różnych rodzajów oddziaływań. W szczególności, aby zmieniać wielkość elementów napinacza ciśnienia. Należy zauważyć, że w niektórych przypadkach komponenty te można ustawić identycznie na zero. Cechą rozwiązań (27), (28) jest to, że nie da się wyzerować składowych tensora ciśnienia, pozostając w obszarze tych wartości parametrów układu, dla których powstaje dynamika Lorentza . (Jest to jednak całkiem możliwe w obszarze tych wartości parametrów, dla których dynamika pulsacji jest regularna.)

Dokonajmy pewnych szacunków. Niech parametry układu modelowego odpowiadają atraktorowi Lorentza o parametrach a = 10, r = 28, y = 8/3. W tym przypadku z obliczeń wynika, że pulsacje mają charakterystyczny czas t ~ 0,7. W obliczonym przedziale czasu b = 0 + 50 wartości pulsacji należą do przedziałów y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 i y3 = -23,2 + 23,7.

Porównajmy wartości bezwzględne fluktuacji prędkości i średni gradient prędkości. Z (13) wynika, że pulsacje uzyskuje się dzieląc wartości względne przez liczbę l/d, przy czym średni gradient prędkości pozostaje niezmieniony. Przyjmijmy zatem dla gradientu prędkości wartość równą jedności w rzędzie wielkości, zatem

wynosi A ~ 1. Wtedy przy wartości Re = 2000, czyli przy dolnej wartości krytycznej , dla pulsacji otrzymujemy rząd wielkości równy 50% wartości gradientu. Dla przypadku Re=40000 fluktuacje prędkości sięgają tylko 10%% przyjętej wartości średniego gradientu prędkości. Pokazuje to, że rozsądne proporcje między średnią prędkością a pulsacjami można zapewnić tylko w pewnym zakresie liczb Re.

4. Nowe dane ujawniają się przy rozpatrywaniu ruchu punktów w ośrodku. Dla dynamiki Lorentza w przybliżeniu quasi-jednorodnym równania ruchu punktów mają postać

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

Okazuje się, że układ ten jest liniowy o stałych współczynnikach. Jego ogólne rozwiązanie można łatwo uzyskać przez całkowanie elementarne. Dlatego odnotowujemy tylko jakościowe cechy trajektorii ruchu punktów. Z równania charakterystycznego dla prędkości ruchu dowiadujemy się, że istnieją dwa pierwiastki ujemne i jeden dodatni. W ten sposób w każdym punkcie przestrzeni rozróżnia się dwa kierunki ściskania i jeden kierunek rozciągania. Te cechy dynamiki są charakterystykami niezmienniczymi, które można wykorzystać do klasyfikacji atraktorów odpowiadających przepływom o tej samej średniej prędkości.

Jak wynika z ogólnego rozwiązania układu (29) i (30), możliwe przemieszczenia punktów medium w kierunkach poprzecznych do linii przepływu średniego nie są ograniczone. Mianowicie w rzucie na oś x3 występuje regularny dryf. W tym przypadku punkty poruszające się prostopadle do linii prądu średniego wpadają w obszar dużych prędkości. W tym przypadku liczba Re wzrasta, co prowadzi do zmniejszenia względnej wielkości wahań. W ramach dokonanego quasi-jednorodnego przybliżenia efekt ten prowadzi do względnego zmniejszenia fluktuacji i ostatecznie do ich degeneracji w fluktuacje.

Lista bibliograficzna

1. Muchamiedow A.M. Modele turbulentne: problemy i rozwiązania //17 Kongres IMACS, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.

2. Muchamiedow A.M. W kierunku teorii turbulencji z cechowaniem // Chaos, solitony i fraktale. 2006 tom. 29. S. 253.

3. Ruelle D., Takens F. O naturze turbulencji // Commun. Matematyka. Fiz. 1971 t. 20. S. 167.

4. Babin A.V., Vishik M.I. Atraktory równań ewolucji. M.: Nauka, 1989. 296 s.

5. Mandelbrot B. Fraktalna geometria przyrody. obywatel. San Francisco, 1982.

6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. O multifraktalnej naturze w pełni rozwiniętych turbulencji i systemów chaotycznych // J. Phys. A. 1984. Tom 17. S.3521.

7 Elnaschie M.S. Całki po ścieżce Feynmana i teoria e-nieskończoności z eksperymentu Gedanken z dwiema szczelinami // International Journal of Nonlinear sciences and Numerical Simulations. 2005 tom. 6(4). s. 335.

8. Muchamiedow A.M. Zespołowe reżimy turbulencji w przepływach ścinających // Biuletyn KSTU im. A.N. Tupolew. 2003, nr 3. S. 36.

9. Judowicz W.I. Asymptotyka cykli granicznych systemu Lorentza dla dużych liczb Rayleigha // VINITI. 31.07.78. nr 2611-78.

