Sekwencja jest wysoce uporządkowanym zbiorem liczbowym utworzonym zgodnie z danym prawem. Termin „seria” oznacza wynik dodania terminów odpowiedniej sekwencji. Dla różnych ciągów liczbowych możemy znaleźć sumę wszystkich jego członków lub całkowitą liczbę elementów do określonej granicy.

Podciąg

Termin ten odnosi się do danego zestawu elementów przestrzeni liczbowej. Każdy obiekt matematyczny otrzymuje pewną formułę określającą wspólny element ciągu, a dla większości skończonych zbiorów liczbowych istnieją proste formuły określające ich sumę. Nasz program to zbiór 8 kalkulatorów online przeznaczonych do obliczania sum najpopularniejszych zestawów liczbowych. Zacznijmy od najprostszego – serii naturalnej, którą wykorzystujemy w życiu codziennym do liczenia przedmiotów.

naturalna sekwencja

Kiedy uczniowie uczą się liczb, pierwszą rzeczą, której się uczą, jest liczenie przedmiotów, takich jak jabłka. Naturalne liczby pojawiają się naturalnie podczas liczenia przedmiotów, a każde dziecko wie, że 2 jabłka to zawsze 2 jabłka, ni mniej, ni więcej. Szereg naturalny jest określony przez proste prawo, które wygląda jak n. Formuła mówi, że n-ty element zbioru liczb jest równy n: pierwszy to 1, drugi to 2, czterysta pięćdziesiąt pierwszy to 451 i tak dalej. Wynik zsumowania pierwszych n liczb naturalnych, czyli zaczynając od 1, określa prosty wzór:

∑ = 0,5n × (n+1).

Obliczanie sumy ciągu naturalnego

Do obliczeń należy wybrać wzór ciągu naturalnego n w menu kalkulatora i wprowadzić liczbę wyrażeń w ciągu. Obliczmy sumę ciągu naturalnego od 1 do 15. Określając n = 15, otrzymasz wynik w postaci samego ciągu:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

a suma ciągu naturalnego równa 120.

Za pomocą powyższego wzoru można łatwo sprawdzić poprawność obliczeń. W naszym przykładzie wynik dodawania wyniesie 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Zgadza się.

Sekwencja kwadratów

Sekwencja kwadratowa jest tworzona z naturalnego ciągu przez podniesienie do kwadratu każdego wyrazu. Liczba kwadratów jest utworzona zgodnie z prawem n 2, dlatego n-ty element sekwencji będzie równy n 2: pierwszy - 1, drugi - 2 2 \u003d 4, trzeci - 3 2 \ u003d 9 i tak dalej. Wynik zsumowania początkowych n elementów ciągu kwadratowego oblicza się zgodnie z prawem:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Za pomocą tego wzoru możesz łatwo obliczyć sumę kwadratów od 1 do n dla dowolnie dużego n. Jest oczywiste, że ten ciąg jest również nieskończony i wraz ze wzrostem n będzie rosła całkowita wartość zbioru liczbowego.

Obliczanie sumy szeregu kwadratów

W takim przypadku będziesz musiał wybrać prawo ciągu kwadratów n 2 w menu programu, a następnie wybrać wartość n. Obliczmy sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu (n=10). Program poda samą sekwencję:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

oraz kwotę równą 385.

seria sześcienna

Rząd sześcianów to ciąg liczb naturalnych w sześcianie. Prawo tworzenia wspólnego elementu ciągu jest zapisane jako n 3 . Tak więc pierwszy element szeregu to 1 3 = 1, drugi to 2 3 = 8, trzeci to 3 3 = 27 i tak dalej. Sumę pierwszych n elementów szeregu sześciennego określa wzór:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, elementy przestrzeni liczbowej dążą do nieskończoności, a im większa liczba wyrazów, tym większy wynik sumowania.

Obliczanie sumy szeregu sześciennego

Aby rozpocząć, wybierz prawo szeregu sześciennego n 3 w menu kalkulatora i ustaw dowolną wartość n. Określmy sumę szeregu 13 wyrazów. Kalkulator poda nam wynik w postaci ciągu:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

a suma szeregu mu odpowiadającego, równa 8281.

