Struktura ogólnego rozwiązania śluzy. Jednorodne układy równań liniowych
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem kursu algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich dziedzin matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Te czynniki wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest dobrany i ustrukturyzowany tak, aby z jego pomocą można było
- wybrać optymalną metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych,
- studiować teorię wybranej metody,
- rozwiąż swój układ równań liniowych, po szczegółowym rozważeniu rozwiązań typowych przykładów i problemów.
Krótki opis materiału artykułu.
Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy pewną notację.
Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Najpierw skupmy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby skonsolidować teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.
Następnie przechodzimy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub macierz główna układu jest zdegenerowana. Formułujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie systemów (w przypadku ich kompatybilności) z wykorzystaniem pojęcia bazy minorowej macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.
Pamiętaj, aby zastanowić się nad strukturą ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie fundamentalnego układu rozwiązań i pokażmy, jak za pomocą wektorów fundamentalnego układu rozwiązań napisane jest ogólne rozwiązanie SLAE. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.
Podsumowując, rozważamy układy równań, które sprowadzają się do liniowych, a także różne problemy, w rozwiązaniu których powstają SLAE.
Nawigacja po stronach.
Definicje, pojęcia, oznaczenia.
Rozważymy układy p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n ) postaci
Zmienne nieznane, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wolne elementy (także liczby rzeczywiste lub zespolone).
Ta forma SLAE nazywa się koordynować.
W forma macierzowa ten układ równań ma postać ,
gdzie 
- macierz główna układu, - macierz-kolumna nieznanych zmiennych, - macierz-kolumna wolnych elementów.
Jeżeli do macierzy A jako (n+1)-tej kolumny dodamy macierz-kolumnę wyrazów wolnych, to otrzymamy tzw. rozszerzona macierz układy równań liniowych. Zwykle macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych elementów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli 
Rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych nazwany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również zamienia się w tożsamość.
Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to połączenie.
Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywa się niekompatybilny.
Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się to niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to - niepewny.
Jeśli wyrazy wolne wszystkich równań układu są równe zeru 
, wtedy system nazywa się jednorodny, Inaczej - heterogeniczny.
Rozwiązywanie układów elementarnych liniowych równań algebraicznych.
Jeżeli liczba równań systemowych jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jej głównej macierzy nie jest równy zero, to takie SLAE będziemy nazywać podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, aw przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.
Takie SLAE zaczęliśmy studiować w liceum. Rozwiązując je, wzięliśmy jedno równanie, wyraziliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i wstawiliśmy ją do pozostałych równań, następnie wzięliśmy następne równanie, wyraziliśmy kolejną nieznaną zmienną i wstawiliśmy ją do innych równań i tak dalej. Albo użyli metody dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy się rozwodzić nad tymi metodami szczegółowo, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.
Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Rozwiążmy je.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.
Rozwiążmy układ liniowych równań algebraicznych 
w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu jest różny od zera, czyli .
Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu, a 
są wyznacznikami macierzy otrzymywanych z A przez zastąpienie 1., 2., …, nth kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków: 
Przy takim zapisie nieznane zmienne obliczane są ze wzorów metody Cramera jako 
. W ten sposób metoda Cramera znajduje rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych.
Przykład.
Metoda Cramera 
.
Decyzja.
Główna macierz systemu ma postać 
. Oblicz jego wyznacznik (w razie potrzeby zobacz artykuł): 
Ponieważ wyznacznik głównej macierzy systemu jest niezerowy, system posiada unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.
Skomponuj i oblicz niezbędne wyznaczniki 
(wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę w macierzy A kolumną wolnych prętów, wyznacznik - zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych prętów, - zastępując trzecią kolumnę macierzy A kolumną wolnych prętów ): 
Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą formuł 
:
Odpowiedź:
Główną wadą metody Cramera (jeśli można ją nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań układu jest większa niż trzy.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (przy użyciu macierzy odwrotnej).
Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie podany w postaci macierzowej , gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest niezerowy.
Ponieważ , wtedy macierz A jest odwracalna, czyli istnieje macierz odwrotna . Jeśli pomnożymy obie części równości przez po lewej stronie, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy kolumnowej nieznanych zmiennych. Więc otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.
Przykład.
Rozwiąż układ równań liniowych metoda macierzowa.
Decyzja.
Przepiszmy układ równań w postaci macierzowej: 
Jak
wtedy SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego systemu można znaleźć jako 
.
Zbudujmy macierz odwrotną używając macierzy dopełnień algebraicznych elementów macierzy A (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Pozostaje do obliczenia - macierz nieznanych zmiennych przez pomnożenie macierzy odwrotnej 
na macierzowej kolumnie wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Odpowiedź:
lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Głównym problemem w znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzecia.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.
Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi 
wyznacznik głównej macierzy której jest różny od zera.
Istota metody Gaussa polega na sukcesywnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, począwszy od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego, i tak dalej, aż do samej nieznanej zmiennej x n pozostaje w ostatnim równaniu. Taki proces przekształcania równań układu dla sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu biegu do przodu metodą Gaussa, x n znajduje się z ostatniego równania, x n-1 jest obliczane z przedostatniego równania przy użyciu tej wartości, i tak dalej, x 1 znajduje się z pierwszego równania. Proces obliczania nieznanych zmiennych przy przechodzeniu od ostatniego równania układu do pierwszego nazywa się odwrotna metoda Gaussa.
Opiszmy krótko algorytm eliminowania nieznanych zmiennych.
Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wykluczamy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. Aby to zrobić, dodaj pierwsze równanie pomnożone przez do drugiego równania układu, dodaj pierwsze pomnożone przez do trzeciego równania i tak dalej, dodaj pierwsze pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać 
gdzie 
.
Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w postaci innych nieznanych zmiennych i wstawili otrzymane wyrażenie do wszystkich innych równań. W ten sposób zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od drugiego.
Dalej postępujemy podobnie, ale tylko z częścią powstałego systemu, która jest zaznaczona na rysunku 
Aby to zrobić, dodaj drugą pomnożoną przez do trzeciego równania układu, dodaj drugą pomnożoną przez do czwartego równania i tak dalej, dodaj drugą pomnożoną przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać 
gdzie 
. W ten sposób zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.
Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomego x 3, zachowując się podobnie z częścią układu zaznaczoną na rysunku 
Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż układ przybierze formę 
Od tego momentu zaczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania, i tak dalej znajdujemy x 1 z równania pierwsze równanie.
Przykład.
Rozwiąż układ równań liniowych Metoda Gaussa.
Decyzja.
Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do obu części równania drugiego i trzeciego dodajemy odpowiednie części równania pierwszego, pomnożone odpowiednio przez i przez: 
Teraz wykluczamy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej części lewą i prawą część drugiego równania pomnożoną przez: 
Na tym kończy się kurs do przodu metody Gaussa, zaczynamy kurs odwrotny.
Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3: 
Z drugiego równania otrzymujemy .
Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i to dopełnia odwrotny przebieg metody Gaussa.
Odpowiedź:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.
W ogólnym przypadku liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:
Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy również układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i zdegenerowana.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych konieczne jest ustalenie jego zgodności. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest zgodny, a kiedy nie, daje Twierdzenie Kroneckera-Capellego:
aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równy n ) był niesprzeczny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli Rank( A)=Ranga (T) .
Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Cappelli do wyznaczania zgodności układu równań liniowych.
Przykład.
Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma 
rozwiązania.
Decyzja.
. Skorzystajmy z metody graniczenia nieletnich. Nieletni drugiego rzędu 
różne od zera. Przyjrzyjmy się otaczającym go nieletnim trzeciego rzędu: 
Ponieważ wszystkie graniczące nieletnie trzeciorzędne są równe zeru, ranga głównej macierzy wynosi dwa.
Z kolei ranga rozszerzonej macierzy 
jest równy trzy, ponieważ młodszy trzeciego rzędu 
różne od zera.
Zatem, Rang(A) , zatem zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.
Odpowiedź:
Nie ma systemu rozwiązań.
Tak więc nauczyliśmy się ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Ale jak znaleźć rozwiązanie SLAE, jeśli ustalono jego kompatybilność?
Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia bazy minorowej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.
Najwyższego rzędu minor macierzy A, inny niż zero, nazywa się podstawowy.
Z definicji bazy minor wynika, że jej kolejność jest równa randze macierzy. Dla niezerowej macierzy A może być kilka podstawowych drugorzędnych; zawsze jest jedna podstawowa drugorzędna.
Rozważmy na przykład macierz 
.
Wszystkie podrzędne trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.
Następujące drugorzędne drugorzędne są podstawowe, ponieważ są niezerowe 
Małoletni 
nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.
Twierdzenie o rangach macierzy.
Jeżeli rang macierzy rzędu p przez n wynosi r, to wszystkie elementy wierszy (i kolumn) macierzy, które nie tworzą wybranej bazy pomocniczej, są wyrażane liniowo w kategoriach odpowiadających im elementów wierszy (i kolumn ), które stanowią podstawę małoletnią.
Co daje nam twierdzenie o rangach macierzy?
Jeżeli za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną podrzędną podrzędną macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wyłączamy z układu wszystkie równania, które nie z wybranego podstawowego nieletniego. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny z pierwotnym, ponieważ odrzucone równania są nadal nadmiarowe (zgodnie z twierdzeniem o rangach macierzy są to liniowa kombinacja pozostałych równań).
W rezultacie, po odrzuceniu nadmiernych równań układu, możliwe są dwa przypadki.
Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie jest równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie ona określona i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Przykład.
.
Decyzja.
Ranga głównej macierzy systemu 
jest równy dwóm, ponieważ młodszy drugiego rzędu 
różne od zera. Rozszerzona ranga macierzy 
jest również równa dwóm, ponieważ jedyny mniejszy trzeciego rzędu jest równy zero 
a molowy drugiego rzędu rozważanego powyżej jest różny od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, ponieważ Rank(A)=Rank(T)=2 .
Jako podstawę małoletnią przyjmujemy . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania: 
Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawowego minora, więc wyłączamy je z układu opartego na twierdzeniu o rangach macierzy: 
W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera: 
Odpowiedź:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Jeżeli liczba równań r w otrzymanym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to wyrazy tworzące podstawową część mniejszą pozostawiamy w lewej części równań, a pozostałe wyrazy przenosimy do prawych części równań system z przeciwnym znakiem.
Nieznane zmienne (jest ich r) pozostałe po lewej stronie równań nazywamy Główny.
Nieznane zmienne (jest ich n - r), które znalazły się po prawej stronie, nazywają się wolny.
Teraz zakładamy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne będą wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Weźmy przykład.
Przykład.
Rozwiąż układ liniowych równań algebraicznych 
.
Decyzja.
Znajdź rangę głównej macierzy systemu 
metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego drugorzędnego małoletniego otaczającego go: 
Więc znaleźliśmy niezerową molową drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego granicznego małoletniego trzeciego rzędu: 
Tak więc ranga głównej matrycy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.
