Wiele różnych czynników, które relacje binarne

(czyli który ma następujące własności: każdy element zbioru jest sobie równoważny; if x równoważny tak, następnie tak równoważny x; jeśli x równoważny tak, a tak równoważny z, następnie x równoważny z ).

Następnie zbiór wszystkich klas równoważności nazywa się zestaw czynników i jest oznaczony. Podział zbioru na klasy elementów równoważnych nazywamy its faktoryzacja.

Wyświetl od X w zbiorze klas równoważności nazywa się mapowanie czynników.

Przykłady

Rozsądne jest zastosowanie faktoryzacji zbiorów, aby uzyskać przestrzenie unormowane z przestrzeni półznormalizowanych, przestrzenie z iloczynem wewnętrznym z przestrzeni z iloczynem prawie wewnętrznym itd. W tym celu wprowadza się normę klasy, odpowiednio, równą normie dowolny jej element, a iloczyn skalarny klas jako iloczyn skalarny dowolnych elementów klas. Z kolei relacja równoważności jest wprowadzana w następujący sposób (na przykład w celu utworzenia unormowanej przestrzeni ilorazu): wprowadza się podzbiór pierwotnej przestrzeni półnormatywnej, składający się z elementów o zerowej półnormatywnej (nawiasem mówiąc, jest ona liniowa czyli jest to podprzestrzeń) i uważa się, że dwa elementy są równoważne, jeśli ich różnica należy do tej samej podprzestrzeni.

Jeżeli do faktoryzacji przestrzeni liniowej wprowadza się niektóre jej podprzestrzenie i przyjmuje się, że jeżeli różnica dwóch elementów przestrzeni pierwotnej należy do tej podprzestrzeni, to elementy te są równoważne, to zbiorem czynników jest przestrzeń liniowa i jest zwana przestrzenią czynnikową.

Przykłady

Zobacz też

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz, co „Factorset” znajduje się w innych słownikach:

Logiczna zasada leżąca u podstaw definicji poprzez abstrakcję (patrz Definicja poprzez abstrakcję): dowolny Związek typu równości, zdefiniowany na pewnym początkowym zestawie elementów, dzieli (dzieli, klasyfikuje) oryginał ... ...

Forma myślenia, która odzwierciedla podstawowe właściwości, powiązania i relacje przedmiotów i zjawisk w ich sprzeczności i rozwoju; myśl lub system myśli, który uogólnia, wyróżnia przedmioty pewnej klasy według pewnego ogólnego i zbiorczego ... ... Wielka radziecka encyklopedia

Kohomologia grupy Galois. Jeśli M jest grupą abelową i grupą Galois rozszerzenia działającego na M, to kohomologia Galois jest grupą kohomologii zdefiniowaną przez kompleks składającą się ze wszystkich odwzorowań, a d jest operatorem granicy (patrz kohomologia grupowa). Encyklopedia matematyczna

Konstrukcja rai po raz pierwszy pojawiła się w teorii mnogości, a następnie stała się szeroko stosowana w algebrze, topologii i innych dziedzinach matematyki. Ważnym szczególnym przypadkiem IP jest IP kierowanej rodziny struktur matematycznych tego samego typu. Niech będzie… Encyklopedia matematyczna

Punkty względem grupy G działającej na zbiorze X (po lewej), zbiór A jest podgrupą G i jest wywoływany. stabilizator lub stacjonarna podgrupa punktu względem G. Odwzorowanie indukuje bijekcję pomiędzy G/Gx a orbitą G(x). O.…… Encyklopedia matematyczna

Ten artykuł ma bardzo krótkie wprowadzenie. Proszę wypełnić sekcję wprowadzającą krótko opisując temat artykułu i podsumowując jego treść ... Wikipedia

Ten artykuł dotyczy systemu algebraicznego. Dla gałęzi logiki matematycznej, która bada zdania i operacje na nich, zobacz Algebra logiki. Algebra Boole'a to niepusty zbiór A z dwiema operacjami binarnymi (analogicznie do koniunkcji), ... ... Wikipedia