Sekwencja liczb nieparzystych

Zbiór liczb naturalnych zawiera podzbiór elementów nieparzystych, czyli takich, które nie są podzielne przez 2 bez reszty. Ciąg liczb nieparzystych określa wyrażenie 2n - 1. Zgodnie z prawem pierwszy wyraz ciągu będzie równy 2 × 1 - 1 = 1, drugi - 2 × 2 - 1 = 3, trzeci - 2 × 3 - 1 = 5 i tak dalej. Suma początkowych n elementów nieparzystego rzędu jest obliczana za pomocą prostego wzoru:

Rozważ przykład.

Obliczanie sumy liczb nieparzystych

Najpierw wybierz w menu programu prawo tworzenia nieparzystego szeregu 2n−1, a następnie wpisz n. Dowiedzmy się pierwszych 12 wyrazów nieparzystego szeregu i jego sumy. Kalkulator natychmiast poda wynik w postaci zestawu liczb:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

jak również suma nieparzystego szeregu, która wynosi 144. I rzeczywiście, 12 2 = 144. Zgadza się.

Liczby prostokątne

Liczby prostokątne należą do klasy liczb kręconych, które są klasą elementów liczbowych potrzebnych do konstruowania geometrycznych kształtów i brył. Na przykład, aby zbudować trójkąt potrzebujesz 3, 6 lub 10 punktów, kwadrat - 4, 9 lub 16 punktów, a do ułożenia czworościanu potrzebujesz 4, 10 lub 20 piłek lub kostek. Prostokąty są łatwe do skonstruowania przy użyciu dwóch kolejnych liczb, na przykład 1 i 2, 7 i 8, 56 i 57. Liczby prostokątne są wyrażane jako iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Wzór na wspólny wyraz szeregu wygląda następująco n × (n+1). Pierwsze dziesięć elementów takiego zestawu liczbowego wygląda następująco:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

Wraz ze wzrostem n rośnie również wartość liczb prostokątnych, a więc suma takiego szeregu również będzie się zwiększać.

odwrotna sekwencja

W przypadku liczb prostokątnych istnieje odwrotny ciąg określony wzorem 1 / (n × (n+1)). Zbiór liczb jest przekształcany w zbiór ułamków i wygląda tak:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Sumę szeregu ułamków określa wzór:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Oczywiście wraz ze wzrostem liczby elementów w szeregu wartość ułamka 1/(n + 1) dąży do zera, a wynik dodawania zbliża się do jedności. Rozważ przykłady.

Suma szeregu prostokątnego i jego odwrotność

Obliczmy wartość ciągu prostokątnego dla n = 20. Aby to zrobić, wybierz prawo określające wspólny element zestawu liczbowego n × (n + 1) w menu kalkulatora online i określ n. Program zwróci natychmiastowy wynik jako 3080. Aby obliczyć szereg odwrotny, zmień prawo na 1 / (n × (n+1)). Suma odwrotności elementów liczbowych będzie równa 0,952.

Seria produktów o trzech kolejnych numerach

Prostokątny zestaw liczb można modyfikować, dodając do niego kolejny kolejny mnożnik. Dlatego wzór na obliczenie n-tego elementu zbioru zostanie przekształcony w n × (n+1) × (n+2). Zgodnie z tym wzorem elementy szeregu tworzą się jako iloczyn trzech kolejnych liczb, na przykład 1 × 2 × 3 lub 10 × 11 × 12. Pierwsze dziesięć elementów takiego szeregu wygląda następująco:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Jest to szybko rosnący zbiór liczbowy, a suma odpowiadających mu szeregów idzie do nieskończoności wraz ze wzrostem n.

odwrotna sekwencja

Podobnie jak w poprzednim przypadku, możemy odwrócić formułę n-tego członu i otrzymać wyrażenie 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Następnie zbiór wartości całkowitych zostanie przekształcony w szereg ułamków, których mianownik będzie iloczynem trzech kolejnych liczb. Początek takiego zestawu wygląda tak:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Suma odpowiednich szeregów jest określona wzorem:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Oczywiście wraz ze wzrostem liczby elementów ułamek 1 / ((n + 1) × (n + 2)) dąży do zera, a suma szeregu zbliża się do wartości 0,5 × 0,5 = 0,25. Rozważ przykłady.

Seria produktów składających się z trzech kolejnych liczb i ich odwrotności

Aby pracować z tym zbiorem, musisz wybrać prawo określające wspólny element n × (n + 1) × (n + 2) i ustawić n, na przykład 100. Kalkulator poda Ci również sam ciąg jako wartość wyniku dodawania setek liczb, równa 26 527 650. Jeśli wybierzemy odwrotność prawa 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)), suma szeregu 100 wyrazów wyniesie 0,250.

