Drgania wzdłużne. Metody rozwiązywania drgań podłużnych pręta
Rozważ wędkę o długości ja, który w pozycji równowagi znajduje się wzdłuż osi x. Jego drgania podłużne opisane są funkcją Q(x,t), która w każdym momencie czasu t jest przemieszczeniem podłużnym punktu pręta, którego współrzędna w położeniu równowagi była równa x. Zakłada się, że napięcie w pręcie jest zgodne z prawem Hooke'a. Wówczas równanie opisujące drgania podłużne pręta ma postać:
gdzie a jest prędkością fali, m/s;
f (x, t) - siła właściwa, m / s 2.
Prędkość falowania pręta jest określana zgodnie z wyrażeniem:
,
(2.16)
gdzie k jest współczynnikiem sprężystości, N;
ρ – gęstość liniowa (masa na jednostkę długości pręta), kg/m.
Współczynnik sprężystości k można znaleźć w następujący sposób:
,
(2.17)
E - moduł Younga (naprężenie powstające w próbce, gdy jej długość jest podwojona (zmniejszona) w innych niezmienionych warunkach), N / m 2.
Dla jednorodnego pręta k=const, ρ=const. W przeciwnym razie k(х), ρ(х).
Z kolei siłę właściwą można przedstawić jako:
,
(2.18)
gdzie g(x,t) jest gęstością liniową wzdłużnej siły zewnętrznej (siła działająca na jednostkę długości), N/m.
Warunki początkowe podane są w postaci:
– profil przemieszczeń początkowych:
– początkowy profil prędkości:
.
(2.20)
Warunki brzegowe można określić dla następujących przypadków:
1) Pierwsze zagadnienie brzegowe (warunki brzegowe I rodzaju):
gdzie μ 1 (t), μ 2 (t) mają dane funkcje czasu opisujące prawo
ruch końca pręta.
Dla sztywno ustalonego końca μ(t)=0.
2) Drugie zagadnienie brzegowe (warunki brzegowe II rodzaju):
;
(2.23)
,
(2.24)
gdzie T 1, T 2 - siła rozciągająca przyłożona do końca pręta, N.
W przypadku wolnego końca nie ma naprężenia pręta w jego pobliżu (g(t)=0).
3) Trzecie zagadnienie brzegowe (warunki brzegowe III rodzaju):
.
(2.25)
Warunki te są formułowane w przypadku elastycznego mocowania pręta, w którym koniec pręta może się poruszać, ale powstaje siła sprężystości, która ma tendencję do powrotu przemieszczonego końca do poprzedniego położenia.
Sformułuj zagadnienie brzegowe drgań podłużnych jednorodnego walcowego pręta, którego jeden koniec jest nieruchomy, a na drugi koniec przyłożona jest siła F(t)=A·sin(ωt), której kierunek jest zgodny z kierunkiem oś pręta.
Funkcję Q(x,t), opisującą drgania podłużne pręta, wyznacza równanie:
.
Warunki początkowe to zero:
;
.
Warunki brzegowe są podane jako:
;
,
gdzie S jest polem przekroju pręta, m 2;
E jest modułem Younga materiału pręta, Pa (patrz Załącznik).
Uwagi ogólne.
1) Jeśli weźmiemy pod uwagę proces oscylacyjny struny (prętu), którego końce są wystarczająco oddalone, a wpływ końców nie ma jeszcze czasu na ujawnienie się przez krótki czas, możemy uznać strunę za nieskończoną . W tym przypadku rozważany jest problem, w którym -∞ 2) Jeżeli rozpatrywany odcinek struny (prętu) znajduje się blisko jednego z jego końców i daleko od drugiego, to problem półnieskończonej struny jest rozpatrywany, gdy 0≤x<+∞
и граничные условия формулируются
только на одном ее конце. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (drukuj) doi: http://dx.doi UDC 517.956,3 PROBLEM DRGAŃ WZDŁUŻNYCH SPRĘŻYSTYCZNIE MOCOWANEGO PRĘTA OBCIĄŻONEGO A. B. Beilin Państwowy Uniwersytet Techniczny w Samarze, Rosja, 443100, Samara, ul. Mołodogwardejskaja, 244. adnotacja Uwzględniono jednowymiarowe drgania podłużne grubego krótkiego pręta zamocowanego na końcach za pomocą skoncentrowanych mas i sprężyn. Jako model matematyczny wykorzystano zagadnienie początkowe-brzegowe z dynamicznymi warunkami brzegowymi dla równania hiperbolicznego czwartego rzędu. Wybór tego konkretnego modelu wynika z konieczności uwzględnienia skutków deformacji pręta w kierunku poprzecznym, których zaniedbanie, jak wykazał Rayleigh, prowadzi do błędu, co potwierdza współczesny nie- lokalna koncepcja badania drgań ciał stałych. Wykazano istnienie układu funkcji własnych badanego problemu ortogonalnych z obciążeniem i uzyskano ich reprezentację. Ustalone właściwości funkcji własnych umożliwiły zastosowanie metody separacji zmiennych i udowodnienie istnienia unikalnego rozwiązania problemu. Słowa kluczowe: dynamiczne warunki brzegowe, drgania wzdłużne, ortogonalność obciążeń, model Rayleigha. Wstęp. W każdym pracującym układzie mechanicznym zachodzą procesy oscylacyjne, które mogą być generowane z różnych przyczyn. Procesy oscylacyjne mogą być konsekwencją cech konstrukcyjnych systemu lub redystrybucji obciążeń między różnymi elementami regularnie działającej konstrukcji. Obecność źródeł procesów oscylacyjnych w mechanizmie może utrudniać diagnozę jego stanu, a nawet prowadzić do naruszenia jego trybu pracy, aw niektórych przypadkach do zniszczenia. Różne problemy związane z naruszeniem dokładności i wydajności układów mechanicznych w wyniku drgań niektórych ich elementów są często rozwiązywane eksperymentalnie w praktyce. Jednocześnie procesy oscylacyjne mogą być bardzo przydatne np. do obróbki materiałów, montażu i demontażu połączeń. Wibracje ultradźwiękowe pozwalają nie tylko zintensyfikować procesy skrawania (wiercenie, frezowanie, szlifowanie itp.) materiałów o dużej twardości (stale wolframowe, tytanowo-węglikowe itp.), © 2016 Państwowy Uniwersytet Techniczny w Samarze. Próbka cytowania Beilin, A.B., Problem drgań podłużnych pręta obciążonego sprężyście, Vestn. Ja. stan technika Uniwersytet Ser. Fizyka-Matematyka. Nauki, 2016. V. 20, nr 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. O autorze Alexander Borisovich Beilin (doktor); [e-mail chroniony]), profesor nadzwyczajny, wydz. zautomatyzowane systemy maszyn i narzędzi. ale w niektórych przypadkach stają się jedyną możliwą metodą przetwarzania kruchych materiałów (german, krzem, szkło itp.). Element urządzenia (falowód), który przenosi drgania ultradźwiękowe ze źródła (wibratora) na narzędzie, nazywany jest koncentratorem i może mieć inny kształt: cylindryczny, stożkowy, schodkowy, wykładniczy itp. . Jego celem jest przekazanie do instrumentu fluktuacji wymaganej amplitudy. Zatem konsekwencje występowania procesów oscylacyjnych mogą być różne, a także przyczyny, które je powodują, dlatego naturalnie pojawia się potrzeba teoretycznego badania procesów oscylacji. Matematyczny