Znaleziony niezerowy minor trzeciego rzędu będzie traktowany jako podstawowy.
Dla jasności pokazujemy elementy, które tworzą podstawę drobną: 
Po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy uczestniczące w podstawowym minorowym, a pozostałe o przeciwnych znakach przenosimy na prawą stronę: 
Podajemy wolne nieznane zmienne x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli bierzemy 
, gdzie są arbitralne liczby. W tym przypadku SLAE przyjmuje formę 
Otrzymany układ elementarny liniowych równań algebraicznych rozwiązujemy metodą Cramera: 
Stąd, .
W odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.
Odpowiedź:
Gdzie są dowolne liczby.
Podsumować.
Aby rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, najpierw dowiadujemy się o jego zgodności za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa randze macierzy rozszerzonej, to dochodzimy do wniosku, że system jest niespójny.
Jeżeli rząd macierzy głównej jest równy rządowi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy podstawową podrzędną i odrzucamy równania układu, które nie uczestniczą w tworzeniu wybranej podstawowej podrzędnej.
Jeżeli rząd bazy minor jest równy liczbie nieznanych zmiennych, to SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.
Jeżeli kolejność podstawowych zmiennych mniejszych jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawe strony i przypisujemy dowolne wartości do wolnych nieznanych zmiennych. Z powstałego układu równań liniowych główne nieznane zmienne znajdujemy metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.
Metodą Gaussa można rozwiązywać dowolne układy liniowych równań algebraicznych bez ich wstępnego badania zgodności. Proces sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.
Z punktu widzenia prac obliczeniowych preferowana jest metoda Gaussa.
Zobacz jej szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.
Zapis ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.
W tej sekcji skupimy się na połączonych jednorodnych i niejednorodnych układach liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.
Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.
Podstawowy system decyzyjny Jednorodny układ p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi jest zbiorem (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rzędem bazy minorowej głównej macierzy układu.
Jeżeli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) to kolumny macierzowe o wymiarze n przez 1 ), to ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań z dowolnymi stałymi współczynnikami С 1 , С 2 , …, С (n-r), czyli .
Co oznacza termin rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?
Znaczenie jest proste: formuła określa wszystkie możliwe rozwiązania oryginalnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zestaw wartości dowolnych stałych C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , zgodnie ze wzorem my otrzyma jedno z rozwiązań oryginalnego jednorodnego SLAE.
Tak więc, jeśli znajdziemy fundamentalny układ rozwiązań, to możemy ustawić wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .
Pokażmy proces konstruowania fundamentalnego systemu rozwiązań dla jednorodnego SLAE.
Wybieramy podstawowy minor z pierwotnego układu równań liniowych, wyłączamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne. Nadajmy wolnym nieznanym zmiennym wartości 1,0,0,…,0 i obliczmy główne niewiadome, rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W ten sposób otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeżeli wolnym niewiadomym damy wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (2) . Itp. Jeśli wolnym nieznanym zmiennym nadamy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy układ rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci .
Dla niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne przedstawia się jako
Spójrzmy na przykłady.
Przykład.
Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych 
.
Decyzja.
Rząd macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równy rządowi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rangę macierzy głównej metodą marginalizacji nieletnich. Jako niezerową moll pierwszego rzędu, bierzemy element a 1 1 = 9 głównej macierzy układu. Znajdź graniczący niezerowy minor drugiego rzędu: 
Znaleziono molowy drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez graniczących z nim nieletnich trzeciego rzędu w poszukiwaniu niezerowego: 
Wszystkie graniczące nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej wynosi dwa. Weźmy podstawowy nieletni. Dla jasności zwracamy uwagę na elementy systemu, które go tworzą: 
Trzecie równanie oryginalnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawowego małoletniego, dlatego można go wykluczyć: 
Wyrazy zawierające główne niewiadome zostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony równań:
Zbudujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a kolejność jego podstawowej podrzędnej to dwie. Aby znaleźć X (1), podajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań 
.
Rozważać jednorodny system m równań liniowych z n zmiennymi:
(15)
Układ jednorodnych równań liniowych jest zawsze zgodny, ponieważ zawsze ma zerowe (trywialne) rozwiązanie (0,0,…,0).
Jeżeli w układzie (15) m=n i , to układ ma tylko rozwiązanie zerowe, co wynika z twierdzenia i wzorów Cramera.
Twierdzenie 1. Układ jednorodny (15) ma rozwiązanie nietrywialne wtedy i tylko wtedy, gdy ranga jego macierzy jest mniejsza niż liczba zmiennych, tj. . r(A)< n.
Dowód. Istnienie nietrywialnego rozwiązania systemu (15) jest równoważne liniowej zależności kolumn macierzy systemu (tzn. są takie liczby x 1 , x 2 ,…,x n , nie wszystkie równe zeru, że równości ( 15) są ważne).
Zgodnie z podstawowym twierdzeniem mniejszym, kolumny macierzy są zależne liniowo , gdy nie wszystkie kolumny tej macierzy są podstawowe, tj. gdy rząd r bazy minor macierzy jest mniejszy niż liczba n jej kolumn. Rozdz.
Konsekwencja. Kwadratowy układ jednorodny ma rozwiązania nietrywialne , gdy |A|=0.
Twierdzenie 2. Jeżeli kolumny x (1), x (2), ..., x (s) rozwiązania układu jednorodnego AX=0, to dowolna ich kombinacja liniowa jest również rozwiązaniem tego układu.
Dowód. Rozważ dowolną kombinację rozwiązań:
Następnie AX=A()===0. c.d.