Niech na zbiorze zostanie podana relacja równoważności. Następnie zbiór wszystkich klas równoważności nazywamy zbiorem czynników i oznaczamy. Podział zbioru na klasy równoważnych elementów nazywa się jego faktoryzacją. Wyświetl od do ... ... Wikipedia

Odcinek skierowany w geometrii rozumiany jest jako uporządkowana para punktów, z których pierwszy punkt A nazywa się początkiem, a drugi B jego końcem. Spis treści 1 Definicja ... Wikipedia

W różnych gałęziach matematyki jądrem odwzorowania jest pewien ustalony rzaz, który w pewnym sensie charakteryzuje różnicę między odwzorowaniem f a odwzorowaniem iniekcyjnym. Konkretna definicja może się jednak różnić w przypadku mapowania iniektywnego f ... ... Wikipedia

Można udowodnić następujące twierdzenia.

Twierdzenie 1.4. Funkcja f ma funkcję odwrotną f -1 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest bijektywna.

Twierdzenie 1.5. Kompozycja funkcji bijektywnych jest funkcją bijektywną.

Ryż. 1.12 pokazują różne relacje, wszystkie oprócz pierwszego to funkcje.

postawa, ale

wtrysk, ale

surjecja, ale

nie funkcja

nie przypuszczenie

nie zastrzyk

Niech f : A→ B będzie funkcją, a zbiory A i B będą zbiorami skończonymi, niech A = n , B = m . Zasada Dirichleta mówi, że jeśli n > m, to przynajmniej jedna wartość f występuje więcej niż raz. Innymi słowy, istnieje para elementów a i ≠ a j , a i , a j A dla których f(a i )= f(a j ).

Zasada Dirichleta jest łatwa do udowodnienia, więc pozostawiamy ją czytelnikowi jako trywialne ćwiczenie. Rozważ przykład. Niech w grupie będzie więcej niż 12 uczniów. Wtedy oczywiste jest, że co najmniej dwoje z nich ma urodziny w tym samym miesiącu.

§ 7. Relacja równoważności. Zestaw czynników

Relacja binarna R na zbiorze A nazywana jest relacją równoważności, jeśli R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Relacja równości na zbiorze liczb ma wskazane własności, dlatego jest relacją równoważności.

Relacja podobieństwa trójkąta jest oczywiście relacją równoważności.

Relacja nieścisłej nierówności (≤ ) na zbiorze liczb rzeczywistych nie będzie relacją równoważności, ponieważ nie jest symetryczna: z 3 ≤ 5 nie wynika, że 5 ≤ 3.

Klasa równoważności (coset) generowana przez element a dla danej relacji równoważności R jest podzbiorem tych x A, które są w relacji R z a. Określoną klasę równoważności oznaczamy przez [a] R, zatem mamy:

[a] R = (x A: a, x R).

Rozważ przykład. Na zbiorze trójkątów wprowadzono relację podobieństwa. Oczywiste jest, że wszystkie trójkąty równoboczne wchodzą w jeden koset, ponieważ każdy z nich jest podobny na przykład do trójkąta, którego wszystkie boki mają długość jednostkową.

Twierdzenie 1.6. Niech R będzie relacją równoważności na zbiorze A, a [a] R będzie cosetem, tj. [a] R = (x A: a, x R), wtedy:

1) dla dowolnego a A : [a] R ≠ , w szczególności a [a] R ;

2) różne cosets nie przecinają się;

3) połączenie wszystkich cosetów pokrywa się z całym zbiorem A;

4) zbiór różnych cosetów tworzy przegrodę zbioru A.