model propagacji fali w stosunkowo długich i cienkich prętach litych, oparty na równaniu falowym drugiego rzędu, został dobrze zbadany i od dawna stał się klasykiem. Jednak, jak pokazał Rayleigh, model ten nie do końca jest spójny z badaniem drgań grubego krótkiego pręta, podczas gdy wiele szczegółów rzeczywistych mechanizmów można interpretować jako krótkie i grube pręty. W takim przypadku należy również wziąć pod uwagę odkształcenia pręta w kierunku poprzecznym. Matematyczny model drgań podłużnych grubego krótkiego pręta, który uwzględnia skutki ruchu poprzecznego pręta, nazywa się prętem Rayleigha i opiera się na równaniu hiperbolicznym czwartego rzędu ^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1) których współczynniki mają znaczenie fizyczne: g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x), gdzie A(x) to pole przekroju poprzecznego, p(x) to gęstość masy pręta, E(x) to moduł Younga, V(x) to współczynnik Poissona, 1P(x) to biegunowy moment bezwładności , u(x, b) - przemieszczenia wzdłużne do określenia. Idee Rayleigha znalazły swoje potwierdzenie i rozwinięcie we współczesnych pracach poświęconych procesom drgań, a także teorii plastyczności. Artykuł przeglądowy uzasadnia mankamenty klasycznych modeli opisujących stan i zachowanie ciał stałych pod obciążeniem, w których a priori ciało uważane jest za idealne continuum. Współczesny poziom rozwoju nauk przyrodniczych wymaga budowy nowych modeli, które adekwatnie opisują badane procesy, a wypracowane w ostatnich dziesięcioleciach metody matematyczne dają taką możliwość. Na tej ścieżce w ostatnim ćwierćwieczu ubiegłego wieku zaproponowano nowe podejście do badania wielu procesów fizycznych, w tym wspomnianych powyżej, oparte na koncepcji nielokalności (zob. artykuł i wykaz w nim odniesień). Jedna ze zidentyfikowanych przez autorów klas modeli nielokalnych nosi nazwę „słabo nielokalne”. Modele matematyczne należące do tej klasy mogą być zaimplementowane poprzez wprowadzenie do równania opisującego pewien proces pochodnych wyższego rzędu, które pozwalają na uwzględnienie w pewnym przybliżeniu wzajemnego oddziaływania elementów wewnętrznych przedmiotu badań. Tak więc model Rayleigha jest aktualny w naszych czasach. 1. Stwierdzenie problemu. Niech końce pręta x = 0, x = I zostaną przymocowane do nieruchomej podstawy za pomocą skupionych mas N1, M2 i sprężyn o sztywności K1 i K2. Założymy, że pręt jest ciałem obrotowym wokół osi 0x, a początkowy moment czasu znajduje się w stanie równowagi. Następnie dochodzimy do następującego problemu z wartością graniczną. Zadanie. Znajdź w obszarze Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) i warunki brzegowe a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu (1, r) + K2u (1, r) + M2uu (1, r) = 0. () Artykuł omawia niektóre szczególne przypadki problemu (1)-(2) i podaje przykłady, w których współczynniki równania mają postać jawną i M\ = M2 = 0. Artykuł dowodzi jednoznacznej słabej rozwiązywalności problemu w ogólnym walizka. Warunki (2) określa sposób mocowania pręta: jego końce są przymocowane do stałych podstaw za pomocą urządzeń o masach M1, M2 i sprężynach o sztywności odpowiednio K1, K2. Obecność mas i naddatek na przemieszczenia poprzeczne prowadzi do warunków postaci (2) zawierającej pochodne czasowe. Warunki brzegowe, które zawierają pochodne czasowe, nazywane są dynamicznymi. Mogą powstawać w różnych sytuacjach, z których najprostsze opisane są w podręczniku, a znacznie bardziej złożone w monografii. 2. Badanie naturalnych drgań pręta. Rozważ jednorodne równanie odpowiadające równaniu (1). Ponieważ współczynniki zależą tylko od x, możemy oddzielić zmienne, przedstawiając u(x, z) = X(x)T(z). Otrzymujemy dwa równania: m""(r) + \2m(r) = 0, ((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3) Równaniu (3) towarzyszą warunki brzegowe (a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0, (a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4) W ten sposób doszliśmy do problemu Sturma-Liouville'a, który różni się od klasycznego tym, że parametr widmowy Λ jest zawarty we współczynniku najwyższej pochodnej równania, a także w warunkach brzegowych. Ta okoliczność nie pozwala na odwołanie się do wyników znanych z literatury, dlatego naszym bezpośrednim celem jest zbadanie problemu (3), (4). Aby pomyślnie wdrożyć metodę separacji zmiennych, potrzebujemy informacji o istnieniu i lokalizacji wartości własnych, o jakościowych własności funkcji własnych: czy mają one własność ortogonalności? Pokażmy, że A2 > 0. Załóżmy, że tak nie jest. Niech X(x) będzie funkcją własną problemu (3), (4) odpowiadającą wartości A = 0. Mnożymy (3) przez X(x) i całkujemy wynikową równość w przedziale (0,1). Całkowanie przez części i zastosowanie warunków brzegowych (4), po elementarnych przekształceniach otrzymujemy 1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+ N\X 2(0) + M2X 2(1) I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo Zauważmy, że z fizycznego znaczenia funkcji a(x), b(x), g(x) są dodatnie, Kr, Mr są nieujemne. Ale z uzyskanej równości wynika, że X „(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, a zatem X (x) \u003d 0, co jest sprzeczne z przyjętym założeniem. założenie, że zero jest wartością własną problemu (3), (4) jest fałszywe. Przedstawienie rozwiązania równania (3) zależy od znaku wyrażenia a(x) - - A2b(x). Pokażmy, że a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Ustalamy dowolnie x e (0, 1) i znajdujemy wartości w tym punkcie funkcji a(x), b(x), q(x). Równanie (3) zapisujemy w postaci X ”(x) + VX (x) \u003d 0, (5) gdzie zaznaczyliśmy w wybranym punkcie stałym, a warunki (4) można zapisać w postaci X „(0) - aX (0) \u003d 0, X” (1) + bX (I) \u003d 0, (6) gdzie a, b są łatwe do obliczenia. Jak wiadomo, klasyczny problem Sturma-Liouville'a (5), (6) ma policzalny zbiór funkcji własnych dla V > 0, skąd, z powodu arbitralności x, następuje pożądana nierówność. Funkcje własne zagadnienia (3), (4) mają własność ortogonalności z obciążeniem wyrażoną zależnością I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7) które można uzyskać w standardowy sposób (patrz np. ), którego realizacja w przypadku rozważanego problemu wiąże się z elementarnymi, ale żmudnymi obliczeniami. Przedstawmy pokrótce jego wyprowadzenie, pomijając argument funkcji Xr(x), aby uniknąć nieporęczności. Niech λm, λn będą różnymi wartościami własnymi, λm, λn będą odpowiadającymi im funkcjami własnymi problemu (3), (4). Następnie ((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0. Mnożymy pierwsze z tych równań przez Xn, a drugie przez Xm i odejmujemy drugie od pierwszego. Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy równość (Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) „- LP (bXtX” p) „- (aX „tXp)” + Rt (bXtXp)”, które całkujemy w przedziale (0,1). W rezultacie biorąc pod uwagę (4) i redukując o (Лт - Лп), otrzymujemy zależność (7). Udowodnione stwierdzenia dotyczące własności wartości własnych i funkcji własnych problemu Sturma-Liouville'a (3), (4) pozwalają nam zastosować metodę separacji zmiennych w celu znalezienia rozwiązania problemu. 3. Rozwiązywanie problemu. Oznaczać C(CT) = (u: ue C(St) P C2(St), uixx e C^m)). Twierdzenie 1. Niech a, b e C1 , e C. Wtedy istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie u e C(m) problemu (1), (2). Dowód. Załóżmy, że istnieją dwa różne rozwiązania problemu (1), (2), u1(x, z) i u2(x, z). Wówczas, ze względu na liniowość problemu, ich różnica u = u1 - u2 jest rozwiązaniem jednorodnego problemu odpowiadającego (1), (2). Pokażmy, że jego rozwiązanie jest banalne. Zauważmy z góry, że z fizycznego znaczenia współczynników równania i warunków brzegowych funkcje a, b, q są wszędzie dodatnie w Qm, podczas gdy M^, K^ są nieujemne. Mnożąc równość (1) przez u i całkując po dziedzinie Qt, gdzie t e i arbitralnie, po prostych przekształceniach, otrzymujemy / (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0, stąd, na mocy arbitralności m, natychmiast następuje stwierdzenie twierdzenia. Wykażmy istnienie rozwiązania dla przypadku stałych współczynników. Twierdzenie 2. Niech<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>„(\) = 0, ma pochodną ciągłą odcinkowo ciągłą trzeciego rzędu w (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0 i ma pochodną ciągłą odcinkowo ciągłą drugiego rzędu w ( 0,1), f e C(C^m), to rozwiązanie problemu (1), (2) istnieje i można je otrzymać jako sumę szeregu funkcji własnych. Dowód. Jak zwykle poszukamy rozwiązania problemu w postaci sumy gdzie pierwszym wyrazem jest rozwiązanie sformułowanego problemu dla równania jednorodnego odpowiadającego (1), drugim jest rozwiązanie równania (1), które spełnia zerowe warunki początkowe i brzegowe. Wykorzystajmy wyniki badań przeprowadzonych w poprzednim akapicie i zapiszmy ogólne rozwiązanie równania (3): X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx. \¡ a - A2b \¡ a - A2b Stosując warunki brzegowe (4), otrzymujemy układ równań dla Cj! (a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0, (-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+ Przyrównując jego wyznacznik do zera, otrzymujemy równanie widmowe ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (osiem) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Sprawdźmy, czy to transcendentalne równanie ma rozwiązanie. Aby to zrobić, rozważ funkcje znajdujące się w jego lewej i prawej części i zbadaj ich zachowanie. Nie ograniczając zbytnio ogólności, ustalamy Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, co nieco uprości niezbędne obliczenia. Równanie (8) przyjmuje postać x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" i napisz równanie widmowe w nowej notacji! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - am) 2/j.aql Analiza funkcji lewej i prawej części ostatniego równania pozwala stwierdzić, że istnieje przeliczalny zbiór jego pierwiastków, a zatem przeliczalny zbiór funkcji własnych problemu Sturma-Liouville'a (3), (4) , który, biorąc pod uwagę otrzymaną z systemu relację względem c¿, można zapisać v / l l I q K - x2pm. ja jestem Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx. Va - A2b AnVa - ftb^q Va - A2b Teraz zajmiemy się znalezieniem rozwiązania, które spełni również warunki początkowe. Możemy teraz łatwo znaleźć rozwiązanie problemu dla równania jednorodnego w postaci szeregu u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x), których współczynniki można znaleźć z danych początkowych za pomocą własności ortogonalności funkcji Xn(x), których normę można uzyskać z zależności (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo Proces znajdowania funkcji v(x,t) również jest w zasadzie standardowy, ale nadal zauważamy, że szukając rozwiązania w postaci tradycyjnej v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), otrzymujemy dwa równania. Rzeczywiście, biorąc pod uwagę postać funkcji własnych, określmy strukturę szeregu, w którym szukamy rozwiązania: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (dziewięć) v JXnVa - xnb^q V a - xn" Aby spełnić zerowe warunki początkowe y(x, 0) = y^x, 0) = 0, wymagamy, aby x, d) w szereg Fouriera w odniesieniu do funkcji własnych Xn(x), znajdujemy współczynniki ¡n( b) i dn(b). Podstawiając (9) do równania (1), zapisanego względem y(x, b), po serii przekształceń otrzymujemy równania na znalezienie Yn(b) i Shn(b): uc® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Biorąc pod uwagę warunki początkowe Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0, dochodzimy do problemów Cauchy'ego dla każdej z funkcji Yn(b) i Shn( b), którego unikalną rozwiązywalność gwarantują warunki twierdzenia. Własności danych wyjściowych sformułowanych w twierdzeniu nie pozostawiają wątpliwości co do zbieżności wszystkich szeregów, które powstały w toku naszych badań, a tym samym istnienia rozwiązania problemu. Wniosek. Wykazano istnienie układu funkcji własnych badanego problemu ortogonalnych z obciążeniem i uzyskano ich reprezentację. Ustalone właściwości funkcji własnych umożliwiły udowodnienie istnienia unikalnego rozwiązania problemu. Należy zauważyć, że wyniki uzyskane w artykule mogą być wykorzystane zarówno do dalszych badań teoretycznych problemów z dynamicznymi warunkami brzegowymi, jak i do celów praktycznych, a mianowicie do obliczania drgań podłużnych szerokiej gamy obiektów technicznych. Aleksander Borysowicz Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 BIBLIOGRAFIA 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultradźwiękowa obróbka mechaniczna i montaż. Samara: Wydawnictwo książek Samara, 1995. 