Konsekwencja 1. Jeśli układ jednorodny ma rozwiązanie nietrywialne, to ma nieskończenie wiele rozwiązań.
To. konieczne jest znalezienie takich rozwiązań x (1), x (2), ..., x (s) układu Ax = 0, aby każde inne rozwiązanie tego układu można było przedstawić jako liniową kombinację ich i , co więcej, w wyjątkowy sposób.
Definicja. Układ k=n-r (n to liczba niewiadomych w układzie, r=rg A) liniowo niezależnych rozwiązań x (1) ,x (2) ,…,x (k) układu Ax=0 nazywamy fundamentalny system decyzyjny ten system.
Twierdzenie 3. Niech będzie dany układ jednorodny Ax=0 o n niewiadomych i r=rg A. Wtedy mamy zbiór k=n-r rozwiązań x (1) ,x (2) ,…,x (k) tego układu, które tworzą podstawowy system rozwiązań.
Dowód. Bez utraty ogólności możemy założyć, że baza minor macierzy A znajduje się w lewym górnym rogu. Następnie, zgodnie z twierdzeniem bazy minor, pozostałe wiersze macierzy A są kombinacjami liniowymi wierszy bazowych. Oznacza to, że jeśli wartości x 1 ,x 2 ,…,x n spełniają pierwsze r równania tj. równania odpowiadające rzędom podstawowego drugorzędnego), wówczas spełniają również inne równania. Dlatego zbiór rozwiązań układu nie zmieni się, jeśli wszystkie równania zaczynające się od (r + 1) zostaną odrzucone. Otrzymujemy system:
Przesuńmy wolne niewiadome x r +1, x r +2 ,…,x n na prawą stronę, a podstawowe x 1 , x 2 ,…, x r zostawmy po lewej stronie:
(16)
Ponieważ w tym przypadku wszystkie b i =0, to zamiast formuł
c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), otrzymujemy:
c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)
Jeżeli niewiadomym swobodnym х r +1 ,х r +2 ,…,x n przyjmiemy dowolne wartości, to w odniesieniu do niewiadomych podstawowych otrzymujemy kwadrat SLAE z macierzą nieosobliwą, która ma jednoznaczne rozwiązanie. Zatem każde rozwiązanie jednorodnego SLAE jest jednoznacznie określone przez wartości wolnych niewiadomych х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Rozważ następującą serię k=n-r wartości wolnych niewiadomych:
1, =0, ….,=0,
1, =0, ….,=0, (17)
………………………………………………
1, =0, ….,=0,
(Numer serii jest oznaczony indeksem górnym w nawiasie, a serie wartości są zapisane w kolumnach. W każdej serii =1, jeśli i=j i =0, jeśli ij.
i-ta seria wartości wolnych niewiadomych jednoznacznie odpowiada wartościom ,,…, podstawowych niewiadomych. Wartości wolnej i podstawowej niewiadomej razem dają rozwiązania systemowi (17).
Pokażmy, że kolumny e i =,i=1,2,…,k (18)
tworzą podstawowy system rozwiązań.
Ponieważ kolumny te konstrukcyjnie są rozwiązaniami układu jednorodnego Ax=0 i ich liczba jest równa k, to pozostaje do udowodnienia niezależności liniowej rozwiązań (16). Niech będzie liniowa kombinacja rozwiązań mi 1 , mi 2 ,…, mi k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), równe kolumnie zero:
1 mi 1 + 2 mi 2 +…+ k mi k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)
Wtedy lewa strona tej równości to kolumna, której składowe o liczbach r+1,r+2,…,n są równe zero. Ale (r+1)-ty składnik jest równy 1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Podobnie, (r+2)-ty składnik jest równy 2 ,…, k-ty składnik jest równy k . Dlatego 1 = 2 = …= k =0, co oznacza liniową niezależność rozwiązań mi 1 , mi 2 ,…, mi k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).
Skonstruowany podstawowy układ rozwiązań (18) nosi nazwę normalna. Na mocy wzoru (13) ma postać:
(20)
Konsekwencja 2. Zostawiać mi 1 , mi 2 ,…, mi k-normalny podstawowy układ rozwiązań układu jednorodnego, to zbiór wszystkich rozwiązań można opisać wzorem:
x=c 1 mi 1 + od 2 mi 2 +…+с k mi k (21)
gdzie с 1 ,с 2 ,…,с k – przyjmują dowolne wartości.
Dowód. Według Twierdzenia 2 kolumna (19) jest rozwiązaniem układu jednorodnego Ax=0. Pozostaje wykazać, że dowolne rozwiązanie tego systemu można przedstawić w postaci (17). Rozważ kolumnę X=y r +1 mi 1 +…+yn mi k. Kolumna ta pokrywa się z kolumną y pod względem elementów o liczbach r+1,…,n i jest rozwiązaniem (16). Dlatego kolumny X oraz w dopasuj, ponieważ rozwiązania układu (16) są jednoznacznie określone przez zbiór wartości jego wolnych niewiadomych x r +1 ,…,x n , a kolumny w oraz X te zestawy pasują. Stąd, w=X= r r +1 mi 1 +…+yn mi k, tj. decyzja w to liniowa kombinacja kolumn mi 1 ,…,y n normalny FSR. Rozdz.
Udowodnione twierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla normalnego FSR, ale także dla arbitralnego FSR jednorodnego SLAE.
X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - wspólna decyzja układy liniowych równań jednorodnych
gdzie Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r jest dowolnym podstawowym układem rozwiązań,
c 1 ,c 2 ,…,с n - r są liczbami dowolnymi.