Wniosek

Podstawowe pojęcia i definicje

Niech będzie dany ciąg liczb nieskończonych:

, … (1.1)

W zeszłym roku zdefiniowaliśmy ciąg liczb jako funkcję argumentu naturalnego. Oznacza to, że każdy element ciągu jest funkcją jego liczby P: . W dalszej części czasami rozważymy P równy zero, więc ciąg liczbowy zostanie zdefiniowany jako funkcja liczba całkowita argument (od słów „liczba całkowita”).

Definicja 1. Wyrażenie

(1.2)

nazywa niekończąca się linia liczb, czyli w skrócie Blisko. Członkowie sekwencji ,… są nazywane członkowie pewnej liczby; wyrażenie z indeksem P- wspólny członek serii.

Ciąg można łatwo odróżnić od ciągu: elementy ciągu zapisujemy oddzielone przecinkami, elementy ciągu łączymy znakami plus.

Pojęcie szeregu jest więc uogólnieniem sumowania na przypadek nieskończonej liczby wyrazów.

Szereg uważa się za podany, jeśli znana jest formuła jego wspólnego terminu (podana). Wyraz wspólny szeregu (1.2) pokrywa się z wyrazem wspólnym ciągu (1.1) i jest również funkcją argumentu całkowitego n, tj. . Na przykład, jeśli wspólny termin jest podany jako

, (1.3)

następnie wstawiając ten wzór n= 1, 2, 3,..., można znaleźć dowolny element szeregu, a więc i cały szereg:

- członkowie sekwencji lub członkowie serii,

(1.4)

Numer rzędu.

Definicja. Suma n pierwsi członkowie serii nazywają się n- oh suma częściowa szeregu i jest oznaczone symbolem:

Można to napisać tak: .

W szczególności,

Ze wszystkich sum cząstkowych szeregu (1.2) składamy ciąg liczbowy :

(1.7)

Nazywa się to ciąg sum częściowych. Jak każda sekwencja liczb, może mieć limit, tj. zbiegają się lub nie mają limitu, tj. odchodzić. Granica ciągu sum częściowych, jeśli istnieje, będzie oznaczona literą S.

Definicja. Wiersz nazywa się zbieżny(wiersz zbiega się), jeżeli ciąg sum częściowych tego szeregu jest zbieżny. Jednocześnie limit S ciągi sum częściowych nazywa się suma tej serii, tj.

. (1.8)

Dla szeregu zbieżnego z sumą S, możemy formalnie napisać równość:

Ciąg, który nie ma sumy (1.8) nazywa się rozbieżny. W szczególności, jeśli , wtedy mówimy, że szereg rozchodzi się do , a w tym przypadku używamy symbolicznej równości

.

Komentarz. Z równości (1.6) wynika, że ​​dowolny element szeregu można przedstawić jako różnicę między sumami częściowymi a :

. (1.10)

Przedstawmy geometrycznie ciąg sum częściowych. Na rys. 1.1 aib szereg jest zbieżny, na rys. 1.1 c jest rozbieżny.

Rys.1.1

Uwaga 3. Czasami liczba członków serii zaczyna się od zera: .

Przykłady serii liczb. Obliczanie sumy szeregu

Przykład 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Tutaj , .

Ta seria jest rozbieżna Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Przykład 2º .

Jak zwykle, przemienność znaków + i - określa się za pomocą stopnia (-1). Tutaj ciąg sum częściowych ma postać:

tych. wartość sumy częściowej zależy od parytetu liczby P:

Zatem parzyste i nieparzyste sumy częściowe mają tendencję do dwóch różnych granic:

parzysty do zera, nieparzysty do jednego:

Rys.1.2

Dlatego sekwencja nie ma granic, a podana seria jest rozbieżna.

Przykład 3º .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

To jest postęp arytmetyczny z różnicą. Przypomnijmy, że nazwa „arytmetyka” wzięła się stąd, że każdy wyraz tego progresji, począwszy od drugiego, jest równy Średnia arytmetyczna członkowie sąsiedni:

.

W tym postępie , a ciąg sum częściowych ma postać:

Przykład 6º.

.

Dane wyjściowe zostaną podane poniżej. Tutaj mianownikiem są tylko liczby nieparzyste.

Przykład 7º.

. Dane wyjściowe zostaną podane poniżej.

Przykład 8º.

Dane wyjściowe zostaną podane poniżej. Suma szeregu jest równa liczbie mi- podstawa logarytmu naturalnego.