191 s. 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ultradźwiękowe przetwarzanie wymiarowe materiałów. Barnauł: Uniwersytet Techniczny Ałtaj im. I.I. Polzunowa, 1997. 120 s. 3. Kuumabe D. Cięcie wibracyjne. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 s. 4. A. N. Tichonow i A. A. Samarskii, Równania fizyki matematycznej. M.: Nauka, 2004. 798 s. 5. Strett J. V. Teoria dźwięku. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s. 6. Rao J. S. Zaawansowana teoria drgań: drgania nieliniowe i struktury jednowymiarowe. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu Teoria drgań swobodnych i wymuszonych pręta litego oparta na modelu Rayleigha // DAN, 2007. V. 417, nr 1. s. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulas of Plasty and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. vol. 128, no. 11.pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. A. B. Beilin i L. S. Pulkina, „Problem drgań wzdłużnych pręta z dynamicznymi warunkami brzegowymi”, Vestn. SamGU. Naturalna nauka Ser., 2014. Nr 3 (114). s. 9-19. 10. M. O. Korpusov, Pękanie w nieklasycznych równaniach falowych. M.: URSS, 2010. 237 s. Otrzymano 10.10.2016 r.; w wersji ostatecznej - 18.V.2016; przyjęty do publikacji - 27.V.2016. Kamizelka Samar. idź S. Techn. Unta. Ser. Fiz.-mat. nauki ścisłe 2016, tom. 20, nie. 2, s. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (drukuj) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 PROBLEM Z DRGAŃ WZDŁUŻNYCH PRĘTA Z ELASTYCZNYM MOCOWANIEM Państwowy Uniwersytet Techniczny w Samarze, 244, ul. Molodogvardeyskaya, Samara, 443100, Federacja Rosyjska. W tym artykule badamy drgania wzdłużne w grubym krótkim pręcie zamocowanym za pomocą sił punktowych i sprężyn. Dla modelu matematycznego rozważamy problem wartości brzegowej z dynamicznymi warunkami brzegowymi dla równania różniczkowego cząstkowego czwartego rzędu. Wybór tego modelu uzależniony jest od konieczności uwzględnienia wyniku odkształcenia poprzecznego. Rayleigh wykazał, że zaniedbanie odkształcenia poprzecznego prowadzi do błędu. Potwierdza to współczesna nielokalna teoria drgań. Udowadniamy istnienie funkcji własnych ortogonalnych z obciążeniem i wyprowadzamy ich reprezentację. Ustalone własności funkcji własnych umożliwiają zastosowanie metody separacji zmiennych i znalezienie unikalnego rozwiązania problemu. Słowa kluczowe: dynamiczne warunki brzegowe, drgania podłużne, obciążona ortogonalność, model Rayleigha. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul „trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (w języku rosyjskim) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul „trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 s. (w języku rosyjskim) 3. Kuumabe J. Cięcie wibracyjne. Tokio, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (w języku japońskim). 4. Tichonow A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskwa, Nauka, 2004, 798 s. (Po angielsku) 5. Strutt J. W. Teoria dźwięku, t. 1. Londyn, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s. 6. Rao J. S. Zaawansowana teoria drgań: drgania nieliniowe i struktury jednowymiarowe. Nowy Jork, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s. Beylin AB Problem drgań wzdłużnych pręta z mocowaniem elastycznym, Vestn. Samar. idź S. Technologia. Uniw., Ser. Fiz.-Mat. Nauka, 2016, tom. 20, nie. 2, s. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (w języku angielskim) Dane autora: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail chroniony]), profesor nadzwyczajny, wydz. Automatyki Obrabiarek i Systemów Narzędziowych. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoria drgań swobodnych i wymuszonych pręta sztywnego oparta na modelu Rayleigha, Dokl. Phys., 2007, vol.52, no. 11, s. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nielokalne integralne formuły plastyczności i uszkodzeń: przegląd postępów, J. Eng. Mech., 2002, t. 128, no. 11, s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Promlem o drganiach podłużnych pręta z dynamicznymi warunkami brzegowymi, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, nr. 3(114), s. 919 (w języku rosyjskim). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklasicheskikh volnovykh uravneniakh. Moskwa, URSS, 2010, 237 s. (Po angielsku) Otrzymano 10.10.2016 r.; otrzymany w formie poprawionej 18.V.2016; DEFINICJA Fala podłużna- jest to fala, podczas której propagacji następuje przemieszczenie cząstek ośrodka w kierunku propagacji fali (ryc. 1, a). Przyczyną pojawienia się fali podłużnej jest kompresja/wydłużenie, czyli odporność ośrodka na zmianę jego objętości. W cieczach lub gazach takiej deformacji towarzyszy rozrzedzenie lub zagęszczenie cząstek medium. Fale podłużne mogą rozchodzić się w dowolnych ośrodkach - stałych, ciekłych i gazowych. Przykładami fal podłużnych są fale w elastycznym pręcie lub fale dźwiękowe w gazach. DEFINICJA fala poprzeczna- jest to fala, w trakcie której rozchodzenie się cząstek ośrodka następuje w kierunku prostopadłym do rozchodzenia się fali (rys. 1b). Przyczyną fali poprzecznej jest odkształcenie ścinające jednej warstwy ośrodka względem drugiej. Kiedy fala poprzeczna rozchodzi się w ośrodku, tworzą się grzbiety i doliny. Ciecze i gazy, w przeciwieństwie do ciał stałych, nie mają elastyczności na ścinanie warstwy, tj. nie opieraj się zmianie kształtu. Dlatego fale poprzeczne mogą rozchodzić się tylko w ciałach stałych. Przykładami fal poprzecznych są fale przemieszczające się wzdłuż rozciągniętej liny lub sznurka. Fale na powierzchni cieczy nie są ani podłużne, ani poprzeczne. Jeśli rzucisz pływak na powierzchnię wody, zobaczysz, że porusza się on kołysząc się na falach, po okręgu. Tak więc fala na powierzchni cieczy ma składową zarówno poprzeczną, jak i podłużną. Na powierzchni cieczy mogą również wystąpić fale specjalnego rodzaju – tzw fale powierzchniowe. Powstają w wyniku działania i siły napięcia powierzchniowego. PRZYKŁAD 1 Narysujmy powierzchnię fali w pobliżu pływaka