10. Anishchenko V.S. Drgania złożone w prostych układach. M.: Nauka, 1990. 312 s.

11. Loitsyansky L.G. Mechanika cieczy i gazu. M.: Nauka 1987. 840 s.

Kazański Uniwersytet Państwowy Otrzymany 23 stycznia 2006 r.

Politechnika zrewidowana 15.08.2006

LORENZ ATRAKTOR W PRZEPŁYWACH PROSTEJ PRZESUNIĘCIA

W ramach modelu podanego wcześniej do symulacji chaotycznej dynamiki ośrodka ciągłego reprezentowany jest atraktor Lorenza. Symulacja jest przeprowadzana za pomocą struktur definiujących geometrię wiązki włókien związanych z trójwymiarowym reżimem pulsacji prędkości. Dynamika Lorenza objawia się jako zależność pulsacji w czasie wzdłuż linii średniego przepływu.

Mukhamedov Alfarid Mavievich - urodził się w Kazaniu (1953). Absolwent Wydziału Fizyki Kazańskiego Uniwersytetu Państwowego na Wydziale Grawitacji i Teorii Względności (1976). Doktorant Wydziału Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej Kazańskiego Państwowego Uniwersytetu Technicznego im. V.I. A.N. Tupolew. Autor 12 artykułów na ten temat, a także monografii „Poszukiwania naukowe i metodologia matematyki” (Kazań: Wydawnictwo KSTU, 2005, współautor z G.D. Tarzimanovą). Obszar zainteresowań naukowych - modele matematyczne dynamiki chaotycznej, geometria rozmaitości włóknistych, metodologia matematyki współczesnej.

SYSTEM LORENTZ

Układ trzech różniczek nieliniowych. ur-cje pierwszego rzędu:

rozwiązaniami roju w szerokim zakresie parametrów są nieregularne funkcje czasu i wiele innych. ich cechy są nie do odróżnienia od przypadkowych. L. s. został otrzymany przez E. Lorenza z równań hydrodynamiki jako model do opisu konwekcji cieplnej w poziomej warstwie cieczy ogrzewanej od dołu ( R r - liczba Prandtla, - zredukowany Liczba Relei, b- jest zdeterminowana wyborem w rozwinięciu Fouriera pola prędkości i temperatury).

Ryż. 1. Ilustracja kolejnych bifurkacji w układzie Lorentza z rosnącym parametrem r: a) ; b) ; c) d) e) f)

Jednym z przykładów jest L. s. system dynamiczny, posiadanie prostego fizycznego oznaczający; demonstruje stochastycznie. zachowanie systemu. W przestrzeń fazowa ten układ w zakresie parametrów przedstawionych na rys. 1 istnieje dziwny atraktor, ruch punktu reprezentatywnego na kromie odpowiada „losowemu” - turbulentnemu przepływowi płynu podczas konwekcji termicznej.

Ryż. 2. Pętla konwekcyjna – model fizyczny, dla którego wyprowadzane są równania Lorentza.

L. s. (w b=l) opisuje w szczególności ruch płynu w konwekcyjnej pętli znajdującej się w płaszczyźnie pionowej w jednorodnej grawitacyjnej wnęce toroidalnej wypełnionej płynem (rys. 2). Na ściankach ubytku utrzymywana jest temperatura niezależna od czasu (ale zależna od kąta). T(); niżej część pętli jest cieplejsza niż górna. Równania na ruch płynu w pętli konwekcyjnej sprowadza się do L. s., gdzie x(t] - prędkość płynu, y(t) - temp-pa w punkcie N, a z(t) - temp-pa w punkcie M na wolności t. Wraz ze wzrostem G zmienia się charakter ruchu płynu: najpierw (przy r<1) неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r na początku cały przepływ staje się wrażliwy na drobne zmiany. warunki, szybkość cyrkulacji cieczy zmienia się już nieregularnie: ciecz obraca się czasem zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czasem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Przy powszechnie stosowanych wartościach Pr=10, b= 8/3 HP ma . właściwości: ur-tion L. s. niezmienniki transformacji , objętość fazy jest zmniejszona z post. prędkość

na jednostkę czasu głośność zmniejsza się o 10 6 razy. Wraz ze wzrostem gw L. s. następują następujące zdarzenia. Główny bifurkacje. 1) Kiedy jedynym stanem równowagi jest stabilny węzeł w punkcie początkowym O(O, O, 0). 2) W , gdzie r 1 \u003d 13,92, L. s. z wyjątkiem wspomnianego trywialnego ( O) ma jeszcze dwie równowagi , . Stan salda O jest siodłem dwuwymiarowym stabilnym i jednowymiarowym niestabilnym, składającym się z O i dwóch separacji i dążących do i (ryc. 1, a). 3) Kiedy r=r 1 każda z separacji staje się podwójnie asymptotyczna w stosunku do siodła O(ryc. 1, b). Podczas przejścia r poprzez r 1 z zamkniętych pętli separacji rodzą się okresowo niestabilne (siodło). ruchy - limit cykli L 1 oraz L 2 . Wraz z tymi niestabilnymi cyklami rodzi się bardzo skomplikowanie zorganizowany limit; nie jest on jednak atrakcyjny (atraktor) i na (ryc. 1, w), gdzie r 2 = 24,06, wszystkie trajektorie nadal mają tendencję do . Ta sytuacja różni się od poprzedniej tym, że teraz separatry _ i przechodzą do „nie własnych” stanów równowagi i odpowiednio. 4) W, gdzie = 24,74, w L. s. obok stabilnych stanów równowagi istnieje również zbiór przyciągający charakteryzujący się złożonym zachowaniem trajektorii, atraktor Lorentza (rys. 1). , d irys. 3). 5) Kiedy siodełko cykli L 1 i L 2 kontrakt do stanów równowagi i , które tracą stabilność przy