Suma szeregu nie zawsze jest łatwa do obliczenia, a nawet nie zawsze możliwa. Dlatego w teorii szeregów często rozwiązywany jest prostszy problem - ustalenie, czy szereg jest zbieżny, czy rozbieżny. Nazywa się to badanie zbieżności serii.

FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI

Państwowa instytucja edukacyjna

wyższe wykształcenie zawodowe

"MATI" - ROSYJSKA PAŃSTWOWA UCZELNIA TECHNICZNA IM. K.E. TSIOLKOVSKY

Katedra Modelowania Systemów i Technik Informacyjnych

Seria liczb

Instrukcje metodyczne do ćwiczeń praktycznych

w dyscyplinie „Wyższa Matematyka”

Kompilatory: Egorova Yu.B.

Mamonow I.M.

Kornienko L.I.

Moskwa 2005 wprowadzenie

Instrukcje metodyczne przeznaczone są dla studentów wydziałów dziennych i wieczorowych wydziału nr 14, specjalności 071000, 130200, 220200.

1. Podstawowe pojęcia

Zostawiać ty 1 , ty 2 , ty 3 , …, ty n, …  nieskończony ciąg liczbowy. Wyrażenie
nazywa niekończąca się linia liczb, liczby ty 1 , ty 2 , ty 3 , …, ty n- członkowie serii;
nazywa się wspólnym terminem serii. Seria jest często pisana w formie skróconej (złożonej):

Suma pierwszych n elementy serii liczb są oznaczone przez i zadzwoń n -ta suma częściowa szeregu:

Wiersz nazywa się zbieżny Jeśli to n-ta suma częściowa z nieograniczonym wzrostem n dąży do ostatecznej granicy, tj. jeśli
Numer nazywa suma serii.

Jeśli n-ta suma częściowa szeregu w
nie dąży do skończonej granicy, wtedy seria nazywa się rozbieżny.

Przykład 1 Znajdź sumę szeregu
.

Decyzja. Mamy
. Jak:

,

Stąd,

Jak
, to szereg jest zbieżny i jego suma jest równa
.

2. Podstawowe twierdzenia o szeregach liczbowych

Twierdzenie 1. Jeśli szereg jest zbieżny
następnie seria zbiega się uzyskany z danej serii przez odrzucenie pierwszego
członkowie (ten ostatni wiersz nazywa się
-m pozostała część oryginalnej serii). Odwrotnie, z konwergencji
Pozostała część szeregu implikuje zbieżność tego szeregu.

Twierdzenie 2. Jeśli szereg jest zbieżny
a jego sumą jest liczba , to seria zbiega się
gdzie suma ostatniego wiersza jest równa
.

Twierdzenie 3. Jeśli wiersze się zbiegają

mając odpowiednio sumy S i Q, szereg jest zbieżny, a suma ostatniego szeregu jest równa
.

Twierdzenie 4 (Niezbędne kryterium zbieżności szeregu). Jeśli rząd
zbiega się wtedy
, tj. w
granica wyrazu wspólnego szeregu zbieżnego jest równa zeru.

Konsekwencja 1. Jeśli
, wtedy seria się rozchodzi.

Konsekwencja 2. Jeśli
, wówczas niemożliwe jest wyznaczenie zbieżności lub rozbieżności szeregu przy użyciu niezbędnego kryterium zbieżności. Szereg może być zbieżny lub rozbieżny.

Przykład 2 Zbadaj zbieżność serii:

Decyzja. Znalezienie wspólnego terminu serii
. Jak:

tych.
, to szereg jest rozbieżny (nie jest spełniony konieczny warunek zbieżności).

3. Kryteria zbieżności szeregów z wyrazami dodatnimi

3.1. Oznaki porównania

Kryteria porównania opierają się na porównaniu zbieżności danego szeregu z szeregiem, którego zbieżność lub rozbieżność jest znana. Do porównania służą następujące wiersze.

Wiersz
składa się z wyrazów o dowolnym malejącym postępie geometrycznym, jest zbieżny i ma sumę

Wiersz
składa się z członków narastającego postępu geometrycznego, jest rozbieżna.

Wiersz
jest rozbieżne.

Wiersz
nazywa się serią Dirichleta. Dla >1, szereg Dirichleta jest zbieżny, dla <1- расходится.

Z =1 wiersz
zwany harmonicznym. Szereg harmoniczny jest rozbieżny.