po pewnym odstępie czasu, zważywszy, że w tym czasie pływak opadł, ponieważ był skierowany w dół w chwili czasu. Kontynuując linię w prawo i w lewo, pokazujemy położenie fali w czasie . Porównując położenie fali w początkowym momencie czasu (linia ciągła) i w chwili czasu (linia przerywana), dochodzimy do wniosku, że fala rozchodzi się w lewo. MECHANIKA UKD 531.01/534.112 DRGAŃ WZDŁUŻNYCH PAKIETU WĘDZISK JESTEM. Pawłow, A.N. Temnov MSTU im. N.E. Bauman, Moskwa, Federacja Rosyjska e-mail: [e-mail chroniony]; [e-mail chroniony] W kwestiach dynamiki rakiet na paliwo ciekłe ważną rolę odgrywa problem stabilności ruchu rakiety w przypadku wystąpienia podłużnych oscylacji sprężystych. Pojawienie się takich oscylacji może prowadzić do powstania samooscylacji, co w przypadku niestabilności rakiety w kierunku podłużnym może doprowadzić do jej szybkiego zniszczenia. Sformułowano problem drgań podłużnych rakiety pakietowej, jako model obliczeniowy wykorzystano pakiet prętów. Zakłada się, że ciecz w zbiornikach rakietowych jest „zamrożona”, tj. nie są brane pod uwagę prawidłowe ruchy płynów. Sformułowano prawo całkowitego bilansu energii dla rozpatrywanego problemu i podano jego operator. Podano przykład liczbowy, dla którego wyznaczane są częstotliwości, a tryby własne są konstruowane i analizowane. Słowa kluczowe: drgania wzdłużne, częstotliwość i kształt drgań, pakiet prętów, zasada całkowitego bilansu energii, operator samosprzężony, widmo drgań, POGO. SYSTEM DRGAŃ WZDŁUŻNYCH PRĘTÓW Pawłow, Al. Temnov Bauman Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny, Moskwa, Federacja Rosyjska e-mail: [e-mail chroniony]; [e-mail chroniony] W kwestiach dynamiki rakiet na paliwo ciekłe problem stabilności ruchu tej rakiety odgrywa ważną rolę wraz z pojawieniem się podłużnych drgań sprężystych. Wystąpienie tego rodzaju drgań może wywołać drgania własne, które w przypadku niestabilności rakiety w kierunku wzdłużnym mogą spowodować gwałtowne zniszczenie rakiety. Zagadnienie drgań wzdłużnych rakiety na paliwo ciekłe oparte na schemacie pakietowym zostało sformułowane z wykorzystaniem prętów pakietowych jako modelu obliczeniowego. Zakłada się, że ciecz w zbiornikach rakietowych jest „zamrożona”, tj. nie uwzględniono właściwych ruchów płynu. Dla tego problemu sformułowano zasadę zachowania energii i podano stopień jej operatora. Istnieje przykład liczbowy, dla którego wyznaczono częstotliwości, zbudowano i przeanalizowano formy drgań własnych. Słowa kluczowe: drgania postaci podłużnych, mody i częstotliwości własne, model prętowy, zasada zachowania energii, operator samosprzężony, widmo drgań, POGO. Wstęp. Obecnie w Rosji i za granicą, w celu wystrzelenia ładunku na wymaganą orbitę, często stosuje się pojazdy nośne (LV) o układzie pakietu z identycznymi blokami bocznymi równomiernie rozmieszczonymi wokół bloku centralnego. Badania drgań konstrukcji pakietów napotykają na pewne trudności związane z dynamicznym działaniem bloków bocznych i środkowych. W przypadku symetrii układu rakiety, złożone, przestrzenne oddziaływanie bloków konstrukcji pakietu można podzielić na skończoną liczbę typów drgań, z których jednym są drgania podłużne bloku centralnego i bocznego. W pracy szczegółowo omówiono matematyczny model drgań podłużnych o podobnej konstrukcji w postaci pakietu prętów cienkościennych. Ryż. 1. Schemat centralnego znaczne drgania pakietu prętów, uzupełniające badania przeprowadzone przez A.A. Żałosny. Sformułowanie problemu. Rozważ inne drgania wzdłużne pakietu prętów, składającego się z pręta centralnego o długości l0 i N prętów bocznych o tej samej długości j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, zamocowanych w punkt A (xA = l) (rys. 1) z centralnymi elementami sprężystymi o sztywności k. Wprowadzamy stały układ odniesienia ОХ i zakładamy, że sztywność prętów EFj (x), masa rozłożona mj (x) i zaburzenie q (x,t) są funkcjami ograniczonymi o współrzędnej x: 0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Niech przemieszczenia Uj (x, t) pojawią się w przekrojach prętów o współrzędnej x, które są określone równaniami mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) warunki brzegowe dla braku sił normalnych na końcach prętów 3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2, 0, x = 0, x = l0; warunki równości sił normalnych powstających w prętach, EF-3 = F x = l siły sprężyste elementów sprężystych, FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; warunek równości przemieszczeń w punkcie xa pręta centralnego W (ha-o) \u003d W (ha + o) i warunki początkowe Wy (x, 0) - W (x); , _ u(x, 0) = u(x), gdzie u(x, 0) = "q^1(x, 0). Prawo całkowitego bilansu energetycznego. Mnożymy równanie (2) przez u(x, t), całkujemy na długości każdego pręta i dodajemy wyniki przy użyciu warunków brzegowych (3) i warunku dopasowania (4). W rezultacie otrzymujemy (( 1 ^ [ (diL 2 tz (x) „BT” (x + dt | 2 ^ J 3 w V dt Nx„h2 ..N„i. 1 ⩽ Г „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Yo N (x - -)(no - Uj)2 dx = / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6) gdzie 8(x - y) jest funkcją delta Diraca. W równaniu (6) pierwszy człon w nawiasach klamrowych to energia kinetyczna T (¿) układu, drugi to energia potencjalna Pr (£) od odkształcenia prętów, a trzeci to energia potencjalna Pk (£) elementów sprężystych, które w obecności odkształceń sprężystych prętów można zapisać jako Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey. Z równania (6) wynika, że zmiana całkowitej energii w jednostce czasu rozpatrywanego układu mechanicznego jest równa mocy wpływ zewnętrzny. W przypadku braku zewnętrznego zaburzenia q (x,t) otrzymujemy prawo zachowania energii całkowitej: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Ustawienia operatora. Z prawa bilansu energetycznego wynika, że dla dowolnego czasu t funkcje Uj (x, t) można rozpatrywać jako elementy przestrzeni Hilberta L2j(; m3 (x)), określone na długości ¡i przez iloczyn skalarny (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 oraz odpowiednie rozporządzenie. Wprowadźmy przestrzeń Hilberta H, która jest równa sumie ortogonalnej L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, funkcja wektorowa U = (uo, Ui,..., uN)m oraz operator A działający w przestrzeni H zgodnie z relacją AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun). mj(x)dx\jdx" operatorzy zdefiniowani na zestaw B (A33) C H funkcji spełniających warunki (3) i (4). Pierwotny problem (1)-(5) wraz z warunkami początkowymi można zapisać jako Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7) gdzie f (*) = (do (*) ,51 (*),..., Yam (¿)) tj. Lemat. 