Dowód. 1) Ze względu na zwrotność R otrzymujemy, że dla dowolnego a, a A, mamy a, a R , zatem a [ a] R i [ a] R ≠ ;

2) załóżmy, że [a] R ∩ [b] R ≠ , tj. istnieje element c z A i c [a] R ∩ [b] R . Wtedy z (cRa)&(cRb), ze względu na symetrię R, otrzymujemy (aR c)&(cRb), a z przechodniości R mamy aRb.

Dla dowolnego х [а] R mamy: (хRa)&(аRb) , to z powodu przechodniości R otrzymujemy хRb, tj. x[b]R, więc [a]R[b]R. Podobnie, dla dowolnego y, y [b] R , mamy: (уRb)&(аRb) , a dzięki symetrii R otrzymujemy, że (уRb)&(bR а), to dzięki przechodniości R , otrzymujemy, że yR а , tj. y[a]r i

więc [b] R [a] R . Z [a] R [b] R i [b] R [a] R otrzymujemy [a] R = [b] R, tj. jeśli coset przecinają się, to pokrywają się;

3) dla dowolnego a, a A, jak udowodniono, mamy a [ a] R , to jest oczywiste, że suma wszystkich cosetów pokrywa się ze zbiorem A.

Twierdzenie 4) Twierdzenia 1.6 wynika z 1)–3). Twierdzenie zostało udowodnione. Możemy udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.7. Różne relacje równoważności na zbiorze A generują różne podziały A.

Twierdzenie 1.8. Każdy podział zbioru A generuje relację równoważności w zbiorze A, a różne podziały generują różne relacje równoważności.

Dowód. Niech będzie dany podział В= (B i ) zbioru A. Zdefiniujmy relację R : a,b R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje B i takie, że a i b obydwa należą do tego B i . Jest oczywiste, że wprowadzona relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, dlatego R jest relacją równoważności. Można wykazać, że jeśli podziały są różne, to generowane przez nie relacje równoważności też są różne.

Zbiór wszystkich kozsetów zbioru A ze względu na daną relację równoważności R nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy przez A/R . Elementami zbioru czynników są cosets. Klasa Coset [a] R, jak wiadomo, składa się z elementów A, które są względem siebie R .

Rozważmy przykład relacji równoważności na zbiorze liczb całkowitych Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

Dwie liczby całkowite a i b nazywamy porównywalnymi (przystającymi) modulo m, jeśli m jest dzielnikiem liczby a-b, czyli jeśli mamy:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….

W takim przypadku napisz a≡ b(mod m) .

Twierdzenie 1.9. Dla dowolnych liczb a , b , c oraz m>0 mamy:

1) a a(mod m);

2) jeśli a b(mod m), to b a(mod m);

3) jeśli a≡b(mod m) i b≡c(mod m), wtedy a≡c(mod m).

Dowód. Stwierdzenia 1) i 2) są oczywiste. Udowodnijmy 3). Niech a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , potem a=c+(k 1 +k 2 )m , czyli a c(mod m) . Twierdzenie zostało udowodnione.

Zatem relacja porównywalności modulo m jest relacją równoważności i dzieli zbiór liczb całkowitych na nienakładające się klasy liczb.

Zbudujmy nieskończenie rozwijającą się spiralę, która na ryc. 1.13 jest przedstawiony linią ciągłą i nieskończenie skręcającą się spiralą, przedstawioną linią przerywaną. Niech zostanie podana nieujemna liczba całkowita m. Wszystkie liczby całkowite (elementy ze zbioru Z ) umieszczamy w punktach przecięcia tych spiral z promieniami m, jak pokazano na rys. 1.13.

Dla relacji porównywalności modulo m (w szczególności dla m = 8) klasą równoważności są liczby leżące na promieniu. Oczywiście każda liczba należy do jednej i tylko jednej klasy. Można uzyskać, że dla m= 8 mamy:


[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};

[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Współczynnik zestawu zbioru Z w odniesieniu do modulo porównania m jest oznaczony jako Z/m lub jako Z m . Dla rozpatrywanego przypadku m =8

otrzymujemy, że Z/8 = Z8 = ( , , , …, ).