Przykład. (str. 78)
Ustalmy powiązanie między rozwiązaniami niejednorodnego SLAE 
(1) i odpowiedni jednorodny SLAE 
(15)
Twierdzenie 4. Suma dowolnego rozwiązania układu niejednorodnego (1) i odpowiadającego mu układu jednorodnego (15) jest rozwiązaniem układu (1).
Dowód. Jeżeli c 1 ,…,c n jest rozwiązaniem układu (1), a d 1 ,…,d n jest rozwiązaniem układu (15), to podstawianie do dowolnego (na przykład i-tego) równania układu (1) w miejsce nieznanych liczb c 1 +d 1 ,…,c n +d n , otrzymujemy:
B i +0=b i
Twierdzenie 5. Różnica dwóch dowolnych rozwiązań układu niejednorodnego (1) jest rozwiązaniem układu jednorodnego (15).
Dowód. Jeżeli c 1 ,…,c n i c 1 ,…,c n są rozwiązaniami układu (1), to podstawianie do dowolnego (np. i-tego) równania układu (1) w miejsce nieznanego liczb c 1 -с 1 ,…,c n -с n , otrzymujemy:
B i -b i \u003d 0 h.t.d.
Z udowodnionych twierdzeń wynika, że rozwiązanie ogólne układu m liniowych równań jednorodnych z n zmiennymi jest równe sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu jednorodnych równań liniowych (15) i dowolnej liczby poszczególnych rozwiązań tego system (15).
X neod. =X całkowity jeden +X częsty więcej niż jeden (22)
Jako szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego, naturalne jest przyjęcie jego rozwiązania, które otrzymuje się, jeśli we wzorach c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) ustaw na zero wszystkie liczby c r +1 ,…,c n , tj.
Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)
Dodanie tego konkretnego rozwiązania do rozwiązania ogólnego X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r odpowiedni układ jednorodny, otrzymujemy:
X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+С n - r X n - r (24)
Rozważ układ dwóch równań z dwiema zmiennymi:
w którym przynajmniej jeden ze współczynników aij 0.
Aby rozwiązać, wykluczamy x 2, mnożąc pierwsze równanie przez 22, a drugie przez (-a 12) i dodając je: Wyeliminuj x 1, mnożąc pierwsze równanie przez (-a 21), a drugie przez 11 i dodając je: 
Wyrażenie w nawiasach - wyznacznik
Oznaczanie 
,
, wtedy system przyjmie postać:, czyli jeśli, to system ma unikalne rozwiązanie:,.
Jeśli Δ=0, a (lub), to system jest niespójny, ponieważ sprowadza się do postaci Jeśli Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, to układ jest niepewny, ponieważ przypomniał mi się
Jednorodny system jest zawsze spójny i ma trywialne rozwiązanie 
. Aby zaistniało rozwiązanie nietrywialne, konieczne jest, aby rząd macierzy 
była mniejsza niż liczba niewiadomych:
.
Podstawowy system decyzyjny
jednorodny system 
nazwijmy układ rozwiązań w postaci wektorów kolumnowych 
, które odpowiadają podstawie kanonicznej, tj. podstawa, w której dowolne stałe 
są na przemian ustawione na jeden, podczas gdy reszta jest ustawiona na zero.
Wtedy ogólne rozwiązanie układu jednorodnego ma postać:
gdzie 
są arbitralnymi stałymi. Innymi słowy, rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową podstawowego układu rozwiązań.
Zatem rozwiązania podstawowe można otrzymać z rozwiązania ogólnego, jeśli wolnym niewiadomym naprzemiennie przypisuje się wartość jedności, zakładając, że wszystkie inne są równe zeru.
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie systemu
Akceptujemy , następnie otrzymujemy rozwiązanie w postaci:
Zbudujmy teraz podstawowy system rozwiązań:
.
Ogólne rozwiązanie można zapisać jako:
Rozwiązania układu jednorodnych równań liniowych mają następujące właściwości:
Innymi słowy, każda liniowa kombinacja rozwiązań w jednorodny układ jest znowu rozwiązaniem.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa
Rozwiązywanie układów równań liniowych interesuje matematyków od kilku stuleci. Pierwsze wyniki uzyskano w XVIII wieku. W 1750 G. Kramer (1704–1752) opublikował swoje prace na temat wyznaczników macierzy kwadratowych i zaproponował algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. W 1809 Gauss przedstawił nową metodę rozwiązania znaną jako metoda eliminacji.
Metoda Gaussa, czyli metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych, polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych układ równań sprowadza się do równorzędnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej). Takie systemy pozwalają konsekwentnie znajdować wszystkie niewiadome w określonej kolejności.
Załóżmy, że w systemie (1) 
(co jest zawsze możliwe).
(1)
Mnożąc kolejno pierwsze równanie przez tzw odpowiednie liczby
a dodając wynik mnożenia z odpowiednimi równaniami układu, otrzymujemy układ równoważny, w którym wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, nie będą miały niewiadomych X 1
(2)
Teraz mnożymy drugie równanie układu (2) przez odpowiednie liczby, zakładając, że 
,
a dodając go do niższych, eliminujemy zmienną 
wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.
Kontynuując ten proces, po 
kroki, które otrzymujemy:
(3)
Jeśli przynajmniej jedna z liczb 
nie jest równy zero, to odpowiadająca jej równość jest niespójna i system (1) jest niespójny. I odwrotnie, dla dowolnego wspólnego systemu liczbowego 
są równe zeru. Numer 
to nic innego jak rząd macierzy systemowej (1).
Przejście z systemu (1) do (3) nazywa się w prostej lini Metoda Gaussa i znajdowanie niewiadomych z (3) - wstecz .