1. Jeżeli dwa pierwsze warunki (1) są spełnione, to operator A w problemie ewolucji (7) jest nieograniczonym, samosprzężonym operatorem dodatnio określonym w przestrzeni H (Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n. 2. Operator A generuje przestrzeń energii HA o normie równej dwukrotności wartości energii potencjalnej drgań pakietu prętów 3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o O(xa)- £EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Z powyższych wyników wynika, że normę energetyczną operatora A wyraża wzór (8). Rozwiązywanie problemu ewolucyjnego. Sformułujemy następujące twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech warunki U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), to problem (7) ma jednoznaczne rozwiązanie słabe U (t) na odcinku określonym wzorem U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 w przypadku braku zewnętrznego zaburzenia f (£), prawo zachowania energii jest spełnione 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Wibracje naturalne pakietu prętów. Załóżmy, że na układ prętów nie działa pole sił zewnętrznych: f (t) = 0. W tym przypadku ruch prętów będziemy nazywać swobodnym. Swobodne ruchy prętów, które zgodnie z prawem exp (iwt) zależą od czasu t, będą nazywane oscylacjami własnymi. Biorąc pod uwagę równanie (7) U (x, t) = U (x) eiWU, otrzymujemy problem spektralny dla operatora A: AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (dziewięć) Własności operatora A pozwalają nam sformułować twierdzenie o widmie i własnościach funkcji własnych. Twierdzenie 2. Problem spektralny (9) o drganiach naturalnych pakietu pręcików ma dyskretne widmo dodatnie 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то oraz układ funkcji własnych (Uk (x))^=0, zupełnych i ortogonalnych w przestrzeniach H i HA, oraz następujące wzory na ortogonalność: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/U^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Badanie problemu spektralnego w przypadku jednorodnego pakietu pręcików. Reprezentując funkcję przemieszczenia m-(x,t) w postaci m-(x,t) = m-(x), po rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy problemy spektralne dla każdego pręta: ^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) które zapisujemy w formie macierzowej 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t« u = (u0, u1, u2,..., u') tj. Rozwiązanie i analiza otrzymanych wyników. Oznaczmy funkcje przemieszczenia pręta centralnego w przekroju jako u01, aw przekroju jako u02 (g). W tym przypadku dla funkcji u02 przenosimy początek współrzędnych do punktu o współrzędnej /. Dla każdego pręta przedstawiamy rozwiązanie równania (10) w postaci Aby znaleźć nieznane stałe w (11), używamy warunków brzegowych sformułowanych powyżej. Z jednorodnych warunków brzegowych można wyznaczyć pewne stałe, a mianowicie: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN2 = 0. W rezultacie pozostaje znaleźć stałe N + 3: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Aby to zrobić, rozwiązujemy równania N + 3 dla N + 3 niewiadomych. Wynikowy układ zapisujemy w postaci macierzowej: (A) (C) = (0) . Tutaj (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m jest wektorem niewiadomych; (A) - macierz charakterystyczna, cos (L1) EF0 L sin (L1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 t 00 00 0 000Y a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^; 7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + do sów ((A "1l) 1/2); (~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0. Aby znaleźć nietrywialne rozwiązanie, jako zmienną przyjmujemy stałą C01 € M. Mamy dwie opcje: C01 = 0; C01 = 0. Niech С01 = 0, potem С03 = С04 = 0. W tym przypadku nietrywialne rozwiązanie można uzyskać, jeśli 7 = 0 z (12) pod warunkiem dodatkowym £ c-1 = 0, (13) co można otrzymać z trzeciego równania układu (12). W rezultacie otrzymujemy proste równanie częstotliwości EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P + zz y \ V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , zgodne z równaniem częstotliwości dla pręta sprężyście zamocowanego na jednym końcu, który można uznać za pierwszy układ częściowy. W tym przypadku wszystkie możliwe kombinacje ruchów prętów bocznych spełniające warunek (13) można warunkowo podzielić na grupy odpowiadające różnym kombinacjom faz (w rozważanym przypadku faza jest określona znakiem S.d). Jeśli weźmiemy pręty boczne identyczne, to mamy dwie możliwości: 1) Cd \u003d 0, wówczas liczbę takich kombinacji n dla różnych N można obliczyć za pomocą wzoru n \u003d N 2, gdzie jest funkcją dzielenia bez reszty; 2) dowolna (lub dowolna) ze stałych C jest równa 0, wtedy liczba możliwych kombinacji wzrasta i może być określona wzorem £ [(N - m) dział 2]. Niech Coi = 0, wtedy Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), gdzie c i y są zespołami w (12). Z układu (12) mamy też: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), tj. wszystkie stałe są wyrażone przez C01. Równanie częstotliwości przyjmuje postać EFO U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) - K2 cos | ía!-,1 L Jako przykład rozważmy system z czterema prętami bocznymi. Oprócz metody opisanej powyżej, dla tego przykładu, możesz napisać równanie częstotliwości dla całego układu, obliczając wyznacznik macierzy A i przyrównując go do zera. Przedstawiamy jego formę Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) - 4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0. Wykresy równań częstotliwości transcendentalnych dla rozpatrywanych powyżej przypadków przedstawiono na ryc. 2. Jako dane wyjściowe przyjęto następujące dane: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; /=23; /o = 33 m. Wartości pierwszych trzech częstotliwości drgań rozważanego schematu podano poniżej: n..................................... i rad/s ...................