Twierdzenie 1.10. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, a * , b * , k i m :

1) jeśli a b(mod m), to ka kb(mod m);

2) jeśli a b(mod m) i a* ≡ b* (mod m), to:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * bb* (mod m).

Przedstawiamy dowód dla przypadku 2b). Niech a ≡ b(mod m) i a * ≡ b * (mod m) , następnie a=b+sm i a * =b * +tm dla niektórych liczb całkowitych s i t . mnożenie,

otrzymujemy: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Stąd,

aa* ≡ bb* (mod m).

W ten sposób porównania modulo można dodawać i mnożyć term przez term, tj. działają dokładnie tak samo, jak w przypadku równości. Na przykład,

∼ (\displaystyle \sim). Następnie zbiór wszystkich klas równoważności nazywa się zestaw czynników i jest oznaczony. Podział zbioru na klasy elementów równoważnych nazywamy its faktoryzacja.

Wyświetl od X (\ styl wyświetlania X) do zbioru klas równoważności X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim) nazywa mapowanie czynników. Ze względu na właściwości relacji równoważności podział na zbiory jest unikalny. Oznacza to, że klasy zawierające ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X) albo się nie przecinają, albo całkowicie pokrywają. Dla dowolnego elementu x ∈ X (\displaystyle x\w X) pewna klasa jest jednoznacznie zdefiniowana z X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim), innymi słowy, istnieje odwzorowanie surjektywne z X (\ styl wyświetlania X) w X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim). Klasa zawierająca x (\styl wyświetlania x), czasami oznaczany [ x ] (\displaystyle [x]).

Jeśli zestaw jest wyposażony w strukturę, to często mapping X → X / ∼ (\displaystyle X\do X/\!\sim) może być użyty do dostarczenia zestawu czynników X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim) tę samą strukturę, taką jak topologia. W tym przypadku zestaw X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim) z indukowaną strukturą nazywa się przestrzeń ilorazowa.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 4

✪ 3. Klasy równoważności

✪ Wykład z teorii mnogości 3, część 1

✪ Teoria mnogości Wykład 3 Część 2

✪ Teoria mnogości Wykład 3 Część 3

Napisy na filmie obcojęzycznym

Przestrzeń czynnikowa przez podprzestrzeń

Często relacja równoważności jest wprowadzana w następujący sposób. Zostawiać X (\ styl wyświetlania X)- liniowa przestrzeń , oraz L (\ Displaystyle L) to pewna podprzestrzeń liniowa. Potem dwa elementy x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\w X) takie, że x − r ∈ L (\displaystyle x-y\wl), są nazywane równowartość. To jest oznaczone x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). Przestrzeń uzyskana w wyniku faktoryzacji nazywa się przestrzeń ilorazowa przez podprzestrzeń L (\ Displaystyle L). Jeśli X (\ styl wyświetlania X) rozwija się do bezpośredniej sumy X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), to jest izomorfizm z M (\styl wyświetlania M) w X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim))). Jeśli X (\ styl wyświetlania X) jest przestrzenią skończenie wymiarową, a następnie przestrzenią ilorazową X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim))) jest również skończenie wymiarowe i słabe ⁡ X / ∼ L = słabe ⁡ X − słabe ⁡ L (\displaystyle \słabe X/\,(\przesłonięte (L)(\sim ))=\słabe X-\słabe L).

Przykłady

. Możemy rozważyć zestaw czynników X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim). Funkcjonować f (\styl wyświetlania f) ustanawia naturalną korespondencję jeden do jednego między X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim) oraz Y (\styl wyświetlania Y).