Komentarz : Wygodniej jest przeprowadzać przekształcenia nie samymi równaniami, ale rozszerzoną macierzą układu (1).
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie systemu
.
Napiszmy macierz rozszerzoną systemu:
.
Dodajmy do wierszy 2,3,4 pierwszy, pomnożony przez (-2), (-3), (-2) odpowiednio:
.
Zamieńmy wiersze 2 i 3, a następnie w otrzymanej macierzy dodajmy wiersz 2 do wiersza 4, pomnożone przez 
:
.
Dodaj do linii 4 linia 3 pomnożona przez 
:
.
To oczywiste, że 
, stąd system jest kompatybilny. Z powstałego układu równań
znajdujemy rozwiązanie przez odwrotne podstawienie:
,
,
,
.
Przykład 2 Znajdź rozwiązanie systemowe:
.
Jest oczywiste, że system jest niespójny, ponieważ 
, a 
.
Zalety metody Gaussa :
Mniej czasochłonna niż metoda Cramera.
Jednoznacznie ustala kompatybilność systemu i pozwala znaleźć rozwiązanie.
Daje możliwość określenia rangi dowolnych macierzy.
Jednorodny układ równań liniowych AX = 0 zawsze razem. Ma nietrywialne (niezerowe) rozwiązania, jeśli r= ranga A< n .
Dla układów jednorodnych zmienne bazowe (współczynniki, przy których tworzą bazę mniejszą) wyraża się w postaci zmiennych swobodnych relacjami postaci:
Następnie n - r liniowo niezależnymi rozwiązaniami wektorowymi będą:
a każde inne rozwiązanie to ich kombinacja liniowa. Wektor decyzyjny 
tworzą znormalizowany system podstawowy.
W przestrzeni liniowej zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych tworzy podprzestrzeń wymiaru n - r; 
jest podstawą tej podprzestrzeni.
System m równania liniowe z n nieznany(lub, układ liniowy
 |
Tutaj x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, amni- współczynniki systemowe - i b 1 , b 2 , … bm aiji) i nieznany ( j
System (1) nazywa się jednorodnyb 1 = b 2 = … = bm= 0), w przeciwnym razie - heterogeniczny.
System (1) nazywa się kwadrat jeśli liczba m równania są równe liczbie n nieznany.
Decyzja systemy (1) - zestaw n liczby c 1 , c 2 , …, c n, tak, że podstawienie każdego c ja zamiast x ja w system (1) zamienia wszystkie swoje równania w tożsamości.
System (1) nazywa się połączenie niekompatybilny
Rozwiązania c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n różny
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
niektórzy niepewny. Jeśli równań jest więcej niż niewiadomych, nazywa się to przedefiniowana.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie równań macierzowych ~ Metoda Gaussa
Metody rozwiązywania układów równań liniowych dzielą się na dwie grupy:
1. precyzyjne metody, które są skończonymi algorytmami obliczania pierwiastków systemu (rozwiązywanie systemów za pomocą macierzy odwrotnej, reguły Cramera, metody Gaussa itp.),
2. metody iteracyjne, które umożliwiają uzyskanie rozwiązania układu z zadaną dokładnością za pomocą zbieżnych procesów iteracyjnych (metoda iteracyjna, metoda Seidela itp.).
Ze względu na nieuniknione zaokrąglanie wyniki nawet dokładnych metod są przybliżone. Przy stosowaniu metod iteracyjnych dodawany jest ponadto błąd metody.
Skuteczne zastosowanie metod iteracyjnych zasadniczo zależy od dobrego doboru początkowej aproksymacji i szybkości zbieżności procesu.
Rozwiązanie równań macierzowych
Rozważ system n liniowe równania algebraiczne względem n nieznany X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matryca ALE, którego kolumny są współczynnikami dla odpowiednich niewiadomych, a wiersze są współczynnikami dla niewiadomych w odpowiednim równaniu, nazywa się macierz systemowa; macierz kolumn b, którego elementami są prawe strony równań układu, nazywa się matryca po prawej stronie lub po prostu prawa strona systemu. macierz kolumn X, którego elementy są nieznanymi niewiadomymi, nazywa się rozwiązanie systemowe.
Jeśli matryca ALE- nieliczba pojedyncza, czyli det Jakiś e jest równe 0, to układ (13) lub jego równoważne równanie macierzowe (14) ma jednoznaczne rozwiązanie.
Rzeczywiście, pod warunkiem det A nie jest równe 0 jest macierz odwrotna ALE-jeden . Mnożenie obu stron równania (14) przez macierz ALE-1 otrzymujemy:
| (16) |
Formuła (16) daje rozwiązanie równania (14) i jest unikalna.
Wygodne jest rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą funkcji rozwiązać.
rozwiąż ( A, b)
Zwracany jest wektor decyzji x takie, że Oh= b.
Argumenty:
ALE jest macierzą kwadratową, nie osobliwą.
b jest wektorem, który ma tyle wierszy, ile jest wierszy w macierzy ALE .
Rysunek 8 przedstawia rozwiązanie układu trzech równań liniowych w trzech niewiadomych.
Metoda Gaussa
Metoda Gaussa, zwana również metodą eliminacji Gaussa, polega na tym, że układ (13) redukowany jest sukcesywną eliminacją niewiadomych do układu równoważnego o macierzy trójkątnej:
W notacji macierzowej oznacza to, że pierwsze (bezpośredni przebieg metody Gaussa) elementarne operacje na wierszach sprowadzają macierz rozszerzoną układu do postaci schodkowej:
a następnie (odwrotny przebieg metody Gaussa) ta macierz kroku jest przekształcana tak, aby w pierwszej n kolumny okazały się macierzą tożsamości:
.