Twierdzenie. Pierwsza oznaka porównania. Niech zostaną podane dwie serie o wyrazach dodatnich:

(2)

ponadto każdy wyraz serii (1) nie przekracza odpowiedniego wyrazu serii (2), tj.
(n= 1, 2, 3, …). Następnie, jeżeli szereg (2) jest zbieżny, to szereg (1) również jest zbieżny; jeżeli seria (1) jest rozbieżna, to seria (2) również jest rozbieżna.

Komentarz. To kryterium pozostaje ważne, jeśli nierówność
nie jest wykonywany dla wszystkich , ale dopiero od jakiejś liczby n= N, tj. dla wszystkich n N.

Przykład 3 Zbadaj zbieżność szeregu

Decyzja. Elementy danego szeregu są mniejsze niż odpowiadające mu elementy szeregu
składa się z członków o nieskończenie malejącym postępie geometrycznym. Ponieważ ten szereg jest zbieżny, dany szereg również jest zbieżny.

Twierdzenie. Drugi znak porównania (ograniczająca forma znaku porównania). Jeśli istnieje skończony niezerowy limit
, to oba rzędy oraz zbiegają się lub rozchodzą w tym samym czasie.

Przykład 4 Zbadaj zbieżność szeregu

Decyzja. Porównaj serię z szeregiem harmonicznym
Znajdź granicę stosunku wspólnych członków serii:

Ponieważ szereg harmoniczny jest rozbieżny, rozbieżny jest również podany szereg.

Niech zostanie podany ciąg liczb R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Wyrażenie R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… nazywa się nieskończona blisko, lub po prostu Blisko, oraz liczby R 1 , R 2 , R 3 ,… - członkowie pewnej liczby. Jednocześnie oznaczają one, że kumulacja sumy serii zaczyna się od jej pierwszych członków. Suma S n = nazywa się suma częściowa wiersz: dla n=1 - pierwsza suma cząstkowa, dla n=2 - druga suma cząstkowa i tak dalej.

nazywa szeregi zbieżne, jeśli ciąg jego częściowej sumy mają limit i rozbieżny- Inaczej. Pojęcie sumy szeregu można rozszerzyć i wtedy niektóre szeregi rozbieżne również będą miały sumy. Dokładnie tak przedłużony zrozumienie kwoty wiersz zostaną wykorzystane przy opracowywaniu algorytmów z następującym sformułowaniem problemu: akumulacja sumy powinna być wykonywana tak długo, aż kolejny wyraz szeregu będzie większy w wartości bezwzględnej niż podana wartość ε.

W ogólnym przypadku wszystkie lub część członków szeregu można podać za pomocą wyrażeń zależnych od liczby członków szeregu i zmiennych. Na przykład,

Wtedy pojawia się pytanie, jak zminimalizować ilość obliczeń - obliczyć wartość kolejnego członka szeregu o ogólna formuła członka serii(w podanym przykładzie jest on reprezentowany przez wyrażenie pod znakiem sumy), przez formułę rekurencyjną (jej wyprowadzenie przedstawiono poniżej) lub stosować formuły rekurencyjne tylko dla części wyrażenia członka szeregu (patrz niżej).

Wyprowadzenie rekurencyjnej formuły obliczania wyrazu szeregu

Niech będzie wymagane znalezienie ciągu liczb R 1 , R 2 , R 3 ,…, kolejno obliczając je według wzorów

,
, …,

Aby skrócić obliczenia w tym przypadku, wygodnie jest użyć nawracający formuła uprzejmy
, pozwalające obliczyć wartość R N dla N>1, znając wartość poprzedniego elementu szeregu R N-1 , gdzie
- wyrażenie, które można otrzymać po uproszczeniu relacji wyrażenia we wzorze (3.1) dla N do wyrażenia dla N-1:

Zatem formuła rekurencyjna przyjmie postać
.

Porównanie wzoru ogólnego na wyraz szeregu (3.1) i wzoru rekurencyjnego (3.2) pokazuje, że wzór rekurencyjny znacznie upraszcza obliczenia. Zastosujmy to dla N=2, 3 i 4 wiedząc, że
:

Metody obliczania wartości członka szeregu

Aby obliczyć wartość elementu szeregu, w zależności od jego typu, może być preferowane użycie ogólnej formuły elementu szeregu lub wzoru rekurencyjnego lub mieszana metoda obliczania wartości członka szeregu, gdy dla jednej lub więcej części członka szeregu stosuje się formuły rekurencyjne, a następnie ich wartości są podstawiane do ogólnej formuły członka szeregu. Na przykład - dla szeregu łatwiej jest obliczyć wartość członka szeregu
zgodnie z jego ogólną formułą
(porównać z
- formuła powtarzalna); - za rząd
lepiej użyć formuły rekurencyjnej
; - w przypadku serii należy zastosować metodę mieszaną, obliczając A N \u003d X 3N za pomocą wzoru rekurencyjnego
, N=2, 3,… z A 1 =1 i B N =N! - również według formuły rekurencyjnej
, N=2, 3,… przy B 1 =1, a następnie - członek szeregu
- według wzoru ogólnego, który przyjmie formę
.