Niech G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) będzie jakąś grupą permutacyjną zdefiniowaną na zbiorze X = (1, 2, …, n) o identyczności e=p 0 przez identyczną permutację. Definiujemy relację x~y przez ustawienie x~y, co jest równoważne stwierdzeniu, że istnieje p należące do G(p(x)=y). Wprowadzona relacja jest relacją równoważności, czyli spełnia trzy aksjomaty:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Niech A będzie zbiorem dowolnym.
Definicja: Relacja binarna δ=A*A jest relacją równoważności (oznaczoną jako a ~ b), jeśli spełniają następujące aksjomaty:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a - refleksyjność;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - przemienność;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - przechodniość

oznaczone przez a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definicja: Podział zbioru A to rodzina parami rozłącznych podzbiorów z A, w połączeniu (w sumie) dając wszystkie A.
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Podzbiory A i nazywane są cosetami partycji.

Twierdzenie: każda relacja równoważności zdefiniowana na A odpowiada pewnemu podziałowi zbioru A. Każdemu podziałowi zbioru A odpowiada pewna relacja równoważności na zbiorze A.

W skrócie: istnieje zależność jeden do jednego między klasami wszystkich relacji równoważności zdefiniowanych na zbiorze A a klasą wszystkich podziałów zbioru A.

Dowód: niech σ będzie relacją równoważności na zbiorze A. Niech a ∈ A.

Zbudujmy zbiór: К a =(x ∈ A,: x~a ) – wszystkie elementy równoważne a. Zbiór (zapis) nazywany jest klasą równoważności w odniesieniu do równoważności σ. Zauważ, że jeśli b należy do Ka , to b~a. Pokażmy, że a~b⇔K a =K b . Rzeczywiście, niech a~b. Weź dowolny element c należy do Ka . Wtedy c~a, a~b, c~b, c należy do Kb, a zatem Kb należy do Ka. Podobnie pokazano, że Ka należy do Kb. Dlatego K b = Ka .
Niech teraz K b = K a . Wtedy a należy do Ka = Kb, a należy do Kb, a~b. I właśnie to należało pokazać.

Jeżeli 2 klasy Ka i K b mają wspólny element c, to K a = K b . Rzeczywiście, jeśli c należy do Ka i K b , wtedy b~c, c~a, b~a => K a = K b .

W związku z tym różne klasy równoważności albo się nie przecinają, albo nie przecinają, a następnie pokrywają się. Każdy element c A należy tylko do jednej klasy równoważności K c. Dlatego system nienakładających się klas równoważności na przecięciu daje cały zbiór A. A zatem ten system jest podziałem zbioru A na klasy równoważności.

Odwrotnie: Niech A = suma nad lub A i będzie podziałem A. Wprowadźmy relację a~b na A, ponieważ a~b ⇔ a,b należą do tej samej klasy podziału. Relacja ta spełnia następujące aksjomaty:

1) a ~ a (są w tej samej klasie);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b i b ~ c → a ~ c, tj. wprowadzona relacja ~ jest relacją równoważności.

Komentarz:
1) podział zbioru A na podzbiory jednoelementowe i podział zbioru A, składającego się tylko ze zbioru A, nazywamy podziałem trywialnym (niewłaściwym).

2) Podział A na podzbiory jednoelementowe odpowiada relacji równoważności, jaką jest równość.

3) Partycja A, składająca się z jednej klasy A, odpowiada relacji równoważności zawierającej A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — każda relacja równoważności zdefiniowana na pewnym zbiorze dzieli ten zbiór na pary rozłączne klasy zwane klasami równoważności.

Definicja: Zbiór klas równoważności zbioru A nazywany jest zbiorem czynników A/σ zbioru A przez równoważność σ.

Definicja: Odwzorowanie p:A→A/σ takie, że p(A)=[a] σ nazywamy odwzorowaniem kanonicznym (naturalnym).

Każda relacja równoważności zdefiniowana w zestawie dzieli ten zestaw na pary rozłączne klasy, zwane klasami równoważności.