Ostatni, ubiegły, zeszły, ( n+ 1) kolumna tej macierzy zawiera rozwiązanie układu (13).
W Mathcadzie ruchy do przodu i do tyłu metody Gaussa są wykonywane przez funkcję ref(A).
Rysunek 9 przedstawia rozwiązanie układu równań liniowych metodą Gaussa, która wykorzystuje następujące funkcje:
ref( A)
Zwraca postać kroku macierzy ALE.
zwiększać( A, W)
Zwraca tablicę utworzoną przez lokalizację A oraz W obok siebie. Tablice A oraz W musi mieć taką samą liczbę wierszy.
podmacierz ( A, ir, jr, ic, jc)
Zwracana jest podmacierz składająca się ze wszystkich elementów z Ir na młodsza i kolumny z ic na jc. Upewnij się, że Ir młodsza oraz
ic Jc, w przeciwnym razie kolejność wierszy i/lub kolumn zostanie odwrócona.
Rysunek 9
Opis metody
Dla układu n równań liniowych z n niewiadomymi (na dowolnym polu)
z wyznacznikiem macierzy systemu Δ różnym od zera, rozwiązanie zapisujemy jako
(i-ta kolumna macierzy systemowej jest zastąpiona kolumną wolnych terminów).
W innej postaci reguła Cramera jest sformułowana następująco: dla dowolnych współczynników c1, c2, ..., cn równość jest prawdziwa:
W tej postaci wzór Cramera obowiązuje bez założenia, że Δ jest różne od zera, nie jest nawet konieczne, aby współczynniki układu były elementami pierścienia całkowego (wyznacznikiem układu może być nawet dzielnik zera w pierścieniu współczynników). Możemy również założyć, że albo zbiory b1,b2,...,bn i x1,x2,...,xn, albo zbiór c1,c2,...,cn nie składają się z elementów współczynnika ring systemu, ale jakiegoś modułu nad tym pierścieniem. W tej postaci wzór Cramera jest używany na przykład do udowodnienia wzoru na wyznacznik Grama i lemat Nakayamy.
| 35) Twierdzenie Kroneckera-Capelliego |
Aby układ m niejednorodnych równań liniowych w n niewiadomych był niesprzeczny, konieczny i wystarczający jest dowód konieczności. Niech system (1.13) będzie niesprzeczny, czyli są takie liczby X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n \u003d α n, Co  (1.15) Odejmij od ostatniej kolumny rozszerzonej macierzy jej pierwszą kolumnę pomnożoną przez α 1 , drugą - przez α 2 , …, n-tą - pomnożoną przez α n , czyli od ostatniej kolumny macierzy (1.14) należy odjąć lewe części równości (1,15). Następnie otrzymujemy macierz  którego ranga nie zmienia się w wyniku elementarnych przekształceń oraz . Ale to oczywiste i stąd dowód wystarczalności. Niech i niech, dla pewności, niezerowy minor rzędu r znajdujący się w lewym górnym rogu macierzy:  Oznacza to, że pozostałe wiersze macierzy można otrzymać jako kombinacje liniowe pierwszych r wierszy, to znaczy, że m-r wierszy macierzy można przedstawić jako sumy pierwszych r wierszy pomnożone przez pewne liczby. Ale wtedy pierwsze r równania układu (1.13) są niezależne, a pozostałe są ich konsekwencjami, to znaczy rozwiązanie układu pierwszych r równań jest automatycznie rozwiązaniem pozostałych równań. Możliwe są dwa przypadki. 1. r=n. Wtedy układ składający się z pierwszych r równań ma taką samą liczbę równań i niewiadomych oraz jest zgodny, a jego rozwiązanie jest jednoznaczne. 2.r |
36) używaj-pewność, niepewność
System m równania liniowe z n nieznany(lub, układ liniowy) w algebrze liniowej jest układem równań postaci
 |
Tutaj x 1 , x 2 , …, x n są niewiadome do ustalenia. a 11 , a 12 , …, amni- współczynniki systemowe - i b 1 , b 2 , … bm- członkowie wolni - zakłada się, że są znani. Wskaźniki współczynnika ( aij) systemy oznaczają liczby równania ( i) i nieznany ( j), przy którym współczynnik ten wynosi odpowiednio.
System (1) nazywa się jednorodny jeśli wszystkie jego wolne terminy są równe zeru ( b 1 = b 2 = … = bm= 0), w przeciwnym razie - heterogeniczny.
System (1) nazywa się połączenie jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, oraz niekompatybilny jeśli nie ma rozwiązania.
Wspólny układ formularza (1) może mieć jedno lub więcej rozwiązań.
Rozwiązania c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) układy łączne postaci (1) nazywane są różny jeżeli co najmniej jedno z równości jest naruszone:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Wspólny system postaci (1) nazywa się niektórzy czy ma unikalne rozwiązanie; jeśli ma co najmniej dwa różne rozwiązania, to nazywa się niepewny
37) Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa
Niech oryginalny system będzie wyglądał tak
Matryca A nazywana jest główną macierzą systemu, b- kolumna wolnych członków.
Następnie, zgodnie z właściwością przekształceń elementarnych po wierszach, główną macierz tego układu można sprowadzić do postaci schodkowej (te same przekształcenia należy zastosować do kolumny wolnych elementów):
Następnie zmienne nazywają się główne zmienne. Wszyscy inni nazywają się wolny.