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Ryż. 2. Wykresy transcendentalnych równań częstotliwości dla Coi = 0 (i) i Coi = 0 (2) Przedstawmy postacie drgań odpowiadające otrzymanym rozwiązaniom (w ogólnym przypadku postacie drgań nie są znormalizowane). Przebiegi odpowiadające pierwszej, drugiej, trzeciej, czwartej, 13 i 14 częstotliwości pokazano na rys.1. 3. Przy pierwszej częstotliwości drgań boczne pręty oscylują w tym samym kształcie, ale parami w przeciwfazie Rys.3. Tryby drgań prętów bocznych (1) i środkowych (2) odpowiadające pierwszemu V = 3,20 Hz (a), drugiemu V = 5,02 Hz (b), trzeciemu V = 10,11 Hz (c), czwartemu V = Częstotliwości 13,60 Hz (d), 13 V = 45,90 Hz (d) i 14 V = 50,88 Hz (e) (ryc. 3, a), w drugim - środkowy pręt oscyluje, a boczne oscylują w tej samej fazie w tej samej formie (ryc. 3, b). Należy zauważyć, że pierwsza i druga częstotliwość drgań rozpatrywanego układu prętowego odpowiadają drganiom układu złożonego z ciał stałych. Gdy układ oscyluje z trzecią częstotliwością własną, po raz pierwszy pojawiają się węzły (rys. 3c). Częstotliwość trzecia i kolejne (rys. 3d) odpowiadają już sprężystym drganiom układu. Wraz ze wzrostem częstotliwości oscylacji związanych ze spadkiem wpływu elementów elastycznych, częstotliwości i formy oscylacji wydają się być częściowe (ryc. 3, e, f). Krzywe funkcji, których punkty przecięcia z osią odciętych są rozwiązaniami równań transcendentalnych, pokazano na ryc. 4. Zgodnie z rysunkiem częstotliwości drgań własnych układu znajdują się w pobliżu częstotliwości cząstkowych. Jak zauważono powyżej, wraz ze wzrostem częstotliwości wzrasta zbieżność częstotliwości drgań własnych z częstotliwościami cząstkowymi. W rezultacie częstotliwości, przy których oscyluje cały układ, są warunkowo podzielone na dwie grupy: te bliskie częstotliwościom cząstkowym pręta bocznego i częstotliwości bliskie częstotliwościom cząstkowym pręta centralnego. Wyniki. Rozpatrzono problem drgań wzdłużnych pakietu prętów. Opisano własności sformułowanego zagadnienia brzegowego oraz spektrum jego wartości własnych. Zaproponowano rozwiązanie problemu spektralnego dla dowolnej liczby jednorodnych prętów bocznych. Dla przykładu liczbowego znajdują się wartości pierwszych częstotliwości oscylacji i konstruowane są odpowiednie formularze. Ujawniono również pewne charakterystyczne właściwości skonstruowanych postaci drgań. Ryż. 4. Krzywe funkcji, których punkty przecięcia z osią odciętych są rozwiązaniami równań przestępnych, dla Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) pokrywają się z pierwszym układem częściowym (pręt boczny zamocowany na elemencie sprężystym w punkcie x = I) i drugiego układu częściowego (5) (pręt centralny zamocowany na czterech elementach elastycznych w punkcie A) LITERATURA 1. Kolesnikow K.S. Dynamika rakiet. M.: Mashinostroenie, 2003. 520 s. 2. Pociski balistyczne i rakiety nośne / O.M. Alifanow, A.N. Andreev, V.N. Gushchin i wsp. M.: Drofa, 2004. 511 s. 3. Rabinowicz B.I. Wprowadzenie do dynamiki rakiet nośnych statków kosmicznych. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 s. 4. Badanie parametrów stabilności rakiet na ciecze POGO / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011 tom. 48. Iz. 3. str. 537-541. 5. Bałakiriew Yu.G. Metody analizy drgań podłużnych rakiet nośnych z silnikiem na ciecz // Kosmonautyka i inżynieria rakietowa. 1995. Nr 5. S. 50-58. 6. Bałakiriew Yu.G. Osobliwości modelu matematycznego zapakowanej rakiety na paliwo ciekłe jako obiektu kontrolnego // Wybrane problemy wytrzymałościowe współczesnej inżynierii mechanicznej. 2008. S. 43-55. 7. Dokuczajew LV Doskonalenie metod badania dynamiki zapakowanego pojazdu nośnego pod kątem ich symetrii // Kosmonautyka i inżynieria rakietowa. 2005. Nr 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin AA Opracowanie przybliżonych metod analitycznych do obliczania drgań naturalnych i wymuszonych elastycznych skorup z płynem: Cand. ... dr tech. Nauki. M., 2005. 220 s. 9. Kerin S.G. Równania różniczkowe liniowe w przestrzeniach Banacha. M.: Nauka, 1967. 464 s. 10. ID Kopaczewskiego Metody operatorowe fizyki matematycznej. Symferopol: OOO "Forma", 2008. 140 s. Kolesnikow K.S. Pocisk Dinamika. Moskwa, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 s. Alifanov ON, Andreev AN, Gushchin VN, wyd. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Moskwa, Drofa Publ., 2003. 511 s. Rabinowicz B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moskwa, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 s. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Badanie parametrów stabilności POGO rakiety na paliwo ciekłe. J. Statki kosmiczne i rakiety, 2011, tom. 48, iss. 3, s. 537-541. Bałakiriew Yu.G. Metody analizy drgań wzdłużnych rakiet nośnych z silnikiem na paliwo ciekłe. Kosm. ja rockettostr. , 1995, nr. 5, s. 50-58 (po rosyjsku). Bałakiriew Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskwa, Fizmatlit Publ., 2008. 204 s. (cyt. s. 4355). Dokuczajew LV Doskonalenie metod badania dynamiki klastrowych rakiet nośnych z uwzględnieniem ich symetrii. Kosm. ja rockettostr. , 2005, nr. 2, s. 112-121 (po rosyjsku). Pozhalostin AA Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Linejnye dyferencjał „Nie urawnienija w Banachowich prostranstwach. Moskwa, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopaczewskij I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol”, Forma Publ., 2008. 140 s. Artykuł wszedł do redakcji 28 kwietnia 2014 r. Pavlov Arsenij Michajłowicz - student wydziału „Spotkanie kosmiczne i pojazdy nośne” Moskiewskiego Państwowego Uniwersytetu Technicznego. N.E. Baumana. Specjalizuje się w dziedzinie techniki rakietowej i kosmicznej. MSTU im. N.E. Baumash, Federacja Rosyjska, 105005, Moskwa, ul.Baumańska 2, 5. Pawłow AM - studentka wydziału „Samoloty kosmiczne i pojazdy nośne” Moskiewskiego Państwowego Uniwersytetu Technicznego im. Baumana. Specjalista w dziedzinie techniki rakietowo-kosmicznej. Bauman Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moskwa, 105005 Federacja Rosyjska. Temnov Aleksander Nikołajewicz - dr hab. Fizyka-Matematyka. Sci., profesor nadzwyczajny, Katedra Statków Kosmicznych i Pojazdów Wyrzutni, Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny. N.E. Baumana. Autor ponad 20 prac naukowych z zakresu mechaniki płynów i gazów oraz techniki rakietowej i kosmicznej. MSTU im. N.E. Baumash, Federacja Rosyjska, 105005, Moskwa, ul.Baumańska 2, 5. Temnov A.N. - Cand. nauka. (fiz.