gest L. s. jest atraktorem Lorentza. Jeśli więc dążymy do k od strony mniejszych wartości, to stochastyczność w L. s. pojawia się natychmiast, nagle, tj. następuje twardy początek stochastyczności.

Ryż. 3. Trajektoria odwzorowująca atraktor Lorentza (opuszczenie punktu początkowego); odpowiada poziomej płaszczyźnie r = = 27, r=28.

Do L. s. zmniejszona nie tylko ur-tion, opisująca ruch konwekcyjny płynu, ale także inne fizyczne. modele (trzypoziomowe, dynamo dyskowe itp.).

Lit.: Lorenz E., Deterministyczny przepływ nieokresowy, "J. Atmos. Sci.", 1963, s. 20, s. 130; po rosyjsku tłum., w książce: Dziwne atraktory, M., 1981, s. 88; Gaponov - Grekhov A. V., Rabinovich M. I., Chaotyczne proste systemy, „Nature”, 1981, nr 2, s. 54; Afraimovich V. S., Bykov V. V., Shilnikov L. P., O przyciąganiu nieszorstkich zestawów granicznych typu atraktora Lorentza, Proceedings of the Moscow Mathematical Society, 1982, t. 44, s. 150; Rabinovich M. I., Trubetskov D. I., Wprowadzenie do teorii oscylacji i fal, M., 1984. W.G. Szechow.

Encyklopedia fizyczna. W 5 tomach. - M.: Encyklopedia radziecka. Redaktor naczelny A.M. Prochorow. 1988 .

Zobacz, czym jest „SYSTEM LOrentza” w innych słownikach:

Fundament. urnija klasyczna. elektrodynamika, definiowanie mikroskopowe. e-mail magn. pola tworzone przez indywidualną opłatę. cząstki. L.M.u. leżą u podstaw teorii elektronowej (klasyczna elektrodynamika mikroskopowa) zbudowanej przez X. A. Lorentza in con. dziewiętnaście… … Encyklopedia fizyczna

Układ odniesienia bezwładnościowy- układ odniesienia, w którym obowiązuje prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działają żadne siły (lub siły wzajemnie zrównoważone), znajduje się w spoczynku lub jest ruchem jednostajnym prostoliniowym. Każdy system... Koncepcje współczesnych nauk przyrodniczych. Słowniczek podstawowych pojęć

- (w fizyce) - układ ciał, w odniesieniu do roju, ustala się pozycje badanego ciała (lub miejsca zdarzeń) i odnotowuje się punkty w czasie odpowiadające tym pozycjom. W tym celu rachunek różniczkowy kojarzy się zwykle z wybranym układem ciał. system… … Encyklopedia filozoficzna

SYSTEM DOZOWANIA- urządzenie między anodą a ekranem urządzenia z promieniami katodowymi, które służy do odchylania promienia elektronów o milionach jego ruchu po ekranie (patrz) zgodnie z pewnym prawem. Aby kontrolować wiązkę elektronów, magnetyczny, ... ... Wielka Encyklopedia Politechniczna

Transformacje Lorentza w fizyce, w szczególności w szczególnej teorii względności (STR), to transformacje, którym przechodzą współrzędne czasoprzestrzenne (x, y, z, t) każdego zdarzenia przy przechodzeniu z jednego układu inercjalnego ..... Wikipedia

W szczególnej teorii względności transformacja współrzędnych i czasu dowolnego zdarzenia podczas przejścia z jednego inercjalnego układu odniesienia (patrz Inercjalny układ odniesienia) do drugiego. Uzyskany w 1904 r. przez H. A. Lorentza jako przekształcenia ... Wielka radziecka encyklopedia

Zwarty zbiór niezmienników L w trójwymiarowej przestrzeni fazowej płynnego przepływu (St), który ma złożoną strukturę topologiczną wskazaną poniżej. struktura i jest asymptotycznie stabilna (tj. jest stabilna Lapunowa i wszystkie trajektorie z niektórych ... ... Encyklopedia matematyczna

Siła (f) działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu elektromagnetycznym; wyrażone przez H. A. Lorenza z końca XIX wieku. wzór: (w układzie jednostek CGS), gdzie e, v to ładunek i prędkość cząstki, E to natężenie pola elektrycznego, B ... słownik encyklopedyczny