[edytuj] Warunek spójności
Powyższy warunek dla wszystkich można sformułować jako warunek konieczny i wystarczający zgodności:
Przypomnijmy, że ranga wspólnego systemu to rząd jego głównej macierzy (lub rozszerzony, ponieważ są równe).
Algorytm
Opis
Algorytm rozwiązywania SLAE metodą Gaussa dzieli się na dwa etapy.
§ W pierwszym etapie wykonuje się tzw. ruch bezpośredni, gdy za pomocą elementarnych przekształceń po rzędach układ zostaje sprowadzony do postaci schodkowej lub trójkątnej, albo zostanie stwierdzone, że układ jest niespójny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybierana jest niezerowa, przesuwana jest ona na najwyższą pozycję poprzez permutację wierszy, a pierwszy wiersz uzyskany po permutacji jest odejmowany od pozostałych wierszy, mnożąc go o wartość równą stosunkowi pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim. Po wykonaniu wskazanych przekształceń, pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuują, aż pozostanie macierz o rozmiarze zerowym. Jeżeli w którejś z iteracji wśród elementów pierwszej kolumny nie znaleziono niezerowej, to przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.
§ Na drugim etapie wykonuje się tzw. ruch odwrotny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich otrzymanych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i skonstruowanie fundamentalnego układu rozwiązań, lub jeśli wszystkie zmienne są podstawowe , a następnie wyrazić numerycznie jedyne rozwiązanie układu równań liniowych. Ta procedura zaczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażona jest odpowiednia zmienna podstawowa (a jest tam tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań i tak dalej, wspinając się po „stopniach”. Każdy wiersz odpowiada dokładnie jednej zmiennej podstawowej, więc na każdym kroku, z wyjątkiem ostatniego (najwyższego), sytuacja dokładnie powtarza przypadek ostatniego wiersza.
Metoda Gaussa wymaga zamówienia O(n 3) działania.
Ta metoda opiera się na:
38)Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
System jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ranga jego macierzy głównej jest równa randze jego macierzy rozszerzonej.
Aby zrozumieć, co jest fundamentalny system decyzyjny możesz obejrzeć samouczek wideo dla tego samego przykładu, klikając . Przejdźmy teraz do opisu wszystkich niezbędnych prac. Pomoże Ci to bardziej szczegółowo zrozumieć istotę tego problemu.
Jak znaleźć podstawowy układ rozwiązań równania liniowego?
Weźmy na przykład następujący układ równań liniowych:
Znajdźmy rozwiązanie tego liniowego układu równań. Na początek my zapisz macierz współczynników układu.
Przekształćmy tę macierz w trójkątną. Przepisujemy pierwszą linię bez zmian. A wszystkie elementy znajdujące się pod $a_(11)$ muszą mieć wartość zero. Aby umieścić zero w miejscu elementu $a_(21)$, musisz odjąć pierwszy od drugiego wiersza i zapisać różnicę w drugim wierszu. Aby umieścić zero w miejscu elementu $a_(31)$, musisz odjąć pierwszy od trzeciego wiersza i zapisać różnicę w trzecim wierszu. Aby umieścić zero w miejscu elementu $a_(41)$, musisz od czwartego wiersza odjąć pierwszy pomnożony przez 2 i zapisać różnicę w czwartym wierszu. Aby uzyskać zero w miejscu elementu $a_(31)$, odejmij pierwszy pomnożony przez 2 od piątego wiersza i wpisz różnicę w piątym wierszu. 
Przepisujemy pierwszą i drugą linię bez zmian. A wszystkie elementy znajdujące się pod $a_(22)$ muszą mieć wartość zero. Aby w miejscu elementu $a_(32)$ zrobić zero, należy od trzeciego wiersza odjąć drugi pomnożony przez 2 i zapisać różnicę w trzecim wierszu. Aby w miejscu elementu $a_(42)$ zrobić zero, należy od czwartego wiersza odjąć drugi pomnożony przez 2 i zapisać różnicę w czwartym wierszu. Aby umieścić zero w miejscu elementu $a_(52)$, odejmij drugą pomnożoną przez 3 od piątego wiersza i wpisz różnicę w piątym wierszu. 
Widzimy to ostatnie trzy wiersze są takie same, więc jeśli odejmiemy trzecią od czwartej i piątej, to wyjdą one na zero. 
Dla tej matrycy zapisz nowy układ równań.
Widzimy, że mamy tylko trzy liniowo niezależne równania i pięć niewiadomych, więc podstawowy układ rozwiązań będzie składał się z dwóch wektorów. Więc my przesuń ostatnie dwie niewiadome w prawo.
Teraz zaczynamy wyrażać te niewiadome, które są po lewej stronie, poprzez te, które są po prawej stronie. Zaczynamy od ostatniego równania, najpierw wyrażamy $x_3$, następnie otrzymany wynik podstawiamy do drugiego równania i wyrażamy $x_2$, a następnie do pierwszego równania i tutaj wyrażamy $x_1$. W ten sposób wyraziliśmy wszystkie niewiadome, które znajdują się po lewej stronie, poprzez niewiadome, które znajdują się po prawej stronie. 
Następnie zamiast $x_4$ i $x_5$ możesz podstawić dowolne liczby i znaleźć $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Każde takie pięć liczb będzie pierwiastkiem naszego oryginalnego układu równań. Aby znaleźć wektory zawarte w FSR musimy podstawić 1 zamiast x_4$ i podstawić 0 zamiast x_5$, znaleźć $x_1$, x_2$ i x_3$, a następnie na odwrót $x_4=0$ i x_5=1$.
Ładowanie...