Przykład 3.2.1 wykonanie zadania

Oblicz z dokładnością ε dla 0 o  X  45 o

użycie formuły rekurencyjnej do obliczenia wyrazu szeregu:

,

dokładna wartość funkcji cos X,

bezwzględne i względne błędy wartości przybliżonej.

program Projekt1;

(KONSOLA $APPTYPE)

K=Pi/180; //Współczynnik do konwersji ze stopni na radiany

EPS: Rozszerzony = 1E-8;

X: Rozszerzony=15;

R, S, Y, D: Rozszerzony;

($IFNDEF DBG) //Stwierdzenia nieużywane do debugowania

Write("Podaj wymaganą precyzję: ");

Write("Wprowadź wartość kąta w stopniach: ");

D:=Sqr(K*X); // Konwertuj X na radiany i do kwadratu

//Ustaw wartości początkowe dla zmiennych

//Pętla do obliczania składowych szeregu i akumulowania ich sumy.

//Wykonaj, gdy moduł następnego elementu serii jest większy niż Eps.

podczas gdy Abs(R)>Eps do

jeśli N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N==, N; "R==, R:14:11; "S==, S:14:11);

//Wyjście wyników obliczeń:

WriteLn(N:14," = Liczba osiągniętych kroków",

„określona dokładność”);

WriteLn(S:14:11," = Przybliżona wartość funkcji");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Dokładna wartość funkcji");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11,"=Błąd bezwzględny");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = błąd względny");

Znajdź sumę szeregu liczb. Jeśli nie można go znaleźć, system oblicza sumę szeregu z określoną dokładnością.

Zbieżność serii

Ten kalkulator może określić, czy szereg jest zbieżny, a także pokazuje, które oznaki zbieżności działają, a które nie.

Umie również wyznaczyć zbieżność szeregów potęgowych.

Zbudowany jest również wykres szeregowy, na którym można zobaczyć tempo zbieżności szeregu (lub rozbieżności).

Zasady wprowadzania wyrażeń i funkcji

Wyrażenia mogą składać się z funkcji (notacje podane są w kolejności alfabetycznej): bezwzględny(x) Całkowita wartość x
(moduł x lub |x|) arccos(x) Funkcja - arcus cosinus x arccosh(x) Arc cosinus hiperboliczny z x arcsin(x) Arcsine z x arcsinh(x) Arcsine hiperboliczny z x arctg(x) Funkcja - arcus tangens od x arctgh(x) Arc tangens jest hiperboliczny od x mi mi liczba w przybliżeniu równa 2,7 exp(x) Funkcja - wykładnik od x(który jest mi^x) log(x) lub log(x) Logarytm naturalny z x
(Pozyskać log7(x), należy wpisać log(x)/log(7) (lub np. dla log10(x)=log(x)/log(10)) Liczba Pi Liczba to „Pi”, która jest w przybliżeniu równa 3,14 grzech(x) Funkcja - sinus x cos(x) Funkcja - Cosinus x sinus(x) Funkcja — hiperboliczny sinus x gotówka(x) Funkcja — cosinus hiperboliczny z x sqrt(x) Funkcja jest pierwiastkiem kwadratowym z x sqr(x) lub x^2 Funkcja — kwadrat x tg(x) Funkcja — styczna z x tgh(x) Funkcja — tangens hiperboliczny z x cbrt(x) Funkcja jest pierwiastkiem sześciennym z x piętro(x) Funkcja - zaokrąglanie x dół (przykład piętro(4.5)==4.0) znak(x) Funkcja - znak x erf(x) Funkcja błędu (całka Laplace'a lub prawdopodobieństwo)

W wyrażeniach możesz używać następujących operacji: Liczby rzeczywiste wpisz w formularzu 7.5 , nie 7,5 2*x- mnożenie 3/x- dział x^3- potęgowanie x + 7- dodatek x - 6- odejmowanie