Niech R będzie relacją binarną na zbiorze X. Relację R nazywamy odblaskowy , jeśli (x, x) О R dla wszystkich x О X; symetryczny – jeśli (x, y) О R implikuje (y, x) О R; liczba przechodnia 23 odpowiada wariantowi 24, jeśli (x, y) Î R i (y, z) Î R implikują (x, z) Î R.

Przykład 1

Powiemy, że x í X ma coś wspólnego z elementem y í X jeśli zestaw
x y nie jest puste. Relacja posiadania wspólnego będzie zwrotna i symetryczna, ale nie przechodnia.

Relacja równoważności na X nazywamy relacją zwrotną, przechodnią i symetryczną. Łatwo zauważyć, że R Н X ´ X będzie relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy wtrącenia mają miejsce:

Id X Í R (zwrotność),

R -1 Í R (symetria),

R ° R Í R (przechodniość).

W rzeczywistości te trzy warunki są równoważne następującym:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

rozdzielać zbiór X jest zbiorem A par rozłącznych podzbiorów a ñ X takich, że UA = X. Z każdym podziałem A możemy powiązać relację równoważności ~ na X przez ustawienie x ~ y jeśli x i y są elementami pewnego a í A .

Każdej relacji równoważności ~ na X odpowiada podział A, którego elementy są podzbiorami, z których każdy składa się z tych w relacji ~. Te podzbiory nazywają się klasy równoważności . Ta partycja A nazywana jest zbiorem czynników zbioru X w odniesieniu do ~ i jest oznaczona: X/~.

Zdefiniujmy relację ~ na zbiorze w liczb naturalnych przez ustawienie x ~ y, jeśli reszty po dzieleniu x i y przez 3 są równe. Wtedy w/~ składa się z trzech klas równoważności odpowiadających resztom 0, 1 i 2.

Zamówienie relacji

Relacja binarna R na zbiorze X nazywa się antysymetryczny , jeśli z x R y i y R x wynika: x = y. Relacja binarna R na zbiorze X nazywa się relacja zamówienia , jeśli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Łatwo zauważyć, że odpowiada to następującym warunkom:

1) Id X Í R (zwrotność),

2) R Ç R -1 (antysymetria),

3) R ° R Í R (przechodniość).

Para uporządkowana (X, R) składająca się ze zbioru X i relacji porządku R na X nazywa się częściowo zamówiony zestaw .

Przykład 1

Niech X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Ponieważ R spełnia warunki 1–3, to (X, R) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Dla elementów x = 2, y = 3, ani x R y ani y R x nie są prawdziwe. Takie elementy nazywają się niezrównany . Zwykle relacja zamówienia jest oznaczona przez £. W powyższym przykładzie 0 zł 1 i 2 zł 2, ale nie jest prawdą, że 2 zł 3.

Przykład 2

Zostawiać< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elementy x, y О X zbioru częściowo uporządkowanego (X, £) nazywamy porównywalny , jeśli x £ y lub y £ x.

Częściowo uporządkowany zestaw (X, £) nazywa się uporządkowane liniowo lub łańcuch jeśli jakiekolwiek dwa jego elementy są porównywalne. Zbiór w Przykładzie 2 będzie uporządkowany liniowo, ale zbiór w Przykładzie 1 nie.

Podzbiór A Í X zbioru częściowo uporządkowanego (X, £) nazywamy ograniczony od góry , jeśli istnieje element x н X taki, że £ x dla wszystkich a н A. Element x н X nazywamy największy w X jeśli y £ x dla wszystkich y О X. Element x О X nazywamy maksymalnym, jeśli nie ma elementów y О X różnych od x, dla którego x £ y. W przykładzie 1 elementy 2 i 3 będą maksymalne, ale nie największe. ten ograniczenie dolne podzbiory, elementy najmniejsze i minimalne. W przykładzie 1 element 0 byłby zarówno najmniejszym, jak i minimalnym. W przykładzie 2, 0 również ma te właściwości, ale (w, t) nie ma ani największego, ani maksymalnego elementu.