-matematyka), dr hab. profesor na wydziale „Samochody kosmiczne i pojazdy nośne” Moskiewskiego Państwowego Uniwersytetu Technicznego im. Baumana. Autor ponad 20 publikacji z zakresu mechaniki płynów i gazów oraz techniki rakietowej i kosmicznej. Bauman Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moskwa, 105005 Federacja Rosyjska. Rozważ jednorodny pręt o długości l, tj. korpus o kształcie cylindrycznym lub innym, do rozciągania lub zginania, do którego konieczne jest przyłożenie znanej siły. Ta ostatnia okoliczność odróżnia nawet najcieńszy pręt od sznurka, który, jak wiadomo, ugina się swobodnie. W przedstawionej przeze mnie pracy pokażę zastosowanie metody charakterystyk do badania drgań podłużnych pręta, a ograniczę się do badania tylko takich drgań, w których przekrój pq poruszający się wzdłuż osi pręt, pozostaje płaski i równoległy do siebie. Takie założenie jest uzasadnione, jeśli wymiary poprzeczne pręta są małe w stosunku do jego długości. Jeśli pręt zostanie nieco rozciągnięty lub ściśnięty wzdłuż osi podłużnej, a następnie pozostawiony sam sobie, pojawią się w nim drgania podłużne. Po skierowaniu osi x wzdłuż osi pręta przyjmę, że w spoczynku końce odcinka pręta znajdują się w punktach x=0 i x=l. Niech x będzie odciętą pewnego odcinka pręta, gdy ten jest w spoczynku. Pozwolę sobie wprowadzić zapis, poprzez u(x,t) przemieszczenie tego odcinka w czasie t; wtedy przesunięcie odcinka z odciętą x+dx będzie równe Stąd widać, że względne wydłużenie pręta w przekroju z odciętą x wyraża pochodna Teraz zakładając, że pręt wprawia w drgania niewielkie drgania, możemy obliczyć naprężenie T. Stosując prawo Hooke'a otrzymujemy: Gdzie E jest modułem sprężystości materiału pręta, a S jest jego polem przekroju. Pozwólcie, że wezmę element pręta ujętego między dwie sekcje, których odcięte w spoczynku są odpowiednio równe x i x + dx. Na ten element działają siły rozciągające przyłożone w tych odcinkach i skierowane wzdłuż osi Ox. Wypadkowa tych sił ma wartość ES - ES?ES (2) (Twierdzenie Lagrange'a) A także ukierunkowany. Z drugiej strony przyspieszenie elementu jest równe, w wyniku czego możemy zapisać równość Gdzie jest gęstość nasypowa pręta. kładzenie A redukując przez, otrzymujemy równanie różniczkowe drgań podłużnych jednorodnego pręta Z postaci tego równania wynika, że drgania podłużne pręta mają charakter falowy, a prędkość propagacji fal podłużnych określa wzór 4. Jeżeli na pręt działa również siła zewnętrzna obliczona na jednostkę jego objętości , to zamiast (3) otrzymujemy Jest to równanie wymuszonych drgań podłużnych pręta. Podobnie jak w dynamice w ogóle, jedno równanie ruchu (6) nie wystarcza do całkowitego określenia ruchu pręta. Niezbędne jest ustalenie warunków początkowych tj. ustawić przemieszczenie sekcji pręta i ich prędkość w początkowym momencie czasu gdzie i F(x) są funkcjami w przedziale (0,l). Dodatkowo należy określić warunki brzegowe na końcach pręta. Na przykład: 1) Pręt jest zamocowany na obu końcach. W tym przypadku u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8) w każdej chwili t. 2) Jeden koniec pręta jest zamocowany, drugi wolny, tj. u(0,t)=0,=0 (9) w każdej chwili t. Na wolnym końcu x=l naprężenie T=ES jest równe zeru (brak sił zewnętrznych), a zatem =0 3) Oba końce pręta są wolne. W każdej chwili Zatem problem drgań podłużnych jednorodnie ograniczonego pręta sprowadza się do rozwiązania równania (6) spełniającego warunek początkowy (7) oraz jeden z warunków brzegowych (8), (9), (10) itd. fala różnicowa oscylacji podłużnej Rozważmy problem drgań podłużnych jednorodnego pręta sprężystego o długości l, gdy jego koniec x=0 jest nieruchomy, a drugi x=l jest swobodny. Problem ten sprowadza się do rozwiązania równania falowego. W warunkach brzegowych i warunki początkowe F(x) (0?x?l) (3) Zgodnie z metodą Fouriera szukamy konkretnych rozwiązań równania (1) w postaci u(x,t)=X(x) T(x) (4) Zastępuję równanie (4) do (1) i otrzymuję skąd otrzymujemy dwa równania Aby funkcja (4), różna od identycznego zera, spełniała warunki brzegowe (2), oczywiście konieczne jest wymaganie spełnienia warunków X(x)=0, X(l)=0 (6) W ten sposób doszedłem do problemu wartości własnej dla równania (5) w warunkach brzegowych (7). Całkując równania (5) otrzymujemy Z warunków brzegowych (6) mamy Licząc znalazłem =0, skąd gdzie k jest liczbą całkowitą Zatem nietrywialne rozwiązania problemu (4), (5) są możliwe tylko dla wartości ??: Wartości własne odpowiadają funkcjom własnym (x)= (k=1,2,…..) Zdefiniowany do stałego współczynnika, który ustalamy jako równy jeden (k- nie będzie ujemne) Dla ??= rozwiązanie ogólne równania (5) ma postać Gdzie są dowolne stałe. Dzięki (3) otrzymujemy Spełnij (1) i warunki brzegowe (2) dla dowolnych. Robię awanturę. aby spełnić warunki początkowe (2) konieczne jest, aby Zakładając, że szeregi (8), (9) są zbieżne jednostajnie, możemy wyznaczyć współczynniki mnożąc przez obie strony równości przez i całkując przez x w zakresie od x=0 do x=l. Rozważając, Podstawiając znalezione wartości współczynników w szeregu (7), być może uzyskam rozwiązanie otrzymanego z niego problemu przez dwukrotne zróżnicowanie człon po członie w odniesieniu do x i t, równomiernie skupiać. Po rozważeniu rozwiązania (7) można zauważyć, że ruch oscylacyjny pręta jest wynikiem dodania drgań harmonicznych prostych Zaangażowany amplitudą i częstotliwościami Ton podstawowy uzyskany przy k=0 ma okres oscylacji Ponieważ amplituda tonu podstawowego wynosi Jest oczywiste, że węzeł jest utworzony na stałym końcu pręta x=0, a na wolnym końcu x=l-anty-węzeł.Fale poprzeczne
Przykłady rozwiązywania problemów
Ćwiczenie
Określ kierunek propagacji fali poprzecznej, jeśli pływak w pewnym momencie ma kierunek prędkości wskazany na rysunku.
Decyzja
Zróbmy rysunek. 
Ładowanie...